Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2021, № 2, стр. 117-136

1.1. Конфигурация области течения и постановка задачи

Расчетная область состоит из цилиндра диаметра D, расположенного симметрично между двумя параллельными стенками высоты H, с волнообразным сегментом, как показано на рис. 1. Длина волны и амплитуда сегмента с волнообразными стенками обозначены λ и A соответственно. Отношение диаметра цилиндра D к высоте канала H представляет собой коэффициент загромождения рабочего сечения D/H. Вход в канал расположен вверх по потоку на расстоянии L₁ = = 6D от центра обтекаемого кругового цилиндра, в то время как выход из канала расположен вниз по потоку на расстоянии L₂ = 24D от центра кругового цилиндра. Расстояние от передней кромки сегмента с волнообразными стенками вдоль оси канала до проекции на ось канала центра цилиндра обозначено X_λ. Осевое расположение цилиндра внутри сегмента с волнообразными стенками может изменяться за счет варьирования X_λ. В настоящем исследовании цилиндр помещен на участке с волнообразными стенками на расстоянии X_λ = D/2 и это значение зафиксировано во всех рассмотренных случаях.

В настоящей работе исследуются эффекты изменения параметров сегмента с волнообразными стенками (λ и A), безразмерного параметра потока (число Рейнольдса Re) и геометрического параметра (D/H) на оказываемое сопротивление и сход вихрей, индуцируемый обтеканием цилиндра. Изменение длины волны и амплитуды конфигурации с волнообразными стенками изменяет угол наклона между гребнем и ложбиной волнообразного участка, что, в свою очередь, воздействует на траекторию движения потока и его характеристики. По этой причине задается некоторая первоначально оптимизированная конфигурации с волнообразными стенками. Характеристики входного течения обычно связываются с числами Рейнольдса. Изменение числа Рейнольдса приводит к изменению соотношения между инерциальными и вязкими силами и таким образом влияет на поведение течения. В дальнейшем исследуется влияние изменения числа Рейнольдса на характеристики сопротивления и следа за цилиндром. После этого проведено исследование влияния коэффициента загромождения рабочего сечения на обтекание цилиндра.

1.2. Математическая постановка задачи

Основные уравнения для описания двумерного нестационарного несжимаемого течения состоят из уравнения неразрывности и уравнений движения в проекции на оси x и y, которые могут быть записаны в виде следующей системы уравнений:

где u и ${v}$ представляют собой x- и y-компоненты скорости, p есть давление, μ – коэффициент динамической вязкости и ρ – плотность жидкости.

Число Рейнольдса Re и число Струхаля St, заданные ниже соотношением (1.4), представляют собой два важных параметра подобия (безразмерных числа), используемых в данном исследовании. Число Рейнольдса есть отношение импульса к вязкой силе и число Струхаля полезно для описания процесса схода вихрей

где U – скорость на оси входа в канал и f – частота схода вихрей.

Осредненный коэффициент лобового сопротивления $\overline {{{C}_{d}}} $ и осредненный коэффициент подъемной силы $\overline {{{C}_{1}}} $ даются следующими соотношениями

Сила сопротивления состоит из вязкого сопротивления и сопротивления давления. Вязкое сопротивление есть сила, действующая на цилиндр со стороны жидкости из-за трения, тогда как сопротивления давления есть сила, действующая на цилиндр из-за перепада давления между передней и задней сторонами цилиндра. Коэффициенты вязкого сопротивления и сопротивления давления, осредненные по поверхности цилиндра, обозначены $\overline {{{C}_{{df}}}} $ и $\overline {{{C}_{{dp}}}} $ cоответственно.

Безразмерное поверхностное давление на цилиндре может быть представлено коэффициентом давления C_p следующим соотношением:

где p – локальное поверхностное давление на цилиндре, p_∞ – давление вверх по потоку и U_∞ – скорость набегающего потока [18].

Длина зоны рециркуляции с задней стороны цилиндра обозначается как длина следа Lw. Безразмерная длина следа может быть вычислена из следующего соотношения

Расстояние l измеряется от центра цилиндра до точки повторного присоединения линий тока на задней стороне цилиндра.

1.3. Граничные условия

Течение на входе в канал считается полностью развитым. Параболический профиль скорости на входе, задающий полностью развитое течение, наложен на входное граничное условие. Соотношения для x- и y-компонент скорости на входе представляются в следующем виде:

где y обозначает вертикальное расстояние, которое меняется между –H/2 и H/2, и H есть высота канала. На выходе из канала используется выходное граничное условие для давления, которое предполагает нулевое избыточное давление на выходе. На верхней и нижней стенках канала принимается условие отсутствия проскальзывания (условие прилипания).

1.4. Дискретизация области и независимость сетки

Расчетная область разделялась на несколько частей, как изображено на рис. 2а, чтобы генерировать структурированную сетку. Сетка, сгенерированная вокруг волнообразной стенки и цилиндра, представлена на рис. 2б. Было выполнено исследование независимости сетки для того, чтобы исключить любые ложные эффекты разрешающей способности сетки на рассчитанные величины в поле течения. Для этой цели были проведены численные расчеты на трех различных сетках G₁, G₂ и G₃ при числах Рейнольдса 50, 100, 150 и 200 с фиксированным коэффициентом загромождения рабочего сечения D/H = 0.5. Детали расположения узловых точек сетки даны в табл. 1.

В табл. 2 представлены результаты для осредненных коэффициентов сопротивления цилиндра и осредненного сопротивления по давлению для сеток G₁ (грубая), G₂ (средняя) и G₃ (мелкая) при различных значениях числа Рейнольдса. Эти результаты показывают, что коэффициент лобового сопротивления не зависит от разрешающей способности сетки, как это изображено в табл. 2. Однако размер сетки влияет на коэффициент давления. Грубая сетка (G₁) переоценивает значение коэффициента давления на 11.02% при Re = 100 и на 28.95% при Re = 200 по сравнению со средней сеткой (G₂). В табл. 3 представлена относительная разница, выраженная в процентах, для результатов, полученных на сетках G₁ и G₂, и G₂ и G₃. Максимальное относительное изменение коэффициента давления между сетками G₂ и G₃ составляет 3.7% при Re = 100 и 7.6% при Re = 200. Относительная разница в коэффициенте давления значительно меньше между G₂ и G₃ даже при Re = 200. По этой причине в данном исследовании сетка G₂ была выбрана для всех расчетов из-за меньших вычислительных затрат и большей точности полученного решения.

3.1. Проверка достоверности результатов

Как указано выше, коэффициент лобового сопротивления при ламинарном обтекании цилиндра, ограниченного стенками, зависит от числа Рейнольдса и коэффициента загромождения рабочего сечения. По этой причине достоверность предлагаемой методики численного решения может быть проверена путем сравнения зависимости осредненного коэффициента лобового сопротивления от числа Рейнольдса и коэффициента загромождения рабочего сечения для плоского канала и канала с участком волнообразных стенок. Вначале результаты, полученные для канала с плоскими стенками, сравниваются с результатами [1] для различных значений числа Рейнольдса и коэффициента загромождения рабочего сечения. Результаты, представленные на рис. 3а и 3б, показывают, что коэффициент лобового сопротивления убывает при увеличении числа Рейнольдса и возрастает при росте коэффициента загромождения рабочего сечения. Хорошее согласие между результатами настоящего исследования и [1] достигается в обоих случаях. При Re = 1 наблюдается максимальное отклонение результатов, равное 2.49%. Максимальное относительное различие между $\overline {{{C}_{d}}} $, полученным в настоящем исследовании и данными, приведенными в литературе [1], составляет только 1.37% при коэффициенте загромождения рабочего сечения D/H = 0.9.

Результаты для $\overline {{{C}_{d}}} $ при различных расположениях цилиндров, полученные в настоящем исследовании и в [17], сравниваются при D/H = 0.5 и Re = 200, когда λ = 2D и A = 0.15D. Сравнение результатов представлено на рис. 3в. Положение цилиндра на участке с волнообразными стенками варьировалось за счет изменения X_λ. Результаты показывают, что положение цилиндра на участке с волнообразными стенками имеет существенное воздействие на коэффициент лобового сопротивления. В [17] было показано, что при помещении цилиндра между гребнем и ложбиной волнообразной стенки, т.е. при X_λ = 0.5, достигается минимальное значение $\overline {{{C}_{d}}} $. Результаты, полученные по настоящей методике, показывают хорошее согласие с результатами, полученными в [17]. Максимальное отклонение от настоящей работы составляет только –1.07% при X_λ = 1.5.

3.2. Оптимизация конфигурации с волнообразными стенками

Текущее понимание зависимости амплитуды и длины волны от характеристик обтекания цилиндра все еще довольно туманное. Поэтому оптимизация участка канала с волнообразными стенками совершенно необходима, прежде чем приступать к экспериментальному исследованию и возможному использованию эффектов, обусловленных влиянием числа Рейнольдса и коэффициента загромождения рабочего сечения на эту конфигурацию. В этом отношении излагаемая часть исследования посвящена оптимизации длины волны и амплитуды волнообразной части стенки. Вначале амплитуда варьировалась для двух различных волновых длин и затем амплитуда фиксировалась, а длина волны менялась. Во время изменения амплитуды и длины волны значения числа Рейнольдса и коэффициента загромождения рабочего сечения были зафиксированы и составляли Re = 200 и D/H = 0.5.

В [19] влияние амплитуды волнообразной стенки на обтекание кругового цилиндра было изучено при 0.05D ≤ A ≤ 0.2D, 20 ≤ Re ≤ 200, D/H = 0.5 и λ = 2D. Найденная оптимальная амплитуда равнялась 0.15D. Было также найдено, что коэффициент лобового сопротивления не изменялся при превышении значения A = 0.15D. Однако влияние амплитуды для больших значений длины волны волнистых стенок не было исследовано. С целью проведения исследования, амплитуда волнообразной стенки варьировалась от 0.1D до 0.3D при длинах волны λ = 2D и λ = 4D для Re = 200 и D/H = 0.5. В табл. 4 собраны данные для осредненного коэффициента лобового сопротивления для каждого из этих случаев. Вначале, при A = 0.1D, значения осредненного коэффициента лобового сопротивления для обеих длин волны относительно велики и близки к кривой, описывающей коэффициент лобового сопротивления для плоской стенки. Это можно понять, поскольку при A = 0.1D геометрия волнистой стеки очень близка к плоской стенке. По мере того, как амплитуда растет, величина коэффициента лобового сопротивления уменьшается при A = 0.15D и A = 0.2D. Коэффициент лобового сопротивления становится почти постоянным при A = 0.25D и 0.3D. По этой причине амплитуда волнистости волнообразной стенки выбирается равной A = 0.2D, поскольку бóльшие значения амплитуды могут повлиять на условия течения при бóльших значениях коэффициента загромождения рабочего сечения. Как видно из табл. 4, влияние длины волны на коэффициент лобового сопротивления гораздо больше, чем влияние амплитуды волнистости стенки. При λ = 4D значения коэффициента лобового сопротивления существенно меньше по сравнению с его значениями при λ = 2D для всех амплитуд волнистости. Это указывает на то, что коэффициент лобового сопротивления снижается в большей степени при большей длине волны. Таким образом, влияние длины волны волнообразного участка стенки при фиксированной амплитуде полностью исследовано.

В табл. 5 символически представлены девять различных конфигураций волнообразного участка стенки с 1.5D ≤ λ ≤ 20D при A = 0.2D. Имена конфигураций начинаются с ‘OPC’, что является аббревиатурой “Out-Phased Configuration” (конфигурация сдвинутых по фазе волнообразных стенок), поскольку цилиндр помещен между сдвинутыми по фазе верхней и нижней волнообразными стенками. На рис. 4а изображен эффект изменения длины волны участка с волнообразными стенками на коэффициент лобового сопротивления. Можно видеть, что рост длины волны вызывает уменьшение коэффициента лобового сопротивления. Эта тенденция наблюдается для длины волны вплоть до λ = 4D (OPCf), после чего коэффициент лобового сопротивления становится постоянным и в конце концов начинает даже несколько возрастать для очень больших значений λ, как это представлено в табл. 6. На рис. 4б распределение давления по поверхности цилиндра изображено с помощью графика для коэффициента давления как функции угловой координаты при разных значениях длины волны. Когда изображается коэффициент давления, угол θ/θ_max представляет собой безразмерный угол, показывающий угловое положение точки на поверхности цилиндра. Величина θ_max представляет собой половину полного кругового угла цилиндра, равную 180°. Таким образом, значения θ/θ_max < 0.5 изображают коэффициент давления на передней части цилиндра, а θ/θ_max > 0.5 – на задней части цилиндра. В случае OPCa (λ = 1.5D) коэффициент давления принимает самые большие значения на передней (лобовой) стороне цилиндра по сравнению с бóльшими значениями λ. Это указывает на бóльшее сопротивление из-за разности давлений между передней и задней сторонами цилиндра. Имеет место постепенное уменьшение коэффициента давления на лобовой стороне цилиндра с ростом λ вплоть до λ = 4D. Уменьшение коэффициента давления показывает, что сопротивление из-за распределения давления по поверхности цилиндра снижается, что приводит к меньшим значениям коэффициента лобового сопротивления. При длинах волн λ > 4D коэффициент давления на лобовой стороне цилиндра начинает постепенно возрастать, что приводит к увеличенным значениям сопротивления давления, как это видно для OPCz (λ = 20D). На рис. 4в изображена безразмерная длина следа (Lw/D) для конфигураций с разными длинами волны. Длина следа растет почти линейно при увеличении длины волны сегмента с волнообразными стенками. На рис. 4в также изображена зависимость безразмерного угла отрыва (θ_s/θ_max) от λ/D. При λ = 1.5D безразмерный угол отрыва достигает наибольшего значения, что указывает на запаздывающий отрыв потока. По мере того, как длина волны возрастает, угол отрыва уменьшается, что означает более ранний отрыв потока с поверхности цилиндра. Для значений λ больше, чем λ = 4D, угол отрыва потока становится почти постоянным, что, в свою очередь, поддерживает значения коэффициентов лобового сопротивления и давления почти постоянными.

Сдвиговое напряжение на стенке цилиндра (τ_wss), изображенное на рис. 4г, было обезразмерено по динамическому давлению и построенные графики для τ_wss также подтверждают тот факт, что точка отрыва потока сдвигается в сторону передней половины цилиндра. В случае OPCa большое сдвиговое напряжение на стенке на задней половине цилиндра указывает на запаздывающее отделение потока; однако, по мере того, как длина волны волнообразной стенки растет, сдвиговое напряжение на стенке значительно уменьшается на задней половине цилиндра. Минимальная разница между сдвиговыми напряжениями на поверхности цилиндра наблюдается в случае OPCf.

Значения коэффициента лобового сопротивления, коэффициента подъемной силы и число Струхаля, приведенные в табл. 6, суммируют влияние варьирования длины волны сегмента с волнообразными стенками на обтекание кругового цилиндра. Флуктуации коэффициента подъемной силы наблюдаются только в случае плоской стенки и OPCz (λ = 20D). Это показывает, что сход вихрей остается подавленным в диапазоне от λ = 1.5D до λ = 5D. Минимальное значение коэффициента лобового сопротивления наблюдается при λ = 4D (OPCf), что на 36% меньше, чем на плоской стенке и на 24% меньше, чем дают результаты на волнистой стенке, полученные в [17]. По этой причине в качестве оптимальной длины волны сегмента с волнообразной стенкой было выбрано значение λ = 4D, поскольку оно обеспечивает минимальный осредненный коэффициент лобового сопротивления и полное подавление схода вихрей (St = 0).

На рис. 4д и 4е изображена временная эволюция коэффициентов C_d и C_l при обтекании цилиндра, ограниченного плоской и оптимизированной волнистой стенками при Re = 200 и D/H = 0.5. Опять пониженный коэффициент лобового сопротивления и нулевой коэффициент подъемной силы наблюдаются в случае оптимизированной волнистой стенки. Для объяснения физики обтекания цилиндра, лежащей в основе снижения сопротивления и подавления схода вихрей при наличии участка с волнообразной стенкой, на рис. 5а приведены картины линий тока. Можно видеть, что угол наклона между гребнем и ложбиной очень большой при меньших длинах волн. В случае OPCa угол наклона, отсчитываемый от горизонтальной оси, равен 28.1°, что вынуждает резкое изменение направления потока с относительно большим импульсом. Это явление вызывает более раннее повторное присоединение потока в области следа за цилиндром и формирование сильных вторичных вихрей за гребнем и ложбиной верхней и нижней волнообразных стенок. По мере того, как длина волны возрастает, угол наклона уменьшается, что приводит к постепенному изменению направления потока. Течение за цилиндром сближается с относительно малым импульсом на гребне и в ложбине волнообразных стенок. Это задерживает повторное присоединение потока в области следа за цилиндром и формирует слабые вихри сзади от участка с волнообразными стенками. Таким образом, длина следа (длина первичных вихрей на задней стороне цилиндра) и вторичные вихри сзади от участка с волнообразными стенками обратно зависимы один от другого. Однако в случае OPCf (λ = 4D) угол наклона равен 11.3°, вторичные вихри сзади от участка с волнообразными стенками исчезают и достигается минимальное сопротивление. В случае OPCg и OPCh угол наклона уменьшается еще больше, но наблюдается пренебрежимо малый эффект на динамику течения и длину следа. При очень больших значениях длины волны λ = 20D (OPCz) угол наклона составляет лишь 2°, что вызывает рост сопротивления и индуцирует сход вихрей.

Из изображений интенсивности завихренности, приведенных на рис. 5б, можно также видеть, что при меньших значениях длины волны при обтекании цилиндра и волнообразных стенок сдвиговые слои тонкие и имеют большую интенсивность завихренности. По мере того, как длина волны возрастает, сдвиговые слои становятся толстыми и имеют небольшую интенсивность завихренности в области следа. Картины интенсивностей завихренности подтверждают, что никакого схода вихрей не наблюдается во всех случаях, за исключением OPCz. Интересно, что хотя даже в последнем случае угол наклона волнообразных стенок составляет лишь 2°, коэффициент лобового сопротивления в случае OPCz остается существенно меньше, чем коэффициент лобового сопротивления для плоской стенки.

3.3. Влияние числа Рейнольдса на обтекание цилиндра при наличии ограничивающей волнообразной стенки

В этом разделе рассматривается влияние числа Рейнольдса на течение около цилиндра, ограниченное оптимизированной конфигурацией волнообразных стенок. Число Рейнольдса изменяется от 50 до 280, тогда как величина коэффициента загромождения рабочего сечения поддерживается на одном и том же значении D/H = 0.5. На рис. 6,а изображена зависимость осредненного коэффициента лобового сопротивления при обтекании цилиндра для конфигураций с плоскими и волнообразными стенками при 50 ≤ Re ≤ 280. В обоих случаях увеличение числа Рейнольдса приводит к росту коэффициента лобового сопротивления. Однако сопротивление при обтекании цилиндра существенно снижается в случае конфигурации с волнообразными стенками. Также можно видеть, что сопротивление, обусловленное давлением, составляет более 90% общего сопротивления. Следовательно, сопротивление, обусловленное давлением, представляет собой основной фактор в общем сопротивлении цилиндра. По этой причине на рис. 6б изображено распределение коэффициента давления по поверхности цилиндра. При Re = 50 значения коэффициента давления предполагают очень большую разность давлений между передней и задней сторонами цилиндра, что указывает на большое сопротивление цилиндра, обусловленное давлением. При росте числа Рейнольдса значения коэффициента давления убывают на цилиндре, что приводит к меньшим значениям сопротивления, обусловленного давлением. Увеличение числа Рейнольдса приводит к росту инерциальных сил и инициализирует ранний отрыв потока с поверхности цилиндра. Согласно [4], рост инерциальных сил служит причиной перемещения точки с нулевым градиентом давления из заднего положения точки торможения в положение вверх по потоку на поверхности цилиндра и запускает раннее отделение жидкости в точке, где имеет место отрицательный градиент давления. На рис. 6в приведены зависимости для угла отрыва потока и длины следа при обтекании цилиндра с разными числами Рейнольдса. Увеличение числа Рейнольдса вызывает уменьшение угла отрыва, что влечет за собой ранний отрыв потока от стенки цилиндра. Ранний отрыв потока вынуждает повторное присоединение течения в области следа смещаться вниз по потоку, дальше от цилиндра, приводя к увеличению длины следа. На рис. 4г изображены безразмерные распределения по поверхности цилиндра сдвиговых напряжений на стенке при разных числах Рейнольдса. Лобовая сторона цилиндра испытывает более сильные сдвиговые напряжения, при которых ускорение потока очень большое. Вклад сдвиговых напряжений на задней стороне цилиндра пренебрежимо мал по причине наличия следа за цилиндром. Наблюдается, что вклад сдвиговых напряжений на стенке по сравнению с вкладом скорости набегающего потока намного больше при меньших значениях числа Рейнольдса, чем это наблюдалось на графике для осредненного коэффициента лобового сопротивления на рис. 6а.

Важно также изучить вклад сопротивления на стенках канала, поскольку стенки и цилиндр располагаются близко. На рис. 6д приведены зависимости для коэффициентов сопротивления на цилиндре и стенках от числа Рейнольдса. Можно видеть, что сопротивления цилиндра намного больше, чем сопротивление стенок для всех значений Re. Снижение сопротивления цилиндра в канале с волнообразными стенками не дает вклада в дополнительное сопротивление на волнообразных стенках. Общий коэффициент сопротивления, который включает в себя как коэффициент сопротивления цилиндра и стенок канала, меньше в канале с волнообразными стенками, чем общий коэффициент сопротивления в плоском канале. Как можно видеть из рис. 6е, полный вклад стенок в общее сопротивление цилиндра и канала составляет менее 25% как в плоском канале, так и в канале с волнообразными стенками для всех значений Re. Вначале, при Re = 50, сопротивление, вызываемое стенками волнистого канала, составляет почти 21% от общего сопротивления цилиндра и стенок канала, тогда как в плоском канале эта величина равняется 17%. Это происходит из-за того, что поток дольше остается присоединенным к цилиндру и стенкам канала. По мере того, как Re увеличивается, влияние стенок канала на полное сопротивление снижается из-за более раннего отделения потока. При Re = 280 стенки вносят вклад, равный 6.8% при наличии участка с волнообразными стенками и 9.2% в канале с плоскими стенками. Таким образом, из приведенных данных можно сделать вывод, что канал при наличии участка с волнообразными стенками не уменьшает сопротивления при увеличении сопротивления на стенках канала.

На рис. 6ж и 6з воспроизведены детали и приведена общая картина обтекания цилиндра при разных значениях числа Рейнольдса, которая позволяет составить общее представление о значимости ограничения течения волнообразными стенками. На рис. 6ж изображены линии тока поля скоростей, тогда как на рис. 6з воспроизведены картины интенсивности завихренности потока при разных значениях числа Рейнольдса. При небольших числах Рейнольдса (Re = 50) восстановление безотрывного обтекания происходит непосредственно после прохождения потоком около цилиндра и, таким образом, формируется небольшая область следа. Когда число Рейнольдса становится больше (Re = 100), наблюдается более длинный след, поскольку имеет место более ранний отрыв потока от поверхности цилиндра по сравнению со случаем Re = 50 и восстановление безотрывного обтекания в области следа запаздывает. Длина следа растет линейно вплоть до Re = 200. Однако изменение размеров следа становится нечувствительным к числу Рейнольдса после того, как оно превосходит Re > 200. При Re > 200 из-за большего значения импульса сдвиговый слой растягивается и за участком с волнообразными стенками появляются вторичные вихри. Вторичные вихри сдавливают сдвиговые слои и предотвращают рост длины следа. Хотя отрыв потока от поверхности цилиндра все еще смещается вверх по потоку, но длина следа остается почти постоянной из-за вторичных вихрей. Из рис. 6з хорошо видно, что след за цилиндром подталкивается потоком ближе к цилиндру. Для всех значений числа Рейнольдса построенная картина интенсивностей завихренности также показывает, что сход вихрей отсутствует в области следа.

При Re = 50 коэффициент лобового сопротивления цилиндра при наличии участка с волнообразными стенками на 36% меньше, чем в случае плоских стенок. Как показано в табл. 7, разница между коэффициентами лобового сопротивления для конфигураций волнообразных и плоских стенок независимо от числа Рейнольдса остается постоянной на уровне около 36%. При использовании ограничения потока с волнообразными стенками максимальное снижение коэффициента сопротивления при D/H = 0.5 составляет приблизительно 36%. Таким образом, продемонстрирована важность исследования влияния коэффициента загромождения рабочего сечения на характеристики течения.

3.4. Влияние коэффициента загромождения рабочего сечения на обтекание цилиндра при наличии ограничивающей волнообразной стенки

В этом разделе описано влияние коэффициента загромождения рабочего сечения на обтекание цилиндра в случае оптимизированной конфигурации ограничивающих волнообразных стенок для Re = 200. С этой целью рассмотрены пять возможных конфигураций при изменении этого коэффициента в диапазоне 0.5 ≤ D/H ≤ 0.9. Сопротивление цилиндра очень чувствительно к изменению коэффициента загромождения рабочего сечения, особенно для узких каналов снижение сопротивления становится очень важным [6]. Увеличение коэффициента загромождения рабочего сечения вызывает сокращение длины следа в осевом сечении, инициируя смещение точки нулевой завихренности вверх по потоку. Это приводит к раннему отрыву потока вместе со значительным увеличением противодействующего градиента давления, что приводит к существенному увеличению сопротивления. Например, теплообменники, имеющие круглые трубки и узкие каналы с циркулирующей жидкостью, могут потребовать мощных насосов для прокачки жидкости по причине значительного сопротивления. Поэтому в таких случаях уменьшение сопротивления становится обязательным.

На рис. 7,а представлены зависимости осредненного коэффициента лобового сопротивления цилиндра от коэффициента загромождения рабочего сечения для конфигураций с плоской и волнообразными стенками. В случае плоской ограничивающей стенки $\overline {{{C}_{d}}} $ = 2.412 при D/H = 0.5. Значения $\overline {{{C}_{d}}} $ возрастают до 3.953 при D/H = 0.6 и 7.754 при D/H = 0.7. Значение $\overline {{{C}_{d}}} $ почти удваивается, когда коэффициент загромождения рабочего сечения возрастает от 0.5 до 0.7. Однако при D/H = 0.8 имеем $\overline {{{C}_{d}}} $ = 19.992, что показывает, что среднее сопротивление цилиндра возрастает более чем в восемь раз по сравнению со средним сопротивлением при D/H = 0.5. Значение $\overline {{{C}_{d}}} $ возрастает до чрезвычайно большого значения, равного 102.39 при D/H = 0.9, что более чем в 42 раза превосходит значение $\overline {{{C}_{d}}} $ при D/H = 0.5. Эти результаты подтверждают, что для очень узких каналов сопротивление цилиндра может возрастать до очень больших значений. Поэтому роль волнообразных стенок представляет очень большой интерес при исследовании обтекания цилиндра. На рис. 7а также приведена зависимость осредненного коэффициента лобового сопротивления цилиндра от коэффициента загромождения рабочего сечения для конфигурации с волнообразными стенками. Можно видеть, что для конфигурации с волнообразными стенками коэффициент лобового сопротивления гораздо меньше по сравнению с конфигурацией с плоскими стенками для всех значений коэффициента загромождения рабочего сечения. При D/H = 0.5 значение $\overline {{{C}_{d}}} $ равно 1.556 и возрастает до 1.927 при D/H = 0.6 и 2.555 при D/H = 0.7. Хотя в случае конфигурации с волнообразными стенками осредненный коэффициент лобового сопротивления цилиндра возрастает еще больше при больших значениях коэффициента загромождения рабочего сечения, все же этот рост не настолько резкий, как тот, что наблюдается в случае плоских стенок. При D/H = 0.8 значение $\overline {{{C}_{d}}} $ равно 3.627, тогда как при D/H = 0.9 $\overline {{{C}_{d}}} $ возрастает до 5.633. Интересно, что при увеличении коэффициента загромождения рабочего сечения от 0.8 до 0.9 значение $\overline {{{C}_{d}}} $ возрастает приблизительно в полтора раза для конфигурации с волнообразными стенками и более чем в пять раз в случае плоских стенок.

Как было упомянуто выше, когда происходит отрыв потока от поверхности цилиндра, разность давлений между передней и задней сторонами цилиндра является основным источником сопротивления. Из рис. 7б можно также видеть, что сопротивление из-за перепада давления составляет более 90% полного сопротивления по всему цилиндру, как для плоских стенок, так и для конфигураций с волнообразными стенками для любых значений коэффициента загромождения рабочего сечения. Поэтому из этих результатов можно сделать вывод, что ограничения канала с волнообразными стенками являются причиной значительного уменьшения сопротивления из-за перепада давления по сравнению с плоскими стенками.

Для более полного понимания рассматриваемого явления были рассмотрены распределения коэффициента давления для конфигураций с плоскими и волнообразными стенками. Они построены на рис. 7в и 7г. При низких коэффициентах загромождения рабочего сечения значение коэффициента давления относительно небольшое по сравнению со значениями при более высоких коэффициентах загромождения. При D/H = 0.5 распределения коэффициента давления на передней стороне цилиндра сопоставимы для конфигураций с плоскими и волнообразными стенками. Однако для задней стороны цилиндра распределения давления совершенно разные. По мере того, как коэффициент загромождения рабочего сечения возрастает, коэффициент давления на передней стороне цилиндра также возрастает коренным образом для плоской стенки по сравнению с волнообразной стенкой. Для плоской стенки при D/H = 0.9 из рис. 7в и 7г можно видеть, что зона давления торможения покрывает более 35% поверхности цилиндра, тогда как эта величина составляет менее 5% для волнообразной стенки. Поэтому в случае плоской стенки при высоком коэффициенте загромождения рабочего сечения сила высокого давления действует на большей фронтальной площади поверхности цилиндра, вызывая высокое сопротивление, обусловленное давлением. В противоположность плоской стенке конфигурация с волнообразными стенками генерирует относительно низкое давление торможения, действующее на меньшей фронтальной площади цилиндра, приводя к меньшему сопротивлению из-за давления.

Распределение давления по поверхности цилиндра связано с динамикой обтекания цилиндра. Как можно видеть из рис. 7д и 7е, рост коэффициента загромождения рабочего сечения является причиной роста угла отрыва потока и убывания длины следа. При высоком коэффициенте загромождения рабочего сечения стенки канала располагаются ближе к цилиндру и количество движения (импульс) жидкости, текущей вокруг цилиндра, растет, что вызывает задержку отрыва потока и способствует раннему восстановлению безотрывного обтекания в зоне за цилиндром. Близость цилиндра и стенок канала обусловливает уменьшение площади поперечного сечения потока. Течение ускоряется из-за уменьшения площади, что приводит к тонкому сдвиговому слою вокруг цилиндра. В случае плоской стенки уменьшение коэффициента загромождения рабочего сечения приводит к менее интенсивной и более неустойчивой паре вихрей за цилиндром. В противоположность плоской стенке волнообразные стенки стимулируют сдвиговые слои с большим значением импульса поперек цилиндра, которые приводят к меньшей по размерам, но более стабильной паре вихрей, которую можно видеть на рис. 7ж и 7з. Из рассмотрения рис. 7з следует важный факт, что вторичные вихри вниз по потоку за волнообразной стенкой не возникают ни при каком значении коэффициента загромождения рабочего сечения. Это заставляет сдвиговые слои оставаться устойчивыми по всей длине канала. Таким образом, волнообразные стенки способны не только уменьшить коэффициент сопротивления, но также полностью подавить сход вихрей даже при D/H = 0.9.

Максимальная скорость, достигнутая для конфигурации с плоскими стенками при D/H = 0.9, превосходит более чем в 10 раз скорость на центральной линии набегающего потока, в то время как максимальная скорость, достигнутая для конфигурации с волнообразными стенками, лишь в 2.7 раза больше скорости на центральной линии набегающего потока. Это вновь подтверждает тот факт, что волнообразный канал значительно уменьшает сопротивление при обтекании цилиндра, допуская расширение течения около цилиндра.

В табл. 8 приведены данные для относительного уменьшения выраженного в процентах осредненного коэффициента лобового сопротивления цилиндра волнообразными стенками по сравнению с плоскими стенками. При коэффициенте загромождения рабочего сечения D/H = = 0.5 коэффициент сопротивления уменьшается, по сравнению с плоской стенкой, приблизительно на 36% в случае ограничения в виде волнообразной стенки. Коэффициент лобового сопротивления уменьшается приблизительно на 51% при D/H = 0.6 и на 67% при D/H = 0.7. При D/H > 0.7 высота канала чрезвычайно маленькая и зазор между цилиндром и стенками канала очень узкий, что имеет следствием большое значение коэффициента лобового сопротивления. Для конфигурации с плоскими стенками при D/H = 0.8 коэффициент лобового сопротивления приблизительно в 10 раз больше по сравнению с D/H = 0.5. Более того, в случае плоских стенок коэффициент лобового сопротивления при D/H = 0.9 возрастает приблизительно в 40 раз по сравнению со значением коэффициента лобового сопротивления при D/H = 0.5. По сравнению с плоскими стенками, конфигурация с волнообразными стенками снижает коэффициент лобового сопротивления приблизительно на 82% при D/H = 0.8 и приблизительно на 95% при D/H = 0.9.

В табл. 9 приведены данные для относительного увеличения, выраженного в процентах, коэффициента лобового сопротивления при разных значениях коэффициента загромождения рабочего сечения для конфигураций как с волнообразными, так и плоскими стенками. Приведенные результаты показывают, что по мере того, как коэффициент загромождения рабочего сечения увеличивается, увеличение коэффициента лобового сопротивления становится больше для плоских стенок по сравнению с волнообразными стенками. Увеличение коэффициента лобового сопротивления при значениях коэффициента загромождения рабочего сечения D/H = 0.5 и D/H = 0.6 составляет 19.25% для волнообразных стенок, что почти вдвое превышает рост, равный 38.68%, для плоских стенок. Из табл. 9 можно видеть определенный тренд к увеличению коэффициента лобового сопротивления для бóльших значений коэффициента загромождения рабочего сечения.