1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Теплофизика высоких температур
  4. T. 60, № 6, 2022

Теплофизика высоких температур, 2022, T. 60, № 6, стр. 916-921

Моделирование теплофизических процессов при нанесении полупрозрачного покрытия на охлаждаемую криволинейную подложку

Г. Н. Кувыркин 1, И. Ю. Савельева 1, А. В. Журавский 1, *

1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Москва, Россия

* E-mail: zhuravskii_a@bmstu.ru

Поступила в редакцию 13.05.2021
После доработки 10.06.2021
Принята к публикации 28.09.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Построена модель теплообмена при осаждении полупрозрачного материала на охлаждаемую криволинейную подложку. В модели учтены все основные теплофизические процессы: конвективный теплообмен, тепло- и массоперенос при осаждении частиц на подложку, а также теплообмен излучением с учетом оптических свойств наносимого полупрозрачного покрытия. Для разработанной математической модели приведено численное решение, позволяющее получить распределение температуры по толщине подложки и покрытия в любой момент времени. Представлены и проанализированы результаты численного расчета с использованием построенного вычислительного алгоритма. Выявлено влияние формы подложки и скорости осаждения на распределение температуры в покрытии. Показана зависимость температуры наращиваемого покрытия от его оптических характеристик. Проведено сравнение результатов моделирования с известными экспериментальными данными.

ВВЕДЕНИЕ

Газофазное осаждение является одной из аддитивных технологий и представляет собой нанесение покрытия на охлаждаемую поверхность путем осаждения материала покрытия из газовой фазы в результате физических или химических процессов [1]. Процесс газофазного осаждения проводится в вакууме или в атмосфере рабочего газа при достаточно низком давлении. По сравнению с традиционными методами нанесения покрытий газофазное осаждение обладает такими преимуществами, как возможность изготовления изделий произвольно сложной формы без создания специальной технологической оснастки и эффективность использования осаждаемого сырья. Изначально метод применялся для осаждения чистых металлов из их паров в вакууме. В настоящее время метод получил широкое развитие и активно используется для нанесения покрытий различной структуры, в том числе и многослойной. Важно отметить, что физические свойства полученных композиций существенно отличаются как от характеристик исходных материалов [2], так и от характеристик покрытий, наносимых традиционными методами. Газофазный метод позволяет получать материалы и покрытия без структурных дефектов, которые оказывают значительное влияние на теплофизические характеристики, как показано в работе [3]. Поэтому технология газофазного осаждения получила широкое распространение в тех отраслях промышленности, в которых требуется нанесение максимально однородных и качественных покрытий.

Одной из важных областей применения газофазных методов является нанесение различных оптических пленок, так как высокая однородность получаемых покрытий позволяет свести к минимуму их дефекты. В работах [4, 5] рассмотрено химическое осаждение из паровой фазы тонких пленок оксида цинка, проведено исследование оптических свойств полученных покрытий различными методами. Многие работы посвящены исследованию теплообмена в полученных, в том числе и газофазным методом, многослойных композитах. В [6] изучены тепловые процессы в многослойном композите с учетом анизотропии материала. В [7] температурное состояние многослойного композита рассмотрено с учетом сложного теплообмена на свободной границе. Моделированию и анализу процессов осаждения посвящены работы [8–10]. В [8] исследуются свойства полученных магнетронным напылением покрытий. В [9] рассмотрено формирование металлических кластеров при осаждении из паровой фазы. В [10] представлен процесс осаждения покрытия, проведено сравнение теоретических данных с результатами эксперимента.

Свойства полученных газофазным методом покрытий зависят не только от свойств исходных материалов, но и от условий нанесения. Оптические и механические характеристики полученных изделий могут существенно отличаться в зависимости от метода и условий осаждения. Поэтому возникает необходимость в создании новых математических моделей, описывающих процесс газофазного осаждения с учетом всех наиболее существенных особенностей процесса.

Во многих работах этого направления, как правило, не учтены особенности теплообмена газа с поверхностью, в то время как температура поверхности, на которой происходит осаждение, является одним из основополагающих факторов, определяющих структуру пленки. В работе [11] приведены граничные условия, наиболее полно соответствующие реальному процессу осаждения на криволинейную подложку для локальной модели теплопроводности. В [12] учтено влияние диффузионных процессов на распределение температуры в подложке. В данной работе составлена математическая модель осаждения на подложку полупрозрачного покрытия и рассмотрено влияние оптических свойств материала на распределение температуры.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматривается криволинейная подложка (рис. 1) толщиной H1 и главными радиусами кривизны поверхности R1, R2, на поверхность которой осаждается из газовой фазы полупрозрачный материал с постоянной скоростью $v$, создавая покрытие толщиной ${{H}_{2}} = {{H}_{2}}(t) = vt$. Принято допущение о постоянстве температур газа Tm и охлаждающей среды Tg.

Рис. 1.

Наращиваемая криволинейная подложка толщиной H1, на которую наносится покрытие толщиной H2 – (а) и (б) – излучение газа, падающее на поверхность подложки (поглощенное, пропущенное, отраженное), и излучение подложки.

Вводится криволинейная ортогональная система координат так, чтобы ось Ox была направлена по нормали к поверхности подложки. Начало координат x = 0 соответствует внешней поверхности подложки в начальный момент времени.

На внутренней поверхности подложки $x = - {{H}_{1}}$ происходит конвективный теплообмен с охлаждающей средой. На внешней поверхности x = = H2(t) из-за высокой температуры газа необходимо помимо конвективного теплообмена и тепло- и массопереноса учитывать теплообмен излучением, причем излучает как газ, так и поверхность, на которую осаждается материал. Так как наносимое покрытие является полупрозрачным, то излучение газа $q_{l}^{g}$, падающее на подложку, распадается на поглощенное, пропущенное и отраженное с коэффициентами Ag, Dg, Rg соответственно, причем Ag + Dg + Rg = 1. В силу принятых допущений переизлучение, связанное с отражением теплового потока в газовую среду, не учитывается.

Принимается гипотеза идеального теплового контакта между подложкой и полупрозрачным покрытием, имеющими, в общем случае, различную теплопроводность ${{\lambda }^{{\left( k \right)}}}$ ($k = 1$ для подложки, $k = 2$ для покрытия). В точке контакта также необходимо учесть излучение материала подложки ${{\varepsilon }_{s}}{{\sigma }_{0}}T_{c}^{4}$ в полупрозрачную среду. Здесь εs – коэффициент излучения подложки; Tc = Tc(t) = T(t, 0) – температура в точке контакта.

Для тонкостенной подложки справедливо уравнение теплопроводности [13]

(1)
${{c}^{{\left( k \right)}}}{{\rho }^{{\left( k \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial ~{{q}^{{\left( k \right)}}}}}{{\partial x}} - 2\kappa \left( x \right)~{{q}^{{\left( k \right)}}},$
где ${{c}^{{\left( k \right)}}}$ – удельная массовая теплоемкость, ${{\rho }^{{\left( k \right)}}}$ – плотность, $T = T\left( {t,x} \right)~$ – температура, $t$ – время, $x$ – координата, ${{q}^{{\left( k \right)}}}$ – проекция вектора плотности теплового потока на ось Ox.

Уравнение (1) справедливо для материала подложки (k = 1) и наносимого покрытия (k = 2) при условии, что толщина подложки значительно меньше радиуса кривизны H1$ \ll $ |1/κ(x)|. В этом случае можно принять среднюю кривизну эквидистантного сечения подложки постоянной по толщине:

(2)
$\kappa \left( x \right) \approx \kappa \left( 0 \right) = {{\kappa }_{0}} = \left( {1{\text{/}}{{R}_{1}} + 1{\text{/}}{{R}_{2}}} \right){\text{/}}2.$

Тепловой поток в подложке находится по закону Фурье

(3)
${{q}^{{\left( 1 \right)}}} = - {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}}.$

В тепловом потоке в полупрозрачном покрытии учитываются теплопроводность и лучистый тепловой поток, который изменяется по толщине покрытия по закону Бугера [14], причем излучает как газ, так и поверхность подложки:

(4)
$\begin{gathered} {{q}^{{\left( 2 \right)}}} = - {{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} - {{D}_{g}}q_{l}^{{{\text{\;}}g}}{\text{exp}}\left( { - \gamma ({{H}_{2}} - x)} \right) + \\ + \,\,{{\varepsilon }_{s}}{{\sigma }_{0}}{{T}_{c}}^{4}{\text{exp}}\left( { - \gamma x} \right), \\ \end{gathered} $
где $\gamma $ – показатель поглощения полупрозрачного покрытия.

Учитывая (1)–(4), получаем уравнения теплопроводности для подложки и покрытия

(5)
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {{c}^{{\left( 1 \right)}}}{{\rho }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right) + 2{{\kappa }_{0}}\left( {{{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right); \hfill \\ x \in \left( { - {{H}_{1}},0} \right);\,\,\,\,{{c}^{{\left( 2 \right)}}}{{\rho }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \hfill \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + {{D}_{g}}q_{l}^{{{\text{\;}}g}}{\text{exp}}\left( { - \gamma ({{H}_{2}} - x)} \right)} \right. - \\ \left. { - _{{_{\,}^{{}}}}^{{_{{}}^{{}}}}\,{{\varepsilon }_{s}}{{\sigma }_{0}}{{T}_{c}}^{4}{\text{exp}}\left( { - \gamma x} \right)} \right) + \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} + \,\,2{{\kappa }_{0}}\left( {{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + {{D}_{g}}q_{l}^{{{\text{\;}}g}}{\text{exp}}\left( { - \gamma ({{H}_{2}} - x)} \right)} \right. - \hfill \\ \left. { - _{{_{\,}^{{}}}}^{{_{{}}^{{}}}}\,{{\varepsilon }_{s}}{{\sigma }_{0}}{{T}_{c}}^{4}{\text{exp}}\left( { - \gamma x} \right)} \right);\,\,\,\,x \in \left( {0,{{H}_{2}}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.$

Для системы (5) условие теплового контакта представляется в виде

(6)
$\left\{ \begin{gathered} T\left( {t,0 - 0} \right) = T\left( {t,0 + 0} \right); \hfill \\ {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}{{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = 0 - 0}}} = \hfill \\ = \,\,{{\left. {\left( {{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{\partial ~T\left( x \right)}}{{\partial x}} + {{D}_{g}}q_{l}^{{{\text{\;}}g}}{\text{exp}}\left( { - \gamma ~{{H}_{2}})} \right) - {{\varepsilon }_{s}}{{\sigma }_{0}}{{T}_{c}}^{4}} \right)} \right|}_{{x = 0 + 0}}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Граничные условия:

(7)
$\left\{ \begin{gathered} {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}{{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = - {{H}_{1}}}}} = {{\alpha }_{m}}\left( {T\left( {t, - {{H}_{1}}} \right) - {{T}_{m}}} \right); \hfill \\ {{\left. {{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{\partial ~T\left( x \right)}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = {{H}_{2}}}}} = {{\alpha }_{g}}\left( {{{T}_{g}} - T\left( {t,{{H}_{2}}} \right)} \right) - \hfill \\ - \,\,{{\varepsilon }_{g}}{{\sigma }_{0}}{{T}^{4}}\left( {t,{{H}_{2}}} \right) + {{A}_{g}}q_{l}^{g} + \hfill \\ + \,\,{{c}^{{\left( 2 \right)}}}{{\rho }^{{\left( 2 \right)}}}v\left( {{{T}_{g}} - T\left( {t,{{H}_{2}}} \right)} \right) + {{\rho }^{{\left( 2 \right)}}}v{{L}^{{\left( 2 \right)}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где εg – коэффициент излучения покрытия; ${{L}^{{\left( 2 \right)}}}$ – удельная теплота фазового перехода для осаждаемого вещества; αg, αm – коэффициенты конвективного теплообмена газа с поверхностью подложки и подложки с охлаждающей средой.

Распределение температуры в подложке в начальный момент времени можно получить решением стационарного уравнения теплопроводности для неподвижных границ при отсутствии осаждения вещества:

(8)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{d}{{dx}}\left( {{{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{d{{T}_{0}}}}{{dx}}} \right) + 2{{\kappa }_{0}}{{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{d{{T}_{0}}}}{{dx}} = 0;\,\,\,\,x \in \left( { - {{H}_{1}},0} \right); \hfill \\ {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}{{\left. {\frac{{d{{T}_{0}}}}{{dx}}} \right|}_{{x = - {{H}_{1}}}}} = {{\alpha }_{m}}\left( {{{T}_{0}}\left( { - {{H}_{1}}} \right) - {{T}_{m}}} \right); \hfill \\ {{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}{{\left. {\frac{{d{{T}_{0}}}}{{dx}}} \right|}_{{x = 0}}} = {{\alpha }_{g}}\left( {{{T}_{g}} - {{T}_{0}}\left( 0 \right)} \right) - {{\varepsilon }_{g}}{{\sigma }_{0}}{{T}_{0}}^{4}\left( 0 \right) + {{A}_{g}}q_{l}^{g}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

В результате решения системы (8) получается начальное распределение температуры T0(x) в подложке.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Численный алгоритм решения уравнения теплопроводности (5) с граничными условиями (6), (7) построен с использованием интегро-интерполяционного метода [15–17]. Сетка по пространству вводится таким образом, что за каждый промежуток времени $\tau $ на внешнюю сторону подложки наносится слой вещества толщиной $~{{h}_{2}} = v\tau $:

$\begin{gathered} {{\omega }_{h}} = \left\{ {{{x}_{i}} = - H + i{{h}_{1}},~\,\,~i = 0...{{N}_{1}},~\,\,~{{h}_{1}} = H{\text{/}}{{N}_{1}};} \right. \\ \left. {{{x}_{i}} = \left( {i - {{N}_{1}}} \right){{h}_{2}},~\,\,~i = {{N}_{1}} + 1...{{N}_{1}} + {{N}_{2}},~\,\,~{{h}_{2}} = v\tau } \right\}. \\ \end{gathered} $

Проинтегрируем первое уравнение системы (5) на отрезке $\left[ {{{x}_{{i - 1/2}}},{{x}_{{i + 1/2}}}} \right]$ по пространству и $\left[ {{{t}_{j}},{{t}_{{j + 1}}}} \right]$ по времени (здесь ${{t}_{{j + 1}}} - {{t}_{j}} = \tau $). Перейдем от непрерывной функции $T\left( {t,x} \right)$ к сеточной $u_{i}^{j}$. Введем обозначения $u = u_{i}^{j}$, $\hat {u} = u_{i}^{{j + 1}}$, ${{\hat {u}}_{ + }} = u_{{i + 1}}^{{j + 1}}$, ${{\hat {u}}_{ - }} = u_{{i - 1}}^{{j + 1}}$. Обозначим ${{u}_{c}} = u_{{{{N}_{1}}}}^{j}$ и ${{u}_{g}} = u_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}^{j}$ температуру контакта двух сред и температуру внешней поверхности покрытия, контактирующей с газовой средой, соответственно. Толщина покрытия вычисляется на каждом шаге по формуле $~{{H}_{2}} = v\tau {{N}_{\tau }}$, ($~{{N}_{\tau }}$ – число шагов по времени).

После интегрирования первого уравнения системы (5) получаем

$\begin{gathered} {{с}^{{\left( 1 \right)}}}{{{{\rho }}}^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{{\hat {u}}}_{i}} - {{u}_{i}}}}{{{\tau }}}{{h}_{1}} = \\ = \,\,{{\left( {{{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{{\hat {u}}}_{ + }} - \hat {u}}}{{{{h}_{1}}}} - {{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{\hat {u} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}_{i}} + 2{{\kappa }_{0}}{{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}}{{\left( {\frac{{{{{\hat {u}}}_{ + }} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{2}} \right)}_{i}}. \\ \end{gathered} $

Второе уравнение системы (5) имеет следующий разностный аналог:

$\begin{gathered} {{с}^{{\left( 2 \right)}}}{{{{\rho }}}^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{{{{\hat {u}}}_{i}} - {{u}_{i}}}}{{{\tau }}}{{h}_{2}} = {{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}{{\left( {\frac{{{{{\hat {u}}}_{ + }} - \hat {u}}}{{{{h}_{2}}}}} \right)}_{i}} - \\ - \,\,{{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}{{\left( {\frac{{\hat {u} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{{{{h}_{2}}}}} \right)}_{i}} + {{D}_{g}}q_{l}^{{~g}} \times \\ \times \,\,\left( {{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}\left( {{{H}_{2}} - {{x}_{{i + 1/2}}}} \right)} \right) - {\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}\left( {{{H}_{2}} - {{x}_{{i - 1/2}}}} \right)} \right)} \right) - \\ - \,\,{{\varepsilon }_{s}}{{{{\sigma }}}_{0}}{{{\hat {u}}}_{c}}^{4}\left( {{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{x}_{{i + 1/2}}}} \right) - {\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{x}_{{i - 1/2}}}} \right)} \right) + \\ + \,\,2{{\kappa }_{0}}\left( {{{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}\left( {\frac{{{{{\hat {u}}}_{ + }} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{2}} \right) + } \right. \\ \left. { + \left( {{{D}_{g}}q_{l}^{{~g}}{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}\left( {{{H}_{2}} - {{x}_{i}}} \right)} \right) - {{\varepsilon }_{s}}{{{{\sigma }}}_{0}}{{{\hat {u}}}_{c}}^{4}{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{x}_{i}}} \right)} \right){{h}_{2}}_{{_{{}}^{{_{{}}^{{}}}}}}^{{}}} \right). \\ \end{gathered} $

Данная разностная схема является нелинейной из-за слагаемого, содержащего $\hat {u}_{c}^{4}$. Для упрощения численных расчетов разностную схему можно линеаризовать следующим образом [14]:

(9)
$\begin{gathered} \hat {u}_{c}^{4} \approx u_{c}^{4} + 4u_{c}^{3}\left( {{{{\hat {u}}}_{c}} - {{u}_{c}}} \right) = \\ = u_{c}^{4} + 4u_{c}^{3}{{{\hat {u}}}_{c}} - 4u_{c}^{4} = u_{c}^{3}\left( {4{{{\hat {u}}}_{c}} - 3{{u}_{c}}} \right). \\ \end{gathered} $

Такая линеаризация применима на поздних этапах расчета, когда температура выходит на стационарное значение и слабо зависит от времени. На начальных этапах обычно требуется построение внутреннего итерационного процесса.

Аппроксимация условия идеального теплового контакта [16] такова:

(10)
$\begin{gathered} \left( {{{с}^{{\left( 1 \right)}}}{{{{\rho }}}^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{h}_{1}}}}{2} + {{с}^{{\left( 2 \right)}}}{{{{\rho }}}^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{{{h}_{2}}}}{2}} \right)\frac{{{{{\hat {u}}}_{{{{N}_{1}}}}} - {{u}_{{{{N}_{1}}}}}}}{\tau } = {{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}{{\left( {\frac{{{{{\hat {u}}}_{ + }} - \hat {u}}}{{{{h}_{2}}}}} \right)}_{{{{N}_{1}}}}} - \\ - \,\,{{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}}{{\left( {\frac{{\hat {u} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}_{{{{N}_{1}}}}} + {{D}_{g}}q_{l}^{g}{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}\left( {{{H}_{2}} - {{x}_{{{{N}_{1}} + 1/2}}}} \right)} \right) - \\ - \,\,{{\varepsilon }_{s}}{{{{\sigma }}}_{0}}{{{\hat {u}}}_{c}}^{4}{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{x}_{{{{N}_{1}} + 1/2}}}} \right) + 2{{\kappa }_{0}}\left( {{{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}}{{{\left( {\frac{{\hat {u} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{2}} \right)}}_{{{{N}_{1}}}}} + } \right. \\ \left. { + \,\,{{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}{{{\left( {\frac{{{{{\hat {u}}}_{ + }} - \hat {u}}}{2}} \right)}}_{{{{N}_{1}}}}} + \left( {{{D}_{g}}q_{l}^{{~g}}{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{H}_{2}}} \right) - {{{{\varepsilon }}}_{s}}{{{{\sigma }}}_{0}}{{{\hat {u}}}_{c}}^{4}} \right)\frac{{{{h}_{2}}}}{2}} \right). \\ \end{gathered} $

Аппроксимация левого граничного условия:

$\begin{gathered} {{с}^{{\left( 1 \right)}}}{{{{\rho }}}^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{{\hat {u}}}_{0}} - {{u}_{0}}}}{{{\tau }}}\frac{{{{h}_{1}}}}{2} = \\ = \,\,\left( {{{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{{\hat {u}}}_{1}} - {{{\hat {u}}}_{0}}}}{{{{h}_{1}}}} - {{{{\alpha }}}_{m}}\left( {{{{\hat {u}}}_{0}} - {{T}_{m}}} \right)} \right) + 2{{\kappa }_{0}}{{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{{\hat {u}}}_{1}} - {{{\hat {u}}}_{0}}}}{2}. \\ \end{gathered} $

При построении разностной схемы для аппроксимации правого граничного условия важно обратить внимание на две сложности: нелинейность по температуре из-за учета излучения подложки и движение границы покрытия:

(11)
$\begin{gathered} {{с}^{{\left( 2 \right)}}}{{{{\rho }}}^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{{{{\hat {u}}}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}} - {{u}_{g}}}}{{{\tau }}}\frac{{{{h}_{2}}}}{2} = {{{{\alpha }}}_{g}}\left( {{{T}_{g}} - {{{\hat {u}}}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}}} \right) - {{{{\varepsilon }}}_{g}}{{{{\sigma }}}_{0}}{{{\hat {u}}}_{g}}^{4} + \\ + \,\,{{A}_{g}}q_{l}^{g} + {{c}^{{\left( 2 \right)}}}{{{{\rho }}}^{{\left( 2 \right)}}}v\left( {{{T}_{g}} - {{{\hat {u}}}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}}} \right) - \\ - \,\,{{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}{{\left( {\frac{{\hat {u} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{{{{h}_{2}}}}} \right)}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}} + 2{{\kappa }_{0}}{{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}{{\left( {\frac{{\hat {u} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{2}} \right)}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}} + \\ + \,\,{{D}_{g}}q_{l}^{g}\left( {1 - {\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}\left( {{{H}_{2}} - {{x}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1/2}}}} \right)} \right)} \right) - \\ - \,\,{{\varepsilon }_{s}}{{{{\sigma }}}_{0}}{{{\hat {u}}}_{c}}^{4}\left( {{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{H}_{2}}} \right) - {\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{x}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1/2}}}} \right)} \right) + \\ + \,\,2{{\kappa }_{0}}\left( {{{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}}{{{\left( {\frac{{\hat {u} - {{{\hat {u}}}_{ - }}}}{2}} \right)}}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}} + } \right. \\ + \,\,\left. {\left( {{{D}_{g}}q_{l}^{{~g}} - {{\varepsilon }_{s}}{{{{\sigma }}}_{0}}{{{\hat {u}}}_{c}}^{4}{\text{exp}}\left( { - {{\gamma }}{{H}_{2}}} \right)} \right)\frac{{{{h}_{2}}}}{2}} \right). \\ \end{gathered} $

В нелинейных слагаемых $\hat {u}_{c}^{4}$ в формулах (10), (11) используется приближение (9).

В качестве $\hat {u}_{g}^{4}$ можно взять приближение, аналогичное приближению (9):

$\begin{gathered} \hat {u}_{g}^{4} \approx u_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}^{4} + 4u_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}^{3}\left( {{{{\hat {u}}}_{g}} - {{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}}} \right) = \\ = \,\,u_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}^{3}\left( {4{{{\hat {u}}}_{g}} - 3{{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}}} \right). \\ \end{gathered} $

В растущей сетке на предыдущем временном слое не существует точки ${{u}_{g}} = {{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}}}}}$, поэтому любой вариант выбора соответствующей точки в формуле (11) приведет к появлению условной аппроксимации. Так, выбор ${{u}_{g}} = {{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}}$ приведет к появлению в порядке аппроксимации члена вида $O\left( {{{h}_{2}}{\text{/}}\tau } \right) = O\left( v \right)$. Eсли в качестве ug взять $2{{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}} - {{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 2}}}$ или $3{{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 1}}} - 3{{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 2}}} + $ $ + \,\,{{u}_{{{{N}_{1}} + {{N}_{2}} - 3}}}$, то к порядку аппроксимации добавятся слагаемые $O\left( {h_{2}^{2}{\text{/}}\tau } \right) = O\left( {{{h}_{2}}v} \right)$ или $O\left( {h_{2}^{3}{\text{/}}\tau } \right) = O\left( {h_{2}^{2}v} \right)$ соответственно.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Рассмотрим задачу осаждения покрытия оксида цинка на стальную подложку. Исходные данные задачи [18, 19]:

$\begin{gathered} {{{{\rho }}}^{{\left( 1 \right)}}} = 7800~\,\,{\text{кг/}}{{{\text{м}}}^{3}},\,\,\,\,~{{{{\rho }}}^{{\left( 2 \right)}}} = 5600\,\,~{\text{кг/}}{{{\text{м}}}^{3}};~ \\ {{с}^{{\left( 1 \right)}}} = 460\,\,~{\text{Дж/}}\left( {{\text{кг\;К}}} \right),~\,\,\,\,{{с}^{{\left( 2 \right)}}} = 500~\,\,{\text{Дж/}}\left( {{\text{кг\;К}}} \right);~ \\ {{{{\lambda }}}^{{\left( 1 \right)}}} = 22.4~\,\,{\text{Вт/}}\left( {{\text{м\;К}}} \right),\,\,\,\,~{{{{\lambda }}}^{{\left( 2 \right)}}} = 54.0~\,\,{\text{Вт/}}\left( {{\text{м\;К}}} \right); \\ ~{{\kappa }_{0}} = 1~\,\,{{{\text{м}}}^{{ - 1}}};\,\,\,\,{{{{\alpha }}}_{m}} = 53\,\,~{\text{Вт/}}\left( {{{{\text{м}}}^{2}}{\text{\;К}}} \right), \\ {{{{\alpha }}}_{g}} = 72~\,\,{\text{Вт/}}\left( {{{{\text{м}}}^{2}}{\text{\;К}}} \right);\,\,\,\,{{H}_{1}} = 0.005~\,\,{\text{м}}, \\ v = {{10}^{{ - 7}}}\,\,~{\text{м/с,\;}}\,\,\,{{L}^{{\left( 2 \right)}}} = 2 \times {{10}^{6}}\,\,~{\text{Дж/кг}}, \\ q_{l}^{g} = 4 \times {{10}^{4}}~\,\,{\text{Вт/}}{{{\text{м}}}^{2}};{{T}_{m}} = {\text{ }}300{\text{ К}},\,\,\,\,{{T}_{g}} = 1400{\text{ К}}; \\ {{\varepsilon }_{g}} = 0.3,~\,\,\,\,{{D}_{g}} = 0.9, \\ {{A}_{g}} = 0.1,\,\,\,\,{{\gamma }} = {{10}^{3}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}},\,\,\,{{\varepsilon }_{s}} = 0.3. \\ \end{gathered} $

На рис. 2 представлено распределение температуры в подложке при различных значениях средней кривизны. Результаты численного расчета показывают, что температура в подложке возрастает с увеличением положительной средней кривизны ${{\kappa }_{0}}$.

Рис. 2.

Распределение температуры по толщине подложки на момент времени t = 5 ×103 с при различной средней кривизне: 1 – κ0 = –1 м, 2 – 0, 3 – 1.

На рис. 3 приведена зависимость температуры подложки и покрытия от различных скоростей осаждения $v$. Из графика видно, что большая скорость наращивания приводит к существенному увеличению температуры во всей заготовке.

Рис. 3.

Распределение температуры по толщине подложки для различных скоростей осаждения: 1 – $v$ = = 2 × 10–7 м/с, t = 2.5 × 103 с; 2 – 10–7, 5 × 103; 3 – 5 × × 10–8, 104.

Рассмотрим влияние оптических характеристик материала осаждаемого покрытия на распределение температуры.

На рис. 4 показано значение температуры в подложке при различных значениях коэффициентов пропускания Dg и поглощения Ag теплового излучения газовой среды. Градиент температуры в покрытии уменьшается с увеличением коэффициента пропускания. Можно сделать вывод, что полупрозрачное покрытие благодаря теплообмену излучением нагревается равномернее.

Рис. 4.

Распределение температуры по толщине подложки (а) при различных коэффициентах пропускания и поглощения (Ag = 1 – Dg): 1 – Dg = 0.1, 2 – 0.5, 3 – 0.9; (б) ‒ увеличенный фрагмент графика.

На рис. 5 показано значение температуры в подложке при различных значениях натурального показателя поглощения покрытия. Как видно из рисунка, большему показателю поглощения соответствует более высокая температура покрытия.

Рис. 5.

Распределение температуры по толщине подложки при различных значениях натурального показателя поглощения покрытия: 1 – γ = 5 × 102 м–1, 2 – 103, 3 – 2 × 103.

Рис. 6 демонстрирует результаты расчета для различных коэффициентов излучения подложки. Увеличение интенсивности излучения подложки приводит к уменьшению температуры подложки. Оптические характеристики материала подложки также оказывают существенное влияние на распределение температуры.

Рис. 6.

Распределение температуры по толщине подложки при различных значениях коэффициента излучения подложки: 1 – εs = 0.2, 2 – 0.3, 3 – 0.4.

В заключение приводится сравнение результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными. На рис. 7 представлены результаты моделирования нанесения покрытия YSZ (иттрий-стабилизированного диоксида циркония) на подложку из Inconel 718 (никель-хромового сплава). Показана температура подвижной границы покрытия ($x = v~t$) в различные моменты времени. Результаты численного моделирования согласуются с экспериментальными данными.

Рис 7.

Температура поверхности покрытия YSZ на подложке из Inconel 718; точки – экспериментальные результаты из [20].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Температурное поле в подложке, на которую наносится полупрозрачное покрытие, зависит от геометрии подложки, скорости осаждения, а также от термодинамических и оптических свойств материалов покрытия и подложки. Различные доли пропускаемого и поглощаемого излучения влияют на перепад температуры в покрытии. Показатель поглощения излучения оказывает существенное влияние на распределение температуры в покрытии и подложке. Излучение подложки также существенно влияет на результаты расчетов.

Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 19-38-90178 и в рамках госзадания Министерства науки и высшего образования РФ (проект 0705-2020-0032).

Список литературы

  1. Андриевский Р.А., Рагуля А.В. Наноструктурные материалы. М.: Академия, 2005. 192 с.

  2. Пул Ч., Оуэнс Ф. Нанотехнологии. М.: Техносфера, 2005. 336 с.

  3. Лугуева Н.В., Лугуев С.М. Влияние дефектов структуры на теплопроводность поликристаллов ZnS, ZnSe, CdTe // ТВТ. 2004. Т. 42. № 1. С. 58.

  4. Nebatti A., Pflitsch C., Curdts B., Atakan B. Using the Acetylacetonates of Zinc and Aluminium for the Metalorganic Chemical Vapour Deposition of Aluminium Doped Zinc Oxide Films // Mater. Sci. Semicond. Proc. 2015. V. 39. P. 467.

  5. Romero-Gómez P., Toudert J., Sánchez-Valencia J.R., Borrás A., Barranco A., Gonzalez-Elipe A.R. Tunable Nanostructure and Photoluminescence of Columnar ZnO Films Grown by Plasma Deposition // J. Phys. Chem. C. 2010. V. 114. № 49. P. 20932.

  6. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили А.А. Численное моделирование теплопереноса в анизотропных телах с разрывными характеристиками // Матем. моделирование. 2004. Т. 16. № 5. С. 94.

  7. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Миканев С.В. Моделирование теплового состояния композиционных материалов // ТВТ. 2003. Т. 41. № 6. С. 935.

  8. Костановский А.В., Пронкин А.А., Кириченко А.Н. Формирование тонкой пленки, содержащей α-карбин, при магнетронном распылении графитовой мишени и воздействии внешнего источника фотоактивации // ТВТ. 2013. Т. 51. № 5. С. 787.

  9. Воронцов А.Г., Коренченко А.Е., Гельчинский Б.Р. Анализ стабильности малых металлических кластеров при конденсации паров металла // ТВТ. 2019. Т. 57. № 3. С. 404.

  10. Картушинский А.И., Крупенский И.А., Тислер С.В., Хусаинов М.Т., Щеглов И.Н. Осаждение твердых частиц в ламинарном пограничном слое на плоской пластине // ТВТ. 2009. Т. 47. № 6. С. 927.

  11. Кувыркин Г.Н., Журавский А.В., Савельева И.Ю. Математическое моделирование газофазного осаждения материала на криволинейную поверхность // ИФЖ. 2016. Т. 89. № 6. С. 1392.

  12. Kuvyrkin G.N., Savel’eva I.Yu., Zhuravsky A.V. Numerical Modelling of Vapor-phase Epitaxy with Allowance for Diffusion Processes // Mathematical Models and Computer Simulations. 2018. V. 10. № 3. P. 229.

  13. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ, 1993. 145 с.

  14. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018. 592 с.

  15. Макаров А.Н. Теория и практика теплообмена в электродуговых и факельных печах, топках, камерах сгорания. Ч. 1. Основы теории теплообмена излучением в печах и топках. Тверь: ТГТУ, 2007. 184 с.

  16. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М.: Наука, 1994. 336 с.

  17. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

  18. http://libmetal.ru/ (дата обращения: 12.04.2017).

  19. Головчук В.И., Гумаров А.И., Бумай Ю.А. Модификация оптических свойств оксида цинка имплантацией ионов кобальта. В кн.: Взаимодействие излучений с твердым телом – Interaction of Radiation with Solids. Матер. 12-й Междунар. конф. Минск, Беларусь, 19–22 сент. 2017 г. / Под ред. Углова В.В. и др. Минск: Изд. центр БГУ, 2017. С. 225.

  20. Zhe Lu, Guanlin Lyu, Abhilash Gulhane, Hyeon-Myeong Park, Jun Seong Kim, Yeon-Gil Jung, Jing Zhang. Experimental and Modeling Studies of Bond Coat Species Effect on Microstructure Evolution in EB-PVD Thermal Barrier Coatings in Cyclic Thermal Environments // Coatings. 2019. V. 9. № 10. 626.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал