Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 2, стр. 96-104

ДИНАМИКА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В. А. Жаров a, Р. Я. Тугазаков a*

a Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского
Московская обл, Жуковский, Россия

* E-mail: renatsan@yandex.ru

Поступила в редакцию 16.08.2021
После доработки 20.09.2021
Принята к публикации 01.10.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

По результатам прямого численного моделирования обтекания плоской пластины в рамках уравнений Навье–Стокса проведен теоретический анализ ламинарно-турбулентного перехода в сверхзвуковом потоке газа. Подтвержден закон подобия частоты образования берстов. Спектральный анализ течения указал на реализацию в турбулентном пограничном слое (т.п.с.) резонансного трехволнового взаимодействия волн. Изучено влияние температуры пластины на турбулизацию потока газа и спектральный состав пульсаций давления.

Ключевые слова: сверхзвуковой поток, ламинарное и турбулентное течение, турбулентные пятна, берсты, резонансное трехволновое усиление волн

Имеются десятки исследований [119], посвященных изучению ламинарно-турбулентного перехода в дозвуковых и сверхзвуковых течениях газа при обтекании плоской пластины. Авторы большинства этих работ, полученных экспериментальным путем или численным моделированием течения газа в рамках уравнений Навье–Стокса, стремятся подтвердить теоретические результаты, открытые в слабо-нелинейном подходе в рамках теории гидродинамической неустойчивости. Основной вывод, полученный в теоретических статьях, заключается в том, что в рамках слабо нелинейного подхода наибольший нелинейный вклад в развитие неустойчивых возмущений в сдвиговых течениях должно давать резонансное трехволновое взаимодействие [3]. То есть на нелинейной стадии развития возмущение растет, как правило, взрывным образом. Слабонелинейный же подход в пространстве частот описывает возникновение градиентной катастрофы, которая может привести к переходу. Но саму картину перехода реального течения можно описать только в нелинейной постановке. Этому и посвящена данная статья, где на основе результатов прямого численного моделирования уравнений Навье–Стокса подтверждены теоретические результаты, полученные в рамках слабо-нелинейной модели развитого пограничного слоя для обтекания узкой пластины [4, 5]. Кроме того, в работе получено одно из основных положений развитого турбулентного пограничного слоя, найденного в эксперименте: частота образования берстов – выбросов газа с поверхности пластины. На основе материалов численного счета проведен анализ потери устойчивости вязкого подслоя турбулентного потока, в результате которого реализуется резонансное трехволновое взаимодействие.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

На рис. 1 приведена картина обтекания прямоугольной пластины сверхзвуковым потоком вязкого газа (где z – продольная, х – поперечная, y – нормальная координаты; w, u, v – компоненты скорости вдоль этих координат). Начало декартовой системы координат располагается на острой передней кромке плоской пластины. Ось z совпадает с направлением вектора скорости w невозмущенного сверхзвукового потока, ось y направлена по нормали к пластине, ось х совпадает с передней кромкой. Максимальное количество расчетных точек равно 1.7 × 107; пространственные шаги dx = dy = dz = 10–5 м, а временные – 10–9 с. Сначала устанавливается квазистационарное обтекание пластины c пограничным слоем толщиной δ. Затем на скорость набегающего потока w накладывается плоская гармоническая волна интенсивности Δp = 0.01–0.005р с длиной λ, которая выбирается из условия максимального резонансного усиления внешних волн (в зависимости от числа М, толщины слоя, длины волны и ширины пластины) [14]. Число Re, определенное по длине пластины, для пространственного расчета порядка 106. Рассматривается симметричная задача по оси у, т.е. приводятся картины обтекания одной поверхности пластины. На выходной границе и в трансверсальном направлении задаются неотражающие граничные условия. Результаты получаются прямым численным моделированием течения в рамках уравнений Навье–Стокса, без привлечения схем турбулентности; используется явная двухшаговая разностная схема [20]. Приведенные на рисунках геометрические размеры отнесены к длине пластины; давление р, плотность R отнесены к их значениям в набегающем потоке, а компоненты скорости – к скорости звука невозмущенного потока. В задаче первоначально рассчитывается обтекание теплоизолированной пластины газом со скоростью w и параметрами: р = 1 атм, Т = 278 K, R = 1.25 кГс24, μ = 1.72 × 10–5 кГс/м2, число Прандтля Pr = 0.72 для числа М набегающего потока, равного 2. После реализации в задаче ламинарно-турбулентного перехода взрывным образом изучается спектр турбулентного течения на теплоизолированной части пластины и участке пластины, граница которого начинается после линии AB (рис. 1), охлажденной до низкой температуры.

Рис. 1.

Схема расчетной области обтекания пластины.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Некоторые результаты обтекания пластины потоком газа с М = 2 представлены в статье [17], где приведена картина распределения давления на пластине, когда на набегающий поток “наложена” плоская гармоническая волна с частотой 780 кГц. Интенсивность набегающей волны взята малой, так что течение в начальной части пластины почти квазидвумерное, поэтому переходный период происходит почти по линейному закону. Показано, что в центральном продольном сечении величины давления и энтропии постепенно подрастают. Температура почти постоянна. При турбулизации потока все параметры увеличиваются, что соответствует экспериментальным [911] и численным данным [8, 13]. Анализ результатов [17] и данных настоящей работы указывает, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при z = 0.8, когда величина p+ становится меньше p. Здесь p+, величина давления на пластине, медленно меняющаяся с ростом числа Re. При выполнении указанного условия (Re ≈ 106) из-за нелинейной неустойчивости происходит взрывной переход от ламинарного характера течения к турбулентному. Набегающие волны здесь разрушаются образующимися с собственной частотой интенсивными пульсациями. Образуются характерные для переходного периода пространственные турбулентные пятна различного размера. Появление структур в продольных и поперечных сечениях картины течения показано далее.

В настоящей статье для описания развития берстов, выполнения закона подобия частоты образования их приводится полная картина течения на поверхности теплоизолированной пластины, внутри пограничного слоя и на внешней его границе. Также представлены картины течения в продольном сечении для описания влияния охлаждения на характер турбулентного течения, изменения спектра частот над охлажденной частью пластины. Для объяснения взрывного характера ламинарно-турбулентного перехода в результате резонансного трехволнового взаимодействия даны картины полей течения в поперечных сечениях: в ламинарной его части, переходной и турбулентной.

2.1. Картина течения в продольном центральном сечении расчетного поля

На рис. 2а,б,в приведены мгновенные картины распределения параметров течения в продольном центральном сечении расчетного поля (плотности, давления и нормальной компоненты скорости). Результаты представлены в момент, когда на участке z > 0.65 установилось развитое турбулентное течение. То есть для данного момента в расчетах “отключены” внешние возмущения, которые отсутствуют в левой части рисунка (z < 0.65) в ламинарном п.с. Видно, как более легкий газ (рис. 2а), движущийся с меньшей продольной скоростью, достигает внешнюю границу пограничного слоя, деформируя ее. Происходит это из-за неустойчивости вязкого слоя к возмущениям, образующихся в результате выброса газа с поверхности пластины. Первоначальные возмущения – это плоские внешние гармонические волны слабой интенсивности, действующие на внешнюю границу слоя. Когда их нет, при развитии на пластине турбулентного течения неустойчивость потока в продольном, трансверсальном и вертикальном к пластине направлениям поддерживается за счет внутренних волн. Здесь реализуется самоподдерживающаяся турбулентность, когда энергия, диссипируемая в пограничном слое, компенсируется ее поступлением из основного потока. На рис. 2а (поле давления) видно, как на внешней границе пограничного слоя, в результате воздействия на него пульсаций давления, образуются вихри разных знаков, которые способствуют обмену газов из вязкого слоя во внешний поток и наоборот. Нелинейный механизм образования вихрей на сдвиговых слоях в сверхзвуковых течениях представлен в [14]. На рис. 2б приведено поведение пульсаций компоненты скорости ${v}$, нормальной к поверхности пластины, диапазон изменения которых находится в пределах –0.6–0.3. То есть происходит непрерывное движение газа к пластине и от нее. Максимальное значение v принимает на внешней границе пограничного слоя в вершинах берстов – квазипериодических выбросов вязкой жидкости из пристенной области. В результате выбросов газа во внешнем поле образуются наклонные волны малой интенсивности. На рис. 2в представлена более подробная картина образования берстов (поле поперечной компоненты вихря), начиная с z > 0.65, когда проявляется неустойчивость вязкого подслоя.

Рис. 2.

Картины течения внутри пограничного слоя: a) – поле давления, б) – нормальная компонента скорости, в) – квазипериодические выбросы вязкой жидкости из пристенной области – берсты (А, B, С, D – поперечные сечения течения, приведены на рис. 4), г) – профили продольной скорости: кривые 1–4 – данные расчета, 5 – результат работы [13].

Поведение профиля продольной скорости в сечениях, где течение ламинарное (z = 0.2), переходное (0.4) и турбулентные (0.8, 0.95) (кривые 14), дано на рис. 2г. Видно, как при ламинарном, так и турбулентном режимах обтекания скорость меняется по линейному закону в области вязкого подслоя (кривая 1). При удалении от пластины такое поведение наблюдается в турбулентных режимах обтекания – 3, 4 вплоть до чисел М = 0.8–1, т.е. в дозвуковой области. Наполняемость профиля скорости для разных моментов времени может быть меньше, чем при ламинарном обтекании в зависимости от числа Re (3, 4). То есть толщина вязкого подслоя в турбулентном течении меняется со временем из-за “выброса” части газа с поверхности пластины в виде берста. О том, что внутри всего турбулентного слоя существует критический, неустойчивый к возмущениям (пульсациям), не отмечено в аналогичных трудах [813], проведенных численно с помощью стандартных пакетов программ. На рис. 2г приведено сравнение профилей скорости в турбулентном пограничном слое, здесь полученного и в [13], с использованием комплекса программ CFS3D, разработанных Лабораторией вычислительной аэродинамики ИТПМ СО РАН. Сравнение показывает, что средняя толщина турбулентного слоя удваивается. Но метод, используемый в [13], не чувствует в критической области (М = 1) пульсации продольной скорости. Это объясняется подсеточной вязкостью, которая существует в стандартных пакетах.

2.2. Закон подобия частоты образования берстов

Численное исследование процесса перехода ламинарного течения в турбулентное требует подтверждения основных положений, полученных ранее в эксперименте. В частности, в эксперименте [15, 16] при изучении квазипериодических выбросов жидкости из пристенной области течения получен закон подобия средней периодичности берстов: ТU/δ = 6 ± 2, где Т – средний период берстов, δ – толщина турбулентного пограничного слоя, U – скорость набегающего потока. Этот закон подобия получен для дозвуковых течений.

В настоящей работе при обтекании плоской пластины сверхзвуковым потоком газа (М = 2) получается картина течения, представленная на рис. 3в. Видно, что при z ≈ 0.65 начинается нелинейный переход ламинарного течения в турбулентное. С поверхности пластины происходит выброс легкого (горячего) газа. На рисунке светлая линия разделяет течение на дозвуковую часть течения до пластины и сверхзвуковую – выше линии. Для проверки закона подобия определены параметры течения. Среднее расстояние между берстами равно 100dx, где dx = 10–5 м. Средняя скорость движения берста равна 330 м/с. Это видно по тому, как берсты в вязком подслое движутся в виде параллельных наклонных прямых со скоростью звука. Выше светлой линии (в сверхзвуковом потоке) параллельность нарушается, и скорость меняется. Тогда в дозвуковом потоке расстояние 100dx берсты преодолевают за Т = 3 × 10–6 с. Величина δ = 30dx. И закон подобия формулируется так: ТU/δ = 3 × 10–6 с × 660 м/c/30 × 10–5 м = 6.6. Здесь следует отметить, что приведенная картина развития берста в реальном течении отличается от картин, полученных в приведенном квазистационарном подходе. Так как, во-первых, существуют сильные колебания жидкости в поперечном направлении, во-вторых – берсты деформируются при прохождении через критический слой.

Рис. 3.

Поведение берстов (поперечные компоненты вихря) в продольном сечении для двух моментов времени t1 (a) и t2 (б). Светлые вертикальные прямые соответствуют положению берста в эти моменты.

Для получения закона подобия в реальном нестационарном течении проведены расчеты, описывающие картины образования берстов для двух моментов времени (рис. 3), взятых через 1600 временных шагов. В результате получены данные, которые позволяют сформулировать закон подобия. На рис. 3 светлые линии 1 и 2 соответствуют положению берста в моменты t1 и t2, где Т = t2t1 = 1600 × 1.7 × 10–9 с = 2.72 × 10–6 с. Тогда расчеты показывают: ТU∞/δ = 2.72 × × 10–6 × 660/30 × 10–5 = 5.98. Скорость берста для данного варианта задачи находится из отношения пути (отмечены на рис. 3б темными линиями), пройденного берстом, ко времени Т: ${{{v}}_{b}}$ = = 100 × 10–5/2.72 × 10–6 = 370 м/c. То есть, так как плотность на пластине меньше R, то скорость берста больше 330 м/с.

Видно, что закон подобия выполняется и при сверхзвуковом обтекании пластины. Это объясняется тем, что берсты начинаются на пластине в вязком дозвуковом подслое. Картина их образования в поперечных сечениях (в турбулентной части течения) приведена на рис. 4. На рис. 4а,б видны головка берста и его “ноги”. При движении по потоку берст всплывает. Когда головка берста начинает взаимодействовать с внешней границей слоя, она распадается на ряд вихрей, которые опускаются ниже в турбулентную область, захватывая газ из внешнего потока (рис. 4в,г).

Рис. 4.

Развитие берстов в поперечном направлении: (а), (б) – рост берста по координате; (в), (г) – погружение берста в турбулентную область при взаимодействии его с внешней границей т.п.с.

2.3. Механизм образования берста

Как отмечено в 2.1, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в пределах z > 0.65. Чтобы более полно описать процесс перехода, на рис. 5 представлены картины течения в трех поперечных сечениях (z = 0.5, 0.65, 0.9 сверху вниз) для трех параметров: v (столбец a), ωz (б) – продольная компонента вихря и u (в). В первом сечении течение ламинарное, во втором – переходное и в третьем – турбулентное. Видно, что при z = 0.5 при ламинарном характере течения наблюдается квазидвумерное течение газа. Поведение нормальной компоненты скорости ${v}$ (рис. 5а) симметрично по ширине пластины. На рис. 5б,в по краям пластины расположены вихри равной интенсивности и противоположного знака, поперечного течения нет. В области начала перехода (z = 0.65) заметны изменения параметров течения: нарушилась симметрия скорости v и продольной компоненты вихря ωz по ширине пластины, появилась незначительная скорость u. В области развитого турбулентного течения (z = 0.9) реализуются интенсивные пульсации нормальной скорости газа на поверхности пластины; распределение продольной компоненты вихря представлено множеством мелкомасштабных и крупных вихрей; имеются достаточно сильные колебания поперечной скорости. То есть видно, что с ростом интенсивности пульсаций, начиная с сечения z = 0.65, квазидвумерное течение становится пространственным. На рис. 4, 5 видно, что в расчетной области возникает поперечная неоднородность, которую можно интерпретировать как возникновение наклонных волн Толлмина–Шлихтинга и, соответственно, как действие 3-волнового и гармонического резонансов. Это обстоятельство позволяет предположить схему турбулизации потока, которая была рассмотрена в статье Качанова [7].

Рис. 5.

Картина перехода от ламинарного к турбулентному течению в трех поперечных сечениях сверху вниз (z = 0.5, 0.65, 0.9) для трех параметров: v (столбец a), ωz (б) – продольная компонента вихря u (в).

Подробное рассмотрение течения в вязком подслое около поверхности пластины, где скорость практически равна 0, указывает, что механизм образования берстов здесь аналогичен отрыву невязкого потока газа с обтекаемой поверхности [21]. Это объясняется следующим образом. В момент, когда внешние возмущения (волны) усилились, и суммарное давление на пластине из-за отрицательных пульсаций становится меньше, чем в набегающем невозмущенном потоке, то в поле течения образуется нестационарная волна разрежения. В результате здесь появляется градиент давления, который стремится оторвать подслой от пластины. Так как на пластину действуют последовательно положительные и отрицательные пульсации, то последние и приводят к зарождению берста.

2.4. Стохастизация течения и переход к турбулентности

Состояние потока можно охарактеризовать спектральным составом пульсаций давления. Поскольку решается нестационарная задача, спектр определяется весьма просто, если использовать стандартные процедуры дискретного преобразования Фурье [22]. На рис. 6 представлен спектр пульсаций давления на пластине при температуре Tw. Здесь по горизонтали отложена частота в условных единицах, по вертикали квадрат модуля амплитуды пульсаций давления. Длина реализации по времени в расчетах порядка 100.

Рис. 6.

Спектр пульсаций давления (относительные величины) в развитом турбулентном течении.

По спектру можно проследить развитие процесса стохастизации. На рис. 7 представлен спектр пульсаций давления однородно нагретой пластины с указанием относительной величины частоты соответствующих составляющих. Этот спектр в какой-то мере подтверждает субгармонический – гармонический сценарий перехода [7]. Действительно, если за основу взять частоту f = 2.934 (см. рис. 7), то близкая к ней субгармоническая частота равна  f = 1.331. Не сложно угадать также кратные частоты. Отличие от точных значений можно объяснить возбуждением субгармоник в виде наклонных волн, дисперсионные зависимости которых обусловливают трехволновой резонанс на значениях частот, несколько отличных от канонических [1, 4, 6].

Рис. 7.

Влияние температуры пластины на спектр пульсаций давления: (а) температура пластины: T = 0.83Tw, (б) T = 0.5Tw – охлажденная часть пластины.

Сравнение спектра пульсаций давления на пластине в зависимости от температуры охлаждения приведено на рис. 7. Видно, что с изменением температуры пластины характер сценария развития пульсаций сохраняется (субгармонический-гармонический). Но спектр частот становится уже.

Поведение величины плотности и давления в зависимости от температуры пластины представлено на рис. 8. Из-за разности температур в носовой (T = 0.83Tw) и кормовой (T = 0.5Tw) частей пластины, перед носиком охлажденной части пластины в дозвуковой области течения образуется тангенциальный разрыв, который в области сверхзвукового течения превращается в слабую ударную волну. Взаимодействие набегающего турбулентного потока с тангенциальным разрывом и ударной волной приводит к размыванию этих разрывов и, в то же время, частичному разрушению вихрей, берстов. Результаты этого взаимодействия подтверждаются результатами разд. 2.4.

Рис. 8.

Зависимость параметров турбулентного течения от температуры: (а) поле плотности, (б) поле давления; светлая вертикальная линия – граница АВ теплоизолированной и охлажденной частей пластины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты прямого численного моделирования обтекания плоской пластины с числом Маха 2 и теоретического анализа ламинарно-турбулентного перехода в сверхзвуковом потоке газа подтверждают закон подобия частоты образования берстов. Данные численного счета о неустойчивости вязкого слоя и спектральный анализ течения указывают на реализацию в турбулентном пограничном слое резонансного трехволнового взаимодействия волн. Показано, что влияние температуры на теплоизолированную и охлажденную части пластины соответствует изменению характера течения в пространстве и спектральном составе потока.

Работа поддержана грантом РФФИ № 20-01-00184.

Список литературы

  1. Craik A.D.D. Non-linear resonant instability in boundary-layers // J. Fluid Mech. 1971. 50. P. 393–413.

  2. Гапонов С.А., Маслов А.А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. Новосибирск: Наука, 1980. 134 с.

  3. Kachanov Y.S. On the resonant nature of the breakdown of a laminar boundary-layer // J. Fluid Mech. 1987. V. 184. P. 43–74.

  4. Жаров В.А. О волновой теории развитого турбулентного пограничного слоя // Уч. зап. ЦАГИ. 1986. С. 28–38.

  5. Жаров В.А. Модельное представление когерентной структуры в развитом турбулентном пограничном слое // Уч. зап. ЦАГИ. 2014. Т. XLV. № 5. С. 33–46.

  6. Zelman M.B., Maslennikova I.I. Tollmien–Schlichting–wave resonant mechanism for subharmonic–type transition // J. Fluid Mech. 1993. V. 252. P. 449–478.

  7. Kachanov Yu.S. Physical Mechanisms of Laminar–Boundary–Layer Transition // Annual Review of Fluid Mechanic. 1994. V. 26. P. 411–482.

  8. Borodulin V.I., Gaponenko V.R., Kachanov Y.S. Late-Stage Transitional Boundary–Layer–Structures. Direct Numerical Simulation and Experiment // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 2002. V. 15. P. 317–337.

  9. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Турбулентный пограничный слой. Методика и результаты экспериментальных исследований. М.: Физматлит, 2007. 312 с.

  10. Borodulin V.I., Kachanov Y.S., Roschektayev A.P. Experimental detection of deterministic turbulence // Journal of Turbulence. 2011. V. 12. № 23. C. 1–34.

  11. Kosinov A.D., Panina A.V., Kolosov G.L., Semionov N.V., Ermolaev Yu.G. Experiments on relative receptivity of three-dimensional supersonic boundary layer to controlled disturbances and its development // Progress in Flight Physics. 2013. V. 5. P. 69–80.

  12. Иванов М.Ф., Киверин А.В., Шевелкина Е.Д. Эволюция вихревых возмущений на различных стадиях турбулентных течений // Инж. журнал: наука и инновации. 2013. № 8(20). С. 38–39.

  13. Кудрявцев А.Н., Хотяновский Д.В. Прямое численное моделирование перехода к турбулентности в сверхзвуковом пограничном слое // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22. № 5. С. 581–590.

  14. Lipatov I.I., Tugazakov R.Ya. Generation of Coherent Structures in Supersonic Flow past a Finite-Span Flat Plate // Fluid Dynamics. 2015. V. 50. № 6. P. 793–799.

  15. Kline S.J., Reynolds W.C., Shraub F.A., Runstadler P.W. // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. P. 74.

  16. Cantuwell D.J. Organaized motion in turbulent flow // Ann. Rev. Fluid Mech. 1981. V. 13. P. 457–515.

  17. Tugazakov R.Ya. Three-dimensional Turbulent Supersonic Flow over a Plate // Fluid Dynamics. 2019. V. 54. № 5. P. 705–713.

  18. Lipatov I.I., Tugazakov R.Ya. Generation of Coherent Structures in Supersonic Flow past a Finite-Span Flat Plate // Fluid Dynamics. 2015. V. 50. № 6. P. 793–799.

  19. Липатов И.И., Тугазаков Р.Я. Нелинейная неустойчивость в области перехода от ламинарного к турбулентному движению газа при сверхзвуковом пространственном обтекании пластины // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2018. № 2. С. 178–196.

  20. Ephraim L.R., Burstein S.Z. Difference methods for the in viscid and viscous equations of a compressible gas // J. Comput. Phys. 1967. V. 2. P. 178–196.

  21. Тугазаков Р.Я. Теория отрыва сверхзвукового потока невязкого газа в задачах газодинамики // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2016. № 5. С. 118–124.

  22. MATHEMATICA Wolfram Research 5.0.

Дополнительные материалы отсутствуют.