Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 6, стр. 3-15

ИНТЕНСИВНОСТЬ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ГАЗА В КАНАЛАХ С ШЕРОХОВАТЫМИ СТЕНКАМИ

И. В. Деревич a*, А. К. Клочков a

a Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)
Москва, Россия

* E-mail: DerevichIgor@bmstu.ru

Поступила в редакцию 04.03.2022
После доработки 21.06.2022
Принята к публикации 21.06.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В рамках градиентной гипотезы получено замкнутое уравнение для функции плотности вероятности (ФПВ) распределения координат и скорости частиц. Найдено приближенное решение уравнения для ФПВ, с помощью которого записана замкнутая система уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости частиц. Представлена система граничных условий, полученная на основе приближенного решения уравнения для ФПВ, которая учитывает шероховатость стенки канала и коэффициенты восстановления импульса отраженных частиц. Установлено, что турбулентный перенос импульса дисперсной фазы в пристеночную область канала приводит к значению амплитуды флуктуаций аксиальной компоненты скорости частиц выше, чем у газа. Показано, что столкновение частиц с шероховатой поверхностью приводит к дополнительной генерации случайной нормальной компоненты скорости частиц, кардинально меняющей профиль концентрации примеси по сравнению с гладкими стенками. Результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными.

Ключевые слова: функция плотности вероятности, турбулентность, коэффициенты восстановления импульса, шероховатость канала, моменты случайной скорости дисперсной фазы

Турбулентные потоки газовзвеси в каналах широко используются в различных технических приложениях. Устойчивость транспорта дисперсных материалов и степень эрозии стенок каналов определяются частотой столкновения частиц со стенками и распределением концентрации примеси по сечению канала. В настоящее время активно проводятся экспериментальные и теоретические исследования влияния искусственной шероховатости каналов на интенсивность хаотического движения примеси частиц. В зависимости от размера частиц и характерного размера шероховатости можно выделить принципиально различные направления исследования.

В первом направлении, сочетающем экспериментальные и теоретические исследования, изучаются достаточно крупные инерционные частицы, которые слабо вовлекаются в турбулентные флуктуации скорости несущей фазы. В этом случае хаотическое движение частиц обусловлено преобразованием скорости частиц при столкновении с шероховатой стенкой канала [13]. Эффективный теоретический метод исследования основан на подходе Лагранжа, в котором рассчитывается большое число случайных траекторий частиц с детальным описанием столкновения частиц с шероховатой поверхностью. Учитываются спин частиц и сила Магнуса. В этом случае влияние неоднородности распределения интенсивности турбулентности газа поперек канала на параметры движения частиц мало. Результаты численного моделирования удовлетворительно согласуются с данными экспериментов авторов (см., например, [2]).

Во втором направлении исследований размеры частиц примеси существенно меньше, чем в первом, частицы приобретают хаотическую скорость в результате вовлечения в турбулентные флуктуации энергоемких вихрей. Столкновение частиц с шероховатой поверхностью приводит к дополнительной генерации турбулентного движения примеси [47]. Математическое моделирование также использует подход Лагранжа.

Третье направление посвящено движению мелких частиц, вовлекающихся в турбулентное движение несущей фазе в каналах со случайно искаженной поверхностью стенок. Это искусственное изменение сечения канала приводит к макроскопическому изменению параметров турбулентности несущей фазы (см., например, [8]).

Несмотря на бурное развитие методов математического моделирования, во втором и третьем направлении исследований результатов сопоставления с имеющимися экспериментальными данными практически нет.

Вследствие существенной неоднородности параметров турбулентного течения газа в канале и преобразования скорости отраженных частиц при соударении с шероховатой поверхностью кардинально меняются закономерности турбулентного движения дисперсной примеси по сравнению с безграничным газодисперсным потоком. Современные экспериментальные данные [9] свидетельствуют о двух принципиальных характеристиках распределения параметров частиц при турбулентном течении газовзвеси в каналах. Во-первых, концентрация примеси на шероховатой стенке канала конечна, и не достигает аномально больших значений как в расчетах для гладких поверхностей (см., например, [10, 11]). Во-вторых, дисперсия аксиальной скорости частиц на периферии канала становится даже выше, чем у несущего газа, что противоречит традиционным представлениям о том, что интенсивность турбулентного движения дисперсной примеси всегда меньше, чем у несущей фазы.

В работе представлена математическая модель Эйлера турбулентного движения дисперсной примеси в канале с шероховатыми стенками. В отличие от широко используемых в литературе полуэмпирических методов замыкания турбулентных потоков предлагается единый строгий подход для вывода как уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости частиц дисперсной фазы, так и граничных условий для моментов, учитывающих преобразование скорости отраженных частиц после столкновения со стенками. Непротиворечивый переход от уравнений динамики частиц в переменных Лагранжа к уравнениям динамики сплошной среды для дисперсной фазы (переменные Эйлера) возможен только на основе аппарата функции плотности вероятности (ФПВ) распределения параметров частиц. Методика вывода незамкнутого уравнения для ФПВ в настоящее время достаточно хорошо отработана (см., например, [1215]). Замыкание уравнения для ФПВ, его приближенное решение, позволяющее получить замкнутую систему уравнений для моментов случайных параметров дисперсной фазы и соответствующие граничные условия, возможен только в рамках упрощающей гипотезы. В работе используется “градиентная гипотеза”: поток субстанции в случайном поле скорости пропорционален антиградиенту осредненного значения этой субстанции. Поэтому в аналитических выкладках градиенты параметров дисперсной фазы учитываются только в линейном приближении.

В настоящей работе кратко изложена методика вывода уравнения для ФПВ, системы уравнений для моментов и граничных условий. Представлена расчетная система уравнений, граничных условий и замыкающих соотношений для моделирования параметров газодисперсного течения в экспериментальной работе [9]. Результаты численного моделирования удовлетворительно согласуются с опытными данными и позволяют дать теоретическую трактовку новым экспериментальным эффектам.

1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ

Уравнения для скорости и перемещения одиночной сферической частицы в газе с учетом силы сопротивления и силы тяжести имеют вид

(1.1)
$\frac{{d{\mathbf{V}}\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\left[ {{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{X}}\left( t \right),t} \right) - {\mathbf{V}}\left( t \right)} \right] + {\mathbf{g}},\quad {\mathbf{V}}\left( 0 \right) = {{{\mathbf{V}}}_{0}}$
(1.2)
$\frac{{d{\mathbf{X}}\left( t \right)}}{{dt}} = {\mathbf{V}}\left( t \right),\quad {\mathbf{X}}\left( 0 \right) = {{{\mathbf{X}}}_{0}}$

Здесь V(t) – скорость частицы, ${{\tau }_{U}}$ – время динамической релаксации, ${\mathbf{g}}$ – ускорение свободного падения, X(t) – координата частицы, ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)$ – скорость газа.

Обозначаем скорость газа на траектории частицы как

${\mathbf{\tilde {U}}}\left( t \right) = {\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{X}}\left( t \right),t} \right)$

Переписываем уравнения (1.1) и (1.2) в интегральном виде

${\mathbf{V}}\left( t \right) = {{{\mathbf{V}}}_{0}}\exp \left( { - \frac{t}{{{{\tau }_{U}}}}} \right) + \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\int\limits_0^t {\exp \left( { - \frac{{t - s}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right){\mathbf{\tilde {U}}}\left( s \right)ds} + {\mathbf{g}}{{\tau }_{U}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]$
${\mathbf{X}}\left( t \right) = {{{\mathbf{X}}}_{0}} + {{{\mathbf{V}}}_{0}}{{\tau }_{U}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right] + \int\limits_0^t {\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{t - s}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]{\mathbf{\tilde {U}}}\left( s \right)ds} + {\mathbf{g}}{{\tau }_{U}}\left\{ {t - {{\tau }_{U}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]} \right\}$

Для достаточно больших времен $t \gg {{\tau }_{U}}$ для скорости частицы и ее координаты имеем представление

(1.3)
${\mathbf{V}}\left( t \right) = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\int\limits_0^t {\exp \left( { - \frac{{t - s}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right){\mathbf{\tilde {U}}}\left( s \right)ds} + {\mathbf{g}}{{\tau }_{U}}$
(1.4)
${\mathbf{X}}\left( t \right) = {{{\mathbf{X}}}_{0}} + {{{\mathbf{V}}}_{0}}{{\tau }_{U}} + \int\limits_0^t {\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{t - s}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]{\mathbf{\tilde {U}}}\left( s \right)ds} + {\mathbf{g}}{{\tau }_{U}}t$

2. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФПВ

Концентрация частиц предполагается достаточно малой, чтобы можно было пренебречь столкновениями частиц и обратным влиянием примеси на параметры турбулентного потока. Для описания случайной динамики частиц в турбулентном потоке адекватным является теория случайных процессов. Вся информация о параметрах дисперсной фазы содержится в ФПВ координаты и скорости частицы. Для получения уравнения для ФПВ первоначально записывается выражение для индикаторной функции, вырезающей случайную траекторию в фазовом пространстве

$\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) = \delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{X}}\left( t \right)} \right)\delta \left( {{\mathbf{V}} - {\mathbf{V}}\left( t \right)} \right)$

Здесь V, x – точки фазового пространства, $\delta \left( {\mathbf{x}} \right)$ – дельта функция Дирака, удовлетворяющая условию нормировки

$\int {\delta \left( {\mathbf{x}} \right)d{\mathbf{x}}} = 1$
где $d{\mathbf{x}}$ – элемент объема.

Введение индикаторной функции позволяет говорить о сплошной дисперсной фазе даже для одной частицы. С учетом уравнений динамики частицы получается уравнение Лиувилля для индикаторной функции

(2.1)
$\frac{\partial }{{\partial t}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + {\mathbf{V}}\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{x}}}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + \frac{\partial }{{\partial {\mathbf{V}}}}\left\{ {\left[ {\frac{{{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right) - {\mathbf{V}}}}{{{{\tau }_{U}}}} + {\mathbf{g}}} \right]\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\} = 0$

Осреднение индикаторной функции по ансамблю случайных реализаций турбулентного потока приводит согласно аксиоматическому построению теории случайных процессов А.Н. Колмогорова (см., например, [16]) к ФПВ распределения скорости и координаты частиц

$\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) = \left\langle {\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\rangle = \left\langle {\delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{X}}\left( t \right)} \right)\delta \left( {{\mathbf{V}} - {\mathbf{V}}\left( t \right)} \right)} \right\rangle $
где угловые скобки обозначают результат осреднения по ансамблю турбулентных реализаций.

На основе ФПВ определяем осредненную концентрацию $\left\langle {N\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle $ и скорость дисперсной фазы $\left\langle {{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle $ следующим образом:

$\left\langle {N\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle = \int {\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right){\text{d}}{\mathbf{V}}} = \int {\left\langle {\delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{X}}\left( t \right)} \right)\delta \left( {{\mathbf{V}} - {\mathbf{V}}\left( t \right)} \right)} \right\rangle d{\mathbf{V}}} = \left\langle {\delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{X}}\left( t \right)} \right)} \right\rangle $
$\left\langle {N\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle \left\langle {{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle = \int {{\mathbf{V}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right){\text{d}}{\mathbf{V}}} = \int {{\mathbf{V}}\left\langle {\delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{X}}\left( t \right)} \right)\delta \left( {{\mathbf{V}} - {\mathbf{V}}\left( t \right)} \right)} \right\rangle d{\mathbf{V}}} = \left\langle {{\mathbf{V}}\left( t \right)\delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{X}}\left( t \right)} \right)} \right\rangle $

Флуктуации скорости дисперсной фазы равны

${\mathbf{v}} = {\mathbf{V}} - \left\langle {{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle $

В этом случае корреляция актуальной концентрации $N\left( {{\mathbf{x}},t} \right)$ и флуктуаций скорости дисперсной фазы равна:

$\left\langle {{\mathbf{v}}N\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle = \int {{\mathbf{v}}\Phi \left( {{\mathbf{X}},{\mathbf{V}},t} \right)d{\mathbf{V}}} = \int {\Phi \left( {{\mathbf{X}},{\mathbf{V}},t} \right)\left( {{\mathbf{V}} - \left\langle {{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle } \right)d{\mathbf{V}}} = 0$

Осреднение уравнения для индикаторной функции (2.1) по ансамблю турбулентных реализаций приводит к незамкнутому уравнению для ФПВ

(2.2)
$\frac{\partial }{{\partial t}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + {\mathbf{V}}\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{x}}}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + \frac{\partial }{{\partial {\mathbf{V}}}}\left\{ {\left[ {\frac{{\left\langle {{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle - {\mathbf{V}}}}{{{{\tau }_{U}}}} + {\mathbf{g}}} \right]\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\} = - \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\left\langle {{\mathbf{\tilde {u}}}\left( t \right)\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\rangle $
где скорость несущей фазы представлена в виде

${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right) = \left\langle {{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle + {\mathbf{u}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right),\quad \left\langle {{\mathbf{u}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)} \right\rangle = 0$

Уравнение (2.2) незамкнуто вследствие наличия корреляции $\left\langle {{\mathbf{\tilde {u}}}\left( t \right)\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\rangle $. Данные прямого численного моделирования турбулентных флуктуаций скорости газа на траектории инерционных частиц [17] свидетельствуют о том, что энергоемкие флуктуации скорости газа на траектории частиц являются случайным процессом Гаусса с автокорреляционной функцией, спадающей по экспоненциальному закону

(2.3)
$\left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right){{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)} \right\rangle = \left\langle {{{u}_{n}}{{u}_{j}}} \right\rangle {{\tilde {\Psi }}_{L}}\left( {t - \xi } \right),\quad {{\tilde {\Psi }}_{L}}\left( t \right) = \exp \left( { - {{\left| t \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| t \right|} {{{{\tilde {T}}}_{L}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\tilde {T}}}_{L}}}}} \right)$

Здесь ${{\tilde {\Psi }}_{L}}\left( t \right)$ – автокорреляционная функция энергоемких флуктуаций скорости газа на траектории частицы, ${{\tilde {T}}_{L}}$ – интегральный временной масштаб

${{\tilde {T}}_{L}} = \int\limits_0^\infty {{{{\tilde {\Psi }}}_{{\text{L}}}}\left( s \right){\text{d}}s} $

Для случайного процесса Гаусса, описывающего флуктуации скорости газа, которые видит частица, раскрытие корреляции в правой части уравнения (2.2) реализуется по формуле Фурутсу–Новикова [14, 15]

(2.4)
$\left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right)\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\rangle = \int\limits_0^t {d\xi \left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right){{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)} \right\rangle \left\langle {\frac{{\delta \varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}}} \right\rangle } $

Здесь ${{\delta \varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta \varphi } {\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}}}$– функциональная производная

(2.5)
$\frac{{\delta \varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} = - \frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)\frac{{\delta {{X}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} - \frac{\partial }{{\partial {{V}_{i}}}}\varphi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)\frac{{\delta {{V}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}}$

Для расчета функциональных производных скорости и координаты частиц из формул (1.3) и (1.4) следует система интегральных уравнений (см., например, [15])

$\frac{{\delta {{V}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} = \frac{{{{\delta }_{{ij}}}}}{{{{\tau }_{U}}}}\exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right) + \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\int\limits_\xi ^t {\exp \left( { - \frac{{t - s}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right){{{\left. {\frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}\left( {{\mathbf{x}},s} \right)} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right|}}_{{{\mathbf{x}}{\text{ = }}{\mathbf{X}}\left( s \right)}}}\frac{{\delta {{X}_{k}}\left( s \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}}ds} $
$\frac{{\delta {{X}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} = {{\delta }_{{ij}}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right] + \int\limits_\xi ^t {\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{t - s}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]{{{\left. {\frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}\left( {{\mathbf{x}},s} \right)} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right|}}_{{{\mathbf{x}}{\text{ = }}{\mathbf{X}}\left( s \right)}}}\frac{{\delta {{X}_{k}}\left( s \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}}ds} $

Аналитического решения системы интегральных уравнений для функциональных производных нет. Поэтому для замыкания уравнения для ФПВ используется градиентная гипотеза: в приближенном решении учитываются только слагаемые линейные по градиентам осредненных параметров дисперсной фазы. В результате получаем приближенное решение для функциональных производных

(2.6)
$\frac{{\delta {{V}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)}} \approx \frac{{{{\delta }_{{ij}}}}}{{{{\tau }_{U}}}}\exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right) + {{\Gamma }_{V}}\left( {t - \xi } \right){{\left. {\frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}\left( {{\mathbf{x}},s} \right)} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right|}_{{{\mathbf{x}}{\text{ = }}{\mathbf{X}}\left( t \right)}}}$
(2.7)
$\frac{{\delta {{X}_{i}}\left( t \right)}}{{\delta {{u}_{j}}\left( \xi \right)}} \approx {{\delta }_{{ij}}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right] + {{\left. {{{\tau }_{U}}{{\Gamma }_{X}}\left( {t - \xi } \right)\frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}\left( {{\mathbf{x}},s} \right)} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right|}_{{{\mathbf{x}}{\text{ = }}{\mathbf{X}}\left( t \right)}}}$

Здесь функции ${{\Gamma }_{V}}\left( {t - \xi } \right)$, ${{\Gamma }_{X}}\left( {t - \xi } \right)$ равны

${{\Gamma }_{V}}\left( {t - \xi } \right) = 1 - \exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)\left( {1 + \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)$
${{\Gamma }_{X}}\left( {t - \xi } \right) = \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}\left[ {1 + \exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right] - 2\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{t - \xi }}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]$

Последовательная подстановка выражений (2.6), (2.7) в (2.5) и (2.4) приводит к замкнутому уравнению для ФПВ

(2.8)
$\begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial t}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + {{V}_{i}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right) + \frac{\partial }{{\partial {{V}_{i}}}}\left\{ {\left( {\frac{{\left\langle {{{U}_{i}}} \right\rangle + {{\tau }_{U}}{{g}_{i}} - {{V}_{i}}}}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)} \right\} = \\ \, = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}{{f}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\partial {{V}_{i}}\partial {{V}_{j}}}} + {{q}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{V}},t} \right)}}{{\partial {{V}_{i}}\partial {{x}_{j}}}} \\ \end{gathered} $

Здесь функции отклика равны

${{f}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle = f_{U}^{{\left( 0 \right)}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle + f_{U}^{{\left( 1 \right)}}{{\tau }_{U}}\frac{1}{2}\left[ {\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{k}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{U}_{j}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} + \left\langle {{{u}_{j}}{{u}_{k}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right]$
${{q}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle = q_{U}^{{\left( 0 \right)}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle + q_{U}^{{\left( 1 \right)}}{{\tau }_{U}}\frac{1}{2}\left[ {\left\langle {{{u}_{j}}{{u}_{k}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{U}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} + \left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{k}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{U}_{j}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right]$

Коэффициенты в этих выражениях рассчитываются по автокорреляционной функции флуктуации скорости газа на траектории частицы

$f_{U}^{{\left( 0 \right)}} = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\int\limits_0^\infty {\exp \left( { - \frac{s}{{{{\tau }_{U}}}}} \right){{{\tilde {\Psi }}}_{L}}\left( s \right)ds} ,\quad f_{U}^{{\left( 1 \right)}} = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\int\limits_0^\infty {\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{s}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)\left( {1 + \frac{s}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]{{{\tilde {\Psi }}}_{L}}\left( s \right)ds} $
$q_{U}^{{\left( 0 \right)}} = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\int\limits_0^\infty {\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{s}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]{{{\tilde {\Psi }}}_{L}}\left( s \right)ds} = \frac{{{{{\tilde {T}}}_{{\text{L}}}}}}{{{{\tau }_{U}}}} - f_{U}^{{\left( 0 \right)}}$
$q_{U}^{{\left( 1 \right)}} = \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\int\limits_0^\infty {\left\{ {\frac{s}{{{{\tau }_{U}}}}\left[ {1 + \exp \left( { - \frac{s}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right] - 2\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{s}{{{{\tau }_{U}}}}} \right)} \right]} \right\}{{{\tilde {\Psi }}}_{L}}\left( s \right)ds} $

Корреляцию скорости газа на траектории частицы в формуле (2.4) представляем как

$\int\limits_0^t {\psi \left( {t - \xi } \right)\left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right){{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)} \right\rangle {\text{d}}\xi } = \int\limits_0^t {\psi \left( {t - \xi } \right)\left\langle {{{u}_{n}}\left( {{\mathbf{X}}\left( t \right),t} \right){{u}_{j}}\left( {{\mathbf{X}}\left( \xi \right),\xi } \right)} \right\rangle {\text{d}}\xi } $
где $\psi \left( t \right)$ – произвольная функция времени.

Используем представление через функцию плотности вероятности перехода (см., например, [18])

$\int\limits_0^t {\psi \left( {t - \xi } \right)\left\langle {{{{\tilde {u}}}_{n}}\left( t \right){{{\tilde {u}}}_{j}}\left( \xi \right)} \right\rangle d\xi } \approx \left\langle {{{u}_{n}}{{u}_{j}}} \right\rangle \int {d{\mathbf{y}}} \int\limits_0^t {dt'\psi \left( {t - \xi } \right){{\Psi }_{{\text{E}}}}\left( {{\mathbf{y}},t - \xi } \right)G\left( {{\mathbf{y}},t - \xi } \right)} $

Здесь ${{\Psi }_{{\text{E}}}}\left( t \right)$ – автокорреляционная функция Эйлера; $G\left( {{\mathbf{y}},t - \xi } \right)$ – плотность вероятности перехода частиц в случайном поле скорости газа

$G\left( {{\mathbf{y}},t - t{\kern 1pt} '} \right) = \left\langle {\delta \left( {{\mathbf{y}} - \left[ {{\mathbf{X}}\left( t \right) - {\mathbf{X}}\left( \xi \right)} \right]} \right)} \right\rangle = \left\langle {\delta \left( {{\mathbf{y}} - \int\limits_\xi ^t {{\mathbf{V}}\left( s \right)ds} } \right)} \right\rangle $

Функция плотности вероятности перехода позволяет учесть эффект “пересечения траекторий”, вызванный осредненным скольжением фаз. При течении газовзвеси в канале с шероховатыми стенками потеря импульса отраженных частиц может приводить к скоростному скольжению фаз, существенно большему скорости витания.

3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОМЕНТОВ

Уравнение для ФПВ (2.8) содержит всю необходимую информацию для получения замкнутой системы уравнений для моментов и вывода граничных условий. Приближенное решение уравнения (2.8) с учетом слагаемых пропорциональных первой степени градиентов осредненных параметров дисперсной фазы имеет вид [15]

(3.1)
$\begin{gathered} \Phi \approx \left\langle N \right\rangle {{\Phi }^{{\left( 0 \right)}}}\left\{ {1 + \frac{1}{2}\left( {1 - {{\delta }_{{ij}}}} \right)\sigma _{{ij}}^{{\left( 0 \right)}}\frac{{{{{v}}_{i}}{{{v}}_{j}}}}{{\left\langle {{v}_{j}^{2}} \right\rangle \left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }}} \right. - \frac{{{{\tau }_{U}}}}{{2\left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }}({{{v}}_{j}}{{{v}}_{i}} - {{\delta }_{{ij}}}{v}_{i}^{2})\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{j}}}} - \\ \, - \left. {\frac{1}{3}\frac{{{{{v}}_{j}}}}{{\left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle \left\langle {{v}_{j}^{2}} \right\rangle }}\left[ {\frac{1}{2}\frac{{{v}_{i}^{2}}}{{\left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }} - \left( {{{\delta }_{{ij}}} + \frac{1}{2}} \right)} \right]{{D}_{{jk}}}\frac{{\partial \left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right\} \\ \end{gathered} $

Здесь ${{\delta }_{{ij}}}$ – символ Кронекера, ${{D}_{{jk}}} = {{\tau }_{U}}(\left\langle {{{{v}}_{j}}{{{v}}_{k}}} \right\rangle + q_{U}^{{\left( 0 \right)}}\left\langle {{{u}_{j}}{{u}_{k}}} \right\rangle )$ – коэффициент турбулентного переноса; ${{\Phi }^{{\left( 0 \right)}}}$ – равновесная ФПВ

${{\Phi }^{{\left( 0 \right)}}} = \prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{1}{{{{{(2\pi \left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle )}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}\exp \left( { - \frac{{{v}_{i}^{2}}}{{2\left\langle {{v}_{i}^{2}} \right\rangle }}} \right)} $

Вторые моменты флуктуаций скорости дисперсной фазы в формуле (3.1) равны

$\left\langle {{{{v}}_{i}}{{{v}}_{k}}} \right\rangle \left\langle N \right\rangle = \int {\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},t} \right){{{v}}_{i}}{{{v}}_{k}}d{\mathbf{v}}} $

Предполагается, что в ФПВ (3.1) осредненные параметры дисперсной фазы зависят от времени и пространственной переменной. Коэффициент $\sigma _{{ij}}^{{\left( 0 \right)}}$ в (3.1) равен

$\sigma _{{ij}}^{{\left( 0 \right)}} = {{f}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle - \frac{1}{2}{{\tau }_{U}}q_{U}^{{\left( 0 \right)}}\left( {\left\langle {{{u}_{k}}{{u}_{j}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} + \left\langle {{{u}_{k}}{{u}_{i}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{V}_{j}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right)$

Замкнутая система уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости дисперсной фазы имеет следующий вид.

Уравнение для осредненной концентрации дисперсной фазы

$\frac{{\partial \left\langle N \right\rangle }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle \left\langle N \right\rangle }}{{\partial {{x}_{i}}}} = 0$

Уравнение для осредненной скорости дисперсной фазы

$\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial t}} + \left\langle {{{V}_{k}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} + \frac{{\partial \left\langle {{{{v}}_{i}}{{{v}}_{k}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} = \frac{{\left\langle {{{U}_{i}}} \right\rangle + {{\tau }_{U}}{{g}_{i}} - \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle }}{{{{\tau }_{U}}}} - \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}{{D}_{{ik}}}\frac{{\partial \ln \left\langle N \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}$

Уравнение для вторых моментов флуктуаций скорости дисперсной фазы

$\frac{{\partial \left\langle {{{{v}}_{i}}{{{v}}_{j}}} \right\rangle }}{{\partial t}} + \left\langle {{{V}_{k}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{{{v}}_{i}}{{{v}}_{j}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} + \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}\left( {{{D}_{{jk}}}\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{i}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} + {{D}_{{ik}}}\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{j}}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}} \right) + \frac{1}{{\left\langle N \right\rangle }}\frac{{\partial \left\langle {{{{v}}_{i}}{{{v}}_{j}}{{{v}}_{k}}} \right\rangle \left\langle N \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}} = \frac{2}{{{{\tau }_{U}}}}\left( {{{f}_{U}}\left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{j}}} \right\rangle - \left\langle {{{{v}}_{i}}{{{v}}_{j}}} \right\rangle } \right)$

Здесь третьи моменты равны

$\left\langle N \right\rangle \left\langle {{v}_{i}^{2}{{{v}}_{j}}} \right\rangle = \int {{v}_{i}^{2}{{{v}}_{j}}\Phi \left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},t} \right){\text{d}}{\mathbf{v}}} = - \left\langle N \right\rangle \frac{{2{{\delta }_{{ij}}} + 1}}{3}{{D}_{{jk}}}\frac{{\partial \left\langle {{v}_{j}^{2}} \right\rangle }}{{\partial {{x}_{k}}}}$

4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Как будет видно из результатов расчетов для интерпретации экспериментальных данных [9], можно задать небольшую степень шероховатости стенки канала. Поэтому не учитывается спин частиц. При столкновении с поверхностью импульс отраженных частиц связан с импульсом падающих частиц следующим образом:

${\mathbf{V}}_{\tau }^{{''}} = {{k}_{\tau }}{\mathbf{V}}_{\tau }^{'},\quad {\mathbf{V}}_{n}^{{''}} = - {{k}_{n}}{\mathbf{V}}_{n}^{'}$
где $0 < {{k}_{n}},$ ${{k}_{\tau }} \leqslant 1$ – коэффициенты восстановления импульса, Vτ, Vn – касательная и нормальная компоненты скорости частиц; одним штрихом обозначены скорости падающих частиц, двумя штрихами – отраженных.

Шероховатость стенок плоского канала моделируем как плоскости, случайно наклоненные к оси канала (см., например, [2]) (рис. 1). Случайный угол наклона плоскости $0 \leqslant \alpha \leqslant {{\alpha }_{{\max }}}$ имеет равномерное распределение.

Рис. 1.

Схема столкновения частиц с плоскостью, моделирующей шероховатость стенки.

При столкновении частиц с шероховатой поверхностью аксиальная компонента скорости дает существенный вклад в компоненту отраженной скорости, нормальную к оси канала. Это приводит к существенной генерации интенсивности хаотического движения частиц поперек канала по сравнению с каналом, имеющим гладкие стенки. В результате осреднения по углу наклона случайных плоскостей получаются формулы для расчета аксиальной и нормальной к оси канала компонент скорости дисперсной фазы [15]

$V_{x}^{{''}} = \langle k_{\tau }^{*}\rangle V_{x}^{'},\quad V_{y}^{{''}} = - \langle k_{n}^{*}\rangle V_{y}^{'}$

Здесь эффективные коэффициенты восстановления импульса частиц в шероховатом канале имеют вид

$\langle k_{n}^{'}\rangle = \frac{1}{{4{{\alpha }_{{\max }}}}}\left\{ {\left( {{{k}_{n}} + {{k}_{\tau }}} \right)\left[ { - 2\frac{{\langle V_{x}^{'}\rangle }}{{\langle V_{y}^{'}\rangle }}(1 - {{{\cos }}^{2}}{{\alpha }_{{\max }}}) + \sin \left( {2{{\alpha }_{{\max }}}} \right)} \right] + 2\left( {{{k}_{n}} - {{k}_{\tau }}} \right){{\alpha }_{{\max }}}} \right\}$
$\langle k_{\tau }^{'}\rangle = \frac{1}{{4{{\alpha }_{{\max }}}}}\left\{ {\left( {{{k}_{n}} + {{k}_{\tau }}} \right)\left( {\sin \left( {2{{\alpha }_{{\max }}}} \right) + 2{{{\sin }}^{2}}\left( {{{\alpha }_{{\max }}}} \right)\frac{{\langle V_{y}^{'}\rangle }}{{\langle V_{x}^{'}\rangle }}} \right) - 2{{\alpha }_{{\max }}}\left( {{{k}_{n}} - {{k}_{\tau }}} \right)} \right\}$
где αmax – максимальный угол наклона шероховатости, $\langle V_{y}^{'}\rangle < 0$.

На рис. 2 показана зависимость эффективных коэффициентов восстановления импульса в шероховатом канале. Видно, что коэффициент восстановления импульса в поперечном направлении может быть $ \gg {\kern 1pt} 1$.

Рис. 2.

Эффективные коэффициенты восстановления импульса в шероховатом канале; ${{k}_{n}} = 0.5,$ ${{k}_{\tau }} = 0.8,$ ${{\langle V_{x}^{'}\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\langle V_{x}^{'}\rangle } {\langle V_{y}^{'}\rangle }}} \right. \kern-0em} {\langle V_{y}^{'}\rangle }} = - 10$; 1$\langle k_{\tau }^{*}\rangle $, 2$\langle k_{n}^{*}\rangle $.

Вывод граничных условий для первых и вторых моментов также основан на приближенном решении уравнения для ФПВ (3.1). Рассчитываются потоки концентрации, осредненного импульса, дисперсии скорости частиц, переносимые падающими и отраженными от стенки потоками дисперсной фазы. Сумма падающего и отраженного потоков вблизи стенки приравнивается потоку в течении.

5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Предложенная модель сопоставляется с экспериментальными данными, полученными при нисходящем течении газовзвеси в вертикальном плоском канале. Приведем систему уравнений для моментов и соответствующих граничных условий для численного моделирования экспериментальных условий [9]. Опытные данные представлены для установившегося течения. Расчеты проведены путем решения системы нестационарных уравнений переноса до достижения стационарного состояния. Ось $0 \leqslant y \leqslant h$ направлена от стенки в поток (h – полуширина канала), ось $x \geqslant 0$ направлена по скорости потока. При записи системы уравнений для моментов учитываются только слагаемые линейные по градиентам осредненных параметров дисперсной фазы.

Уравнение для концентрации примеси имеет вид

$\frac{{{\text{d}}\left\langle N \right\rangle }}{{{\text{d}}t}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left\{ {{{D}_{{yy}}}\frac{{\partial \left\langle N \right\rangle }}{{\partial y}} - {{\tau }_{U}}\left\langle N \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right\}$
где ${{D}_{{yy}}} = {{\tau }_{U}}(\langle {v}_{y}^{2}\rangle + q_{U}^{{\left( 0 \right)}}\langle u_{y}^{2}\rangle )$ – коэффициент турбулентной диффузии частиц в поперечном направлении. Из уравнения видно, что распределение концентрации примеси регулируется турбулентной диффузией и силой турбофореза, направленной в сторону снижения амплитуды поперечных флуктуаций скорости частиц.

Граничные условия отражают отсутствие потоков дисперсной фазы в центре и на границе канала:

${{\left. {\left\{ {{{D}_{{yy}}}\frac{{\partial \left\langle N \right\rangle }}{{\partial y}} - {{\tau }_{U}}\left\langle N \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right\}} \right|}_{\begin{subarray}{l} y = 0 \\ y = h \end{subarray} }} = 0$

Уравнение для аксиальной скорости дисперсной фазы имеет вид:

$\frac{{{\text{d}}\left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle }}{{{\text{d}}t}} = \frac{{\left\langle {{{U}_{x}}} \right\rangle + {{\tau }_{U}}{{g}_{x}} - \left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle }}{{{{\tau }_{U}}}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {f_{U}^{{\left( 0 \right)}}{{\nu }_{t}}\frac{{\partial \left\langle {{{U}_{x}}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{2}{{D}_{{yy}}}\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right)$

Граничные условия симметрии и потери аксиального импульса при столкновении с шероховатой стенкой канала записываются как

${{\left. {\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right|}_{{y = h}}} = 0,\quad {{\left. {\left\{ {\frac{{1 - \langle k_{\tau }^{ * }\rangle }}{{1 + \langle k_{\tau }^{ * }\rangle }}{{{\left( {\frac{2}{\pi }\left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle } \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle - \frac{1}{2}{{D}_{{yy}}}\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right\}} \right|}_{{y = 0}}} = 0$

Уравнение для дисперсии флуктуаций скорости дисперсной фазы в поперечном направлении

$\frac{{{\text{d}}\left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle }}{{{\text{d}}t}} = \frac{2}{{{{\tau }_{U}}}}\left( {{{f}_{U}}\left\langle {u_{y}^{2}} \right\rangle - \left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle } \right) + \frac{1}{{\left\langle N \right\rangle }}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\left\langle N \right\rangle {{D}_{{yy}}}\frac{{\partial \left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right)$

Граничные условия симметрии и генерации поперечной компоненты импульса на шероховатой стенке канала имеют вид

${{\left. {{{{\left. {\frac{{\partial \left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right|}}_{{y = h}}} = 0,\quad \left\{ {2\frac{{1 - {{{\langle k_{n}^{*}\rangle }}^{2}}}}{{1 + {{{\langle k_{n}^{*}\rangle }}^{2}}}}{{{\left( {\frac{2}{\pi }\left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle } \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle - {{D}_{{yy}}}\frac{{\partial \left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right\}} \right|}_{{y = 0}}} = 0$

Уравнение для дисперсии аксиальных флуктуаций скорости дисперсной фазы

$\frac{{{\text{d}}\left\langle {{v}_{x}^{2}} \right\rangle }}{{{\text{d}}t}} = - \frac{2}{{{{\tau }_{U}}}}{{D}_{{xy}}}\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle }}{{\partial y}} + \frac{2}{{{{\tau }_{U}}}}\left( {\left\langle {u_{x}^{2}} \right\rangle {{f}_{U}} - \left\langle {{v}_{x}^{2}} \right\rangle } \right) + \frac{1}{{\left\langle N \right\rangle }}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\left\langle N \right\rangle \frac{{{{D}_{{yy}}}}}{3}\frac{{\partial \left\langle {{v}_{x}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right)$
где ${{D}_{{xy}}} = {{\tau }_{U}}\left( {\left\langle {{{{v}}_{x}}{{{v}}_{y}}} \right\rangle + q_{U}^{{\left( 0 \right)}}\left\langle {{{u}_{x}}{{u}_{y}}} \right\rangle } \right)$ – коэффициент турбулентного переноса аксиальной компоненты импульса дисперсной фазы.

Граничные условия симметрии и потери аксиальной компоненты импульса имеют вид:

${{\left. {{{{\left. {\frac{{\partial \left\langle {{v}_{x}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right|}}_{{y = h}}} = 0,\quad \left\{ {\frac{{1 - {{{\langle k_{\tau }^{*}\rangle }}^{2}}}}{{1 + {{{\langle k_{\tau }^{*}\rangle }}^{2}}}}{{{\left( {\frac{2}{\pi }\left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle } \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\left\langle {{v}_{x}^{2}} \right\rangle - \frac{1}{3}{{\tau }_{U}}\left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{v}_{x}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right\}} \right|}_{{y = 0}}} = 0$

Уравнение для касательных турбулентных напряжений в дисперсной фазе записывается как

$\frac{{{\text{d}}\left\langle {{{{v}}_{x}}{{{v}}_{y}}} \right\rangle }}{{{\text{d}}t}} = - \frac{1}{{{{\tau }_{U}}}}{{D}_{{yy}}}\frac{{\partial \left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle }}{{\partial y}} + \frac{2}{{{{\tau }_{U}}}}(f_{U}^{{\left( 0 \right)}}\left\langle {{{u}_{x}}{{u}_{y}}} \right\rangle - \left\langle {{{{v}}_{x}}{{{v}}_{y}}} \right\rangle ) + \frac{1}{{\left\langle N \right\rangle }}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\left\langle N \right\rangle \frac{1}{3}{{D}_{{xy}}}\frac{{\partial \left\langle {{v}_{y}^{2}} \right\rangle }}{{\partial y}}} \right)$

Время динамической релаксации частиц рассчитывается следующим образом:

${{\tau }_{U}}\left( {{{{\operatorname{Re} }}_{p}}} \right) = \frac{{\tau _{U}^{{\left( 0 \right)}}}}{{1 + 0.15\operatorname{Re} _{p}^{{0.687}}}},\quad \tau _{U}^{{\left( 0 \right)}} = \frac{1}{{18}}\frac{{{{\rho }_{p}}}}{{{{\rho }_{g}}}}\frac{{d_{p}^{2}}}{{{{\nu }_{g}}}},\quad {{\operatorname{Re} }_{p}} = \frac{{{{d}_{p}}W}}{{{{\nu }_{g}}}},\quad W = \left| {\left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle - \left\langle {{{U}_{x}}} \right\rangle } \right|$

Здесь $\tau _{U}^{{\left( 0 \right)}}$ – время динамической релаксации в приближении Стокса, dp – диаметр частиц, ${{\rho }_{g}},\;{{\rho }_{p}}$ – плотности материала газа и частиц, ${{\nu }_{g}}$ – коэффициент кинематической вязкости газа, Rep – число Рейнольдса обтекания частиц, W – модуль относительной скорости частиц.

Учитывается влияние относительного скольжения фаз на интегральный временной масштаб флуктуаций скорости газа на траектории частицы [18]

${{\tilde {T}}_{{\text{L}}}} = \frac{{{{T}_{{\text{E}}}}}}{{\sqrt {1 + \chi _{{\text{E}}}^{2}f_{U}^{{\left( 0 \right)}}} }}\sqrt {\frac{\pi }{2}} \frac{1}{{{{\chi }_{{\text{E}}}}\gamma {\kern 1pt} *}}\operatorname{erf} \left( {\frac{{{{\chi }_{{\text{E}}}}\gamma {\kern 1pt} *}}{{\sqrt 2 }}} \right),\quad \gamma {\kern 1pt} * = \frac{\gamma }{{\sqrt {1 + \chi _{E}^{2}{{{(f_{U}^{{\left( 0 \right)}})}}^{2}}} }}$
где ${{T}_{{\text{E}}}}$ – интегральный временной масштаб Эйлера в системе координат, движущейся с осредненной скоростью газового потока, $\gamma = {{\left| W \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| W \right|} u}} \right. \kern-0em} u}$ – коэффициент скоростного скольжения, u = = $\sqrt {{{2E} \mathord{\left/ {\vphantom {{2E} 3}} \right. \kern-0em} 3}} $ – среднеквадратичная скорость турбулентных флуктуаций газа, $E$ – турбулентная энергия единицы массы газа, ${{\chi }_{E}} = 1$ – параметр, связанный с отношением интегральных временных масштабов Лагранжа ${{T}_{L}}$ и Эйлера, выбирается из условия ${{{{T}_{L}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{L}}} {{{T}_{E}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{E}}}} \approx 0.7$.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Расчет параметров несущей фазы проведен на основе простой двухпараметрической модели турбулентности [19]. Мы полагаем, что наличие малой шероховатости канала, меньше толщины вязкого подслоя, не меняет параметров турбулентности по сравнению со случаем абсолютно гладких стенок.

Дисперсия аксиальных флуктуаций скорости газа оценивается как $\left\langle {u_{x}^{2}} \right\rangle = E$. Дисперсия нормальных флуктуаций скорости газа рассчитывается по формуле, согласующейся с данными прямого численного моделирования [20]

$\left\langle {u_{y}^{2}} \right\rangle = \frac{1}{3}E{{\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{{{y}_{ + }}}}{A}} \right)} \right]}^{4}},\quad A \approx 11$
где ${{y}_{ + }}$ – расстояние от стенки канала в универсальных переменных.

Интегральный временной масштаб Эйлера в универсальных переменных ${{T}_{{{\text{E}} + }}}$ оценивается по формуле

${{T}_{{{\text{E + }}}}} = \max \left( {10,\frac{{\zeta {{E}_{ + }}}}{{{{\varepsilon }_{ + }}}}} \right),\quad \zeta = 0.3$
где ${{E}_{ + }},\;{{\varepsilon }_{ + }}$ – турбулентная энергия и диссипация в универсальных переменных.

Расчет реализован методом прямых на консервативной разностной схеме со сгущением узлов вблизи стенки канала [21].

На рис. 3 представлено распределение безразмерной концентрации дисперсной примеси (масштаб концентрации – ее среднее значение по сечению канала). Для идеально гладкого канала максимум концентрации примеси расположен на стенке и достигает существенных величин, что согласуется с данными прямого численного моделирования [10, 11]. Далее результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными работы [9], в которой авторы используют гладкие поверхности канала. Понятие технической “гладкости канала” не исключает микрошероховатость, которая также может появиться при проведении экспериментов в результате эрозионного воздействия дисперсной примеси. Как отмечалось выше, для абсолютно гладких поверхностей максимум концентрации на стенке во много раз превосходит значение концентрации в ядре течения. Поэтому мы для интерпретации результатов экспериментов [9] предложили малую шероховатость омываемой поверхности. Конкретный угол наклона (${{\alpha }_{{\max }}} \approx 1.3^\circ $) выбирался эмпирическим путем и в дальнейших расчетах не менялся.

Рис. 3.

Распределение безразмерной концентрации частиц поперек канала. Точки – экспериментальные данные, линии – результаты расчета: штриховая линия для частиц dp = 50 мкм при ${{\alpha }_{{\max }}} = 0^\circ $, сплошные линии при ${{\alpha }_{{\max }}} = 1.3^\circ $; 1dp = 50 мкм, 2dp = 70 мкм.

Для канала с небольшой шероховатостью появляется новый эффект, связанный с дополнительной генерацией нормальных к стенке флуктуации скорости дисперсной фазы, что приводит к более равномерному распределению концентрации дисперсной примеси в сечении канала. На рис. 4 и 5 иллюстрируется распределение дисперсии нормальных к стенке флуктуаций скорости частиц (${{U}_{{\text{c}}}}$ – скорость газа в центре канала). Видно, что для шероховатой стенки изменение дисперсии нормальных флуктуаций скорости дисперсной фазы немонотонно, что обусловливает принципиальное отличие в распределении концентрации дисперсной фазы в каналах с шероховатой и гладкими стенками.

Рис. 4.

Распределение дисперсии нормальных флуктуаций скорости поперек канала несущей и дисперсной фазы для dp = 50 мкм. Линии – расчет, точки – экспериментальные данные: 1 – несущая фаза, 2 – дисперсная фаза.

Рис. 5.

Распределение дисперсии нормальных флуктуаций скорости поперек канала несущей и дисперсной фазы для ${{d}_{p}} = 70$ мкм.

В результате диффузионного переноса аксиального импульса дисперсной фазы к стенке канала возникает новый эффект: интенсивность флуктуаций скорости частиц в аксиальном направлении становится даже выше, чем у несущей фазы (рис. 6 и 7). Это принципиально новый эффект, связанный с существенной неоднородностью поля турбулентных флуктуаций газа при течении в каналах. Для свободной турбулентности интенсивность флуктуационного движения частиц всегда меньше, чем у газа.

Рис. 6.

Распределение дисперсии аксиальных флуктуаций скорости поперек канала несущей и дисперсной фазы. Точки – экспериментальные данные, кривые – расчет: 1 – газ; 2 – частицы dp = 50 мкм.

Рис. 7.

Распределение дисперсии аксиальных флуктуаций скорости поперек канала несущей и дисперсной фазы частиц dp = 70 мкм. Подписи как на рис. 6.

Вследствие инерционного пробега частиц к стенке аксиальная скорость дисперсной фазы на стенке не равна нулю (рис. 8). Потеря импульса отраженных частиц приводит к заметному скоростному скольжению дисперсной и несущей фаз.

Рис. 8.

Распределение осредненной аксиальной скорости несущей и дисперсной фазы поперек канала для dp = 50 мкм. Точки – экспериментальные данные, кривые – расчет: 1 – несущая фаза; 2 – дисперсная фаза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе современного математического аппарата теории случайных процессов и методов функционального анализа построена замкнутая система уравнений для первых и вторых моментов флуктуаций скорости дисперсной фазы. Выведена система граничных условий, учитывающих преобразование нормальной и аксиальной скорости частиц при соударении с шероховатой поверхностью. Представлены результаты расчетов распределения параметров инерционных частиц в плоском вертикальном канале. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с современными экспериментальными данными.

Показано, что даже сравнительно небольшая шероховатость стенок канала приводит к дополнительной генерации поперечных флуктуаций скорости дисперсной фазы, что качественно меняет характер распределения концентрации примеси по сечению канала по сравнению с гладкими стенками. Проиллюстрирован новый эффект турбулентного диффузионного переноса аксиальной компоненты импульса к стенке канала, в результате которого дисперсия аксиальных флуктуаций скорости дисперсной фазы становится выше, чем у газа.

Список литературы

  1. Kussin J., Sommerfeld M. Experimental studies on particle behaviour and turbulence modification in horizontal channel flow with different wall roughness // Exp. Fluids. 2002. V. 33. P. 143–159. https://doi.org/10.1007/s00348-002-0485-9

  2. Sommerfeld M., Kussin J. Wall roughness effects on pneumatic conveying of spherical particles in a narrow horizontal channel // Int. J. Multiph. Flow. 2004. V. 142. P. 180–192. https://doi.org/10.1016/j.powtec.2004.05.002

  3. Benson M., Tanaka T., and Eaton J.K. Effects of Wall Roughness on Particle Velocities in a Turbulent Channel Flow // J. Fluids Eng. 2004. V. 127. P. 250–256. https://doi.org/10.1115/1.1891149

  4. Squires K.D., Simonin O. LES–DPS of the effect of wall roughness on dispersed-phase transport in particle-laden turbulent channel flow // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2006. V. 27. 619–626. https://doi.org/10.1016/j.ijheat?uid?ow.2006.02.009

  5. Konan N.A., Kannengieser O., and Simonin O. Stochastic modeling of the multiple rebound effects for particle-rough wall collisions // Int. J. Multiph. Flow. 2009. V. 35. P. 933–945. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2009.05.006

  6. Vreman A.W. Turbulence attenuation in particle-laden flow in smooth and rough channels // J. Fluid Mech. 2015. V. 773. P. 103–136. https://doi.org/10.1017/jfm.2015.208

  7. Radenkovic D., Simonin O. Stochastic modelling of three-dimensional particle rebound from isotropic rough wall surface // Int. J. Multiph. Flow.2018. V. 109. P. 35–50. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2018.07.013

  8. Milici B. Modification of particle laden near-wall turbulence in a vertical channel bounded by rough walls // Int. J. Multiph. Flow. 2018. V. 103. P. 151–168. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphase?ow.2018.02.020

  9. Fong K.O., Amili O., and Coletti F. Velocity and spatial distribution of inertial particles in a turbulent channel flow // J. Fluid Mech. 2019. V. 872. P. 367–406. https://doi.org/10.1017/jfm.2019.355

  10. Dong L., Anyang W., Kun L., and Jianren F. Direct numerical simulation of a particle-laden flow in a flat plate boundary layer // Int. J. Multiph. Flow. 2016. V. 79. P. 124–143. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphase?ow.2015.10.011

  11. Bernardini M. Reynolds number scaling of inertial particle statistics in turbulent channel flows // J. Fluid Mech. 2014. V. 758. R1. https://doi.org/10.1017/jfm.2014.561

  12. Reeks M.W. On the continuum equations for dispersed particles in non-uniform flows. Phys. Fluids A. 1992. V. 446. P. 1290–1303. https://doi.org/10.1063/1.858247

  13. Liang G.Y., Cao L., and Wu D.J. Approximate Fokker–Planck equation of system driven by multiplicative colored noises with colored cross-correlation // Physica A. 2004. V. 335. P. 371–384. https://doi.org/10.1016/j.physa.2003.12.023

  14. Klyatskin V.I. Stochastic Equations Through the Eye of the Physicist. Amsterdam.: Elsevier Publ. Company, 2005.

  15. Derevich I.V., Shchadinskiy D.M., and Tun Z.H. Probabilistic model of dispersed turbulent flow in channels with rough walls // Aerosol Sci. Technol. 2020. V. 54. Iss. 8. https://doi.org/10.1080/02786826.2020.1739617

  16. Kolmogorov A.N. Foundations of the Theory of Probability. Dover Books on Mathematics, 2013.

  17. Wetchagaruna S., Riley J.J. Dispersion and temperature statistics of inertial particles in isotropic turbulence // Phys. Fluids. 2010. V. 22. 063301-1–15. https://doi.org/10.1063/1.3392772

  18. Derevich I.V. Spectral diffusion model of heavy inertial particles in a random velocity field of the continuum medium // Themophys. Aeromech. 2015. V. 22. P. 143–162. https://doi.org/10.1134/S086986431502002X

  19. Herrero J., Grau F.X., Grifoll J., Giralt F. A near wall k-epsilon formulation for high Prandtl number heat transfer // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. V. 34. P. 711–721. https://doi.org/10.1016/0017-9310(91)90119-Y

  20. Kim J., Moin P., and Moser R.J. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 1987. V. 177. P. 133–166. https://doi.org/10.1017/S0022112087000892

  21. Derevich I.V., Klochkov A.K. Analytical and numerical solution of the equation for the probability density function of the particle velocity in a turbulent flow // J. Eng. Phys. Thermophys. 2020. V. 93. P. 1043–1054. https://doi.org/10.1007/s10891-020-02206-4

Дополнительные материалы отсутствуют.