Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 6, стр. 3-15
ИНТЕНСИВНОСТЬ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ГАЗА В КАНАЛАХ С ШЕРОХОВАТЫМИ СТЕНКАМИ
И. В. Деревич a, *, А. К. Клочков a
a Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)
Москва, Россия
* E-mail: DerevichIgor@bmstu.ru
Поступила в редакцию 04.03.2022
После доработки 21.06.2022
Принята к публикации 21.06.2022
- EDN: IXGYOA
- DOI: 10.31857/S0568528122100085
Аннотация
В рамках градиентной гипотезы получено замкнутое уравнение для функции плотности вероятности (ФПВ) распределения координат и скорости частиц. Найдено приближенное решение уравнения для ФПВ, с помощью которого записана замкнутая система уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости частиц. Представлена система граничных условий, полученная на основе приближенного решения уравнения для ФПВ, которая учитывает шероховатость стенки канала и коэффициенты восстановления импульса отраженных частиц. Установлено, что турбулентный перенос импульса дисперсной фазы в пристеночную область канала приводит к значению амплитуды флуктуаций аксиальной компоненты скорости частиц выше, чем у газа. Показано, что столкновение частиц с шероховатой поверхностью приводит к дополнительной генерации случайной нормальной компоненты скорости частиц, кардинально меняющей профиль концентрации примеси по сравнению с гладкими стенками. Результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными.
Турбулентные потоки газовзвеси в каналах широко используются в различных технических приложениях. Устойчивость транспорта дисперсных материалов и степень эрозии стенок каналов определяются частотой столкновения частиц со стенками и распределением концентрации примеси по сечению канала. В настоящее время активно проводятся экспериментальные и теоретические исследования влияния искусственной шероховатости каналов на интенсивность хаотического движения примеси частиц. В зависимости от размера частиц и характерного размера шероховатости можно выделить принципиально различные направления исследования.
В первом направлении, сочетающем экспериментальные и теоретические исследования, изучаются достаточно крупные инерционные частицы, которые слабо вовлекаются в турбулентные флуктуации скорости несущей фазы. В этом случае хаотическое движение частиц обусловлено преобразованием скорости частиц при столкновении с шероховатой стенкой канала [1–3]. Эффективный теоретический метод исследования основан на подходе Лагранжа, в котором рассчитывается большое число случайных траекторий частиц с детальным описанием столкновения частиц с шероховатой поверхностью. Учитываются спин частиц и сила Магнуса. В этом случае влияние неоднородности распределения интенсивности турбулентности газа поперек канала на параметры движения частиц мало. Результаты численного моделирования удовлетворительно согласуются с данными экспериментов авторов (см., например, [2]).
Во втором направлении исследований размеры частиц примеси существенно меньше, чем в первом, частицы приобретают хаотическую скорость в результате вовлечения в турбулентные флуктуации энергоемких вихрей. Столкновение частиц с шероховатой поверхностью приводит к дополнительной генерации турбулентного движения примеси [4–7]. Математическое моделирование также использует подход Лагранжа.
Третье направление посвящено движению мелких частиц, вовлекающихся в турбулентное движение несущей фазе в каналах со случайно искаженной поверхностью стенок. Это искусственное изменение сечения канала приводит к макроскопическому изменению параметров турбулентности несущей фазы (см., например, [8]).
Несмотря на бурное развитие методов математического моделирования, во втором и третьем направлении исследований результатов сопоставления с имеющимися экспериментальными данными практически нет.
Вследствие существенной неоднородности параметров турбулентного течения газа в канале и преобразования скорости отраженных частиц при соударении с шероховатой поверхностью кардинально меняются закономерности турбулентного движения дисперсной примеси по сравнению с безграничным газодисперсным потоком. Современные экспериментальные данные [9] свидетельствуют о двух принципиальных характеристиках распределения параметров частиц при турбулентном течении газовзвеси в каналах. Во-первых, концентрация примеси на шероховатой стенке канала конечна, и не достигает аномально больших значений как в расчетах для гладких поверхностей (см., например, [10, 11]). Во-вторых, дисперсия аксиальной скорости частиц на периферии канала становится даже выше, чем у несущего газа, что противоречит традиционным представлениям о том, что интенсивность турбулентного движения дисперсной примеси всегда меньше, чем у несущей фазы.
В работе представлена математическая модель Эйлера турбулентного движения дисперсной примеси в канале с шероховатыми стенками. В отличие от широко используемых в литературе полуэмпирических методов замыкания турбулентных потоков предлагается единый строгий подход для вывода как уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости частиц дисперсной фазы, так и граничных условий для моментов, учитывающих преобразование скорости отраженных частиц после столкновения со стенками. Непротиворечивый переход от уравнений динамики частиц в переменных Лагранжа к уравнениям динамики сплошной среды для дисперсной фазы (переменные Эйлера) возможен только на основе аппарата функции плотности вероятности (ФПВ) распределения параметров частиц. Методика вывода незамкнутого уравнения для ФПВ в настоящее время достаточно хорошо отработана (см., например, [12–15]). Замыкание уравнения для ФПВ, его приближенное решение, позволяющее получить замкнутую систему уравнений для моментов случайных параметров дисперсной фазы и соответствующие граничные условия, возможен только в рамках упрощающей гипотезы. В работе используется “градиентная гипотеза”: поток субстанции в случайном поле скорости пропорционален антиградиенту осредненного значения этой субстанции. Поэтому в аналитических выкладках градиенты параметров дисперсной фазы учитываются только в линейном приближении.
В настоящей работе кратко изложена методика вывода уравнения для ФПВ, системы уравнений для моментов и граничных условий. Представлена расчетная система уравнений, граничных условий и замыкающих соотношений для моделирования параметров газодисперсного течения в экспериментальной работе [9]. Результаты численного моделирования удовлетворительно согласуются с опытными данными и позволяют дать теоретическую трактовку новым экспериментальным эффектам.
1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ
Уравнения для скорости и перемещения одиночной сферической частицы в газе с учетом силы сопротивления и силы тяжести имеют вид
(1.1)
$\frac{{d{\mathbf{V}}\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\left[ {{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{X}}\left( t \right),t} \right) - {\mathbf{V}}\left( t \right)} \right] + {\mathbf{g}},\quad {\mathbf{V}}\left( 0 \right) = {{{\mathbf{V}}}_{0}}$(1.2)
$\frac{{d{\mathbf{X}}\left( t \right)}}{{dt}} = {\mathbf{V}}\left( t \right),\quad {\mathbf{X}}\left( 0 \right) = {{{\mathbf{X}}}_{0}}$Здесь V(t) – скорость частицы, ${{\tau }_{U}}$ – время динамической релаксации, ${\mathbf{g}}$ – ускорение свободного падения, X(t) – координата частицы, ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)$ – скорость газа.
Обозначаем скорость газа на траектории частицы как
Переписываем уравнения (1.1) и (1.2) в интегральном виде
Для достаточно больших времен $t \gg {{\tau }_{U}}$ для скорости частицы и ее координаты имеем представление
2. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФПВ
Концентрация частиц предполагается достаточно малой, чтобы можно было пренебречь столкновениями частиц и обратным влиянием примеси на параметры турбулентного потока. Для описания случайной динамики частиц в турбулентном потоке адекватным является теория случайных процессов. Вся информация о параметрах дисперсной фазы содержится в ФПВ координаты и скорости частицы. Для получения уравнения для ФПВ первоначально записывается выражение для индикаторной функции, вырезающей случайную траекторию в фазовом пространстве
Здесь V, x – точки фазового пространства, $\delta \left( {\mathbf{x}} \right)$ – дельта функция Дирака, удовлетворяющая условию нормировки
где $d{\mathbf{x}}$ – элемент объема.Введение индикаторной функции позволяет говорить о сплошной дисперсной фазе даже для одной частицы. С учетом уравнений динамики частицы получается уравнение Лиувилля для индикаторной функции
(2.1)
$\frac{\partial }{{\partial t}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + {\mathbf{V}}\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{x}}}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + \frac{\partial }{{\partial {\mathbf{V}}}}\left\{ {\left[ {\frac{{{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right) - {\mathbf{V}}}}{{{{\tau }_{U}}}} + {\mathbf{g}}} \right]\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\} = 0$Осреднение индикаторной функции по ансамблю случайных реализаций турбулентного потока приводит согласно аксиоматическому построению теории случайных процессов А.Н. Колмогорова (см., например, [16]) к ФПВ распределения скорости и координаты частиц
На основе ФПВ определяем осредненную концентрацию $\left\langle {N\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle $ и скорость дисперсной фазы $\left\langle {{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle $ следующим образом:
Флуктуации скорости дисперсной фазы равны
В этом случае корреляция актуальной концентрации $N\left( {{\mathbf{x}},t} \right)$ и флуктуаций скорости дисперсной фазы равна:
Осреднение уравнения для индикаторной функции (2.1) по ансамблю турбулентных реализаций приводит к незамкнутому уравнению для ФПВ
(2.2)
$\frac{\partial }{{\partial t}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + {\mathbf{V}}\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{x}}}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + \frac{\partial }{{\partial {\mathbf{V}}}}\left\{ {\left[ {\frac{{\left\langle {{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle - {\mathbf{V}}}}{{{{\tau }_{U}}}} + {\mathbf{g}}} \right]\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\} = - \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\left\langle {{\mathbf{\tilde {u}}}\left( t \right)\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\rangle $Уравнение (2.2) незамкнуто вследствие наличия корреляции $\left\langle {{\mathbf{\tilde {u}}}\left( t \right)\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\rangle $. Данные прямого численного моделирования турбулентных флуктуаций скорости газа на траектории инерционных частиц [17] свидетельствуют о том, что энергоемкие флуктуации скорости газа на траектории частиц являются случайным процессом Гаусса с автокорреляционной функцией, спадающей по экспоненциальному закону
(2.3)
$\left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right){{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)} \right\rangle = \left\langle {{{u}_{n}}{{u}_{j}}} \right\rangle {{\tilde {\Psi }}_{L}}\left( {t - \xi } \right),\quad {{\tilde {\Psi }}_{L}}\left( t \right) = \exp \left( { - {{\left| t \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| t \right|} {{{{\tilde {T}}}_{L}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\tilde {T}}}_{L}}}}} \right)$Здесь ${{\tilde {\Psi }}_{L}}\left( t \right)$ – автокорреляционная функция энергоемких флуктуаций скорости газа на траектории частицы, ${{\tilde {T}}_{L}}$ – интегральный временной масштаб
Для случайного процесса Гаусса, описывающего флуктуации скорости газа, которые видит частица, раскрытие корреляции в правой части уравнения (2.2) реализуется по формуле Фурутсу–Новикова [14, 15]
(2.4)
$\left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right)\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\rangle = \int\limits_0^t {d\xi \left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right){{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)} \right\rangle \left\langle {\frac{{\delta \varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}}} \right\rangle } $Здесь ${{\delta \varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta \varphi } {\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}}}$– функциональная производная
(2.5)
$\frac{{\delta \varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} = - \frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)\frac{{\delta {{X}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} - \frac{\partial }{{\partial {{V}_{i}}}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)\frac{{\delta {{V}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}}$Для расчета функциональных производных скорости и координаты частиц из формул (1.3) и (1.4) следует система интегральных уравнений (см., например, [15])
Аналитического решения системы интегральных уравнений для функциональных производных нет. Поэтому для замыкания уравнения для ФПВ используется градиентная гипотеза: в приближенном решении учитываются только слагаемые линейные по градиентам осредненных параметров дисперсной фазы. В результате получаем приближенное решение для функциональных производных
(2.6)
$\frac{{\delta {{V}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} \approx \frac{{{{\delta }_{{ij}}}}}{{{{\tau }_{U}}}}\exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right) + {{\Gamma }_{V}}\left( {t - \xi } \right){{\left. {\frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}\left( {{\mathbf{x}},s} \right)} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right|}_{{{\mathbf{x}}{\text{ = }}{\mathbf{X}}\left( t \right)}}}$(2.7)
$\frac{{\delta {{X}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{u}_{j}}\left( \xi \right)}} \approx {{\delta }_{{ij}}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right] + {{\left. {{{\tau }_{U}}{{\Gamma }_{X}}\left( {t - \xi } \right)\frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}\left( {{\mathbf{x}},s} \right)} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right|}_{{{\mathbf{x}}{\text{ = }}{\mathbf{X}}\left( t \right)}}}$Здесь функции ${{\Gamma }_{V}}\left( {t - \xi } \right)$, ${{\Gamma }_{X}}\left( {t - \xi } \right)$ равны
Последовательная подстановка выражений (2.6), (2.7) в (2.5) и (2.4) приводит к замкнутому уравнению для ФПВ
(2.8)
$\begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial t}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + {{V}_{i}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + \frac{\partial }{{\partial {{V}_{i}}}}\left\{ {\left( {\frac{{\left\langle {{{U}_{i}}} \right\rangle + {{\tau }_{U}}{{g}_{i}} - {{V}_{i}}}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\} = \\ \, = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}{{f}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\partial {{V}_{i}}\partial {{V}_{j}}}} + {{q}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\partial {{V}_{i}}\partial {{x}_{j}}}} \\ \end{gathered} $Здесь функции отклика равны
Коэффициенты в этих выражениях рассчитываются по автокорреляционной функции флуктуации скорости газа на траектории частицы
Корреляцию скорости газа на траектории частицы в формуле (2.4) представляем как
Используем представление через функцию плотности вероятности перехода (см., например, [18])
Здесь ${{\Psi }_{{\text{E}}}}\left( t \right)$ – автокорреляционная функция Эйлера; $G\left( {{\mathbf{y}},t - \xi } \right)$ – плотность вероятности перехода частиц в случайном поле скорости газа
Функция плотности вероятности перехода позволяет учесть эффект “пересечения траекторий”, вызванный осредненным скольжением фаз. При течении газовзвеси в канале с шероховатыми стенками потеря импульса отраженных частиц может приводить к скоростному скольжению фаз, существенно большему скорости витания.
3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОМЕНТОВ
Уравнение для ФПВ (2.8) содержит всю необходимую информацию для получения замкнутой системы уравнений для моментов и вывода граничных условий. Приближенное решение уравнения (2.8) с учетом слагаемых пропорциональных первой степени градиентов осредненных параметров дисперсной фазы имеет вид [15]
(3.1)
$\begin{gathered} \Phi \approx \left\langle N \right\rangle {{\Phi }^{{\left( 0 \right)}}}\left\{ {1 + \frac{1}{2}\left( {1 - {{\delta }_{{ij}}}} \right)\sigma _{{ij}}^{{\left( 0 \right)}}\frac{{{{{v}}_{i}}{{{v}}_{j}}}}{{\left\langle {{v}_{j}^{2}} \right\rangle \left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }}} \right. - \frac{{{{\tau }_{U}}}}{{2\left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }}({{{v}}_{j}}{{{v}}_{i}} - {{\delta }_{{ij}}}{v}_{i}^{2})\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{j}}}} - \\ \, - \left. {\frac{1}{3}\frac{{{{{v}}_{j}}}}{{\left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle \left\langle {{v}_{j}^{2}} \right\rangle }}\left[ {\frac{1}{2}\frac{{{v}_{i}^{2}}}{{\left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }} - \left( {{{\delta }_{{ij}}} + \frac{1}{2}} \right)} \right]{{D}_{{jk}}}\frac{{\partial \left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right\} \\ \end{gathered} $Здесь ${{\delta }_{{ij}}}$ – символ Кронекера, ${{D}_{{jk}}} = {{\tau }_{U}}(\left\langle {{{{v}}_{j}}{{{v}}_{k}}} \right\rangle + q_{U}^{{\left( 0 \right)}}\left\langle {{{u}_{j}}{{u}_{k}}} \right\rangle )$ – коэффициент турбулентного переноса; ${{\Phi }^{{\left( 0 \right)}}}$ – равновесная ФПВ
Вторые моменты флуктуаций скорости дисперсной фазы в формуле (3.1) равны
Предполагается, что в ФПВ (3.1) осредненные параметры дисперсной фазы зависят от времени и пространственной переменной. Коэффициент $\sigma _{{ij}}^{{\left( 0 \right)}}$ в (3.1) равен
Замкнутая система уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости дисперсной фазы имеет следующий вид.
Уравнение для осредненной концентрации дисперсной фазы
Уравнение для осредненной скорости дисперсной фазы
Уравнение для вторых моментов флуктуаций скорости дисперсной фазы
Здесь третьи моменты равны
4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Как будет видно из результатов расчетов для интерпретации экспериментальных данных [9], можно задать небольшую степень шероховатости стенки канала. Поэтому не учитывается спин частиц. При столкновении с поверхностью импульс отраженных частиц связан с импульсом падающих частиц следующим образом:
Шероховатость стенок плоского канала моделируем как плоскости, случайно наклоненные к оси канала (см., например, [2]) (рис. 1). Случайный угол наклона плоскости $0 \leqslant \alpha \leqslant {{\alpha }_{{\max }}}$ имеет равномерное распределение.
При столкновении частиц с шероховатой поверхностью аксиальная компонента скорости дает существенный вклад в компоненту отраженной скорости, нормальную к оси канала. Это приводит к существенной генерации интенсивности хаотического движения частиц поперек канала по сравнению с каналом, имеющим гладкие стенки. В результате осреднения по углу наклона случайных плоскостей получаются формулы для расчета аксиальной и нормальной к оси канала компонент скорости дисперсной фазы [15]
Здесь эффективные коэффициенты восстановления импульса частиц в шероховатом канале имеют вид
На рис. 2 показана зависимость эффективных коэффициентов восстановления импульса в шероховатом канале. Видно, что коэффициент восстановления импульса в поперечном направлении может быть $ \gg {\kern 1pt} 1$.
Вывод граничных условий для первых и вторых моментов также основан на приближенном решении уравнения для ФПВ (3.1). Рассчитываются потоки концентрации, осредненного импульса, дисперсии скорости частиц, переносимые падающими и отраженными от стенки потоками дисперсной фазы. Сумма падающего и отраженного потоков вблизи стенки приравнивается потоку в течении.
5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Предложенная модель сопоставляется с экспериментальными данными, полученными при нисходящем течении газовзвеси в вертикальном плоском канале. Приведем систему уравнений для моментов и соответствующих граничных условий для численного моделирования экспериментальных условий [9]. Опытные данные представлены для установившегося течения. Расчеты проведены путем решения системы нестационарных уравнений переноса до достижения стационарного состояния. Ось $0 \leqslant y \leqslant h$ направлена от стенки в поток (h – полуширина канала), ось $x \geqslant 0$ направлена по скорости потока. При записи системы уравнений для моментов учитываются только слагаемые линейные по градиентам осредненных параметров дисперсной фазы.
Уравнение для концентрации примеси имеет вид
Граничные условия отражают отсутствие потоков дисперсной фазы в центре и на границе канала:
Уравнение для аксиальной скорости дисперсной фазы имеет вид:
Граничные условия симметрии и потери аксиального импульса при столкновении с шероховатой стенкой канала записываются как
Уравнение для дисперсии флуктуаций скорости дисперсной фазы в поперечном направлении
Граничные условия симметрии и генерации поперечной компоненты импульса на шероховатой стенке канала имеют вид
Уравнение для дисперсии аксиальных флуктуаций скорости дисперсной фазы
Граничные условия симметрии и потери аксиальной компоненты импульса имеют вид:
Уравнение для касательных турбулентных напряжений в дисперсной фазе записывается как
Время динамической релаксации частиц рассчитывается следующим образом:
Здесь $\tau _{U}^{{\left( 0 \right)}}$ – время динамической релаксации в приближении Стокса, dp – диаметр частиц, ${{\rho }_{g}},\;{{\rho }_{p}}$ – плотности материала газа и частиц, ${{\nu }_{g}}$ – коэффициент кинематической вязкости газа, Rep – число Рейнольдса обтекания частиц, W – модуль относительной скорости частиц.
Учитывается влияние относительного скольжения фаз на интегральный временной масштаб флуктуаций скорости газа на траектории частицы [18]
6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Расчет параметров несущей фазы проведен на основе простой двухпараметрической модели турбулентности [19]. Мы полагаем, что наличие малой шероховатости канала, меньше толщины вязкого подслоя, не меняет параметров турбулентности по сравнению со случаем абсолютно гладких стенок.
Дисперсия аксиальных флуктуаций скорости газа оценивается как $\left\langle {u_{x}^{2}} \right\rangle = E$. Дисперсия нормальных флуктуаций скорости газа рассчитывается по формуле, согласующейся с данными прямого численного моделирования [20]
Интегральный временной масштаб Эйлера в универсальных переменных ${{T}_{{{\text{E}} + }}}$ оценивается по формуле
Расчет реализован методом прямых на консервативной разностной схеме со сгущением узлов вблизи стенки канала [21].
На рис. 3 представлено распределение безразмерной концентрации дисперсной примеси (масштаб концентрации – ее среднее значение по сечению канала). Для идеально гладкого канала максимум концентрации примеси расположен на стенке и достигает существенных величин, что согласуется с данными прямого численного моделирования [10, 11]. Далее результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными работы [9], в которой авторы используют гладкие поверхности канала. Понятие технической “гладкости канала” не исключает микрошероховатость, которая также может появиться при проведении экспериментов в результате эрозионного воздействия дисперсной примеси. Как отмечалось выше, для абсолютно гладких поверхностей максимум концентрации на стенке во много раз превосходит значение концентрации в ядре течения. Поэтому мы для интерпретации результатов экспериментов [9] предложили малую шероховатость омываемой поверхности. Конкретный угол наклона (${{\alpha }_{{\max }}} \approx 1.3^\circ $) выбирался эмпирическим путем и в дальнейших расчетах не менялся.
Для канала с небольшой шероховатостью появляется новый эффект, связанный с дополнительной генерацией нормальных к стенке флуктуации скорости дисперсной фазы, что приводит к более равномерному распределению концентрации дисперсной примеси в сечении канала. На рис. 4 и 5 иллюстрируется распределение дисперсии нормальных к стенке флуктуаций скорости частиц (${{U}_{{\text{c}}}}$ – скорость газа в центре канала). Видно, что для шероховатой стенки изменение дисперсии нормальных флуктуаций скорости дисперсной фазы немонотонно, что обусловливает принципиальное отличие в распределении концентрации дисперсной фазы в каналах с шероховатой и гладкими стенками.
В результате диффузионного переноса аксиального импульса дисперсной фазы к стенке канала возникает новый эффект: интенсивность флуктуаций скорости частиц в аксиальном направлении становится даже выше, чем у несущей фазы (рис. 6 и 7). Это принципиально новый эффект, связанный с существенной неоднородностью поля турбулентных флуктуаций газа при течении в каналах. Для свободной турбулентности интенсивность флуктуационного движения частиц всегда меньше, чем у газа.
Вследствие инерционного пробега частиц к стенке аксиальная скорость дисперсной фазы на стенке не равна нулю (рис. 8). Потеря импульса отраженных частиц приводит к заметному скоростному скольжению дисперсной и несущей фаз.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе современного математического аппарата теории случайных процессов и методов функционального анализа построена замкнутая система уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости дисперсной фазы. Выведена система граничных условий, учитывающих преобразование нормальной и аксиальной скорости частиц при соударении с шероховатой поверхностью. Представлены результаты расчетов распределения параметров инерционных частиц в плоском вертикальном канале. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с современными экспериментальными данными.
Показано, что даже сравнительно небольшая шероховатость стенок канала приводит к дополнительной генерации поперечных флуктуаций скорости дисперсной фазы, что качественно меняет характер распределения концентрации примеси по сечению канала по сравнению с гладкими стенками. Проиллюстрирован новый эффект турбулентного диффузионного переноса аксиальной компоненты импульса к стенке канала, в результате которого дисперсия аксиальных флуктуаций скорости дисперсной фазы становится выше, чем у газа.
Список литературы
Kussin J., Sommerfeld M. Experimental studies on particle behaviour and turbulence modification in horizontal channel flow with different wall roughness // Exp. Fluids. 2002. V. 33. P. 143–159. https://doi.org/10.1007/s00348-002-0485-9
Sommerfeld M., Kussin J. Wall roughness effects on pneumatic conveying of spherical particles in a narrow horizontal channel // Int. J. Multiph. Flow. 2004. V. 142. P. 180–192. https://doi.org/10.1016/j.powtec.2004.05.002
Benson M., Tanaka T., and Eaton J.K. Effects of Wall Roughness on Particle Velocities in a Turbulent Channel Flow // J. Fluids Eng. 2004. V. 127. P. 250–256. https://doi.org/10.1115/1.1891149
Squires K.D., Simonin O. LES–DPS of the effect of wall roughness on dispersed-phase transport in particle-laden turbulent channel flow // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2006. V. 27. 619–626. https://doi.org/10.1016/j.ijheat?uid?ow.2006.02.009
Konan N.A., Kannengieser O., and Simonin O. Stochastic modeling of the multiple rebound effects for particle-rough wall collisions // Int. J. Multiph. Flow. 2009. V. 35. P. 933–945. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2009.05.006
Vreman A.W. Turbulence attenuation in particle-laden flow in smooth and rough channels // J. Fluid Mech. 2015. V. 773. P. 103–136. https://doi.org/10.1017/jfm.2015.208
Radenkovic D., Simonin O. Stochastic modelling of three-dimensional particle rebound from isotropic rough wall surface // Int. J. Multiph. Flow.2018. V. 109. P. 35–50. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2018.07.013
Milici B. Modification of particle laden near-wall turbulence in a vertical channel bounded by rough walls // Int. J. Multiph. Flow. 2018. V. 103. P. 151–168. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphase?ow.2018.02.020
Fong K.O., Amili O., and Coletti F. Velocity and spatial distribution of inertial particles in a turbulent channel flow // J. Fluid Mech. 2019. V. 872. P. 367–406. https://doi.org/10.1017/jfm.2019.355
Dong L., Anyang W., Kun L., and Jianren F. Direct numerical simulation of a particle-laden flow in a flat plate boundary layer // Int. J. Multiph. Flow. 2016. V. 79. P. 124–143. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphase?ow.2015.10.011
Bernardini M. Reynolds number scaling of inertial particle statistics in turbulent channel flows // J. Fluid Mech. 2014. V. 758. R1. https://doi.org/10.1017/jfm.2014.561
Reeks M.W. On the continuum equations for dispersed particles in non-uniform flows. Phys. Fluids A. 1992. V. 446. P. 1290–1303. https://doi.org/10.1063/1.858247
Liang G.Y., Cao L., and Wu D.J. Approximate Fokker–Planck equation of system driven by multiplicative colored noises with colored cross-correlation // Physica A. 2004. V. 335. P. 371–384. https://doi.org/10.1016/j.physa.2003.12.023
Klyatskin V.I. Stochastic Equations Through the Eye of the Physicist. Amsterdam.: Elsevier Publ. Company, 2005.
Derevich I.V., Shchadinskiy D.M., and Tun Z.H. Probabilistic model of dispersed turbulent flow in channels with rough walls // Aerosol Sci. Technol. 2020. V. 54. Iss. 8. https://doi.org/10.1080/02786826.2020.1739617
Kolmogorov A.N. Foundations of the Theory of Probability. Dover Books on Mathematics, 2013.
Wetchagaruna S., Riley J.J. Dispersion and temperature statistics of inertial particles in isotropic turbulence // Phys. Fluids. 2010. V. 22. 063301-1–15. https://doi.org/10.1063/1.3392772
Derevich I.V. Spectral diffusion model of heavy inertial particles in a random velocity field of the continuum medium // Themophys. Aeromech. 2015. V. 22. P. 143–162. https://doi.org/10.1134/S086986431502002X
Herrero J., Grau F.X., Grifoll J., Giralt F. A near wall k-epsilon formulation for high Prandtl number heat transfer // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. V. 34. P. 711–721. https://doi.org/10.1016/0017-9310(91)90119-Y
Kim J., Moin P., and Moser R.J. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 1987. V. 177. P. 133–166. https://doi.org/10.1017/S0022112087000892
Derevich I.V., Klochkov A.K. Analytical and numerical solution of the equation for the probability density function of the particle velocity in a turbulent flow // J. Eng. Phys. Thermophys. 2020. V. 93. P. 1043–1054. https://doi.org/10.1007/s10891-020-02206-4
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика жидкости и газа