1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Теплофизика высоких температур
  4. T. 60, № 6, 2022

Теплофизика высоких температур, 2022, T. 60, № 6, стр. 953-956

Температурное поле при нелинейных колебаниях газа в канале прямоугольного сечения

Д. А. Губайдуллин 1, *, А. А. Кабиров 1, **, Л. Р. Шайдуллин 1, ***, С. А. Фадеев 1, ****

1 Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН
Казань, Россия

* E-mail: gubaidullin@imm.knc.ru
** E-mail: grimoruu@yandex.ru
*** E-mail: liqn@mail.ru
**** E-mail: fadeev@imm.knc.ru

Поступила в редакцию 01.07.2022
После доработки 03.10.2022
Принята к публикации 13.10.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследовано влияние вынужденных колебаний газа малой интенсивности на температурное поле в канале прямоугольного сечения. Выявлено неравномерное распределение температуры вдоль боковой стенки канала при резонансе. Максимальный разогрев газа наблюдается вблизи поршня и закрытого торца, что обусловлено работой сил сжатия в пучностях давления на концах канала, образующихся в стоячей волне. Выявлено повышение средней температуры в канале с увеличением длительности эксперимента в резонансном режиме колебаний газа.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование нелинейных эффектов, возникающих при вынужденных колебаниях газа в резонаторах, является актуальной задачей, имеющей важное прикладное значение при разработке термоакустических устройств. Такие устройства широко применяются для разделения газовых смесей, сжижения природного газа, в качестве тепловых насосов, термоакустических холодильников [1–5]. Основы термоакустики подробно изложены в ряде работ [1–3, 6, 7]. В [8–10] рассмотрен принцип работы и основные конструкционные особенности термоакустических двигателей и холодильников. Термоакустические явления в круглой закрытой трубе при колебаниях газа вблизи резонанса рассматриваются в [11]. В пучности скорости наблюдается охлаждение газа, при этом на концах трубы регистрируется заметный нагрев. Отмечается сильная зависимость термоакустических эффектов от числа Прандтля. В [12] исследуются акустотермические эффекты при нелинейных колебаниях газа в закрытой трубе на резонансной частоте возбуждения. В условиях перехода к ударно-волновому режиму регистрировался неравномерный тепловой поток вдоль трубы. В [13] рассматриваются особенности передачи тепла от нагретого объекта к стенкам резонансной трубы за счет колебаний газа. В [14] численно исследован режим возбуждения ударно-волнового движения газового столба в цилиндрической трубе; установлено, что профили скорости близки по форме к профилям скорости при колебательном движении в трубе несжимаемой жидкости, наблюдается прогрев газа, обусловленный интенсивностью ударной волны. В некоторых практических приложениях используются резонаторы со сложной геометрией. В частности, на практике широко распространены резонаторы прямоугольного сечения. Компактный термоакустический холодильник, позволяющий генерировать оптимальное акустическое поле в стеке за счет оригинальной архитектуры, представлен в [15]. Акустические течения играют важную роль в термоакустике, обычно являясь нежелательным механизмом конвективной передачи тепла, который снижает эффективность высокоамплитудных термоакустических устройств. В то же время передача тепла, поддерживаемая акустическими течениями [13], может найти применение в охлаждении горячих объектов, например электронных компонентов. Работа [16] посвящена изучению свойств акустических течений в резонаторах прямоугольного сечения с учетом температурной неоднородности газа. В [17] методом цифровой трассерной визуализации исследовано влияние поперечного градиента температуры на акустические течения в прямоугольном канале. Результаты показывают, что при наличии градиента температуры наблюдается деформация структуры акустических течений. Увеличение градиента температур между верхней и нижней стенками канала ведет к росту скорости акустических течений.

В данной работе проводится исследование влияния вынужденных колебаний газа малой интенсивности на температурное поле в канале прямоугольного сечения вблизи резонансной частоты.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

Исследования выполнялись на экспериментальной установке (рис. 1) на базе вибростенда 1 марки ES-1-150 фирмы Dongling Vibration (Китай) с усилителем мощности и охлаждающим вентилятором. Для снижения вибрации в лабораторном помещении вибростенд располагался на пневматических амортизирующих подушках. Канал прямоугольного сечения 4 сконструирован из полиметилметакрилатных плит толщиной 0.01 м, что позволяет гарантировать прочность и надежность конструкции. Канал однородного поперечного сечения располагался в вертикальном положении. В основании канала на стол виброгенератора 2 устанавливался плоский поршень 6 с площадью, равной поперечному сечению канала, и толщиной 0.015 м, который двигался по синусоидальному закону с частотой f и амплитудой l. Верхняя часть канала герметично закрывалась пластиной. Высота канала от поршня до пластины составляла L = 0.925 м, поперечным сечением канала являлся квадрат со стороной 0.4 м. Таким образом, параметры эксперимента удовлетворяют условию возбуждения плоских волн.

Рис. 1.

Принципиальная схема экспериментальной установки: 1 – вибростенд, 2 – вибростол, 3 – датчик давления, 4 – канал, 5 – термистор, 6 – поршень, 7 – акселерометр.

Управление виброгенератором выполнялось с помощью IEPE-акселерометра 7 АР2037-100 фирмы Глобал Тест (Россия) и контроллера VENZO 880 фирмы DynaTronic Corporation (Китай) посредством специального программного обеспечения. Для экспериментального определения резонансной частоты канала использовался пьезоэлектрический датчик давления 3 модели 8530С-15 фирмы Bruel & Kjaer (Дания), который был расположен на боковой стенке канала вблизи поршня. Сигнал с датчика передавался через трехканальный мостовой усилитель напряжения на цифровой осциллограф. Эксперименты проводились в воздухе при нормальных условиях и температуре 293 К.

Для измерения температуры использовались термисторы 5 модели B57861-S 103-F40, расположенные вдоль стенки канала через 0.1 м друг от друга и на расстоянии 5 мм от поверхности. Термисторы представляли собой температурно-зависимые резисторы, сопротивление которых уменьшается при повышении температуры. Они чаще всего используются для прецизионного измерения температуры в автомобильной, бытовой и промышленной электронике, в системах связи. Термисторы имеют высокую точность и стабильность показаний в широком диапазоне температур.

Для определения температуры на участке канала используется следующая формула [12]:

(1)
${{T}_{1}} = {{\left( {\frac{1}{B}{\kern 1pt} \ln {\kern 1pt} \frac{{{{R}_{1}}}}{{{{R}_{2}}}} + \frac{1}{{{{T}_{2}}}}} \right)}^{{ - 1}}},$
где R1 – сопротивление термистора при температуре ${{T}_{1}}$, R2 – номинальное сопротивление термистора при нормальной температуре T2, B – коэффициент температурной чувствительности. Погрешность измерения определяется погрешностью коэффициента температурной чувствительности В (1%) и погрешностью сопротивления термистора при измеряемой температуре R2 (1%), тогда, исходя из формулы (1) для расчета температуры, погрешность для рассматриваемого диапазона температур – не более 0.08%.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Колебания совершенного газа в резонаторе могут быть описаны системой уравнений сохранения импульса, массы и энергии [18, 19]

(2)
$\rho \frac{{\partial {\mathbf{u}}}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{u}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{u}} = \nabla \cdot \left( { - p{\mathbf{I}} + \sigma } \right),$
(3)
$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \nabla \cdot\,\left( {\rho {\mathbf{u}}} \right) = 0,$
(4)
$\begin{gathered} \rho {{c}_{p}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{u}} \cdot \nabla } \right)T} \right) - \left( {\frac{{\partial p}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{u}} \cdot \nabla } \right)p} \right) = \\ = \,\,\nabla \cdot \left( {\lambda \nabla T} \right) + \sigma {\kern 1pt} :\nabla {\mathbf{u}}, \\ \end{gathered} $
где u – вектор скорости, p – давление, ρ – плотность газа, I – единичный тензор, σ – вязкий тензор напряжений, T – температура, cp – удельная теплоемкость при постоянном давлении, λ – коэффициент теплопроводности. Вязкий тензор напряжений имеет вид [16, 20]
$\sigma = \mu \left[ {\nabla {\mathbf{u}} + {{{(\nabla {\mathbf{u}})}}^{{\text{T}}}}} \right] + \left( {\zeta - \frac{2}{3}\mu } \right)\left( {\nabla \cdot {\mathbf{u}}} \right){\mathbf{I}},$
где μ, ζ – динамическая и объемная вязкости. Связь плотности, давления и температуры описывается уравнением состояния

(5)
$p = \rho RT.$

Система уравнений (2)–(5) решается методом последовательных приближений, когда переменные могут быть записаны в виде разложения

(6)
$\begin{gathered} {\mathbf{u}} = {{{\mathbf{u}}}_{0}} + {{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}},\,\,\,\,p = {{p}_{0}} + {{{\bar {p}}}_{1}}, \\ \rho = {{\rho }_{0}} + {{{\bar {\rho }}}_{1}},\,\,\,\,T = {{T}_{0}} + {{{\bar {T}}}_{1}}, \\ \end{gathered} $
где индекс соответствует номеру приближения. Так, индекс 1 ‒ первое (акустическое) приближение. Подставляя соотношения (6) в уравнения (2)–(5) и отбрасывая члены второго порядка малости, в отсутствие среднего потока (u0 = 0) получаем [21]

(7)
$\frac{{\partial {{{\bar {\rho }}}_{1}}}}{{\partial t}} + \nabla \cdot\,\left( {{{\rho }_{0}}{{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}}} \right) = 0,$
(8)
$\begin{gathered} {{\rho }_{0}}\frac{{\partial {{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}}}}{{\partial t}} = \nabla \cdot \left\{ { - {{{\bar {p}}}_{1}}{\mathbf{I}} + \mu \left[ {\nabla {{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}} + {{{(\nabla {{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}})}}^{{\text{T}}}}} \right] - _{{_{{_{{}}^{{}}}}^{{}}}}^{{^{{^{{}}}}}}} \right. \\ \left. { - \,\,\mu \left( {\frac{2}{3} - \frac{\zeta }{\mu }} \right)\left( {\nabla \cdot {{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}}} \right){\mathbf{I}}} \right\}, \\ \end{gathered} $
(9)
$\begin{gathered} {{\rho }_{0}}{{c}_{p}}\left( {\frac{{\partial {{{\bar {T}}}_{1}}}}{{\partial t}} + \left( {{{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}} \cdot \nabla } \right){{T}_{0}}} \right) - \\ - \,\,\left( {\frac{{\partial {{{\bar {p}}}_{1}}}}{{\partial t}} + \left( {{{{{\mathbf{\bar {u}}}}}_{1}} \cdot \nabla } \right){{p}_{0}}} \right) = \nabla \cdot \left( {\lambda \nabla {{{\bar {T}}}_{1}}} \right), \\ \end{gathered} $
(10)
${{\bar {\rho }}_{1}} = {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{{{{\bar {p}}}_{1}}}}{{{{p}_{0}}}} - \frac{{{{{\bar {T}}}_{1}}}}{{{{T}_{0}}}}} \right).$

Уравнения (7)–(10) могут быть использованы для расчета акустических характеристик волнового поля. Предполагая гармонический характер колебаний газа, переменные волнового поля можно представить в виде

(11)
${{\bar {\varphi }}_{1}} = {{\varphi }_{1}}{{{\text{e}}}^{{i\omega t}}},$
где φ1 – амплитуда колебаний.

Подставив (11) в систему уравнений (7)–(10), в отсутствие градиентов давления и температуры в невозмущенной среде получаем [19]

(12)
$i\omega {{\rho }_{1}} + \nabla \cdot \left( {{{\rho }_{0}}{{u}_{1}}} \right) = 0,$
(13)
$\begin{gathered} i\omega {{\rho }_{0}}{{{\mathbf{u}}}_{1}} = \nabla \cdot \left\{ { - {{p}_{1}}{\mathbf{I}} + \mu \left[ {\nabla {{{\mathbf{u}}}_{1}} + {{{(\nabla {{{\mathbf{u}}}_{1}})}}^{{\text{T}}}}} \right] - _{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}^{{^{{}}}}} \right. \\ - \,\,\left. {\left( {\frac{{2\mu }}{3} - \zeta } \right)\left( {\nabla \cdot {{{\mathbf{u}}}_{1}}} \right){\mathbf{I}}} \right\}, \\ \end{gathered} $
(14)
$i\omega {{\rho }_{0}}{{c}_{p}}{{T}_{1}} = i\omega {{p}_{1}} + \nabla \cdot \left( {\lambda \nabla {{T}_{1}}} \right),$
(15)
${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{{{p}_{1}}}}{{{{p}_{0}}}} - \frac{{{{T}_{1}}}}{{{{T}_{0}}}}} \right).$

На стенках канала задавалось условие прилипания (u1 = 0) и изотермическое граничное условие (${{T}_{1}} = 0$). На поршне принималось условие вибрирующей стенки ${{u}_{{1x}}} = \omega l{\kern 1pt} $. Скорость колебаний поршня имеет ненулевую только х-компоненту в соответствии с условиями эксперимента. Количественные значения величин μ, ζ, cp, λ представлены в таблице.

Количественные значения параметров модели

μ, Па с 18.13 × 10–6
ζ, Па с 10.88 × 10–6
cp, Дж/(кг К) 1005.4
λ, Вт/(м К) 2.58 × 10–2

Уравнения (12)–(15) решались численно методом конечных элементов [22] в двумерной постановке задачи [23, 24]. Общее количество четырехугольных элементов сетки составило 7196. Расчетная сетка была построена для правильного разрешения пограничного слоя вдоль стенок, когда 40 элементов сетки с регулярным интервалом дискретизировали четырехкратную толщину акустического пограничного слоя. Проверена независимость результатов расчетов от плотности сетки.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

На рис. 2 приводятся экспериментальные данные для амплитуды колебаний давления газа вблизи резонасной частоты возбуждения f1 = 195 Гц при амплитудах колебаний поршня l = 0.05–0.15 мм. На осциллограммах колебаний газа (рис. 2б) наблюдается слабая нелинейность и форма волны давления сохраняет непрерывный, близкий к гармоническому вид.

Рис. 2.

Амплитудно-частотные характеристики колебаний давления газа: линии – сплайн-аппроксимация (а): 1 – l = 0.05 мм, 2 – 0.1, 3 – 0.5; осциллограммы колебаний (б) в канале вблизи резонанса f1 = 195 Гц (числа – значения l).

На основе полученных экспериментальных данных рассчитаны изменения температуры в канале прямоугольного сечения:

$\Delta T = {{T}_{g}} - {{T}_{0}},$
где Tg – температура газа, измеряемая термистором; T0 – начальная температура газа.

На рис. 3 приведены результаты измерения температуры вдоль боковой стенки канала в установившемся режиме резонансных колебаний газа и расчета распределения амплитуд колебаний давления и скорости газа. Длительность проводимых экспериментов составляла τ = 150, 300, 600 с. Видно, что температура вдоль канала распределена немонотонно. Вблизи концов канала наблюдается максимальный разогрев газа (до ΔT = 0.144 К для τ = 600 с), в центре канала изменения температуры имеют наименьшие значения для всех τ. Разогрев газа вблизи торцов канала обусловлен работой сил сжатия. Так, результаты экспериментальных измерений и расчетов (рис. 3) показывают наличие пучностей давления на торцах канала, что характерно для полуволнового резонатора. Здесь $p_{1}^{*}$ = p1/pmax, $u_{1}^{*}$ = u1/u1max, pmax, u1max – максимальные значения амплитуд колебаний давления и скорости. Аналогичные результаты получены в круглой закрытой трубе в ударно-волновом режиме вблизи резонанса, когда наблюдается нагрев по всей длине резонатора с минимумом в центральной части трубы [11]. На рис. 3б представлено пространственное распределение амплитуды колебаний скорости газа. В связи с тонким акустическим пограничным слоем (в сравнении с поперечными размерами резонатора) в канале наблюдается плоская волна скорости газа. В двумерных углах – течение газа без особенностей.

Рис. 3.

Распределения температуры вдоль боковой стенки при частоте 195 Гц для амплитуды колебаний поршня 0.15 мм: точки – экспериментальные данные, сплошные линии – сплайн-аппроксимация при τ = 150 с (1), 300 (2), 600 (3); безразмерной амплитуды колебаний давления (штриховая линия) (а) и пространственное распределение безразмерной амплитуды колебаний скорости газа в канале (б).

Максимальный разогрев происходит при τ = = 600 с, когда перепад температур между торцом и центром канала составляет 0.073 К. С увеличением продолжительности эксперимента растет среднее значение температуры в канале.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Экспериментально получены амплитудно-частотные характеристики колебаний газа вблизи резонансной частоты возбуждения в канале прямоугольного сечения. При резонансных колебаниях газа устанавливается неоднородное температурное поле вдоль канала. Максимум температуры наблюдается вблизи поршня и закрытого торца, минимум ‒ в центре канала. Продольный профиль температуры соответствует распределению амплитуды колебаний давления газа вдоль канала, которое характерно для полуволнового резонатора. Таким образом, нагрев газа вблизи поршня и закрытого торца обусловлен работой сил сжатия. С увеличением длительности эксперимента τ наблюдается рост средней температуры газа в канале.

Список литературы

  1. Rott N. Thermoacoustics // Adv. Appl. Mech. 1980. V. 20. P. 135.

  2. Swift G.W. Thermoacoustics. Cham: Springer Cham, 2017. 326 p.

  3. Tominaga A. Thermodynamic Aspects of Thermoacoustic Theory // Cryogenics. 1995. V. 35. P. 427.

  4. Swift G.W. Thermoacoustic Engines // J. Acoust. Soc. Am. 1988. V. 84. P. 1145.

  5. Hariharan N.M., Sivashanmugam P. CFD Simulation of Twin Thermoacoustic Prime Mover for Binary Gas Mixtures // High Temp. 2018. V. 56. № 2. P. 309.

  6. Rott N. Damped and Thermally Driven Acoustic Oscillations in Wide and Narrow Tube // Z. Angew. Math. Phys. 1969. V. 20. P. 230.

  7. Rott N. Thermally Driven Acoustic Oscillations. Part III: Second-order Heat Flux // Z. Angew. Math. Phys. 1975. V. 26. P. 43.

  8. Swift G.W. Thermoacoustic Engines and Refrigerators // Physics Today. 1995. V. 48. P. 22.

  9. Tijani M.E.H., Zeegers J.C.H., De Waele A.T.A.M. Construction and Performance of a Thermoacoustic Refrigerator // Cryogenics. 2002. V. 42. P. 59.

  10. Bouramdane Z., Bah A., Martaj N., Alaoui M. Thermoacoustic Effect under the Influence of Resonator Curvature // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2019. V. 519. P. 164.

  11. Merkli P., Thomann H. Thermoacoustic Effects in a Resonance Tube // J. Fluid Mech. 1975. V. 70. P. 161.

  12. Kabirov A.A., Shaidullin L.R. Distribution of the Heat Flux on the Axis in a Uniform Closed Tube with Highly Non-Linear Resonant Gas Oscillations // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. V. 1923. 012014.

  13. Mozurkewich G. Heat Transport by Acoustic Streaming within a Cylindrical Resonator // Appl. Acoust. 2002. V. 63. P. 713.

  14. Булович С.В., Виколайнен В.Э. Ударно-волновое течение газа в замкнутой цилиндрической трубе, вызванное гармоническими колебаниями поршня // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. № 10. С. 88.

  15. Poignand G., Lihoreau B., Lotton P., Gaviot E., Bruneau M., Gusev V. Optimal Acoustic Fields in Compact Thermoacoustic Refrigerators // Appl. Acoust. 2007. V. 68. P. 642.

  16. Cervenka M., Bednarik M. Effect of Inhomogeneous Temperature Fields on Acoustic Streaming Structures in Resonators // J. Acoust. Soc. Am. 2017. V. 141. P. 4418.

  17. Nabavi M., Siddiqui K., Dargahi J. Effects of Transverse Temperature Gradient on Acoustic and Streaming Velocity Fields in a Resonant Cavity // Appl. Phys. Lett. 2008. V. 93. 051902.

  18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

  19. Lautrup B. Physics of Continuous Matter, Second Edition: Exotic and Everyday Phenomena in the Macroscopic World. Boca Raton: CRC Press, 2011. 696 p.

  20. Шарфарец Б.П., Шарфарец Е.Б., Князьков Н.Н., Пашовкин Т.Н. Некоторые особенности численного решения задач термоупругости и гидродинамики теплопроводящей сжимаемой вязкой жидкости с помощью универсальных пакетов // Научное приборостроение. 2016. Т. 26. № 3. С. 57.

  21. Shaidullin L., Fadeev S. Acoustic Gas Oscillations in a Cubic Resonator with a Throat Under Small Perturbations // Appl. Acoust. 2022. V. 192. 108758.

  22. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Nithiarasu P. The Finite Element Method for Fluid Dynamics. 7th ed. UK: Butterworth–Heinemann, 2014. 544 p.

  23. Osipov P.P., Nasyrov R.R. Resonance Curve in Rectangular Closed Channel // Lobachevskii J. Math. 2020. V. 41. P. 1283.

  24. Hamilton M.F., Ilinskii Y.A., Zabolotskaya E.A. Acoustic Streaming Generated by Standing Waves in Two-dimensional Channels of Arbitrary Width // J. Acoust. Soc. Am. 2003. V. 113. P. 153.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал