Акустический журнал, 2021, T. 67, № 5, стр. 542-550

ВВЕДЕНИЕ

Представленная работа возникла под влиянием статьи О.А. Година [1], посвященной прохождению низкочастотного звука из воды в воздух. Указанная статья посвящена энергетике процесса прохождения звука из более плотной и жесткой акустической среды в менее плотную и жесткую. В статье [2] представлен обстоятельный анализ выражений [1] и соответствующий графический материал. Наряду с энергетическими соотношениями, отвечающими интегральному вкладу в акустическое поле в воздушной среде источника, помещенного в жидкую среду, интерес представляет направленность такого излучения. В главе 3 монографии [3] имеются выражения для акустического поля для углов, близких к скользящим. Эти выражения описывают поправки к приближению геометрической акустики, учитывающие преобразование поля неоднородных волн в жидкости в звук в воздухе. Практический интерес представляет также поиск выражений для описания поля в воздушной среде в широком диапазоне углов при различном удалении простого или силового источника от границы раздела сред.

Геометрия рассматриваемой задачи представлена на рис. 1. На глубине $z = {{z}_{0}}$ в жидкости размещен источник. Параметры сред ${{\rho }_{j}}$ – плотности, ${{c}_{j}}$ – скорости звука, полные волновые числа в средах ${{k}_{j}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{j}}}}$, где $\omega $ – круговая частота. Индекс “1” отвечает верхней среде (воздух), индекс “2” – нижней (вода). Далее рассматриваются два типа источников: изотропный (простой, монопольный) и источник вертикальной силы. В отсутствие реакции верхней среды, когда граница жидкости является идеальной с граничным условием равенства нулю давления, возникающее на поверхности распределение вертикальной проекции скорости перемещения границы может быть вычислено через введение зеркального отражения источника (мнимого источника) соответствующего знака [4, 5]. При добавлении воздушной среды, волновое сопротивление которой для плоской волны ${{\rho }_{1}}{{c}_{1}}$ примерно на $4$ порядка меньше, чем волновое сопротивление жидкости ${{\rho }_{2}}{{c}_{2}}$, амплитуда зеркального источника приобретает поправку порядка $\frac{{{{\rho }_{1}}{{c}_{1}}}}{{{{\rho }_{2}}{{c}_{2}}}} \ll 1$ (см. также [3]). Малые поправки в поле отраженной волны из-за отличия величины $\frac{{{{\rho }_{1}}{{c}_{1}}}}{{{{\rho }_{2}}{{c}_{2}}}}$ от нуля связаны с особенностями угловой зависимости коэффициента отражения (см., например, [3]).

Для воздушной среды имеется иная ситуация. Податливость границы приводит к появлению распределения вертикальной скорости. При этом высокий импеданс границы по отношению к жидкости приведет к тому, что вторичный источник акустического излучения в воздушную среду представляет собой распределенный монопольный источник на акустически жесткой поверхности. Таким образом, для вычисления поля акустического излучения из воды в воздух необходимо определить параметры простого слоя, а затем воспользоваться формулами Грина для потенциалов (например, интегралом Гюйгенса–Рэлея [6]):

где ${{\tilde {v}}_{z}}({{{\mathbf{R}}}_{1}})$ – вертикальная скорость на поверхности раздела двух сред, вектор ${\mathbf{R}}$ направлен из начала координат (рис. 1) в точку верхней среды, вектор ${{{\mathbf{R}}}_{1}}$ лежит на плоскости границы раздела сред $z = 0$. Запись (1) предполагает наличие зависимости от времени вида $exp( - i\omega t)$. Напомним, что интеграл Гюйгенса–Рэлея справедлив в случае, когда граница плоская и отсутствуют приходящие из бесконечности волны [6]. Очевидно, эти условия выполняются для рассматриваемой нами задачи. Поскольку поле скорости ${{v}_{z}}$ при удалении от источника спадает пропорционально ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{R}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}^{2}}}}$ и быстрее (см. выражения ниже), и при этом осциллирует, интеграл (1) является сходящимся.

Большая разница импедансов двух сред должна привести к тому, что скорость ${{\tilde {v}}_{z}}({{{\mathbf{R}}}_{1}})$ будет слабо зависеть от наличия воздушной среды, которая практически не затормаживает движение границы существенно более плотной жидкости. Следовательно, для вычисления акустического поля в воздушной среде в качестве вторичного источника ${{\tilde {v}}_{z}}({{{\mathbf{R}}}_{1}})$ можно в первом приближении задать распределение вертикальной скорости, полученное для идеальной границы.

Выражение (1) позволяет построить качественную картину формирования поля в воздушной среде при размещении источника в жидкости. В области высоких частот ${{k}_{2}}{{z}_{0}} \gg 1$ радиус первой зоны Френеля создаваемых источником возмущений ${{\tilde {v}}_{z}}({{{\mathbf{R}}}_{1}})$ равен: ${{R}_{{\text{F}}}} = \sqrt {{{z}_{0}}{{{{\lambda }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} $, где ${{\lambda }_{2}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{k}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{2}}}}$ – длина звуковой волны в жидкости, и имеет большие волновые размеры ${{k}_{2}}{{R}_{{\text{F}}}} \gg 1$. Поскольку ${{c}_{1}} < {{c}_{2}}$, волновые размеры первой зоны Френеля относительно длины волны звука в воздухе тем более велики. При этом угол, под которым первая зона Френеля “видна” из точки расположения источника, мал: $\Delta {{\theta }_{{\text{F}}}} \approx {{{{R}_{{\text{F}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{{\text{F}}}}} {{{z}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{z}_{0}}}} \ll 1$, и все источники имеют одинаковые фазы, отвечающие излучению вверх.

Распределению ${{\tilde {v}}_{z}}(r)$ для отличных от нуля углов падения первичной волны отвечает условие синхронизма ${{c}_{2}}sin{{\theta }_{1}} = {{c}_{1}}sin{{\theta }_{2}}$. Соответствующая зона Френеля представляет собой кольцо ширины ${{\sqrt {2{{\lambda }_{2}}R} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {2{{\lambda }_{2}}R} } {co{{s}^{2}}{{\theta }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {co{{s}^{2}}{{\theta }_{2}}}}$, где $R = \sqrt {z_{0}^{2} + {{r}^{2}}} $. Угловой размер зоны Френеля не зависит от угла падения ${{\theta }_{2}}$. Ширина кольца значительно больше длин акустических волн в обеих средах. Лучи, выходящие из источника под ненулевым углом к нормали, показаны на рис. 2. Используя метод стационарной фазы для оценки интеграла Гюйгенса–Рэлея, где ${{\tilde {v}}_{z}}(r)$ отвечает отсутствию верхней среды (${{\rho }_{1}} = 0$), можно показать, что излучение в верхней среде сосредоточено в пределах конуса с углом раскрыва $\left| \theta \right| \leqslant arcsin({{{{c}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{1}}} {{{c}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{2}}}}) \approx 13^\circ $. Никаких других возмущений, затухающих обратно пропорционально расстоянию от источника (от границы раздела сред), в решении не имеется. Таким образом, в области частот ${{k}_{2}}{{z}_{0}} \gg 1$ в полной мере применимы хорошо известные формулы Френеля [5], и расчеты могут быть выполнены в рамках приближения геометрической акустики.

По мере приближения источника к границе раздела (см. выражение (12.42) в [3], а также уравнения (6) и (7), приведенные ниже) множитель вида $exp\left( { - {{k}_{1}}{{z}_{0}}\sqrt {si{{n}^{2}}\theta - {{n}^{2}}} } \right)$, где $n = {{{{c}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{2}}} {{{c}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{1}}}} > 1$, перестает ограничивать излучение в пределах сектора углов $\left| \theta \right| \leqslant arcsin({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n})$. Физически это означает, что на круговой площадке в пределах первой “зоны Френеля”¹¹ укладывается порядка одной длины волны ${{\lambda }_{2}}$. Нетрудно оценить волновой параметр ${{k}_{2}}{{z}_{0}}$, которому отвечает ${{k}_{2}}{{R}_{{\text{F}}}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ или ${{R}_{F}} = {{{{\lambda }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$: ${{z}_{0}} = {{{{\lambda }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{2}}} 8}} \right. \kern-0em} 8}$. Из-за сильного отличия скоростей звука в граничащих средах размер первой зоны Френеля по отношению к длине звуковой волны в воздухе оказывается немалым: ${{k}_{1}}{{R}_{{\text{F}}}} = \pi n \gg 1$. Направленность излучения диска с приблизительно постоянным распределением скорости на его поверхности определяется выражением $2\frac{{{{J}_{1}}({{k}_{1}}{{R}_{{\text{F}}}}sin\theta )}}{{{{k}_{1}}{{R}_{{\text{F}}}}sin\theta }}$ [6]. При условии ${{k}_{1}}{{R}_{{\text{F}}}} \gg 1$ имеет место выраженное направление излучения вверх от поверхности раздела сред, как показано на рис. 2. Для ${{k}_{1}}{{R}_{{\text{F}}}} \sim 1$ выраженная направленность излучения отсутствует. Дальнейшее приближение источника к границе раздела приведет к появлению локализованной области величин ${{\tilde {v}}_{z}}({{{\mathbf{R}}}_{1}})$, существенно отличающихся от нуля вблизи от источника, что отвечает слабой зависимости излучения в воздушную среду от угла ${{\theta }_{1}}$.

Величины скорости колебаний границы в отсутствие сверху воздушной среды (${{\rho }_{1}} = 0$) могут быть вычислены напрямую через поле, создаваемое первичным и зеркальным источниками [5]. Опуская несложные промежуточные выкладки, запишем выражение для скорости колебаний свободной границы (в случае ${{\rho }_{1}} = 0$), которая является оценкой ${{\tilde {v}}_{z}}({{{\mathbf{R}}}_{1}})$ в интеграле Гюйгенса–Рэлея:

где $R = \sqrt {{{r}^{2}} + z_{0}^{2}} $. Выражение (2) отвечает монопольному источнику с объемной скоростью $Q$ в точке ($0,{{z}_{0}}$), выражение (3) – источнику вертикальной силы ${\mathbf{F}} = F{\mathbf{z}}$, помещенному в ту же точку. Амплитуды $v_{z}^{{(0)}}(r)$ вблизи источника спадают обратно пропорционально ${{r}^{3}}$, а в области ${{k}_{2}}r \gg 1$ – осциллируют и спадают обратно пропорционально ${{r}^{2}}$. Такое поведение обеспечивает сходимость интеграла (1). На рис. 3 показаны зависимости (2) и (3). Серые сплошные и штриховые линии отвечают асимптотическим зависимостям от расстояния. Справа представлены зависимости при ${{k}_{2}} = 0$, т.е. отвечающие ближнему полю источников. В этом случае, очевидно, зависимость от волнового параметра ${{k}_{2}}{{z}_{0}}$ отсутствует. Для силового источника при $r = {{z}_{0}}\sqrt 2 $ имеется переход величины $v_{z}^{{(0)}}(r)$ через ноль, хорошо видимый на рис. 3 справа. Переход через ноль связан с тем, что поле силового источника эквивалентно суперпозиции полей двух простых источников равной амплитуды и противоположных знаков, что приводит к равенству нулю интеграла $\int_0^\infty {v_{z}^{{(0)}}} (r)rdr = 0$, где $v_{z}^{{(0)}}(r)$ определено (3). Отметим также пропорциональность $v_{z}^{{(0)}}(r)$ глубине источника в выражении (2), что связано с наличием косинуса угла при определении вертикальной проекции скорости монопольного источника. Поле излучения в воздушной среде также должно иметь угловую зависимость, пропорциональную $cos{{\theta }_{2}}$. В случае векторного силового источника такого множителя нет, поскольку силовой источник ${\mathbf{F}} = F{\mathbf{z}}$ генерирует вертикальные же возмущения скорости в своем ближнем поле. Знаки выражений (2) и (3) отвечают выбору направления оси ${\mathbf{z}}$ (рис. 1).

В пределе ${{k}_{2}}{{z}_{0}} \to 0$ для простого источника распределение ${{\tilde {v}}_{z}}(r)$ в интеграле (1) отвечает простому же источнику производительности $Q$ или эквивалентному источнику с постоянной скоростью $v_{z}^{{(0)}}(r)$, распределенной по площадке радиуса ${{r}_{{{\text{eff}}}}} = {{z}_{0}}\sqrt 2 $. Для силового источника интеграл от распределения $v_{z}^{{(0)}}(r)$ по всей границе, как и следовало ожидать, равен нулю, и вторичный источник представляет собой источник силы, которая равномерно распределена по площадке того же радиуса ${{r}_{{eff}}} = {{z}_{0}}\sqrt 2 $.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Опустим хорошо известные выкладки, использующие стандартный метод сшивки решений в частичных областях (например, [4]), и запишем интегральные представления потенциалов скорости частиц ${\mathbf{v}} = \nabla \varphi $ в воздушной среде для двух типов источников:

где ${{\xi }_{j}} = \sqrt {k_{j}^{2} - {{\varkappa }^{2}}} $, ${{k}_{j}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{j}}}}$ – полное волновое число, $\varkappa $ – радиальная проекция волнового вектора, ${{J}_{0}}( \cdot )$ – функция Бесселя нулевого порядка, ${{H}_{0}}( \cdot )$ – функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, удовлетворяющая условиям излучения для гармонических процессов вида $exp( - i\omega t)$. Контур интегрирования $C$ является стандартным при решении волновых задач, аналогичных рассматриваемой (например, [4, 7, 8]), и показан на рис. 4. Схематично показана одна из двух точек ветвления $\varkappa = {{k}_{{1,2}}}$ и отвечающий ей разрез Римановой поверхности. Точка ветвления $\varkappa = 0$, отвечающая логарифмической особенности функции Ханкеля, не показана.

Давление в воздушной среде вычисляется через потенциал стандартным образом:

Величины $Q$ и $F$ в выражениях (4) и (5) определяют объемную скорость источника и амплитуду силы, направленной по оси ${\mathbf{z}}$. Интегральные представления (4) и (5) справедливы при $z\,\,\leqslant \,\,0$ (рис. 1). Выражения для физических величин в жидкости мы не приводим, поскольку поправки из-за малой величины акустического импеданса верхней среды играют роль малых возмущений.

Интегралы (4) и (5) имеют в знаменателе интегрируемые корневые особенности, связанные с наличием точек ветвления и разрезов на Римановой поверхности. При определении ${{\xi }_{j}}$ в подынтегральных выражениях знак корня ${{\xi }_{j}} = \sqrt {k_{j}^{2} - {{\varkappa }^{2}}} $ выбирается таким образом, чтобы $exp( + i{{\xi }_{2}}z)$ и $exp( - i{{\xi }_{1}}z)$ отвечали убегающим от источника волнам или затухающим возмущениям. Интегралы (4) и (5) можно оценить методом стационарной фазы [9] (случай близости стационарной точки и точки ветвления рассмотрен в [3]), что отвечает значительному удалению источника от границы ${{k}_{2}}{{z}_{0}} \gg 1$. Опуская промежуточные выкладки, запишем конечные выражения с точностью до членов порядка ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 R}} \right. \kern-0em} R}$:

где $m = {{{{\rho }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }_{1}}} {{{\rho }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{2}}}} \ll 1$, $n = {{{{c}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{2}}} {{{c}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{1}}}}$ и $R = \sqrt {{{r}^{2}} + {{z}^{2}}} $.

Как уже отмечалось выше при обсуждении простых качественных соображений, вклад стационарной точки отвечает приближению геометрической акустики при ${{k}_{1}}R \to \infty $. Выражения, аналогичные (6) и (7), с учетом членов порядка ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{R}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}^{2}}}}$ приведены в [3]. Нетрудно видеть, что в случае $m = 0$ выражения (6) и (7) описывают примерно равномерное по амплитуде излучение в пределах сектора углов $\left| {{{\theta }_{1}}} \right|\,\,\leqslant \,\,arcsin\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n}} \right) \approx 13.2^\circ $, а для больших углов наблюдается экспоненциальное ослабление поля тем сильнее, чем больше волновой параметр глубины источника ${{k}_{2}}{{z}_{0}}$. В предельном случае однородной среды $m = n = 1$ выражение (6) описывает изотропное поле простого источника, помещенного в точку с координатами $(0,{{z}_{0}})$. Выражение для силового источника (7) в том же предельном случае приобретает ожидаемый угловой множитель $cos{{\theta }_{1}}$. В случае нормального падения (${{\theta }_{{1,2}}} = 0$) нетрудно показать, что выражения (6) и (7) соответствуют хорошо известным формулам Френеля для коэффициента прохождения волны из одной среды в другую [5]. Такой результат ожидаем, он отмечался в [3], и объясняется тем, что вклад стационарной точки отвечает однородным волнам.

За увеличение эффективности излучения из воды в воздух и расширение диаграммы направленности этого излучения отвечают неоднородные волны и ближнее поле источника [1]. Качественно, уширение диаграммы направленности можно видеть из (6) и (7): при ${{k}_{2}}{{z}_{0}} \lesssim 1$ экспоненциальный множитель $exp\left( { + i{{k}_{2}}{{z}_{0}}\sqrt {1 - {{n}^{2}}si{{n}^{2}}{{\theta }_{1}}} } \right)$ = $ = exp\left( { - {{k}_{2}}{{z}_{0}}\sqrt {{{n}^{2}}si{{n}^{2}}{{\theta }_{1}} - 1} } \right)$ значимо отличен от нуля в области углов ${{\theta }_{1}} > arcsin\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n}} \right)$. Поле неоднородных волн описывается интегралом вдоль разреза. Соответствующее выражение для случая $r \gg \left| z \right|$, т.е. для углов ${{\theta }_{1}} \approx {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$, представлено в [3]. Дальнейший интерес представляет описание полей через эквивалентные источники, используя приведенные выше качественные соображения, а также результаты численного интегрирования (4) и (5).

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Интегралы (4) и (5) можно вычислить с использованием стандартных процедур численного интегрирования, например, входящих в пакет IMSL языка программирования Фортран. В качестве проверки корректности вычислений было проведено сравнение результатов вычисления ${{v}_{z}}(r,0)$ для случая ${{\rho }_{1}} = 0$ с аналитическими выражениями (2) и (3). Заметим, что из-за равенства $z = 0$ соответствующий экспоненциальный множитель $exp( - i{{\xi }_{1}}z) = 1$, подынтегральная функция становится осциллирующей со слабой зависимостью от $\varkappa $, и величину ${{v}_{z}}(r,0)$ вычислить с помощью численного интегрирования сложнее, чем акустическое давление в области $r > 0$, $z < 0$.

В диапазоне изменения волнового параметра ${r \mathord{\left/ {\vphantom {r {{{\lambda }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{2}}}}$, не превышающего $100$, было получено хорошее согласие с погрешностью порядка 0.01% в области больших ${r \mathord{\left/ {\vphantom {r {{{\lambda }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{2}}}}$. В области малых ${r \mathord{\left/ {\vphantom {r {{{\lambda }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{2}}}}$ отличие величин имеет порядок заданной относительной точности интегрирования ${{10}^{{ - 6}}}$. Таким образом, несмотря на сложность численного интегрирования осциллирующих подынтегральных функций, использование стандартных процедур приводит к правильным результатам.

Зададим параметры сред: ${{\rho }_{1}} = 1$ кг/м³, ${{c}_{1}} = 330$ м/с, ${{\rho }_{2}} = {{10}^{3}}$ кг/м³, ${{c}_{2}} = 1450$ м/с. Будем помещать источники на различные глубины относительно длины звуковой волны в воде таким образом, чтобы размер первой зоны Френеля изменялся от малых волновых размеров до больших, которым отвечает переход к геометрической акустике волн с практически плоским фронтом.

На рис. 5 представлены диаграммы направленности для простого (нижние графики) и силового (верхние графики) источников, удаленных на расстояние одной длины волны в воде. Диаграмма направленности определена следующим образом: $G({{\theta }_{2}}) = \left| {\frac{{{{p}_{1}}(r,z,{{z}_{0}})}}{{{{p}_{1}}(0,z,{{z}_{0}})}}} \right|.$ Угол ${{\theta }_{2}}$ отвечает лучевой картине на рис. 2. Определение ${{\theta }_{2}}$ как функции от $r,z,{{z}_{0}}$ сводится к нахождению корней полинома соответствующей степени (процедура описана в [3]). Излучение в воздух локализовано в пределах конуса с углом раскрыва $\mathop {\widetilde \theta }\nolimits_1 = arcsin({{{{c}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{1}}} {{{c}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{2}}}})$ и экспоненциально быстро ослабевает при $\left| {{{\theta }_{1}}} \right| > {{\tilde {\theta }}_{1}}$. Серыми линиями на рис. 5 показаны зависимости, отвечающие вкладу стационарных точек (6), (7). Нетрудно видеть, что уже при ${{z}_{0}} = {{\lambda }_{2}}$ наблюдаются малые отклонения результатов прямого численного интегрирования от высокочастотных асимптотик. Отклонения связаны с проявлением дифракционной волны в области углов, близких к скользящим (см. выражение 12.43 в [3]).

На рис. 6 представлены диаграммы направленности $G({{\theta }_{1}})$, где ${{\theta }_{1}} = {\text{arctg}}({r \mathord{\left/ {\vphantom {r {\left| z \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| z \right|}})$. Удаление “приемника” от границы раздела сред задавалось равным $z = - 5{{\lambda }_{2}}$, что отвечает $\sqrt {{{r}^{2}} + {{z}^{2}}} \gg {{\lambda }_{1}}$. Нетрудно видеть, что характеристики направленности излучения в воздушной среде в случае простого и дипольного источников качественно отличаются. Эти отличия и связанный с их наличием дополнительный эквивалентный источник излучения на границе раздела двух сред обсуждаются ниже.

Штриховыми линиями на рис. 6 показаны ожидаемые диаграммы направленности при помещении эквивалентного источника малых волновых размеров ${{z}_{0}}\sqrt 2 \ll {{\lambda }_{{1,2}}}$ на границу раздела сред. В этом случае для простого источника направленность отсутствует, и излучение в воздух должно быть изотропным. Глубине погружения ${{z}_{0}} = {{{{\lambda }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{2}}} {16}}} \right. \kern-0em} {16}}$ отвечает волновой размер эквивалентного источника ${{k}_{2}}{{R}_{{\text{F}}}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4}$. Диаграмма направленности, которая отвечает такому источнику, показана на рис. 6 штрих-пунктирной линией. Нетрудно видеть, что эта линия качественно описывает угловую зависимость поля излучения в области углов меньше 30°, вычисленную интегрированием (4). При увеличении угла ${{\theta }_{1}}$ наблюдается отклонение ожидаемой диаграммы направленности вида $2\frac{{{{J}_{1}}({{k}_{1}}{{R}_{{\text{F}}}}sin{{\theta }_{1}})}}{{{{k}_{1}}{{R}_{{\text{F}}}}sin{{\theta }_{1}}}}$ от истинной. Это связано, во-первых, с неравномерностью амплитуды при близком к границе расположении источника, и, во-вторых, с проявлением распределенного эквивалентного источника ${{S}_{2}}$ (см. ниже).

Для силового источника малых волновых размеров ${{k}_{1}}{{r}_{{{\text{eff}}}}} \ll 1$ ожидаемая направленность излучения пропорциональна $cos{{\theta }_{1}}$, а само поле должно описываться выражением:

В дальнейшем мы увидим, что выражение (8) не описывает акустическое поле, создаваемое силовым источником в воздушной среде.

Таким образом, результат вычислений интеграла (4) указывает на возможность существенного упрощения вычислений для случая простого источника ($Q \ne 0$), расположенного в непосредственной близости от границы раздела сред ${{z}_{0}} \ll {{\lambda }_{{1,2}}}$. В этом случае поле в воздушной среде отвечает полю эквивалентного источника той же производительности $Q$:

Как видно из графиков на рис. 6 (серая линия), поле давления при ${{z}_{0}} \ll {{\lambda }_{1}}$ практически изотропно в области изменения угла ${{\theta }_{1}} < {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$. Отклонение от изотропности излучения наблюдается при ${{\theta }_{1}} \to {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$, где становится заметен вклад дифракционных волн [3], и это отклонение наблюдается тем раньше, чем больше волновая глубина источника ${{k}_{2}}{{z}_{0}}$.

Вычисление интеграла (5) указывает на невозможность сведения излучения при ${{z}_{0}} \ll {{\lambda }_{2}}$ к эквивалентному силовому источнику с полем излучения (8). Для понимания причин возникновения расхождения данных численного интегрирования с (8) на рис. 7 приведены результаты расчета для случаев рис. 6 при добавлении потерь в $\varkappa $ под интегралами (4) и (5). Величина потерь была задана равной ${{\operatorname{Im} \varkappa } \mathord{\left/ {\vphantom {{\operatorname{Im} \varkappa } {\operatorname{Re} \varkappa }}} \right. \kern-0em} {\operatorname{Re} \varkappa }} = 0.1$, что отвечает затуханию в $exp(2\pi )$ или приблизительно в $535$ раз на расстоянии ${{20\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{20\pi } {\operatorname{Re} \varkappa }}} \right. \kern-0em} {\operatorname{Re} \varkappa }}$ (как видно из представленного ниже выражения (10) это отвечает указанной величине затухания на расстоянии $r = 10{{\lambda }_{2}}$). Отметим, что введение затухания возмущений, распространяющихся вдоль границы раздела сред, можно реализовать, например, за счет размещения на этой границе поверхностно-активных веществ с большой вязкостью. Поэтому показанное на рис. 7 влияние потерь на границе раздела сред может быть использовано в дистанционной акустической диагностике поверхностно-активных веществ на морской поверхности.

Введение потерь означает подавление распространяющихся из области источника возмущений границы. Как следует из выражения (3), на больших расстояниях от источника ${{k}_{2}}r \gg 1$ вертикальная проекция скорости перемещения границы приблизительно равна

т.е. наряду с силовым источником, равномерно распределенным по площадке ${{z}_{0}}\sqrt 2 $, появляется простой источник, отвечающий затухающей волне, бегущей со скоростью звука в воде. Поскольку эта волна является быстрой по сравнению со скоростью звука в воздухе, она становится излучающей (“вытекающей”). Быстрое убывание амплитуды $v_{z}^{{(0)}}(r)$, обратно пропорциональное квадрату расстояния, не позволяет сформироваться направленному излучению в направлении синхронизма ${{\theta }_{1}} = {{\tilde {\theta }}_{1}}$. Наличие дополнительного источника излучения согласуется с замечанием о большей роли неоднородных волн для источников высокого порядка в прохождении звука через границу раздела жидкости и газа [1]. На связь излучения с источником вида (10) указывает также видимое на рис. 6 возрастание излучения в области углов ${{\theta }_{1}} > {{\tilde {\theta }}_{1}} \approx 13^\circ $, где возможна реализация условий синхронизма возмущений (10) со звуковыми волнами в воздушной среде.

Отметим, что наличие множителя вида $cos{{\theta }_{0}} = {{{{z}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{z}_{0}}} R}} \right. \kern-0em} R}$ в выражении (2) для скорости поверхности раздела сред $v_{z}^{{(0)}}(r)$, создаваемой простым источником, в пределе $r \gg {{z}_{0}}$ в значительной степени подавляет указанный выше механизм формирования дополнительного распределенного источника излучения в воздушную среду. Поэтому увеличение амплитуды поля в области углов $\theta > {{\tilde {\theta }}_{1}}$ проявляется слабее в случае простого первичного источника. В результате поле акустического излучения в воздухе удовлетворительно описывается выражением (9) для случая ${{z}_{0}} \ll {{\lambda }_{{1,2}}}$. Сравнение рис. 6 и рис. 7 указывает на важную роль возмущений с фазовым распределением $ \propto exp( + i{{k}_{2}}r)$ в формировании поля давления в воздухе при увеличении порядка источника.

На рис. 8 схематично показаны вторичные источники на поверхности раздела сред, отвечающие за формирование акустического поля в воздушной среде. Вторичный источник ${{S}_{1}}$ представляет собой либо равномерно распределенную по круговой площадке радиуса ${{z}_{0}}\sqrt 2 $ вертикальную скорость перемещения границы раздела сред (первичный источник простого типа), либо равномерно распределенную по той же площадке вертикальную силу (первичный источник вертикальной силы). Вторичный источник ${{S}_{2}}$ представляет собой бесконечно протяженную круговую область, на которой распределены вертикальные скорости перемещения границы раздела. При этом скорости имеют фазовое распределение $exp( + i{{k}_{2}}r)$ и амплитудное распределение ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{r}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}^{2}}}}$ при $r \gg {{\lambda }_{2}}$. Источник ${{S}_{2}}$ обеспечивает излучение вытекающей волны, а уменьшение его амплитуды с ростом расстояния до первичного источника обеспечивает широкую диаграмму направленности в области углов ${{\theta }_{1}} \gtrsim {{\tilde {\theta }}_{1}}$. Направленность акустического излучения в воздушной среде, создаваемого вторичным источником ${{S}_{2}}$, схематично показана стрелками на рис. 8. Вклад этого источника в акустическое поле в воздушной среде значительно подавлен в случае простого (монопольного) первичного источника и становится значимым для первичного источника в виде силы, что дополнительно иллюстрирует вывод работы [1] о возрастании вклада неоднородных волн с увеличением порядка источника.

Таким образом, выполненные вычисления позволяют наглядно представить себе систему эквивалентных источников, отвечающих за излучение низкочастотного звука из воды в воздух, и диаграмму направленности акустического излучения, порождаемого этими источниками. Еще раз отметим, что аналитическое выражение для случая $\left| z \right|,{{z}_{0}} \ll r$ или ${{\theta }_{1}} \approx {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ представлено в книге [3]. Для углов ${{\theta }_{1}} \approx {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ поле, вычисленное путем интегрирования (4) и (5), стремится к нулю (рис. 6), как и предсказывает аналитическое выражение [3]. Как нам представляется, приведенные выше качественные соображения и результаты численного моделирования во всем диапазоне изменения углов излучения ${{\theta }_{1}}$ являются хорошим дополнением к описанию [1, 3].

В процессе подготовки статьи к печати в Акустическом журнале вышла интересная работа [10], содержащая результаты экспериментальных исследований прохождения звука из воды в воздух для первичного источника монопольного типа ($Q \ne 0$). Представляет интерес сопоставить данные измерений с приведенными выше диаграммами направленности. На рис. 9 работы [10] представлена зависимость коэффициента прохождения по давлению из воды в воздух от глубины расположения источника. Диапазону глубин на этом рисунке отвечает изменение безразмерных величин ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {75}}} \right. \kern-0em} {75}}\,\,\leqslant \,\,{{{{z}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{z}_{0}}} {{{\lambda }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{2}}}}\,\,\leqslant \,\,{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$, что включает интервал безразмерных глубин источника для данных, представленных на нижнем графике рис. 6. Расположению микрофона в эксперименте [10] отвечает угол ${{\theta }_{1}} \approx 79^\circ $. Если построить зависимость величины $G({{\theta }_{1}})$ при указанном значении ${{\theta }_{1}}$ от глубины источника ${{z}_{0}}$, то получится ярко выраженная экспоненциальная зависимость вида $exp( - \alpha {{z}_{0}})$, где ${{z}_{0}}$ выражено в метрах и $\alpha \approx 16.7$ м^–1 – коэффициент аппроксимации. По оси ординат рис. 9 работы [10] отложен коэффициент прохождения по давлению в децибелах. При этом хорошо видна линейная зависимость коэффициента прохождения, выраженного в децибелах, от глубины источника при ${{{{z}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{z}_{0}}} {{{\lambda }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{2}}}} \lesssim {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 8}} \right. \kern-0em} 8}$. Таким образом, результаты, представленные в настоящей статье, находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными работы [10].

ВЫВОДЫ

В работе исследована направленность излучения атмосферного инфразвука, возбуждаемого монопольным и силовым источниками, помещенными в водную среду. Показано, что существуют два типа вторичных эквивалентных источников, которые размещены на границе раздела сред. Эти источники определяют поле акустического излучения в воздушной среде и его направленность. Один из источников по существу локальный, и его характеристики полностью определяются ближним полем первичного источника. Второй источник является распределенным монопольным источником и связан с наличием вертикальных возмущений поверхности, распространяющихся со скоростью звука в воде. Из-за сильного ослабления амплитуды по мере увеличения расстояния от первичного источника такой источник имеет широкую диаграмму направленности. Результаты численного моделирования позволяют составить представление о диаграмме направленности инфразвукового излучения в воздухе в зависимости от глубины погружения первичного источника и его типа. Полученные результаты также подтверждают вывод работы [1] о возрастании вклада неоднородных волн по мере увеличения порядка источника.

Наиболее простое аналитическое выражение для поля в воздушной среде (9) имеет место для случая простого первичного источника (акустического монополя). В этом случае достаточно учесть только один из эквивалентных источников, а его характеристики определены ближним полем первичного источника, расположенного около идеальной границы с нулевым акустическим импедансом. В случае силового источника направленность излучения зависит от затухания индуцированных колебаний поверхности, что, предположительно, может быть использовано для акустической диагностики поверхностно-активных веществ. Полученные результаты представляются нам интересными для прикладной гидроакустики и организации дистанционного зондирования приповерхностных областей моря в области низких частот.

Автор выражает благодарность Ю.А. Кобелеву за полезные замечания и дискуссии по теме представленной работы.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 18-05-520006, а также при частичной поддержке госзадания ИПФ РАН по теме № 0030-2021-0009.