Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 4, стр. 69-76
ЗАДАЧА КОШИ–ПУАССОНА ДЛЯ ЖИДКОСТИ СО СДВИГОВЫМ ТЕЧЕНИЕМ И НЕРАВНОМЕРНО СЖАТЫМ ЛЕДЯНЫМ ПОКРОВОМ
И. В. Стурова *
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирск, Россия
* E-mail: sturova@hydro.nsc.ru
Поступила в редакцию 14.02.2022
После доработки 15.03.2022
Принята к публикации 15.03.2022
- EDN: DBBGZQ
- DOI: 10.31857/S0568528122040107
Аннотация
В линейном приближении решена трехмерная нестационарная задача о генерации изгибно-гравитационных волн, вызванных начальным осесимметричным возмущением жидкости, на поверхности которой плавает безграничный ледяной покров, моделируемый тонкой упругой пластиной с учетом продольных, поперечных и сдвиговых сжимающих усилий. В невозмущенном состоянии обе горизонтальные компоненты скорости жидкости линейно меняются по глубине. Получено интегральное представление решения, описывающего поведение ледяного покрова.
В последние десятилетия активно исследуются волновые движения, возникающие в жидкости, которая ограничена сверху плавающей тонкой упругой пластиной. Это необходимо для проектирования и эксплуатации искусственных платформ больших размеров, а также учета плавающего ледяного покрова [1]. Волны, возникающие в такой жидкости, называются изгибно-гравитационными (ИГВ), так как их свойства зависят как от свойств жидкости, так и от свойств упругого покрытия. К настоящему времени сравнительно хорошо исследованы процессы генерации, развития и распространения пространственных ИГВ в покоящейся в невозмущенном состоянии среде или в потоке жидкости, текущей с постоянной по глубине скоростью (см., например, [2]). Однако в реальных морских условиях вертикальное распределение скорости течения в некоторых случаях показывает значительные изменения величины и направления по глубине. Этот факт свидетельствует о том, что исследование ИГВ следует проводить также в рамках таких теоретических моделей, которые учитывают вертикальную структуру течений. Большое число исследований посвящено развитию вынужденных поверхностных волн при наличии сдвиговых течений в жидкости под свободной поверхностью (см. библиографию в [3, 4]). Трехмерные задачи о поведении ИГВ в жидкости со сдвиговым течением пока не рассматривались.
Наиболее простой нестационарной задачей в волновой гидродинамике является так называемая задача Коши-Пуассона о развитии во времени начального возмущения на верхней границе жидкости. В данной работе представлено решение линейной задачи о генерации волн, вызванных начальным осесимметричным возмущением в жидкости под ледяным покровом, который моделируется тонкой упругой пластиной с учетом продольных, поперечных и сдвиговых сжимающих усилий. Сплошной безграничный ледяной покров плывет на поверхности потока жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Построено интегральное представление решения, описывающее поведение ледяного покрова. Двумерный случай этой задачи исследован в [5].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим безграничный в горизонтальных направлениях поток идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины H с вертикальным сдвигом скорости. Система декартовых координат $x,y,z$ введена так, что оси $x$ и $y$ лежат на невозмущенной горизонтальной верхней границе жидкости, а ось $z$ направлена вертикально вверх. Вектор скорости невозмущенного потока обозначим ${\mathbf{V}} = (U(z),V(z),0)$, где компоненты скорости вдоль осей $x$ и $y$ имеют линейную зависимость
На поверхности потока жидкости плавает сплошной ледяной покров, который моделируется тонкой упругой пластиной постоянной толщины и плотности. Предполагается, что в упругой пластине существуют продольные, поперечные и сдвиговые напряжения, и во все моменты времени жидкость находится в контакте с пластиной. Схема течения приведена на рис. 1.
В начальный момент времени t = 0 верхняя граница жидкости отклоняется от невозмущенного горизонтального положения. Обозначим ${\mathbf{v}} = (u,{v},w)$ возникающие возмущения скорости жидкости, которые предполагаются малыми. Развитие последующего волнового движения в жидкости описывается линеаризованными уравнениями Эйлера
(1.1)
$\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {\mathbf{V}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{v}} + w\frac{{d{\mathbf{V}}}}{{dz}} + \frac{1}{\rho }\nabla p = 0,\quad {\text{div}}\,{\mathbf{v}} = 0$Кинематическое и динамическое условия на верхней границе жидкости $(z = 0)$ имеют вид
(1.2)
$\frac{{\partial \eta }}{{\partial t}} + {{U}_{0}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}} + {{V}_{0}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial y}} = w$(1.3)
$D\Delta _{2}^{2}\eta + {{Q}_{1}}\frac{{{{\partial }^{2}}\eta }}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{Q}_{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}\eta }}{{\partial {{y}^{2}}}} + 2{{Q}_{3}}\frac{{{{\partial }^{2}}\eta }}{{\partial x\partial y}} + M\frac{{{{\partial }^{2}}\eta }}{{\partial {{t}^{2}}}} + \rho g\eta = p,\quad {{\Delta }_{2}} \equiv \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}$Здесь $\eta (x,y,t)$ – вертикальный прогиб ледяного покрова, его цилиндрическая жесткость равна $D = E{{h}^{3}}{\text{/}}[12(1 - {{\nu }^{2}})]$, $M = {{\rho }_{1}}h$; $E,{{\rho }_{1}},h,\nu $ – модуль Юнга, плотность, толщина и коэффициент Пуассона; ${{Q}_{1}},\;{{Q}_{2}},\;{{Q}_{3}}$ – продольное, поперечное и сдвиговое сжатие по соответствующим направлениям. Первое слагаемое в динамическом условии описывает упругие свойства ледяного покрова, сумма последующих трех слагаемых представляет влияние сжимающих напряжений в нем, а пятое слагаемое – его инерционные свойства. В дальнейшем предполагается, что инерционное слагаемое мало по сравнению с другими слагаемыми и им можно пренебречь.
На ровном горизонтальном дне выполняется условие непротекания
Начальные условия равны
(1.5)
$\eta = {{\eta }_{0}}(r),\quad {\text{|}}{\mathbf{v}}{\text{|}} = 0\quad (t = 0),\quad r = \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} $Для решения задачи (1.1)–(1.5) используется двойное преобразование Фурье
(1.6)
$\tilde {u}(\lambda ,\mu ,z,t) = {\kern 1pt} {}^{{ + \infty }}\iint\limits_{ - \infty } {u(x,y,z,t)\exp [ - i(\lambda x + \mu y)]dxdy}$Аналогичные преобразования вводятся для остальных искомых функций. В результате система уравнений (1.1) примет вид
(1.7)
$\frac{{\partial{ \tilde {u}}}}{{\partial t}} + Z\tilde {u} + \alpha \tilde {w} + i\lambda P = 0,\quad \frac{{\partial{ \tilde {v}}}}{{\partial t}} + Z\tilde {v} + \beta \tilde {w} + i\mu P = 0$(1.8)
$\frac{{\partial{ \tilde {w}}}}{{\partial t}} + Z\tilde {w} + \frac{{\partial P}}{{\partial z}} = 0,\quad i(\lambda \tilde {u} + \mu \tilde {v}) + \frac{{\partial{ \tilde {w}}}}{{\partial z}} = 0$Дифференцируя уравнения в (1.7) по z и используя уравнения (1.8), сведем данную систему к одному уравнению
С учетом граничного условия на дне (1.4) получим
где $A(\lambda ,\mu ,t)$ – неизвестная функция. Выполняя двойное преобразование Фурье для кинематического (1.2) и динамического (1.3) условий, находим(1.9)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\tilde {\eta }}}{{\partial {{t}^{2}}}} + i\left[ {2{{\zeta }_{1}} - \frac{{{{\zeta }_{2}}}}{k}{\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} (kH)} \right]\frac{{\partial{ \tilde {\eta }}}}{{\partial t}} + \left[ {\left( {\frac{k}{\rho }{{\zeta }_{3}} + \frac{{{{\zeta }_{1}}{{\zeta }_{2}}}}{k}} \right){\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} (kH) - \zeta _{1}^{2}} \right]\tilde {\eta } = 0$(1.10)
$\tilde {\eta } = {{\tilde {\eta }}_{0}}(k),\quad \partial{ \tilde {\eta }}{\text{/}}\partial t = 0\quad (t = 0)$Следуя [6], выведем дисперсионное соотношение для ИГВ в рассматриваемой задаче. Решение уравнения (1.9) пропорционально $\exp [ - i({{\zeta }_{1}} + {{\omega }_{ \pm }})t]$, где
(1.11)
$\begin{gathered} {{\omega }_{ \pm }}(k,\theta ) = \pm \sqrt {\omega _{0}^{2} + \zeta _{4}^{2}} - {{\zeta }_{4}} \\ \omega _{0}^{2}(k,\theta ) = \frac{k}{\rho }{{\zeta }_{3}}{\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} (kH),\quad {{\zeta }_{4}}(k,\theta ) = \frac{{{{\zeta }_{2}}{\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} (kH)}}{{2k}},\quad \theta = {\text{arctg}}{\kern 1pt} \left( {\frac{\mu }{\lambda }} \right) \\ \end{gathered} $Здесь функция ${{\omega }_{0}}(k,\theta )$ является дисперсионным соотношением для ИГВ в жидкости без сдвига скорости. С учетом инерционного слагаемого в (1.3) (т.е. при $M \ne 0$) дисперсионное соотношение для ИГВ в системе жидкость – упругая пластина с неравномерным сжатием дано в работах [2, 7, 8]. Ограничиваясь положительным значением в левой части (1.11), получим зависимость $\omega (k,\theta )$ для частоты ИГВ в жидкости со сдвигом скорости
Решение уравнения (1.9) с начальными условиями (1.10) имеет вид
Для начального возмущения
после двойного преобразования Фурье (1.6) получимДалее введем безразмерные переменные
После выполнения обратных преобразований Фурье и перехода в подвижную систему координат (черта сверху далее опущена)
получим решение для вертикального прогиба ледяного покрова(1.13)
$\eta (X,Y,t) = \frac{1}{{4\pi b}}\int\limits_0^{2\pi } d\theta \int\limits_0^\infty k\exp \left( { - \frac{{{{k}^{2}}}}{{4b}}} \right)\left[ {1 + \frac{{\gamma (k,\theta )}}{{\sigma (k,\theta )}}} \right]\cos \psi (k,\theta ,t)dk$(1.14)
$\begin{gathered} \gamma (k,\theta ) = f(\theta ){\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} k - k({{U}_{0}}\cos \theta + {{V}_{0}}\sin \theta ),\quad f(\theta ) = \alpha \cos \theta + \beta \sin \theta \\ \sigma (k,\theta ) = \sqrt {\omega _{0}^{2}(k,\theta ) + {{{[f(\theta ){\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} k]}}^{2}}} \\ \end{gathered} $(1.15)
$\begin{gathered} \omega _{0}^{2}(k,\theta ) = k{\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} k[D{{k}^{4}} - Q(\theta ){{k}^{2}} + 1],\quad Q(\theta ) = {{Q}_{1}}\cos {\kern 1pt} {}^{2}\theta + {{Q}_{2}}\sin {\kern 1pt} {}^{2}\theta + {{Q}_{3}}\sin (2\theta ) \\ \psi (k,\theta ,t) = (X\cos \theta + Y\sin \theta )k - \omega (k,\theta )t,\quad \omega (k,\theta ) = \sigma (k,\theta ) - f(\theta ){\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} k \\ \end{gathered} $Волновое движение, описываемое решением (1.13), становится осесимметричным только при отсутствии основного потока $U(z) = V(z) = 0$ и равномерном сжатии ледяного покрова ${{Q}_{1}} = {{Q}_{2}},$ ${{Q}_{3}} = 0$. В этом случае решение (1.13) сводится к однократному интегралу
(1.16)
$\eta (r,t) = \frac{1}{{2b}}\int\limits_0^\infty \,k\exp \left( { - \frac{{{{k}^{2}}}}{{4b}}} \right){{J}_{0}}(kr)\cos [{{\omega }_{1}}(k)t]dk$2. ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
Зависимость $\omega (k,\theta )$ в (1.15) (в размерных переменных (1.12)) устанавливает связь между частотой $\omega $ и волновым числом ИГВ k при различных значениях угла $\theta $. Для существования вещественного значения частоты $\omega $ необходимо, чтобы при всех возможных значениях $0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi $ подкоренное выражение в (1.14) было неотрицательным. Это условие гарантирует устойчивость плавающей упругой пластины. При отсутствии сдвигового течения все значения ${{q}_{j}} \equiv {{Q}_{j}}{\text{/}}\sqrt D $ $(j = 1,2,3)$ не должны превышать 2 (см. подробнее [8]). С возрастанием сдвигового сжатия ${{q}_{3}}$ область возможных значений ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ уменьшается. Наличие сдвигового потока приводит к некоторому увеличению области допустимых значений ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ при фиксированном значении ${{q}_{3}}$. Для определения допустимых значений ${{q}_{j}}\;(j = 1,2,3)$ необходимо при заданных параметрах $D,\alpha ,\beta $ и фиксированных двух значениях параметров сжатия, например ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{3}}$, для каждого значения $\theta $ решить систему уравнений
(2.1)
$G({{k}_{*}},\theta ) = 0,\quad {{\left. {\frac{{\partial G}}{{\partial k}}} \right|}_{{k = {{k}_{*}}}}} = 0$Используя первое уравнение в (2.1), выразим
(2.2)
$Q(\theta ) = [D{{k}^{5}} + k + {{f}^{2}}(\theta ){\kern 1pt} {\text{th}}{\kern 1pt} k]{\text{/}}{{k}^{3}}$Подставляя это выражение во второе уравнение (2.1), получим уравнение для определения ${{k}_{*}}(\theta )$
Это уравнение всегда имеет только один положительный корень. Используя (2.2), находим ${{Q}_{*}}(\theta ) = Q(\theta ){{{\text{|}}}_{{k = {{k}_{*}}}}}$ и определяем минимальное положительное значение ${{q}_{2}}$ при изменении $0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi $
Значение фазовой скорости ИГВ $c(k,\theta )$ равно
Эта характеристика важна для объяснения картины волнового движения.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ
Представленные ниже расчеты выполнены при следующих параметрах ледяного покрова и жидкости:
На рис. 2 для двух значений ${{q}_{3}} = 0.5,1.25$ при различных параметрах сдвигового потока $\alpha $ и $\beta $ представлены кривые, которые на плоскости $({{q}_{1}},{{q}_{2}})$ ограничивают область устойчивости упругой пластины, т.е. для значений ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ ниже этих кривых при заданных параметрах ${{q}_{3}},\;\alpha ,\;\beta $ и всех возможных значениях угла $\theta $ подкоренное выражение в (1.14) является неотрицательным. На рис. 2 кривые 1–3 относятся к случаю ${{q}_{3}} = 0.5$, кривые 4–6 – к случаю ${{q}_{3}} = 1.25$. Кривые 1, 4 соответствуют значениям $\alpha = \beta = 0$, кривые 2, 5 – значениям $\alpha = 0.5,$ $\beta = 0$, а кривые 3, 5 – значениям $\alpha = 0.5,$ $\beta = 0.3$. Видно, что с увеличением параметров сдвига $\alpha $ и $\beta $ область допустимых значений q1 и q2 увеличивается.
Представленные ниже прогибы ледяного покрова $\eta (X,Y,t)$, определенные в (1.13), вычислены для четырех вариантов значений параметров сжатия и сдвигового потока (см. табл. 1) при $b{{H}^{2}}$ = 2. На рис. 3 представлены зависимости функции $\eta (0,0,t)$ в эпицентре начального возмущения от времени. Номера кривых соответствуют номеру варианта в табл. 1. Видно, что при отсутствии сжимающих усилий в ледяном покрове его прогиб быстро убывает (кривые 1, 2), тогда как при наличии сжимающих усилий (кривые 3, 4) функция $\eta (0,0,t)$ имеет осциллирующий характер с довольно слабым затуханием колебаний особенно для варианта 4, в котором присутствует сдвиговое течение.
Таблица 1
Вариант | ${{q}_{1}}$ | ${{q}_{2}}$ | ${{q}_{3}}$ | $\alpha $ | $\beta $ | ${{U}_{0}}$ | ${{V}_{0}}$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 0 | 0 | 0.5 | 0.3 | 0.6 | 0.4 |
3 | 1.5 | 1.2 | 0.5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
4 | 1.5 | 1.2 | 0.5 | 0.5 | 0.3 | 0.6 | 0.4 |
На рис. 4 представлены двумерные картины вертикальных прогибов ледяного покрова ${{10}^{2}} \cdot \eta (X,Y,t)$ для трех моментов времени: $t = 2$ (рис. 4а, г, ж, к); $t = 5$ (рис. 4б, д, з, л); $t = 10$ (рис. 4в, е, и, м). Тонкие линии соответствуют нулевым изолиниям функции $\eta (X,Y,t)$. Для варианта 1 картина волнового движения является осесимметричной и соответствует решению (1.16), так как для этого варианта отсутствуют сжимающие усилия в ледяном покрове и жидкость является первоначально покоящейся. Во всех остальных рассмотренных вариантах волновое движение не является осесимметричным. Для значений времени $t = 5$ и $t = 10$ замкнутая кривая, показанная жирной линией белого цвета, соответствует волновому фронту ИГВ, который определяется как произведение $tc(K,\theta )$ аналогично [6]. Значение фазовой скорости в (2.3) вычисляется для волнового числа $K = 2\sqrt b $, при котором степень в экспоненциальном множителе подынтегрального выражения в (1.13) равна –1, и значение $\theta $ меняется от 0 до $2\pi $. При отсутствии неравномерных сжимающих усилий в ледяном покрове (варианты 1 и 2) волновой фронт представляет собой окружность, координаты центра которой и радиус зависят от параметров $\alpha $ и $\beta $ сдвигового потока.
При наличии неравномерного сжатия в ледяном покрове (варианты 3, 4) форма волнового фронта становится более сложной, так как она определяется совместным влиянием сжимающих усилий и сдвигового потока. Для рассмотренных четырех вариантов наименьшие волновые возмущения наблюдаются для варианта 1, а наибольшие – для варианта 4.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решена нестационарная трехмерная задача о развитии начального осесимметричного возмущения в жидкости конечной глубины, на поверхности которой плавает ледяной покров. В невозмущенном состоянии продольная и поперечная составляющие скорости жидкости линейно меняются с глубиной. Ледяной покров моделируется тонкой упругой пластиной с учетом продольных, поперечных и сдвиговых сжимающих усилий.
В рамках линейной теории волн построено интегральное представление решения, описывающего поведение ледяного покрова. Показано, что наличие сжимающих усилий в ледяном покрове и сдвигового течения в жидкости существенно влияет на поведение вертикальных прогибов ледяного покрова.
Список литературы
Squire V.A. Synergies between VLFS hydroelasticity and sea ice research// Intern. J. Offshore Polar Engng. 2008. V. 18. № 4. P. 241–253.
Букатов А.Е. Волны в море с плавающим ледяным покровом. Севастополь: ФГБУН МГИ. 2017. 360 с.
Букатов А.Е., Власенко В.И., Пухтяр Л.Д., Суворов А.М. и др. Динамика поверхностных и внутренних волн. Киев: Наук. думка. 1988. 192 с.
Li Y., Smeltzer B.K., Ellingsen S.Å. Transient wave resistance upon a real shear current // Eur. J. Mech. B / Fluids. 2019. V. 73. P. 180–192. https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2017.08.012
Стурова И.В. Задача Коши–Пуассона для жидкости с ледяным покровом при наличии сдвигового течения (двумерный случай) // Изв. РАН. МЖГ. 2022. № 1. С. 1–10. https://doi.org/10.31857/S0568528122010108
Ellingsen S.Å. Initial surface disturbance on a shear current: the Cauchy–Poisson problem with a twist // Phys. Fluids. 2014. V. 26. № 8. P. 082104. https://doi.org/10.1063/1.4891640
Букатов А.Е., Жарков В.В., Завьялов Д.Д. Трехмерные изгибно-гравитационные волны при неравномерном сжатии// ПМТФ. 1991. № 6. С. 51–57.
Стурова И.В. Влияние неравномерного сжатия упругой пластины, плавающей на поверхности жидкости, на развитие нестационарных изгибно-гравитационных волн // Изв. РАН. МЖГ. 2021. № 2. С. 63–71. https://doi.org/10.31857/S0568528121020110
Maiti P., Mandal B.N. Water waves generated due to initial axisymmetric disturbances in water with an ice-cover // Arch. Appl. Mech. 2005. V. 74. № 9. P. 629–636. https://doi.org/10.1007/s00419-005-0384-7
Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Владимиров И.Ю. Равномерные и неравномерные асимптотики дальних полей поверхностных волн от вспыхнувшего локализованного источника// ПММ. 2021. Т. 85. № 5. С. 626–634. https://doi.org/10.31857/S0032823521050039
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика жидкости и газа