Журнал неорганической химии, 2021, T. 66, № 3, стр. 364-370

Распространение электромагнитного поля вдоль оси металлических углеродных нанотрубок

П. Н. Дьячков a*, Е. П. Дьячков a

a Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова РАН
119991 Москва, Ленинский пр-т, 31, Россия

* E-mail: p_dyachkov@rambler.ru

Поступила в редакцию 06.09.2020
После доработки 08.10.2020
Принята к публикации 12.10.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассчитаны фазовые и групповые скорости распространения электрического и магнитного поля вдоль оси металлических углеродных нанотрубок. Рассмотрение проведено в рамках модели, согласно которой электронное распределение в нанотрубках описывается цилиндрическим слоем почти свободного электронного газа с учетом эффектов его возмущения внешним электрическим полем и межэлектронным взаимодействием. Для поперечного магнитного поля (ТМ-типа) и поперечного электрического поля (ТЕ-типа) определены зависимости частоты поля и фазовых и групповых скоростей от волнового числа ${{k}_{z}}.$ Установлено, что частоты всех ТЕ-мод с увеличением ${{k}_{z}}$ монотонно растут, групповые скорости положительны и направления распространения фазовой и групповой волн совпадают. Для мод ТМ-типа при низких значениях ${{k}_{z}}$ групповая скорость отрицательна и направления распространения фазовой волны и групповой волны противоположны, что может иметь практическое значение для создания на их основе средств управления передачей сигналов и энергии между элементами наноэлектроники.

Ключевые слова: моделирование, углеродные нанотрубки, электромагнитные поля, распространение

ВВЕДЕНИЕ

Углеродные нанотрубки (УНТ) образованы неметаллическими атомами, тем не менее некоторые УНТ обладают металлическим электронным типом зонной структуры и высокой электропроводностью вплоть до сверхпроводимости и баллистического электронного и спинового транспорта при низких температурах [14]. Геометрию одностенных УНТ можно представить как результат сворачивания в виде цилиндра ленты, вырезанной из графитового слоя (графена), причем ориентация углеродных шестиугольников в УНТ определяется целыми индексами n1 и n2 [1, 2]. Все УНТ (n, n) с одинаковыми значениями n1 = n2= n металлические. Благодаря высокой электропроводности, теплопроводности и термической стабильности они могут использоваться в качестве проводов для переноса заряда и электромагнитного излучения между элементами наноэлектроники [1, 2]. В последнем случае металлические УНТ служат в качестве нановолноводов, в которых перенос фотонов вдоль нанопровода осуществляется с участием поверхностных плазмонов, т.е. возбужденных электронных состояний, связанных с электромагнитным излучением [511]. Ведущая роль поверхности нанотрубки обусловлена тем, что лазерное излучение не может быть сконцентрировано в областях менее сотен нанометров, т.е. ниже дифракционного предела света.

Цель настоящей работы – рассчитать частотные зависимости фазовых и групповых скоростей распространения электрического и магнитного поля вдоль оси УНТ (n, n) с n = 5, 10, 15 и 20. Будем считать, что УНТ не содержат дефектов строения и являются идеальными проводящими системами, в которых отсутствуют потери энергии. При этом задача сводится к определению структуры и условий существования электромагнитных полей, которые будем считать монохроматическими. Задача определения поля, т.е. векторов E и H, тогда сводится к интегрированию волновых уравнений с учетом граничных условий на поверхности трубки. Рассмотрение будет проведено в рамках развитой ранее так называемой линеаризованной гидродинамической модели, согласно которой электронное распределение в УНТ описывается цилиндрическим слоем почти свободного электронного газа [1219]. Эта модель первоначально была предложена для изучения диэлектрических свойств и коллективных возбуждений σ- и π-электронов в УНТ, для расчетов эффектов торможения заряженных частиц, движущихся перпендикулярно и параллельно оси УНТ, и для интерпретации спектров энергетических потерь электронов в УНТ [5, 12, 20, 21].

МЕТОД РАСЧЕТА

Следуя [1316], будем рассматривать УНТ как бесконечно тонкую и длинную цилиндрическую оболочку радиуса a и полагать, что валентные электроны равномерно распределены по поверхности УНТ с такой же плотностью n0 = 1.52 × 1020 м–2, что и в графене. Используем цилиндрические координаты r = (r, φ, z) и рассмотрим гармоническую электромагнитную волну с частотой ω, распространяющуюся вдоль оси нанотрубки z:

(1)
$E\left( {r,\varphi ,z,t} \right) = E\left( {r,\varphi } \right){{e}^{{i\left( {{\omega }t - {{k}_{z}}z} \right)}}},$
(2)
$B\left( {r,\varphi ,z,t} \right) = B\left( {r,\varphi } \right){{e}^{{i\left( {{\omega }t - {{k}_{z}}z} \right)}}},$
где ${{k}_{z}}$ характеризует периодичность поля вдоль оси системы и называется волновым числом или постоянной распространения направляемой волны.

Электромагнитная волна будет возмущать однородное распределение электронов, которое можно рассматривать как заряженную жидкость с полем скоростей u(rS, t) и возмущенной плотностью n1(rS, t), где rS = (φ, z) − координаты точки на цилиндрической поверхности УНТ. Смещения электронов должны подчиняться уравнению непрерывности [1316]:

(3)
$\frac{{\partial {{n}_{1}}\left( {{{r}_{S}},t} \right)}}{{\partial t}} + {{n}_{0}}{{\nabla }_{{||}}} \cdot u\left( {{{r}_{S}},t} \right) = 0$
и условию сохранения импульса:
(4)
$\begin{gathered} \frac{{\partial u\left( {{{r}_{S}},t} \right)}}{{\partial t}} = - \frac{e}{{{{m}_{e}}}}{{E}_{{||}}}\left( {{{r}_{S}},t} \right) - \frac{\alpha }{{{{n}_{0}}}}{{\nabla }_{{||}}}{{n}_{1}}\left( {{{r}_{S}},t} \right) + \\ + \,\,\frac{\beta }{{{{n}_{0}}}}{{\nabla }_{{||}}}\left( {{{\nabla }_{{||}}}^{2}{{n}_{1}}\left( {{{r}_{S}},t} \right)} \right), \\ \end{gathered} $
где ${{E}_{{||}}} = {{E}_{z}}{{\hat {e}}_{z}} + {{E}_{\phi }}{{\hat {e}}_{\phi }}$ – тангенциальная составляющая электромагнитного поля, e – заряд, а me – масса электрона. Оператор
(5)
${{\nabla }_{{||}}} = {{\hat {e}}_{z}}\frac{\partial }{{\partial z}} + \frac{1}{a}{{\hat {e}}_{\phi }}\frac{\partial }{{\partial \phi }}~$
отвечает дифференцированию по касательной к поверхности нанотрубки. Выражение $e{{E}_{{||}}}\left( {{{r}_{S}},t} \right)$ в правой части уравнения (4) – это сила, действующая на электрон на поверхности нанотрубки; второе и третье слагаемые моделируют силы межэлектронного взаимодействия в электронном газе. Здесь ${\alpha \;} = {{{v}_{{\text{F}}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{v}_{{\text{F}}}^{2}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ ≈ 6.4 × 1012 м22 выражается через скорость Ферми двумерного электронного газа vF в графене, а ${\beta \;} = {{{{{({{a}_{B}}{{{v}}_{B}})}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{({{a}_{B}}{{{v}}_{B}})}}^{2}}} 4}} \right. \kern-0em} 4}~$ ≈ 3.3 × 10–9 м42 – через боровские радиус ${{a}_{B}}$ и скорость ${{{v}}_{B}}.$

Векторы электрического E(r, t) и магнитного B(r, t) поля могут быть найдены из волновых уравнений и вместе с индуцированной электронной плотностью n1(rS, t) представлены в виде разложения в ряды Фурье. Соответствующие выражения приведены в работах [1316]. Таким образом, с учетом граничных условий для электрического и магнитного поля, согласно которым в присутствии индуцированной электронной плотности на поверхности нанотрубки радиальная составляющая электрического поля претерпевает разрыв при r = a, магнитное поле непрерывно и отсутствуют градиенты поля на поверхности идеального проводника, можно определить дисперсионные соотношения между частотой ω и ${{k}_{z}}$ в высокочастотном режиме, когда ${{k}_{z}} \gg {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c}$ [1316]:

(6)
$\begin{gathered} \omega _{m}^{{TE}} = \left( {{\alpha }\left( {k_{z}^{2} + \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}} \right) + } \right. \\ {{\left. { + \,\,\beta {{{\left( {k_{z}^{2} + \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}} \right)}}^{2}} - \Omega _{p}^{2}k_{z}^{2}{{a}^{2}}I_{m}^{'}\left( {{{k}_{z}}a} \right)K_{m}^{'}\left( {{{k}_{z}}a} \right)} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}, \\ \end{gathered} $
(7)
$\begin{gathered} \omega _{m}^{{TM}} = \left( {{\alpha }\left( {k_{z}^{2} + \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}} \right) + \beta {{{\left( {k_{z}^{2} + \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}} \right)}}^{2}} + } \right. \\ {{\left. { + \,\,\Omega _{p}^{2}\left( {\frac{{{{m}^{2}}}}{{{{a}^{2}}k_{z}^{2}}} + 1} \right){{I}_{m}}\left( {{{k}_{z}}a} \right){{K}_{m}}\left( {{{k}_{z}}a} \right)} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}, \\ \end{gathered} $
где m = 0, 1,… нумерует собственные состояния в порядке возрастания энергии, Im(x), Km(x), $I_{m}^{'}\left( x \right)$ и $K_{m}^{'}\left( x \right)$ – модифицированные функции Бесселя и их производные, а

(8)
${{\Omega }_{p}} = {{\left( {\frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{{{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}a}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$

Электромагнитное поле в нанотрубке, как и в любой системе с цилиндрической симметрией, можно представить как сумму полей двух типов: поперечного магнитного поля (ТМ-типа) и поперечного электрического поля (ТЕ-типа). В первом случае поле не имеет магнитных составляющих вдоль оси z трубки (Hz = 0 и Еz ≠ 0), а во втором – Hz ≠ 0 и Еz = 0, т.е. отсутствует компонента z электрического поля. Наконец, зная дисперсионные соотношения (6) и (7) между частотой и волновым числом ${{k}_{z}},$ определяющим периодичность полей ТЕ- и ТМ-типа вдоль оси нанотрубки, можно определить фазовые скорости:

(9)
${{{v}}_{{ph,m}}} = {{{{\omega }_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{m}}} {{{k}_{z}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{z}}}},$
т.е. скорости перемещения точки постоянной фазы вдоль оси системы, и групповые скорости:
(10)
${{{v}}_{{gr,m}}} = {{d{{\omega }_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{\omega }_{m}}} {d{{k}_{z}}}}} \right. \kern-0em} {d{{k}_{z}}}},$
т.е. скорости распространения энергии и электромагнитных сигналов вдоль нанотрубки.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Для УНТ разного диаметра на рис. 1 приведены рассчитанные зависимости частот $~{{\omega }_{m}}$ (m = 0, 1 и 2) от волнового числа ${{k}_{z}}$ для основного (m = 0) и двух возбужденных состояний. В случае ТЕ-мод минимальные значения $~{{\omega }_{m}}$ соответствуют точке ${{k}_{z}} = 0,$ и увеличение ${{k}_{z}}$ сопровождается монотонным возрастанием ${{\omega }_{m}}.$ Для m = 0 дисперсионные кривые ${{\omega }_{m}}\left( {{{k}_{z}}} \right)$ проходят через начало координат. Увеличение m сопровождается смещением дисперсионной кривой в высокочастотную область, а переход к трубкам большего диаметра − к низкочастотному сдвигу кривых. Вид дисперсионных кривых ${{\omega }_{m}}\left( {{{k}_{z}}} \right)$ предопределяет зависимости фазовых $\left( {{{{v}}_{{ph~}}}} \right)$ и групповых $\left( {{{{v}}_{{gr}}}} \right)$ скоростей ТЕ-мод от ${{k}_{z}}$ (рис. 2 и 3). Для дисперсионной кривой, отвечающей основному состоянию m = 0, вблизи начала координат частота $~{{\omega }_{0}}$ приближенно пропорциональна ${{k}_{z}},$ поэтому фазовая скорость ${{{v}}_{{ph,0}}} = {{{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}} {{{k}_{z}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{z}}}}$ ≈ 1 × 107 м/с почти не меняется с увеличением волнового числа. Совершенно иная картина наблюдается для дисперсионных кривых с m ≠ 0 и ненулевыми частотами при нулевой величине ${{k}_{z}}.$ Здесь фазовая скорость быстро падает от бесконечных значений при ${{k}_{z}} = 0$ до ${{{v}}_{{ph}}}$ порядка 1 × 107 м/с при ${{k}_{z}}$ ≈ 3 нм–1, причем при ${{k}_{z}}$ > 3 нм–1${{{v}}_{{ph}}}$ почти не зависит от m, ${{k}_{z}}$ и диаметра УНТ. Зависимости групповой скорости ${{{v}}_{{gr,m}}} = {{d{{\omega }_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{\omega }_{m}}} {d{{k}_{z}}}}} \right. \kern-0em} {d{{k}_{z}}}}$ от волнового числа приведены на рис. 3. Они отражают скорость изменения частоты с ростом ${{k}_{z}}.$ Поскольку частоты всех ТЕ-мод с увеличением ${{k}_{z}}$ монотонно растут, все групповые скорости положительны, т.е. направления распространения фазовой и групповой скоростей совпадают. Рост ${{k}_{z}}$ сопровождается уменьшением ${{{v}}_{{gr,0}}}$ от 0.9 × 107 до 0.3 × 107 м/с и ростом ${{{v}}_{{gr,1}}}$ и ${{{v}}_{{gr,2}}}$ от 0.1 × 107 до 0.3 × 107 м/с. Для основной моды m = 0 вблизи начала координат частота ${{\omega }_{0}}$ пропорциональна ${{k}_{z}},$ поэтому групповая и фазовая скорости здесь совпадают. Для остальных значений m групповые скорости меньше фазовых, и особенно сильно это различие проявляется вблизи ${{k}_{z}} = 0.$

Рис. 1.

Зависимости частот электромагнитного поля $~{{\omega }_{m}}$ от m, волнового числа ${{k}_{z}},$ геометрии УНТ и типа волны.

Рис. 2.

Зависимости фазовых ${{{v}}_{{ph}}}$ скоростей от m, волнового числа ${{k}_{z}},$ геометрии УНТ и типа волны.

Рис. 3.

Зависимости групповых ${{{v}}_{{gr}}}$ скоростей от m, волнового числа ${{k}_{z}},$ геометрии УНТ и типа волны.

Обратимся теперь к дисперсионным кривым ТМ-мод (рис. 1). В этом случае независимо от m при ${{k}_{z}} = 0$ все частоты $~{{\omega }_{m}}$ стремятся к бесконечности, быстро спадают с ростом ${{k}_{z}},$ достигая минимальных значений (1–3) × 1016 с–1 при ${{k}_{z}}$ ~ ~ 3−5 нм−1, и затем медленно приближенно линейно возрастают при дальнейшем увеличении волнового числа. Соответственно, фазовые скорости в диапазоне 0 < ${{k}_{z}}$ < 3−5 нм−1 резко падают от бесконечности до ~1 × 107 м/с и далее почти не меняются (рис. 2). Первоначальное уменьшение и последующий рост частот ${{\omega }_{m}}$ в зависимости от ${{k}_{z}}$ приводят к изменению знака групповой скорости ${{{v}}_{{gr,m}}} = {{d{{\omega }_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{\omega }_{m}}} {d{{k}_{z}}}}} \right. \kern-0em} {d{{k}_{z}}}}$ (рис. 3). При низких значениях ${{k}_{z}}$ групповая скорость отрицательна, а значит, направления распространения фазовой волны и групповой волны противоположны. Переход к большим значениям ${{k}_{z}}$ приводит к смене знака ${{{v}}_{{gr}}}$ на положительный, при этом фазовые и групповые волны распространяются в одном направлении. Изменение знака ${{{v}}_{{gr}}}$ позволяет использовать нанотрубку для передачи энергии и информации между элементами молекулярной электроники в противоположных направлениях путем варьирования волнового числа или частоты ТМ-мод.

Заметим, что в последнее время проводится интенсивный поиск материалов, в которых свойственные им возбуждения обладают отрицательной групповой скоростью, и выполняются экспериментальные исследования распространения импульсов света с отрицательными групповыми скоростями в различных оптических средах. Это явление, помимо фундаментального, может иметь практическое значение для создания на его основе средств управления сигналами [2229].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Определены фазовые и групповые скорости распространения электрического и магнитного поля вдоль оси четырех УНТ типа “кресло”. Установлено, что направления распространения фазовой и групповой волн совпадают в случае ТЕ-мод. Для мод ТМ-типа при низких значениях ${{k}_{z}}$ групповая скорость отрицательна и направления распространения фазовой волны и групповой волны противоположны, причем переход к большим величинам ${{k}_{z}}$ сопровождается изменением направления распространения групповых волн.

Наконец, отметим, что данная модель, в которой не учитываются тонкие детали атомной и зонной структуры металлических нанотрубок, а сами они характеризуются только диаметром a и поверхностной электронной плотностью n0, вполне применима для моделирования аналогичных электромагнитных свойств других углеродных и даже неуглеродных, например золотых, нанотрубок. Достаточно определить n0 и задать значения a.

Список литературы

  1. Saito R., Dresselhaus G., Dresselhaus M.S. Physical Properties of Carbon Nanotubes. London: Imperial College Press, 1998.

  2. Дьячков П.Н. Электронные свойства и применение нанотрубок. М.: Лаборатория знаний, 2020. 491 с.

  3. D’yachkov P.N. // Russ. J. Inorg. Chem. 2018. V. 63. P. 55. [Дьячков П.Н. // Журн. неорган. химии. 2018. Т. 63. № 1. С. 60.]https://doi.org/10.1134/S0036023618010072

  4. Дьячков П.Н., Дьячков E.П. // Журн. неорган. химии. 2016. Т. 61. № 10. С. 1320. [D’yachkov P.N., D’yachkov E.P. // Russ. J. Inorg. Chem. 2016. V. 61. № 10. P. 1130. https://doi.org/10.1134/S0036023616100089]

  5. Jiang X. // Phys. Rev. B. 1996. V. 54. P. 13487. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.54.13487

  6. Liu L., Han Z., He S. // Opt. Express. 2005. V. 13. P. 6645. https://doi.org/10.1364/OPEX.13.006645

  7. Ozbay E. // Science. 2006. V. 311. P. 189. https://doi.org/10.1126/science.1114849

  8. Riaz A., Alam A., Balaji P. et al. // Adv. Electron. Mater. 2018. P. 1800265. https://doi.org/10.1002/aelm.201800265

  9. Islam M.S., Matin M.A., Hossain M. // Electromagnetic Wave Propagation Characteristics in Single Walled Metallic Carbon Nanotube. 8th International Conference on Electrical and Computer Engineering. Dhaka, Bangladesh, 2014. P. 575.

  10. Moradi A. // J. Electromagn. Anal. Appl. 2010. V. 2. P. 672. https://doi.org/10.4236/jemaa.2010.212088

  11. Конобеева Н.Н., Белоненко М.Б. // ФТТ. 2013. Т. 55. № 10. С. 2008.

  12. Wang Y.-N., Miškovic Z.L. // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. P. 022 901. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.69.022901

  13. Wei L., Wang Y.N. // Phys. Lett. A. 2004. V. 333. P. 303. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2008.01.085

  14. Javaherian C., Shokri B. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2009. V. 42. P. 055307. https://doi.org/10.1088/0022-3727/42/5/055307

  15. Yannouleas C., Bogachek E.N., Landman U. // Phys. Rev. B. 1996. V. 53. P. 10225. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.53.10225

  16. Moradi A. // Optics Communications. 2010. V. 283. P. 160. https://doi.org/10.1016/j.optcom.2009.09.038

  17. Moradi A. // J. Appl. Phys. 2017. V. 122. P. 133103. https://doi.org/10.1063/1.4997454

  18. Moradi A., Sharif F. // Opt. Commun. 2012. V. 285. P. 11 636. https://doi.org/10.1016/j.optcom.2011.11.098

  19. Moradi A. // Appl. Phys. B. 2013. V. 11. P. 127. https://doi.org/10.1007/s00340-012-5315-z

  20. Stöckli T., Bonard J.M., Chätelain A. et al. // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. P. 115424. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.64.115424

  21. D’yachkov P.N. Quantum Chemistry of Nanotubes: Electronic Cylindrical Waves. London: CRC Press, Taylor and Francis, 2019. 212 p.

  22. Маньков Ю.И. // ФТТ. 2013. Т. 55. № 5. P. 850.

  23. Макаров В.П., Рухадзе A.A. // УФН. 2011. Т. 181. С. 1357. https://doi.org/10.3367/UFNr.0181.201112n.1357

  24. Zhang L., Zhan L., Qian K. et al. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 093. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.093903

  25. Qian K., Zhan L., Zhang L. et al. // Opt. Lett. 2011. V. 36. P. 2185. https://doi.org/10.1364/OL.36.002185

  26. Boyd R.W., Gauthier D.J. // Science. 2009. V. 326(5956). P. 1074.

  27. Glasser R.T., Vogl U., Lett P.D. // Opt. Express. 2012. V. 20.https://doi.org/10.1364/OE.20.01370213702

  28. Dolling G., Enkrich C., Wegener M. et al. // Science. 2006. V. 312. P. 892. https://doi.org/10.1126/science.1126021

  29. Gehring G.M., Schweinsberg A., Barsi C. et al. // Science. 2006. V. 312. P. 895. https://doi.org/10.1126/science.1124524

Дополнительные материалы отсутствуют.