Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 2, стр. 308-311
Расчет теплообмена при ламинарном течении жидкости в цилиндрическом канале при наличии аксиальной теплопроводности
Ю. В. Видин 1, Р. В. Казаков 1, *
1 Сибирский федеральный университет
г. Красноярск, Россия
* E-mail: roman.kazakov@list.ru
Поступила в редакцию 05.07.2018
После доработки 10.10.2018
Принята к публикации 19.08.2018
Аннотация
Предложен аналитический метод расчета собственных значений и собственных функций в задаче теплообмена для ламинарного потока жидкости в цилиндрическом канале с учетом аксиальной теплопроводности. Метод основан на использовании специальной гипергеометрической конфлюэнтной функции. С ее помощью удается найти точные реперные величины собственных чисел и собственных функций при определенных соотношениях между числами подобия Био и Пекле. Кроме этого, рекомендуемый способ позволяет выполнить необходимые математические вычислительные операции при произвольном сочетании названных чисел подобия с достаточной степенью точности, задавая соответствующий безразмерный комплекс α. Такой подход позволяет существенно ограничить (уменьшить) количество весомых членов бесконечного ряда применяемой гипергеометрической функции. Выведенные строгие и приближенные аналитические решения с использованием названных функций могут быть применены для теоретического анализа широкого класса теплофизических задач, в том числе и нелинейных.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что аналитический расчет процесса теплообмена при ламинарном течении жидкости в каналах с учетом ее аксиальной теплопроводности существенно усложняется [1–4]. С традиционными допущениями рассматриваемая задача может быть представлена при действующих на наружной поверхности граничных условиях третьего рода в следующем безразмерном виде [1]:
(1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\vartheta }}{{\partial {{R}^{2}}}} + \frac{1}{R}\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial R}} + \frac{1}{{{\text{P}}{{{\text{e}}}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\vartheta }}{{\partial {{X}^{2}}}} = (1 - {{R}^{2}})\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial X}},$(3)
$\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial R}} = - {\text{Bi}}\vartheta \,\,{\text{п р и }}\,\,R = 1,$Общее решение этой задачи можно записать в форме бесконечного ряда
где собственные значения ${{\mu }_{n}}$ зависят от чисел подобия Bi и Pe.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
В классической монографии [1] цитируется аналитическое решение задачи (1)–(4), полученное в работе [2] для случая, когда ${\text{Bi}} \Rightarrow \infty ,$ т.е. на поверхности трубы действует граничное условие первого рода. Согласно [2], собственные функции ${{\psi }_{n}}(R)$ представлены в виде бесконечного степенного ряда
где индекс m принимает четные значения (0, 2, 4…).В монографиях [5–7] теоретически рассмотрены достаточно подробно и всесторонне процессы теплообмена при ламинарном движении жидкости в плоских и круглых каналах без учета осевой теплопроводности, т.е. когда ${\text{Pe}} \Rightarrow \infty $. При этом для решения задач были привлечены вырожденные гипергеометрические функции [8, 9]. По мнению авторов, применение таких функций является наиболее перспективным математическим направлением при исследовании тепловых процессов, подобных задаче (1)–(4).
Очевидно, что нахождение собственных значений ${{\mu }_{n}}$ и собственных функций ${{\psi }_{n}}(R)$ сводится к решению следующей задачи Штурма–Лиувилля:
Представить интеграл дифференциального уравнения второго порядка (5) с принятыми граничными условиями (6) и (7) через элементарные функции в общем случае не удается. Поэтому здесь целесообразно использовать специальные функции. Как показано в [6], аналитическое решение задачи (5)–(7) можно записать в виде
(8)
$\psi = \exp \left( { - \mu \frac{{{{R}^{2}}}}{2}} \right){{F}_{a}}(\alpha ,\gamma ,\mu {{R}^{2}}),$(9)
$\begin{gathered} {{F}_{a}}(\alpha ,\gamma ,\mu {{R}^{2}}) = 1 + \frac{\alpha }{\gamma }\mu {{R}^{2}} + \frac{{\alpha (\alpha + 1)}}{{\gamma (\gamma + 1)}}\frac{{{{\mu }^{2}}{{R}^{4}}}}{{2!}} + \\ + \,\,\frac{{\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)}}{{\gamma (\gamma + 1)(\gamma + 2)}}\frac{{{{\mu }^{3}}{{R}^{6}}}}{{3!}} + \\ + \,\,\frac{{\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)(\alpha + 3)}}{{\gamma (\gamma + 1)(\gamma + 2)(\gamma + 3)}}\frac{{{{\mu }^{4}}{{R}^{8}}}}{{4!}} + ... + \\ + \,\,\frac{{\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)...(\alpha + m - 1)}}{{\gamma (\gamma + 1)(\gamma + 2)...(\gamma + m - 1)}}\frac{{{{\mu }^{m}}{{R}^{{2m}}}}}{{m!}} + .... \\ \end{gathered} $При этом для канала круглого сечения будут иметь место равенства
При $\gamma = 1$ формула (9) примет вид
(10)
$\begin{gathered} {{F}_{a}}(\alpha ,1,\mu {{R}^{2}}) = 1 + \alpha \mu {{R}^{2}} + \frac{{\alpha (\alpha + 1){{\mu }^{2}}{{R}^{4}}}}{{{{{(2!)}}^{2}}}} + \\ + \,\,\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)\frac{{{{\mu }^{3}}{{R}^{6}}}}{{{{{(3!)}}^{2}}}} + ... + \\ + \,\,\frac{{\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)...(\alpha + m - 1){{\mu }^{m}}{{R}^{{2m}}}}}{{{{{(m!)}}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $После подстановки (8) в граничное условие (7), может быть получено характеристическое уравнение для определения собственных чисел ${{\mu }_{n}}$ рассматриваемой задачи в виде
(11)
$\mu - \frac{{2\alpha \mu + \alpha (\alpha + 1){{\mu }^{2}} + \frac{{\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)}}{{3!}}{{\mu }^{3}} + ...}}{{1 + \alpha \mu + \frac{{\alpha (\alpha + 1)}}{{{{{(2!)}}^{2}}}}{{\mu }^{2}} + \frac{{\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)}}{{{{{(3!)}}^{2}}}}{{\mu }^{3}} + ...}} = {\text{Bi}}{\text{.}}$В частном случае, а именно при ${\text{Bi}} \Rightarrow \infty $ (граничное условие первого рода), формула (11) упрощается
(12)
$1 + \alpha \mu + \frac{{\alpha (\alpha + 1)}}{{{{{(2!)}}^{2}}}}{{\mu }^{2}} + \frac{{\alpha (\alpha + 1)(\alpha + 2)}}{{{{{(3!)}}^{2}}}}{{\mu }^{3}} + ... = 0.$В монографиях [5–7] приведены подробные табличные значения трех первых корней ${{\mu }_{n}}$ уравнений (11) и (12) для широкого диапазона чисел Bi, рассчитанные при условии, что осевой растечки тепла в потоке жидкости нет, т.е. параметр ${\text{Pe}} \Rightarrow \infty $ и, следовательно, комплекс $\alpha $ равен $\alpha = \frac{1}{4}(2 - \mu ),$ что соответствует максимально возможным величинам этого коэффициента. В представленной таблице наряду с числовыми значениями корней ${{\mu }_{1}},\,\,{{\mu }_{2}},\,\,{{\mu }_{3}}$ указаны и соответствующие им ${{\alpha }_{{1\max }}},\,\,{{\alpha }_{{2\max }}},\,\,{{\alpha }_{{3\max }}}.$
Таблица 1.
Bi | μ1 | μ2 | μ3 | α1max | α2max | α3max |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 5.0675 | 9.1576 | 0.500 | –0.767 | –1.789 |
0.1 | 0.6183 | 5.1168 | 9.1750 | 0.345 | –0.779 | –1.794 |
0.2 | 0.8555 | 5.1641 | 9.2058 | 0.286 | –0.791 | –1.801 |
0.3 | 1.0258 | 5.2096 | 9.2359 | 0.244 | –0.802 | –1.809 |
0.4 | 1.1603 | 5.2532 | 9.2651 | 0.210 | –0.813 | –1.816 |
0.5 | 1.2716 | 5.2951 | 9.3063 | 0.182 | –0.824 | –1.827 |
0.6 | 1.3663 | 5.3349 | 9.3214 | 0.158 | –0.834 | –1.830 |
0.7 | 1.4482 | 5.3731 | 9.3484 | 0.138 | –0.843 | –1.837 |
0.8 | 1.5202 | 5.4097 | 9.3749 | 0.120 | –0.852 | –1.845 |
0.9 | 1.5841 | 5.4447 | 9.4002 | 0.104 | –0.861 | –1.850 |
1.0 | 1.6413 | 5.4782 | 9.4250 | 0.090 | –0.870 | –1.856 |
1.5 | 1.8569 | 5.6251 | 9.5390 | 0.036 | –0.906 | –1.885 |
2.0 | 2.0000 | 5.7439 | 9.6450 | 0.000 | –0.936 | –1.911 |
3.0 | 2.1787 | 5.9209 | 9.7976 | –0.045 | –0.980 | –1.949 |
4.0 | 2.2857 | 6.0446 | 9.9193 | –0.071 | –1.011 | –1.980 |
5.0 | 2.3568 | 6.1351 | 10.0137 | –0.089 | –1.034 | –2.003 |
10.0 | 2.5168 | 6.3647 | 10.2755 | –0.129 | –1.091 | –2.069 |
20.0 | 2.6069 | 6.5098 | 10.4500 | –0.152 | –1.127 | –2.113 |
30.0 | 2.6386 | 6.5637 | 10.5259 | –0.160 | –1.141 | –2.131 |
40.0 | 2.6547 | 6.5916 | 10.5624 | –0.164 | –1.148 | –2.141 |
50.0 | 2.6645 | 6.6086 | 10.5849 | –0.166 | –1.152 | –2.146 |
60.0 | 2.6710 | 6.6201 | 10.6001 | –0.168 | –1.155 | –2.150 |
80.0 | 2.6793 | 6.6346 | 10.6194 | –0.170 | –1.159 | –2.155 |
100.0 | 2.6845 | 6.6434 | 10.6312 | –0.171 | –1.161 | –2.158 |
1000.0 | 2.7026 | 6.6790 | 10.6734 | –0.176 | –1.170 | –2.168 |
∞ | 2.7044 | 6.6790 | 10.6734 | –0.176 | –1.170 | –2.168 |
При наличии осевого переноса тепла в потоке, т.е. когда число ${\text{Pe}} < \infty ,$ коэффициенты ${{\alpha }_{n}}$ будут обязательно меньше максимальных значений ${{\alpha }_{{n\max }}}.$
Нетрудно показать, что в тех случаях, когда параметр $\alpha $ оказывается нулевым или целым отрицательным числом, бесконечные ряды в зависимостях (10)–(12) обрываются и становятся конечными и, как правило, легко решаемыми.
Так, например, если при ${\text{Bi}} \Rightarrow \infty $ принять ${{\alpha }_{1}} = - 1,$ то согласно зависимости (12) первое собственное значение будет равно ${{\mu }_{1}} = 1$ и, следовательно, соответствующее этому рассматриваемому варианту число Pe = 0.4472. Тогда первая собственная функция записывается в простом виде ${{\psi }_{1}}(R) = {{(1 - R)}^{2}}\exp \left( { - \frac{{{{R}^{2}}}}{2}} \right).$
Другим интересным случаем является вариант, в котором ${\text{Bi}} = 1$ и ${\text{Pe}} = 1$. Тогда первое собственное число ${{\mu }_{1}}$ тоже равно единице ${{\mu }_{1}} = 1$ и, следовательно, параметр ${{\alpha }_{1}} = 0.$ Очевидно, что первая собственная функция ${{\psi }_{1}}(R)$ для такого сочетания Bi и Pe становится еще проще, а именно ${{\psi }_{1}}(R) = \exp \left( { - \frac{{{{R}^{2}}}}{2}} \right).$
Подобные примеры могут быть существенно расширены. Так, допустим, если снова принять $\alpha = - 1,$ тогда характеристическое уравнение (11) преобразуется в алгебраическое уравнение второй степени
Следовательно, при Bi = 1 первое и второе собственные числа ${{\mu }_{1}}$ и ${{\mu }_{2}}$ будут равны
Далее легко находятся соответствующие им значения Pe по выражениям
Таким образом, в случае, когда ${\text{Bi}} = 1$ и ${\text{Pe}} = 0.058,$ первый корень характеристического уравнения (11) ${{\mu }_{1}} = 0.268$ и, следовательно, первая собственная функция ${{\psi }_{1}}(R)$ будет иметь вид ${{\psi }_{1}}(R) = (1 - 0.268{{R}^{2}})\exp ( - 0.134{{R}^{2}}).$
Если же ${\text{Bi}} = 1$ и ${\text{Pe}} = 4.7872,$ тогда второе собственное значение ${{\mu }_{2}} = 3.732$ и ${{\psi }_{2}}(R)$ = $ = (1 - 3.732{{R}^{2}})\exp ( - 1.866{{R}^{2}}).$
Естественно, что данные функции при указанных величинах чисел подобия Bi и Pe должны вполне удовлетворять задаче (7)–(9). Аналогичным способом выполняются расчеты и для других величин Bi.
Подобный анализ можно провести, например, и при величине параметра $\alpha = - 2.$ В этом случае характеристическое уравнение (11) преобразуется в алгебраическое соотношение третьей степени
(13)
$(5 + 2{\text{Bi}})\mu - \left( {4 + \frac{{{\text{Bi}}}}{2}} \right){{\mu }^{2}} + \frac{{{{\mu }^{3}}}}{2} - {\text{Bi}} = 0,$Если же число Bi является конечным, то корни кубического уравнения (13) могут быть определены, например, с помощью известных формул Кардано. В частности, при Bi = 1 выражение принимает вид
Отсюда следует, что
Далее рассчитываются соответствующие числа Pe
Следовательно, при Bi = 1 и Pe = 0.0202 первая собственная функция ${{\psi }_{1}}(R)$ имеет вид
при Bi = 1 и Pe = 0.08321 и при Bi = 1 и Pe = 10.924ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, благодаря ряду свойств гипергеометрической функции (9), удается получить широкий спектр строгих аналитических решений задачи (5)–(7) для точечных комбинаций параметров Bi и Pe. Кроме того, во многих случаях, задавая приемлемый по величине комплекс α, можно свести уравнение (11) к сравнительно несложному алгебраическому выражению, обычно не выше четвертой степени. Это позволяет существенно расширить область определения приближенных аналитических решений уравнения (5) с граничными условиями (6), (7). Причем с инженерной точки зрения они, как правило, обладают вполне достаточной точностью.
Нетрудно также показать, что предлагаемый подход может быть применен и в случае, когда необходимо учесть влияние термического сопротивления стенки канала [5]. В работах [10, 11] приведены табличные данные функции (9) для ряда значений безразмерных параметров α и γ. Однако, по мнению авторов, целесообразно дополнить их для области малых и отрицательных величин коэффициентом α. Тогда, как это видно из приведенной в данной работе таблицы, оказывается возможным применение таких функций для эффективного исследования различных классов задач, подобных, в частности, рассматриваемой.
Список литературы
Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 411 с.
Лабунцов Д.А. Некоторые вопросы теории теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубах // Теплоэнергетика. 1958. № 3.
Видин Ю.В., Иванов В.В. Влияние аксиальной теплопроводности жидкости в трубах на процессе радиационно-конвективного охлаждения наружных поверхностей // Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Техн. науки. 2014. № 5. С. 45.
Генин Л.Г. Расчет температур жидкости и стенки при течении в трубах с учетом осевой теплопроводности // ТВТ. 1963. Т. 1. № 2. С. 247.
Видин Ю.В., Иванов В.В., Медведев Г.Г. Расчет теплообмена при ламинарном течении жидкости в каналах. Красноярск: КПИ, 1971. 144 с.
Видин Ю.В., Иванов В.В., Казаков Р.В. Инженерные методы расчета задач теплообмена. Красноярск: СФУ, 2014. 167 с.
Видин Ю.В., Злобин В.С., Иванов В.В., Медведев Г.Г. Инженерные методы расчета задач нелинейного теплообмена при ламинарном течении жидкости в каналах. Красноярск: СФУ, 2015. 155 с.
Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Наука, 1968. 618 с.
Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.
Slater L.J. On the Evaluation of the Confluent Hypergeometric Function // Proc. Cambridge Philosoph. Society. 1953. V. 49. P. 612.
Rushton S., Lang E.D. Tables of Confluent Hypergeometric Function // Sankhya. The Ind. J. Statist. 1954. V. 13. P. 377.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Теплофизика высоких температур