Журнал неорганической химии, 2019, T. 64, № 1, стр. 72-81
Расчет параметров фуллерена на основе реализованного одномерного метода поиска собственных значений и собственных функций в одномерных кластерах планарной, цилиндрической и сферической геометрииН. В. Юдина, Н. Р. Садыков
Н. В. Юдина 1, *, Н. Р. Садыков 1
1 Снежинский физико-технический институт НИЯУ МИФИ
456776 Челябинская обл., Снежинск, ул. Комсомольская, 8, Россия
* E-mail: y_natalya@mail.ru
Поступила в редакцию 01.03.2018
После доработки 04.07.2018
Принята к публикации 24.04.2018
Аннотация
На основе реализованного алгоритма рассчитаны собственные значения и собственные функции кластеров с планарной, цилиндрической и сферической геометрией с произвольными профилями потенциальной энергии. Проведено сравнение результатов численного и аналитического решений для кластеров различной геометрии. Предложенный алгоритм поиска собственных значений и собственных функций кластеров имеет степенную скорость сходимости решения к искомой собственной функции и совпадает со скоростью сходимости в модифицированном методе Виландта. На основе алгоритма вычислен геометрический потенциал от величины радиуса гигантского фуллерена для состояния с орбитальным моментом $l = 0.$ Результаты расчетов хорошо совпадают с теоретически полученными данными.
ВВЕДЕНИЕ
В физике существует большое число задач, в которых необходимо знать собственные значения и собственные функции мод различных замкнутых систем. В качестве таких систем могут выступать кластеры (квантовые точки), которые имеют размеры масштаба нанометра и планарную, цилиндрическую и сферическую геометрию. Существуют оптические системы, такие как оптические резонаторы, волноводы, в частности световоды [1, 2]. В роли оптического резонатора на основе наноструктур могут служить гигантские фуллерены [3, 4] или нанотрубки. В случае резонаторов нужно знать собственные значения частоты, а в случае волноводов – постоянную распространения.
Для описания движения коллективизированных электронов в кластерах на основе наноструктур можно использовать одноэлектронное приближение – приближенный метод нахождения волновых функций и энергетических состояний квантовой системы со многими электронами. В основе одноэлектронного приближения лежит предположение, что квантовую систему можно описать как систему отдельных электронов, движущихся в усредненном потенциальном поле, которое учитывает взаимодействие как с ядрами атомов, так и с другими электронами. Волновая функция многоэлектронной системы в одноэлектронном приближении выбирается в детерминанте Слейтера в виде определенного набора функций [5, 6], зависящих от координат одной частицы и являющихся собственными функциями одноэлектронного гамильтониана с усредненным потенциалом.
В случае оптических резонаторов в зависимости от размеров систем существуют маломодовые и многомодовые системы. Если размеры систем соизмеримы c длиной волны излучения или длиной волны де Бройля, то реализуется маломодовая система, а если характерные размеры системы значительно больше длины волны, то реализуется многомодовая система. Исключение из этого правила наблюдается, например, в удлиненных нанотрубках, где малые поперечные размеры по отношению к продольной длине нанотрубок приводят к эффекту замедления, в результате чего длина волны излучения, соответствующая частоте первого резонанса, на два порядка больше длины нанотрубок. В качестве оптических резонаторов на основе наноструктур можно использовать, например, гигантские фуллерены [3, 4] или диэлектрические нанотрубки [7]. В таких системах существуют моды с резонансными частотами и собственными функциями. Системами, в которых реализовано большое число методов, позволяющих определить собственные значения (постоянные распространения) и собственные функции (векторы) мод, можно назвать диэлектрические волноводы, в частности световоды [1, 2]. Сами волноводы являются, по сути, резонаторами в поперечном к оси волновода направлении, а в продольном направлении спектр непрерывный. Среди приближенных методов особо следует выделить приближение Гаусса ([1], стр. 289), где собственная функция аппроксимируется функцией Гаусса, а размер данной моды (в световодах называют пятном моды) находится из условия минимума (в световодах – из условия максимума) собственного значения моды. Другой приближенный метод, который используется в волноводах, – это эквивалентный ступенчатый профиль показателя преломления [8, 9] (в световодах показатель преломления выполняет функцию потенциальной энергии). Другим часто используемым методом определения собственных значений и собственных функций является модифицированный метод Виландта (метод обратных итераций со сдвигом [10, 11]). Применительно к световодам в работах [12, 13] описан метод определения собственных значений и собственных векторов на основе решения разностного уравнения, аппроксимирующего нестационарное скалярное волновое уравнение (уравнение типа Шредингера). В работе [14] для кластеров с одномерной (планарной) геометрией изложен метод определения собственных значений и собственных векторов на основе решения разностного уравнения, аппроксимирующего уравнение Шредингера.
Логическим продолжением результатов работы [14] является рассмотрение кластеров со сферической и цилиндрической геометрией. Цилиндрическая геометрия соответствует нанотрубкам, а сферическая – фуллеренам [15, 16]. С таких позиций фуллерены обсуждались во многих работах [17, 18]. Гигантские фуллерены [19] являются перспективными материалами, которые еще не нашли технологического применения. В отличие от них, нанотрубки могут быть использованы как наноскопические электронные эмиттеры [20] или одномерные волокна [21]. Гигантские фуллерены перспективны как системы, способные совершать колебания по аналогии с заряженными каплями жидкости. В этой ситуации нанометровые размеры значительно повышают частоту резонансных колебаний, что представляет интерес с точки зрения ложных мишеней. В отличие от фуллеренов, размеры капелек не могут быть меньше одного микрометра из-за относительно большого значения вязкости воды [22–25]. Сами фуллерены могут образовывать кластеры, состоящие из нескольких молекул фуллеренов. В этом случае, согласно капельной модели, свободная энергия кластера в растворе кроме объемной имеет поверхностную составляющую [26, 27], т.е. сами кластеры будут вести себя как нанокапли.
В настоящей работе предлагается применить результаты работы [14] к кластерам сферической и цилиндрической геометрии, например, определить собственные значения фуллеренов в зависимости от радиуса, начиная от фуллеренов C60 и заканчивая гигантскими фуллеренами [19].
Алгоритм поиска собственных значений и собственных функций в потенциальных полях различной геометрии
Выпишем нестационарное уравнение Шредингера:
(1)
$i\hbar \frac{{\partial \Phi }}{{\partial t}} = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\Delta \Phi + U\Phi = 0,$(2a)
$\Delta = {{{{\partial }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}} {\partial {{x}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{x}^{2}}}} + {{{{\partial }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}} {\partial {{y}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{y}^{2}}}} + {{{{\partial }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}} {\partial {{z}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{z}^{2}}}} - $декартова система координат;
(2б)
$\Delta = \frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\rho }\left( {\rho \frac{\partial }{\rho }} \right) + \frac{1}{{{{\rho }^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} - $цилиндрическая (артезианская) система координат;
(2в)
$\begin{gathered} \Delta = \frac{1}{{{{r}^{2}}}}\frac{\partial }{r}\left( {{{r}^{2}}\frac{\partial }{r}} \right) + \\ + \,\,\frac{1}{{{{r}^{2}}}}\left[ {\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}\theta }}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{\partial }{\theta }\left( {\sin \theta \frac{\partial }{\theta }} \right)} \right] - \\ \end{gathered} $сферическая система координат.
Представим волновые функции из (1) для случаев, когда потенциальная энергия имеет планарную, цилиндрическую и сферическую геометрию, определяющую эволюцию квантовой системы, в виде произведения медленно меняющихся амплитуд и быстро осциллирующих функций от экспоненты:
(3a)
$\Phi (t,x,z) = {{\Psi }_{{{\text{plan}}}}}(t,x)\exp \left[ {{{ - i\tilde {E}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\tilde {E}t} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } + i\left( {{{{{p}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{p}_{z}}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }} \right)z} \right] - $декартова система координат;
(3б)
$\begin{gathered} \Phi (t,\rho ,z) = \\ = \,\,{{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}}\left( {t,\rho } \right)\exp \left[ { - {{i\tilde {E}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\tilde {E}t} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } + im\varphi + i({{{{p}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{p}_{z}}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar })z} \right] - \\ \end{gathered} $цилиндрическая система координат;
(3в)
$\begin{gathered} \Phi (t,r,\varphi ,\theta ) = \\ = {{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}(t,r){{P}_{l}}(\cos \theta )\exp \left[ {{{ - i\tilde {E}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\tilde {E}t} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } + im\varphi } \right] - \\ \end{gathered} $сферическая система координат.
В уравнении (3б) $m$ – магнитное квантовое число, в (3в) $P_{l}^{m}(\zeta )$ – присоединенные полиномы Лежандра от переменной $\zeta = \cos \theta ,$ $l$ – орбитальное квантовое число.
Подставив (2) и (3) в (1), получим нестационарное уравнение Шредингера в кластерах с разной геометрией потенциальной энергии
(4a)
$i\hbar \frac{{\partial {{\Psi }_{{{\text{plan}}}}}\left( {t,x} \right)}}{{\partial t}} = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\Psi }_{{{\text{plan}}}}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + U(x){{\Psi }_{{{\text{plan}}}}} - $декартова система координат;
(4б)
$\begin{gathered} i\hbar \frac{{\partial {{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}}\left( {t,\rho } \right)}}{{\partial t}} = \\ = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\left[ {\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \rho }}\left( {\rho \frac{\partial }{{\partial \rho }}} \right) - \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}}}} \right]{{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}} + U(\rho ){{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}} - \\ \end{gathered} $цилиндрическая система координат;
(4в)
$\begin{gathered} i\hbar \frac{{\partial {{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}(t,r)}}{{\partial t}} = \\ = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\left[ {\frac{1}{{{{r}^{2}}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {{{r}^{2}}\frac{\partial }{{\partial r}}} \right) - \frac{{l(l + 1)}}{{{{r}^{2}}}}} \right]{{\Psi }_{{{\text{sph}}}}} + \\ + \,\,U(r){{\Psi }_{{{\text{sph}}}}} - \\ \end{gathered} $сферическая система координат.
Уравнение (4в) в результате преобразования
(5)
${{\Psi }_{{{\text{sph}}}}} = {{\Psi _{{{\text{sph}}}}^{{(1)}}(t,r)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Psi _{{{\text{sph}}}}^{{(1)}}(t,r)} {\sqrt r }}} \right. \kern-0em} {\sqrt r }}$легко сводится к уравнению (4б)
(6)
$\begin{gathered} i\hbar \frac{{\partial \Psi _{{{\text{sph}}}}^{{(1)}}(t,r)}}{{\partial t}} = \\ = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\left[ {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{\partial }{{\partial r}}} \right) - \frac{{{{{\left( {l + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right]\Psi _{{{\text{sph}}}}^{{(1)}} + U(r)\Psi _{{{\text{sph}}}}^{{(1)}}. \\ \end{gathered} $Планарная геометрия. Сначала рассмотрим квантовую систему с планарной геометрией. Уравнение (4a) с соответствующими начальными и краевыми условиями запишем в операторном виде:
(7)
$\begin{gathered} i\hbar \frac{{\partial {{\Psi }_{{{\text{plan}}}}}}}{{\partial t}} = \delta \hat {H}{{\Psi }_{{{\text{plan}}}}},\,\,\,\,\delta \hat {H} = \hat {H} - E\hat {I}, \\ - \frac{L}{2} \leqslant x \leqslant \frac{L}{2},\,\,\,\,{{\Psi }_{{{\text{plan}}}}}\left( {t,x = \pm \frac{L}{2}} \right) = 0, \\ {{\Psi }_{{{\text{plan}}}}}(t = 0,x) = f(x), \\ \end{gathered} $(8)
$\begin{gathered} {{\omega }_{h}} = \\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}_{i}} = ih - {L \mathord{\left/ {\vphantom {L 2}} \right. \kern-0em} 2},\,\,\,\,i = 0,1,2,...,\,\,\,\,{{i}_{{\max }}},\,\,\,\,h = {L \mathord{\left/ {\vphantom {L {{{i}_{{\max }}}}}} \right. \kern-0em} {{{i}_{{\max }}}}},} \\ {{{t}_{j}} = j\tau ,\,\,\,\,j = 0,1,2,...,\,\,\,\,{{j}_{{\max }}},\,\,\,\,\tau = {{{{t}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{t}_{0}}} {{{j}_{{\max }}}}}} \right. \kern-0em} {{{j}_{{\max }}}}},} \end{array}} \right. \\ \end{gathered} $(9)
$\begin{gathered} \frac{{{{\Psi }^{j}}(i) - {{\Psi }^{{j - 1}}}(i)}}{\tau } = \\ = - \frac{i}{\hbar }\delta \hat {A}\left( {\sigma {{\Psi }^{j}}(i) + (1 - \sigma ){{\Psi }^{{j - 1}}}(i)} \right), \\ {{\Psi }^{j}}(i = 0) = 0,\,\,\,\,{{\Psi }^{j}}(i = {{i}_{{\max }}}) = 0,\,\,\,\,{{\Psi }^{{j = 0}}}(i) = {{f}_{i}}, \\ \end{gathered} $(10)
$\begin{gathered} \delta \hat {A}{{\Psi }^{j}}(i) = \\ = \left( { - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\frac{{{{\Psi }^{j}}(i - 1)\, - 2{{\Psi }^{j}}(i) + {{\Psi }^{j}}(i + 1)}}{{h_{x}^{2}}} + {{U}_{i}}{{\Psi }^{j}}(i)} \right) - \\ - \,\,E{{\Psi }^{j}}(i). \\ \end{gathered} $Покажем, что при численном решении разностной схемы (9) , аппроксимирующей нестационарное уравнение Шредингера (7), можно реализовать алгоритм поиска собственных значений и собственных функций. Будем искать решение разностного уравнения (9) по аналогии с методом разделяющихся переменных:
(11)
${{\Psi }^{j}}(i) = \sum\limits_\alpha {C_{\alpha }^{j}{{F}_{\alpha }}} (i),\,\,\,\,\delta \hat {A}{{F}_{\alpha }} = \delta {{E}_{\alpha }}{{F}_{\alpha }},$(12)
$C_{\alpha }^{j} = {{C_{\alpha }^{{j - 1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{C_{\alpha }^{{j - 1}}} {\left( {1 - i\tau \delta {{{{E}_{\alpha }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{\alpha }}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {1 - i\tau \delta {{{{E}_{\alpha }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{\alpha }}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }} \right)}}.$Выберем $E$ таким образом, чтобы для искомой $\alpha $-моды выполнялось условие $\left| {E - {{E}_{\alpha }}} \right| < \left| {E - {{E}_{\beta }}} \right|,$ где $\alpha \ne \beta .$ Последнее означает, что амплитуда $C_{\beta }^{j}$ для $\beta $-моды убывает быстрее, чем амплитуда $C_{\alpha }^{j}$ искомой $\alpha $-моды. Если на каждой итерации численное решение уравнения (7) нормировать на постоянную величину, то через определенное число итераций решение с заданной точностью совпадет с собственным вектором $\alpha $-моды. Таким образом, на основе численного решения нестационарного скалярного волнового уравнения (1) можно осуществить поиск собственных значений и собственных векторов мод в одномерном кластере с планарной геометрией. Для этого нужно аппроксимировать нестационарное уравнение Шредингера (7) неявной двухслойной разностной схемой с весом $\sigma = 1.$
Цилиндрическая и сферическая геометрия. Результат, аналогичный равенству (12), получается для квантовых точек с цилиндрической и сферической геометрией. Поскольку случай потенциальной энергии со сферической геометрией (4в) сводится к случаю потенциальной энергии (6) с цилиндрической геометрией по аналогии с уравнением (4б), рассмотрим только алгоритм поиска собственных функций и собственных значений для потенциальной энергии с цилиндрической геометрией (4б).
Уравнение (4б) с соответствующими начальными и краевыми условиями запишем в операторном виде
(13)
$\begin{gathered} i\hbar \frac{{\partial {{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}}\left( {t,\rho } \right)}}{{\partial t}} = \delta \hat {H}{{\Psi }_{{{\text{plan}}}}},\,\,\,\,\delta \hat {H} = \hat {H} - E\hat {I}, \\ 0 \leqslant \rho \leqslant {{\rho }_{{\max }}},\,\,\,\,{{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}}\left( {t,\rho = {{\rho }_{{\max }}}} \right) = 0, \\ {{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}}(t = 0,\rho ) = f(\rho ),\,\,\,\,{{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}}\left( {t,\rho = 0} \right) = 0, \\ {\text{е с л и }}\,\,m \ne 0,\,\,\,\,\partial {{\Psi }_{{{\text{cyl}}}}}{{\left( {t,\rho = 0} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {t,\rho = 0} \right)} {\partial \rho }}} \right. \kern-0em} {\partial \rho }} = 0, \\ {\text{е с л и }}\,\,m = 0, \\ \end{gathered} $В случае потенциальной энергии со сферической геометрией уравнение (6) в операторном виде с краевыми условиями будет совпадать с уравнением (13), кроме случаев:
(14)
$\begin{gathered} E = \tilde {E},\,\,\,\,\rho \to r,\,\,\,\,U \to U(r),\,\,\,\,0 \leqslant r \leqslant {{r}_{{\max }}}, \\ {{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}\left( {t,r = 0} \right) = 0,\,\,\,\,{{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}\left( {t,{{r}_{{\max }}} = 0} \right) = 0, \\ l = 0,1,2,... \\ \end{gathered} $Введем для уравнений (13) и (14) на отрезках $0 \leqslant \xi \leqslant {{\xi }_{{\max }}}$ и $0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}}$ равномерную сетку:
(15)
$\begin{gathered} {{\omega }_{h}} = \\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\xi }_{i}} = i{{h}_{\xi }},\,\,\,\,i = 0,1,2,...,\,\,\,\,{{i}_{{\max }}},\,\,\,\,{{h}_{\xi }} = {R \mathord{\left/ {\vphantom {R {{{i}_{{\max }}}}}} \right. \kern-0em} {{{i}_{{\max }}}}},} \\ {{{t}_{j}} = j\tau ,\,\,\,\,j = 0,1,2,...,\,\,\,\,{{j}_{{\max }}},\,\,\,\,\tau = {{{{t}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{t}_{0}}} {{{j}_{{\max }}}}}} \right. \kern-0em} {{{j}_{{\max }}}}},} \end{array}} \right. \\ \end{gathered} $Если аппроксимировать нестационарное уравнение Шредингера (13) двухслойной разностной схемой с весом $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$ по аналогии с уравнением (9):
(16)
$\begin{gathered} \frac{{{{\Psi }^{j}}(i) - {{\Psi }^{{j - 1}}}(i)}}{\tau } = \\ = - \frac{i}{\hbar }\delta \hat {A}\left( {\sigma {{\Psi }^{j}}(i) + (1 - \sigma ){{\Psi }^{{j - 1}}}(i)} \right), \\ {{\Psi }^{j}}(i = 0) = 0,\,\,\,\,{\text{е с л и }}\,\,m \ne 0, \\ {{\Psi }^{j}}(i = 0) = {{\Psi }^{j}}(i = 1),\,\,\,\,{\text{е с л и }}\,\,m = 0, \\ {{\Psi }^{j}}(i = {{i}_{{\max }}}) = 0,\,\,\,\,{{\Psi }^{{j = 0}}}(i) = {{f}_{i}}, \\ \end{gathered} $(17)
$\begin{gathered} \delta \hat {A}{{\Psi }^{j}}(i) = \\ = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\left[ {\frac{{{{\Psi }^{j}}(i - 1) - 2{{\Psi }^{j}}(i) + {{\Psi }^{j}}(i + 1)}}{{h_{\xi }^{2}}}} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{{{{\Psi }^{j}}(i + 1) - {{\Psi }^{j}}(i)}}{{{{h}_{\xi }}}}} \right] + \left( {{{U}_{i}} - E} \right){{\Psi }^{j}}(i). \\ \end{gathered} $Из (12) следует, что на основе численного решения нестационарного скалярного волнового уравнения (13) можно реализовать поиск собственных значений энергии и собственных функций в кластерах планарной, цилиндрической и сферической геометрии с произвольными профилями потенциальной энергии. Для этого нужно аппроксимировать нестационарное уравнение Шредингера (13) неявной двухслойной разностной схемой (16) с весом $\sigma = 1.$
Результаты численных расчетов
В данной работе рассмотрим потенциальные энергии с прямоугольным и параболическим профилями.
Цилиндрическая геометрия. Сначала для кластера с цилиндрической геометрией рассмотрим потенциальную энергию с усеченным прямоугольным профилем
(18)
$U(\rho ) = \left\{ \begin{gathered} {{U}_{0}},\,\,\,\,0 \leqslant \rho \leqslant {{\rho }_{1}}, \hfill \\ 0,\,\,\,\,{{\rho }_{1}} < \rho < {{\rho }_{{\max }}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$В табл. 1 для потенциальной ямы (18) с прямоугольным профилем приведены собственные значения энергии ${{E}_{{n,m}}}$ для мод цилиндрической геометрии, где индексы $n,\,m$ означают радиальное и магнитное квантовые числа. На рис. 1 приведены нормированные на единицу расчетные зависимости распределения плотности вероятностей ${{\left| {{{\Psi }_{{n,m}}}} \right|}^{2}}$ для мод с радиальными квантовыми числами $n = 0,\,\,1,\;2,...$ и квантовыми магнитными числами m = 0, 1, 10. Маркеры соответствуют аналитическим решениям:
(19)
$\begin{gathered} {{\Psi }_{{n,m}}} = \\ = {{C}_{{n,m}}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{J}_{m}}{{\left( {{{G}_{{n,m}}}\rho } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{G}_{{n,m}}}\rho } \right)} {{{J}_{m}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{m}}}}\left( {{{G}_{{n,m}}}{{\rho }_{1}}} \right),\,\,\,\,0 \leqslant \rho \leqslant {{\rho }_{1}},} \\ {{{K}_{m}}{{\left( {{{V}_{{n,m}}}\rho } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{V}_{{n,m}}}\rho } \right)} {{{K}_{m}}}}} \right. \kern-0em} {{{K}_{m}}}}\left( {{{V}_{{n,m}}}{{\rho }_{1}}} \right),\,\,\,\,{{\rho }_{1}} < \rho \leqslant {{\rho }_{{\max }}},} \end{array}} \right. \\ \end{gathered} $Таблица 1.
Радиальное квантовое число n | ${{E}_{{n,m = 0}}},$ эВ | ${{E}_{{n,m = 1}}},$ эВ | ${{E}_{{n,m = 10}}},$ эВ |
---|---|---|---|
0 | –0.9979011 | –0.9946777 | –0.9244389 |
1 | –0.9888978 | –0.9821201 | –0.8774323 |
2 | –0.9726663 | –0.9623668 | –0.8246898 |
11 | –0.5058124 | –0.4674406 | –0.0553076 |
12 | –0.4195657 | –0.3786773 | – |
15 | –0.1240625 | –0.0773766 | – |
16 | –0.0170065 | – | – |
Теперь для кластера цилиндрической геометрии рассмотрим потенциальную энергию с усеченным параболическим профилем:
(20)
$U(\rho ) = \left\{ \begin{gathered} {{U}_{0}}\left[ {1 - {{{\left( {{\rho \mathord{\left/ {\vphantom {\rho {{{\rho }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{1}}}}} \right)}}^{2}}} \right],\,\,\,\,0 \leqslant \rho \leqslant {{\rho }_{1}}, \hfill \\ 0,\,\,\,\,{{\rho }_{1}} < \rho < {{\rho }_{{\max }}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$В табл. 2 для потенциальной ямы (20) с усеченным параболическим профилем приведены собственные значения энергии ${{E}_{{n,m}}}$ для различных мод цилиндрической геометрии.
Таблица 2.
Радиальное квантовое число n | ${{E}_{{n,m = 0}}},$ эВ | ${{E}_{{n,m = 1}}},$ эВ | ${{E}_{{n,m = 10}}},$ эВ |
---|---|---|---|
0 | –0.9604573 | –0.9215710 | –0.5717307 |
1 | –0.8809992 | –0.8428653 | –0.4935699 |
2 | –0.8019526 | –0.7644005 | –0.4155191 |
7 | –0.4098642 | –0.5992311 | –0.0279636 |
8 | –0.3319192 | –0.2969502 | – |
11 | –0.0993000 | –0.0659888 | – |
12 | –0.0249368 | – | – |
На рис. 2 приведены нормированные на единицу расчетные зависимости распределения плотности вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{{n,m}}}} \right|}^{2}}$ для мод с радиальными квантовыми числами $n = 0,\,\,1,\;2,...$ и квантовыми магнитными числами m = 0, 1, 10 для потенциальной энергии с неограниченным параболическим профилем
(21)
$U(\rho ) = {{U}_{0}}\left[ {1 - {{{\left( {{\rho \mathord{\left/ {\vphantom {\rho {{{\rho }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{1}}}}} \right)}}^{2}}} \right].$Маркеры соответствуют аналитическим решениям ${{\left| {{{\Psi }_{{n,m}}}} \right|}^{2}},$ где
(22)
$\begin{gathered} {{\Psi }_{{n,m}}}(\rho ) = \\ = CL_{n}^{{\left| m \right|}}\left( {2\xi \sqrt {\left| {\frac{{{{m}_{e}}{{U}_{0}}}}{{2{{\hbar }^{2}}\rho _{1}^{2}}}} \right|} } \right){{\xi }^{{\left| m \right|/2}}}\exp \left( { - \xi \sqrt {\left| {\frac{{{{m}_{e}}{{U}_{0}}}}{{2{{\hbar }^{2}}\rho _{1}^{2}}}} \right|} } \right), \\ {{E}_{{n,m}}} = {{U}_{0}} + \frac{{2{{\hbar }^{2}}}}{{{{m}_{e}}}}\sqrt {\left| {\frac{{{{m}_{e}}{{U}_{0}}}}{{2{{\hbar }^{2}}\rho _{1}^{2}}}} \right|} \left( {2n + \left| m \right| + 1} \right), \\ \end{gathered} $Хорошее совпадение аналитических решений (22) с расчетными кривыми объясняется тем, что нижние уровни энергии ${{E}_{{n,m}}}$ ($n = 0,1,2,...$) для потенциальной энергии с неограниченным параболическим профилем (21) с точностью до девятого знака после запятой совпадают с уровнями энергии для потенциальной энергии с усеченным параболическим профилем (20).
Сферическая геометрия. По аналогии с предложенным и реализованным в предыдущем разделе алгоритмом поиска собственных значений и собственных функций мод для кластера с цилиндрической геометрией реализован аналогичный алгоритм со сферической геометрией с произвольными профилями потенциальной энергии. Для этого использовали уравнение Шредингера (4в), записанное в сферической системе координат.
В качестве иллюстрации реализованного алгоритма рассмотрена потенциальная энергия в форме сферического слоя с внутренним и внешним радиусами $b,$ $a.$ Такой потенциал аппроксимирует потенциал фуллерена ([6], стр. 346)
(23)
$U(r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5V,\,\,\,\,0 \leqslant r < b,} \\ {0,\,\,\,\,b \leqslant r \leqslant a,} \\ {V,\,\,\,\,a < r \leqslant {{r}_{{\max }}},} \end{array}} \right.$Из полученных расчетов следует, что при $a = 0.487\,\,{\text{н м ,}}$ $b = 0.222\,\,{\text{н м }}$ при фиксированных значениях орбитального момента при $l = 0$ существуют два стационарных радиальных состояния $\tilde {n} = 1$ и 2 (величина $n = \tilde {n} - 1$ выполняет роль радиального квантового числа), при остальных $l$ только одно стационарное радиальное состояние. Орбитальный момент для стационарных состояний может принимать только пять значений: $l = 0,1,2,3,4.$ В табл. 3 для потенциальной энергии (23) приведены расчетные собственные значения энергии ${{E}_{{n = 0,l}}}$ мод при $l = 0,2,4.$
Таблица 3.
Номер радиальной моды $\tilde {n}$ | ${{E}_{{n,l = 0}}},$ эВ | ${{E}_{{n,l = 2}}},$ эВ | ${{E}_{{n,l = 4}}},$ эВ |
---|---|---|---|
1 | 3.1460640 | 6.4966324702 | 10.7510325260 |
2 | 11.5326615 | – | – |
На рис. 3 приведена зависимость нормированной функции ${{\left| {{{{\bar {R}}}_{{n = 0}}}(r)} \right|}^{2}},$ которая является радиальной частью волновых функций ${{\Psi }_{{n = 0,l}}}$ = = ${{\bar {R}}_{{n = 0}}}(r)P_{l}^{m}(\theta )\exp (im\varphi ),$ от радиуса $r$ квантового сферического слоя (в фуллерене), где радиальная часть удовлетворяет условию нормировки:
Кривые 1, 2, 3 на рис. 3 соответствуют модам с радиальными квантовыми числами $l = 0,2,4.$ На вставке приведена зависимость потенциальной энергии (23) с усеченным прямоугольным профилем.
Планарная геометрия. Результаты расчетов по реализованному алгоритму поиска собственных значений и собственных функций в кластерах с планарной геометрией приведены в работе [14], где в качестве примера рассмотрены потенциальные энергии прямоугольного профиля, усеченного параболического профиля и потенциальная яма со степенным профилем $\alpha = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}.$ Полученные расчетные результаты хорошо совпадают с теоретическими данными.
Зависимость уровней энергии и собственных функций от радиуса фуллерена
Реализованный алгоритм поиска собственных значений и собственных функций позволяет получить численные оценки характеристики соединений, например зависимость уровней энергии и собственных функций фуллерена от их радиуса. На основе полученных результатов можно рассмотреть задачу сдвига и расщепления уровней энергии за счет деформации графеновых структур. Применительно к нанотрубкам такая задача рассмотрена в работе [29], в которой при баллистическом транспорте электронной волны в изогнутой нанотрубке электрон подвергается воздействию геометрического потенциала [30–33]. Теоретически получим и подтвердим с помощью расчетов зависимость уровней энергии от радиуса гигантских фуллеренов.
Чтобы получить такую закономерность, сведем задачу в центрально симметричной системе координат к задаче с одномерной (планарной) геометрией. Для этого введем новую переменную вдоль радиуса фуллерена
и преобразуем уравнение (4в) к виду:(25)
$\begin{gathered} E{{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}(t,r) = {{{\hat {H}}}_{0}}{{\Psi }_{{{\text{sph}}}}} + \hat {V}{{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}, \\ {{{\hat {H}}}_{1}} = {{{\hat {H}}}_{0}} + {{{\hat {V}}}_{1}} + {{{\hat {V}}}_{2}}, \\ {{{\hat {H}}}_{0}} = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \frac{{l(l + 1)}}{{{{R}^{2}}}}} \right] + U(x), \\ {{{\hat {V}}}_{1}} = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{{{m}_{e}}R}}\frac{\partial }{{\partial x}}, \\ {{{\hat {V}}}_{2}} = - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\left[ {\left( {\frac{2}{{R + x}} - \frac{2}{R}} \right)\frac{\partial }{{\partial x}} - \frac{{l(l + 1)}}{{{{{(R + x)}}^{2}}}} + \frac{{l(l + 1)}}{{{{R}^{2}}}}} \right], \\ \end{gathered} $(26)
$\Delta {{E}_{0}} = {{\hbar }^{2}}l{{\left( {l + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {l + 1} \right)} {\left( {2{{m}_{e}}{{R}^{2}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{{m}_{e}}{{R}^{2}}} \right)}}.$Оператор возмущения ${{\hat {V}}_{1}}$ приводит к деформации волновой функции (к смещению точки максимума вдоль радиуса) и дает поправку к энергии $\Delta {{E}_{1}}$ основного состояния. Действительно, если представить волновую функцию ${{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}$ в виде произведения симметричной относительно точки $x = 0$ функции ${{\Psi }_{0}}(x)$ на функцию экспоненты
то из (25) получим(28)
$\kappa = {{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} R}} \right. \kern-0em} R},\,\,\,\,\Delta {{E}_{1}} = {{{{\hbar }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\hbar }^{2}}} {{{m}_{e}}{{R}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{e}}{{R}^{2}}}},$(29)
$\left[ { - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + U(x)} \right]{{\Psi }_{0}}(x) = {{E}_{\infty }}{{\Psi }_{0}},$Теперь получим поправки к энергии стационарных состояний с учетом оператора возмущения ${{\hat {V}}_{2}}$. При выполнении условия $x \ll R$ оператор ${{\hat {V}}_{2}}$ преобразуется к виду
(30)
${{\hat {V}}_{2}} = \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{{{m}_{e}}{{R}^{2}}}}x\frac{\partial }{{\partial x}} - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\frac{{l(l + 1)}}{{{{R}^{2}}}}\left( {2\frac{x}{R} - 3\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right).$Из (30) видно, что второе слагаемое в операторе возмущения приводит к тому, что уровни энергии будут зависеть как от орбитального квантового числа $l,$ так и от радиального квантового числа $n$. Но поскольку ${{\Psi }_{0}}(x)$ является четной функцией, то для гигантских фуллеренов второе слагаемое в операторе возмущения ${{\hat {V}}_{2}}$ будет порядка ${{R}^{{ - 4}}}$ и этим слагаемым можно пренебречь. Первое слагаемое в операторе возмущения ${{\hat {V}}_{2}}$ не будет зависеть от квантовых чисел $n,\,\,l.$ Действительно, из уравнения (30) с учетом первого порядка теории возмущения получаем поправку к энергии [34]:
(31)
$\begin{gathered} \Delta {{E}_{2}} = {{V}_{{nn}}} = \\ = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\Psi _{{{\text{sph}}}}^{ * }{{{\hat {V}}}_{{2a}}}{{\Psi }_{{{\text{sph}}}}}dx} = {{ - {{\hbar }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\hbar }^{2}}} {\left( {2{{m}_{e}}{{R}^{2}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{{m}_{e}}{{R}^{2}}} \right)}}, \\ \end{gathered} $В зависимости от выбираемой при расчетах ширины потенциального слоя может быть один или два стационарных уровня. В случае двух стационарных уровней для определения поправки к энергии нужно воспользоваться вторым порядком теории возмущения [34]:
(32)
$\begin{gathered} \Delta E_{1}^{{(2)}} = {{{{{\left| {{{V}_{{12}}}} \right|}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left| {{{V}_{{12}}}} \right|}}^{2}}} {\left( {E_{1}^{{(0)}} - E_{2}^{{(2)}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {E_{1}^{{(0)}} - E_{2}^{{(2)}}} \right)}}, \\ \Delta E_{2}^{{(2)}} = {{{{{\left| {{{V}_{{12}}}} \right|}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left| {{{V}_{{12}}}} \right|}}^{2}}} {\left( {E_{2}^{{(0)}} - E_{1}^{{(2)}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {E_{2}^{{(0)}} - E_{1}^{{(2)}}} \right)}}. \\ \end{gathered} $С учетом уравнений (26), (28), (31) и (32) окончательно получим полную поправку к энергии:
(33)
$\begin{gathered} \Delta E = \Delta {{E}_{0}} + \Delta {{E}_{1}} + \Delta {{E}_{2}} + \Delta E_{n}^{{(1)}} = \\ = \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}{{R}^{2}}}} + \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2{{m}_{e}}}}\frac{{l(l + 1)}}{{{{R}^{2}}}} + {{{{{\left| {{{V}_{{12}}}} \right|}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left| {{{V}_{{12}}}} \right|}}^{2}}} {\left( {E_{2}^{{(0)}} - E_{1}^{{(2)}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {E_{2}^{{(0)}} - E_{1}^{{(2)}}} \right)}}. \\ \end{gathered} $Для примера рассмотрим уровни энергий состояний с нулевым орбитальным моментом $l = 0.$ В табл. 4 приведены собственные значения уровней энергии фуллерена при различных значениях радиуса $R = {{(a + b)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(a + b)} 2}} \right. \kern-0em} 2}.$ Толщина потенциальных слоев равнялась (a – b) = 0.1 и 0.265 нм. В случае (a – b) = 0.1 нм при фиксированных значениях орбитального момента существует только одно стационарное радиальное состояние, а в случае (a – b) = 0.265 нм – два стационарных состояния. В табл. 4 приведены собственные значения стационарных состояний.
Таблица 4.
Радиус фуллерена, нм | ${{E}_{{n = 1,\,\,l = 0}}},$ эВ, $(a - b) = 0.1\,{\text{н м }}$ | ${{E}_{{n = 1,\,\,l = 0}}},$ эВ, $(a - b) = 0.265\;{\text{н м }}$ | ${{E}_{{n = 2,\,\,l = 0}}},$ эВ, $(a - b) = 0.265\,{\text{н м }}$ |
---|---|---|---|
7.5 | 10.0549963 | 3.1065967 | 11.4176258 |
6.5 | 10.0552773 | 3.1067955 | 11.4181894 |
5.5 | 10.0556603 | 3.1070677 | 11.4189614 |
4.5 | 10.0555087 | 3.1074631 | 11.4200830 |
3.5 | 10.0570827 | 3.1080897 | 11.4218613 |
2.5 | 10.0586462 | 3.1092334 | 11.4251098 |
1.5 | 10.0622875 | 3.1119743 | 11.4329220 |
0.357 | 10.3588863 | 3.1394207 | 11.5158371 |
Из (33) следует, что при выполнении условий l = 0, ${{(a - b)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(a - b)} {R \ll 1}}} \right. \kern-0em} {R \ll 1}}$ основной уровень энергии можно представить в виде ${{E}_{{n = 1,l = 0}}} = {{E}_{\infty }} + \Delta E,$ где $\Delta E = {{{{\hbar }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\hbar }^{2}}} {\left( {2{{m}_{e}}{{R}^{2}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{{m}_{e}}{{R}^{2}}} \right)}}.$ Это означает, что должно выполняться условие
(34)
${{E}_{R}} - {{E}_{{7.5}}} = {{{{\hbar }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\hbar }^{2}}} {\left( {2{{m}_{e}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{{m}_{e}}} \right)}}\left[ {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{R}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}^{2}}}} - {{{({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{R}_{{7.5}}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{{7.5}}}}})}}^{2}}} \right],$Таблица 5.
${{E}_{R}} - {{E}_{{7.5}}}$, эВ | Результаты расчетов ${{E}_{R}} - {{E}_{{7.5}}},$ эВ | Теоретические результаты ${{E}_{R}} - {{E}_{{7.5}}},$ эВ |
---|---|---|
${{E}_{{6.5}}} - {{E}_{{7.5}}}$ | 0.000281 | 0.000223 |
${{E}_{{5.5}}} - {{E}_{{7.5}}}$ | 0.000664 | 0.000579 |
${{E}_{{4.5}}} - {{E}_{{7.5}}}$ | 0.000510 | 0.001197 |
${{E}_{{3.5}}} - {{E}_{{7.5}}}$ | 0.002086 | 0.002418 |
${{E}_{{2.5}}} - {{E}_{{7.5}}}$ | 0.0036499 | 0.005385 |
${{E}_{{1.5}}} - {{E}_{{7.5}}}$ | 0.0072912 | 0.016154 |
${{E}_{{0.357}}} - {{E}_{{7.5}}}$ | 0.303890 | 0.296391 |
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
В работе рассмотрена и обоснована неявная двухслойная разностная схема для решения нестационарного волнового уравнения типа Шредингера. На основе этого подхода к решению волнового уравнения реализован численный алгоритм поиска собственных мод кластеров различных геометрий.
Данный алгоритм может быть также использован в качестве поиска собственных значений в оптических резонаторах, например, в гигантских фуллеренах [3, 19], нанотрубках, оптических волноводах (в частности, в световодах [12, 13]).
Реализованная программа может быть использована для моделирования процесса эволюции квантовой системы, причем в этом случае лучше использовать центральную схему (схема Кранка–Никольсона [28]). В частности, она применялась к сложным световодам (продольная координата в нестационарном волновом уравнении для световода выполняет роль времени в нестационарном уравнении Шредингера), состоящим из двух простых туннельно-связанных световодов. Такая задача может быть рассмотрена для сложных световодов с двумя параллельно расположенными сердцевинами. В этом случае возможен механизм перехода из одной сердцевины в другую. Эффект теоретически можно объяснить либо перекрестными помехами (в случае графена – за счет интеграла перескока) мод двух простых световодов, либо интерференцией двух направляемых мод (симметричной и антисимметричной) сложного световода, состоящего из двух сердцевин. В [35] численно промоделировано и теоретически доказано, что по аналогии со случаем сильной связи для синусоидально возмущенной сердцевины возможен механизм полной перекачки энергии одной моды в энергию другой моды в случае, когда периодическое возмущение сердцевины световода меняется не по гармоническому закону (не по закону синуса или косинуса). Полученные результаты легко можно отнести и к кластерам.
Достоинством и одновременно недостатком реализованного алгоритма поиска собственных значений и собственных функций методом обратных итераций (модифицированный метод Виландта [36]) является возможность получить параметры только одного стационарного состояния (в световодах – направляемой моды). Данный алгоритм, в отличие от метода Ланцоша или QL- или QR-алгоритма, хорошо использовать, когда нужно получить параметры небольшого числа стационарных состояний, но с очень хорошей точностью. Например, в световодах обратное значение групповой скорости волны пропорционально первой производной импульса (собственное значение) частоты (от энергии). Аналогичная ситуация возникла и была рассмотрена в данной работе применительно к гигантским фуллеренам: при больших значениях радиуса собственные значения энергии асимптотически стремятся к стационарному значению, что, в свою очередь, требует вычисления с высокой точностью собственных значений энергии. Из полученных результатов для фуллеренов с $(a - b) = 0.1\,{\text{н м }}$ и радиусами $R \geqslant 2.5\,{\text{н м }}$ (табл. 5) видно хорошее совпадение расчетных и теоретических данных (уравнение (30)). Отклонение от теоретических результатов при $R < 2.5\,{\text{н м }}$ объясняется тем, что при малых радиусах перестает выполняться условие ${{(a - b)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(a - b)} {R \ll 1}}} \right. \kern-0em} {R \ll 1}}.$ В этом случае нужно использовать оператор возмущения ${{\hat {V}}_{2}}$ исходя из равенства (4в), а не из равенства (30).
Реализованный алгоритм, в принципе, можно применить к двумерным пространственным системам. Тридцать лет назад в силу малой мощности вычислительной техники это было невозможно, в настоящее время современные машины позволяют выполнить это без особых проблем.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Реализованный алгоритм помог рассчитать собственные значения и собственные функции квантовых точек с планарной, цилиндрической и сферической геометрией с произвольными профилями потенциальной энергии. Полученные численные результаты сопоставлены с аналитическими решениями квантовых точек различной геометрии. Предложенный алгоритм поиска собственных значений и собственных функций квантовых точек имеет степенную скорость сходимости решений к искомым собственным функциям и совпадает со скоростью сходимости в модифицированном методе Виландта [36]. Для демонстрации возможностей алгоритма рассмотрен частный случай (орбитальный момент l = 0) актуальной задачи – вычисление геометрического потенциала при деформации графена. Результаты расчетов (табл. 5) хорошо совпадают с теоретически полученными данными (уравнение (33)) для фуллеренов с $(a - b) = 0.1\,\,{\text{н м }}$ и радиусом $R \geqslant 2.5\,\,{\text{н м }}{\text{.}}$ При $(a - b) = 0.1\,\,{\text{н м }}$ существует только одно стационарное состояние при любых значениях $l$ (табл. 4), при $(a - b) = 0.265\,\,{\text{н м }}$ – два стационарных состояния при $l = 0$ и одно при остальных значениях $l$ (табл. 3).
Список литературы
Snyder A.W., Love J.D. Optical Waveguide Theory. London, UK: Chapman and Hall, 1983. 738 p.
Marcuse D. Theory of Dielectric Optical Waveguites. N.Y.: Academ Press, 1974. 267 p.
Lucas A.A., Henrard L., Lambin Ph. // Phys. Rev. 1994. V. 49. P. 2888.
Henrard L., Lucas A.A., Lambin Ph. // Astrophys. J., Part 1. 1993. V. 406. № 1. P. 92.
Slater J.C. // Phys. Rev. 1937. V. 51. P. 846.
Дьячков П.Н. Электронные свойства и применение нанотрубок. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. 488 с.
Slepyan G.Ya., Shuba M.V., Maksimenko S.A., Lakhtakia A. // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. № 195416.
Гурджи С.П., Каток В.Б. // Радиотехника. 1989. № 3. С. 64.
Marcuse D. // J. Opt. Soc. Am. 1978. V. 68. № 1. P. 103.
Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991. 240 с.
Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 382 с.
Ардашева Л.И., Садыков Н.Р., Черняков В.Е. // Квантовая электроника. 1992. Т. 19. С. 903.
Афанасьев А.Н., Мялицин Л.А., Садыков Н.Р., Садыкова М.О. // Изв. ВУЗов. Физика. 2005. Т. 48. № 1. С. 11.
Юдина Н.В., Садыков Н.Р. // Вестн. Национального исследовательского ядерного университета “МИФИ”. 2017. Т. 6. № 6. С. 519.
Ilyin V.V., Piotrovskii L.B. // Reviews on Clinical Pharmacology and Drug Therapy. 2017. V. 15. № 2. P. 42. doi 10.17816/RCF15242-45
Войтеховский Ю.Л., Степенщиков Д.Г. // Вестник МГТУ. 2015. Т. 18. № 2. С. 228.
Николаев А.В., Плахутин Б.Н. // Успехи химии. 2010. Т. 79. № 9. С. 803.
Дьячков П.Н., Кузнецов Б.С. // Докл. Академии наук. 2004. Т. 395. № 1. С. 59.
Henrard L., Lambin Ph. // J. Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1996. V. 29. № 21. P. 5127.
De Heer W.A., Chatelain A., Ugarte D. // Science. 1995. V. 270. P. 1179.
Hamada N., Sawada S., Oshiyama S. // Phys. Rev. 1992. V. 68. P. 1579.
Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Нелинейные осцилляции заряженной капли. Ярославль: ЯрГУ, 2006. 280 с.
Григорьев А.И., Колбнева Н.Ю., Ширяева С.О. // Журн. техн. физики. 2016. Т. 86. № 8. С. 68.
Григорьев А.И., Колбнева Н.Ю., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 2016. № 3. С.158.
Григорьев А.И., Колбнева Н.Ю., Ширяева С.О. // Журн. техн. физики. 2017. Т. 87. № 6. С. 914.
Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Л.: Наука, 1975. 592 с.
Смирнов Б.М. // Успехи физ. наук. 1992. Т. 162. № 1. С. 119.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.
Чаплик Ф.В. // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т. 80. № 2. С. 140.
Jensen H., Koppe H. // Ann. Phys. 1971. V. 63. P. 586.
R.C.T. da Costa. // Phys. Rev. 1981. V. 23. P. 586.
Entin V.V., Magaril L.I. // Phys. Rev. 2002. V. 66. P. 205308.
Magaril L.I., Entin V.V. // ZhETF. 2003. V. 123. № 4. P. 867.
Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoreticheskaja fizika. V. 3. M.: Fizmatlit, 2004. 800 p.
Дремов В.В., Садыков Н.Р. // Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 80. № 5. С. 814.
Wielandt H. // Mathematische Zeitschrift. 1944. V. 50. P. 93.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал неорганической химии