Акустический журнал, 2023, T. 69, № 1, стр. 7-12

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы активно развиваются методы бесконтактного манипулирования различными объектами с помощью акустического поля. Исследуются возможные приложения этих методов для формирования различных объемных и плоских структур из малых частиц [1–3], создания акустических ловушек для частиц больших волновых размеров [4], акустической селекции клеток в биомедицине [5]. Во всех случаях акустическое воздействие на частицы становится возможным благодаря радиационной силе, действующей со стороны объемных или поверхностных акустических волн.

Выражение, позволяющее рассчитать радиационную силу, действующую на произвольную частицу в приближении идеальной жидкости, было получено в середине прошлого века Горьковым [6]. На этой основе были исследованы особенности действия радиационной силы на сферические твердые тела [7, 8]. Действие радиационной силы на пузырьки в жидкости привлекало отдельное внимание многих исследователей [9–13]. Особенно большой интерес к этой теме возник после обнаружения эффекта сонолюминесценции одиночного пузырька в акустическом резонаторе (обширная литература приведена в обзорах [14, 15]). При наличии течения в жидкости на пузырьки помимо радиационной силы действует также сила вязкого сопротивления. Действие этих сил в проточном акустическом резонаторе может приводить к неравномерному распределению концентрации пузырьков [16–18]. В последние годы дополнительный интерес к поведению пузырьков в акустическом поле в потоке жидкости возник в связи с развитием новой технологии ультразвуковой очистки [19], которая активно начинает использоваться в различных областях, включая медицину [20, 21]. Технология основана на очищающем действии микропотоков вблизи колеблющегося пузырька [22, 23]. Колебания пузырьков возбуждаются ультразвуковым полем, распространяющимся в струе жидкости, которая доставляет пузырьки к очищаемой поверхности; радиационная сила может играть важную роль в этом процессе [24].

Для сравнительно маленьких пузырьков радиационная сила ранее изучалась, в основном, при относительно небольших амплитудах акустического поля. С ростом интенсивности акустического поля колебания пузырьков становятся сильно-нелинейными. В настоящей работе аналитическими и численными методами рассматривается задача о движении пузырьков в слабых и сильных полях в проточном акустическом резонаторе.

РАДИАЦИОННАЯ СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПУЗЫРЬКИ

На маленький по сравнению с длиной волны пузырек в жидкости действует радиационная сила, обусловленная градиентом давления [9]:

где $W\left( t \right) = \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$ – мгновенный объем, а R(t) – мгновенный радиус пузырька, $\nabla P\left( {\mathbf{r}} \right)$ – градиент давления в акустическом поле, угловые скобки обозначают усреднение по периоду колебаний пузырька.

В стоячей акустической волне вида

где $\omega = 2\pi f,$  f – частота, $k = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega с}} \right. \kern-0em} с}$ – волновое число, с – скорость звука, сила (1) приобретает вид:

Для того чтобы получить выражение для радиационной силы, действующей на пузырек, необходимо решить задачу о вынужденных колебаниях пузырька в акустическом поле. Колебания пузырька при отсутствии газообмена с жидкостью описываются уравнением Рэлея–Плессета [25]:

Здесь R – радиус пузырька, ρ – плотность окружающей жидкости, ${{P}_{g}}$ – давление газа в пузырьке, P₀ – статическое давление, P(t) – внешнее акустическое давление, действующее на пузырек, σ – поверхностное натяжение жидкости, η – динамическая вязкость жидкости. Точки над R обозначают дифференцирование по времени. Давление газа в пузырьке в общем случае является политропическим:

где n – показатель политропы. При медленных колебаниях пузырька, когда за счет теплообмена с окружающей жидкостью температура внутри него остается постоянной, что соответствует изотермическому процессу, n = 1. В противоположном случае быстрых колебаний теплообмен произойти не успевает (адиабатический процесс) и n = γ, где γ – показатель адиабаты для газа в пузырьке. Учет теплообмена между газом внутри пузырька и окружающей жидкостью приводит к появлению теплового механизма потерь энергии (затухания колебаний) и изменению выражения для классической формулы Миннарта для резонансной частоты пузырька [26]. Роль теплообмена становится значимой, если характерная длина тепловой волны ${{{{\lambda }}}_{T}}$ становится сравнимой со статическим радиусом пузырька: $\frac{{{{{{\lambda }}}_{T}}}}{{~{{R}_{0}}}}\sim 1$. В противоположном случае $\frac{{{{{{\lambda }}}_{T}}}}{{{{R}_{0}}}} \ll 1$ состояние газа в пузырьке будет адиабатическим. Учитывая, что ${{\lambda }_{T}} = 2\pi \sqrt {{{2a} \mathord{\left/ {\vphantom {{2a} \omega }} \right. \kern-0em} \omega }} $, где $a$ – коэффициент температуропроводности газа, критерий ${{\lambda }_{T}} = {{R}_{0}}$ дает критическую частоту ω*:

Оценки показывают, что для воздушного пузырька ($a = 2 \times {{10}^{{ - 5}}}$ м²/с) при частоте акустического поля порядка 100 кГц пузырьки радиусом менее 50 мкм будут колебаться изотермически. Заметим, что этот вывод справедлив для колебаний пузырька в слабых полях, когда изменение радиуса пузырька ΔR в процессе колебаний мало (ΔR $ \ll $ R).

В этом случае линеаризация уравнения (4) переводит его в уравнение классического осциллятора, и тогда выражение для радиационной силы приобретает вид:

где ${{\omega }_{0}} = R_{0}^{{ - 1}}\sqrt {\frac{1}{\rho }~[3n{{P}_{0}} + \frac{{2\sigma }}{{{{R}_{0}}}}~\left( {3n - 1} \right)]} $ – резонансная частота пузырька, ${{R}_{0}}$ – статический радиус пузырька, δ – декремент затухания.

Для маленьких пузырьков (ω $ \ll $ ω₀), колебания которых мы будем рассматривать, из формулы (6) можно получить максимальное значение радиационной силы

Для частот, отвечающих критерию ω $ \ll $ ω*, в формуле (7) необходимо положить n = 1. При увеличении амплитуды акустического поля колебания пузырьков становятся сильно-нелинейными. Численное решение задачи о сильных колебаниях пузырька рассматривалось ранее в связи с сонолюминесценцией одиночного пузырька (много соответствующих ссылок можно найти в обзорах [14, 15]). Эти расчеты показывают, что пузырек испытывает сильно-нелинейные колебания, причем на один период поля приходится несколько колебаний пузырька. В фазе расширения размеры пузырька относительно медленно увеличиваются, а дальше происходит последовательность чрезвычайно быстрых его схлопываний и “отскоков” на одном периоде поля с затухающей амплитудой. Такие колебательные процессы неоднократно наблюдались и в экспериментах по сонолюминесценции [14, 15 , 27]. В процессе быстрого коллапса пузырька скорость движения его стенки становится достаточно быстрой для того, чтобы тепло больше не покидало пузырек, а показатель политропы достиг адиабатического значения [15, 28 ]. Поэтому при сильно-нелинейных колебаниях пузырька, когда он совершает несколько быстрых схлопываний, в первом приближении можно считать состояние газа в нем адиабатическим.

В рассматриваемой задаче нас интересует характер изменения радиационной силы от величины акустического поля при переходе от слабых к сильно-нелинейным колебаниям пузырька. Для нахождения радиационной силы необходимо численно решать нелинейную систему (3)–(4). С этой целью уравнение (4) было приведено к безразмерному виду с новыми переменными: временем τ, нормированным на период акустического поля, и радиусом r, нормированным на начальный радиус пузырька R₀, после чего решалось численно в среде MathLab. Результаты расчетов использовались для вычисления значения радиационной силы в зависимости от величины акустического поля.

В качестве примера на рис. 1 приведены результаты расчета изменения радиуса пузырька во времени при сильно-нелинейных колебаниях. График построен при следующих параметрах (при T = 20°C): P₀ = 10⁵ Па, σ = 72.86 × 10^–3 Н/м, γ = 1.4, R₀ = 1 мкм, ρ = 1000 кг/м³, η = 8.6 × 10^–4 Па с, ω₀ = 2.05 × 10⁷ рад/с (≈3.3 МГц), ω₀/ω = 45, ω = = 4.55 × 10⁵ рад/с (f ≈ 70 кГц), P_a/P₀ = 1.3.

Из рис. 1 видно, что пузырек испытывает сильно-нелинейные колебания, причем на один период поля приходится несколько колебаний пузырька. Размеры пузырька относительно медленно увеличиваются в фазе расширения, а дальше происходит последовательность быстрых его схлопываний с затухающей амплитудой. На основе серии таких расчетов были получены зависимости максимальной величины радиационной силы от амплитуды акустического поля, одна из которых показана на рис. 2. Интересно сравнить результаты численных расчетов с аналитической формулой (4), предсказывающей квадратичную зависимость силы от амплитуды поля. На рис. 2 приведены результаты такого сравнения. Сплошной линией отмечен график, полученный в результате численных расчетов, а точками – на основе формулы (7). Величина радиационной силы выражена в ньютонах.

Из рис. 2 видно, что расчеты по формуле (7) совпадают с результатами расчетов до амплитуд поля P_a/P₀ ≈ 0.2–0.3. При превышении этого значения колебания пузырька становятся все более нелинейными, что проявляется в более сильной зависимости радиационной силы от амплитуды поля. В интервале значений P_a/P₀ ≈ 1.2–1.6 эта зависимость подчиняется примерно четвертой степени амплитуды поля, а при больших значениях величина степени также растет. Аналогичные зависимости были получены для пузырьков с радиусами R₀ в диапазоне до 10 мкм. Полученные данные показывают, что при значительных амплитудах поля, которые вызывают сильно-нелинейные колебания пузырьков, величина радиационной силы, действующей на них, растет значительно быстрее (~$P_{a}^{m}$, m > 4), чем для линейных колебаний пузырьков (~$P_{a}^{2}$).

ДВИЖЕНИЕ ПУЗЫРЬКОВ В ПРОТОЧНОМ РЕЗОНАТОРЕ

Рассмотрим действие радиационной силы на пузырьки в акустическом резонаторе, в котором задан поток жидкости вдоль оси вертикально ориентированного резонатора. Сначала рассмотрим случай относительно слабого акустического поля в резонаторе, когда колебания пузырька можно считать линейными.

На движущийся в потоке жидкости пузырек действуeт сила вязкого трения (сила Стокса) F_st. Пузырек имеет свободную поверхность и его обтекание жидкостью в отличие от твердой сферы происходит без эффекта прилипания. Однако такое обтекание возможно лишь в чистой жидкости. В реальных жидкостях, содержащих растворимые примеси, а также для маленьких пузырьков, поверхностное натяжение в которых создает своеобразную оболочку, обтекание может приближаться к обтеканию твердой сферы [29]. Используя это приближение, запишем силу Стокса для пузырька

где ${{v}_{b}}$ – скорость пузырька, V – скорость потока жидкости, η – коэффициент динамической вязкости, R₀ – радиус пузырька. Сила Архимеда имеет вид: где g – ускорение свободного падения.

Для маленьких пузырьков (ω $ \ll $ ω₀) радиационная сила F_r в поле стоячей волны в проточном резонаторе, описываемая формулой (6), приобретает вид:

При этом мы не учитываем влияние потока на расфазировку резонатора, считая скорость потока достаточно маленькой. Это можно делать при выполнении условия $kL\left( {\frac{V}{c}} \right) \ll \pi $, где L – длина резонатора.

Действие вязкости быстро приводит к установлению равномерного движения частицы в жидкости, при котором сумма сил равна нулю. Поэтому движение пузырьков в резонаторе с пространственно-изменяющейся радиационной силой можно рассматривать, как квазиравномерное. Подставив выражения для сил, после преобразований получим уравнение для координаты пузырька ${{x}_{b}}\left( t \right)$ [18]:

где

Решение уравнения (11) для зависимости координаты пузырька от времени удается получить аналитически:

где $h = \frac{A}{{b\left( {1 - qV} \right)}}$, $q = \frac{a}{b}$.

Выражение (12) описывает неравномерное движение пузырька в проточном резонаторе. Такая ситуация имеет место, если сумма сил Стокса и Архимеда превышает максимальное значение радиационной силы. В обратном случае возможна левитация пузырьков в соответствующих зонах стоячей волны. Прохождение пузырьком узлов и пучностей стоячей волны приводит к изменению радиационной силы, под действием которой меняется скорость квазиравномерного движения пузырька. Если в начальное сечение резонатора последовательно запускаются пузырьки, то их концентрация будет также иметь периодическое распределение.

Если в резонаторе возбуждены определенные поперечные моды, то радиационная сила будет вызывать перемещение пузырьков и в поперечном направлении: маленькие пузырьки, размер которых меньше резонансного для частоты волны, будут смещаться в область максимума поля, а большие – выталкиваться из нее.

Выражение (12) описывает движение пузырьков в резонаторе с относительно слабым акустическим полем, для которого радиационная сила дается формулой (6). Для описания движения пузырьков в сильном поле резонатора необходимо использовать численные методы. В этом случае полная система уравнений выглядит следующим образом:

Здесь, как и прежде, угловые скобки означают усреднение по периоду акустического поля.

Пример решения системы (13)–(15) для зависимости координаты ${{x}_{b}}\left( t \right)~$ пузырька от времени и изменения его скорости вдоль резонатора приведен на рис. 3 (R₀ = 1 мкм, V = 1 см/с, f = 70 кГц, P_a/P₀ ≈ 1.8).

Из данных на рис. 3 видно, что в процессе движения пузырька в резонаторе скорость его периодически очень значительно изменяется под действием радиационной силы. Если в резонатор вместе с потоком жидкости последовательно поступает много пузырьков, то расстояние между ними, а следовательно, и их концентрация, неравномерно распределены вдоль оси резонатора. Распределение концентрации в относительных единицах, полученное для тех же параметров, что и на рис. 3, приведено на рис. 4.

Видно, что в сильных акустических полях распределение концентрации пузырьков в резонаторе подвержено значительной пространственной модуляции. Следует отметить, что поскольку радиационная сила меняет знак для больших пузырьков (ω > ω₀), то зоны их повышенной концентрации в резонаторе будут смещены в область минимальной концентрации маленьких пузырьков. Таким образом, проточный резонатор является своеобразным фильтром пузырьков, с помощью которого можно осуществлять их селекцию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проанализировано движение пузырьков в проточном акустическом резонаторе в полях различной амплитуды. Неравномерное распределение радиационной силы, действующей на пузырьки, обуславливает неравномерное движение и как следствие неравномерное распределение концентрации пузырьков вдоль оси резонатора. Величина радиационной силы в слабых полях пропорциональна квадрату амплитуды поля, а в сильных полях степень превышает 4. Это способствует более “резкому” пространственному распределению концентрации пузырьков в резонаторе. Создавая акустическое поле необходимой конфигурации, можно управлять распределением концентрации пузырьков разных размеров в проточных акустических системах. Рассмотренные эффекты могут также быть полезными для управления потоками пульсирующих малых частиц (частиц с мягкими включениями), в частности, некоторых биологических клеток.

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (государственное задание № 0729-2020-0040). Авторы благодарны рецензенту за полезные замечания.