Теплофизика высоких температур, 2021, T. 59, № 4, стр. 584-588

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что для осуществления ряда технологических процессов применяется нагрев материалов подвижным источником тепла. В технике широко распространены локальные или точечные подвижные источники тепла. Такие технологические процессы, как нагрев лазерным и электронным лучом, пламенем газовой горелки, электрической дугой и другие, характеризуются наличием подвижных источников теплового воздействия. Подвижные источники тепла применяются в процессах плавки и рафинирования металла в металлургии, термообработки, сварки и микрообработки в машиностроении, приборостроении и др. [1, 2].

Одной из основных задач, возникающих при исследовании технологических процессов с подвижными точечными источниками, является определение параметров модели подвижного источника, т.е. формы, мощности источника и закона его движения (траектория источника). В литературе данная задача в зависимости от поставленной цели представляется как задача оптимального управления и в основном исследуются вопросы существования и единственности решения поставленных задач [2–6]. Следует отметить, что при решении задачи оптимального управления требуется большой объем вычислений, связанный с процедурой вычисления градиента функционала, а также поиска нужного значения параметра регуляризации. Кроме того, части решения задачи определяются одновременно, что приводит к потере оперативности получения решения. В связи с этим в настоящей работе задача об идентификации траектории подвижного точечного источника представляется как обратная задача математической физики. В настоящее время существует обширная литература по теории и методам численного решения обратных задач [7–10]. Однако обратные задачи, связанные с идентификацией траектории подвижных точечных источников, недостаточно исследованы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Пусть рассматривается процесс нагрева неоднородного металлического стержня подвижным точечным источником с мощностью $q(t).$ Предполагается, что концы стержня теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой, имеющей заданную температуру. Для описания формы подвижного точечного источника используется дельта-функция Дирака. Математическая модель данного процесса представляется в следующем виде:

где $u(x,t)$ – температура в сечении стержня с абсциссой $x$ в момент времени t, λ(x) – коэффициент теплопроводности стержня, ${{c}_{p}}$ – теплоемкость стержня, ρ – плотность материала стержня, $\theta (x,t)$ – температура окружающей среды, $l$ – длина стержня, $\beta $ – коэффициент теплообмена с окружающей средой, $\delta (x - r(t))$ – дельта-функция Дирака, $r(t)$ – закон движения точечного источника тепла.

Предполагается, что траектория движения подвижного точечного источника $r(t)$ заранее неизвестна и требуется найти такой закон движения источника, который обеспечивал бы в заданной точке стержня $x = \eta $ заданный температурный режим

где $f(t)$ – заданная функция.

Таким образом, задача заключается в определении функций $u(x,t)$ и $r(t),$ удовлетворяющих уравнению (1) и условиям (2)–(5). Поставленная задача относится к классу обратных задач, связанных с восстановлением правых частей дифференциальных уравнений в частных производных [7, 8].

Для устранения сингулярности в уравнении (1) дельта-функция аппроксимируется непрерывной функцией [11]. Для этого используется следующее соотношение:

где $\varepsilon $ – положительное число. Обезразмеривание пространственной переменной $x$ с использованием масштаба l с учетом аппроксимации дельта-функции и условий (2)–(6) позволяет представить уравнение (1) в следующем виде: где $\xi = \eta {{l}^{{ - 1}}},$ $s(t) = r(t){{l}^{{ - 1}}}.$

Известно, что одним из распространенных методов решения обратных задач является метод регуляризации Тихонова [7, 8], основная идея которого заключается в сведении обратной задачи к задаче минимизации некоторого функционала с дополнительным стабилизирующим членом. В основном используются две разновидности метода регуляризации Тихонова: глобальная (интегральная) и локальная (последовательная) [7–10, 12, 13]. В методе регуляризации Тихонова одной из наиболее сложных проблем является определение параметра регуляризации. Значение этого параметра необходимо согласовывать с погрешностью входных данных.

Для численного решения задачи (7)–(11) применяется конечно-разностный метод с использованием естественной регуляризации (саморегуляризация) [7, 8]. Сначала необходимо построить дискретный аналог дифференциальной задачи (7)–(11). С этой целью вводится равномерная разностная сетка

в прямоугольной области $\left\{ {0 \leqslant x \leqslant 1,\,\,0 \leqslant t \leqslant T} \right\}$ с шагами $\Delta x = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n}$ по переменной $x$ и $\Delta t = {T \mathord{\left/ {\vphantom {T m}} \right. \kern-0em} m}$ по времени t. Предполагается, что точка ${{x}_{k}} = \xi = k\Delta x$ совпадает с одним из внутренних узлов разностной сетки $\bar {\omega }.$ С использованием неявной аппроксимации по времени для источниковых членов дискретный аналог задачи (7)–(11) на сетке $\bar {\omega }$ представляется в виде где $u_{i}^{j} \approx u({{x}_{i}},{{t}_{j}}),$ ${{s}^{j}} \approx s({{t}_{j}}),$ ${{\lambda }_{{i \pm {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} = \lambda ({{x}_{i}} \pm {{\Delta x} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta x} 2}} \right. \kern-0em} 2}),$ ${{q}^{j}} = q({{t}_{j}}),$ $\theta _{i}^{j} = \theta ({{x}_{i}},{{t}_{j}}).$

Построенная разностная задача представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которой в качестве неизвестных выступают приближенные значения искомых функций $u(x,t)$ и $s(t)$ в узлах сетки $\bar {\omega },$ т.е. $u_{i}^{j},{{s}^{j}};$ $i = 0,1,2,...,n;$ $j = 1,2,3,....,m.$

Данная система разностных уравнений представляется в виде

где ${{a}_{i}} = \frac{{\Delta t{{\lambda }_{{i - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}{{{{l}^{2}}}},$ ${{b}_{i}} = \frac{{\Delta t{{\lambda }_{{i + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}{{{{l}^{2}}}},$ ${{c}_{i}} = {{a}_{i}} + {{b}_{i}}$ + + $\Delta {{x}^{2}}{{c}_{p}}\rho + \beta \Delta {{x}^{2}}\Delta t.$

С целью разделения задачи (12)–(16) на взаимно независимые подзадачи, каждая из которых может решаться самостоятельно, принимается

и решение данной системы при каждом фиксированном значении $j$ ($j = 1,2,...,m$) представляется в виде [14, 15] где $w_{i}^{j},v_{i}^{j}$ – неизвестные переменные.

Подставив выражение $u_{i}^{j}$ в каждое уравнение системы (12)–(14), получим

Из последних соотношений получаются следующие разностные задачи для определения вспомогательных переменных $w_{i}^{j},v_{i}^{j}{\text{:}}$

Полученные разностные задачи (18)–(20) и (21)–(23) при каждом фиксированном значении $j = 1,2,...,m$ представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, и решения этих систем независимо от ${{s}^{j}}$ можно найти методом Томаса [8].

Подставив представление (17) в (15), будем иметь

Отсюда можно определить приближенное значение искомой функции $s(t)$ при $t = {{t}_{j}},$ т.е.

Таким образом, полученный алгоритм решения разностной задачи (12)–(16) по определению $u_{i}^{j},$ $i = \overline {0,n} $ и ${{s}^{j}}$ при каждом фиксированном значении $j = 1,2,...,m$ основан на решении двух линейных разностных задач второго порядка (18)–(20) и (21)–(23) относительно вспомогательных переменных $w_{i}^{j},v_{i}^{j},$ $i = \overline {0,n} ,$ определения ${{s}^{j}}$ из (24) и использовании представления (17) для $u_{i}^{j},$ $i = \overline {0,n} .$

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Предложенный вычислительный алгоритм был опробован на модельных задачах. Численные расчеты проводились по следующей схеме:

для заданной функций $s(t),$ $0 \leqslant t \leqslant T$ определяется решение задачи (7)–(10), т.е. функция $u(x,t),$ $0 \leqslant x \leqslant 1,$ $0 \leqslant t \leqslant T;$      найденная зависимость $f(t) = u(\xi ,t)$ принимается в качестве точных данных для решения обратной задачи по восстановлению $s(t).$ Первая серия расчетов выполнялась с использованием невозмущенных данных. Вторая серия расчетов проводилась при наложении на $f(t)$ некоторой функции, моделирующей погрешность экспериментальных данных

где $\delta $ – уровень погрешности; $\eta (t)$ – случайная величина, моделируемая с помощью датчика случайных чисел.

Результаты численного эксперимента, проведенного для случая $l = 2$ м, ${{c}_{p}}$ = 450 Дж/(кг град), $\rho = 7800$ кг/м³, $\lambda (x)$ = 80 Вт/(м град), $s(t) = 0.85{{{\text{e}}}^{{ - {{{\left( {1 - \frac{{2t}}{T}} \right)}}^{2}}}}},$ q(t) = 2 × 10⁸ Вт/м³, θ(x, t) = 25°C, φ(x) = 25°C, $\varepsilon = 12.6;$ $\xi = 0.95$ м; $\beta = 0.02$ представлены в таблице. Здесь $t$ – время, ${{s}^{t}}$ – точные значения функции $s(t),$ $\bar {s}$ – вычисленные значения $s(t)$ при невозмущенных данных, $\tilde {s}$ – вычисленные значения $s(t)$ при возмущенных данных. Для возмущения входных данных в качестве уровня погрешности использовались $\delta = 0.02,$ $\delta = 0.05.$

Результаты численных расчетов показывают, что при использовании невозмущенных входных данных искомая функция $s(t)$ восстанавливается с высокой точностью (второй и третий столбцы таблицы). При этом относительные погрешности восстановления значений функции не превышают 0.0002%. Однако при использовании возмущенных входных данных, в которых погрешность имеет флуктуационный характер, искомая функция восстанавливается с погрешностью. С целью уменьшения погрешности восстановления решения был использован метод саморегуляризации. Известно, что этот метод основан на вязкостных свойствах вычислительных алгоритмов решения системы разностных уравнений и реализуется соответствующим выбором шагов аппроксимации исходной задачи. В качестве параметра регуляризации был выбран шаг дискретизации по времени Δt. Численные расчеты показали, что с ростом шага дискретизации по времени увеличивается точность восстановления решения. Это совершенно противоположный эффект по сравнению с численным решением прямых задач.

Можно предположить, что этот факт связан со структурой самой формулы вычисления ${{s}^{j}}.$ Дело в том, что переменные $w_{k}^{j},v_{k}^{j}$ определяются в ходе решения системы разностных уравнений (18)–(20) и (21)–(23) абсолютно устойчивым методом Томаса. Численные расчеты показывают, что решения этих систем разностных уравнений, а также значения ${{f}^{j}},$ почти прямо пропорциональны $\Delta t,$ т.е. при увеличении $\Delta t$ одновременно увеличиваются и значения переменных $w_{k}^{j},\,\,v_{k}^{j}$,${{f}^{j}}$. Несложный анализ показывает, что при использовании возмущенных входных данных погрешность при определении ${{s}^{j}}$ будет зависеть от величины ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {v_{k}^{j}}}} \right. \kern-0em} {v_{k}^{j}}}.$ Следовательно, увеличение $\Delta t$ приводит к уменьшению погрешности в решении.

Результаты численного эксперимента свидетельствуют, что использование метода саморегуляризации может уменьшить влияние погрешности входных данных на точность восстановления значений функции $s(t).$ При уровне погрешности $\delta = 0.02$ максимальная относительная погрешность восстановления значений искомой функции $s(t)$ не превышает 3.5%, а при $\delta = 0.05$ не превышает 7.2% (таблица).

Анализ результатов численных расчетов показывает, что предложенный вычислительный алгоритм можно применять при исследовании процессов нагрева материалов подвижным точечным источником тепла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена обратная задача, связанная с определением траектории подвижного точечного источника, при которой в заданной точке стержня устанавливается требуемый температурный режим. Для численного решения обратной задачи предлагается численный метод, основанный на аппроксимации дельта-функции, дискретизации задачи по времени и по пространству и использовании специального представления для разделения искомых переменных. Предложенный метод позволяет в каждом временном слое последовательно определить положение подвижного точечного источника и распределение температуры по длине стержня.