1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика жидкости и газа
  4. № 6, 2020

Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2020, № 6, стр. 106-120

ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ОСТРОЙ ПЛАСТИНЫ И ДВОЙНОГО КЛИНА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ АКТЮАТОРОМ

С. Т. Суржиков a, b, *

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

b Всероссийский научно-исследовательский институт автоматики им. Н.Л. Духова
Москва, Россия

* E-mail: surg@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 10.06.2020
После доработки 18.06.2020
Принята к публикации 18.06.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена двухмерная задача гиперзвукового обтекания острой пластины и двойного клина, на поверхности которых расположены электроды, предназначенные для создания тлеющего разряда постоянного тока, оказывающего тепловое и силовое воздействие на сжатый поток газа у обтекаемой поверхности. Задача решается в самосогласованной постановке, когда параметры газового разряда определяются условиями в газовом потоке и пограничном слое, а конфигурация поля течения зависит от локальных силовых и тепловых воздействий, генерируемых разрядом. Поэтому система уравнений Навье–Стокса и сохранения энергии вязкого теплопроводного газа интегрируется совместно с системой уравнений диффузионно-дрейфовой модели для описания электродинамической структуры тлеющего разряда в потоке газа. Учитывается влияние внешнего магнитного поля с вектором магнитной индукции, перпендикулярным вектору скорости газового потока. Исследуется влияние параметров тлеющего разряда на структуру ударно-волнового взаимодействия на острой пластине и двойном клине.

Ключевые слова: электромагнитный актюатор, тлеющий разряд, гиперзвуковое обтекание пластины и двойного клина

Одной из особенностей гиперзвукового обтекания элементов конструкций летательных аппаратов является наличие ударно-волновых взаимодействий, приводящих к экстремальному локальному нагреву и силовым воздействиям [1, 2]. Исследованиями фундаментальных закономерностей таких взаимодействий занимается гиперзвуковая аэротермодинамика.

Результаты экспериментальных исследований [1–5] позволили систематизировать типы ударно-волновых взаимодействий и изучить особенности поля течения в окрестности этих взаимодействий.

Указанные экспериментальные данные послужили мотивацией для проведения систематических расчетно-теоретических исследований [4, 6–8], которые показали исключительно сложную структуру течения и необходимость использования высокоточных компьютерных моделей для адекватного описания опытных данных.

Отмеченная особенность гиперзвуковых течений вызвала необходимость разработки специальных методов воздействия на поток с целью снижения экстремальных тепловых и силовых воздействий. Один из таких методов состоит в использовании плазменных и электромагнитных актюаторов [9–11]. Оказалось, что имеется вполне реальная возможность управлять структурой потока с применением электродинамических воздействий. Для этого могут применяться электрические разряды различного типа.

В [10, 11] отмечается, что поскольку в настоящее время преждевременно оценивать реальные возможности практического использования таких актюаторов, представляет значительный научный интерес рассмотреть простейший тип квазистационарных разрядов – тлеющий разряд постоянного тока между двумя плоскими электродами, выполненных в виде узких полосок на обтекаемой поверхности. Схема такого разряда показана на рис. 1а.

Рис. 1.

Схема задачи обтекания острой пластины (а) и двойного острого клина (б) с электромагнитным актюатором.

Поскольку эти электроды имеют конечные размеры, то при параметрах внешней электрической цепи E ∼ 1 кВ, R0 ∼ 10 кΩ в газовом потоке с давлением р ∼ 1–10 Торр реализуется так называемая аномальная форма тлеющего разряда постоянного тока [12]. Типичное время установления квазистационарного режима горения такого разряда составляет несколько микросекунд. Учитывая, что характерное время изменения параметров газового потока составляет миллисекунды, можно считать, что такой тлеющий разряд горит в стационарном режиме, но объемные источники теплового и силового воздействия на газовый поток могут изменяться в течение миллисекунд. Изучение закономерностей горения аномального стационарного тлеющего разряда в гиперзвуковом потоке газа позволит в дальнейшем рассмотреть нестационарные (или импульсно-периодические) его формы, что, по всей видимости, является более перспективным для практического использования.

Факт сильного взаимодействия гиперзвукового газового потока, обтекающего поверхность, с маломощным поверхностным электрическим разрядом был установлен в экспериментах [13] и подтвержден расчетно-теоретическими исследованиями в [10]. В статьях [14, 15] обсуждались проблемы МГД взаимодействия в сверхзвуковых воздухозаборниках. В [15] отмечались первые попытки изменить структуру отрывного течения в зонах взаимодействия ударной волны с пограничным слоем. Расчетный анализ закономерностей гиперзвукового обтекания полого цилиндра с юбкой при М = 10.5, на поверхности которого располагался электромагнитный актюатор [16], показал, что маломощный тлеющий разряд способен значительно изменить параметры взаимодействия газового потока с обтекаемой поверхностью.

Таким образом, в ряде экспериментальных и расчетно-теоретических работ подтверждена принципиальная возможность использования электроразрядных актюаторов для модификации гиперзвуковых потоков. Что касается адекватного расчетного описания таких взаимодействий, то, как показывает анализ [12], известно большое многообразие моделей тлеющего разряда, которые могут быть использованы при решении этих задач, но их достоверность и степень развития еще далеки до совершенства. Отметим некоторые проблемные вопросы, подлежащие более детальному изучению.

В указанных выше статьях использовалось амбиполярное приближение диффузионно-дрейфовой модели поверхностного разряда, особенность которого состоит в пренебрежении областями объемного заряда вблизи электродов. Такое приближение представляется достаточно обоснованным уже при относительно высоких давлениях в газе (более 5–10 Торр) и позволяет избежать весьма трудоемкую процедуру интегрирования уравнений электродинамики тлеющего разряда в областях пространственного разделения зарядов. Однако остаются малоисследованными вопросы передачи силовых и тепловых возмущений от области ионизации газа в зоне разряда к основному потоку, поскольку используемые в расчетах кинетические модели ионизации и рекомбинации были получены в условиях покоящегося газа для частично ионизованного газа. Применение амбиполярной модели требует формулировки специальных граничных условий для замыкания тока электрической цепи.

В данной работе амбиполярное приближение диффузионно-дрейфовой модели применяется к анализу гиперзвукового обтекания заостренной пластины и двойного острого клина газовым потоком при числе Маха М = 10. Конфигурация обтекаемого клина выбрана близкой к задаче обтекания двойного острого конуса, детально исследованной в экспериментах и расчетах [6–8]. Опираясь на экспериментальные и расчетные данные по электромагнитному актюатору на плоской пластине в гиперзвуковом потоке М = 5.15 [10], будет получено расчетное решение задачи при М = 10 для обтекания плоской поверхности, а затем с использованием перехода к криволинейной системе координат будет определено решение задачи обтекания двойного острого клина при тех же условиях в потоке.

1. РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ

Система уравнений Навье–Стокса и электродинамики тлеющего разряда (без учета магнитного поля), используемая в данной работе, имеет следующий вид:

(1.1)
$\frac{{\partial {\rho }}}{{\partial t}} + {\text{div}}\left( {{\rho }{\mathbf{V}}} \right) = 0$
(1.2)
$\frac{{\partial {\rho }u}}{{\partial t}} + {\text{div}}\left( {{\rho }u{\mathbf{V}}} \right) = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} + {{S}_{{{\mu },x}}} + {{F}_{{M,x}}}$
(1.3)
$\frac{{\partial {\rho }v}}{{\partial t}} + {\text{div}}\left( {{\rho }{v}{\mathbf{V}}} \right) = - \frac{{\partial p}}{{\partial y}} + {{S}_{{{\mu },r}}} + {{F}_{{M,y}}}$
(1.4)
${\rho }{{c}_{p}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + {\rho }{{c}_{p}}{\mathbf{V}}\operatorname{grad} T = \operatorname{div} \left( {{\lambda }\operatorname{grad} T} \right) + \frac{{\partial p}}{{\partial t}} + {\mathbf{V}}\operatorname{grad} p + {{\Phi }_{{\mu }}} + {{Q}_{J}}$
(1.5)
$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} + {\text{div}}\left( {{\mathbf{V}}n} \right) = {\text{div}}\left( {{{D}_{a}}{\text{grad}}n} \right) + {{{\dot {\omega }}}_{e}}$,
(1.6)
${\text{div}}{\kern 1pt} {\mathbf{j}} = 0$

Здесь компоненты сил вязкого трения определены как

${{S}_{{{\mu },x}}} = - \frac{2}{3}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{\mu }\,{\text{div}}{\mathbf{V}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {{\mu }\left( {\frac{{\partial {v}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)} \right] + 2\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{\mu }\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)$
${{S}_{{{\mu },y}}} = - \frac{2}{3}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{\mu div}{\mathbf{V}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {{\mu }\left( {\frac{{\partial {v}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)} \right] + 2\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{\mu }\frac{{\partial {v}}}{{\partial y}}} \right)$
${{\Phi }_{{\mu }}} = {\mu }\left[ {2{{{\left( {\frac{{\partial {v}}}{{\partial y}}} \right)}}^{2}} + 2{{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)}}^{2}}} \right.\left. { + {{{\left( {\frac{{\partial {v}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)}}^{2}} - \frac{2}{3}{{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v}}}{{\partial y}}} \right)}}^{2}}} \right]$
диссипативная функция; $t$ – время; $x$, $y$ – ортогональные декартовы координаты; u, ${v}$ – проекции скорости V на оси координат x и y; $p$, ${\rho }$ – давление и плотность; T – температура поступательного движения частиц; μ, ${\lambda }$ – динамический коэффициент вязкости и коэффициент теплопроводности; cp – удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении; где ${{D}_{a}}$ – коэффициент амбиполярной диффузии; $n$ – объемная концентрация заряженных частиц (предполагается примерное равенство концентраций электронов и ионов ${{n}_{e}} \approx {{n}_{i}} = n$), ${\mathbf{j}}$ – вектор плотности тока ${\mathbf{j}} = e{{\Gamma }_{e}}$; Γe – вектор плотности потока электронов; ${{{\dot {\omega }}}_{e}} = {\alpha }\left( E \right)\left| {{{\Gamma }_{e}}} \right| - {{{\beta }}_{e}}{{n}^{2}}$ – скорость процесса образования заряженных частиц, которая включает в себя процессы ионизации (первое слагаемое) и рекомбинации; α(E), ${{{\beta }}_{e}}$ – коэффициенты ионизации и рекомбинации.

Приведем оценки основных параметров тлеющего разряда, который будет рассмотрен далее. В [12] показано, что поток частиц (электронов и ионов) в амбиполярном приближении записывается в форме диффузионного потока

(1.7)
${{\Gamma }_{x}} = - {{D}_{a}}\frac{{\partial n}}{{\partial x}},\quad {{D}_{a}} = \frac{{{{{\mu }}_{i}}{{D}_{e}} + {{{\mu }}_{e}}{{D}_{i}}}}{{{{{\mu }}_{e}} + {{{\mu }}_{i}}}}$
с коэффициентом диффузии Da, который называется коэффициентом амбиполярной диффузии; ${{{\mu }}_{e}}$, ${{{\mu }}_{i}}$, De, Di – соответственно подвижности и коэффициенты диффузии электронов и ионов.

Подвижности электронов и ионов в частично ионизованном газе определяются их зарядом (е, q), массой (${{m}_{e}}$, ${{m}_{i}}$) и частотой столкновения с нейтральными частицами (${{{\nu }}_{{e,n}}}$, ${{{\nu }}_{{i,n}}}$)

${{{\mu }}_{e}} = \frac{e}{{{{m}_{e}}{{{\nu }}_{{e,n}}}}},\quad {{{\mu }}_{i}} = \frac{q}{{{{m}_{i}}{{{\nu }}_{{i,n}}}}}$

Это важнейшие характеристики решаемой задачи, поскольку они определяют эффективность взаимодействия заряженных частиц с нейтральным газом.

В качестве примера приведем числовые оценки для электронов и однократных ионов азота

(1.8)
${{{\mu }}_{e}} = \frac{e}{{{{m}_{e}}{{{\nu }}_{{e,n}}}}} = \frac{{1.76 \times {{{10}}^{{15}}}}}{{{{{\nu }}_{{e,n}}}}}\;\frac{{{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}}{{{\text{В}} \cdot {\text{с}}}}$
где типичное значение частоты столкновений электронов с нейтральными частицами

(1.9)
${{{\nu }}_{{e,n}}} = 4.2 \times {{10}^{9}}\;\frac{1}{{{\text{с}} \cdot {\text{Торр}}}}$.

С учетом этого при давлении p = 1 Торр в азотной плазме

(1.10)
${{{\mu }}_{e}}\left( {{{{\text{N}}}_{2}}} \right) = 4.5 \times {{10}^{5}}\frac{1}{p} = 4.5 \times {{10}^{5}}\;\frac{{{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}}{{{\text{В}} \cdot {\text{с}}}}.$

Для этих же условий подвижность ионов равна

(1.11)
${{{\mu }}_{i}} \approx 1.45 \times {{10}^{3}}\frac{1}{p} = 1.45 \times {{10}^{3}}\;\frac{{{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}}{{{\text{В}} \cdot {\text{с}}}}.$

Оценим величины коэффициентов диффузии и амбиполярной диффузии для типичных условий в положительном столбе тлеющего разряда, учитывая, что ${{{\mu }}_{e}} \gg {{{\mu }}_{ + }}$ и ${{D}_{e}} = {{{\mu }}_{e}}{{T}_{e}} \gg {{D}_{i}}$ = μiTi (где ${{T}_{e}}$, ${{T}_{i}}$ выражаются в эВ, ${{T}_{i}}\sim 0.026$ эВ, ${{T}_{e}}\sim 1$ эВ)

${{D}_{e}} = 4.5 \times {{10}^{5}},\quad {{D}_{i}} = 37.7,\quad {{D}_{a}} = \frac{{{{{\mu }}_{i}}{{{\mu }}_{e}}{{T}_{e}} + {{{\mu }}_{e}}{{{\mu }}_{i}}{{T}_{i}}}}{{{{{\mu }}_{e}} + {{{\mu }}_{i}}}} \approx {{{\mu }}_{i}}{{T}_{e}} = 2.28 \times {{10}^{3}}\;\frac{{{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}}{{\text{с}}}$

Заметим, что соотношение между подвижностями

$\frac{{{{{\mu }}_{e}}}}{{{{{\mu }}_{i}}}} = \frac{{4.5 \times {{{10}}^{5}}}}{{1.45 \times {{{10}}^{3}}}} \approx 300$

Используемая в данной работе амбиполярная модель квазинейтральной плазмы тлеющего разряда обоснована в статьях [17, 18]. Процесс амбиполярной диффузии возникает в неоднородной квазинейтральной плазме из-за большой разницы в массах электронов и ионов. Существенно более легкие и поэтому более подвижные электроны быстро покидают любую область неоднородности, возникающую в плазме. Образующееся при этом электрическое поле поляризации между электронами и существенно медленнее движущимися ионами сдерживает движение электронов, ускоряя движение ионов. Характерным пространственным масштабом такого разделения заряженных частиц является дебаевский радиус экранирования. Указанный тип диффузии частиц называется амбиполярной. Типичный пространственный масштаб квазинейтральности в тлеющем разряде определяется радиусом Дебая

${{r}_{{\text{D}}}} = 525\sqrt {\frac{{{{T}_{e}}}}{{{{n}_{e}}}}} ,\,\,{\text{см}}$

Возьмем для примера типичные значения параметров в положительном столбе тлеющего разряда: температура электронов Te = 1 эВ, числовая концентрация электронов ${{n}_{e}} = {{10}^{{11}}}$ см−3, тогда ${{r}_{{\text{D}}}} \cong 1.7 \times {{10}^{{ - 3}}}$ см. В области квазинейтральной плазмы амбиполярное приближение справедливо на масштабах $L \gg {{r}_{{\text{D}}}}$, например $L\sim {{10}^{{ - 2}}}$ см.

Для изучаемой в данной работе конфигурации течения и направления вектора индукции магнитного поля (рис. 1) амбиполярная модель тлеющего разряда во внешнем магнитном поле сформулирована в [12] в виде

(1.12)
$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} + {\text{div}}\left( {{\mathbf{V}}n} \right) = {\text{div}}({\mu }_{e}^{ * }{{D}_{a}}{\text{grad}}{\kern 1pt} n) + {{{\dot {\omega }}}_{e}}$
(1.13)
${\text{div}}[\left( {{{{\mu }}_{i}} + {{{{\tilde {\mu }}}}_{e}}} \right)n{\mathbf{E}} + ({{\tilde {D}}_{e}} - {{D}_{i}}){\text{grad}}{\kern 1pt} n] = 0$
где ${\mathbf{E}} = {\text{grad}}\varphi $, φ – потенциал электрического поля

${{{\tilde {\mu }}}_{e}} = \frac{{{{{\mu }}_{e}}}}{{1 + b_{e}^{2}}};\quad {\mu }_{e}^{ * } = \frac{{{{{\mu }}_{e}} + {{{\mu }}_{i}}}}{{(1 + b_{e}^{2}){{{\mu }}_{i}} + {{{\mu }}_{e}}}} \cong \frac{{{{{\mu }}_{e}}}}{{(1 + b_{e}^{2}){{{\mu }}_{i}} + {{{\mu }}_{e}}}};\quad {{\tilde {D}}_{e}} = \frac{{{{D}_{e}}}}{{1 + b_{e}^{2}}}$
${{b}_{e}} = \frac{{{{{\omega }}_{e}}}}{{{{{\nu }}_{{en}}}}} = \frac{{eB}}{{{{{\nu }}_{{en}}}{{m}_{e}}c}}$

Здесь be – параметр Холла для электронов; ${{{\omega }}_{e}}$, B – ларморовская частота вращения электронов в магнитном поле с индукцией В; e, c – заряд электрона и скорость света.

Заметим, что уравнение (1.13) полученной системы уравнений используется для расчета электрического поля E, а уравнение (1.12) используется для вычисления концентрации заряженных частиц. Источниковое слагаемое в (1.12) может быть также модифицировано с учетом магнитного поля

(1.14)
${{{\dot {\omega }}}_{e}} = \left( {\frac{{\alpha }}{{p{\text{*}}}}} \right)p{\text{*}}E\frac{{{{{\mu }}_{e}}\left( {p{\text{*}}} \right)}}{{1 + b_{e}^{2}}} - {\beta }{{n}^{2}}$
где $\left( {{\alpha /}p{\text{*}}} \right)$ – коэффициент ионизации; $p{\text{*}}$ – эффективное давление, учитывающее локальное изменение температуры

(1.15)
$p* = p\frac{{297}}{T}$

Для расчета джоулева тепловыделения и компонент магнитной силы ${{{\mathbf{F}}}_{M}}$, действующей на поток, использовались следующие соотношения:

(1.16)
${{Q}_{J}} = {\eta }en{{{\mu }}_{e}}{{E}^{2}} = {\eta }en{{{\mu }}_{e}}(E_{x}^{2} + E_{y}^{2}) = {\eta }en{{{\mu }}_{e}}\left[ {{{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right)}}^{2}}} \right]$
(1.17)
${{{\mathbf{F}}}_{M}} = {\chi }\left[ {{\mathbf{j}} \cdot {\mathbf{B}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{e}}}_{x}}}&{{{{\mathbf{e}}}_{y}}}&{{{{\mathbf{e}}}_{z}}} \\ {{{j}_{x}}}&{{{j}_{y}}}&{{{j}_{z}}} \\ 0&0&{{{B}_{z}}} \end{array}} \right] = {{{\mathbf{e}}}_{x}}\left( {{\chi }{{j}_{y}}{{B}_{z}}} \right) - {{{\mathbf{e}}}_{y}}\left( {{\chi }{{j}_{x}}{{B}_{z}}} \right)$
${{F}_{{M,x}}} = {\chi }{{j}_{y}}{{B}_{z}} = {\chi }{{B}_{z}}n{{{\mu }}_{e}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} = - {\chi }{{B}_{z}}n{{{\mu }}_{e}}{{E}_{y}}$
${{F}_{{M,y}}} = - {\chi }{{j}_{x}}{{B}_{z}} = - {\chi }{{B}_{z}}n{{{\mu }}_{e}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = {\chi }{{B}_{z}}n{{{\mu }}_{e}}{{E}_{x}}$
где ${{{\mathbf{e}}}_{x}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{y}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{z}}$ – единичные орты прямоугольной декартовой системы координат; ${\chi }$ – коэффициент эффективности передачи механического импульса (в данной работе положен равным единице).

В расчетах использованы следующие размерности коэффициентов и функций:

$e = 1.6 \cdot {{10}^{{ - 19}}}$ K, $\left[ n \right]$ = см–3, $\left[ {{{{\mu }}_{e}}} \right] = $ см2/(с · В), $\left[ E \right] = $ В/см, $\left[ B \right] = $ Тесла,
$j = en{{{\mu }}_{e}}E$, $\frac{{\text{A}}}{{{\text{с}}{{{\text{м}}}^{3}}}}$, ${{Q}_{J}} = {\eta }en{{{\mu }}_{e}}{{E}^{2}}$, Вт/см3, ${{F}_{M}}\sim {{10}^{5}}en{{{\mu }}_{e}}EB$, г/(см2 · с2)

В расчетах применены термодинамические и переносные свойства молекулярного азота

${\mu } = {{2.6710}^{{ - 5}}}\sqrt {{{M}_{A}}T} \frac{1}{{{{{\sigma }}^{2}}{{\Omega }^{{(2,2)*}}}}},\quad {\sigma } = 3.68\,{\AA},\quad {{\Omega }^{{(2,2)*}}} = 1.157{{(T{\text{*}})}^{{ - 0.1472}}}$
$T* = \frac{T}{{\left( {{{\varepsilon } \mathord{\left/ {\vphantom {{\varepsilon } k}} \right. \kern-0em} k}} \right)}},\quad \left( {{\varepsilon /}k} \right) = 71.4$
${\lambda } = 8.334 \times {{10}^{{ - 4}}}\sqrt {\frac{T}{{{{M}_{A}}}}} \frac{{0.115 + 0.354\left( {{{c}_{p}}{\text{/}}{{R}_{0}}} \right){{M}_{A}}}}{{{{{\sigma }}^{2}}{{\Omega }^{{(2,2)}}}{\text{*}}}}$

Частота ионизации и коэффициент ионизации определялись по эмпирическим формулам, в которых учтен локальный нагрев газа, что также обеспечивало самосогласованность решения электродинамической и газодинамической частей задачи

(1.18)
${{{v}}_{i}} = \left( {\frac{{\alpha }}{{p{\text{*}}}}} \right)p{\text{*}}E{{{\mu }}_{e}}\left( {p{\text{*}}} \right),\quad \left( {\frac{{\alpha }}{{p{\text{*}}}}} \right) = A\exp \left[ { - \frac{B}{{(E{\text{/}}p{\text{*}})}}} \right]$
${{D}_{e}} = {{{\mu }}_{e}}(p*){{T}_{e}},\quad {{D}_{i}} = {{{\mu }}_{i}}(p*){{T}_{i}},\quad {{{\mu }}_{e}}(p*) = 4.2 \times {{10}^{5}}\frac{1}{{p{\text{*}}}},\quad {{{\mu }}_{i}}(p*) = 1450\frac{1}{{p{\text{*}}}}$
${\beta } = 2.0 \times {{10}^{{ - 7}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 8.0 \times {{10}^{{ - 6}}}$ см3/с, ${{T}_{e}} = 11\,610\;{\text{K,}}$ $A = 15$ (см · тор)−1, $B = 365$ В/(см ⋅ тор)

Схема решаемой задачи показана на рис. 1. Предполагается, что на пластину или клин набегает невозмущенный газовый поток со скоростью V∞, с заданными термодинамическими и переносными свойствами ${{p}_{\infty }}$, ${{{\rho }}_{\infty }}$, T∞, ${{c}_{{p\infty }}}$, ${{{\mu }}_{\infty }}$, ${{{\lambda }}_{\infty }}$. Диэлектрическая поверхность и электроды поддерживаются при постоянной температуре ${{T}_{w}}$, ${{T}_{{eld}}}$. Поверхность полагается непроницаемой для газа с выполнением условий прилипания. В качестве начальных условий задавались параметры невозмущенного набегающего газового потока.

Граничные условия формулировались в следующем виде (рис. 1):

$x = 0\,:\,\,u = {{V}_{\infty }},\quad {v} = 0,\quad T = {{T}_{\infty }},\quad {\rho } = {{{\rho }}_{\infty }},\quad n = {{n}_{\infty }},\quad \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = 0$
$x = {{x}_{G}}{\text{:}}\,\,\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {v}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial T}}{{\partial x}} = \frac{{\partial n}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = 0$

Обтекаемая поверхность (${\eta } = 0$): $u = {v} = 0$, $\frac{{\partial p}}{{\partial {\eta }}} = 0$

${{x}_{C}} \leqslant x \leqslant {{x}_{D}}$ (катод): $T = {{T}_{w}},\quad \frac{{\partial n}}{{\partial {\eta }}} = 0,\quad \varphi = 0;$
${{x}_{E}} \leqslant x \leqslant {{x}_{F}}$ (анод): $T = {{T}_{w}},\quad \frac{{\partial n}}{{\partial {\eta }}} = 0,\quad \varphi = {{V}_{A}};$
${{x}_{B}} \leqslant x < {{x}_{C}},\quad {{x}_{D}} < x < {{x}_{E}},\quad {{x}_{F}} < x \leqslant {{x}_{G}}$ (диэлектрическая поверхность)
$n = {{10}^{{ - 5}}}{{n}_{0}},\quad \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\eta }}} = 0,\quad T = {{T}_{w}}$
где ${{n}_{0}} = {{10}^{{10}}}$ см–3 – типичная концентрация заряженных частиц в положительном столбе; VA – потенциал анодной секции по отношению к катоду; η – нормальная к поверхности координата.

Электрический потенциал анода рассчитывался с использованием уравнения Кирхгоффа для электрической цепи

(1.19)
$I{{R}_{0}} + {{V}_{A}} = {\text{E}}$
где ${\text{E}}$ – э.д.с. источника питания, R0 – сопротивление внешней электрической цепи, I – полный ток в цепи, который определяется по результатам решения электродинамической части задачи, интегрированием плотности тока, достигающего поверхность электродов

(1.20)

Метод численного интегрирования поставленной задачи изложен в [12]. Для решения задачи обтекания двойного острого клина вводилась криволинейная система координат, связанная с формой поверхности взаимно однозначным отображением на прямоугольную область. Компоненты якобиана преобразования систем координат рассчитывались численно. Подчеркнем необходимость тщательного контроля возникающих в процессе численного интегрирования невязок в определении искомых функций при использовании метода установления. Это связано с тем, что источниковые слагаемые в (1.5) и (1.12) имеют экспоненциальный характер и крайне чувствительны как к параметрам газового потока, так и к модулю локального электрического поля. Трудоемкость решения полной сопряженной задачи оказывается во много раз большей, чем решение одной газодинамической задачи.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В статье [10] был дан детальный анализ экспериментальных данных [13] по влиянию магнито-аэродинамического актюатора на аэродинамические характеристики заостренной пластины в сверхзвуковом потоке воздуха при числе Маха М = 5.15. Экспериментальная задача была решена по схеме классического аэродинамического эксперимента по обтеканию пластины в рабочей камере аэродинамической трубы.

Размеры невязкой зоны течения (вдали от стенок аэродинамической трубы) составил 12 × 5 × × 10 см (систему координат x, y, z см. на рис. 1а). Параметры невозмущенного газа у обтекаемой пластинки: ${{p}_{\infty }}$= 78.4 Па (0.59 Торр), ${{T}_{\infty }}$ = 43 K, ${{V}_{\infty }}$ = 675.5 м/с, что соответствовало параметрам торможения ${{p}_{0}}$ = 49.3 кПа и ${{T}_{0}}$ = 294 K. Для этих условий число Рейнольдса Re = $1.615 \times {{10}^{5}}$ 1/м, поэтому пограничный слой полагался ламинарным.

Отличительной особенностью этих экспериментов было расположение на обтекаемой поверхности двух прямоугольных электродов, направленных поперек газового потока, и обеспечивающих горение поверхностного разряда постоянного тока с полным током до 800 мА и напряжением на электродах до 10 кВ. Были выполнены две серии экспериментов. В первом случае на пластине размером 7.5 × 5.6 см ($z \times x$) на расстоянии $\Delta x$ = 5.1 см располагались два электрода размером $5.1 \times 0.64$ cм, а во втором случае на пластине размером 3.8 × 6.7 см – два электрода размером $3.2 \times 0.64$ см на расстоянии $\Delta x$ = 3.05 см. Расстояние от кромки пластины до первого электрода составляло $\Delta x$ = 2.2 и 2.23 см соответственно. Электроды монтировались заподлицо с обтекаемой поверхностью пластины. На поверхности пластины между электродами помещались три датчика давления, обеспечивающих измерения с точностью 0.5% в диапазоне $\Delta p$ = 0.001–2.0 Торр.

Было получено два важных экспериментальных факта для схемы, показанной на рис. 1а. Во- первых, при ЭДС источника питания Е = 1.2 кВ и ${{R}_{0}}$ = 12 кΩ в потоке газа горел поверхностный разряд с полным током порядка 50 мА, который приводил к заметному повышению давления в газе над электродами. Во-вторых, было экспериментально установлено, что наложение внешнего магнитного поля с направлением вектора магнитной индукции, показанной на рис. 1а, и значением индукции ${{B}_{z}}$ ∼ 0.2 Т приводило также к значительному изменению давления в газе над электродами. В указанных экспериментах отмечался нагрев электродов на нескольких сот градусов.

В статье [10] построена самосогласованная численная модель вязкого обтекания пластины с нагреваемыми электродами и тлеющего разряда в амбиполярном приближении. В итоге было получено хорошее совпадение с экспериментальными данными. В результате постановки численных экспериментов были сформулированы новые задачи, которые представляют значительный интерес для проблемы электромагнитных актюаторов в сверх- и гиперзвуковых потоках. Оказалось, что большое влияние на характеристики потока оказывают размеры электродов и расстояние между ними, их нагрев, конфигурация пары катод-анод по отношению к основному потоку газа. Принципиальным оказалось влияние направления вектора магнитной индукции (в рассматриваемом случае вдоль оси z). При одном направлении – поток поджимается к поверхности, а при другом – отталкивается. При этом весьма сильное изменение в структуре пограничного слоя генерируется маломощным разрядом около 50 Вт (1000 В × 0.05 А).

Тем не менее следует отметить, что построенная в [10] численная модель была весьма приближенной. В частности, в ней не учитывалось влияние магнитного поля на характеристики процессов переноса заряженных частиц. Для дальнейшего развития этой теории важно учесть влияние магнитного поля на подвижности и коэффициенты диффузии заряженных частиц, а также изучить границы применимости амбиполярного приближения.

В данной работе изучается обтекание гиперзвуковым потоком плоской пластины и двойного острого клина, на поверхности которых инициируется маломощный тлеющий разряд между двумя электродами, расположенными поперек газового потока. Взаимное расположение электродов показано на рис. 1. Координаты кромок электродов приведены в табл. 1. На пластинке катод расположен выше по потоку, а на клине – ниже. Условия в набегающем потоке одинаковые. Для справки, в табл. 2 приведены используемые условия в потоке в сравнении с экспериментальными в [13].

Таблица 1
Координаты электродов пластина двойной клин
${{x}_{A}}$, см 0 0
${{x}_{B}}$, см 1.0 1.0
${{x}_{C}}$, см 4.0 5.0
${{x}_{D}}$, см 4.5 5.5
${{x}_{E}}$, см 7.0 6.5
${{x}_{F}}$, см 7.7 7.0
${{x}_{G}}$, см 20.0 20.0
W, см 6.4 6.4
Таблица 2
  ${{p}_{\infty }}$, эрг/см3 ${{{\rho }}_{\infty }}$, г/см3 ${{T}_{\infty }}$, К ${{V}_{\infty }}$, см/с M
[10, 13] 784 0.636 × 10–5 41.5 6.760 × 104 5.15
Вариант1 220 0.310 × 10–6 247 3.165 × 105 10
Вариант 2 52.2 0.828 × 10–7 220 3.165 × 105 10

Рассматриваемая задача в целом подобна той, которая решалась в [10], однако в данном случае электроды считаются холодными, чтобы избежать их влияние на структуру потока и решена задача обтекания двойного острого клина с целью анализа влияния электромагнитного актюатора на структуру течения с другими условиями в потоке при тех же исходных данных, что при обтекании пластины, а также с целью анализа влияния тлеющего разряда на параметры взаимодействия ударной волны с пограничным слоем и структуру течения в отрывной зоне над изломом образующей клина.

В первой части рассматривается обтекание охлаждаемой пластины при постоянной температуре диэлектрической поверхности и электродов ${{T}_{w}} = {{T}_{{eld}}} = $ 295.8 К гиперзвуковым потокам воздуха при скорости М = 10 (вариант 1 из табл. 2). Из рис. 2 видно, что температура непосредственно у поверхности, там, где токовый столб тлеющего разряда замыкается на электроды, близка к температуре поверхности, а на удалении 2–5 мм достигает величины Т ∼ 1300 K. Этим данный расчетный вариант отличается от исследованного в [10], где температура электродов достигала 600–800 K. В рассматриваемом случае нагрев газа вблизи электродов обусловлен исключительно джоулевым тепловыделением. В данном случае эффективность джоулева нагрева, уменьшаемая за счет возбуждения внутренних степеней свободы молекул при их взаимодействии с электронами разряда, полагалась ${\eta }$ = 0.5.

Рис. 2.

Электро-газодинамические функции гиперзвукового обтекания пластины с электромагнитным актюатором при Е = 300 В, Bz = 0.1 T, ${\eta }$ = 0.5: температура в K (а), давление в Торр (б); проекция магнитной силы на ось x (в) и y (г), г/(см · с2).

Разряд находится в магнитном поле с индукцией Bz = +0.1 Т. Эффект действия магнитного поля хорошо виден на рис. 2б, где между электродами наблюдается заметное повышение давления. Поскольку электрический ток течет в положительном направлении оси х, а вектор индукции магнитного поля – в положительном направлении оси z, то по электродинамическому правилу “левой руки” находим, что объемная сила электрического тока в магнитном поле (далее – “магнитная сила”) должна действовать по направлению к поверхности, о чем и свидетельствуют изолинии ее проекции на ось y, показанные на рис. 2г. Эта сила прижимает газовый поток к поверхности. Вблизи катода ток течет в положительном направлении оси y, поэтому магнитная сила ускоряет газовый поток, а вблизи анода – тормозит (рис. 2в).

При изменении направления вектора магнитной индукции на противоположное температура в газовом потоке изменяется незначительно, а давление над электродами заметно падает (рис. 3а). Теперь магнитная сила между электродами направлена от поверхности (рис. 3в), а продольная компонента магнитной силы тормозит газовый поток у катода и ускоряет у анода (рис. 3б).

Рис. 3.

Электро-газодинамические функции гиперзвукового обтекания пластины с электромагнитным актюатором при Е = 300 В, Bz = –0.1 T, ${\eta }$ = 0.5: давление в Торр (а); проекция магнитной силы на ось x (б) и y (в), г/(см · с2).

Распределение коэффициента давления

${{C}_{p}} = \frac{{p - {{p}_{\infty }}}}{{0.5{{{\rho }}_{\infty }}V_{\infty }^{2}}}$
вдоль поверхности (рис. 4) показывает, что с ростом абсолютной величины индукции магнитного поля его влияние на распределение давления над электродами возрастает. При Bz = –0.4 Т наблюдается сильное разрежение в потоке над электродами (${{C}_{p}} < 0$).

Рис. 4.

Распределение коэффициента давления вдоль острой пластины без актюатора (${{B}_{z}}$ = 0) и с актюатором с магнитным полем для условий E = 300 В, Bz = 0.1 T (слева), и вдоль поверхности двойного острого клина при E = 1000 В, Bz = 0 (1), Bz = +0.1 T (2), ${{B}_{z}}$ = –0.1 T (3).

Отметим, что указанный эффект влияния магнитного поля на течение над пластиной был обнаружен в опытных данных по распределению давления и подтверждается фотографиями конфигурации разрядной области [13].

Структура поля течения при обтекании двойного острого клина существенно сложнее, чем при обтекании пластины. В левой части рис. 5 показано распределение давления, температуры, продольной (вдоль оси х) компоненты скорости и модуля градиента плотности при условиях обтекания варианта 2 из табл. 2.

Рис. 5.

Газодинамические функции гиперзвукового обтекания двойного острого клина: давление в Торр (а), температура в K (б), x – компонента скорости (в), абсолютная величина градиента плотности (г) без актюатора (слева) и с актюатором (справа) при E = 1000 В, ${{R}_{0}}$ = 1.2 кОм, Bz = 0.5 T, ${\eta }$ = 0.5.

Эти расчетные данные отвечают отсутствию разряда. Наблюдаются основные характерные элементы поля течения обтекания двойного острого клина, отмеченные в статьях [6–8]: область повышенного давления при взаимодействии ударной волны с пограничным слоем (рис. 5а), высокотемпературная область над пограничным слоем (рис. 5б), область возвратного отрывного течения в окрестности точки излома образующей клина (рис. 5в). На рис. 5г отчетливо видны важные элементы структуры поля течения в зоне взаимодействия ударной волны с пограничным слоем: скачок, индуцированный пограничным слоем от кромки клина, область взаимодействия падающей ударной волны с пограничным слоем, отраженный скачок уплотнения и скачок отрыва. За областью взаимодействия падающей ударной волны с пограничным слоем наблюдаются резкий рост температуры и давления, контактный разрыв, а выше по потоку выделяются скачки отрыва и присоединения. В статьях [1, 6–8] отмечается, что в зависимости от условий потока и углов наклона образующих двойного клина могут возникать различные конфигурации ударно-волнового взаимодействия, классификация которых предложена в [5].

Обратим внимание на то, что в зоне расположения актюатора на клине создаются иные условия в потоке, чем на пластине. Если для пластины давление в пограничном слое в этой зоне составляет порядка 0.5 Торр, то для клина – давление здесь на порядок выше. Такое различие в давлении принципиальное для формирования тока в электрическом разряде.

Расположение на первой поверхности двойного клина электромагнитного актюатора приводит к заметному изменению структуры течения. Среди определяющих параметров поверхностного разряда отметим ЭДС источника питания, омическое сопротивление внешней электрической цепи, взаимное расположение электродов, индукция внешнего магнитного поля. Вариация каждого из этих параметров оказывает сильное влияние на структуру течения.

На рис. 5 (справа) показано распределение газодинамических функций для актюатора со следующими параметрами: Е = 1000 В, ${{R}_{0}}$ = 12 кΩ, Bz = +0.5 Т. Эффективность джоулева тепловыделения полагалась ${\eta }$ = 0.5.

Сравнивая распределения давлений без и с актюатором, температуру, скорости и градиент плотности, отметим основные элементы изменения структуры течения под воздействием тлеющего разряда. Дополнительный источник нагрева и давления, обусловленный тлеющим разрядом, приводит к заметной перестройке поля течения: над разрядом образуется скачок, искривляющий исходный скачок, индуцированный пограничным слоем. Значительно увеличивается протяженность зоны отрывного течения над изломом образующей двойного клина. Резкое повышение температуры в области разряда объясняется возросшим давлением в потоке, о котором говорилось выше. Однако следует иметь в виду большую неопределенность в задании эффективности джоулева нагрева в рассматриваемых условиях. Для уточнения этой величины необходимо решать задачу физико-химической кинетики в зоне разряда.

Общая картина изменения структуры течения хорошо видна при сравнении распределений модуля градиента плотности. Отметим роль теплового и силового эффектов от присутствия тлеющего разряда в магнитном поле.

Указанное изменение в структуре поля течения находит свое отражение в распределениях коэффициентов давления вдоль поверхности клина при размещении на его поверхности электромагнитного актюатора без и с магнитным полем (рис. 4, справа). Влияние магнитного поля оказывается более значительным, чем нагрев газа.

На рис. 6 показано распределение концентраций заряженных частиц и электрического потенциала в тлеющем разряде на поверхности клина. Хорошо видно, что заряженные частицы сносятся вниз по потоку, а токовый канал оттесняется от поверхности, что объясняется такой взаимной ориентаций электрического тока (от катода к аноду, навстречу потоку) и магнитного поля, при котором объемная магнитная сила направлена от поверхности.

Рис. 6.

Распределение концентраций электронов ${{U}_{i}} = n \times {{10}^{{ - 10}}}$ см–3 (а) и электрического потенциала (${\text{EFI}} = {\varphi \mathord{\left/ {\vphantom {\varphi E}} \right. \kern-0em} E}$, б) в тлеющем разряде на двойном остром клине при E = 1000 В, ${{R}_{0}}$ = 1.2 кОм, Bz = 0.1 T, ${\eta }$ = 0.5.

Выше приведены результаты расчетов обтекания острой пластины и двойного клина лишь для нескольких вариантов задания параметров электромагнитного актюатора. Систематическое расчетное исследование показывает, что в зависимости от задания определяющих параметров решаемой задачи наблюдается большое многообразие возможных решений. Укажем на взаимосвязь этих параметров. Исходные данные набегающего потока (температура, плотность, скорость) определяют условия в сжатом и пограничном слоях у поверхности обтекаемых моделей. При увеличении давления в газе необходимо большее напряжение между электродами для поддержания разряда. После зажигания тлеющего разряда, например, от электрической искры, начинается релаксационный процесс формирования токовой структуры разряда. При достижении электронов и ионов разряда электродов формируется ток во внешней электрической цепи. Уравнение внешней электрической цепи (1.19) фактически определяет падение напряжения между электродами тлеющего разряда при задании постоянной величины ЭДС источника питания. При увеличении тока разряда происходит уменьшение падения напряжения на электродах. Как следствие – снижается напряженность электрического поля в межэлектродном пространстве, что приводит к падению плотности тока и полного тока на электроды. И наоборот – при уменьшении полного тока через газоразрядный промежуток падение напряжения на электродах будет возрастать. Таким образом, внешнее омическое сопротивление цепи обеспечивает как бы положительную обратную связь.

Однако такая картина является чрезмерно упрощенной, поскольку процесс протекания тока в частично ионизованном газе, ионизация и рекомбинация заряженных частиц в сжатом и пограничном слоях, сильно зависят от параметров газа и от напряженности электрического поля. Например, локальное увеличение температуры приводит к локальному росту ионизации. Из уравнения состояния $p = NkT$ (N – концентрация нейтральных частиц газа) следует, что при постоянном давлении упадет локальная концентрация нейтральных частиц и, как следствие, снизится частота столкновений электронов с нейтральными частицами и возрастет подвижность электронов.

Формула для частоты ионизации (1.18) содержит три сомножителя: коэффициент ионизации (так называемый первый коэффициент Таунсенда), подвижность электронов и напряженность электрического поля. Произведение последних двух величин дает локальную дрейфовую скорость электронов ${{{v}}_{e}} = {{{\mu }}_{e}}E$ в электрическом поле напряженностью Е. Коэффициент Таунсенда $\left( {{\alpha /}p{\text{*}}} \right)$, для удобства представляемый в виде зависимости от эффективного давления, часто записывают в эквивалентной форме относительно концентрации нейтральных частиц

$\left( {\frac{{\alpha }}{{p{\text{*}}}}} \right) = A\exp \left[ { - \frac{B}{{(E{\text{/}}p*)}}} \right] = A\exp \left[ { - \frac{{(297k)B}}{{(E{\text{/}}N)}}} \right]$
откуда в явном виде видна зависимость коэффициента ионизации от параметра (E/N): эффективность ионизации возрастает с увеличением напряженности электрического поля и уменьшением концентрации нейтральных частиц.

Итак, при локальном увеличении температуры уменьшается эффективное давление $p{\text{*}}$, что, в свою очередь, приведет к возрастанию коэффициента ионизации $\left( {{\alpha /}p{\text{*}}} \right)$ и увеличению подвижности электронов. Как результат, возрастает степень ионизации нейтрального газа. Отметим экспоненциальный характер зависимости частоты ионизации от напряженности электрического поля и температуры. Далее, изменение концентраций электронов и ионов в этом месте приведет к увеличению плотности тока и переменности локального значения напряженности электрического поля, а значит и к изменению условий на электродах тлеющего разряда.

Однако цепочка взаимосвязанных процессов на этом не заканчивается. Из соотношений (1.16) и (1.17) следует, что переменность плотности тока, концентраций заряженных частиц и компонент электрического поля приведет к изменению теплового и силового воздействия на поток газа.

Изложенная выше качественная картина вязко-невязкого и магнитно-электродинамического взаимодействия в сжатом и пограничном слое при гиперзвуковом обтекании острой пластины и двойного клина требует для своего количественного описания задания адекватных коэффициентов ионизации и рекомбинации, подвижностей и коэффициентов диффузии заряженных частиц во внешнем магнитном поле, эффективностей джоулева нагрева и передачи механического импульса. Полученные расчетные данные и частичное их сравнение с экспериментальными данными позволяют надеяться, что разработанная модель отражает не только качественную картину, но и количественные характеристики явления. Дальнейшее развитие теории будет в значительной степени зависеть от новых экспериментальных данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведен сравнительный анализ результатов расчетов обтекания гиперзвуковым потоком воздуха с числом Маха М = 10 острой пластины и двойного острого клина, на поверхности которых зажигается маломощный тлеющий разряд постоянного тока.

Показано, что использование внешнего магнитного поля позволяет заметно модифицировать поле течения, так что такой тлеющий разряд с магнитным полем может служить актюатором гиперзвукового потока.

В развитие расчетной модели электромагнитного актюатора в данной работе использована амбиполярная модель тлеющего разряда с учетом зависимостей подвижностей и коэффициентов диффузии от поперечного газовому потоку магнитного поля.

Расчеты показали сильное влияние таких параметров электромагнитного актюатора, как напряжение между электродами, полный ток через разряд, а также условий в газе на формируемую структуру поля течения при гиперзвуковом обтекании пластины и двойного клина.

Учитывая, что в рассмотренном тлеющем разряде создается электронная концентрация на несколько порядков ниже, чем концентрация нейтральных частиц, среди проблемных вопросов, которые предстоит исследовать, отметим эффективность джоулева нагрева в частично ионизованном газе и эффективность передачи механического импульса от заряженных частиц нейтральным. В плане развития расчетного метода представляет значительный интерес отказаться от амбиполярного приближения.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда № 16-11-10275-П.

Список литературы

  1. Боровой В.Я., Егоров И.В., Мошаров В.Е., Скуратов А.С., Радченко В.Н. Экстремальный нагрев тел в гиперзвуковом потоке. М.: Наука. 2018. 390 с.

  2. Wright M.J., Sinha K., Olejniczak J., Candler G.V. Numerical and experimental investigation of double-cone shock interaction // AIAA J. 2000. V. 38. № 12. P. 2268–2276.

  3. Боровой В.Я., Скуратов А.С., Струминская И.В. О существовании “пороговой” величины притупления пластины при интерференции косого скачка уплотнения с пограничным и энтропийным слоями // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 3. С. 41–52.

  4. Боровой В.Я., Егоров И.В., Скуратов А.С., Струминская И.В. Ламинарный теплообмен острых и притупленных пластин в гиперзвуковом потоке воздуха // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 1. С. 168–180.

  5. Edney B.E. Effects of shock impingement on the heat transfer around blunt bodies. AIAA J. 1968. V. 6. № 1. P. 15–21.

  6. Candler G.V., Nompelis I., Druget M.-C., Holden M.S., Wadhams T.P., Boyd I.D. CFD validation for hypersonic flight: hypersonic double-cone flow simulation. AIAA 2002-0581. 14 p.

  7. MacLean M., Holden M. Validation and comparison of WIND and DPLR results for hypersonic, laminar problems. AIAA 2004-0529. 17 p.

  8. Gnoffo P.A. CFD validation studies for hypersonic flow predictions. AIAA 2001-1025. 13 p.

  9. Knight D. Survey of Aerodynamic Flow Control at High Speed by Energy Deposition // AIAA Paper 2003-0525, Jan. 2003.

  10. Shang J.S., Surzhikov S.T. Magnetoaerodynamic Actuator for Hypersonic Flow Control // AIAA J. 2005. l. 43. № 8. P. 1633–1643.

  11. Shang J.S., Surzhikov S.T., Kimmel R., Gaitonde D., Menart J., Hayes J. Mechanisms of plasma actuators for hypersonic flow control // Progress in Aerospace Sciences. 2005. V. 41. P. 642–668.

  12. Surzhikov S.T. Theoretical and Computational Physics of Gas Discharge Phenomena. Walter de Gruyter GmbH, 2020. 549 p.

  13. Menart J., Shang J.S., Kimmel R., Hayes J. Effect of Magnetic Fields on Plasma Generated in a Mach 5 Wind Tunnel // AIAA Paper 2003-4165, June 2003.

  14. Gaitonde, D.V. Three-Dimensional Flow-Through Scramjet Simulation with MGD Energy-Bypass // AIAA Paper 2003-0172, Jan. 2003.

  15. Shang J., Kimmel R., Menart J., Surzhikov S. Hypersonic Flow Control Using Surface Plasma Actuator // J. Propulsion and Power. V. 24. № 5. P. 923–934.

  16. Surzhikov S.T. Surface electromagnetic actuator in rarefied hypersonic flow // IOP Conf. Ser.: J. Physics: Conf. Series 815 (2017) 012005 https://doi.org/10.1088/1742-6596/815/1/012005

  17. Браун С. Элементарные процессы в плазме газового разряда. М.: Гос. Изд-во литературы в области атомной науки и техники, 1961. 323 с.

  18. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987. 591 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика жидкости и газа

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал