Известия РАН. Энергетика, 2019, № 5, стр. 80-87
Коэффициенты взаимной индукции и самоиндукции коаксиальных круговых контуров и соленоидов
Г. Н. Цицикян 1, *, М. Ю. Антипов 1, **
1 Филиал “ЦНИИ СЭТ” ФГУП “Крыловский государственный научный центр”
Санкт-Петербург, Россия
* E-mail: george.20021940@mail.ru
** E-mail: posich@mail.ru
Поступила в редакцию 02.09.2019
После доработки 21.10.2019
Принята к публикации 23.10.2019
Аннотация
Проводится сравнение ряда выражений для коэффициентов взаимо- и самоиндукции круговых контуров и соленоидов, имеющихся в сравнительно ранних публикациях, связанных в основном с именами Двайта и Гровера, и публикациями более позднего периода, отличающихся изложением альтернативных замкнутых выражений для одноименных коэффициентов. Подчеркнута целесообразность такого рассмотрения, включая практические приложения.
Настоящая статья является продолжением сопоставительного анализа ряда выражений для коэффициентов индукции соосных круговых контуров и соленоидов, не получивших достаточно полного отражения в соответствующей литературе. Упомянутый анализ основан на сравнении выражений и рекомендаций, вытекающих из известной справочной книги П.Л. Калантарова и Л.А. Цейтлина “Расчет индуктивностей” Л.: Энергоатомиздат, 1986 [1] и рядов, опубликованных ранее в работах Двайта и Гровера [2, 3]. Будут рассмотрены и замкнутые выражения, впервые приведенные в работе Сноу [4], для взаимных индуктивностей круговых соосных контуров, а также для индуктивности соленоидов через сферические функции Лежандра с полуцелым индексом $\left( {п - 1{\text{/}}2} \right)$. Для взаимной индуктивности коаксиальных круговых контуров радиусов ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$ с расстоянием $x$ между параллельными плоскостями их расположения в [2] приведено выражение в виде сходящегося ряда, которое в системе СИ можно записать в виде:
(1)
$\begin{gathered} M = {{\mu }_{0}}\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} \left[ {\left( {1 + \frac{3}{{16}}{{\alpha }^{2}} - \frac{{15}}{{1024}}{{\alpha }^{4}} + \frac{{35}}{{{{{128}}^{2}}}}{{\alpha }^{6}} - \frac{{1575}}{{2 \times {{{128}}^{3}}}}{{\alpha }^{8}} + ...} \right)\ln \frac{8}{\alpha }} \right. - \\ - \left. {\left( {2 + \frac{1}{{16}}{{\alpha }^{2}} - \frac{{31}}{{2048}}{{\alpha }^{4}} + \frac{{247}}{{6 \times {{{128}}^{2}}}}{{\alpha }^{6}} - \frac{{7795}}{{8 \times {{{128}}^{3}}}}{{\alpha }^{8}} + ...} \right)} \right], \\ \end{gathered} $(2)
${\text{где}}\,{{\alpha }^{2}} = \left[ {{{{\left( {{{R}_{1}} - {{R}_{2}}} \right)}}^{2}} + {{x}^{2}}} \right]{\text{/}}{{R}_{1}}{{R}_{2}}.$Записанный ряд обладает хорошей сходимостью в широком диапазоне изменения ${{\alpha }^{2}},$ что может быть подтверждено сопоставлением с данными из справочной книги [1]. Важно отметить, что в отличие от описания индуктивности в виде сходящихся рядов, сопряженных с определенной погрешностью, выражения, содержащие полные эллиптические интегралы или сферические функции Лежандра с полуцелым индексом с помощью известных таблиц их значений, в ряде случаев обеспечивают результат с весьма высокой степенью точности.
Упомянутое выше замкнутое выражение для взаимной индуктивности через сферическую функцию Лежандра второго рода с индексом $\frac{1}{2}$ в [4, 5] получены в виде:
(4)
${\text{где}}\,\,g = 1 + \frac{{\left( {{{R}_{1}} - {{R}_{2}}} \right) + {{x}^{2}}}}{{2{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} = 1 + \Delta g = \frac{{{{x}^{2}} + {{R}_{1}}^{2} + {{R}_{2}}^{2}}}{{2{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} = 1 + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{2},$При ${{\alpha }^{2}} \leqslant 0.5$ можно ограничиться первыми двумя членами ряда (1) в круглых скобках, и тогда
(1')
$M \cong {{\mu }_{0}}\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} \left[ {\left( {1 + \frac{3}{{16}}{{\alpha }^{2}}} \right)\ln \frac{8}{\alpha } - 2 - \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{{16}}} \right].$Из этого выражение можно получить хорошее приближение для
(6)
${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {1 + \Delta g} \right) = \frac{{1 + \frac{3}{8}\Delta g}}{2}\left( {\ln \frac{{2 + \Delta g}}{{\Delta g}} - 1.2274} \right) + \frac{3}{8}\Delta g,$Заметим также, что при ${{R}_{1}} = {{R}_{2}} = R$ и ${{\alpha }^{2}} = \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}} = 4{{\zeta }^{2}},$ где $\zeta = \frac{x}{{2R}},$ можно записать в соответствии с (1) ряд, фигурирующий в [1] под номером (5–17):
(7)
$M = {{\mu }_{0}}R\left[ {\left( {1 + \frac{3}{4}{{\zeta }^{2}} - \frac{{15}}{{64}}{{\zeta }^{4}} + \frac{{35}}{{256}}{{\zeta }^{6}} + ...} \right)\ln \frac{4}{\zeta } - 2 - \frac{1}{4}{{\zeta }^{2}} + \frac{{31}}{{128}}{{\zeta }^{4}} - \frac{{247}}{{1536}}{{\zeta }^{6}} + ...} \right].$В другом частном случае, когда $x = 0$ и ${{\alpha }^{2}} = \frac{{{{c}^{2}}}}{{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}},$ где $c = \left| {{{R}_{1}} - {{R}_{2}}} \right|,$ ряд (1) приобретает вид:
(8)
$\begin{gathered} M = {{\mu }_{0}}\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} \left[ {\ln \frac{{8\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} }}{c}\left( {1 + \frac{3}{{16}}\frac{{{{c}^{2}}}}{{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} - \frac{{15}}{{1024}}\frac{{{{c}^{4}}}}{{R_{1}^{2}R_{2}^{2}}} + } \right.} \right.\left. {\frac{{35}}{{{{{128}}^{2}}}}\frac{{{{c}^{6}}}}{{R_{1}^{3}R_{2}^{3}}} - \frac{{1575}}{{2 \times {{{128}}^{3}}}}\frac{{{{c}^{8}}}}{{R_{1}^{4}R_{2}^{4}}}...} \right) - \\ \left. { - \,2 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{16{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} + \frac{{31}}{{2048}}\frac{{{{c}^{4}}}}{{R_{1}^{2}R_{2}^{2}}} - \frac{{247}}{{6 \times {{{128}}^{2}}}}\frac{{{{c}^{6}}}}{{R_{1}^{3}R_{2}^{3}}} + \frac{{7795}}{{8 \times {{{128}}^{3}}}}\frac{{{{c}^{8}}}}{{R_{1}^{3}R_{2}^{3}}} + ...} \right]. \\ \end{gathered} $Ряд (7) фигурирует в [2] под номером (13), но с той разницей, что обозначения ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$ заменены на $A$ и $a$ соответственно.
В работе [2] приведен ряд для расчета взаимной индуктивности концентрических соленоидах неодинаковой длины в соответствии с рис. 1, совпадающим с рис. 7.2а в [1]. Коэффициент взаимной индукции для такого расположения соленоидов описываются выражением (43А) в [2] и записывается с учетом замены обозначений в системе СИ в виде:
(9)
$\begin{gathered} M = \frac{{{{\mu }_{0}}\pi {{d}^{2}}}}{4}wW{{\left( {{{A}^{2}} + {{D}^{2}}} \right)}^{{ - 1{\text{/}}2}}}\left[ {1 + \frac{1}{8}\frac{{{{D}^{2}}{{d}^{2}}}}{{{{{\left[ {{{A}^{2}} + {{D}^{2}}} \right]}}^{2}}}}\left( {3 - 4\frac{{{{a}^{2}}}}{{{{d}^{2}}}}} \right)} \right. + \\ + \,\,\left. {\frac{1}{{32}}\frac{{{{D}^{4}}{{d}^{4}}}}{{{{{\left( {{{A}^{2}} + {{D}^{2}}} \right)}}^{4}}}}\left( {3 - 4\frac{{{{A}^{2}}}}{{{{D}^{2}}}}} \right)\left( {\frac{5}{2} - 10\frac{{{{a}^{2}}}}{{{{d}^{2}}}} + 4\frac{{{{a}^{4}}}}{{{{d}^{4}}}}} \right) + ...} \right], \\ \end{gathered} $Сопоставляемое выражение в [1] дано в виде
(10)
$M = {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4}\frac{{{{d}^{2}}}}{{Aa}}wW\left( {{{l}_{1}}{{F}_{1}} - {{l}_{2}}{{F}_{2}}} \right),$(11)
${\text{где}}\,\,{{l}_{1}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{D}^{2}} + {{{\left( {A + a} \right)}}^{2}}} ,\,\,\,\,{{l}_{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{D}^{2}} + {{{\left( {A - a} \right)}}^{2}}} ,$Сопоставим теперь численные результаты по выражениям (9) и (10) с учетом (11). Пусть $a = d$ и $A = D.$
Тогда на основании (9) имеем:
Полагая $d = 0.5D$, получаем:
При $d = 0.1$ м
Пусть теперь в соответствии с (10) и (11)
Тогда в соответствии с таблицей 7-1 в [1] ${{F}_{1}} = 0.997$ и ${{F}_{2}} = 0.98.$
Отсюда имеем [1]:
Будем теперь считать, что $А = a = l,$ т.е. рассмотрим случай одинаковой длины соленоидов. Пусть $l = 0.392$ м, $D = 0.32$ м, $d = 0.28$ м. Тогда согласно (9) при $w = W = 50$ витков получим следующую оценку для М:
Выбранная геометрия и количество витков отражают реальные параметры двухслойного соленоида, используемого в практических целях. Следует подчеркнуть, что расчет по формулам параграфа 7.2 [1] для взаимной индуктивности концентрических соленоидов одинаковой длины такой же геометрии приводит к величине $0.348 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Гн, и разница между значениями невелика.
Вернемся к упомянутой работе [4] и отметим некоторые особенности. В ней отслежена весьма важная связь между функцией ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right),$ где $g = \frac{{2 - {{k}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}},$ и полными эллиптическими интегралами первого и второго рода:
(12)
${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) = \frac{{2\left( {K - E} \right)}}{k} - kK = \left( {\frac{2}{k} - k} \right)K - \frac{2}{k}E,$(13)
${{k}^{2}} = \frac{{4{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}{{{{{\left( {{{R}_{1}} + {{R}_{2}}} \right)}}^{2}} + {{x}^{2}}}},$Перейдем к ряду (71А) в [2] для коэффициента самоиндукции соленоида с числом витков $w,$ который в обозначениях рис. 2 можно записать в виде:
(14)
$\begin{gathered} L = {{\mu }_{0}}R{{w}^{2}}\left[ {\ln \left( {\frac{{8R}}{a}} \right) - \frac{1}{2} + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{8}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} + \frac{1}{4}} \right) - \frac{{{{\alpha }^{4}}}}{{64}}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} - \frac{2}{3}} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{{5{{\alpha }^{6}}}}{{1024}}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} - \frac{{109}}{{120}}} \right) - \frac{{35{{\alpha }^{8}}}}{{16\,384}}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} - \frac{{431}}{{420}}} \right) + ...} \right]. \\ \end{gathered} $Записанное выражение для индуктивности можно найти в [3] путем объединения формул (118) и (119) в [3] с учетом применяемой системы единиц. Формула (14) записана под номером (6–8) в [1] в виде:
(14а)
$\begin{gathered} L = {{\mu }_{0}}R{{w}^{2}}\left[ {\left( {1 + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{8} - \frac{{{{\alpha }^{4}}}}{{64}} + \frac{{5{{\alpha }^{6}}}}{{1024}} - \frac{{35{{\alpha }^{8}}}}{{16\,384}} + ...} \right)\ln \frac{4}{\alpha } - \frac{1}{2} + } \right. \\ \left. { + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{{32}} + \frac{{{{\alpha }^{4}}}}{{96}} - \frac{{109{{\alpha }^{6}}}}{{1024 \times 24}} + \frac{{431{{\alpha }^{8}}}}{{16\,384 \times 84}} + ...} \right] \\ \end{gathered} $По утверждению в [2], записанное выражение (14) является хорошим приближением, вполне удобным для получения численных результатов. Точное выражение для индуктивности соленоида можно записать с помощью формул (6–1) и (6–3) в [1], а именно:
(16)
$L = \frac{{{{\mu }_{0}}d{{w}^{2}}}}{3}\left[ {{{{\left( {{{\alpha }^{2}} + 1} \right)}}^{{1{\text{/}}2}}}\left( {K + \frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}}}E} \right) - {{\alpha }^{{ - 2}}}} \right],$Поэтому ${{k}^{2}} = {{\left( {{{\alpha }^{2}} + 1} \right)}^{{ - 1}}},{{\alpha }^{2}} = {{k}^{{ - 2}}}\left( {1 - {{k}^{2}}} \right)$ и ${{\alpha }^{{ - 2}}} = \frac{{{{k}^{2}}}}{{1 - {{k}^{2}}}} = {{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}$ и выражение (16) преобразуется к виду:
(18)
$L = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left[ {\frac{{1 - {{k}^{2}}}}{{{{k}^{3}}}}K\left( k \right) + \frac{{2{{k}^{2}} - 1}}{{{{k}^{3}}}}E\left( k \right) - 1} \right] = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}}}{4}{{\frac{d}{a}}^{2}}\pi {{k}_{L}},$(19)
${\text{где}}\,\,{{k}_{L}} = \frac{{4d{\text{/}}a}}{{3\pi }}\left[ {\frac{{1 - {{k}^{2}}}}{{{{k}^{3}}}}K\left( k \right) + \frac{{2{{k}^{2}} - 1}}{{{{k}^{3}}}}E\left( k \right) - 1} \right],$Полагая $k = {{\left( {\frac{2}{{g + 1}}} \right)}^{{1/2}}}$ и используя связи полных эллиптических интегралов первого и второго рода с функциями Лежандра второго рода с полуцелым индексом [8], а именно:
(21)
${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - g{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right) = - \frac{2}{k}E\left( k \right),$(22)
$\begin{gathered} L = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left\{ { - 1 + \frac{{{{g}^{2}} - 1}}{4}{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right) + \frac{{3 - g}}{4}\left[ {g{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - {{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)} \right]} \right\} = \\ = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left\{ { - 1 - \frac{{3 - g}}{4}{{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) + \frac{{3g - 1}}{4}{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)} \right\}. \\ \end{gathered} $Таким образом, задавая ${{\alpha }^{2}} = {{\left( {\frac{a}{d}} \right)}^{2}}$, находим ${{k}^{2}}$ и $g,$ а по значениям $g$ определяем ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ и ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$, и далее $L$ в соответствии с (22).
Рассмотрим пример. Пусть $\alpha = \frac{a}{d} = 1,{{k}^{2}} = 0.5,k = 0.7071$ и $g = 3.0$. Тогда в соответствии с формулой (22) и значением ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( 3 \right),$ равным 1.311, найдем [9]:
Отметим связь между сферическими функциями $Q_{{1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right),$ ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ и ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$:
(23)
$Q_{{1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right) = \frac{1}{2}{{\left( {{{g}^{2}} - 1} \right)}^{{ - 1{\text{/}}2}}}\left[ {g{{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - {{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)} \right],$что позволяет по значениям $Q_{{1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right)$ и ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ находить ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right).$
Тогда выражение (22) можно перезаписать в виде:
(24)
$L = {{\mu }_{0}}\frac{{{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left[ { - 1 + \frac{{3\left( {{{g}^{2}} - 1} \right)}}{4}{{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - \frac{{3g - 1}}{2}{{{\left( {{{g}^{2}} - 1} \right)}}^{{1{\text{/}}2}}}Q_{{ - 1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right)} \right],$В заключение приведем сопоставительную таблицу некоторых значений для взаимной индуктивности в единицах ${{\mu }_{0}}{{R}_{1}}$ по формулам (5–20) и (5–21) с использованием таблицы 5–5 [1] для контуров с неодинаковыми радиусами и аналогичными результатами по формуле (1), заимствованной из [2].
Следует отметить, что преимущество выражений через сферические функции для коэффициентов само- и взаимоиндукции по отношению к графическим и табличным данным состоит еще и в возможности нахождения электродинамических сил через производные от этих коэффициентов по обобщенным координатам [11], используя определение для функций Лежандра второго рода $m{\text{ - го}}$ порядка в виде
Список литературы
Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Справочная книга. Л.: Энергоатомиздат. ЛО, 1986. 488 с.
Dwight H.B., Grover F.W. Some series formulas for mutual Inductance of Solenoids. Electrical Engineering. March 1937. P. 347–354.
Grover F.W. Inductance calculations. Working formulas and tables. New York: D. Van Nostrand Co.Inc., 1947.
National Bureau of Standards. Circular 544/Snow Ch. Formulas for Computing Capacitance and Inductance. 1954. P. 69.
Цицикян Г.Н. Взаимные индуктивности и силы взаимодействия соосных контуров, соленоидов и катушек. Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. № 6. С. 90–99.
Цицикян Г.Н. Векторный потенциал поля медленно движущихся тел в приложении к задачам электродинамической левитации. Известия РАН. Энергетика. 1994. № 4. С. 130–144.
Knight W. David. Solenoid inductance calculation. Devon, England. 2016. website http://g3ynh.info/ zdocs/ magnetics/.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: “Наука” ГРФМЛ., 1979.
Цицикян Г.Н. О взаимной индуктивности и электродинамических силах взаимодействия коаксиальных контуров. Известия РАН. Энергетика. 2018. С. 40–45.
Цицикян Г.Н. О коэффициентах взаимной индукции и силах взаимодействия круговых коаксиальных контуров. Электричество. 2019. № 6. С. 59–65.
Кузнецов И.Ф., Цицикян Г.Н. Электродинамические усилия в токоведущих частях электрических аппаратов и токопроводах. Л.: Энергоатомиздат. ЛО, 1989. 176 с.
Цицикян Г.Н. Электродинамические силы в токоведущих частях электротехнических комплексов. Монография. СПб.: ФГУП “Крыловский государственный научный центр”. 2016. С. 94.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Энергетика