Теплофизика высоких температур, 2021, T. 59, № 5, стр. 797-800

Тепломассоперенос на боковых поверхностях затупленных носовых частей гиперзвуковых летательных аппаратов

В. Ф. Формалев^1, *, С. А. Колесник^1, **, Е. Л. Кузнецова^1, ***

¹ Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Москва, Россия

^* E-mail: formalev38@yandex.ru
^** E-mail: sergey@oviont.com
^*** E-mail: lareyna@mail.ru

Поступила в редакцию 31.05.2021
После доработки 09.08.2021
Принята к публикации 13.09.2021

DOI: 10.31857/S0040364421050069

Аннотация

На основе общепринятых допущений получено приближенное аналитическое решение задачи о течении и тепломассопереносе в химически реагирующем газодинамическом пограничном слое на боковых поверхностях затупленных носовых частей при гиперзвуковых скоростях набегающего потока. С помощью полученных решений рассчитаны конвективные и диффузионные тепловые потоки к поверхности затупленного конуса, а на основе баланса подводимых к поверхности и отводимых от нее лучистых и кондуктивных потоков внутрь тела определены тепловое состояние и температура поверхности обтекаемого конуса. Получены и проанализированы результаты численного решения относительно температур поверхности в диапазоне чисел Маха $5 \leqslant {\rm M} \leqslant 25$ и высот полета 20 ≤ H ≤ 80 км.

ВВЕДЕНИЕ

При полете летательных аппаратов (ЛА) в плотных слоях атмосферы с гиперзвуковыми скоростями (числа Маха ${\rm M} \geqslant 5{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 6$) в наиболее тяжелых условиях находятся носовые части, подвергающиеся интенсивному аэродинамическому нагреву и большим механическим нагрузкам. Возникающие в ударных слоях высокие температуры приводят к диссоциации молекул кислорода и азота с поглощением значительного количества теплоты, так что тело обтекается бинарной смесью газов – легких атомов и тяжелых молекул [1–4]. На более холодной стенке происходит обратный процесс – рекомбинация атомов в молекулы с выделением того же количества теплоты, что и при диссоциации.

Таким образом, для определения тепловых потоков от газа к телу и температуры поверхности тела необходимо определять конвективные и диффузионные тепловые потоки, т.е. проинтегрировать систему для динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев.

Баланс подводимых к телу и отводимых от него тепловых потоков излучением и теплопроводностью внутрь тела определяет тепловое состояние обтекаемого тела и, в частности, температуру наружной границы тела, без знания которой невозможно определить тепловые потоки [5–8].

В данной статье на основе стандартных допущений для системы динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев на боковых поверхностях затупленных конусов (производная давления по продольной переменной очень мала) получены автомодельные решения для газодинамических функций, производные от которых по переменной в направлении нормали к поверхности стенки определяют суммарные конвективные и диффузионные тепловые потоки и в конечном счете тепловое состояние затупленного тела.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Рассматривается система уравнений пограничного слоя на затупленном конусе большого удлинения (отношение длины к радиусу затупления ${{R}_{0}}$ не менее 20) с полууглом конусности ${{\theta }_{0}}$ в области $x > 0,$ $0 < y < \delta $:

(1)

$\rho u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\mu \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right);$

(2)

$0 = - \frac{{\partial p}}{{\partial y}}\,\,\,\,{\text{или}}\,\,\,\,\frac{{\partial {{p}_{e}}}}{{dx}} = - {{\rho }_{e}}{{u}_{e}}\frac{{d{{u}_{e}}}}{{dx}};$

(3)

$\frac{{\partial \left( {\rho ur_{0}^{s}} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho vr_{0}^{s}} \right)}}{{\partial y}} = 0;$

(4)

$\begin{gathered} \rho u\frac{{\partial {{C}_{i}}}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial {{C}_{i}}}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\rho {{D}_{{12}}}\frac{{\partial {{C}_{i}}}}{{\partial y}}} \right) + {{w}_{i}}, \\ i = 1,2; \\ \end{gathered} $

(5)

$\begin{gathered} \rho u\frac{{\partial I}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial I}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\frac{\mu }{{\Pr }}\frac{{\partial I}}{{\partial y}} + \mu \left( {1 - \frac{1}{{\Pr }}} \right)\frac{{\partial {{u}^{2}}}}{{2\partial y}}} \right] - \\ - \,\,\frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\left( {\frac{1}{{Le}} - 1} \right)\rho {{D}_{{12}}}\sum\limits_i {{{h}_{i}}\frac{{\partial {{C}_{i}}}}{{\partial y}}} } \right]. \\ \end{gathered} $

Здесь ($0x,0y$) – ортогональная локальная система координат, в которой переменная $y$ отсчитывается от поверхности тела в направлении внешней нормали, а $x$ ‒ от критической точки; $u,v$ – компоненты вектора скорости; ${{D}_{{12}}}$ – коэффициент бинарной диффузии; µ – динамическая вязкость; Pr, Le, Sc – числа Прандтля, Льюиса, Шмидта соответственно; $I = h + {{{{u}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ – полная энтальпия газа; $h = \sum\nolimits_i {{{C}_{i}}{{h}_{i}};} $ ${{h}_{i}} = \int_0^I {{{c}_{{pi}}}dT + h_{i}^{0};} $ $h_{i}^{0}$ – теплота образования $i$-го компонента; $\delta $ – толщина пограничного слоя; $r_{0}^{s}$ – радиус от оси тела до наружной границы; $s = 1$ для осесимметричного тела; $s = 0$ для плоского тела; ${{w}_{i}}$ – скорость образования $i$-го компонента; ${{C}_{i}}$ – концентрация $i$-го компонента, $i = 1,2.$ Индекс е введен для характеристик на наружной границе пограничного слоя.

Граничные условия:

$y = 0{\kern 1pt} :u\left( {x,0} \right) = 0,\,\,\,\,v\left( {x,0} \right) = 0;$

$I\left( {x,0} \right) = {{I}_{w}};\,\,\,\,\rho \left( {x,0} \right) = {{\rho }_{w}}.$

Кроме этого, на границе газ–твердое тело должны выполняться граничные условия сопряжения по температуре и тепловым потокам:

${{T}_{g}}\left( {x,0 + 0} \right) = {{T}_{s}}\left( {x,0 + 0} \right),$

(6)

$\begin{gathered} {{\left. {{{\lambda }_{s}}\frac{{\partial {{T}_{s}}}}{{\partial y}}} \right|}_{{{{y}_{s}} = 0 + 0}}} = \\ = {{\left( {{{\lambda }_{g}}\frac{{\partial {{T}_{g}}}}{{\partial y}} + \rho {{D}_{{12}}}h_{A}^{0}\frac{{\partial {{C}_{A}}}}{{\partial y}}} \right)}_{{{{y}_{g}} = 0 + 0}}} - \varepsilon \sigma T_{w}^{4}, \\ \end{gathered} $

где индексы $s$ и $g$ относятся к твердому телу и газу соответственно, $w$ – граница газ–твердое тело; A – атомарная компонента газа; $\sigma $ – постоянная Стефана–Больцмана; $\varepsilon $ – степень черноты; координаты в теле ${{y}_{s}}$ и в газе ${{y}_{g}}$ направлены в противоположные стороны от границы тела, где ${{y}_{s}} = {{y}_{g}} = 0.$

На внешней границе пограничного слоя задается распределение давления p_e(x), и ${{u}_{e}}\left( x \right)$ определяется из уравнения энергии для идеального газа

${{h}_{\infty }} + \frac{{V_{\infty }^{2}}}{2} \approx {{h}_{e}} + \frac{{u_{e}^{2}}}{2},\,\,\,\,{{V}_{\infty }} = \sqrt {u_{\infty }^{2} + v_{\infty }^{2}} .$

Остальные характеристики ${{\rho }_{e}}\left( x \right),$ ${{T}_{e}}\left( x \right)$ находятся из изэнтропических соотношений [1].

Система уравнений (1)–(5) существенно нелинейна и ее можно решать только численно. Однако здесь вводятся такие допущения, при которых система (1)–(5) трансформируется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

1) Поскольку течение газа на боковой поверхности безградиентное, то все производные газодинамических характеристик по продольной переменной $x$ принимаются равными нулю.

2) Критерии $\Pr = \frac{{\mu {{c}_{p}}}}{\lambda } = 1,$ $Sc = \frac{\mu }{{\rho {{D}_{{12}}}}} = 1,$ $Le = $ $ = \frac{{\Pr }}{{Sc}} = 1,$ т.е. толщины динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев одинаковы и равны δ.

3) При больших числах Маха криволинейная часть ударной волны так близко подходит к поверхности конуса, что газодинамические характеристики за криволинейной частью ударной волны можно принимать в качестве последних на внешней границе пограничного слоя.

4) Пограничный слой считается замороженным, т.е. ${{w}_{i}} = 0.$

С учетом этих допущений система уравнений (1)–(5) приобретает автомодельный вид

(7)

$\rho v\delta \frac{{\partial{ \bar {u}}}}{{\partial{ \bar {y}}}} = \frac{\partial }{{\partial{ \bar {y}}}}\left( {\mu \frac{{\partial{ \bar {u}}}}{{\partial{ \bar {y}}}}} \right),\,\,\,\,\rho v\delta \frac{{\partial{ \bar {I}}}}{{\partial{ \bar {y}}}} = \frac{\partial }{{\partial{ \bar {y}}}}\left( {\mu \frac{{\partial{ \bar {I}}}}{{\partial{ \bar {y}}}}} \right),$

(8)

$\rho v\delta \frac{{\partial{ \bar {\alpha }}}}{{\partial{ \bar {y}}}} = \frac{\partial }{{\partial{ \bar {y}}}}\left( {\mu \frac{{\partial{ \bar {\alpha }}}}{{\partial{ \bar {y}}}}} \right).$

Здесь введены следующие безразмерные переменные: $\bar {y} = {y \mathord{\left/ {\vphantom {y \delta }} \right. \kern-0em} \delta },$ $\bar {u}\left( {x,y} \right) = \frac{{u\left( {x,y} \right)}}{{{{u}_{e}}\left( x \right)}},$ $\bar {I}\left( {\bar {y}} \right) = \frac{{I\left( {\bar {y}} \right) - {{I}_{w}}}}{{{{I}_{e}} - {{I}_{w}}}},$ $\bar {\alpha }\left( {\bar {y}} \right) = \frac{{\alpha \left( {\bar {y}} \right) - {{\alpha }_{w}}}}{{{{\alpha }_{e}} - {{\alpha }_{w}}}}$ – относительная концентрация атомарной компоненты $\alpha \equiv {{C}_{A}},$ а в правой части (8) вместо $\rho {{D}_{{12}}}$ стоит $\mu ,$ так как

$\rho {{D}_{{12}}} = {\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu {{{{\left. {Sc} \right|}}_{{Sc = 1}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left. {Sc} \right|}}_{{Sc = 1}}}}} = \mu .$

Граничные условия:

при $\bar {y} = 0:$ $\bar {u}\left( {x,0} \right) = 0,$ $\bar {\alpha }\left( 0 \right) = 0,$ $I\left( 0 \right) = {{I}_{w}};$

при $\bar {y} = \infty $ (или $\bar {y} = \delta $): $\bar {u}\left( {x,\infty } \right) = 1,$ $\bar {\alpha }\left( \infty \right) = 1,$ $\bar {I}\left( \infty \right) = 1.$

Интегрирование уравнений (7) и (8) приводит к соотношениям

$\begin{gathered} {{\left( {{{c}_{p}}} \right)}_{{cp}}}T\left( {\bar {y}} \right) = {{c}_{{pw}}}{{T}_{w}}\frac{{\exp \left( {{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}\bar {y}} \right) - 1}}{{\exp \left( {{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}} \right) - 1}} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {{{c}_{p}}} \right){{T}_{e}} + \frac{{u_{e}^{2}}}{2} + {{{\left( {\alpha h_{A}^{0}} \right)}}_{e}} - {{{\left( {\alpha h_{A}^{0}} \right)}}_{w}}} \right], \\ \end{gathered} $

где $h_{A}^{0}$ – энтальпия образования атомарной компоненты, ${{{{{\left( {{{c}_{p}}} \right)}}_{{cp}}} = \left( {{{c}_{{pe}}} + {{c}_{{pw}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left( {{{c}_{p}}} \right)}}_{{cp}}} = \left( {{{c}_{{pe}}} + {{c}_{{pw}}}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}.$

Отсюда конвективный тепловой поток к стенке $\left( {\frac{\partial }{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial{ \bar {y}}}}\frac{1}{\delta }} \right)$ будет равен

(9)

$\begin{gathered} {{\left. {{{\lambda }_{w}}\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right|}_{{y = 0}}} = \frac{{{{\lambda }_{w}}}}{{{{{\left( {{{c}_{p}}} \right)}}_{{cp}}}\delta }}\frac{{{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}}}{{\exp \left( {{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}} \right) - 1}} \times \\ \times \,\,\left( {{{c}_{{pe}}}{{T}_{e}} + \frac{{u_{e}^{2}}}{2} - {{c}_{{pw}}}{{T}_{w}}} \right). \\ \end{gathered} $

Аналогично интегрированием уравнения диффузии (8) получается диффузионный тепловой поток

(10)

$\begin{gathered} {{\left. {\rho {{D}_{{12}}}h_{A}^{0}} \right|}_{{y = 0}}} = \rho {{D}_{{12}}}\frac{{\partial \alpha }}{{\partial{ \bar {y}}}}\frac{{\partial{ \bar {y}}}}{{\partial y}} = \frac{{\rho {{D}_{{12}}}}}{\delta }h_{A}^{0} \times \\ \times \,\,\frac{\partial }{{\partial{ \bar {y}}}}{{\left[ {{{\alpha }_{w}} + \frac{{\exp \left( {{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}\bar {y}} \right) - 1}}{{\exp \left( {{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}} \right) - 1}}\left( {{{\alpha }_{e}} - {{\alpha }_{w}}} \right)} \right]}_{{y = 0}}}, \\ \end{gathered} $

где ${{\operatorname{Re} }_{\delta }} = \frac{{\rho v\delta }}{\mu }.$

Поскольку $v$ на четыре порядка ниже продольной скорости, то ${{\operatorname{Re} }_{\delta }}$ имеет порядок единицы, т.е.

$\frac{{{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}}}{{\exp \left( {{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}} \right) - 1}} \approx \frac{{{{{\operatorname{Re} }}_{\delta }}}}{{1 + {{{\operatorname{Re} }}_{\delta }} - 1}} = 1.$

Складывая тепловые потоки (9) и (10), получим суммарный тепловой поток в стенку

(11)

${{q}_{w}} = \frac{\mu }{\delta }\left[ {\left( {{{c}_{{pe}}}{{T}_{e}} + \frac{{u_{e}^{2}}}{2} - {{c}_{{pw}}}{{T}_{w}}} \right) + h_{A}^{0}\left( {{{\alpha }_{e}} - {{\alpha }_{w}}} \right)} \right].$

Поскольку на границе сопряжения координаты $y$ направлены в противоположные стороны от границы $y = 0,$ то на этой границе кондуктивный тепловой поток внутрь тела обозначен как ${{\lambda }_{s}}{{\left. {\frac{{\partial {{T}_{s}}}}{{\partial y}}} \right|}_{{{{y}_{s}} = {{y}_{g}} = 0}}}.$

Аналитическое решение второй начально-краевой задачи теплопроводности дается формулой

$\begin{gathered} {{T}_{s}}\left( {{{y}_{s}},t} \right) = {{T}_{{0s}}} + \frac{{{{q}_{w}}}}{{{{\lambda }_{s}}}}\left( {{{\delta }_{s}} - {{y}_{s}}} \right) + \\ + \,\,\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{q}_{w}}}}{{{{\lambda }_{s}}}}\frac{{\delta _{s}^{2}}}{2}\cos \left( {{{\gamma }_{n}},{{y}_{s}}} \right){{e}^{{ - {{a}_{s}}\gamma _{n}^{2}t}}},} \,\,\,\,{{\gamma }_{n}} = \frac{{\pi + 2\pi n}}{{2{{\delta }_{s}}}}, \\ {{a}_{s}} = \frac{{{{\lambda }_{s}}}}{{{{c}_{s}}{{\rho }_{s}}}}. \\ \end{gathered} $

Стационарное решение при $t \to \infty $ и ${{y}_{s}} = 0$ имеет вид

${{q}_{w}} = {{\left( {{{T}_{{ws}}} - {{T}_{{0s}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{T}_{{ws}}} - {{T}_{{0s}}}} \right)} {{{\delta }_{s}}}}} \right. \kern-0em} {{{\delta }_{s}}}}.$

Подставляя (11) в (6) и заменяя ${{\lambda }_{s}}{{\left. {\frac{{\partial {{T}_{s}}}}{{\partial y}}} \right|}_{{{{y}_{s}} = 0 + 0}}} \approx $ $ \approx {{\lambda }_{{{\text{тела}}}}}\frac{{{{T}_{w}} - {{T}_{0}}}}{{{{\delta }_{{{\text{тела}}}}}}},$ получим нелинейное уравнение для определения температуры поверхности ${{T}_{w}}$

(12)

$\begin{gathered} {{\lambda }_{s}}\frac{{{{T}_{w}} - {{T}_{0}}}}{{{{\delta }_{s}}}} = \\ = \,\,\frac{{{{\mu }_{w}}}}{\delta }\left[ {\left( {{{c}_{{pe}}}{{T}_{e}} + \frac{{u_{e}^{2}}}{2} - {{c}_{{pw}}}{{T}_{w}}} \right)h_{A}^{0}\left( {{{\alpha }_{e}} - {{\alpha }_{w}}} \right)} \right] - \varepsilon \sigma T_{w}^{4}, \\ \end{gathered} $

где ${{T}_{0}}$ – начальная температура тела, ${{\delta }_{s}}$ – его толщина.

На рис. 1, 2 приведены температуры ${{T}_{w}}$ боковой поверхности затупленного конуса на расстоянии x = 0.4 м от критической точки, рассчитанные по формуле (12) с учетом тепловых потоков (11).

Рис. 1.

Зависимость температур стенки от чисел Маха и высот полета: 1 – H = 20 км, 2 – 30, 3 – 40, 4 – 50, 5 – 60, 6 – 70, 7 – 80.

Рис. 2.

Зависимости температур наружной границы тела от чисел Маха и высот $H$ полета без учета излучения: 1 – H = 30 км, 2 – 40, 3 – 50, 4 – 60.

На рис. 1 температура поверхности зависит от чисел Маха набегающего потока и высот полета, когда учитывалось излучение от стенки. В любом случае максимальная температура достигала 1350 К, т.е. теплозащитные материалы функционировали в условиях отсутствия уноса массы. При этом если перепад атомарных концентраций $\Delta \alpha = {{\alpha }_{e}} - {{\alpha }_{w}} = 1$ (или ${{\alpha }_{w}} = 0,$ ${{\alpha }_{e}} = 1$), то стенка абсолютно каталитическая и все атомы на стенке рекомбинировали в молекулы, отдав теплоту рекомбинации в стенку.

На рис. 2 приведены аналогичные зависимости без учета излучения от стенки. Здесь максимальная температура достигает 2400 К, что может сопровождаться уносом массы, который нежелателен.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С учетом обоснованных упрощений уравнений пограничного слоя, позволивших их проинтегрировать, получены замкнутые формулы для конвективно-диффузионных тепловых потоков, при использовании которых определены температуры боковых поверхностей затупленных конусов при гиперзвуковом полете летательных аппаратов в широком диапазоне чисел Маха и высот полета.

Работа выполнена в рамках государственного заказа Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (№ FSFF-2020-0017).

Список литературы

Краснов Н.Ф. Аэродинамика тел вращения. М.: Машиностроение, 1964.
Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Мир, 1961.
Авдуевский В.С. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992.
Формалев В.Ф., Колесник С.А. Математическое моделирование сопряженного теплопереноса между вязкими газодинамическими течениями и анизотропными телами. М.: Ленанд, 2019.
Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние компонентов тензора теплопроводности теплозащитного материала на величину тепловых потоков от газодинамического пограничного слоя // ТВТ. 2019. Т. 57. № 1. С. 66.
Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Моделирование сопряженного теплообмена в пакетах малогабаритных плоских газодинамических сопел с охлаждением // ТВТ. 2015. Т. 53. № 5. С. 735.
Формалев В.Ф. Об универсальном законе разложения связующих теплозащитных композиционных материалов при высоких температурах // ТВТ. 2020. Т. 58. № 1. С. 91.
Формалев В.Ф. Моделирование тепломассопереноса в теплозащитных композиционных материалах на основе универсального закона разложения связующих // ТВТ. 2020. Т. 58. № 3. С. 412.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал