Океанология, 2023, T. 63, № 2, стр. 200-210

ВВЕДЕНИЕ

Один из вариантов “перекачки” энергии от мезомасштабных процессов на субмезомасштабные связан с удлинением вихрей при воздействии растягивающих неоднородных горизонтальных течений на эти вихри. При этом в некотором направлении, продольном, вихрь сильно вытягивается, а в поперечном – значительно уменьшается в размерах. В горизонтальном плане такой вихрь становится похожим на вихревую нить. Иногда такое образование называют филаментом. В дальнейшем мы будем отождествлять эти два понятия. Таким образом, будем называть вихревой нитью, или филаментом, вихревое образование, продольный горизонтальный размер которого существенно превосходит поперечный горизонтальный размер. При значительном удлинении вихря его энергия перераспределяется с исходного горизонтального размера (например, с его диаметра) на поперечный размер вихревой нити. Цель данной работы – теоретически определить физические условия неограниченного вытягивания вихрей и дать описание параметрам, определяющим этот процесс.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Предположим, что для рассматриваемых явлений выполняется квазигеострофическое приближение. В такой постановке математически задача сводится к решению нелинейного нестационарного уравнения для давления или функции тока. Ниже исходное уравнение записано для функции тока ψ (x, y, z, t) в размерном виде:

(x, y, z) – декартова правая система координат, ось x направлена на восток, ось y на север, t – время, N – частота Вяйсяля-Брента. Другие гидродинамические характеристики движения, например, поле скорости (u, v, w), определяются через функцию тока: Уравнение (1) имеет важный физический смысл – сохранение потенциальной завихренности σ (в трактовке Россби, см. [3]): Это означает, что вдоль траектории движения у частицы сохраняется величина σ, являющаяся лагранжевым инвариантом, причем, ${\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u} = {{\Delta }_{h}}\psi $.

Уравнение (1) получено в предположении справедливости геострофического баланса сил в гидростатическом приближении. Оба условия выполняются при малых числах Россби

при дополнительном ограничении на геометрический параметр δ: Здесь h – характерный вертикальный размер, $L$ – характерный горизонтальный размер, U – характерная скорость, $f = 2{\kern 1pt} \omega {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi $ – параметр Кориолиса, ω – угловая скорость вращения Земли, $\varphi $ – широта. В безразмерном виде уравнение (1) записывается следующим образом: где Единственное безразмерное число, вошедшее в уравнение (6), это число Бургера которое можно переписать в виде Здесь $L_{R}^{S}$ – некоторый горизонтальный размер задачи, с которым удобно сравнивать характерный горизонтальный масштаб $L$. Если в качестве характерного вертикального размера $h$ принять глубину бассейна $H$, то $L_{R}^{S}$ совпадет с внутренним (бароклинным) радиусом деформации Россби По своему физическому смыслу $L_{R}^{S}$ и, как частный случай, также ${{L}_{R}}$ означают, что на горизонтальных размерах $L = L_{R}^{S}$ гравитационные эффекты и вращение одинаково влияют на динамику рассматриваемых явлений для выбранного вертикального масштаба процессов. Поскольку физический смысл $L_{R}^{S}$ и ${{L}_{R}}$ одинаков, оба выражения будем называть радиусами деформации Россби, но отличать ${{L}_{R}}$ от $L_{R}^{S}$ будем по способу написания.

О МАСШТАБАХ

Отметим, что для морских условий масштабы $L_{R}^{S}$ и ${{L}_{R}}$ могут сильно отличаться. Так, при изучении верхнего деятельного слоя океана h и H отличаются на порядок, следовательно, сильно различны $L_{R}^{S}$ и ${{L}_{R}}$. Мало того, обычно для $L \sim {{L}_{R}}$ явления относят к мезомасштабным процессам, а явления с $L \sim L_{R}^{S}$ при сильном отличии $L_{R}^{S}$ и ${{L}_{R}}$ уже будут относиться к субмезомасштабным процессам. Аналогично, при изучении внутритермоклинных линз порядки $L_{R}^{S}$ и ${{L}_{R}}$. тоже различны. Тем не менее, если в безразмерной записи (6) уравнения для двух разных явлений совпадают, то из этого следуют условия подобия квазигеострофических движений: два квазигеострофических движения подобны, если подобны профили частоты Вяйсяля-Брента и совпадают числа Бургера. Естественно, что ограничения (4) и (5) на число Россби Ro и геометрический параметр δ должны быть справедливы. В конечном соотношении (6) оба параметра Ro и δ отсутствуют, что следует трактовать как автомодельность явлений по этим параметрам [1]. Конечно, нужно помнить, что в нашей модели отсутствует вязкость, поэтому в уравнениях не возникает дополнительный безразмерный параметр Экмана, это означает лишь, что мы рассматриваем явления вдали от экмановских слоев.

Вывод по данной части работы следующий: все полученные далее результаты могут быть перенесены на процессы с другими горизонтальными размерами, но с теми же числами Бургера и при условии, что при этом сохраняется геострофический баланс сил.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВИХРЯ С ТЕЧЕНИЕМ

При выводе уравнения (6) традиционно число Бургера полагается порядка единицы. Однако при таком подходе используется разложение в асимптотический ряд по числу Россби, а число Бургера не затрагивается. Формально нет серьезных математических оснований накладывать дополнительные ограничения на число Бургера. Тем не менее, в данной работе мы полагаем, что число Бургера лежит в диапазоне от нескольких десятых до нескольких единиц.

Из сказанного следует, что гидродинамическое подобие квазигеострофических явлений должно наблюдаться для широкого круга задач и значительного диапазона горизонтальных размеров L. В частности, при изучении бароклинной неустойчивости зональных потоков (так называемая задача Иди, см. [11]), где наиболее быстрорастущие возмущения имеют масштаб порядка радиуса деформации Россби, все полученные свойства могут быть интерпретированы в терминах субмезомасштабных процессов для деятельного слоя океана. В этом случае наиболее быстрорастущие волновые возмущения будут иметь характерный горизонтальный размер порядка $L_{R}^{S}$ так же, как и образовавшиеся в результате неустойчивости субмезомасштабные вихри.

В работах [2, 5–7, 18–20] предложена теория мезомасштабных квазигеострофических вихрей с однородной потенциальной завихренностью ядра, которое имеет эллипсоидальную форму. В этих работах принимается, что океан безграничен по горизонтали во всех направлениях, частота Вяйсяля-Брента N в покое постоянна, а ограничения на число Бургера не накладываются. В указанных статьях разработана теория эволюции эллипсоидальных вихрей под действием равнозавихренных, линейных по координатам течений. Для баротропных течений ${{\vec {u}}_{b}} = \left( {{{u}_{b}},{{{v}}_{b}},0} \right)$ с наиболее общей линейной зависимостью скорости течения от горизонтальных координат

задача сводится к эволюции во времени двух горизонтальных полуосей эллипсоида a(t) и b(t) (для определенности пусть a – большая полуось, а b – малая полуось). Здесь u₀ и v₀ – составляющие скорости течений в центре вихря x = 0, y = 0; коэффициенты γ и e описывают пространственную изменчивость фонового течения. При этом $\gamma = \frac{1}{2}{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}{{\vec {u}}_{b}}$ – угловая скорость вращения жидких частиц в фоновом течении, а e – коэффициент деформации фонового течения. При течении в виде (11) центр вихря перемещается как целое со скоростью внешнего потока $({{u}_{0}},{{{v}}_{0}})$, приходящего на центр эллипсоида. Вертикальная полуось c постоянна, а горизонтальные оси меняются так, что произведение a(t) × b(t), т.е. площадь сечения эллипсоида, сохраняется на любом горизонте.

Безразмерный параметр ε характеризует с-тепень вытягивания вихря и определяется через отношение его горизонтальных масштабов $\varepsilon = \frac{a}{b} \geqslant 1$. При помощи c вводится безразмерный параметр вертикальной сплюснутости ядра вихря: $K = \frac{N}{f}\frac{c}{{{{r}_{0}}}}$, где ${{r}_{0}} = \sqrt {ab} $ – эффективный радиус вихря, N – средняя по глубине в слое 0–1000 м частота Вяйсяля-Брента. Ранее установлено, что при деформации вихря баротропным потоком вертикальная полуось, а также произведение полуосей $a,~b$ и, соответственно, r₀ не изменяются. Следовательно, и параметр вертикальной сплюснутости ядра K также сохраняется при деформации вихря баротропным потоком [4, 21].

Задачу эволюции формы вихря можно свести к системе двух дифференциальных уравнений для отношения полуосей $\varepsilon = \frac{a}{b}$ и угла ориентации θ, образуемого большей горизонтальной полуосью эллипсоида a с осью x:

Здесь В общем случае $\Omega {\kern 1pt} (\varepsilon ,K)$ – переменная собственная угловая скорость вращения формы ядра (не следует путать с угловой скоростью вращения частиц в ядре), зависящая от ε и σ, где σ – избыточная потенциальная завихренность вихревого ядра над потенциальной завихренностью 2γ фонового течения (11), $\mu $ – переменная интегрирования. Детали вывода соотношений (12а), (12б) и (13), а также простейшие свойства эволюции вихревого ядра можно найти в работах [2, 5]; дальнейшее развитие данного подхода представлено в работах [15–17]. Соотношения (12а), (12б) описывают эволюцию формы ядра, включая угловую скорость его вращения. Деформация формы ядра происходит благодаря коэффициенту деформации e в фоновом течении (11), а физически – из-за пространственной неоднородности фонового течения. При постоянных коэффициентах e и γ система решается в квадратурах где C – произвольная константа интегрирования. В результате любая интегральная кривая (14) в плоскости параметров $\left( {\varepsilon ;\sin 2\theta } \right)$ описывает эволюцию конкретного вихря, зависящую от параметров e и γ фонового течения, параметра вертикальной сплюснутости вихревого ядра K и значения константы интегрирования C с естественным ограничением $\left| {\sin 2\theta } \right| \leqslant 1$. Плоскость $\left( {\varepsilon ;\sin 2\theta } \right)$ является фазовой плоскостью, при этом существуют три варианта поведения формы эллипсоидальных вихрей в течении, описываемого формулой (11): два периодических режима (режим вращения и режим колебания формы ядра) и режим неограниченного вытягивания ядра в горизонтальном направлении [2, 5].

В данной работе исследуются условия для реализации режима неограниченного вытягивания вихревого ядра. На качественном уровне такое исследование уже проводилось [2, 5], но без изучения всего комплекса проблем, при этом в качестве важных условий вытягивания вихря в нить указывалось необходимое требование $\left| {\frac{\gamma }{e}} \right| \leqslant 1$, а также два независимых качественных критерия – слабая интенсивность вихря и значительная начальная вытянутость вихря в горизонтальном направлении. Рассмотрение количественных критериев ранее относилось только к случаю $\left| {\frac{\gamma }{e}} \right| = 1$. В данной работе мы предлагаем дальнейшее развитие этой задачи.

С точки зрения теории размерностей поведение интегральной кривой на фазовой плоскости $\left( {\varepsilon ;\sin 2\theta } \right)$ зависит от трех безразмерных характеристик, входящих в соотношение (14). Наиболее удобные из них – ${\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}$, ${\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}$ и K. Это не единственный набор безразмерных параметров, с помощью которых можно описать все многообразие возможных режимов, однако важно иметь в виду, чтобы все размерные характеристики присутствовали в безразмерных числах, а полученные безразмерные числа должны быть достаточно простыми и независимыми с общим количеством 3. Удобство безразмерного набора чисел ${\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}$, ${\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}$ и K состоит в следующем: ${\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}$ относится исключительно к характеристике фонового течения, ${\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}$ показывает относительную интенсивность вихря, а K, геометрический параметр, характеризует сплюснутость по вертикали вихревого ядра. Малые значения K < 1 соответствуют тонким вихрям, большие K > 1 – толстым. При воздействии баротропного течения (11) на вихрь параметр K остается неизменным, несмотря на деформацию ядра вихря. Постоянство K для каждого вихря позволяет изучить наличие каждого из трех режимов поведения вихрей на плоскости параметров $\left( {{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e},{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}} \right)$. На рис. 1 для выбранного значения K = 1 показана структура зон с разным поведением фазовых траекторий на плоскости параметров $\left( {{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e},{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}} \right)$.

Далее для сокращения названий режим неограниченного вытягивания будет называться режимом вытягивания. Во всей полосе $\left| {{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}} \right| \leqslant 1$ допускается режим вытягивания, однако в серой зоне присутствует исключительно режим вытягивания.

Границы зон являются линиями бифуркации, при пересечении которых появляется новый или исчезает уже существующий режим поведения вихря. В дальнейшем нас будет интересовать в основном серая зона на рис. 1. Наиболее важным свойством здесь является ограничение на интенсивность вихрей, т.е. параметр $\left| {{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}} \right|$ ограничен. Этой зоне соответствуют относительно слабые вихри. Такие вихри не выживают в неоднородных течениях, они растягиваются в вихревые нити. Отметим, что к понятию “слабые вихри” следует относиться с некоторой долей осторожности, поскольку реальные значения параметра $\left| {{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}} \right|$ в этой зоне для малых значений K оказываются весьма большими, однако они все равно меньше, чем в других зонах поведения вихрей при фиксированном параметре течения ${\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}$. Отметим также несимметричность поведения вихрей по отношению к знакам ${\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e}$ и ${\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}$. Лучше вытягиваются вихри при ${\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma \gamma }} \right. \kern-0em} \gamma } < 0$, а успешнее сопротивляются вытягиванию вихри с одинаковыми знаками избыточной потенциальной завихренности ядра σ и относительной завихренности фонового потока.

На качественном уровне это можно объяснить следующим образом. Согласно уравнениям эволюции вихрей в течениях (12а) и (12б), форма вихря вращается самостоятельно, а также, согласно (12б), дополнительно подкручивается ротационной составляющей внешнего течения. Вытягивание вихря, в свою очередь, также связано с вращением. Если вращение формы прекращается (или почти прекращается), то в выражении ${\text{cos}}{\kern 1pt} 2\theta $ фиксируется знак. Если ${\text{cos}}{\kern 1pt} 2\theta > 0$, то это приводит к экспоненциальному вытягиванию вихря, согласно соотношению (12а). Следовательно, для монотонного вытягивания вихря требуется практически полное прекращение вращения его формы. Но такое возможно только в том случае, если знаки у σ и γ разные. Если же знаки одинаковые, то вихрь самостоятельно вращается и, как было отмечено выше, дополнительно подкручивается течением в одну и ту же сторону и, таким образом, отвечающая ему точка диаграммы оказывается в зоне вращения. Следовательно, достаточно интенсивные вихри не могут неограниченно вытягиваться. Таким образом, мы установили, что слабые вихри с разными знаками σ и γ преимущественно вытягиваются течением в вихревые нити. И, наоборот, во внешних деформационных течениях наиболее живучи вихри с одинаковыми знаками σ и γ. Это обстоятельство объясняет наличие слабых мелких вихрей противоположного знака завихренности в окрестности крупных интенсивных вихрей [2, 8, 10, 12, 13]. Слабые мелкие вихри одного знака с крупным интенсивным вихрем, находясь вблизи него, вытягиваются в нити.

Серая зона (рис. 1), соответствующая вытягиванию вихрей, деформируется при изменении параметра вертикальной сплюснутости ядра K. Это приводит к необходимости рассмотреть картины положения всех рассматриваемых зон с различным поведением вихря для других значений K. Результаты рассмотрения представлены на рис. 2. Видно, что с увеличением значения K происходит следующее: граница серой зоны “подтягивается” ближе к оси ординат $\frac{\gamma }{e}.$ При этом разрешенный диапазон значений $\frac{\sigma }{e}$ уменьшается, что приводит к уменьшению размеров серой зоны.

На рис. 1 можно выделить два характерных значения $\frac{\sigma }{e}$, соответствующие координатам пересечения границы серой зоны с осью $\frac{\gamma }{e}$ (т.е. при $\frac{\gamma }{e} = 0~$), и также точки пересечение границы серой зоны с линиями $\frac{\gamma }{e} = \pm 1$. В силу симметрии графика относительно начала координат будем рассматривать только правую полуплоскость для $\frac{\sigma }{e} > 0$. Обозначим полученные три значения при $\frac{\gamma }{e} = - 1$ соответственно ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{0}}$, ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$. Для $K = 1$, согласно нашим расчетам, ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}} = 13$, а ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}} = 22.4$. Значение ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{0}}$ – порядка единицы и далее нигде фигурировать уже не будет, в то время как ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$ на порядок больше единицы.

На рис. 2 изображены границы областей различного поведения вихрей в зависимости от K: при $K = 0.1;{\text{ }}0.3;{\text{ }}1;{\text{ }}10.$ Для каждого значения K границы показаны линиями одинакового цвета. Фактически рис. 2 – это аналог рис. 1, но только для разных K, где зоны разного цвета (и различного характера поведения вихрей) не выделены, так как они накладываются друг на друга. Как и на рис. 1, все границы на рис. 2 отделены друг от друга кривыми, выходящими попарно из точки $\left( {0;~\; \pm 1} \right)$ и близкой к ней точки $\left( {{{{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}}_{0}};~ \pm 1} \right)$. В результате полоса $\left| {{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}} \right| \leqslant 1$ для каждого значения K (аналогично рис. 1) снова разделена на три зоны, симметричные относительно точки $\left( {0;~0} \right)$. Для нас представляют особый интерес характеристики центральный зоны, которую мы по-прежнему будем называть серой зоной и которая предсказывает неминуемое вытягивание вихрей. Для каждого значения K серая зона располагается между двумя ограничивающими линиями одного цвета, расположенными ближе к вертикальной оси симметрично относительно этой оси. На рис. 2 видно, что серая зона уменьшается по мере увеличения параметра K, при этом одновременно уменьшаются характерные значения ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$. В табл. 1 представлены значения ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$ для набора выбранных K. Отметим, что их численные значения при любых K на один-два порядка больше единицы. Чем тоньше вихрь (меньше K), тем больше эти значения. При этом ограничения сверху при $K \to 0~$ на ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$ отсутствуют. Толстым вихрям соответствуют малые значения ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$, однако они в любом случае ограничены снизу числами ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}} \to 6.7$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}} \to 11.7$ при $K \to \infty $. Другими словами, серая зона для вихрей не стягивается к нулю при $K \to \infty $, но возникает ее конечная внутренняя часть – сердцевина, для которой все вихри любой толщины при любых значениях K неминуемо вытянутся в нить, в том числе и вихри бесконечно толстые. Напомним, что качественно динамика неограниченно толстых 3D-вихрей в течениях совпадает с динамикой плоских 2D-эллиптических вихрей Кирхгофа в тех же течениях: общие исследования поведения эллиптических вихрей Кирхгофа начались с работы Кида [14], однако еще раньше динамику эллиптических вихрей Кирхгофа в частном виде сдвиговых течений описывал С.А. Чаплыгин [9]. В наших исследованиях [2, 5–7, 18–20] мы фактически объединили задачи поведения 2D-эллиптических и 3D-эллипсоидальных вихрей в баротропных потоках.

Можно показать, что при дальнейшем увеличении $K > 10$ соответствующие линии границ серой, синей и зеленой зон практически совпадают, т.е., внутренняя часть серой зоны для больших значений K практически ограничена черными линиями $K = 10$, наиболее близкими к оси ординат. Графическая иллюстрация существования конечной внутренней части серой зоны (сердцевины) следует из графиков на рис. 3.

Обозначим буквой A абсциссы точек пересечения значений $\frac{\sigma }{e}$ с прямыми $\frac{\gamma }{e} = 0$ или $\frac{\gamma }{e} = - 1$ при разных K и нанесем их на график (рис. 3). Рисунок показывает, что все кривые $A\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)$ имеют ненулевые асимптоты. На рисунке 3 видно, что, во-первых, абсциссы границ областей, в которых вихри эволюционируют по-разному, очень чувствительны к вариациям параметра K в диапазоне $0 < K < 1$ (для тонких вихрей); во-вторых, при неограниченном росте K (для толстых вихрей) абсциссы границ областей различного поведения вихрей имеют положительную асимптотику. Последнее свойство, в свою очередь, означает, что ни одна из зон различного поведения вихрей не превращается в линию, оставаясь по площади конечной при любых, в том числе бесконечных, значениях K. В частности, зона неограниченного вытягивания вихрей (серая зона на рисунке 1) останется конечной при любом значении параметра K. Этот факт еще раз подтверждает, что данная теория описывает поведение как 2D-эллиптических, так и 3D-эллипсоидальных вихрей в баротропных потоках.

Один из самых важных выводов работы состоит в том, что в баротропных течениях только вихри достаточной большой интенсивности остаются локализованными (не растягиваются в нить). Действительно, диапазон допустимых значений параметра $\frac{\sigma }{e}$ для “выживания” вихря в течении, как минимум, на один–два порядка превосходит единицу. Для тонких вихрей это соотношение составляет величину в два порядка, поэтому тонкие вихри будут активнее вытягиваться в вихревые нити. Для геометрических параметров внутри серой зоны неминуемого вытягивания должно выполняться следующее условие:

Здесь положительные (в общем случае) различные M₁, M₂ – функции от $\frac{\gamma }{e}$, описывающие левую и правую ветви серой зоны. Неравенство (15) показывает, что для выживания вихря в течении необходимо, чтобы избыточная относительная завихренность σ ядра была бы достаточно большой по модулю и не попадала в интервал (15).

Обратимся к табл. 1. Безразмерная интенсивность вихрей в форме $\frac{\sigma }{e}$ не очень удобна для практических оценок, и интенсивность вихрей удобнее рассматривать в виде относительной завихренности ядра ${\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}$, сравнивая ее с относительной завихренностью фонового течения. Потенциальная завихренность круглого в горизонтальном плане ядра однозначно связана с относительной завихренностью ${\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}$ при выбранном K. Поэтому параметры ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$ могут быть пересчитаны в терминах ${{\left( {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{e}} \right)}_{2}}$, значения которых также представлены в таблице. Отметим, что во всем диапазоне изменений K значения ${{\left( {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{e}} \right)}_{2}}$ изменяются примерно в два раза, в то время как ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$ изменяются на порядок. Между собой величины ${{\left( {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{e}} \right)}_{2}}$ также отличаются примерно в два раза. Поэтому эти параметры более удобны для интерпретации результатов, чем ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{1}}$ и ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$. Однако, параметр деформации $e$ редко используется в океанологии, что служит дополнительным источником проблем интерпретации. Для параметров ${{\left( {\frac{\sigma }{e}} \right)}_{2}}$ и ${{\left( {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{e}} \right)}_{2}}$это неудобство легко исправляется, поскольку они рассчитаны для условия $\left| \gamma \right| = \left| e \right|$, поэтому фактически являются результатом сравнения относительных завихренностей ядра и фонового течения: $\left| {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}{{{\vec {u}}}_{b}}}}} \right|$. Значения $\left| {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}{{{\vec {u}}}_{b}}}}} \right|$ также представлены в табл. 1 как функции параметра сплюснутости K, где параметр $\left| {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}{{{\vec {u}}}_{b}}}}} \right|$ во всем диапазоне интересных для нас значений K меняется менее чем в два раза. На практике нас больше интересуют малые $K \sim 0.1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 0.4$, поскольку практически все реальные вихри океана являются тонкими со значением $K < 1$. Для таких вихрей $\left| {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}{{{\vec {u}}}_{b}}}}} \right| \approx 10$. Это означает, что в прямолинейном течении со сдвигом выживают очень интенсивные вихри с большим положительным значением параметра $\frac{\sigma }{e}$ или же, независимо от интенсивности, вихри противоположного знака $\frac{\sigma }{e} < 0~$. Это является объяснением известного феномена различного поведения циклонов и антициклонов в одном и том же течении.

ОЦЕНКИ КОЛИЧЕСТВА ВИХРЕЙ МИРОВОГО ОКЕАНА С РАЗЛИЧНЫМ ХАРАКТЕРОМ ИХ ПОВЕДЕНИЯ, ОТНОСЯЩИХСЯ К РАЗЛИЧНЫМ ЗОНАМ

Оценим долю вихрей, попадающих в полосу $\left| {{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}} \right| \leqslant 1$ (серая зона на рис. 1) и испытывающих неограниченное вытягивание. Начнем с линии $\frac{\gamma }{e} = - 1$ на рисунках. Для выживания вихрей с условием $\frac{\sigma }{e} > 0$ требуется очень большая интенсивность $\left| {\frac{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}\vec {u}}}{{{\text{ro}}{{{\text{t}}}_{z}}{{{\vec {u}}}_{b}}}}} \right| > 10$, тогда все вихри этого знака окажутся в серой зоне. Вихри противоположного знака $\frac{\sigma }{e} < 0$ полностью попадают в синюю или зеленую зону и, следовательно, выживают в этом течении. Если считать, что количество циклонов и антициклонов одинаковое, то на линии $\frac{\gamma }{e} = - 1$ половина вихрей обязательно вытянутся в нить, а оставшиеся вихри (вторая половина) останутся локализованными. Если говорить точнее, то часть вихрей с $\frac{\sigma }{e} < 0$, попавших в зеленую зону (рис. 1), также могут неограниченно вытянуться, если уже в начальный момент времени они были достаточно вытянуты. Однако их мы учитывать не будем. В результате получаем $\frac{1}{2}$ в качестве нижней оценки доли вихрей, неминуемо вытягивающихся до бесконечности на линии $\frac{\gamma }{e} = - 1$. Эти же вихри в других течениях (при других параметрах $\frac{\gamma }{e}$) могут как вытягиваться в нить, так и оставаться локализованными образованиями. На линии $\frac{\gamma }{e} = 0$ граница серой зоны симметрична, причем ${{М}_{1}}\left( 0 \right) = {{М}_{2}}\left( 0 \right) \approx \frac{1}{2}{{М}_{2}}\left( { - 1} \right)$. Для тонких вихрей (практически все вихри океана в нашей классификации тонкие) с малыми значениями $K < 1$, ${{М}_{1}}\left( 0 \right) = {{М}_{2}}\left( 0 \right) \approx 5$, и в границы $ - 5 < \frac{\sigma }{e} < 5$ попадут практически все вихри океана для $\frac{\gamma }{e} = 0$. Т.е. на линии $\frac{\gamma }{e} = 0$ практически все вихри океана окажутся в серой зоне и неминуемо подвергнутся неограниченному вытягиванию. На верхней границе полосы $ - 1 \leqslant \frac{\gamma }{e} \leqslant 1$, т.е. при $\frac{\gamma }{e} = 1$ половина вихрей окажется в серой зоне и, следовательно, неминуемо вытянется ($\frac{\sigma }{e} < 0~$), а другая половина ($\frac{\sigma }{e} > 0$) окажется в зеленой или голубой зоне и, следовательно, практически полностью останется в локализованной форме. Итак, в полосе $ - 1 \leqslant \frac{\gamma }{e} \leqslant 1$ нам удалось оценить долю вытягивающихся вихрей только для трех значений: $\frac{\gamma }{e} = \pm 1$ и $\frac{\gamma }{e} = 0$. Таким образом, на границах области вытягивается половина вихрей, в центре – вытягиваются все вихри. Если предположить, что доля вытягивающихся вихрей линейно зависит от параметра $\frac{\gamma }{e}$ в диапазонах $ - 1 \leqslant \frac{\gamma }{e} < 0$ и $0 \leqslant \frac{\gamma }{e} < 1$, то такому распределению в полосе $ - 1 \leqslant \frac{\gamma }{e} \leqslant 1$ соответствует средняя доля вытягивающихся вихрей – 0.75. По всей видимости, полученное значение 0.75, является оценкой снизу, поскольку на границах диапазона $\frac{\gamma }{e} = \pm 1$ мы не учитывали дополнительное вытягивание некоторого количества вихрей зеленой зоны. Предполагаемая линейная зависимость распределения вытягивающихся вихрей в окрестности $\frac{\gamma }{e} = 0$ также уменьшила локальное поведение функции распределения. В результате на трех точках $\frac{\gamma }{e} = \pm 1$ и $\frac{\gamma }{e} = 0$ мы везде получили недоучет доли растягивающихся вихрей. На этом основании мы не можем однозначно утверждать, что доля вытягивающихся вихрей превышает 75%, но, возможно, это утверждение верно. В конечном итоге, мы ограничимся оценкой 75% доли вытягивающихся вихрей в диапазоне параметра течений $ - 1 \leqslant \frac{\gamma }{e} \leqslant 1.$ Какова доля вихрей из их общего количества, попадающих в условия $ - 1 \leqslant \frac{\gamma }{e} \leqslant 1$, пока нам не известно, но эта задача будет поставлена и решена в следующей нашей работе. В дальнейшем, на основе полученных результатов, будет сделана оценка доли мезомасштабных вихрей Мирового океана, которые вытягиваются в филаменты и тем самым перераспределяют энергию с мезомасштаба на субмезомасштаб.

ВЫВОДЫ

Таким образом, мы показали, что если в гидродинамической системе выполняется геострофический баланс сил, то все полученные результаты могут быть перенесены на явления с теми же числами Бургера, но с другими горизонтальными размерами. В частности, все полученные свойства могут быть переписаны в терминах субмезомасштабных процессов для деятельного слоя океана, если число Бургера лежит в диапазоне от нескольких десятых единицы до нескольких единиц, а наиболее быстрорастущие возмущения имеют масштаб порядка радиуса деформации Россби. При этом гидродинамическое подобие квазигеострофических явлений должно наблюдаться для широкого круга задач и значительного диапазона горизонтальных размеров вихрей.

Для вихрей с произвольным фиксированным значением параметра K при $\left| {{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}} \right| \leqslant 1$ в плоскости параметров $\left( {{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma e}} \right. \kern-0em} e},{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}} \right)$ возникают три различные зоны, характеризующие различные формы поведения вихрей (см. рис. 1): внешняя (зеленая), когда разрешены все режимы: вращательный, колебательный и вытягивания; промежуточная (синяя), когда разрешены колебательный режим и режим неограниченного вытягивания; внутренняя (серая), когда разрешен только режим неограниченного вытягивания ядра вихря. Эти зоны симметричны относительно начала координат. При $\left| {{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma e}} \right. \kern-0em} e}} \right| > 1$ неограниченное вытягивание вихрей запрещено (красные зоны на рис. 1).

Для монотонного вытягивания вихря требуется остановка вращения его формы. Но такое возможно только в том случае, если знаки у σ и γ разные. Слабые вихри с разными знаками σ и γ преимущественно вытягиваются течением в вихревые нити, в то время как в течениях наиболее живучи вихри с одинаковыми знаками σ и γ. Слабые мелкие вихри одного знака с крупным интенсивным вихрем вытягиваются в нити, а интенсивные вихри не могут неограниченно вытягиваться. Такое поведение объясняет существование в окрестности крупных интенсивных вихрей слабых мелких вихрей противоположного знака завихренности [2, 8, 10, 12, 13].

Внутренняя (серая) зона для вихрей не стягивается к нулю при $K \to \infty $, но возникает конечная внутренняя часть серой зоны – сердцевина, для которой все вихри любой толщины при любых значениях K неминуемо вытянутся в нить, в том числе и бесконечно толстые вихри.