Теплофизика высоких температур, 2020, T. 58, № 5, стр. 789-808

1.1. Число Стокса (в осредненном движении)

Частицы характеризуются инерционностью, вследствие чего их движение отличается от движения несущего их газового потока. Скорость несущего газа на стенке равна нулю (гипотеза прилипания Ньютона), т.е. ${{U}_{{хw}}} = 0$. Частицы попадают в пограничный слой со скоростью ${{V}_{{х\infty }}}$. В первом приближении можно положить, что их скорость равна соответствующей скорости для газа, т.е. ${{V}_{{х\infty }}} \approx {{U}_{{x\infty }}}$ (рис. 1). Далее требуется некоторое время, за которое происходит релаксация скоростей фаз (${{V}_{{хw}}} \to {{U}_{{xw}}} = 0$). Область, в которой происходит торможение частиц, называется релаксационной областью пограничного слоя или длиной релаксации ${{l}_{r}}$.

Важнейшим параметром, характеризующим инерционность частиц при их движении в пограничном слое, является локальное число Стокса в осредненном движении Stk_f. Оно характеризует процесс релаксации осредненных скоростей газа и частиц вблизи поверхности и определяется как

где ${{\tau }_{{p0}}}$ – время динамической релаксации стоксовой частицы, ${{T}_{f}}$ – характерное время несущей фазы в осредненном движении, ${{\rho }_{p}}$ – плотность материала частицы, ${{d}_{p}}$ – диаметр частицы, $\mu $ – динамическая вязкость несущей среды, $x$ – расстояние от критической точки тела вниз по потоку до рассматриваемого сечения в пограничном слое.

В случае нестоксовых частиц вместо ${{\tau }_{{p0}}}$ в (1) необходимо использовать соответствующее время динамической релаксации частиц

где $С({{\operatorname{Re} }_{p}})$ – поправочная функция, учитывающая отклонение закона движения частицы от закона Стокса; ${{\operatorname{Re} }_{p}}$ – число Рейнольдса частицы.

Необходимо отметить, что в случае высокоскоростного потока для определения аэродинамического сопротивления частицы и времени ее релаксации необходимо вводить поправочные функции, учитывающие влияние числа Маха.

Рассмотрим два предельных случая. Если Stk_f → 0, то частицы являются малоинерционными и длина релаксации ${{l}_{r}} \to 0$. В другом предельном случае крупных частиц Stk_f → ∞ и ${{l}_{r}} \to \infty $.

Проведем простые оценки длины релаксации частиц различного диаметра. Для этого воспользуемся соотношением (1) и сделаем следующие допущения: 1) частицы являются стоксовыми; 2) частицы обладают единичной плотностью, т.е. ${{\rho }_{p}} = 1000$ кг/м³; 3) релаксация скоростей частиц заканчивается ($x = {{l}_{r}}$) при выполнении условия Stk_f = 0.2; 4) динамическая вязкость несущего газа постоянна и равна $\mu = 18 \times {{10}^{{ - 6}}}$ кг/(м с).

На рис. 2 приведены рассчитанные с учетом принятых допущений по соотношению (1) длины релаксаций относительно малоинерционных частиц в зависимости от их диаметра и скорости набегающего потока ${{l}_{r}} = f({{d}_{p}},{\kern 1pt} \,{{U}_{{x\infty }}})$. Видно, что при $\,{{U}_{{x\infty }}} = 5$ м/с для частиц ${{d}_{p}} = 1$ мкм длина релаксации равна ${{l}_{r}} \approx 0.1$ мм, а для частиц ${{d}_{p}} = 100$ мкм она увеличивается на четыре порядка и становится равной ${{l}_{r}} \approx 1$ м.

1.2. Другие безразмерные параметры

Для анализа движения частиц внутри горизонтальных и вертикальных пограничных слоев используют целый ряд безразмерных параметров: 1) параметр дрейфа $\gamma $; 2) число Стокса Stk_δ, построенное по толщине пограничного слоя; 3) число Стокса Stk⁺, построенное в координатах стенки; 4) число Фруда Fr_δ, построенное по толщине пограничного слоя; 5) число Рейнольдса ${{\operatorname{Re} }_{\delta }}$, построенное по скорости набегающего потока и толщине пограничного слоя; 6) число Рейнольдса частицы ${{\operatorname{Re} }_{p}}$, построенное по относительной скорости между фазами и диаметру частиц.

Выражения для перечисленных безразмерных параметров имеют вид (например, [44])

где ${{W}_{x}}$ – относительная скорость между фазами, ${{u}_{*}}$ – динамическая скорость, $\delta $ – толщина пограничного слоя, $\nu $ – кинематическая вязкость, $g$ – гравитационное ускорение.

1.3. Расчет движения частиц

Расчет движения частиц в пограничных слоях осуществляется интегрированием уравнений их движения в известном (или предварительно рассчитанном) поле скоростей газа. Обычно принимаются следующие допущения: 1) частицы являются твердыми сферами одинакового диаметра ${{d}_{p}}$ и плотности ${{\rho }_{p}}$; 2) столкновения между частицами не учитываются ($\Phi \ll 1$, $\Phi $ – объемная концентрация частиц); 3) не учитывается сила тяжести частиц при малой скорости витания (${{\tau }_{p}}g \ll {{V}_{x}}$); 4) не учитываются силы плавучести, Бассе, присоединенной массы, так как они на порядки меньше силы аэродинамического сопротивления в случае ${{\rho }_{p}} \gg \rho $ ($\rho $ – плотность газа) [45, 46].

В пограничных слоях имеют место высокие градиенты осредненной скорости газа и интенсивное вращение частиц, вызываемое их столкновениями со стенкой, поэтому подъемными силами вследствие сдвига скорости несущей фазы и вращения частиц обычно не пренебрегают.

С учетом сделанных допущений уравнения движения частицы принимают следующий вид:

где ${{x}_{p}}$ – вектор координаты (радиус-вектор) частицы; $v$ – вектор мгновенной линейной скорости частицы; ${{\omega }_{p}}$ – вектор угловой скорости частицы; ${{m}_{p}}$ – масса частицы (${{m}_{p}} = \pi {\kern 1pt} {{\rho }_{p}}{\kern 1pt} {{d_{p}^{3}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d_{p}^{3}} 6}} \right. \kern-0em} 6}$); $I$ – момент инерции частицы ($I = {{{{m}_{p}}{\kern 1pt} d_{p}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{p}}{\kern 1pt} d_{p}^{2}} {10}}} \right. \kern-0em} {10}}$); ${{F}_{{\text{D}}}}$ – сила аэродинамического сопротивления; ${{F}_{{\text{S}}}}$ – подъемная сила, обусловленная сдвигом осредненной скорости (сила Сэфмена); ${{F}_{{\text{M}}}}$ – подъемная сила, вызванная вращением частицы (сила Магнуса); $T$ – момент вращения, действующий на частицу.

1.3.1. Сила аэродинамического сопротивления. Причиной возникновения этой силы является разница скоростей газа и движущейся в нем частицы. Выражение для силы аэродинамического сопротивления имеет вид

где $u$ – вектор мгновенной линейной скорости газа в месте расположения частицы; ${{С}_{{\text{D}}}}$ – коэффициент аэродинамического сопротивления, определяемый как Поправочная функция $C({{\operatorname{Re} }_{p}})$ учитывает влияние сил инерции на время релаксации нестоксовой частицы [47] где число Рейнольдса частицы ${{\operatorname{Re} }_{p}} = \frac{{\left| {u - v} \right|{\kern 1pt} {{d}_{p}}}}{\nu }.$

1.3.2. Сила Сэфмена. Данная сила возникает из-за неоднородности профиля осредненной скорости газа [48]. Разница относительных скоростей обтекания частицы с различных сторон приводит к возникновению перепада давления. Движение частицы осуществляется в сторону пониженного давления. Выражение для силы Сэфмена имеет вид [49]

где $\omega = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}(\nabla \times u)$ – вектор угловой скорости газа. Поправочная функция ${{C}_{S}}$ учитывает отличие записи от классической формулы Сэфмена: где число Рейнольдса сдвигового потока Re_s = $ = \frac{{\left| \omega \right|d_{p}^{2}}}{\nu }$.

Поправочная функция $C({{\operatorname{Re} }_{p}},{{\operatorname{Re} }_{s}})$, учитывающая режим обтекания частицы, обычно имеет вид

Здесь параметр $\beta $ определяется как 1.3.3. Сила Магнуса. Причиной возникновения этой силы является вращение частицы. Вращаясь, частица увлекает за собой газ. В результате на той стороне, где направления обтекания и вращения элементов газа совпадают, давление становится пониженным по сравнению с областью, где эти направления противоположны. Таким образом, частица будет перемещаться в сторону пониженного давления. Выражение для силы Магнуса имеет вид [50] Поправочную функцию ${{С}_{{\text{M}}}}({{{{{\operatorname{Re} }}_{s}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\operatorname{Re} }}_{s}}} {{{{\operatorname{Re} }}_{p}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\operatorname{Re} }}_{p}}}})$ для разных диапазонов чисел Рейнольдса представим как [51, 52]

1.3.4. Момент вращения. Возникновение момента вращения обусловлено наличием вязкости газа. Выражение для момента вращения имеет вид

где поправочную функцию ${{C}_{{\text{T}}}}({{\operatorname{Re} }_{s}})$ представим как [51, 53, 54]

1.3.5. Коррекция сил вблизи стенки. Отметим, что имеется значительное количество работ, в которых авторы пытаются изучить влияние близости стенки (${{{{d}_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}_{p}}} l}} \right. \kern-0em} l} \leqslant 5$, где $l$ – расстояние до ближайшей стенки) на величины аэродинамической силы и подъемной силы Сэфмена. Так, были предложены корректировочные функции для силы аэродинамического сопротивления частиц, движущихся параллельно [55] и перпендикулярно [56] стенке, а также для подъемной силы [57].

В более поздней работе [58] путем прямого численного моделирования с использованием лагранжевого траекторного подхода для пристеночной области показано, что использование известных корректировочных соотношений для силы сопротивления и подъемной силы приводит к лишь незначительному влиянию на профили концентрации частиц, осредненные и пульсационные составляющие (продольную, нормальную и поперечную) скоростей газа и частиц, а также напряжений Рейнольдса. В указанном исследовании межчастичные столкновения не принимались во внимание, а инерционность дисперсной фазы варьировалась в диапазоне $\tau _{p}^{ + } = 1.2{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 27.1$ ($\tau _{p}^{ + } = {{{{\tau }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\tau }_{p}}} {{{\tau }^{ + }}}}} \right. \kern-0em} {{{\tau }^{ + }}}}$, ${{\tau }^{ + }} = {\nu \mathord{\left/ {\vphantom {\nu {u_{*}^{2}}}} \right. \kern-0em} {u_{*}^{2}}}$ – время в координатах стенки).

Однако в [59] для вертикального турбулентного пограничного слоя найдено, что коррекции аэродинамической и подъемной сил (предложенные в [60, 61]) уменьшают скорость осаждения малоинерционных частиц (Stk⁺ < 5) и увеличивают ее для частиц, обладающих большой инерцией (Stk⁺ ≈ 20).

2.1. Движение частиц в ламинарном пограничном слое

Движение частиц в ламинарном пограничном слое в значительной степени определяется наличием динамического скольжения относительно несущего газа. В релаксационной области распределение осредненных скоростей частиц отличается от соответствующего распределения для газа. Торможение частиц в пристенной области и действие поперечных сил, приводящих к миграции частиц в направлении стенки, являются физическими механизмами роста их концентрации в пограничном слое.

2.1.1. Расчетно-теоретические исследования. Детальное исследование как особенностей движения частиц в ламинарном пограничном слое, так и их обратного влияния на характеристики движения несущего газа (см. п. 2.2) выполнено в работе [62]. Рассматриваемый ламинарный пограничный слой развивался на полубесконечной плоской пластине, а моделирование проводилось в рамках модели двух взаимопроникающих континуумов [63]. Предполагалось, что частицы являются сферами одинакового радиуса и их объемная концентрация мала. Так как физическая плотность частиц на несколько порядков превышает плотность несущего газа (${{\rho }_{p}} \gg {{\rho }_{f}}$), то в качестве единственной силы межфазного взаимодействия во всей расчетной области в пограничном слое принята сила Стокса.

Рассмотренное в [62] двухфазное течение можно классифицировать как квазиравновесное (вне пограничного слоя), так как скорости несущей и дисперсной фаз равны. Наличие динамического скольжения вследствие инерции частиц при течении в пограничном слое приводило к тому, что поток становился неравновесным. В [62] изучено развитие профилей продольной (рис. 3) и поперечной (рис. 4) составляющих скорости частиц, а также их концентрации. Профили скоростей и концентраций приводятся для различных значений безразмерной продольной координаты $\bar {x}$, определяемой (при допущении ${{V}_{{х\infty }}} \approx {{U}_{{x\infty }}}$) следующим образом:

Отсюда следует, что безразмерная длина $\bar {x}$ – это величина, обратная локальному числу Стокса в осредненном движении.

Из рис. 3 видно, что продольная скорость частиц больше скорости газа по всему пограничному слою, причем при $\bar {x} < 1$ (Stk_f > 1) она отлична от нуля на поверхности пластины. Это происходит вследствие инерции частиц. В [62] отмечается, что релаксация скоростей фаз практически заканчивается при $\bar {x} = 5$ (Stk_f = 0.2), а структура течения при различных значениях массовой концентрации частиц $M$ однотипна.

Расчеты выявили (рис. 4), что при малых $\bar {x}$ (больших Stk_f) в пограничном слое существует область, где поперечная составляющая скорости газа больше соответствующей скорости частиц, что свидетельствует о пересечении частицами линий тока несущего газа по направлению к стенке. В [62] отмечается, что релаксация поперечных составляющих скоростей фаз происходит на значительно большей длине, чем релаксация продольных составляющих.

Полученные распределения концентрации частиц показали, что при $\bar {x} < 1$ (Stk_f > 1) плотность дисперсной фазы монотонно возрастает с приближением к пластине и достигает на стенке конечного значения ${{M}_{w}} = {{{{M}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{M}_{0}}} {(1 - \bar {x})}}} \right. \kern-0em} {(1 - \bar {x})}}$. При $\bar {x} \geqslant 1$ (Stk_f ≤ 1) концентрация частиц стремится к бесконечности по мере приближения к стенке. Позже в [64] были изучены зоны неограниченного роста концентрации частиц в потоках, однако сделанные выводы не подтверждены результатами экспериментов.

Напомним, что в [62] в качестве единственной силы, определяющей движение частиц в ламинарном пограничном слое, выступала сила Стокса. Попытки учесть влияние подъемной силы Сэфмена, обусловленной неоднородностью поля скорости газа, предприняты в работах [65, 66]. Что касается другой силы, также вызывающей поперечную миграцию частиц, – силы Магнуса, то в [66] показано, что при ${{\operatorname{Re} }_{p}} < 10$, где Re_p = $ = {{{{U}_{{x0}}}{{d}_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{{x0}}}{{d}_{p}}} \nu }} \right. \kern-0em} \nu }$, проекция этой силы на поперечную ось намного меньше силы Сэфмена.

В [66] получены распределения поперечной скорости частиц по длине пластины. Показано, что при $\bar {x} < 2$ (Stk_f > 0.5) вблизи стенки поперечная скорость частиц принимает отрицательные значения, т.е. направлена к стенке. Это объясняется тем, что вблизи передней кромки пластины в пристеночной области наряду с высокими градиентами продольной скорости газа имеется также и значительная разница между продольными скоростями фаз, что ведет к появлению силы Сэфмена. Продольная скорость частиц в этой области течения превышает скорость газа, поэтому и сила Сэфмена, действующая на частицы, приводит к их перемещению в направлении пластины. С увеличением расстояния от передней кромки пластины разница продольных скоростей фаз снижается, что ведет к уменьшению силы Сэфмена. Вследствие этого с увеличением $\bar {x}$ (уменьшением Stk_f) область отрицательных значений поперечной скорости частиц сужается, а при $\bar {x} = 3$ (Stk_f = 0.33) исчезает.

В [66] также представлены распределения концентрации частиц в одном сечении потока для различных значений ${{\operatorname{Re} }_{p}}$. Распределение концентрации частиц при ${{\operatorname{Re} }_{p}} = 0$, т.е. в случае отсутствия динамического скольжения между фазами, в точности повторяет распределение, полученное в [62] без учета силы Сэфмена. Увеличение числа Рейнольдса ведет к росту силы Сэфмена, что в свою очередь вызывает увеличение поперечных скоростей частиц. Поток частиц, осаждающихся на стенке, снижает значение концентрации примеси в пристенной зоне. Таким образом, с увеличением влияния силы Сэфмена на динамику частиц происходит качественная перестройка профиля их концентрации, которая приводит к исчезновению области с максимумом концентрации частиц вблизи стенки. Аналогичный вывод сделан и в работе [65] при моделировании движения запыленного газа на начальном участке плоского канала и круглой трубы, где влияние силы Сэфмена также значительно.

2.1.2. Экспериментальные исследования. Поведение твердых частиц в ламинарном пограничном слое изучено в работе [67]. Пограничный слой развивался вдоль боковой поверхности стержня (диаметр – 11 мм) с полусферическим торцом, установленного внутри вертикальной трубы. Эксперименты проводились для случая нисходящего турбулентного потока воздуха в трубе. Число Рейнольдса равно ${{\operatorname{Re} }_{D}} = 12{\kern 1pt} 800$ при осредненной скорости воздуха на оси трубы ${{U}_{{xc}}} = 3$ м/с, внутренний диаметр трубы $D = 64$ мм. В качестве дисперсной фазы в экспериментах использовались сферические частицы стекла диаметром ${{d}_{p}} = 100$ мкм. Измерения проводились для двух массовых концентраций частиц в потоке: низкой ${{M}_{0}} = 0.03$ и высокой ${{M}_{0}} = 0.8$.

В [67] получены распределения осредненных и пульсационных (среднеквадратичных) скоростей “чистого” воздуха и твердых частиц, а также профили концентрации дисперсной фазы в трех выборочных сечениях ламинарного пограничного слоя.

Измерения показали, что осредненная скорость частиц превышает скорость несущего воздуха по всему пограничному слою, что неудивительно для нисходящего течения на стабилизированном участке. В экспериментах использовались относительно инерционные частицы, длина релаксации которых соизмерима с протяженностью ламинарной области развивающегося вдоль поверхности модели пограничного слоя. Измеренные распределения скоростей частиц свидетельствуют о том, что процесс релаксации скоростей фаз не заканчивается к сечению, в котором выполнены последние измерения. Значения чисел Стокса, полученные с использованием соотношения (1), для разных сечений равны: ${\text{St}}{{{\text{k}}}_{f}} \approx 5$, ${\text{St}}{{{\text{k}}}_{f}} \approx 2$ и ${\text{St}}{{{\text{k}}}_{f}} \approx 1$. В [62] показано, что релаксация скоростей фаз практически заканчивается при $\bar {x} = 5$ (${\text{St}}{{{\text{k}}}_{f}} = 0.2$), а структура течения при различных значениях массовой концентрации частиц однотипна.

Эксперименты выявили, что интенсивность пульсаций скоростей частиц на внешней границе пограничного слоя равна ${{\sigma }_{{{{V}_{x}}}}} \approx 7.5\% $, что превышает значение интенсивности пульсаций скорости воздуха. В экспериментах использовались относительно инерционные частицы, степень вовлечения которых в пульсационное движение турбулентными вихрями воздуха невелика. Основная причина наблюдаемых пульсаций скоростей частиц – использование в экспериментах полидисперсных частиц. В потоке движутся частицы различных размеров и, как следствие, они имеют различные значения осредненных скоростей. С уменьшением расстояния от поверхности модели интенсивность пульсаций скорости частиц существенно возрастает. В пристенной области основной причиной такого роста являются высокие градиенты осредненной скорости несущей фазы. Наличие градиента осредненной скорости воздуха определяет и неоднородность профиля осредненной скорости частиц. Перемещение частиц в области с различными значениями осредненной скорости дисперсной фазы приводит к появлению высоких значений пульсаций скорости частиц вблизи стенки. Аналогичный эффект роста пульсаций скорости частиц в неоднородных турбулентных потоках выявлен в работах [68–72].

Увеличение концентрации вызывало рост как осредненных, так и пульсационных скоростей частиц. Основной причиной этого является интенсивный обмен импульсом между фазами. Скорость частиц превышает скорость газа. С ростом концентрации дисперсной фазы частицы все более и более ускоряют воздушный поток. Также возрастает и скорость дисперсной фазы в потоке с большей скоростью. К сожалению, имеющаяся система и методика измерений не позволили провести исследование характеристик воздуха в присутствии частиц при высокой концентрации дисперсной фазы. Тем не менее очевидно, что обратное влияние частиц на течение воздуха при высоком содержании дисперсной фазы значительно.

Эксперименты отчетливо выявили существенное снижение концентрации дисперсной фазы в пограничном слое по сравнению с ее значением в набегающем потоке. Степень снижения концентрации частиц в пристенной области увеличивается вниз по потоку. Имеющиеся расчетно-теоретические данные [65, 66] показывают, что в условиях релаксационной области пограничного слоя, где в пристенной области скорость частиц превышает скорость газа, имеет место рост концентрации дисперсной фазы вследствие действия сил Сэфмена и Магнуса. Вероятно, для условий работы [67] частицы перед их попаданием в пограничный слой претерпевают соударения с телом под острыми углами и продолжают свое движение, перемещаясь от стенки. Это приводит к формированию в пристенной области зоны пониженной концентрации дисперсной фазы.

Детальное расчетно-теоретическое исследование особенностей движения частиц в ламинарном пограничном слое, развивающемся в окрестности критической точки затупленного тела, проведено в [73]. В этой работе выполнен анализ влияния силы Сэфмена на возникновение поперечной составляющей скорости частиц и формирование приповерхностной области, свободной от частиц.

2.2. Влияние частиц на ламинарный пограничный слой

Влияние частиц на ламинарный пограничный слой в значительной степени определяется наличием межфазного обмена импульсом в осредненном движении вследствие различия скоростей. Это обстоятельство при определенных концентрациях дисперсной фазы приводит к увеличению в пристенной области градиента осредненной скорости несущего газа, росту поверхностного трения и теплоотдачи.

2.2.1. Расчетно-теоретические исследования. Продолжим рассмотрение результатов работы [62]. При проведении расчетов массовая концентрация частиц варьировалась в широком диапазоне, что приводило к существенному влиянию дисперсной фазы на параметры течения газа. Описанное в 2.1 различие в скоростях между фазами ведет к интенсивному обмену импульсом, следствием которого является большая наполненность профиля скорости газовой фазы по сравнению со случаем однофазного течения (рис. 3). Профили продольных скоростей обеих фаз при больших $\bar {x}$ (малых Stk_f) становятся автомодельными. Данные предельные профили могут быть получены из решения уравнений Прандтля для однофазного газа с увеличенной плотностью ${{\rho }_{e}} = \rho + \Phi {\kern 1pt} {{\rho }_{p}} = \rho (1 + M)$. Таким образом, после релаксации скоростей данное течение опять (как набегающий на пластину поток) становится квазиравновесным.

В работе [62] также были рассчитаны местные коэффициенты трения ${{c}_{f}}$ при различных значениях массовой концентрации частиц. Показано, что коэффициент трения в двухфазном потоке существенно больше, чем в однофазном. Рост трения на стенке при $\bar {x} < 1$ (Stk_f > 1) объясняется ростом градиента скорости несущего газа в этой области течения из-за межфазного обмена импульсом. Скорость частиц вниз по потоку снижается, а их концентрация увеличивается. Вследствие этого градиент скорости газа начинает уменьшаться, что ведет к снижению коэффициента трения. При $\bar {x} \to \infty $ (Stk_f → 0) коэффициент трения стремится к своему предельному значению, которое соответствует решению Блазиуса для однофазного газа с увеличенной плотностью.

В работе [66] показано, что учет силы Сэфмена приводит к существенному изменению распределений коэффициента трения по длине пластины в ламинарном пограничном слое. Приведены рассчитанные значения коэффициента трения для различных значений ${{\operatorname{Re} }_{p}}$. Распределение трения на пластине при ${{\operatorname{Re} }_{p}} = 0$ практически не отличается от распределения, полученного в [62]. С ростом числа Рейнольдса уменьшается концентрация частиц в пристенной области (как показано в 2.1), что приводит к снижению интенсивности межфазного обмена импульсом. Следствием этого является меньшее наполнение профиля скорости газа, снижение градиента скорости на стенке и уменьшение величины максимума в распределении ${{c}_{f}}\sqrt {{{{\operatorname{Re} }}_{x}}} $. В то же время снижение коэффициента трения по длине пластины при числах Рейнольдса, отличных от нуля, происходит более плавно. Это является следствием того, что наличие перемещающихся по направлению к стенке частиц (эти частицы имеют более высокие значения продольной скорости, чем частицы, движущиеся в непосредственной близости от стенки) приводит к увеличению протяженности области релаксации продольных скоростей фаз, в которой имеют место высокие значения коэффициента трения.

Вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что неучет подъемной силы Сэфмена, действующей на частицы, при расчете ламинарного пограничного слоя при ${{\operatorname{Re} }_{p}} \geqslant 1$ может приводить к существенным погрешностям.

В [74] выполнено исследование влияния частиц на характеристики ламинарного пограничного слоя на полубесконечной пластине для случая течения сжимаемого газа. Указанная работа развивает положения исследования [75], в котором впервые предпринят учет изменения плотности газа, но использовались простые соотношения для вязкости газа и допущение, что движение частиц подчиняется закону Стокса. В [74] сделаны важные выводы, что коэффициенты трения и теплоотдачи становятся больше, а толщина вытеснения меньше по сравнению со случаем однофазного течения.

2.2.2. Экспериментальные исследования. Перейдем к описанию и анализу результатов экспериментальных работ [76–78], в которых измерены распределения скоростей чистого воздуха, воздуха в присутствии частиц и самих твердых частиц во всех областях пограничного слоя, в том числе и в ламинарной области.

Пограничный слой развивался вдоль боковой поверхности цилиндра, установленного внутри вертикальной трубы. Торец цилиндра выполнен в виде полусферы. Число Рейнольдса восходящего потока воздуха равно ${{\operatorname{Re} }_{D}} = 5.5 \times {{10}^{4}}$. В качестве дисперсной фазы в экспериментах использовались частицы оксида алюминия (Al₂O₃) со среднемассовым размером 50 мкм. Средняя по сечению трубы массовая расходная концентрация частиц варьировалась в диапазоне ${{M}_{0}} = 0{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 0.26$. Проведенные измерения в набегающем (невозмущенном цилиндром) потоке показали, что присутствие частиц практически не приводит к изменению профиля осредненной скорости несущего потока воздуха.

Выяснилось, что скорость частиц вблизи границы пограничного слоя меньше, чем скорость несущего воздуха, и составляет примерно 90% от скорости внешнего потока. В то же время скорость частиц вблизи стенки вследствие их инерции значительно превосходит скорость воздуха на протяжении всей исследованной области в пограничном слое и особенно на участке ламинарного течения.

Присутствие частиц в потоке оказывает существенное влияние на профиль осредненной скорости несущей фазы в “псевдоламинарном” пограничном слое. Профиль становится более заполненным вследствие ускорения воздуха частицами вблизи стенки. Это согласуется с выводами работы [62]. Различие между скоростями воздуха однофазного и двухфазного течений достигает своего максимума именно вблизи стенки, где имеется наибольшая разница в скоростях газовой и твердой фаз из-за инерции частиц. Число Рейнольдса частицы в этой области значительно превосходит соответствующую характеристику в набегающем потоке и равно ${{\operatorname{Re} }_{p}} = 15{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 25$. Наполняя профиль осредненной скорости, частицы увеличивают ее градиент на стенке, что приводит к росту поверхностного трения в ламинарной области пограничного слоя.

3.1. Устойчивость ламинарного пограничного слоя с частицами

Можно предположить, что устойчивость ламинарного пограничного слоя будет определяться взаимодействием частиц с периодическими по пространству и времени возмущениями (волны Толлмина–Шлихтинга, когерентные вихревые структуры, вихри Гертлера и др.), приводящим к их росту или затуханию.

3.1.1. Генерация возмущений (турбулентности) предельно малоинерционными частицами. В монографии [88] сделан вывод, что влияние частиц на устойчивость газового потока проявляется двояким образом. Во-первых, твердые частицы в силу своей большой физической плотности (${{{{\rho }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }_{p}}} \rho }} \right. \kern-0em} \rho } \cong O({{10}^{3}})$) вызывают рост “эффективной” плотности двухфазного потока ${{\rho }_{e}}$ с увеличением их концентрации как

Рост плотности несущей фазы приведет к снижению ее эффективной кинематической вязкости ${{\nu }_{e}} = {\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu {{{\rho }_{e}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{e}}}}$, что в свою очередь повлечет увеличение основной режимной характеристики течения – числа Рейнольдса. Это является фактором, дестабилизирующим ламинарное течение.

К описанному эффекту приводит присутствие в потоке предельно малоинерционных частиц, время релаксации которых намного меньше лагранжева интегрального масштаба турбулентности (характеризует время жизни крупных энергонесущих вихрей).

В более поздних публикациях [89–92] исследуется механизм генерации турбулентности за счет снижения энергии мелких вихрей, вовлекающих предельно малоинерционные частицы в мелкомасштабное пульсационное движение и отвечающих за подавление (диссипацию) энергии турбулентности.

3.1.2. Диссипация возмущений (турбулентности) относительно малоинерционными частицами. Впервые изучение устойчивости газа, несущего твердые частицы, проведено в [93]. Рассмотрено уравнение Навье–Стокса для несущего газа с учетом силы межфазного взаимодействия (сила Стокса). Анализ в [93] в значительной степени следовал методу линеаризации, используемому при исследовании устойчивости однофазных течений [94], в котором предполагаются малые возмущения потока. В результате получено модифицированное уравнение Орра–Зоммерфельда, которое отличалось от соответствующего уравнения для однофазного потока только использованием другого (более сложного) профиля скорости. Анализ уравнения показал, что при малых значениях параметра ${{{{\alpha }^{2}}d_{p}^{2}{{\rho }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }^{2}}d_{p}^{2}{{\rho }_{p}}} \rho }} \right. \kern-0em} \rho }$ ($\alpha $ – волновое число в принятой функции возмущений для скорости жидкости) наличие частиц приводит к большей дестабилизации течения, тогда как при больших значениях указанного параметра скорость затухания возмущений увеличивается и течение стабилизируется. Для простого течения (плоское течение Пуазейля) найдено граничное значение параметра, при котором дестабилизирующий эффект частиц, обусловленный увеличением эффективной плотности потока, уравновешивает стабилизирующий эффект частиц за счет диссипации энергии.

В [95] рассмотрен вопрос устойчивости течения в несжимаемом ламинарном пограничном слое, развивающемся на полуограниченной плоской пластине. Исследование выполнено при допущении, что основным силовым фактором, определяющим поведение частиц, является стоксова сила сопротивления. Получено решение модифицированных уравнений Орра–Зоммерфельда [93] двумя различными способами для случая низкого массового содержания частиц. Численное исследование проведено для моно- и полидисперсных частиц. В результате показано, что присутствие частиц вызывает подавление неустойчивых волн в широком диапазоне изменения размеров частиц. Наиболее значительное подавление имеет место в случае частиц средних размеров, когда длина их релаксации близка к длине волны Толлмина–Шлихтинга. Для стационарной волны Толлмина–Шлихтинга в случае монодисперсных частиц выявлен разрыв собственного значения из-за резонансного ускорения частиц в критическом слое. Проведенный анализ для монодисперсных частиц распространен на случай течения с полидисперсными частицами. Демпфирующий эффект от полидисперсных частиц при их дискретном распределении по размерам схож со случаем монодисперсных частиц. Так, число разрывов собственных значений равно числу размеров частиц.

В работах [16, 21, 22, 92] исследуется механизм диссипации турбулентности за счет снижения энергии крупных вихрей, вовлекающих относительно малоинерционные частицы в крупномасштабное пульсационное движение и отвечающих за рост (генерацию) энергии турбулентности.

3.1.3. Генерация возмущений (турбулентности) крупными частицами. При движении в ламинарном пограничном слое крупных частиц при больших числах Рейнольдса (${{\operatorname{Re} }_{p}} > 1000$) за ними образуются турбулентные следы. Таким образом, можно ожидать, что присутствие в потоке таких инерционных частиц будет однозначно приводить к дестабилизации ламинарного течения.

В работах [17, 22] исследуется механизм генерации турбулентности в турбулентных следах за движущимися частицами. Показано, что интенсивность турбулентности несущего газа может возрастать значительно (до нескольких раз) по сравнению с ее значением в однофазном потоке.

3.2. Влияние частиц на ламинарно-турбулентный переход

Проблема перехода ламинарного течения жидкости (газа) в турбулентное привлекает внимание исследователей уже на протяжении 130 лет. С точки зрения использования на практике это обусловлено возможностью предсказания положения области ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое, от которого зависит величина сопротивления трения и интенсивность теплообмена на обтекаемом теле.

3.2.1. Расчетно-теоретические исследования. Изучение восприимчивости сверхзвукового пограничного слоя к присутствию в потоке твердых частиц представлены работами [96, 97]. В этих исследованиях показано, что при взаимодействии с пограничным слоем частицы генерируют неустойчивые волновые пакеты (волны Толлмина–Шлихтинга). Последние усиливаются вниз по потоку и приводят к генерации турбулентных пятен. Развита теоретическая модель, описывающая механизм восприимчивости исходного течения к возмущениям, для предсказания начального спектра волн Толлмина–Шлихтинга. С использованием этих начальных условий развитие неустойчивости Толлмина–Шлихтинга вниз по потоку рассчитывалось на основе теории линейной устойчивости. Ламинарно-турбулентный переход ассоциировался с точкой, в которой амплитуда возмущений достигает некоторого порогового значения. В качестве верификации построенной теории выполнены расчеты для случая сверхзвукового (число Маха равно 4) обтекания острого клина (угол полураствора – 14°) на высоте 20 км с нулевым углом атаки. Показано, что сферические частицы радиусом от 10 до 20 мкм с плотностью, превышающей 1 г/см³, могут приводить к началу ламинарно-турбулентного перехода, соответствующего коэффициенту усиления N = 9–10. Сделан важный вывод, что присутствующие в атмосфере частицы могут быть главной причиной ламинарно-турбулентного перехода по сценарию Толлмина–Шлихтинга на аэродинамически гладких поверхностях при полете с гиперзвуковыми скоростями.

3.2.2. Экспериментальные исследования. Продолжим рассмотрение результатов работ [76–78], начатое в 2.2. Полученные в этих работах экспериментальные результаты позволили сделать вывод о влиянии присутствия частиц на ламинарно-турбулентный переход.

Присутствие частиц в потоке оказывало существенное влияние на профиль осредненной скорости несущей фазы в ламинарном пограничном слое. Профиль становился более заполненным вследствие ускорения воздуха частицами вблизи стенки. Наполняя профиль осредненной скорости, частицы увеличивают ее градиент на стенке, что приводит к росту поверхностного трения в ламинарной области пограничного слоя. Наполнение профиля скорости приводит также к уменьшению формпараметра профиля в этой области, приближая его значение к значению, характерному для турбулентного пограничного слоя, и, таким образом, ускоряет начало перемежающегося ламинарно-турбулентного течения.

Начало ламинарно-турбулентного перехода определялось двумя способами: 1) по минимуму в распределении осредненной скорости при траверсировании точки измерений на фиксированном расстоянии ($y = 0.2$ мм) вдоль поверхности стержня; 2) по началу резкого уменьшения формпараметра $H$ профиля осредненной скорости.

Эта характеристика определяется следующим образом:

где толщина вытеснения $\delta {\text{*}}$ и толщина потери импульса $\delta {\text{**}}$ находятся для несжимаемого течения как

Проведенные измерения показали, что значение формпараметра профиля скорости в случае однофазного течения значительно меньше, чем для классического ламинарного пограничного слоя ($H = 2.6$, ${{\sigma }_{U}} \to 0$), и равно $H \approx 2.10{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 2.15$. Это является следствием повышенной степени турбулентности в ядре потока. Присутствие частиц в потоке, как уже было отмечено выше, приводит к наполнению профиля осредненной скорости и тем самым уменьшает значение формпараметра до следующих значений: $H \approx 2.0$ при концентрации дисперсной фазы ${{M}_{0}} = 0.18$ и $H \approx 1.90{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1.92$ при концентрации ${{M}_{0}} = 0.26$.

Анализ полученных распределений осредненной скорости и формпараметра позволил в [77, 78] сделать вывод о том, что в случае однофазного течения ламинарно-турбулентный переход начинается при $x = 55{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 60$ мм, что соответствует диапазону чисел Рейнольдса ${{\operatorname{Re} }_{{xcr1}}} = 4.88 \times {{10}^{4}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} $ $5.32 \times {{10}^{4}}$. В случае двухфазного потока ламинарно-турбулентный переход начинается раньше, а именно при $x = 40{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 50$ мм (${{\operatorname{Re} }_{{xcr1}}} = 3.55 \times {{10}^{4}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} $ $4.43 \times {{10}^{4}}$) и $x = 36{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 44$ мм (${{\operatorname{Re} }_{{xcr1}}} = 3.19 \times {{10}^{4}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} $ $3.90 \times {{10}^{4}}$) для массовых концентраций ${{M}_{0}} = 0.18$ и ${{M}_{0}} = 0.26$ соответственно. Таким образом, эксперименты выявили эффект присутствия твердых частиц на начало ламинарно-турбулентного перехода. Что касается влияния частиц на окончание ламинарно-турбулентного перехода, то его выявлено не было.

4.1. Движение частиц в турбулентном пограничном слое

Движение частиц в турбулентном пограничном слое в значительной степени определяется возможным наличием динамического скольжения относительно несущего газа. Если турбулентный пограничный слой лежит в релаксационной области, то распределение осредненных скоростей частиц (как и в случае ламинарного пограничного слоя) отличается от соответствующего распределения для газа. Помимо этого, поведение частиц будет определяться их взаимодействием с турбулентными вихрями различных масштабов, а также с когерентными структурами, присущими турбулентному пограничному слою. Миграция частиц в направлении стенки приводит к столкновениям частиц со стенкой, а с ростом концентрации и к столкновениям частиц между собой.

4.1.1. Расчетно-теоретические исследования. Одной из ключевых проблем изучения поведения частиц в турбулентных сдвиговых потоках является изучение процесса осаждения частиц на стенку. История этого вопроса насчитывает уже шесть–семь десятилетий.

Поток частиц на стенку обычно записывают как

где верхняя черта обозначает осреднение функции плотности вероятности скорости частиц, $N$ – концентрация (числовая) частиц, ${{v}_{y}}$ – поперечная скорость частиц, ε_B – коэффициент броуновской диффузии частиц, ${{\varepsilon }_{p}}$ – коэффициент турбулентной диффузии частиц. Первый и второй члены правой части (2) описывают конвективный и диффузионный потоки частиц соответственно.

Осредненная миграция частиц в направлении стенки и турбулентная диффузия дисперсной фазы зависят от пульсационной скорости частиц, которые отличаются от пульсационных скоростей газа вследствие их инерционности. Обычно оперируют понятием безразмерного времени динамической релаксации частиц, имеющим вид

Здесь верхний индекс “+” обозначает обезразмеривание с использованием динамической скорости ${{u}_{*}}$ и кинематической вязкости $\nu $.

Безразмерная скорость частиц записывается как

где ${{N}_{m}}$ – осредненная числовая концентрация частиц в некотором поперечном сечении с координатой $x$.

Главной проблемой является установление зависимости скорости осаждения частиц от их инерционности, т.е. $V_{{{\text{dep}}}}^{ + } = V_{{{\text{dep}}}}^{ + }(\tau _{p}^{ + })$. На сегодняшний день известно, что данная зависимость носит немонотонный характер. Во-первых, в диффузионно-столкновительном режиме ($1 < \tau _{p}^{ + } < 30$) частицы при их взаимодействии с турбулентными вихрями приобретают импульс в направлении стенки, тем самым увеличивая скорость осаждения с ростом $\tau _{p}^{ + }$ на несколько порядков. Во-вторых, в умеренно-инерционном режиме ($\tau _{p}^{ + } > 30$) инерция частиц не позволяет получать необходимый импульс при взаимодействии с турбулентными вихрями, что снижает скорость осаждения с ростом $\tau _{p}^{ + }$.

В работе [98] получено ставшее классическим на сегодняшний день соотношение для нормальной пульсационной скорости частиц

где знак “$\infty $” обозначает локальное равновесие; ${{\tau }_{L}}$ – интегральный временной масштаб, ассоциируемый с лагранжевой автокорреляционной функцией турбулентных вихрей несущего газа. В [99] развита теория, в соответствии с которой на частицу действует сила в направлении уменьшения пульсационной скорости дисперсной фазы. Сила "турбофореза” имеет вид На основании теории [99] показано, что турбофорез вызывает дрейф частиц к стенке и учет этого механизма в модифицированной концепции градиентного транспорта приводит к удовлетворительным результатам для скорости осаждения.

Попытка учета неравновесного поведения (эффекта памяти) напряжений инерционных частиц в нормальном направлении без учета действия подъемной силы предпринята в работе [100] путем использования следующего соотношения:

где ${{\tau }_{\beta }}$ – время достижения состояния локального равновесия для напряжений Рейнольдса частиц. Время релаксации характеризует степень неравновесности (проскальзывание скоростей) в зависимости от инерционности частиц и имеет вид где ${\text{St}}{{{\text{k}}}_{\tau }} = {{{{\tau }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\tau }_{p}}} \tau }} \right. \kern-0em} \tau }$ – число Стокса, определяемое на основе характерного временнóго масштаба $\tau $ взаимодействия частиц с турбулентностью с макроскопической точки зрения (так называемый “промежуточный масштаб диффузии” [100]). Так, если время релаксации частиц ${{\tau }_{p}}$ становится сравнимым или больше, чем $\tau $ (${\text{St}}{{{\text{k}}}_{\tau }} \geqslant 1$), то напряжения Рейнольдса частиц находятся в неравновесном состоянии и будет необходим временной период ${{\tau }_{\beta }}$ для достижения ими состояния локального равновесия, определяемого соотношением (3). В [101] предпринята попытка учета подъемной силы на процесс осаждения частиц на стенку в турбулентных пограничных слоях на основе развитого ранее подхода [100].

В цикле работ [102–106] проведены детальные численные исследования особенностей движения частиц в турбулентном пограничном слое, развивающемся на плоской пластине. Моделирование выполнено на основе эйлерово-лагранжева подхода с учетом обратного влияния частиц на течение несущего газа. Предполагалось, что размер частиц намного меньше колмогоровского пространственного масштаба.

В [102] изучены особенности взаимодействия инерционных частиц и пристенных когерентных структур в турбулентном пограничном слое. Проанализированы процессы движения частиц по направлению к стенке и их выбросы от стенки во внешнее течение вследствие их взаимодействия с парой противоположно вращающихся квазипродольных вихрей, существующих около стенки. Поток частиц по направлению к стенке имеет бόльшую интенсивность, чем поток от стенки, что приводит к формированию на стенке максимальной концентрации частиц.

Выполнен детальный анализ влияния трех основных сил (сила сопротивления, подъемная сила Сэфмена, подъемная сила Магнуса) на движение частиц в разных направлениях (продольном, нормальном и поперечном), хотя максимальные величины сил Магнуса и Сэфмена на порядок меньше, чем сила аэродинамического сопротивления в нормальном (к стенке) направлении. Однако все указанные силы имеют один порядок величины вблизи стенки (${{y}^{ + }} < 15$) и, следовательно, должны приниматься во внимание при проведении расчетов.

В [103] расчеты производились для двух относительно небольших значений массовой концентрации частиц – $M = 0.1$ и $M = 1$, что позволяло пренебречь столкновениями частиц между собой. В уравнениях движения частиц учитывались сила аэродинамического сопротивления, сила Сэфмена, сила Магнуса; вращение частиц также рассчитывалось. Инерционность частиц варьировалась в диапазоне Stk = 10–50, где в качестве характерного временнóго масштаба принималось ${{\tau }_{f}} = {{\delta _{0}^{{{\text{**}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta _{0}^{{{\text{**}}}}} {{{U}_{{x\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{x\infty }}}}}$ ($\delta _{0}^{{{\text{**}}}}$, ${{U}_{{x\infty }}}$ – толщина потери импульса на входе в расчетную область и скорость невозмущенного потока соответственно).

Проведенные расчеты выявили, что пульсации скорости частиц в продольном направлении по всему пограничному слою превышают соответствующие пульсации скорости воздуха. Это подтверждает данные экспериментальной работы [107], посвященной изучению поведения частиц в горизонтальном двухфазном пограничном слое на пластине. Авторы предполагают, что такая ситуация является следствием двух причин: инерции частиц и наличия пристенных квазипродольных вихрей. Пульсации скоростей частиц в нормальном и поперечном направлениях, напротив, уступают пульсациям скоростей воздуха в указанных направлениях, так как частицы не могут полностью следовать за турбулентными пульсациями несущей фазы. Также установлено, что нормальные и поперечные пульсации скорости частиц уменьшаются монотонно с ростом числа Стокса и массовой концентрации частиц. Измерения концентрации частиц в непосредственной близости от стенки выявили, что характер изменения концентрации вниз по потоку повторяет распределение коэффициента трения. Показано, что концентрация частиц сначала быстро убывает в ламинарной области, достигая локального минимума. Затем начинает постепенно возрастать в переходной области, достигая максимума в конце ламинарно-турбулентного перехода. В области развитого турбулентного пограничного слоя опять начинается снижение концентрации. Что касается максимального значения концентрации, то оно растет с ростом инерционности частиц и массовой концентрации.

В [104] изучено вращательное движение малоинерционных частиц (Stk = 1и Stk = 5) в турбулентном пограничном слое. Массовая концентрация дисперсной фазы равна $M = 1$. Показано, что движение частиц определяется тремя факторами: 1) инерцией частиц; 2) кластеризацией частиц; 3) обратным влиянием частиц на параметры газа.

В работе [104] также показано, что поперечная составляющая осредненной угловой скорости частиц намного превышает продольную и нормальную составляющие (они пренебрежимо малы). Максимального значения поперечная осредненная угловая скорость частиц достигает на стенке и затем монотонно убывает с увеличением расстояния. Расчеты показали, что пульсационные угловые скорости частиц в разных направлениях (продольная, нормальная, поперечная) близки по величине к соответствующим величинам для несущей фазы. С ростом инерционности частиц пульсационные угловые скорости частиц снижаются.

Мгновенные распределения частиц в различных поперечных сечениях пограничного слоя, наложенные на поля локальной продольной пульсационной скорости несущей фазы $u{\kern 1pt} '$, приведены на рис. 5 [104]. Можно сделать вывод, что в вязком подслое инерционные частицы имеют тенденцию аккумулироваться вдоль удлиняющихся полос с относительно низкой скоростью. В буферной области интенсивность “низкоскоростных” полос возрастает и частицы имеют склонность к кластеризации. С увеличением расстояния от ${{y}^{ + }} = 15$ до ${{y}^{ + }} = 200$ “низкоскоростные” полосы становятся короче, в то время как интенсивность полосчатых структур сильно снижается. В частности, частицы распределены однородным образом без кластеризации в волновой области пограничного слоя.

В [105] изучено влияние шероховатости на движение частиц в турбулентном пограничном слое. Шероховатость стенки генерировалась с использованием на ней полусферических элементов разного размера, устанавливаемых на разном расстоянии между ними. Найдено, что шероховатость стенки приводит к снижению продольной скорости частиц и увеличению пульсационных скоростей.

4.1.2. Экспериментальные исследования. Изучение характеристик турбулентного двухфазного пограничного слоя, развивающегося на плоской пластине, проведено в [108, 109]. Эксперименты показали, что частицы в восходящем потоке движутся медленнее воздуха. Различие между скоростями дисперсной и газовой фаз близко к скорости витания и практически постоянно по всему пограничному слою. Рассматриваемое сечение находится на расстоянии $x = 0.55$ м от начала пластины, что соответствует значениям чисел Стокса Stk_f = 0.24 и Stk_f = 0.63 для частиц размером 50 мкм и 90 мкм соответственно. Данные значения чисел Стокса свидетельствуют о том, что релаксация скоростей фаз к данному сечению практически закончилась. Результаты экспериментов показали, что при $M = 0.02$ частицы не влияли на распределение осредненной скорости несущего воздуха.

Измерены профили продольной составляющей пульсационной скорости “чистого” воздуха, воздуха в присутствии частиц и частиц стекла различных размеров в турбулентном пограничном слое. Сделан вывод, что наличие в потоке частиц не оказывало влияния на распределение пульсационной скорости несущей фазы в пограничном слое. Величина пульсаций скоростей частиц стекла диаметром 50 мкм близка к соответствующей характеристике для воздуха. Пульсации скоростей крупных частиц диаметром 90 мкм превосходят по величине пульсации несущей фазы. Простые оценки показывают, что мелкие из использованных частиц должны хорошо вовлекаться в пульсационное движение турбулентными вихрями. Что касается крупных частиц, то высокие значения пульсационных скоростей обусловливаются использованием в экспериментах полидисперсных частиц. Рост пульсационных скоростей частиц обоих видов в пристенной области, где относительная инерционность дисперсной фазы увеличивается вследствие уменьшения характерных времен энергонесущих вихрей, объясняется неоднородностью распределений осредненных скоростей частиц.

Выявлено, что пульсационные скорости частиц в рассматриваемом направлении ниже соответствующих пульсаций скорости воздуха. Различие между пульсациями скоростей газовой и дисперсной фаз растет в пристенной области. С одной стороны, это объясняется тем, что спектр пульсаций скорости воздуха в нормальном направлении характеризуется более высокими частотами [108] и частицы хуже увлекаются турбулентными вихрями несущей фазы. С другой стороны, осредненная скорость частиц в рассматриваемом направлении близка к нулю по всему сечению пограничного слоя. Следовательно, возможные перемещения дисперсной фазы в поперечном направлении не приводят к появлению дополнительных пульсаций (как это было в случае продольных пульсаций).

В [110, 111] проведены экспериментальные исследования особенностей поведения частиц в турбулентном пограничном слое, развивающемся на плоской пластине. Скорость восходящего несущего потока воздуха равна ${{U}_{{x0}}} = 20$ и 30 м/с. В качестве дисперсной фазы использовались частицы каменного угля (плотность – 1680 кг/м³) со средними диаметрами 60 и 200 мкм. Массовая расходная концентрация частиц варьировалась от 0.3 до 1.2. Профили осредненных скоростей и концентраций частиц измерялись волоконно-оптическим датчиком в четырех сечениях, отстоящих на расстояния $x = 0.25$, 0.5, 0.75 и 1.0 м от края пластины. Для меньшей скорости ${{U}_{{x0}}} = 20$ м/с и ближайшего измерительного сечения $x = 0.25$ м число Рейнольдса равно ${{\operatorname{Re} }_{x}} = 3.5 \times {{10}^{5}}$, что свидетельствует о наличии турбулентного пограничного слоя к указанному сечению.

Измерения показали, что распределения осредненных скоростей частиц в пограничном слое удовлетворяют логарифмическому закону. За пределами пограничного слоя скорость частиц превышала скорость несущего воздуха, а толщина пограничного слоя дисперсной фазы, напротив, была меньше толщины пограничного слоя чистого воздуха. Указанные эффекты становятся более выраженными с ростом размера и концентрации частиц. Выявлено, что профиль концентрации частиц являлся неоднородным и характеризовался максимумом, располагавшимся внутри пограничного слоя. Такое распределение частиц объяснялось действием направленной к пластине подъемной силы, а также столкновениями частиц со стенкой. С ростом размера частиц концентрация дисперсной фазы в пограничном слое возрастала, а ее максимум смещался в направлении стенки.

4.2. Влияние частиц на турбулентный пограничный слой

В случае, когда турбулентный пограничный слой лежит в релаксационной области, влияние частиц в значительной степени определяется (как и в случае ламинарного пограничного слоя) наличием межфазного обмена импульсом в осредненном движении вследствие различия скоростей. Помимо этого, частицы могут оказывать существенное влияние на пульсационные характеристики несущего газа посредством межфазного обмена импульсом в пульсационном (крупномасштабном и мелкомасштабном) движении вследствие их взаимодействия с турбулентными вихрями различных масштабов и с когерентными структурами. Столкновения частиц со стенкой и между собой являются факторами, осложняющими анализ обратного влияния частиц на несущую фазу.

4.2.1. Расчетно-теоретические исследования. Продолжим анализ результатов работ [102–106], начатый в 4.1. При проведении расчетов массовая концентрация частиц варьировалась в широком диапазоне, что приводило к существенному обратному влиянию дисперсной фазы на параметры течения газа.

В [102, 106] показано, что частицы опережают газ вблизи стенки вследствие своей инерции. Это приводит к росту осредненной скорости газа в продольном направлении. Осредненная продольная скорость увеличивается, что ведет к росту коэффициента трения и снижению толщины пограничного слоя, толщины вытеснения и толщины потери импульса. Отмеченные эффекты усиливаются с ростом числа Стокса и концентрации частиц [106]. Присутствие частиц приводит к росту продольной пульсационной скорости газа в пристенной области (${{y}^{ + }} < 11$), но подавляет продольные пульсации за пределами вязкого подслоя (${{y}^{ + }} > 11$). Что касается напряжений Рейнольдса и турбулентных пульсаций скорости газа в нормальном и поперечном направлениях, то они существенно снижаются из-за наличия частиц. Максимумы в распределении всех трех компонент пульсационной скорости газа смещаются в направлении стенки. Эти эффекты также усиливаются с ростом инерционности и концентрации частиц [106]. Проанализировано снижение кинетической энергии турбулентности газа $k$ вследствие уменьшения члена, отвечающего за генерацию турбулентности $P$, и увеличения скорости ее диссипации $\varepsilon $.

В [104] показано, что присутствие частиц приводит к существенной модификации параметров несущего газа, которая в свою очередь влияет на поступательное и вращательное движение частиц.

В [105] проанализированы физические механизмы дисперсии частиц в шероховатом “подслое”. Показано, что ослабление улавливания частиц в пристенном слое вызывается тремя причинами: 1) шероховатость стенки увеличивает частоту столкновений частиц со стенкой и увеличивает дисперсию частиц в поперечном направлении; 2) частицы ослабляют парные вихри и вихревые структуры, ответственные за захват частиц и их перенос к стенке; 3) частицы разрушают сдвиговые слои, генерируемые над элементами шероховатости и способствующие переносу частиц к стенке.

4.2.2. Экспериментальные исследования. Попытка изучения влияния частиц на характеристики турбулентного пограничного слоя, развивающегося на плоской пластине, предпринята в [112]. В экспериментах использовались частицы меди диаметром 70 мкм при массовой концентрации M = 0.2. Обнаруженное влияние частиц на распределения осредненных и пульсационных скоростей несущего воздуха было незначительным и находилось в пределах погрешности экспериментов. Это объясняется относительно малой концентрацией дисперсной фазы. Несмотря на это, присутствие частиц оказывало влияние на спектр продольных пульсаций газа, подавляя низкочастотные составляющие.

В работе [113] изучено влияние частиц (пластиковые сферы, диаметр – 60 мкм, $d_{p}^{ + } = 1.71$) на структуру пристенного (${{y}^{ + }} < 250$) пограничного слоя в горизонтальном канале. Обнаружено, что добавление в поток частиц изменяет осредненную скорость, интенсивность турбулентности, а также имеющиеся когерентные турбулентные структуры даже при экстремально низких значениях массовой концентрации ($M = 2.5 \times {{10}^{{ - 4}}}$).

Для анализа влияния частиц на когерентные турбулентные структуры использовались двухточечные коэффициенты корреляции для продольной и нормальной компонент пульсационной скорости газа, имеющие следующий вид:

где $u_{x}^{'}({{x}_{1}},{{y}_{1}})$, $u_{x}^{'}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$, $u_{y}^{'}({{x}_{1}},{{y}_{1}})$, $u_{y}^{'}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ – продольные и нормальные пульсационные скорости газа в точках пространства с координатами $({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ и $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ соответственно.

На рис. 6 представлены распределения ${{R}_{{{{u}_{x}}}}}$ и ${{R}_{{{{u}_{y}}}}}$ для однофазного течения и для воздуха в присутствии частиц (M = 5 × 10^–3) для точки с координатами ${{x}_{1}} = 4.98$ мм и ${{y}_{1}} = 1.25$ мм (${{y}^{ + }} = 30$). Отметим, что распределения ${{R}_{{{{u}_{x}}}}}$ и ${{R}_{{{{u}_{y}}}}}$ напрямую характеризуют свойства когерентных турбулентных структур. Для рассматриваемого случая турбулентного пограничного слоя ${{R}_{{{{u}_{x}}}}}$ и ${{R}_{{{{u}_{y}}}}}$ несут информацию о протяженности продольной структуры и диаметре продольного вихря соответственно [114, 115]. Контуры ${{R}_{{{{u}_{x}}}}}$ и ${{R}_{{{{u}_{y}}}}}$ значительно сужаются, что свидетельствует в пользу уменьшения как протяженности когерентной структуры, так и диаметра продольного вихря.