Акустический журнал, 2022, T. 68, № 4, стр. 449-453

Распространение звука в волноводах с податливыми стенками изучается теоретически и экспериментально уже много десятилетий [1–5]. Во многих практических задачах требуется снизить звук в канале. Для этого используют локальные препятствия, например, резонаторы, расширительные камеры и т.п., или системы таких препятствий, а также специальные – импедансные – покрытия стенок каналов. В последнем случае известно два механизма, влияющих на распространение звука. Первый связан с поглощением: звуковая энергия диссипируется стенками, если действительная часть их импеданса ненулевая. Реактивный импеданс стенок может обеспечивать запирание канала, например, волноводный изолятор [6] в узкой трубе имеет массовый импеданс в некоторой полосе частот, тогда энергия звука не поглощается, но в канале существуют только неоднородные моды, экспоненциально затухающие вдоль его оси. В общем случае, когда действительная и мнимая части импеданса ненулевые, имеет место комбинация двух механизмов, и рассматривается их совместный эффект, называемый затуханием звука.

Задача оптимизации затухания звука формулируется следующим образом: необходимо подобрать такой импеданс стенок, чтобы постоянная распространения некоторой собственной моды имела максимальное значение. Если в канале возбуждается несколько мод, то, как правило, оптимизируется затухание наименее затухающей моды. Впервые решение задачи оптимизации получено Кремером [3] для плоского канала, одна из стенок которого импедансная, а другая – жесткая. Им найдено значение импеданса, при котором нулевая мода имеет наибольшее затухание. Это значение стали называть импедансом Кремера, а сам подход – методом Кремера. Оптимальный импеданс для всех мод позже найден Тестером [4]. Один из ключевых результатов заключается в том, что оптимальное затухание связано с появлением двойных мод, образованных слиянием двух простых мод при соответствующем подборе импеданса. Затухание двойной моды соответствует максимуму затухания одной из простых мод и локальному минимуму затухания второй моды. Таким образом, суммарное затухание звука оказывается максимальным, хотя затухание второй моды является наиболее неоптимальным. Аналогичные результаты получаются в задачах взаимодействия точечных поглотителей с модами помещений [7, 8] и, по-видимому, имеют общий характер для мультимодальных систем, демпфирование которых осуществляется настройкой собственных мод.

Импеданс Кремера для каналов с потоком существенно зависит от его скорости. Оптимальные импедансы для плоского канала с потоком найдены в [9], для цилиндрического и кольцевого в [10]. В некоторых случаях влияние потока таково [11, 12], что действительная часть оптимального значения импеданса на низких частотах стенок становится отрицательной.

Двойные моды связаны с кратными корнями характеристического уравнения для определения постоянной распространения звуковых волн в каналах [13, 14]. В плоских каналах кратность корня не превышает третьего порядка [15], а в круглых и кольцевых каналах, вообще говоря, может произойти слияние большего числа простых корней и образование мод более высокого порядка [10]. Подобную ситуацию можно ожидать в канале произвольного сечения конечных размеров. В настоящей работе исследуется один из простейших случаев – канал с прямоугольным сечением. Известно [16], что решение волнового уравнения для такого волновода является произведением трех функций, каждая из которых зависит от одной координаты, что позволяет применить известное решение для плоского канала с импедансными стенками. При этом кратность корней характеристического уравнения для канала с одинаковыми стенками не превышает двух, но наличие двух характеристических уравнений для направлений, перпендикулярных оси волновода, дает возможность слияния более чем двух простых мод и нахождения оптимального импедансa стенок для этого случая.

Рассмотрим канал прямоугольного сечения. Ось z декартовой системы координат совпадает с осью канала, оси x и y перпендикулярны его стенкам. Вдоль осей x и y размеры сечения составляют $h$ и $d = {{\gamma }}h$, для определенности примем ${{\gamma }} \leqslant 1$. Акустические характеристики стенок зададим локально реагирующим импедансом Z, нормированным на волновое сопротивление среды $\rho с$, где $\rho ,~с$ – плотность среды и скорость звука в ней.

Согласно [17] поле звукового давления в канале может быть представлено в виде суперпозиции волновых мод, распространяющихся вдоль оси z,

где $k = {{{\omega }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\omega }} c}} \right. \kern-0em} c}$, ${{\omega }}$ – круговая частота, ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( x \right) = {\text{ch}}x$ при $n = 0,2,4, \ldots $, ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( x \right) = {\text{sh}}x$ при $n = 1,3,5, \ldots $,

Временной множитель ${{e}^{{ - i{{\omega }}t}}}$, t – время, здесь и далее опускаем. При $n = 0,2,4, \ldots $ значения ${{\xi }_{n}}$ и ${{\kappa }_{n}}$ являются корнями уравнений

а при $n = 1,3,5, \ldots $ корнями уравнений

Задача оптимизации затухания некоторой моды $\left( {n,m} \right)$ заключается в поиске такого импеданса стенок канала Z, чтобы коэффициент затухания моды ${{{{\delta }}}_{{nm}}} = {\text{Im\;}}{{{{\tau }}}_{{nm}}}$ был максимальным. Это происходит, когда уравнения (3) и (4) имеют двойные корни [3]. Появление таких корней рассмотрим на примере функций, очевидным образом связанных с уравнениями (3) и (4),

Пусть ${{{{\alpha }}}_{n}}$ – корень уравнения $f\left( {{{\alpha }},a} \right) = 0$, если $n = 0,2,4, \ldots $, и корень уравнения $g\left( {{{\alpha }},a} \right) = 0$, если $n = 1,3,4, \ldots $ При некотором значении a два корня ${{{{\alpha }}}_{n}}$ и ${{{{\alpha }}}_{{n{\kern 1pt} '}}}$, $n \ne n{\kern 1pt} '$, могут иметь одинаковые значения, для этого производные функций (5) по ${{\alpha }}$ должны обращаться в нуль, т.е.

Обозначим через ${{{{\tilde {\alpha }}}}_{n}}$ корни уравнений (6) и пронумеруем их, начиная с $n = 0$ в порядке возрастания действительной части. Двойные корни ${{{{\tilde {\alpha }}}}_{n}}$ и соответствующие значения параметра ${{a}_{n}}$ могут быть найдены численным способом. Приведем значения для двух первых корней

Далее значения ${{\tilde {\alpha }}_{n}}$ и ${{a}_{n}}$ полагаем известными.

На рис. 1 представлен расчет первых пяти корней ${{{{\alpha }}}_{n}}$ в зависимости от параметра $a = a{\kern 1pt} '\,\, + ia{\kern 1pt} ''$. При этом $a{\kern 1pt} '$ изменяется от нуля до бесконечности, a мнимая часть параметра остается неизменной и равной $a{\kern 1pt} '' = {\text{Im\;}}{{a}_{0}}$ на рис. 1а и $a{\kern 1pt} '' = {\text{Im\;}}{{a}_{1}}$ на рис. 1б. Проколотые точки указывают начало ветвей ${{{{\alpha }}}_{n}}$, стрелки – направление движения корня ${{{{\alpha }}}_{n}}$ по кривой с увеличением $a{\kern 1pt} '$, сплошные точки соответствуют пределу $a{\kern 1pt} ' \to \infty $, т.е. предельному переходу к каналу с абсолютно жесткими стенками. В этому случае ${{{{\alpha }}}_{n}} \to i{{\pi }}n$, поэтому нумерация корней ${{{{\alpha }}}_{n}}$, а также корней ${{{{\xi }}}_{n}}$ и ${{\kappa }_{n}}$ при решении (3) и (4), производится в порядке возрастания абсолютных значений корней, получаемых при предельном переходе $a{\kern 1pt} ' \to \infty $ или $Z \to \infty $.

Ветви ${{{{\alpha }}}_{0}}$ и ${{{{\alpha }}}_{2}}$ имеют общую точку ${{{{\tilde {\alpha }}}}_{0}}$ при $a = {{a}_{0}}$ (рис. 1а), соответствующие им моды называют двойными. Ветви ${{{{\alpha }}}_{1}}$ и ${{{{\alpha }}}_{3}}$ также имеют общую точку ${{{{\tilde {\alpha }}}}_{1}}$ при $a = {{a}_{1}}$ (рис. 1б). Уравнение (5) соответствует плоскому каналу шириной h и импедансом стенок Z, при этом $a = {Z \mathord{\left/ {\vphantom {Z {kh}}} \right. \kern-0em} {kh}}$. Из (6) следует, что двойными могут быть ближайшие симметричные ($n = 0,2,4, \ldots $) или антисиметричные ($n = 1,3,5, \ldots $) моды, т.е. при оптимальном подборе импеданса

моды $n$ и $n + 2$ имеют максимально возможный коэффициент затухания. Отметим, что в плоском канале, одна стенка которого является импедансной, а другая – жесткой, справедливо только уравнение $f\left( {{{\alpha }},a} \right) = 0$, поэтому двойными являются соседние моды $n$ и $n + 1$ [4].

В прямоугольном канале значения параметров ${{\xi }_{n}}$ и ${{\kappa }_{n}}$ определяются независимо друг от друга по уравнениям (3) и (4), поэтому результаты, полученные при исследовании уравнений (5), можно сразу применить для ${{\xi }_{n}}$ и ${{\kappa }_{n}}$. Двойные корни равны ${{\tilde {\xi }}_{n}} = {{\tilde {\kappa }}_{n}} = {{\tilde {\alpha }}_{n}}$, при этом корень ${{\tilde {\xi }}_{n}}$ имеет место при импедансе ${{Z}_{n}} = {{a}_{n}}kh$, а корень ${{\tilde {\kappa }}_{n}}$ – при импедансе ${{Z}_{n}} = {{a}_{n}}kd$. Очевидно, что два некоторых двойных корня ${{\tilde {\xi }}_{n}}$ и ${{\tilde {\kappa }}_{m}}$ могут быть равны, если стенки канала имеют разный импеданс. Пусть импеданс стенок, перпендикулярных оси x, равен X, а импеданс стенок, перпендикулярных оси y, равен Y. Тогда, заменив Z в уравнениях (3) и (4) на X и Y, находим оптимальные импедансы стенок

при которых ${{\tilde {\xi }}_{n}} = {{\tilde {\kappa }}_{m}}$. В этом случае четыре корня уравнений (3) и (4) оказываются равными ${{\xi }_{n}} = {{\xi }_{{n + 2}}} = {{\kappa }_{m}} = {{\kappa }_{{m + 2}}}$, поэтому согласно (2) постоянные распространения вдоль канала ${{{{\tau }}}_{{nm}}}$ четырех мод $\left( {n,m} \right)$, $\left( {n + 2,m} \right)$, $\left( {n + 2,m} \right)$, $\left( {n + 2,m + 2} \right)$ также равны между собой. Более того, эти моды имеют одинаковое распределение звукового давления (1) в канале, поэтому неотличимы друг от друга. Таким образом, при оптимальном подборе импедансов (7) для максимального затухания некоторой моды $\left( {n,m} \right)$ образуется четверная мода, коэффициент затухания которой равен

Отсюда следует, что с увеличением номера моды максимальный коэффициент затухания (8) увеличивается, поэтому, как правило, наименее затухающей является нулевая мода $\left( {0,0} \right)$. На рис. 2 приведены коэффициенты затухания четверных мод $\left( {0,0} \right)$ и $\left( {1,1} \right)$ в зависимости от ширины канала $kh$ и соотношения сторон $\gamma = {d \mathord{\left/ {\vphantom {d h}} \right. \kern-0em} h}$, где видно, что с уменьшением одного из поперечных размеров канала коэффициент затухания увеличивается. Это также следует из (8): если $d \ll h$, то значение ${{{{\tilde {\delta }}}}_{{nm}}}$ определяется, главным образом, третьим слагаемым в подкоренном выражении, составляет ${{{{\tilde {\delta }}}}_{{nm}}} \approx {{{\text{Im}}{{{{{\tilde {\alpha }}}}}_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Im}}{{{{{\tilde {\alpha }}}}}_{m}}} {kd}}} \right. \kern-0em} {kd}}$ и зависит только от меньшего размера.

Последний вывод позволяет найти оптимальный импеданс для моды $\left( {n,m} \right)$ в канале, все стенки которого имеют одинаковый импеданс. В этом случае импеданс подбирается так, чтобы корень ${{\kappa }_{m}}$, определяемый меньшим поперечным размером канала d, был двойным, что приводит к появлению двойной моды $\left( {n,m} \right)$ и $\left( {n,m + 2} \right)$. При оптимальном импедансе $Z = {{a}_{m}}kd$ коэффициент затухания имеет вид

где значение ${{\xi }_{n}}$ находится из уравнений (3) и (4).

Рассмотрим коэффициенты затухания мод при неоптимальном импедансе стенок. Из (7) следует, что для оптимизации затухания нулевой моды импедансы стенок должны быть равны $\tilde {X} = {{a}_{0}}kh,~$ $\tilde {Y} = {{a}_{0}}kd$. Полагая мнимые части X и Y неизменными, введем параметр ${{\varepsilon }}$, характеризующий отличие действительных частей X и Y от оптимальных значений

На рис. 3 приведены коэффициенты затухания мод $\left( {0,0} \right)$, $\left( {2,0} \right)$, $\left( {0,2} \right)$, $\left( {2,2} \right)$ для канала с размерами $kh = 10,$ ${{\gamma }} = 0.5$ в зависимости от ${{\varepsilon }}$. Нулевая мода имеет наименьший коэффициент затухания при любом значении импедансов (10) за исключением оптимального. При ${{\varepsilon }} = 1$ образуется четверная мода, при этом коэффициент затухания мод $\left( {0,0} \right)$ и $\left( {2,0} \right)$ достигает максимального значения.

Аналогичный расчет приведен на рис. 4 для канала квадратного сечения ${{\gamma }} = 1$. В этом случае оптимальные импедансы всех стенок одинаковы $\tilde {X} = \tilde {Y}$, поэтому моды $\left( {2,0} \right)$ и $\left( {0,2} \right)$ оказываются двойными при любом импедансе стенок, хотя это не приводит к оптимизации затухания, поскольку нулевая мода остается наименее затухающей. Коэффициент затухания только нулевой моды достигает максимума при оптимальном импедансе. Отметим, что при определенных размерах канала некоторые моды могут иметь меньший коэффициент затухания, чем коэффициент затухания нулевой моды при оптимальном подборе импедансов $\tilde {X}$ и $\tilde {Y}$ [4].

Таким образом, для оптимизации затухания моды $\left( {n,m} \right)$ в канале прямоугольного сечения необходимо подобрать импеданс его стенок в соответствии с (7), при этом происходит слияние четырех мод. Затухание четверной моды оказывается равным максимальному затуханию менее ослабляемой из четырех простых мод. Если сечение канала вытянутое, то оптимальной импеданс и максимальное затухание определяются меньшим поперечным размером сечения. В этом случае достаточно оптимизировать импеданс только широких стенок, а максимальное затухание будет таким же как в плоском канале [4].