Теплофизика высоких температур, 2023, T. 61, № 2, стр. 315-317

ВВЕДЕНИЕ

При определении нестационарного температурного поля в сплошном сферическом теле необходимо использовать математическое решение в виде бесконечного ряда [1, 2]. Основной проблемой при применении такой зависимости является нахождение корней ${{\mu }_{n}}$ характеристического уравнения

которому соответствует бесчисленное множество собственных чисел $\mu $, причем каждый последующий больше предыдущего

В (1) число ${\text{Bi}} = \frac{{\alpha R}}{\lambda }$ – безразмерный параметр, определяющий интенсивность теплообмена (нагрева или охлаждения) на поверхности шара; $\alpha $ – коэффициент теплоотдачи на поверхности шара, Вт/(м² К); $R$ – радиус наружной поверхности шара, м; $\lambda $ – коэффициент теплопроводности материала шара, Вт/(м К).

Для расчета неустановившегося температурного поля в начальной стадии процесса чем меньше продолжительность начальной стадии нагрева (или охлаждения), тем большее количество корней уравнения (1) приходится определять. В монографии [1] приведена таблица значений первых шести корней ${{\mu }_{n}}$ для ряда фиксированных значений ${\text{Bi}}$. Однако наряду с имеющимися табличными значениями ${{\mu }_{n}}$ целесообразно дополнительно располагать более общей аналитической методикой нахождения чисел ${{\mu }_{n}}$ для произвольных величин ${\text{Bi}}$ и порядковых номеров $n$. При этом желательно, чтобы рекомендуемые расчетные зависимости были максимально простыми и обладали приемлемой точностью с инженерной точки зрения.

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Для решения поставленной в работе задачи целесообразно придерживаться определенной последовательности.

1. $Bi = 0$. Предварительно исследуем уравнения (1) для частного случая ${\text{Bi}} = {\text{0}}$. Тогда исходная зависимость принимает вид

Корни этого уравнения для $n = 2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,\,\,...$ находим по простому соотношению

при $n = 1$ ${{\mu }_{1}} = 0$.

Проиллюстрируем возможности формулы (2) на конкретных примерах. Так, при $n = 2$, согласно (2), получаем

при $n = 6$

Эти значения корней полностью соответствуют табличным [1]. Рассчитанные по выражению (2) собственные числа ${{\mu }_{n}}$ можно рассматривать как оценку снизу соответствующих корней уравнения (1).

2. $0 < Bi \leqslant 1$. Далее разрабатываем также сравнительно простые расчетные соотношения для нахождения чисел ${{\mu }_{n}}$ в интервале ${\text{0}} < {\text{Bi}} \leqslant {\text{1}}$. Очевидно, что при ${\text{Bi}} = {\text{1}}$ формула (1) записывается так

Следовательно, в этом случае искомые корни ${{\mu }_{n}}$ равны

где $n = 1,{\text{ }}2,{\text{ }}3,\,\,...$ .

Следует отметить, что формула (3) справедлива также и для случая расчета нестационарного симметричного температурного поля неограниченной пластины при граничных условиях первого рода (${\text{Bi}} \to \infty $) [1].

Для определения величин ${{\mu }_{n}}$ в случае, когда ${\text{Bi}} < {\text{1}}$, представим формулу (3) в виде

где $\beta $ – вспомогательный безразмерный коэффициент.

Тогда зависимость (1) принимает вид

Аппроксимируя ${\text{сtg}}{\kern 1pt} \beta $ соотношением [3]

получаем квадратное алгебраическое уравнение, решение которого имеет вид

Подставляя (5) в (4), находим

Рассчитаем по (6) ${{\mu }_{2}}$ и ${{\mu }_{6}}$ при Bi = 0.5:

Данные результаты полностью соответствуют табличным значениям [1]. Выражение (6) может быть эффективно использовано для нахождения первого ($n = 1$) собственного числа ${{\mu }_{1}}$, являющегося, как правило, наиболее важным. Однако при сравнительно небольших значениях ${\text{Bi}}$ (примерно Bi < 0.3) удобнее использовать также очень простую зависимость вида

которая получена преобразованием уравнения (1) к виду

Представляя ${\text{ctg}}{\kern 1pt} \mu $ в виде усеченного степенного ряда [3]

получаем биквадратное алгебраическое уравнение откуда находим

Проведя необходимые преобразования, получаем формулу (7) для определения первого корня характеристического уравнения (1) при Bi < 0.3.

Например, при Bi = 0.2 на основе (7) находим μ₁ = 0.7601. Табличная величина согласно [1] μ₁ = = 0.7593, т.е. невязка в данном случае составляет около 0.1%.

3. $Bi > 1$. Далее аналогично математически исследуется характеристическое уравнение (1) для случая ${\text{Bi}} > {\text{1}}$. Тогда вместо условия (4) примем

Выполняя действия, аналогичные ранее изложенным, находим

Подставляя (9) в (8), окончательно получим

Проиллюстрируем возможности рекомендуемого соотношения (10) на конкретных числовых примерах. Примем ${\text{Bi}} = {\text{2}}$ и рассчитаем

Полученные величины ${{\mu }_{2}}$ и ${{\mu }_{6}}$ полностью согласуются с табличными значениями [1]. Выполним аналогичные расчеты для более высокого значения параметра ${\text{Bi}} = {\text{5}}$:

И в данном примере наблюдается также хорошее согласование с табличными величинами, которые, согласно [1], равны μ₂ = 5.3540 и μ₆ = 17.5034.

Таким образом, выведенная формула (10) позволяет рассчитывать корни ${{\mu }_{n}}$ характеристического уравнения (1) с высокой степенью точности в диапазоне ${\text{1}} \leqslant {\text{Bi}} \leqslant {\text{5}}$. При этом вычисленные ${{\mu }_{n}}$ либо полностью совпадают с известными табличными значениями [1], либо с ростом параметра ${\text{Bi}}$ очень мало отличаются от них.

4. $Bi > 10$. Для области высоких ${\text{Bi}}$ (например, ${\text{Bi}} > {\text{10}}$) целесообразно использовать представление искомых корней в форме

Тогда, применяя вышеописанный математический подход, удается получить следующее аналитическое решение для определения ${{\mu }_{n}}$:

На основе зависимости (11) определим для ${\text{Bi}} = {\text{10}}$ корни ${{\mu }_{1}}$ и ${{\mu }_{6}}$:

Сопоставление этих результатов с данными [1] свидетельствует, что расхождение не превышает 0.05%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, проведенные числовые расчеты показывают, что рекомендуемая аналитическая методика позволяет определять собственные значения характеристического уравнения (1) с высокой точностью, используя весьма простые инженерные формулы.

В заключение следует также сказать, что предлагаемые в статье аналитические методы решения характеристического уравнения (1) могут быть применены для эффективного исследования других типов зависимостей, например приводимых в работах [4‒6]. При необходимости значения полученных корней можно уточнить путем прямой подстановки в правую часть характеристического уравнения.