Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2023, № 3, стр. 69-76

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Моделирование ламинарного течения около пластины выполняется путем решения уравнений Навье–Стокса для идеального сжимаемого газа. В настоящей работе рассматривается плоская пластина под нулевыми углами атаки и скольжения. Применяется двумерная формулировка уравнений в консервативной безразмерной форме. Координаты нормируются на характерную длину $L{\kern 1pt} *$; зависимые переменные $\left\{ {u,{v},~T} \right\}$ – на соответствующие значения в набегающем потоке $\{ U_{\infty }^{*},~T_{\infty }^{*}\} $, а давление p – на удвоенный скоростной напор $\rho _{\infty }^{*}U_{\infty }^{{*2}}$. Здесь и далее верхний индекс * означает размерные величины.

Уравнения Навье–Стокса интегрируются с помощью авторского пакета расчетных программ [8], который реализует неявный метод конечного объема сквозного счета с аппроксимацией второго порядка по пространству и времени. Используется TVD-схема с приближенным решателем задачи распада разрыва методом Роу. Реконструкция зависимых переменных на границах ячеек сетки выполняется с использованием подхода WENO3, который эффективно дает аппроксимацию по пространству конвективных слагаемых третьего порядка.

Характеристики устойчивости пограничного слоя исследуются в рамках линейной теории устойчивости и e^N метода с использованием авторского кода [9]. Рассматривается усиление неустойчивых волн второй моды (моды Мэка), распространяющихся в пограничном слое, полученном при решении уравнений Навье–Стокса. В рамках локально-параллельного приближения рассматриваются возмущения газодинамических величин вида $q\left( y \right){\text{exp}}\left( {i\alpha x + i\beta z - i\omega t} \right)$. Здесь $\alpha = {{\alpha }_{r}} + i{{\alpha }_{i}}$ – комплексное волновое число, получающееся в результате численного интегрирования однородной краевой задачи на собственные значения; $\alpha \left( {\omega ;x} \right)$ зависит от круговой частоты волны $\omega $ и продольной координаты $x$ как от параметра. В настоящей работе изучаются только плоские волны второй моды Мэка с поперечным волновым числом $\beta = 0$, которые доминируют (имеют наибольшее интегральное усиление) над другими типами неустойчивых мод на рассматриваемом режиме течения [10]. Если ${{\alpha }_{i}} < 0$, то амплитуда волны растет вниз по потоку с инкрементом $\sigma \left( {\omega ;x} \right) = - {{\alpha }_{i}}$, а ее интегральное усиление характеризуется N-фактором N(ω; x) = = $\mathop \smallint \limits_{{{x}_{0}}(\omega )}^x \sigma (\omega ;~x)dx$, где x₀ – точка потери устойчивости, лежащая на нижней ветви нейтральной кривой.

Выдув/отсос пограничного слоя через стенку моделируется на конечном участке, а интенсивность задается коэффициентом отсоса ${{c}_{q}}\left( x \right) = {{\rho }_{w}}{{{v}}_{w}}\sqrt {2{\text{R}}{{{\text{e}}}_{{\infty ,x}}}} $, где ${\text{R}}{{{\text{e}}}_{{\infty ,x}}} = x{\text{R}}{{{\text{e}}}_{{\infty ,L}}}$. В данной работе в качестве масштаба длины используется величина L = 1 м (в этом случае размерная длина пластины и длина расчетной области также равны 1 м). Положительные значения коэффициента ${{c}_{q}}$ соответствуют выдуву газа по нормали от стенки внутрь пограничного слоя, отрицательные значения соответствуют отсосу газа из пограничного слоя внутрь стенки. Выдув/отсос газа задается в области ${{x}_{{s1}}} \leqslant ~x \leqslant ~{{x}_{{s2}}}$, ${{x}_{{s1}}} = 0.26$, ${{x}_{{s2}}} = 0.8$, что соответствует положению профилированного участка на модели волнообразной пластины в экспериментах [10] (параметры течения в данной работе согласуются с условиями в аэродинамической трубе [10], так как в будущем планируется произвести эксперименты, подтверждающие результаты расчетов настоящей работы). Выход на постоянное значение коэффициента ${{c}_{q}}$ происходит плавно в достаточно узких областях $0.26 \leqslant x \leqslant 0.3$ и $0.76 \leqslant x \leqslant 0.8$ по формуле ${{c}_{q}} = c_{q}^{{{\text{max}}}}{\text{cos}}\left( {\pi \left| {x - {{x}_{0}}} \right|{\text{/}}D} \right)$, где D = 0.04 – протяженность переходных областей, ${{x}_{0}} = \left\{ {0.26;0.76} \right\}$. Расчеты производятся для случаев постоянного коэффициента отсоса ${{c}_{q}} = {\text{const}} = \left\{ {0.0,~ \pm 0.4,~ \pm 0.8} \right\}$. Отметим, что фиксированное значение ${{c}_{q}}$ сохраняет автомодельность профилей среднего течения [10]. В данной работе производились расчеты для чисел Рейнольдса по длине пластины ${\text{Re}} = 2.1 \times {{10}^{7}}$. Для выбранного режима течения реализуются характерные N-факторы $N \approx 10$, что соответствует критическим значениям для начала ламинарно-турбулентного перехода в естественных условиях полета в атмосфере [4].

Рассматривается сверхзвуковое обтекание острой плоской пластины под нулевыми углами атаки и скольжения при числе Маха набегающего потока ${{{\text{M}}}_{\infty }} = 6$, показателе адиабаты $\gamma = 1.4$, постоянном числе Прандтля ${\text{Pr}} = 0.72$ и статической температуре набегающего потока $T_{\infty }^{*}~$ = = 43.14 К. Поверхность пластины изотермическая с температурой $T_{w}^{*} = 293~$ К (${{T}_{w}} = 6.79$). Эти параметры потока относятся к экспериментам по исследованию устойчивости пограничного слоя над волнообразной пластиной [10] в аэродинамической трубе Транзит-М ИТПМ СО РАН.

Расчетная область представляет собой прямоугольник размерами [0, 1] × [0, 0.21] с ортогональной структурированной многоблочной сеткой из 3001 × 401 узлов в направлении вдоль пластины и по нормали к стенке. При этом в серединном сечении пластины на пограничный слой приходится около 240 узлов, по вертикали в пограничном слое шаг сетки является равномерным. Данная сетка является достаточно подробной и будет использоваться в дальнейшем для расчетов развития возмущений методом прямого численного моделирования. Отметим, что cходимость по сетке ламинарного поля течения достигается при значительно меньших сеточных разрешениях (максимальная разность в профиле скорости на сетках 400 × 300 и 800 × 400 узлов не превосходит 0.1%). Граничные условия задаются следующие: условие прилипания – на обтекаемой поверхности вне области выдува/отсоса; условие набегающего потока – на входной и верхней границах; линейная экстраполяция изнутри области для зависимых переменных – на выходной границе; в области выдува/отсоса на стенке граничное условие для вертикальной компоненты скорости модифицируется при помощи задания массового потока газа ${{\left[ {\rho {v}} \right]}_{w}}\left( x \right) = {{c}_{q}}{\text{/}}\sqrt {2{\text{R}}{{{\text{e}}}_{{\infty ,x}}}} $.

Исследование проводится в два этапа. Сначала с помощью метода установления вычисляется поле стационарного ламинарного обтекания пластины для различных интенсивностей выдува/отсоса. Затем из полученного двухмерного стационарного поля извлекаются профили пограничного слоя в различных сечениях по x и решается задача линейной теории устойчивости. В результате для наиболее неустойчивых волн рассчитываются распределения инкрементов роста σ(x) и коэффициенты интегрального усиления (N-факторы).

РАСЧЕТ ЛАМИНАРНЫХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ

Результаты моделирования стационарного обтекания пластины в рамках уравнений Навье–Стокса при различных интенсивностях отсоса показаны на рис. 1. Представлены поля продольной скорости u в пристенной области, причем для наглядности вертикальная координата y растянута в 10 раз, а начало и конец участка отсоса отмечены пунктирными линиями. Также показаны профили скорости $u$ и статической температуры $T$ в среднем сечении при $x = 0.5$. Видно, что выдув/отсос газа достаточно сильно изменяет толщину пограничного слоя, но при этом форма профилей остается подобной случаю без отсоса.

Рис. 1.

Поля продольной скорости $u$ (слева) и профили пограничного слоя в сечении $x = 0.5$ (справа) при различных интенсивностях отсоса.

РАСЧЕТЫ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОТСОСА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Производились расчеты ламинарного обтекания пластины с участком отсоса пограничного слоя интенсивностью c_q = {0.0; –0.4; –0.8}. На рис. 2 представлено влияние отсоса газа на толщину вытеснения пограничного слоя.

Рис. 2.

Толщина вытеснения для случаев c_q = {0.0, –0.4, –0.8}.

На основе профилей пограничного слоя вычисляется нейтральная кривая устойчивости – в каждом сечении по $x$ определяется диапазон частот наиболее неустойчивых волн. Для различных фиксированных частот $\omega $ из этого диапазона при каждом $x$ вычисляются инкременты роста волн $\sigma \left( {\omega ;~x} \right)$, а затем интегральные усиления $N\left( {\omega ;x} \right)$. Пример получаемых кривых для волны с частотой $\nu {\kern 1pt} * = \frac{{\omega {\kern 1pt} *}}{{2\pi }} = 110~$ кГц показан на рис. 3. Видно, что вблизи начала участка отсоса инкремент $\sigma \left( {{{\omega }_{1}};x} \right)$ резко падает по сравнению со случаем без отсоса (рис. 3, пунктирные линии), т.е. локально проявляется известный эффект стабилизации пограничного слоя. Однако инкремент остается положительным ${{\sigma }_{{{{c}_{q}}}}} > 0~$, и над участком отсоса рост волны продолжается, причем по сравнению с пластиной без отсоса область нарастания оказывается более протяженной.

Рис. 3.

Распределение инкрементов роста $\sigma $ и интегрального усиления (N-фактора) неустойчивой волны второй моды с частотой $\omega = 296.8$ при распространении над пластиной без отсоса (${{c}_{q}} = 0.0$) и над участком с коэффициентом отсоса ${{c}_{q}} = - 0.4$. Вертикальные линии отмечают начало и конец участка с отсосом.

Такое поведение инкремента роста ${{\sigma }_{{{{c}_{q}}}}}\left( {{{\omega }_{1}};x} \right)$ волны фиксированной частоты объясняется изменением толщины $\delta \left( x \right)$ пограничного слоя над участком отсоса. Известно, что наиболее неустойчивая волна второй моды имеет длину волны $\lambda _{*}^{{}}(x) \approx 2\delta (x)$. Ее частота – ${{\omega }_{*}}\, = \,2\pi {{u}_{c}}{\text{/}}\lambda _{*}^{{}}\, \approx \,\pi {{u}_{e}}{\text{/}}\delta $, где ${{u}_{c}} \approx 0.9{{u}_{e}}$ – типичная фазовая скорость возмущений второй моды. Она связана со скоростью на границе пограничного слоя ${{u}_{e}}$. Тогда, если зафиксировать частоту волны ${{\omega }_{1}}$, то при некоторой толщине пограничного слоя $\delta _{*}^{{}}$ будет наблюдаться максимальный инкремент $\sigma _{*}^{{}}$, а при отстройке толщины $\delta \ne \delta _{*}^{{}}$ инкремент будет падать. В случае отсоса пограничного слоя через стенку скорость ${{u}_{e}}$ практически не меняется. При этом происходит существенное изменение толщины ${{\delta }_{{{{c}_{q}}}}} < {{\delta }_{{{{c}_{q}} = 0}}}$ (см. профили на рис. 1), поэтому у волны фиксированной частоты ${{\omega }_{1}}$ отстраивается инкремент роста ${{\sigma }_{{{{c}_{q}}}}}\left( {{{\omega }_{1}};x} \right) \ne {{\sigma }_{{{{c}_{q}} = 0}}}\left( {{{\omega }_{1}};x} \right)$. Из рис. 3 видно, что в положениях по x в окрестности верхней ветви кривой нейтральной устойчивости возможно ${{\sigma }_{{{{c}_{q}}}}}\left( {{{\omega }_{1}}} \right) > {{\sigma }_{{{{c}_{q}} = 0}}}\left( {{{\omega }_{1}};x} \right)$ в зависимости от соотношения ${{\lambda }_{1}}$ и $2{{\delta }_{{{{c}_{q}}}}}\left( x \right)$.

Таким образом, для волны фиксированной частоты имеются два разнонаправленных влияния отсоса газа из пограничного слоя на интегральное усиление: с одной стороны, уменьшение инкрементов роста в окрестности максимума, с другой стороны, расширение области неустойчивости за счет подстройки частоты возмущения под изменившуюся толщину пограничного слоя.

Семейство кривых интегрального усиления для всех рассмотренных частот неустойчивых волн второй моды показано на рис. 4 (для случая максимальной интенсивности отсоса представлены также кривые усиления для волн фиксированной частоты). Видно, что в области действия отсоса происходит смещение огибающей N-факторов в сторону бóльших значений, а эффект стабилизации наблюдается в области x > 1. При этом, если выбрать в качестве критерия начала ламинарно-турбулентного перехода ${{N}_{{cr}}} = 10$, можно ожидать смещение положения перехода от ${{x}_{{tr}}} = 0.9$ для случая без отсоса до ${{x}_{{tr}}} = 0.52$ для отсоса максимальной интенсивности. Данный результат можно назвать аномальным с той точки зрения, что до настоящего времени принято было считать, опираясь в основном на данные для дозвуковых пограничных слоев, что отсос пограничного газа приводит к равномерной стабилизации.

Рис. 4.

Кривые интегрального усиления (N-факторы) для всех рассмотренных неустойчивых волн над пластиной с отсосом различных интенсивностей c_q = 0.0, 0.4, 0.8. Вертикальные линии отмечают начало и конец участка отсоса.

РАСЧЕТЫ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ВЫДУВА ГАЗА В ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

Производились расчеты ламинарного обтекания пластины с участком отсоса пограничного слоя интенсивностью c_q = {0.0; 0.4; 0.8}. На рис. 5 представлено влияние выдува газа на толщину вытеснения пограничного слоя.

Рис. 5.

Толщина вытеснения для случаев c_q = {0.0, 0.4, 0.8}.

Основной физический механизм изменения инкрементов роста волн неустойчивостей пограничного слоя при наличии выдува в пограничный слой аналогичен рассмотренному выше механизму подстройки неустойчивых возмущений под изменившуюся толщину пограничного слоя. Данный факт более подробно иллюстрирует рис. 6, на котором представлено сравнение инкрементов роста возмущения фиксированной частоты $\nu {\kern 1pt} * = 115~$ кГц для случая без выдува и с выдувом интенсивностью ${{c}_{q}} = 0.4.$ Видно, что для относительно высокочастотных возмущений из-за увеличения толщины пограничного слоя происходит сужение области усиления, хотя и наблюдается некоторое увеличение максимума инкрементов роста. В итоге для высокочастотной части спектра неустойчивых возмущений наблюдается стабилизация пограничного слоя, тогда как для низкочастотной части спектра происходит дестабилизация пограничного слоя в области вниз по потоку от точки окончания действия выдува газа в пограничный слой.

Рис. 6.

Распределение инкрементов роста $\sigma $ и интегрального усиления (N-фактора) неустойчивой волны второй моды с частотой $\nu {\kern 1pt} * = 115~$ кГц при распространении над пластиной без отсоса (${{c}_{q}} = 0.0$) и над участком с коэффициентом выдува ${{c}_{q}} = 0.4$. Вертикальные линии отмечают начало и конец участка с выдувом.

Данный эффект иллюстрирует рис. 7, где представлены огибающие N-факторов для всех рассмотренных случаев выдува (для случая максимальной интенсивности выдува также представлены кривые усиления для фиксированных частот возмущений). Видно, что в области действия выдува огибающие N-факторов уменьшаются по сравнению со случаем без выдува, но вниз по потоку от точки окончания действия выдува наблюдается достаточно интенсивная дестабилизация пограничного слоя. Интересно отметить, что при выборе критического значения N-фактора ${{N}_{{cr}}} = 10,$ точка начала ламинарно-турбулентного перехода практически не изменяется по мере увеличения интенсивности выдува. Для меньших значений N-фактора наблюдается затягивание ламинарно-турбулентного перехода по мере увеличения интенсивности выдува, что может быть использовано для практических приложений.

Рис. 7.

Кривые интегрального усиления (N-факторы) для всех рассмотренных неустойчивых волн над пластиной с выдувом различных интенсивностей c_q = 0.0, 0.4, 0.8. Вертикальные линии отмечают начало и конец участка выдува.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнены исследования устойчивости пограничного слоя над плоской пластиной с участком выдува/отсоса газа через стенку при обтекании сверхзвуковым потоком ${{М}_{\infty }} = 6$. В рамках локально-параллельного приближения линейной теории устойчивости и e^N метода рассчитаны инкременты нарастания и интегральные усиления плоских волн различных частот, относящихся ко второй моде Мэка пограничного слоя, которая является доминирующим типом неустойчивости на рассматриваемом режиме.

Показано, что неустойчивости над участком отсоса в широком диапазоне частот усиливаются слабее, чем в случае без отсоса, что распространяет известный эффект стабилизации пограничного слоя с помощью системы отсоса на случай высоких скоростей. Однако для высокочастотной части спектра неустойчивых возмущений отсос пограничного слоя приводит к увеличению области усиления и интегральных факторов роста. Этот аномальный эффект необходимо учитывать при разработке активных систем управления ламинарно-турбулентным переходом для достаточно больших сверхзвуковых скоростей. Для выдува газа в пограничный слой наблюдается обратный эффект – в области действия выдува реализуется стабилизация пограничного слоя, однако вниз по потоку от точки окончания действия выдува наблюдается дестабилизация. В частности, оказывается возможным при помощи выдува газа затягивать положение ламинарно-турбулентного перехода при правильном подборе распределенного выдува. Данный факт может быть полезен при разработке высокоскоростных летательных аппаратов, где выдув газа в пограничный слой реализовать проще, чем отсос горячего газа из пограничного слоя. В данной работе выдуваемый газ имел ту же температуру, что и локальная температура газа. С практической точки зрения представляет интерес расчетов влияния выдува относительно холодного газа в пограничный слой на характеристики устойчивости. Это составляет предмет дальнейших исследований в данной области.

Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 19-19-00470).