Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 1, стр. 3-13

АКУСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ, ИНДУЦИРОВАННОЕ КОЛЕБАНИЕМ СТЕНКИ ПЛОСКОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО РЕЗОНАТОРА

Д. А. Губайдуллин a*, П. П. Осипов a**, Р. Р. Насыров a***

a Федеральный исследовательский центр Казанский научный центр РАН, Институт механики и машиностроения
Казань, Россия

* E-mail: gubaidullin@imm.knc.ru
** E-mail: petro300@rambler.ru
*** E-mail: nasyrov.ravil@bk.ru

Поступила в редакцию 30.03.2021
После доработки 17.09.2021
Принята к публикации 21.09.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрено движение вязкого сжимаемого газа в закрытом прямоугольном резонаторе, индуцированное гармоническим колебанием границы на первой резонансной частоте. Методом последовательных приближений исследуется двумерное акустическое течение в резонаторе произвольной ширины. Установлено существование акустического течения в виде четырех вихрей Рэлея и четырех вихрей Шлихтинга. Показано сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных гармонических колебаниях каверны и при колебаниях стенки резонатора, что говорит о слабом влиянии способа генерации стоячей волны на картину акустического течения. Обнаружено, что по мере уменьшения ширины канала, размеры вихрей Шлихтинга увеличиваются по сравнению с размерами вихрей Рэлея. При ширине канала меньше шести толщин акустического пограничного слоя, вихри Рэлея исчезают и остаются только вихри Шлихтинга. Установлено, что в случае колеблющейся каверны центры вихрей Рэлея и Шлихтинга лежат в одном поперечном сечении, а в случае резонатора с колеблющейся границей центры вихрей Шлихтинга смещены в сторону вертикальных стенок.

Ключевые слова: акустические течения, резонатор, вихри Рэлея, вихри Шлихтинга

В волновых полях в вязкой жидкости при определенных условиях формируются акустические течения. Впервые задача о возникновении акустического течения, создаваемого плоской стоячей волной в двумерном канале произвольной ширины, аналитически исследована в [1]. В [2, 3] предложены различные модификации решения [1], но основное внимание уделялось течению за пределами пограничного слоя [3, 4]. В [5] показано, что внутри пограничного слоя возникают вихри Шлихтинга, направление вращения которых противоположно направлению вращения внешних вихрей Рэлея. Теоретический и численный анализ акустических течений, создаваемых стоячей волной вдоль непроницаемой стенки в полубесконечной области, проведен в [68].

В работе [9] получено аналитическое решение редуцированных уравнений Навье–Стокса в неинерциальной системе отсчета, связанной с прямоугольной вибрирующей каверной, и рассчитано акустическое течение, возникающее в одномерной стоячей волне давления. В [10] численно изучено акустическое течение в неподвижном двумерном прямоугольном резонаторе на основе полных уравнений Навье–Стокса для сжимаемого вязкого газа при гармоническом колебании левой границы. Показано, что в резонаторе образуется акустическое течение в виде вторичных вихрей Шлихтинга и Рэлея. Приведено сравнение и установлено хорошее согласование эпюр скорости акустического течения, полученных на основе аналитического решения редуцированных [9] и численного решения полных [10] уравнений Навье–Стокса. Несмотря на хорошее согласие результатов этих работ, отметим, что в них рассматриваются краевые задачи с различными граничными условиями и уравнениями. Поэтому целью данной работы является получение аналитического решения редуцированных уравнений Навье–Стокса для граничных условий, используемых в [10].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим закрытый прямоугольный резонатор длины $L = 2{{x}_{0}}$, занимающий в пространстве область $ - {{x}_{0}} \leqslant x \leqslant {{x}_{0}}$, $ - {{y}_{0}} \leqslant y \leqslant {{y}_{0}}$ (рис. 1). Акустическое течение в резонаторе возбуждается колебаниями левой границы. Уравнение неразрывности и редуцированные уравнения Навье–Стокса можно записать, следуя работе [9]

(1.1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \rho u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \rho {v}}}{{\partial y}} = 0 \\ \rho \left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + {v}\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right) = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \mu \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{y}^{2}}}} \\ \frac{{\partial p}}{{\partial y}} = 0 \\ \end{gathered} $
Рис. 1.

Прямоугольный резонатор.

Эта система из трех уравнений связывает четыре величины $\rho $, $p$, $u$, ${v}$. Для ее замыкания используется адиабата Пуассона $\rho {\text{/}}{{\rho }_{0}} = {{\left( {p{\text{/}}{{p}_{0}}} \right)}^{{1/\gamma }}}$.

Заметим, что вместо уравнения импульса поперек канала используется условие равенства нулю поперечного градиента давления. При этом поперечная компонента скорости определяется из уравнения неразрывности. Подробное обоснование этого подхода дано в [11], где введен параметр порядка малости $\eta = {{y}_{0}}{\text{/}}L$, и получены оценки

$\frac{{v}}{u} = O(\eta ),\quad \frac{{\partial p{\text{/}}\partial y}}{{\partial p{\text{/}}\partial x}} = O(\eta )$
которые указывают на то, что в узких длинных каналах движение жидкости и градиенты давления направлены преимущественно вдоль оси x.

Далее рассмотрим периодическое решение (1.1) при граничных условиях

(1.2)
$\begin{gathered} \frac{1}{{2{{y}_{0}}}}\int\limits_{ - {{y}_{0}}}^{{{y}_{0}}} {u( - {{x}_{0}},y,t)dy} = {{U}_{0}}{{e}^{{i\omega t}}} \\ u({{x}_{0}},y,t) = 0 \\ u(x, - {{y}_{0}},t) = 0,\quad {v}(x, - {{y}_{0}},t) = 0 \\ u(x,{{y}_{0}},t) = 0,\quad {v}(x,{{y}_{0}},t) = 0 \\ \end{gathered} $

2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Задача (1.1)–(1.2) может быть решена методом последовательных приближений в виде суммы возмущений первого и второго порядка малости [12]

$\rho = {{\rho }_{0}} + {{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}},\quad p = {{p}_{0}} + {{p}_{1}} + {{p}_{2}},\quad {\mathbf{u}} = {{{\mathbf{u}}}_{1}} + {{{\mathbf{u}}}_{2}}$

Для политропного газа с точностью до малых третьего порядка можно записать разложение

откуда ${{p}_{1}} = c_{0}^{2}{{\rho }_{1}}$, ${{p}_{2}} = \frac{{{\text{(}}\gamma - 1{\text{)}}c_{0}^{2}}}{{2{{\rho }_{0}}}}\rho _{1}^{2} + {{\rho }_{2}}c_{0}^{2} = \frac{{\gamma - 1}}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}p_{1}^{2} + {{\rho }_{2}}c_{0}^{2}$

Система (1.1) с точностью до малых третьего порядка примет вид

$\frac{{\partial {\text{(}}{{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}}{\text{)}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {\text{(}}{{\rho }_{0}} + {{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}}{\text{)(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\text{(}}{{\rho }_{0}} + {{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}}{\text{)(}}{{{v}}_{1}} + {{{v}}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial y}} = 0$
(2.1)
$\begin{gathered} {\text{(}}{{\rho }_{0}} + {{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}}{\text{)}}\left( {\frac{{\partial {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial t}} + {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}\frac{{\partial {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial x}} + {\text{(}}{{{v}}_{1}} + {{{v}}_{2}}{\text{)}}\frac{{\partial {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial y}}} \right) = \\ = \; - \frac{{\partial {\text{(}}{{p}_{1}} + {{p}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial x}} + \mu \frac{{{{\partial }^{2}}{\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} \\ \end{gathered} $
$\frac{{\partial {\text{(}}{{p}_{1}} + {{p}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial y}} = 0$

2.1. Первое приближение

Для возмущения первого порядка малости из (2.1) можно записать систему

$\frac{{\partial {{\rho }_{1}}}}{{\partial t}} + {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{{v}}_{1}}}}{{\partial y}}} \right) = 0,\quad {{\rho }_{0}}\frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial t}} - \mu \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{1}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{\partial {{p}_{1}}}}{{\partial x}} = 0,\quad \frac{{\partial {{p}_{1}}}}{{\partial y}} = 0,\quad {{p}_{1}} = {{{{\rho }}}_{1}}c_{0}^{2}$

Решение этой системы ищется в комплексном виде

(2.2)
${{u}_{1}} = \operatorname{Im} [{{\tilde {u}}_{1}}{{e}^{{i\omega t}}}],\quad {{{v}}_{1}} = \operatorname{Im} [{{{\tilde {v}}}_{1}}{{e}^{{i\omega t}}}],\quad {{p}_{1}} = \operatorname{Im} [{{\tilde {p}}_{1}}{{e}^{{i\omega t}}}]$
для граничных условий (1.2).

Вводя комплексные амплитуды, решение в первом приближении примет вид

${{\tilde {u}}_{1}} = {{u}_{0}}(x){{Y}_{x}}(y),\quad {{{\tilde {v}}}_{1}} = - f{{y}_{0}}\frac{{d{{u}_{0}}}}{{dx}}(x){{Y}_{y}}(y),\quad {{\tilde {p}}_{1}} = - \left( {1 - f} \right)\frac{{{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}{{i\omega }}\frac{{d{{u}_{0}}}}{{dx}}$
где

${{u}_{0}}(x) = \frac{{0.5{{U}_{0}}}}{{1 - f}}\left( {\frac{{{\text{ch}}\alpha x}}{{{\text{ch}}\alpha {{x}_{0}}}} - \frac{{{\text{sh}}\alpha x}}{{{\text{sh}}\alpha {{x}_{0}}}}} \right),\quad {{Y}_{x}}(y) = 1 - \frac{{{\text{ch}}\beta y}}{{{\text{ch}}\beta {{y}_{0}}}},\quad {{Y}_{y}}(y) = \frac{y}{{{{y}_{0}}}} - \frac{{{\text{sh}}\beta y}}{{{\text{sh}}\beta {{y}_{0}}}}$
$\alpha = \frac{{i\omega {\text{/}}{{c}_{0}}}}{{\sqrt {1 - f} }},\quad f = \frac{{{\text{th}}\beta {{y}_{0}}}}{{\beta {{y}_{0}}}},\quad \beta = \frac{{1 + i}}{\delta },\quad \delta = \sqrt {\frac{{2\nu }}{\omega }} $

2.2. Второе приближение и акустическое течение

Выделение возмущения второго порядка малости из (2.1) дает систему

$\frac{{\partial {{\rho }_{2}}}}{{\partial t}} + {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{{v}}_{2}}}}{{\partial y}}} \right) = - \left( {\frac{{\partial {{\rho }_{1}}{{u}_{1}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{\rho }_{1}}{{{v}}_{1}}}}{{\partial y}}} \right)$
(2.3)
${{\rho }_{0}}\frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial t}} - \mu \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{\partial {{p}_{2}}}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial {{\rho }_{1}}{{u}_{1}}}}{{\partial t}} - {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial u_{1}^{2}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}{{\partial y}}} \right)$
$\frac{{\partial {{p}_{2}}}}{{\partial y}} = 0$

Осреднение системы (2.3) по периоду приводит к системе

$\frac{{\partial \overline {{{\rho }_{0}}{{u}_{2}} + {{\rho }_{1}}{{u}_{1}}} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \overline {{{\rho }_{0}}{{{v}}_{2}} + {{\rho }_{1}}{{{v}}_{1}}} }}{{\partial y}} = 0$
(2.4)
$\mu \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\bar {u}}}_{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{{\partial {{{\bar {p}}}_{2}}}}{{\partial x}} = {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial \overline {u_{1}^{2}} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \overline {{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}} }}{{\partial y}}} \right)$
$\frac{{\partial {{{\bar {p}}}_{2}}}}{{\partial y}} = 0$

Второе уравнение может быть представлено в виде

(2.5)
$\mu \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\bar {u}}}_{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} = \frac{{d{{{\bar {p}}}_{2}}}}{{dx}} - F{\text{(}}x,y{\text{)}}$
(2.6)
${\text{где}}\quad F{\text{(}}x,y{\text{)}} = - {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial \overline {u_{1}^{2}} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \overline {{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}} }}{{\partial y}}} \right)$

Используя в (2.6) связь среднего по периоду произведения двух гармоник с их комплексными амплитудами $\overline {{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}} = 0.5{\text{Re[}}{{\tilde {u}}_{1}}{\tilde {v}}_{1}^{*}{\text{]}}$, $\overline {u_{1}^{2}} = 0.5{\text{Re[}}{{\tilde {u}}_{1}}\tilde {u}_{1}^{*}{\text{]}}$, можно записать

(2.7)
$\frac{{F{\text{(}}x,y{\text{)}}}}{\mu } = - \frac{{{{\rho }_{0}}}}{{2\mu }}{\text{Re}}\left[ {\frac{{\partial {\text{(}}{{{\tilde {u}}}_{1}}\tilde {u}_{1}^{*}{\text{)}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\text{(}}{{{\tilde {u}}}_{1}}{\tilde {v}}_{1}^{*}{\text{)}}}}{{\partial y}}} \right] = - {{V}_{0}}{\text{Re}}\left[ {G{\text{(}}x{\text{)}}\left( {\frac{{{{Y}_{x}}Y_{x}^{*}}}{{{{\delta }^{2}}}} - \frac{{{{y}_{0}}f{\text{*}}}}{{2{{\delta }^{2}}}}\frac{{d{\text{(}}{{Y}_{x}}Y_{y}^{*}{\text{)}}}}{{dy}}} \right)} \right]$
где ${{V}_{0}} = \frac{{{{{\left| {{{U}_{0}}} \right|}}^{2}}{{\delta }^{2}}}}{{{{x}_{0}}\nu }} = \frac{{2{{{\left| {{{U}_{0}}} \right|}}^{2}}}}{{{{x}_{0}}\omega }}$, $G(x) = \frac{{{{x}_{0}}}}{{{{{\left| {{{U}_{0}}} \right|}}^{2}}}}{{\tilde {u}}_{0}}\frac{{d\tilde {u}_{0}^{*}}}{{dx}}$. Интегрирование (2.5) дважды по $y$ приведет к уравнению
$\mu {{\bar {u}}_{2}} = \frac{{{{y}^{2}}}}{2}\frac{{d{{{\bar {p}}}_{2}}}}{{dx}} - \int {\int {F{\text{(}}x,y{\text{)}}dy} dy} + \mu {{C}_{1}}{\text{(}}x{\text{)}}y + \mu {{C}_{0}}{\text{(}}x{\text{)}}$
где ${{C}_{0}}(x)$, ${{C}_{1}}(x)$ – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

В силу симметрии задачи ${{\bar {u}}_{2}}$ является четной функцией от $y$, откуда ${{C}_{1}}(x) = 0$ и окончательно

${{\bar {u}}_{2}} = \frac{{{{y}^{2}}}}{{2\mu }}\frac{{d{{{\bar {p}}}_{2}}}}{{dx}} - \frac{1}{\mu }\int {\int {F{\text{(}}x,y{\text{)}}dy} dy} + {{C}_{0}}{\text{(}}x{\text{)}}$

Двойной интеграл от (2.7) записан в виде

(2.8)
$\frac{1}{\mu }\int {\int {F{\text{(}}x,y{\text{)}}dy} dy} = - {{V}_{0}}{\text{Re}}\left[ {G{\text{(}}x{\text{)}}\left( {{{H}_{1}} + i{{H}_{2}}} \right)} \right]$
где ${{H}_{1}} = \frac{1}{{{{\delta }^{2}}}}\left( {\iint {{{Y}_{x}}Y_{x}^{*}dydy - \frac{{{{y}^{2}}}}{2}}} \right)$, ${{H}_{2}} = \frac{1}{{{{\delta }^{2}}}}\left( {\int {{{Y}_{x}}Y_{y}^{*}dy} + \frac{{if{\text{*}}{{y}^{2}}}}{4}} \right)$

Используя соотношения

${{\beta }^{2}} + {{\beta }^{*}}^{2} = 0,\quad {{\beta }^{2}} - {{\beta }^{*}}^{2} = \frac{{4i}}{{{{\delta }^{2}}}},\quad {\text{Re[}}iz{\text{] = }} - {\text{Im[}}z{\text{],}}\quad {\text{sh}}iz = i\sin z,\quad {\text{ch}}iz = \cos z$
получаем

${{H}_{1}} = \frac{{{\text{ch(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}} - {\text{cos(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}}}}{{{\text{8|ch}}\beta {{y}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}}} - {\text{Im}}\frac{{{\text{ch}}\beta y}}{{{\text{ch}}\beta {{y}_{0}}}}$
${{H}_{2}} = f{\text{*}}\frac{{{\text{ch}}\beta y - \beta y{\text{sh}}\beta y}}{{{\text{4ch}}\beta {{y}_{0}}}} + \frac{1}{4}\frac{{{\text{ch}}\beta {\text{*}}y}}{{{\text{ch}}\beta {\text{*}}{{y}_{0}}}} - \frac{{{\text{ch(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}} + i{\text{cos(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}}}}{{8\beta \delta {{{\left| {{\text{ch}}\beta {{y}_{0}}} \right|}}^{2}}}}$

Для средней скорости

${{\bar {u}}_{2}} = V{\text{(}}G,y{\text{)}} + {{C}_{2}}{\text{(}}x{\text{)}}{{y}^{2}} + {{\bar {u}}_{2}}{\text{(}}x,0{\text{)}}$
где $V{\text{(}}G,y{\text{)}} = {{V}_{0}}{\text{Re[}}G{\text{(}}{{H}_{1}}{\text{(}}y{\text{)}} + i{{H}_{2}}{\text{(}}y{\text{))]}}$, а в ${{C}_{2}}(x)$ войдут коэффициенты при исключенных из (2.8) членов пропорциональных y2

${{C}_{2}}{\text{(}}x{\text{)}} = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{d{{{\bar {p}}}_{2}}}}{{dx}} + \frac{{{{\rho }_{0}}\left| {U_{0}^{2}} \right|}}{{2{{x}_{0}}}}{\text{Re}}\left[ {{\text{(2}} - f*{\text{)}}G{\text{(}}x{\text{)}}} \right]} \right)$

Это соотношение необходимо для определения давления ${{\bar {p}}_{2}}$.

2.3. Средняя массовая скорость

Эту величину определяют как

${\mathbf{\bar {u}}}_{2}^{M} = \frac{{\overline {\rho {\mathbf{u}}} }}{{\bar {\rho }}} \approx \frac{{\overline {{\text{(}}{{\rho }_{0}} + {{\rho }_{1}}{\text{)(}}{{{\mathbf{u}}}_{1}} + {{{\mathbf{u}}}_{2}}{\text{)}}} }}{{\overline {{{\rho }_{0}} + {{\rho }_{1}}} }} \approx {{{\mathbf{\bar {u}}}}_{2}} + \frac{{\overline {{{\rho }_{1}}{{{\mathbf{u}}}_{1}}} }}{{{{\rho }_{0}}}}$

Первое соотношение (2.4) показывает, что средняя массовая скорость соленоидальна, т.е. ${\text{div}}{\mathbf{\bar {u}}}_{2}^{M}$ = 0. Она связана с комплексными амплитудами ${\mathbf{\bar {u}}}_{2}^{M} = {{{\mathbf{\bar {u}}}}_{2}} + \frac{{\operatorname{Re} [{{{\tilde {p}}}_{1}}{\mathbf{\tilde {u}}}_{1}^{*}]}}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}$, откуда в проекции на ось $x$ получаем

(2.9)
$\begin{gathered} \bar {u}_{2}^{M} = {{{\bar {u}}}_{2}}(x,y) + \frac{{\operatorname{Re} \text{[}{{{\tilde {p}}}_{1}}\tilde {u}_{1}^{*}]}}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}} = {{{\bar {u}}}_{2}}(x,y) + \frac{1}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}\operatorname{Re} \left[ { - {\text{(}}1 - f{\text{)}}\frac{{{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}{{i\omega }}\frac{{d{{{\tilde {u}}}_{0}}{\text{(}}x{\text{)}}}}{{dx}}\tilde {u}_{0}^{*}{\text{(}}x{\text{)}}Y_{x}^{*}{\text{(}}y{\text{)}}} \right] = \\ = \;{{{\bar {u}}}_{2}}(x,y) + {{V}_{0}}\operatorname{Re} \left[ {\frac{1}{4}i{\text{(}}1 - f{\text{)}}G{\text{*}}(x)Y_{x}^{*}{\text{(}}y{\text{)}}} \right] \\ \end{gathered} $

В силу соленоидальности поля массовой скорости введена функция тока $\psi $ так, что

(2.10)
$\bar {u}_{2}^{M} = \partial \psi {\text{/}}\partial y,\quad {\bar {v}}_{2}^{M} = - \partial \psi {\text{/}}\partial x$

Проинтегрировав уравнение (2.9) по y, получится функция тока в виде

(2.11)
$\psi {\text{(}}G,y{\text{)}} = \theta {\text{(}}G,y{\text{)}} + {{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}}\frac{{{{y}^{3}}}}{{y_{0}^{3}}} + {{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}}\frac{y}{{{{y}_{0}}}}$
где $\theta (G,y) = {{V}_{0}}\delta \operatorname{Re} \left[ {G(x)\{ {{H}_{3}}(y) + i{{H}_{4}}(y)\} + \frac{1}{4}i(1 - f)G{\text{*}}(x){{H}_{5}}(y)} \right]$, ${{H}_{{3,4}}} = {{\delta }^{{ - 1}}}\int {{{H}_{{1,2}}}dy} $, ${{H}_{5}} = {{\delta }^{{ - 1}}}\int {Y_{x}^{*}} dy$.

Коэффициенты четных степеней y приняты равными нулю, потому что $\psi $ должна быть нечетной функцией от y. Из соотношений (2.9), (2.11) получено

${{A}_{3}}{\text{(}}x{\text{)}} = \frac{{{{C}_{2}}{\text{(}}x{\text{)}}}}{3}y_{0}^{3},\quad {{A}_{1}}{\text{(}}x{\text{)}} = {{C}_{0}}{\text{(}}x{\text{)}}y{{y}_{0}} + {{V}_{0}}{\text{Re}}\left[ {\frac{1}{4}i{\text{(}}1 - f{\text{)}}G{\text{*(}}x{\text{)}}y} \right]{{y}_{0}}$
${{H}_{3}} = \frac{{{\text{sh(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}} - {\text{sin(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}}}}{{{\text{16|ch}}\beta {{y}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}}} - {\text{Im}}\frac{{{\text{sh}}\beta y}}{{\beta \delta {\text{ch}}\beta {{y}_{0}}}}$
${{H}_{4}} = f{\text{*}}\frac{{{\text{2sh}}\beta y - \beta y{\text{ch}}\beta y}}{{{\text{4}}\beta \delta {\text{ch}}\beta {{y}_{0}}}} + \frac{i}{{4\beta \delta }}\frac{{{\text{sh}}\beta {\text{*}}y}}{{{\text{ch}}\beta {\text{*}}{{y}_{0}}}} - \frac{{{\text{sh(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}} + i{\text{sin(}}2y{\text{/}}\delta {\text{)}}}}{{16\beta \delta {{{\left| {{\text{ch}}\beta {{y}_{0}}} \right|}}^{2}}}}$
${{H}_{5}} = \frac{y}{\delta } - \frac{i}{{\beta \delta }}\frac{{{\text{sh}}\beta {\text{*}}y}}{{{\text{ch}}\beta {\text{*}}{{y}_{0}}}}$

Из (2.9), (2.10) выражена средняя продольная массовая скорость

$\bar {u}_{2}^{M}{\text{(}}G,y{\text{)}} = V{\text{(}}G,y{\text{)}} + {{V}_{0}}{\text{Re}}\left[ {\frac{1}{4}i{\text{(}}1 - f{\text{)}}G{\text{*}}Y_{x}^{*}} \right] + \frac{1}{{{{y}_{0}}}}\left[ {3{{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}}\frac{{{{y}^{2}}}}{{y_{0}^{2}}} + {{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}}} \right]$

Так как $Y_{x}^{*}{\text{(}}{{y}_{0}}{\text{)}} = {{Y}_{x}}{\text{(}}{{y}_{0}}{\text{)}} = 0$, то неизвестные функции ${{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}}$ и ${{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}}$ определяются условиями прилипания и не протекания, соответственно

$\bar {u}_{2}^{M}{\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} = 0{\text{:}}\,\,V{\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} + \frac{3}{{{{y}_{0}}}}{{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}} + \frac{1}{{{{y}_{0}}}}{{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}} = 0$
$\psi {\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} = 0{\text{:}}\,\,\theta {\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} + {{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}} + {{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}} = 0$
откуда

$\left\{ \begin{gathered} {{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}} = - \frac{3}{2}\theta {\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} + \frac{1}{2}{{y}_{0}}V{\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} \hfill \\ {{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}} = \frac{1}{2}\theta {\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} - \frac{1}{2}{{y}_{0}}V{\text{(}}G,{{y}_{0}}{\text{)}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Поперечная компонента средней массовой скорости находится дифференцированием (2.11). В силу линейной зависимости величин $\theta $, ${{A}_{3}}$, ${{A}_{1}}$ от $G$ получено

${\bar {v}}_{2}^{M}(G,y) = - \left( {\theta (G{\text{'}},y) + {{A}_{3}}(G{\text{'}})\frac{{{{y}^{3}}}}{{y_{0}^{3}}} + {{A}_{1}}(G{\text{'}})\frac{y}{{{{y}_{0}}}}} \right)$
где $G{\text{'}}(x) = \frac{{dG(x)}}{{dx}}$.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

На рис. 2 представлены продольная и поперечная составляющие безразмерной скорости первого приближения (2.2) на левой границе резонатора. Ввиду симметричности компоненты скорости u и антисимметричности компоненты ${v}$ представлены эпюры только для верхней полуплоскости резонатора. Графики соответствуют различным фазам периода T с шагом T/8. Ввиду условия прилипания скорость на вертикальной границе равна нулю. Видно, что продольная компонента скорости на левой границе почти всюду постоянна (не зависит от y), но сильно меняется в вязком пограничном слое, стремясь к нулю на верхней и нижней стенках. В отличие от продольной компоненты скорости, поперечная составляющая изменяется линейно по y почти всюду кроме вязкого пограничного слоя. Заметим, что эти эпюры соответствуют предположению об одномерном характере поля давления, т.е. $\partial p{\text{/}}\partial y = 0$.

Рис. 2.

Продольная (а) и поперечная (б) составляющие скорости первого приближения.

На рис. 3 представлены продольная и поперечная составляющие средней массовой скорости течения для параметров, представленных в статье [10]. В качестве масштаба скоростей использована скорость Рэлея ${{u}_{R}} = \frac{3}{{16}}\frac{{U_{m}^{2}}}{{{{c}_{0}}}}$ – характерная скорость акустического течения, где Um – максимальная скорость акустического течения. Здесь сплошной линией изображены эпюры средней скорости, рассчитанные в [10] для резонатора с колеблющейся левой границей. Точками изображены результаты, рассчитанные в [9] для каверны, совершающей продольные колебания. Пунктирной линией изображены эпюры скоростей, рассчитанные для резонатора с колеблющейся левой стенкой. Видно, что они хорошо согласуются с результатами для колеблющейся каверны.

Рис. 3.

Продольная (а) и поперечная (б) составляющие средней массовой скорости: 1 – результаты [10]; 2 – результаты [9]; 3 – настоящая работа.

На рис. 4 представлены линии тока акустического течения в виде четырех вихрей Рэлея и четырех вихрей Шлихтинга. Видно сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных колебаниях каверны (a) и при колебаниях левой стенки резонатора (б). Однако, в отличие от случая колеблющейся каверны, акустическое течение, индуцированное колебанием левой стенки, имеет перетоки вблизи подвижной стенки. В случае колеблющейся каверны центры вихрей Рэлея и Шлихтинга лежат в одном поперечном сечении, а в случае резонатора с колеблющейся стенкой эти центры не лежат на одной прямой, причем центры вихрей Шлихтинга смещены в сторону боковых границ.

Рис. 4.

Линии тока акустического течения: а – колеблющаяся каверна; б – колеблющаяся левая граница.

Хотя частота возбуждения $\omega $ в полученном решении является произвольной, принято рассматривать возбуждение на самой низкой резонансной частоте системы, которую обозначим ${{\omega }_{1}}$. Метод определения ${{\omega }_{1}}$ как функции ${{y}_{0}}{\text{/}}\delta $ состоит в том, чтобы найти значение $\omega $, при котором продольная компонента скорости акустического течения является наибольшей в центре резонатора. Для оценки комплексной амплитуды продольной компоненты скорости в центре резонатора $\left| {{{{\tilde {u}}}_{x}}(0,0)} \right|$ использовано выражение комплексной амплитуды продольной компоненты скорости в первом приближении $\tilde {u}(x,y)$ = $\frac{{0.5{{U}_{0}}}}{{1 - f}}\left( {\frac{{{\text{ch}}\alpha x}}{{{\text{ch}}\alpha {{x}_{0}}}} - \frac{{{\text{sh}}\alpha x}}{{{\text{sh}}\alpha {{x}_{0}}}}} \right)\left( {1 - \frac{{{\text{ch}}\beta y}}{{{\text{ch}}\beta {{y}_{0}}}}} \right)$. Пусть ${{\omega }_{0}} = \pi {{c}_{0}}{\text{/}}L$ – фундаментальная резонансная частота. Значения ${{\omega }_{1}}{\text{/}}{{\omega }_{0}}$, полученные таким образом, показаны на рис. 5. При ${{\omega }_{1}} = {{\omega }_{0}}$ решение можно построить как функции от $x{\text{/}}{{x}_{0}}$ и $y{\text{/}}{{y}_{0}}$ в зависимости от единственного параметра ${{y}_{0}}{\text{/}}\delta $.

Рис. 5.

Резонансная частота как функция ширины канала.

На рис. 6a и б первые столбцы представляют линии тока; вторые столбцы – распределения продольной компоненты скорости в сечении $x{\text{/}}{{x}_{0}} = 0.5$ (на рис. 6б сплошная линия – средняя массовая скорость, пунктирная линия – средняя скорость); третьи столбцы – распределения поперечной составляющей средней массовой скорости в сечении $x{\text{/}}{{x}_{0}} = 0$. Видно сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных колебаниях каверны (рис. 6a) и при колебаниях левой стенки резонатора (рис. 6б), а также хорошее согласование средних массовых скоростей. На рис. 6б в столбце 2 представлен график продольной массовой и средней скорости. Они хорошо согласуются при толщине резонатора более десяти толщин акустического пограничного слоя ${{y}_{0}} \geqslant 10\delta $. В случае, когда ширина резонатора менее шести толщин вязкого пограничного слоя ${{y}_{0}} < 6\delta $, акустическое течение представлено только вихрями Шлихтинга, вихри Рэлея не образуются.

Рис. 6.

Параметры акустического течения: а – [9]; б – результаты настоящей работы; 1 –линии тока; 2 – распределения продольной компоненты скорости в сечении $x{\text{/}}{{x}_{0}} = 0.5$ (сплошная линия – средняя массовая скорость, пунктирная линия – средняя скорость); 3 – распределения поперечной составляющей средней массовой скорости в сечении $x{\text{/}}{{x}_{0}} = 0$.

Рис. 6.

Окончание.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученное приближенное решение задачи об акустическом течении в прямоугольном резонаторе, возбужденном колебанием левой границы на резонансной частоте, отличается от решения [9]. Однако сравнение решений показывает хорошее согласие между ними за исключением области вблизи колеблющейся стенки, в частности в каверне и в резонаторе образуются вихри Рэлея и Шлихтинга. Условием применимости полученного решения является малость толщины пограничного слоя по сравнению с длиной акустической волны, а мгновенная скорость частиц газа пренебрежимо мала по сравнению со скоростью звука. Используемая модель не учитывает конвективное ускорение частиц газа и образование периодической ударной волны при больших амплитудах колебаний. Установлено сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных гармонических колебаниях каверны и при колебаниях левой стенки резонатора, что говорит о малом влиянии способа генерации стоячей волны на паттерны акустических течений. В случае колеблющейся каверны центры вихрей Рэлея и Шлихтинга лежат в одном поперечном сечении, а в случае резонатора с колеблющейся границей центры вихрей Шлихтинга смещены в сторону боковых стенок. Обнаружено существование перетоков вблизи колеблющейся стенки резонатора, которое обусловлено постановкой граничных условий.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 20-11-20070).

Список литературы

  1. Lord Rayleigh (Srutt J.W.) On the circulation of air observed in Kundt’s tubes, and on some allied acoustical problems // Philos. Trans. R. Soc. London. 1884. V. 175. Sec. 3. P. 1–21. https://doi.org/10.1098/rstl.1884.0002

  2. Westervelt P.J. The theory of steady rotational flow generated by a sound field // J. Acoust. Soc. Am. 1953. V. 25. P. 60–67. https://doi.org/10.1121/1.1907009

  3. Nyborg W.L. Acoustic streaming // Physical Acoustics. 1965. V. 2. Part B. Chap. 11. P. 290–295. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-395662-0.50015-1

  4. Nyborg W.L. Acoustic streaming // Nonlinear Acoustics. 1998. Chap. 7. Sec. 3.3.

  5. Schlichting H., Gersten K. Boundary-Layer Theory. New York: Springer Inc. 2017. 814 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-52919-5

  6. Zarembo L.K. Acoustic streaming // High-Intensity Ultrasonic Fields. 1971. Part III. P. 135–199. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5408-7_3

  7. Rudenko O.V., Soluyan S.I. Theoretical Foundations of Nonlinear Acoustics. New York: Plenum. 1977. P. 206–210. https://doi.org/10.1002/jcu.1870060222

  8. Gubaidullin D.A., Osipov P.P., Nasyrov R.R. Numerical simulation of Schlichting streaming induced by standing wave in rectangular enclosure // Journal of Physics: Conf. ser. 2014. V. 567. № 12017. 8 p. https://doi.org/10.1088/1742-6596/567/1/012017

  9. Hamilton M.F., Ilinskii Y.A., Zabolotskaya E.A. Acoustic streaming generated by standing waves in two-dimensional channels of arbitrary width // J. Acoust. Soc. Am. 2003. V. 113. P. 153–160. https://doi.org/10.1121/1.1528928

  10. Aktas M.K., Farouk B. Numerical simulation of acoustic streaming generated by finite-amplitude resonant oscillations in an enclosure // J. Acoust. Soc. Am. 2004. V. 116. № 5. P. 2822–2831. https://doi.org/10.1121/1.1795332

  11. Hamilton M.F., Ilinskii Y.A., Zabolotskaya E.A. Nonlinear two-dimensional model for thermoacoustic engines // J. Acoust. Soc. Am. 2002. V. 111. P. 2076–2086. https://doi.org/10.1121/1.1467675

  12. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966. 520 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.