Акустический журнал, 2021, T. 67, № 4, стр. 351-360

ВВЕДЕНИЕ

В задаче дифракции на гладком выпуклом теле В.А. Фоком [1] были получены асимптотические разложения для поля в полутени. В этих разложениях зависимость от поперечной координаты представлена лишь через зависимость от нее радиуса кривизны поверхности. При дифракции на цилиндрической поверхности формулы Фока дают весьма точное описание волнового поля уже при $k\rho \approx 3$, где $k$ – волновое число, $\rho $ – радиус цилиндра. Однако, при дифракции на сфере, где также отсутствует зависимость радиуса кривизны от поперечной координаты, асимптотическое приближение начинает работать лишь при $k\rho \approx 15$, а для дифракции на вытянутом сфероиде нижняя граница допустимых частот еще больше увеличивается [2]. Идея учета поправочных членов, вновь использованная в [3] при рассмотрении задачи дифракции на умеренно вытянутом теле вращения, не приводит к улучшению ситуации. Построению более пригодных асимптотических и численных представлений для поля в задачах дифракции на вытянутых телах в последнее время уделяется большое внимание. Перечислим лишь некоторые работы [4–8]. Однако, во всех этих статьях зависимость параметров поверхности от поперечной координаты отсутствует. Здесь мы обобщаем процедуру построения высокочастотной асимптотики в задаче дифракции на сильно вытянутом теле [6] на поверхность, свойства которой зависят от поперечной координаты. Мы рассматриваем задачу дифракции на трехосном сильно вытянутом эллипсоиде.

Как известно, уравнение Гельмгольца допускает разделение переменных в общих эллипсоидальных координатах [9]. Такое решение было построено в [10] в терминах волновых функций Ламэ, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению с 5 особыми точками, точнее его конфлюэнтному случаю, когда две особые точки слились и образовали иррегулярную особую точку. Уравнение записывается в виде:

где $f(\zeta ) = (\zeta - {{a}_{1}})(\zeta - {{a}_{2}})(\zeta - {{a}_{3}})$, величины ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$ задают эллипсоид, а $h$ и $l$ – параметры разделения переменных. Переход к используемому в работе методу параболического уравнения сводит задачу к решаемой в терминах конфлюэнтных функций Гойна. Другими словами, подобно тому как при рассмотрении задач дифракции на сфероиде осуществлялся переход от сфероидальных функций (функций класса Гойна), в которых задача решается точно, к вырожденным гипергеометрическим функциям Уиттекера, здесь мы имеем переход от конфлюэнтного варианта уравнения с пятью особыми точками к конфлюэнтному уравнению класса Гойна (т.е. класса уравнений с четырьмя особыми точками).

Полученные асимптотические представления позволяют провести верификацию численных программ расчета волновых полей подобно тому, как это было сделано в [11] для случая дифракции на сфероиде.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Мы рассматриваем задачу высокочастотной дифракции на сильно вытянутом трехосном эллипсоиде. Зададим эллипсоид стандартным уравнением

Здесь ${{a}_{x}}$, ${{a}_{y}}$ и ${{a}_{z}}$ – полуоси эллипсоида. Без ограничения общности будем считать, что ${{a}_{x}} < {{a}_{y}}$. Акустическое поле во внешности эллипсоида удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Здесь $k = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c}$ – волновое число, зависимость от частоты $\omega $ принята в виде ${{e}^{{ - i\omega t}}}$, $c$ – скорость распространения волн, которую мы считаем постоянной.

Пусть поле возбуждается плоской волной, падающей на эллипсоид вдоль оси $Oz$

Будем одновременно рассматривать две задачи: в случае идеально мягкой поверхности зададим условия Дирихле, а в случае идеально жесткой – условия Неймана. На бесконечности для рассеянного поля ${{u}_{{sc}}} = u - {{u}_{{inc}}}$ ставятся условия излучения.

Частоту считаем высокой, так что волновые размеры сфероида велики, т.е. $k{{a}_{x}} \gg 1$, $k{{a}_{y}} \gg 1$ и $k{{a}_{z}} \gg 1$. Кроме того, эллипсоид будем считать сильно вытянутым [17], что записывается в виде соотношений

С учетом симметрии задачи, рассмотрения можно проводить лишь в четверти пространства $x > 0$, $y > 0$. Это позволяет ввести эллипсоидальные координаты $(\eta ,\nu ,\mu )$ при помощи формул [12]

Здесь $0 < \eta < 1 < \nu < a < \mu < \infty $, параметр $p$ имеет смысл половины фокусного расстояния, параметр $a = {{(a_{z}^{2} - a_{x}^{2})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(a_{z}^{2} - a_{x}^{2})} {{{p}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}^{2}}}}$ характеризует степень вытянутости по отношению к меньшей из полуосей. Поверхность эллипсоида в этой системе координат является координатной. Пусть она задается уравнением

Полуоси такого эллипсоида вычисляются по формулам

откуда с учетом (4) следует, что ${{\mu }_{0}}$, а значит и параметр $a$ должны быть близки к единице. Тогда близка к единице и координата $\nu $. Введем вместо $\mu $ и $\nu $ растянутые координаты $(t,s)$ по формулам

Координата $s$ меняется в пределах $0 < s < 1$, а координата $t > 1$. Пусть

Параметры ${{t}_{0}}$ и $\chi $ определяются через полуоси эллипсоида. В старшем по $kp$ порядке имеем

ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Как известно [9], уравнение Гельмгольца допускает разделение переменных в эллипсоидальных координатах, а решение выражается через волновые функции Ламэ. Однако, в случае высоких частот такое решение, как и многие другие точные решения задач дифракции, оказывается непригодным. Поэтому будем строить асимптотическое решение, считая $kp \gg 1$. Используя метод параболического уравнения, представим решение в виде

Функции ${{U}_{j}}$, входящие в асимптотический ряд, будем предполагать независящими от $kp$. Подставляя представление (9) в уравнение Гельмгольца (2), которое следует переписать в координатах $(\eta ,s,t)$, и приравнивая члены при ${{(kp)}^{1}}$ (члены при ${{(kp)}^{2}}$ сокращаются), получим параболическое уравнение

Здесь мы опустили индекс $0$ у функции ${{U}_{0}}$, а нижними индексами $s$, $t$ и $\eta $ обозначили производные по соответствующим переменным. Уравнение (10) допускает разделение переменных в виде

Для функции $R(\eta )$ получается дифференциальное уравнение первого порядка

которое решается в элементарных функциях

Для функций $S$ и $T$ получаются обыкновенные дифференциальные уравнения

с одним и тем же оператором

Первое уравнение в (12) будем называть угловым, а второе – радиальным. Параметры $\lambda $ и $\alpha $ в (11) и (12) являются параметрами разделения переменных.

Решение (11) является ядром интегрального преобразования [13]

Поэтому общее решение параболического уравнения (10) будем искать в виде интеграла по $\lambda $ по вещественной оси.

Дифференциальные уравнения (12) должны быть дополнены краевыми условиями. По переменной $s$ рассматривается конечный интервал $[0,1]$, однако концы этого интервала являются особыми точками дифференциального оператора. Согласно аналитической теории линейных дифференциальных уравнений [14] уравнение (12) имеет регулярные особые точки $\zeta = 0$ и $\zeta = 1$ и иррегулярную особую точку на бесконечности. Это уравнение сводится к вырожденному (конфлюэнтному) уравнению Гойна [15]. В окрестности особой точки $\zeta = 0$ решение уравнения (12) имеет вид

где ${{S}_{{00}}}$ и ${{S}_{{01}}}$ – голоморфные в окрестности $\zeta = 0$ функции. Аналогично, в окрестности точки $\zeta = 1$ имеют место представления

Из (5) и (7) следует, что при фиксированных значениях $\eta $ и $t$ координата $s$ пропорциональна ${{y}^{2}}$ при малых $y$, а $1 - s$ пропорциональна ${{x}^{2}}$ при малых $x$. Поэтому решение ${{S}_{{00}}}$ соответствует четному продолжению поля $u$ на отрицательные значения координаты $y$, а решение $\sqrt \zeta {{S}_{{01}}}(\zeta )$ – нечетному. Аналогично, решение ${{S}_{{10}}}$ соответствует четному продолжению поля на отрицательные значения координаты $x$, а решение $\sqrt {1 - \zeta } {{S}_{{11}}}(\zeta )$ – нечетному. Поскольку падающее поле является четным по $x$ и $y$, эта четность переносится и на полное поле. Таким образом, нас интересуют такие решения углового уравнения (12), которые одновременно голоморфны и в окрестности $\zeta = 0$, и в окрестности $\zeta = 1$. Такая сингулярная задача Штурма–Лиувилля может рассматриваться как возмущение задачи, получающейся при $\chi = 0$, и имеющей полиномиальные решения

выражающиеся через полиномы Чебышева первого рода ${{T}_{n}}$. С точки зрения рассматриваемой задачи дифракции переход к $\chi = 0$ соответствует стремлению ${{a}_{x}} \to {{a}_{y}}$, то есть к задачам, когда эллипсоид является почти телом вращения.

Известно [15], что сингулярная задача Штурма–Лиувилля для углового уравнения (12) имеет простой, дискретный, ограниченный снизу спектр. Пусть ${{\alpha }_{n}}$, $n = 0,1,2, \ldots $ – собственные числа. Естественно, они зависят от параметров $\chi $ и $\lambda $ (при необходимости подчеркнуть эту зависимость будем писать ${{\alpha }_{n}}(\chi ,\lambda )$), причем

Ниже зависимость от параметра $\chi $, который является фиксированным, для краткости указывать не будем. Пусть ${{F}_{n}}(\zeta ) = {{F}_{n}}(\lambda ,\zeta )$ – собственные функции, отвечающие собственным числам ${{\alpha }_{n}}$. Поскольку оператор в уравнении (12) является симметричным в ${{L}_{2}}$ с весом $\rho = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {\zeta (1 - \zeta )} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\zeta (1 - \zeta )} }}$, функции ${{F}_{n}}$ образуют полную ортогональную систему. Нормируем их таким образом, что

где $\delta _{n}^{m}$ – символ Кронекера.

Обратимся теперь к решениям радиального уравнения (12) относительно $T(\zeta )$. Кроме решения ${{F}_{n}}(\zeta )$, являющегося аналитическим продолжением собственных функций с отрезка $[0,1]$, нам понадобится также решение, фиксированное поведением на бесконечности. Как известно [15], имеются два решения, фиксированные своим поведением на бесконечности

и

Функции (19) и (20) называются решениями Томе. Ряды в (19) и (20) не сходятся, а дают лишь асимптотическое приближение в секторе, содержащем положительную полуось $\zeta $.

Поскольку параметр $\chi $ положителен, решение ${{G}^{ + }}(\zeta )$ имеет фазу, растущую на бесконечности, и, тем самым, отвечает волне, уходящей на бесконечность, в то время как решение ${{G}^{ - }}(\zeta )$ отвечает приходящей из бесконечности волне. Таким образом, в представлении рассеянного поля могут присутствовать решения ${{G}^{ + }}(\zeta )$ и не могут присутствовать решения ${{G}^{ - }}(\zeta )$.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ

На основании результатов предыдущего параграфа будем искать старший член асимптотики функции ослабления в следующем виде

Здесь $G_{n}^{ + }(\lambda ,\zeta )$ – решение радиального уравнения (12) c параметром $\alpha = {{\alpha }_{n}}$, фиксированное поведением (19) при $t \to + \infty $.

В фигурных скобках записано общее решение радиального уравнения при фиксированных значениях параметров $\lambda $ и $\alpha = {{\alpha }_{n}}$. Это решение можно было бы записать и через другие частные решения радиального уравнения. Выбранная в представлении (21) форма удобна тем, что, если в ней положить ${{B}_{n}} \equiv 0$, то полученная функция $U$ будет допускать четное продолжение во все полупространство $x < 0$. Ранее мы рассматривали лишь внешность эллипсоида и вопрос о четном/нечетном продолжении поля затрагивал зависимость лишь от координаты $s$. При рассмотрении представления (21) внутри эллипсоида, то есть при $t < {{t}_{0}}$, следует обратить внимание на то, что значению $t = 1$ отвечает предельный эллиптический диск в плоскости $x = 0$. Продолжение в область $x < 0$ через этот диск происходит в соответствии с зависимостью поля от координаты $t$. При фиксированных $\eta $ и $s$ величина $t - 1$ пропорциональна ${{x}^{2}}$ при малых $x$. Поэтому функция ${{F}_{n}}(t)$, которая является голоморфной в окрестности $t = 1$, может быть записана как некоторая функция от ${{x}^{2}}$, и ввиду этого отвечающее ей поле будет зависеть от $x$ четным образом. Если же в представлении (21) положить ${{A}_{n}} \equiv 0$, то полученное решение будет представлять собой комбинацию волн, уходящих по переменной $t$ на бесконечность. Поэтому это решение будет удовлетворять условиям излучения. На основании этих свойств можно утверждать, что первое слагаемое ${{A}_{n}}{{F}_{n}}(t)$ порождает функцию ослабления ${{U}_{{inc}}}$ для падающего поля, а слагаемое ${{B}_{n}}G_{n}^{ + }(t)$ порождает функцию ослабления для рассеянного поля.

Удобно положить

Тогда коэффициенты ${{R}_{n}}$ можно рассматривать как парциальные коэффициенты отражения от поверхности. Требуя выполнения краевых условий при $t = {{t}_{0}}$ тождественно под знаком интеграла, получим в задаче Дирихле

и в задаче Неймана

Для завершения построения асимптотического представления в старшем порядке осталось определить коэффициенты ${{A}_{n}}(\lambda )$. Для этого рассмотрим представление падающего поля

В этом представлении слева стоит старший член асимптотического ряда для функции ослабления падающей волны. Перейдем в (3) к координатам пограничного слоя. Имеем

Тогда для ${{U}_{{inc}}}$ получим выражение

Прямой подстановкой проверяется, что функция ${{U}_{{inc}}}$ удовлетворяет параболическому уравнению, а значит, может быть представлена в виде правой части (24) точно.

Применим к (24) обратное преобразование (14)

где

Сравнивая интеграл в (28) с интегральным представлением для функции Уиттекера $M$ [16], окончательно получим

Отметим, что функция $K(\lambda ,s,t)$ не имеет особенностей (квадратный корень в знаменателе компенсируется соответствующим ветвлением функции Уиттекера).

Теперь воспользуемся свойством ортогональности собственных функций ${{F}_{n}}(s)$. Домножим тождество (27) на ${{F}_{m}}(s)$ и проинтегрируем с весом $\rho (s)$ по отрезку $s \in [0,1]$. В левой части ввиду (18) останется лишь слагаемое с $n = m$. Таким образом,

Отметим, что коэффициенты ${{A}_{n}}(\lambda )$ не зависят от $t$, в то время как параметр $t$ присутствует в правой части выражения (30). Формулу (30) следует рассматривать при таких значениях параметра $t$, при которых сходится интеграл в правой части и которые не являются нулями ${{F}_{n}}(t)$. Наличие параметра $t$ позволяет дополнительно контролировать точность вычислений функций ${{F}_{n}}(\lambda ,\zeta )$.

В теории функций класса Гойна соотношения, подобные (30), известны как интегральные соотношения или интегральные уравнения для функций класса Гойна [15].

ЧИСЛЕННАЯ ПРОЦЕДУРА И РЕЗУЛЬТАТЫ

Для обсуждения дифракционных эффектов в задаче дифракции на жестком эллипсоиде будем вычислять полное поле на его поверхности. Приводя выражение, взятое в фигурных скобках в (21), к общему знаменателю, получим формулу для поля в следующем виде

Здесь точкой обозначена производная функции $G_{n}^{ + }$ по ее аргументу $t$, $W[{{F}_{n}},G_{n}^{ + }] = {{F}_{n}}\dot {G}_{n}^{ + } - {{\dot {F}}_{n}}G_{n}^{ + }$ – определитель Вронского функций ${{F}_{n}}$ и $G_{n}^{ + }$, который, как известно, зависит от ${{t}_{0}}$ посредством множителя ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {{{t}_{0}}({{t}_{0}} - 1)} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{t}_{0}}({{t}_{0}} - 1)} }}$.

В задаче дифракции на идеально мягкой поверхности будем вычислять нормальную производную поля на поверхности. При этом учтем, что

В результате получаем

Для проведения расчетов по формулам (31), (33) необходимо решить задачу Штурма–Лиувилля для углового уравнения (12) и найти значения спектрального параметра ${{\alpha }_{n}}(\lambda )$ и собственные функции ${{F}_{n}}(\lambda ,s)$. Отметим, что в [18] использована замена переменных, которая позволяет устранить одновременно обе особые точки. Однако, при этом получаются уравнения с неполиномиальными коэффициентами. С нашей точки зрения удобнее сделать более простые замены независимой переменной

Первую замену выполним для $s \in [0,{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}]$, вторую для $s \in [{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},1]$. Для функций $\Phi $ и $\Psi $ получим уравнения

где

Отсутствие первой производной в (36) позволяет применить численную схему Нумерова. Введем равномерную сетку ${{\{ {{\zeta }_{j}}\} }_{{j = 0,1, \ldots ,N}}}$ с шагом $h$ на интервале $[0,{{\sqrt 2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 2 } 2}} \right. \kern-0em} 2}]$ и вектор неизвестных ${\mathbf{F}} = (\Phi (0),\Phi ({{\zeta }_{1}}), \ldots ,\Phi ({{\zeta }_{{N - 1}}}),$ $\Phi ({{\sqrt ( 2)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt ( 2)} 2}} \right. \kern-0em} 2}),\Psi ({{\zeta }_{{N - 1}}}), \ldots ,\Psi ({{\zeta }_{1}}),\Psi (0){{)}^{T}}$. Уравнения метода Нумерова записываются в виде

с трехдиагональной матрицей

Нахождение собственных чисел производилось методом стрельбы, т.е. выбирая $\Phi (0) = 1$, что влияет лишь на нормировку, и, последовательно используя $2N - 1$ уравнение системы, определялись компоненты вектора ${\mathbf{F}}$. Параметр $\alpha $, играющий роль пристрелочного параметра, находился из требования, чтобы выполнялось последнее уравнение системы.

Нормировочные интегралы (18) и интегралы в формулах (30) для коэффициентов ${{A}_{n}}(\lambda )$ вычислялись по составным квадратурным формулам трапеций. Проверка условий ортогональности (18) и независимости правых частей (30) от $t$ дают возможность дополнительной проверки точности вычислений.

После того как собственные числа ${{\alpha }_{n}}$ найдены, необходимо решить радиальные уравнения (12) и найти функции $G_{n}^{ + }(\lambda ,t)$. Функции $G_{n}^{ + }(\lambda ,t)$ фиксируются своим поведением на бесконечности. Поэтому радиальное уравнение решалось в отрицательном направлении независимой переменной. Для того чтобы задать начальные данные для задачи Коши, можно воспользоваться решениями Томе (19). Несложно установить, что коэффициенты $c_{j}^{ + }$ асимптотического ряда удовлетворяют трехчленным рекуррентным уравнениям

в которых надо положить ${{c}_{{ - 1}}} = 0$.

Ряд в (19), как уже отмечалось выше, расходится и может использоваться лишь как асимптотический. Поэтому будем рассматривать конечный отрезок ряда и использовать его при достаточно большом значении $\zeta {\text{*}}$, которое и будет начальным значением независимой переменной в задаче Коши для $G_{n}^{ + }(\zeta )$. Отметим, что ввиду наличия множителей ${{\chi }^{{ - 1}}}$ в формулах (37) значение $\zeta {\text{*}}$ приходится брать тем большим, чем меньше значение параметра $\chi $. При приближении к сингулярной точке $\zeta = 1$ для повышения точности вычислений и исключения особенности в $\zeta = 0$ можно произвести замену независимой переменной

которая приводит к уравнению

Как показывает численный счет, подынтегральные выражения в (31) и (33) быстро убывают при $\lambda \to \pm \infty $, а заметный вклад в сумму дают лишь слагаемые с $n = 0$ и $n = 1$.

C точки зрения физики процесса дифракции вызывает интерес изучение поперечной структуры дифракционного поля. Как уже отмечалось выше, приближение Фока имеет двумерный характер и на границе свет–тень на поверхности жесткого тела дает значение амплитуды полного поля, равное 1.399. Таким образом, согласно этому приближению зависимости от поперечной координаты нет. В реальности, такая зависимость присутствует и полученные здесь асимптотические представления позволяют ее выявить. Рассмотрим сечение $x = 0$ и будем сравнивать распределение поля в этом сечении с распределением поля на поверхности сфероида, которое может быть рассчитано по асимптотическим формулам, полученным в [6]. На рис. 1 это распределение показано сплошной линией. Для эллипсоида с меньшей поперечной кривизной распределение поля показано штриховой линией, а для эллипсоида с большей кривизной – пунктиром. Расчеты показывают, что поперечная кривизна влияет на распределение поля двояким образом. Во-первых, при увеличении поперечной кривизны эллипсоид становится более плоским, что приводит к уменьшению амплитуды рассеянного поля (на жестком эллиптическом диске, являющемся предельным случаем эллипсоида, рассеянное поле отсутствует). Во-вторых, большая поперечная кривизна снижает скорость затухания поля в тени, что выражается меньшим наклоном у пунктирной кривой и бóльшим у штриховой.

Сравнивая поля в сечениях $x = 0$ и $y = 0$ (см. рис. 2) можно сделать вывод о том, что амплитуда поля в более вытянутом сечении оказывается меньше, чем в менее вытянутом.

При дифракции на идеально мягкой поверхности удобно ввести величину

которая в старшем порядке не зависит от асимптотического параметра $kp$. Расчеты по формуле (33) представлены на рис. 3. Влияние поперечной кривизны на распределение поля оказывается сходным. Однако (см. рис. 4), по сравнению с задачей дифракции на жесткой поверхности амплитуда $v$ оказывается больше в более вытянутом сечении, чем в менее вытянутом. Кроме того, влияние поперечной кривизны проявляется сильнее, чем в случае жесткой поверхности. Этот факт в некотором смысле неожиданный, так как при использовании стандартного метода параболического уравнения поправка на поперечную кривизну для дифракции на идеально мягкой поверхности появляется лишь в третьем члене асимптотики [3], в то время как в случае жесткой поверхности уже во втором [19].

Особый интерес вызывает исследование предела при превращении эллипсоида в сильно вытянутый эллиптический диск. В случае жесткого диска рассеянное поле отсутствует, а в случае мягкого наблюдается усиление поля на кромке диска. Рассчитанные значения величины $\left| v \right|$ на границе свет–тень в сечениях $x = 0$ и $y = 0$ приведены в табл. 1.

При уменьшении толщины эллипсоида величина $v$ в сечении $y = 0$ стремится к пределу ${{v}_{0}} \approx 0.82$, а в сечении $x = 0$ неограниченно возрастает примерно пропорционально отношению ${{{{a}_{y}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{y}}} {{{a}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{x}}}}$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье мы построили и исследовали высокочастотную асимптотику поля дифракции на сильно вытянутом трехосном эллипсоиде для случая падения плоской волны вдоль большой полуоси эллипсоида. При этом учитывалось лишь поле прямой волны, описываемой в приближении модифицированного метода параболического уравнения. Подобно тому, как это было сделано в случае дифракции на сильно вытянутом сфероиде, в дальнейшем предполагается распространить результаты анализа на падение под углом, на другие виды падающих полей, а также включить в рассмотрение “обратную” волну, формирующуюся вследствие огибания рассеянным полем теневого конца эллипсоида. Общая идея указанных обобщений повторяет случай сфероида, однако на пути их реализации ожидаются определенные трудности. Во-первых, усложнение интеграла (28) приводит к проблеме сведения его к известным специальным функциям. Во-вторых, нет явных выражений для асимптотик функций класса Гойна, использование которых необходимо при получении амплитуды “обратной” волны.