1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Акустический журнал
  4. T. 69, № 1, 2023

Акустический журнал, 2023, T. 69, № 1, стр. 3-6

Обращение волнового фронта звуковых пучков в пьезополупроводниках в переменном магнитном поле

А. Ф. Бункин a, В. Г. Михалевич a, *, В. Н. Стрельцов a

a Институт общей физики им. А.М. Прохорова Российской академии наук
119991 Москва, ГСП-1, ул. Вавилова 38, Россия

* E-mail: slava.mikhalevich@yandex.ru

Поступила в редакцию 26.05.2022
После доработки 06.07.2022
Принята к публикации 22.09.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрено распространение линейно поляризованной поперечной звуковой волны в полупроводниковом слое с определенной кристаллографической структурой при достаточно высокой концентрации электронов проводимости. Полупроводниковый слой находится в пространственно однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно плоскости падения звуковой волны и модулированном со звуковой частотой. Связь плазменной подсистемы с акустическими колебаниями в слое реализуется за счет внутреннего пьезоэлектрического поля. Показано, что распространение звукового пучка в этих условиях сопровождается возникновением встречной звуковой волны с обращенным волновым фронтом. Найден коэффициент преобразования прямой и обращенной волн.

Ключевые слова: обращение волнового фронта, фонон-плазмонное взаимодействие пьезоэлектричество

ВВЕДЕНИЕ

Проблема взаимодействия электрокинетических волн в полупроводниках с коллективными модами другой физической природы остается актуальной на протяжении последних сорока лет. Это связано как с общефизическим интересом, в частности, с перенормировкой параметров возбуждений в твердом теле, так и с возможностью практического использования таких связанных подсистем. Отметим, например, усиление звука в условиях дрейфа электронно-дырочной полупроводниковой плазмы во внешних электрических полях [1–5].

К настоящему времени в публикациях рассмотрены многие аспекты поведения акустических волн при воздействии на среду электромагнитного поля. Одним из ярких наблюдаемых эффектов при таком воздействии является возникновение отраженных волн с обращенным волновым фронтом [6–8]. Интерес, в частности, представляет распространение звука в пьезополупроводниках, в силу возможностей воздействия на их электронную подсистему как самой акустической волной, так и внешними полями, что, в свою очередь, влияет на распространение звука и приводит к самовоздействию звуковых волн. Активно развиваются прикладные аспекты указанных явлений, основанные на модуляции процессов возбуждения и рекомбинации зарядов, транспорта носителей тока в полупроводниках, что составляет основу пьезотроники и пьезофотоники [9].

В работах [10–14] была изучена возможность обращения волнового фронта звуковых пучков при фонон-плазмонном взаимодействии в пьезополупроводниках или на деформационном потенциале при периодической пространственно-однородной лазерной засветке образца. Такая засветка при небольших временах продольной межзонной релаксации приводит к эффективной временной модуляции плотности свободных электронов в системе и, тем самым, модуляции перенормированной скорости звука в образце. Распространение звуковой волны в таком слое будет сопровождаться генерацией встречной обращенной волны. В определенном диапазоне параметров твердотельной плазмы обращенная волна будет испытывать усиление.

В настоящей работе исследуется фонон-плазмонное взаимодействие поперечной звуковой волны в полупроводниковом слое во внешнем магнитном поле звуковой частоты. Показано, что для полупроводников определенных кристаллографических классов и взаимной ориентации осей кристалла, волнового вектора падающей звуковой волны и направления магнитного поля в системе будет иметь место генерация встречной акустической волны. Определен коэффициент преобразования звуковой волны в обращенную для различных параметров плазменных и акустических коллективных возбуждений в среде.

Рассмотрим бесконечный по координатам x, y полупроводниковый пьезо-слой толщины l ($0 \leqslant z \leqslant l)$, на который вдоль этой оси падает линейно поляризованная по оси x акустическая волна, описываемая смещением

${{U}_{{{\text{inc}}}}} = \frac{1}{2}{{U}^{ + }}(z,t){{e}^{{ - i(\omega t - kz)}}} + c.c.$

Будем считать, что пьезоактивный кристалл полупроводника обладает кубической осью симметрии, причем ось z совпадает с осью [011], ось х соответствует при этом [100]. Такая геометрия применима к различным полупроводникам, например, к арсениду галлия и фосфиду галлия [15].

В этих условиях для тензора механических напряжений и вектора электромагнитной индукции будем иметь [1]:

$\begin{gathered} {{\sigma }_{{xz}}} = C\frac{{\partial {{U}_{x}}}}{{\partial z}} - \bar {e}{{E}_{z}}, \\ {{D}_{z}} = \varepsilon {{E}_{z}} + 4\pi \bar {e}\frac{{\partial {{U}_{x}}}}{{\partial z}}, \\ \end{gathered} $
где $C$ и $\bar {e}$ – модуль упругости и пьезомодуль, отвечающие выбранной геометрии; ${{\varepsilon }}$ – диэлектрическая проницаемость образца, изотропная для рассматриваемой симметрии. Слой находится в пространственно однородном переменном магнитном поле звуковой частоты ${{\omega }}$, направленном вдоль оси у ${{B}_{y}} = B\cos {{\omega }}t$.

Далее без существенного ограничения общности будем считать полупроводник невырожденным, массы ${{m}_{e}}$ свободных электронов и дырок скалярными. При этом для простоты будем предполагать, что эффективные массы дырок намного превосходят массы электронов, так что можно считать твердотельную плазму электронной.

В длинноволновом приближении для плазменной подсистемы можно использовать гидродинамическое описание, причем для звуковых частот индуцированное внутриплазменное электрическое поле можно считать статическим.

Далее будем считать, что темновая концентрация электронов в зоне проводимости достаточно велика, а время продольной релаксации (в случае преимущественной оптической генерации элетронно-дырочной плазмы) превосходит период акустических колебаний.

В пренебрежении диффузией электронов можно записать уравнение для нулевых моментов плотности свободных электронов:

(1)
$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} + N\frac{{\partial {{V}_{z}}}}{{\partial z}} = 0,$
где $N$, $n$ – равновесная плотность и девиация плотности плазмы во внешних полях соответственно. Для средней скорости свободных электронов ${\mathbf{V}}$ имеем:
(2)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial {{V}_{z}}}}{{\partial t}} + \nu {{V}_{z}} = - \frac{e}{m}{{E}_{z}} - \frac{e}{{mc}}{{V}_{x}}(z,t)B\cos \omega t, \hfill \\ \frac{{\partial {{V}_{x}}}}{{\partial t}} + \nu {{V}_{x}} = \frac{e}{{mc}}{{V}_{z}}(z,t)B\cos \omega t, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где ${{\nu }}$ – частота столкновений электронов с изменением импульса, $m$ = ${{m}_{e}}$. Отметим, что в обычных условиях ${{\nu }} \gg {{\omega }}$, так что при звуковых частотах для скорости электронов (см. далее) членами с временной производной в (2) можно пренебречь и система (2) редуцируется в алгебраическую. В системе уравнений (2) опущен член, отвечающий второму моменту функции распределения для электронов проводимости. Для максвелловской электронной плазмы при обычных частотах столкновений этот момент определяется газокинетическим давлением $p = nKT$. Как будет показано апостериори, в реальных условиях этот член пренебрежимо мал по сравнению с оставленными. К уравнениям (1), (2) должны быть добавлены уравнения Максвелла для внутриплазменного индуцированного поля ${{E}_{z}} = E$ и уравнение теории упругости для акустической волны (далее будем рассматривать лишь вынужденные плазменные колебания):

(3)
$\begin{gathered} \varepsilon \frac{{\partial E}}{{\partial z}} + 4\pi \bar {e}\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - 4\pi en, \\ \rho \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} = C\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \bar {e}\frac{{\partial E}}{{\partial z}}. \\ \end{gathered} $

Здесь $\rho $ – плотность пьезоэлектрика.

Связь акустической и плазменной подсистем определяется малым коэффициентом электромеханической связи. Таким образом, акустические смещения $U$ в системе можно представить в виде:

$U = \frac{1}{2}{{U}^{ + }}{{e}^{{ - i(\omega t - kz)}}} + \frac{1}{2}{{U}^{ - }}{{e}^{{ - i(\omega t + kz)}}} + c.c.,$
где ${{U}^{ \pm }}$ – медленно меняющиеся амплитуды.

Далее нас будет интересовать стационарный режим обращения волнового фронта, так что

${{U}^{ \pm }} = {{U}^{ \pm }}(z),\,\,\,\,\frac{{d{{U}^{ \pm }}}}{{dz}} \ll k{{U}^{ \pm }},\,\,\,\,k = \frac{{{\omega }}}{{{{V}_{s}}}},$
${{V}_{s}}$ – скорость звука в обращающем слое в отсутствие электрон-фононного взаимодействия.

Аналогичным образом можно представить и другие переменные, причем с достаточной степенью точности связь динамических переменных плазменной подсистемы можно считать локальной. Окончательно получаем замкнутую систему алгебраических и дифференциальных уравнений, описывающую общую динамику фонон-плазмонного взаимодействия в системе.

Отметим также, что коэффициент параметрического преобразования медленных амплитуд встречных волн (см. далее) определяется отношением $\frac{{\Omega _{c}^{2}}}{{{{\nu }}_{{}}^{2}}}$, где ${{\Omega }_{c}} = \frac{{\left| e \right|B}}{{mc}}$ – циклотронная частота электрона, и при типичных параметрах полупроводниковой плазмы мал.

С учетом сказанного, для напряженности индуцированного внутриплазменного электрического поля и амплитуд акустического смещения получаем:

(4)
$\begin{gathered} - \frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}\frac{1}{4}{{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{\nu }} \right)}^{2}}{{E}^{ + }} + \left( {i\varepsilon + \frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right){{E}^{{ - * }}} = 4\pi \bar {e}k{{U}^{{ - * }}}, \\ \left( {i\varepsilon - \frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right){{E}^{ + }} + \frac{1}{4}\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}{{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{\nu }} \right)}^{2}}{{E}^{{ - * }}} = 4\pi \bar {e}k{{U}^{ + }}, \\ \frac{{d{{U}^{ + }}}}{{dz}} = \frac{{4\pi \bar {e}k}}{{2\rho V_{s}^{2}\left[ {{{\varepsilon }^{{^{2}}}} + {{{\left( {\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right)}}^{2}}} \right]}} \times \\ \times \,\,\left[ { - \left( {i\varepsilon + \frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right){{U}^{ + }} + \frac{1}{4}\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}{{{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{\nu }} \right)}}^{2}}{{U}^{{ - * }}}} \right], \\ \frac{{d{{U}^{{ - * }}}}}{{dz}} = - \frac{{4\pi \bar {e}k}}{{2\rho V_{s}^{2}\left[ {{{\varepsilon }^{{^{2}}}} + {{{\left( {\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right)}}^{2}}} \right]}} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {i\varepsilon - \frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right){{U}^{{ - * }}} + \frac{1}{4}\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}{{{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{\nu }} \right)}}^{2}}{{U}^{ + }}} \right], \\ \end{gathered} $
где ${{\omega }}_{n}^{2} = \frac{{4\pi N{{e}^{2}}}}{m}$ – плазменная частота.

Как следует из (4), фонон-плазмонное взаимодействие приводит при отсутствии магнитного поля (${{\Omega }_{s}}$ = 0), как и следовало ожидать, к обычному затуханию акустических волн и дополнительной акустической дисперсии в системе, а при наличии переменного поля – к параметрическому взаимодействию прямой и встречной сопряженной акустической волн. Устраняя дисперсионный набег фаз заменой

${{U}^{ + }} = {{\tilde {U}}^{ + }}\exp \left( { - i\frac{{4\pi \bar {e}k}}{{2\rho V_{s}^{2}\left[ {{{\varepsilon }^{{^{2}}}} + {{{\left( {\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right)}}^{2}}} \right]}}} \right)$
и такой же заменой для ${{U}^{{ - * }}}$, окончательно имеем

(5)
$\begin{gathered} \frac{{d{{{\tilde {U}}}^{{ - * }}}}}{{d\xi }} = - \frac{1}{4}{{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{\nu }} \right)}^{2}}{{{\tilde {U}}}^{ + }} + {{{\tilde {U}}}^{{ - * }}}, \\ \frac{{d{{{\tilde {U}}}^{ + }}}}{{d\xi }} = - {{{\tilde {U}}}^{ + }} + \frac{1}{4}{{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{\nu }} \right)}^{2}}{{{\tilde {U}}}^{{ - * }}}. \\ \end{gathered} $

Здесь

${{\xi }} = 2k\frac{{\pi {{q}^{2}}}}{{{{\varepsilon }^{2}} + {{{\left( {\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}} \right)}}^{2}}}}\frac{{\omega _{n}^{2}}}{{\nu \omega }}z$
– безразмерная координата, $q = \sqrt {\frac{{{{{\bar {e}}}^{2}}}}{{{{\rho }}V_{s}^{2}}}} $ – коэффициент электромеханической связи в пьезоэлектрике. Без существенного ограничения общности во избежание громоздкости далее будем предполагать, что акустические импедансы обращающего слоя и окружающей среды в отсутствие магнитного поля совпадают. Тогда граничные условия для (5) имеют очевидный вид:
(6)
${{\tilde {U}}^{ + }}(0) = {{U}_{0}},\,\,\,\,{{\tilde {U}}^{{ - * }}}(L) = 0,$
где ${{U}_{0}}$ – амплитуда падающей звуковой волны на входе пьезоэлектрического слоя, $L$– безразмерная толщина слоя. Решение (5), (6) тривиально и дает для выходной амплитуды встречной обращенной волны ${{U}^{ - }}(0)$:
(7)
${{U}^{ - }}(0) = \frac{1}{8}\eta \left( {{{e}^{{ - 2L}}} - 1} \right)U_{0}^{ * },$
где $\eta = {{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{{{\nu }}}} \right)}^{2}}$.

Таким образом, распространение падающей акустической волны в слое сопровождается генерацией встречной обращенной волны ${{U}^{ - }}(0)$ ~ $U_{0}^{ * }$. Коэффициент преобразования прямой и обращенной волн по амплитуде монотонно растет, как и следовало ожидать, с ростом толщины обращающего слоя, достигая при $L > 1$ значения $\frac{1}{8}{{\left( {\frac{{{{\Omega }_{c}}}}{{{\nu }}}} \right)}^{2}}$. При $L \to 0$ коэффициент преобразования также стремится к нулю.

Полученные результаты позволяют оценить опущенный в (2) член, отвечающий максвелловскому давлению в электронном газе. Условие пренебрежимости этим членом имеет вид:

(8)
$\frac{{KT}}{m}\frac{{\nabla {{n}^{ + }}}}{n} < \frac{e}{m}{{E}^{ + }}.$

Девиация плотности ${{n}^{ + }}$ определяется из уравнения (1). Окончательно для требуемого условия (8) имеем $\frac{{KT}}{m}\frac{{{\omega }}}{{V_{s}^{2}\nu }} \ll 1$, что для обычных параметров полупроводниковой плазмы выполняется с большим запасом.

Таким образом, пьезополупроводниковый слой в переменном магнитном поле обеспечивает в определенной области параметров акустической волны и полупроводниковой плазмы обращение волнового фронта звуковых пучков. При этом коэффициент преобразования пропорционален квадрату напряженности модулирующего магнитного поля.

Работа поддержана грантом РФФИ № 20-02-00172.

Список литературы

  1. Мэзон У. Пьэзоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. М.: Иностр. Лит., 1952. 320 с.

  2. Szeftel J., Huang G. Study of an acoustoelectric instability in piezoelectric semiconductors // Int. J. Modern Physics B. 2007. V. 21. № 23. P. 4201–4211.

  3. Willatzen M., Christensen J. Acoustic gain in piezoelectric semiconductors at e-near-zero response // Phys. Rev. B. 2014. V. 89. P. 041201-1-04201-5.

  4. Gokhale V.J., Rais-Zade M. Phonon-electron interactions in piezoelectric semicondactors bulk acoustic wave resonators // Scientific Reports. 2014. V. 4. P. 1–10.

  5. Ghost S., Muley A., Acousto-electric interaction in magnetized piezoelectric semiconductor quantum plasma // Acta Physica Polonica A. 2016. V. 130. № 6. P. 1401–1405.

  6. Брысев А.П., Крутянский Л.М., Преображенский В.Л. Обращение волнового фронта ультразвуковых пучков // Успехи физ. наук. 1998. Т. 168. С. 877–890.

  7. Преображенский В.Л. Волны с параметрически обращенным фронтом: применение в нелинейной акустоскопии и диагностике // Успехи физ. наук. 2006. Т. 176. С. 108–112.

  8. Preobrazhensky V.L., Aleshin V.V., Pernod P. Resonance of Feshbach-type and explosive instability of magnetoelastic waves in solids // Wave Motion. 2018. V. 81. P. 15–24.

  9. Wang Z.L. and Wu W. Piezotronics and piezo-photonics: fundamentals and applications // National Sci. Rev. 2014. V. 1. № 1. P. 62–90.

  10. Стрельцов В.Н. Оптико-акустическое взаимодействие в полупроводниках и ОВФ звуковых пучков // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. № 10. С. 2144–2146.

  11. Брысев А.П., Стрельцов В.Н. Оптоакустическое взаимодействие и обращение волнового фронта звуковых пучков в пьезополупроводниках // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 4. С. 564–566.

  12. Брысев А.П., Стрельцов В.Н. Об обращении волнового фронта звуковых пучков в переменном магнитном поле // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 5. С. 658–661.

  13. Ohno M., Yamomoto K., Kokubo A., Sakai K., Takagi K. Acoustic phase conjugation by nonlinear piezoelectricity. I. Principle and basic experiments // J. Acoust. Soc. Am. 1999. V. 106. № 3. Pt. 1. P. 1330–1338.

  14. Mikhalevich V.G., Streltsov V.N. Phase conjugation of sound in semiconductors under an AC magnetic field // Physics of Wave Phenomena. 2014. V. 22. № 1. P. 49–51.

  15. Васильев В.С., Каневский И.Н. Ультразвуковые методы исследования пьезоэлектрических полупроводниковых материалов // Акуст. журн. 1970. Т. 16. № 2. С. 169–191.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Акустический журнал

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал