Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 38-42

1. ИСХОДНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ЕЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим трехмерное евклидово пространство R³ с ортогональной системой координат ox₁x₂x₃, разделенное произвольной замкнутой поверхностью Γ ∈ C ^{r + β}, r + β > 1, на внутреннюю и внешнюю области Ω_i и Ω_e (${{\Omega }_{e}} = {{R}^{3}}{\backslash }{{\bar {\Omega }}_{i}}$), заполненные однородными изотропными средами с плотностями ρ_i(e), скоростями звука с_i(e) и коэффициентами поглощения γ_i(e).

Если в области Ω_e имеются гармонические источники звука, то возбуждаемые ими звуковые волны распространяются в ней и, достигая включения, заполняющего область Ω_i, рассеиваются на нем. В результате в области Ω_e возникают отраженные волны, а в области Ω_i появляются проходящие волны. Поэтому комплексную амплитуду полного волнового поля давлений u можно представить в виде

где u₀, u_i, u_e – комплексные амплитуды поля давлений исходного, проходящего и отраженного волновых полей.

Исходная задача. В областях Ω_i и Ω_e найти комплекснозначные функции u_i и u_e, удовлетворяющие уравнениям

условиям сопряжения на границе Γ раздела сред из Ω_i и Ω_eи условию излучения для u_e на бесконечности

Здесь и далее знаками “–” и “+” отмечаются предельные значения соответствующих выражений на Γ, когда x → Γ из Ω_i и из Ω_e, n(x) – вектор единичной внешней нормали к поверхности Γ в точке x, k_i(e) – волновые числа,

ω – круговая частота колебаний.

Исходная задача (обобщенная постановка). Найти функции u_i(e) ∈ H¹(Ω_i(e), Δ), удовлетворяющие интегральным тождествам

условиям сопряжения на границе Γ и условию излучения на бесконечности (3) для u_e, если на границе Γ заданы функции f₀ ∈ H^1/2(Γ) и f₁ ∈ H^−1/2(Γ).

Здесь ${v}{\text{*}}$ – комплексно-сопряженная к ${v}$ функция, $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $_Γ – отношение двойственности на H^1/2(Γ) × × H^–1/2(Γ), обобщающее скалярное произведение в Н⁰(Г), ${{u}^{ \pm }} \equiv {{\gamma }^{ \pm }}u$, γ^–: H¹(Ω_i) → H^1/2(Γ), γ⁺: H¹(Ω_e) → → H^1/2(Γ) – операторы следов, N^–: H¹(Ω_i, Δ) → H^–1/2(Γ), N⁺: H¹(Ω_e, Δ) → H^–1/2(Γ) – операторы нормальных производных [7], ${{f}_{{\text{0}}}} = u_{0}^{ + }$, ${{f}_{1}} = {{N}^{ + }}{{u}_{0}}$.

Замечание. Если Im(k_e) = 0, то ${{u}_{e}}\, \in \,H_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\Omega }_{e}},\Delta )$.

Введем следующие обозначения:

Решение задачи (3)–(5) будем искать в виде потенциалов

где q ∈ H^−1/2(Γ) – неизвестная плотность, p_ei = $\frac{{{{p}_{e}}}}{{{{p}_{i}}}}$.

В этом случае данная задача условно эквивалентна слабо сингулярному граничному интегральному уравнению Фредгольма I рода [1]:

Исходная задача допускает еще одну условно эквивалентную формулировку в виде граничного интегрального уравнения Фредгольма I рода со слабой особенностью в ядре. Ее решение можно представить в виде

где q ∈ H^−1/2(Γ), p_ie = p_i/p_e. Тогда задача (3)–(5) сводится к интегральному уравнению

Теорема 1 [1]. Пусть f₀ ∈ H^1/2(Γ), f₁ ∈ H^−1/2(Γ), γ_e > 0 или ω не является собственной частотой задачи

Тогда уравнения (8) и (10) корректно разрешимы в классе плотностей q ∈ H^−1/2(Γ) и формулы (7) и (9) дают решение исходной задачи.

Лемма. Пусть γ_e = 0 и ω – собственная частота задачи (11). Тогда однородные уравнения (8) и (10) имеют нетривиальные решения $q_{n}^{'}$, связанные с собственными функциями u_n задачи (11) равенствами

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы, f₀ ∈ H^1/2(Γ), f₁ ∈ H^−1/2(Γ). Тогда решение уравнения (10) существует и имеет вид $q = {{q}_{i}} + q{\text{'}}$, где q_i – его частное решение,

a_n – произвольные комплексные числа, m – кратность собственной частоты ω. Подстановка частного решения q_i в формулы (9) дает решение исходной задачи.

Решение уравнения (8) существует, если ${{\left\langle {{{f}_{2}},q{\text{'}}} \right\rangle }_{\Gamma }}$ = 0. Его можно представить в виде $q = {{q}_{e}} + q{\text{'}}$, где q_e – частное решение этого уравнения. Решение q_e, подставленное в формулы (7), дает решение исходной задачи.

2. О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА СПЕКТРЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

Основной целью данной работы является рассмотрение наиболее трудных с вычислительной точки зрения случаев, когда решение задачи дифракции ищется на собственных частотах задачи (11). Для численного решения интегральных уравнений используется согласованный с шагом сетки метод осреднения интегральных операторов со слабыми особенностями в ядрах, который не требует предварительной триангуляции поверхности включения. Он позволяет строить дискретные аналоги исходных задач по весьма простым аналитическим формулам. Его подробное изложение имеется, например, в публикациях [1, 6].

Опишем модификацию метода для численного решения интегральных уравнений на спектре. Обозначим через k_e > 0 некоторое собственное волновое число задачи (11), а через q(k_e) – зависящее от него частное решение неоднородного уравнения (8) или (10). Выберем некоторое число δ > 0. Тогда для искомого частного решения интегрального уравнения имеет место интерполяционная формула для плотности

где все плотности в правой части являются решениями корректно разрешимых интегральных уравнений. Подстановка найденной плотности в формулы (7) или (9) дает приближенное решение исходной задачи.

Формула (12) подразумевает, что искомое частное решение интегрального уравнения существует. В тех случаях, когда оно не существует, искомое приближенное решение задачи дифракции может быть найдено по аналогичной формуле для u_i(e):

где слагаемые в правой части – приближенные решения задач дифракции с соответствующими волновыми числами. Однако этот способ решения является несколько более трудоемким.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Для выполнения расчетов были использованы вычислительные ресурсы ЦКП “Центр данных ДВО РАН”. Правильность и точность предлагаемого подхода проверялись для задач дифракции, имеющих известные точные решения.

Пример. Рассматривается задача дифракции плоской акустической волны на единичном шаре с центром в начале координат и тремя различными наборами параметров вмещающей среды и включения, где в качестве k_e выбраны собственные числа задачи (11). Комплексная амплитуда исходного волнового поля давлений имеет вид

параметры сред:

I) k_i = 12.5, ρ_i = 4, k_e = 7.725251836937, ρ_e = 3;

II) k_i = 7, ρ_i = 2, k_e = 16.9236212852138, ρ_e = 5;

III) k_i = 21, ρ_i = 7, k_e = 13.6980231532492, ρ_e = 4.5.

Исследование уравнения (8) показало, что в этом случае оно не имеет решения. Поэтому применение формулы (12) в данном случае не дает правильного результата и необходимо использовать формулу (13). Существование частного решения уравнения (10) следует из теоремы 2. Оно может быть приближенно найдено при помощи формулы (12).

Задачи из примера решались дважды – с интерполяцией решения (формула (12), δ = 0.01) и без нее. Количество точек дискретизации M варьировалось от 500 до 128 000. Полученные в результате дискретизации системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решались численно обобщенным методом минимальной невязки (GMRES) [8] с точностью 10^–8. Для нахождения приближенного решения второй и последующих вспомогательных задач в качестве первого приближения в GMRES использовалось приближенное решение первой вспомогательной задачи. Это позволяло получать их решения с точностью порядка δ уже на первой итерации.

На рис. 1 и 2 приведены погрешности решений задач дифракции, полученных путем решения уравнения (8). Погрешности вычислены в норме пространств сеточных функций $H_{h}^{0}({{\Omega }_{{i(e)}}})$. Здесь и далее сплошной линией обозначены погрешности функций u_i, пунктиром – погрешности функций u_e. Результаты расчетов, относящиеся к первому, второму и третьему набору параметров, отмечены на графиках треугольниками, кругами и квадратами соответственно. Видно, что уравнение (8) не может быть использовано без интерполяции решения для нахождения приближенных решений задач дифракции, так как погрешности при увеличении размерностей СЛАУ не уменьшаются. При этом интерполяция по формуле (13) позволяет находить эти решения с погрешностями, которые при достаточно больших значениях M имеют порядок не хуже h² ∼ M^–1, где параметр h характеризует шаг сетки на границе включения.

Для приближенных решений задач дифракции, полученных с использованием уравнения (10) с интерполяцией решения по формуле (12), погрешности также имеют порядок O(h²) (рис. 4). Расчеты без интерполяции решения, представленные на рис. 3, в этом случае дают неудовлетворительные результаты, что согласуется с теоремой 2. Сравнение представленных результатов численных экспериментов показывает достаточно высокую эффективность применяемого подхода с интерполяцией решения.