Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2020, № 5, стр. 118-129

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

При решении уравнений Навье–Стокса, записанных в консервативном виде в произвольной системе координат, использовалась неявная итерационная схема, представляющая собой вариант точечного метода Гаусса–Зейделя. Для аппроксимации уравнений применялись центральные разности второго порядка точности с добавлением искусственной диссипации. Подробнее численный метод решения уравнений Навье–Стокса описан в [7].

Внешняя граница расчетной области, фиксированная в процессе расчета, имела форму эллипса. Головная ударная волна рассчитывалась насквозь. Внешняя граница выбиралась достаточно далеко (до нескольких диаметров тела), так чтобы при больших числах Re течение в следе было сверхзвуковым, а при малых Re на входной части границы, где газ втекает, выполнялись условия набегающего потока. Газ предполагался совершенным с показателем адиабаты γ = 1.4 и числом Прандтля Pr = 0.71, вязкость вычислялась по формуле Сазерленда для воздуха. На поверхности тела использовались условия прилипания V_w = 0, T_w = const, а также условия скольжения в двух вариантах. Первый имеет вид [8]:

Второй взят из [9]:

где индекс s обозначает параметры газа на внешней границе кнудсеновского слоя, U – величина скорости касательной к поверхности тела, α_i, α_e – коэффициенты аккомодации импульса и энергии, которые в расчетах полагались равными 1. Хотя условие для скачка температуры на стенке (1.2) получено для одноатомного газа, тем не менее, оно часто используется также и для расчета течений двухатомного газа. Следует заметить, что формулы (1.1) и (1.2) отличаются только множителем перед производными. Поэтому можно считать, что (1.2) соответствует (1.1) для двухатомного газа, но с другим коэффициентом аккомодации. Значениям α_i = α_e = 1 в (1.2) соответствуют α_i = 0.93, α_e = 0.77 в (1.1).

В расчетах температура поверхности тела полагалась равной температуре восстановления T_w = T_r, где T_r заранее неизвестна и определялась в ходе вычислений из условия Q_w = 0. Более подробно процедура нахождения T_r описана в [6], там же дано сравнение теоретических и экспериментальных данных. Температура T_r зависит от условий на поверхности тела и числа Re, согласно расчетам [6] в рассматриваемых условиях она изменяется в пределах t_r =T_r/T_0∞ = 0.93–1.09 для цилиндра и t_r = 0.86–1.32 для сферы (рис. 1). Согласно экспериментальным данным (см., например, [10]) для континуального обтекания при не очень больших числах Рейнольдса, когда течение еще ламинарное, температура восстановления не зависит от числа Маха при M_∞ > 2 и равна t_rc ≈ 0.95 и 0.925 для цилиндра и сферы соответственно. Расчетные зависимости приведенной температуры восстановления t_r(Re) приближенно описываются соотношением (1 ≤ Re ≤ 3000, точность 1%):

Коэффициенты a, b и c для цилиндра и сферы при разных условиях на поверхности даны в табл. 1.

Полный коэффициент сопротивления тела C_x можно представить в виде суммы коэффициентов сопротивления за счет действия сил давления C_xp (волновое сопротивление) и трения C_xτ, которые в расчетах определялись следующим образом:

где ν = 0 и 1 для цилиндра и сферы соответственно, F – сила сопротивления, S – площадь поперечного сечения, θ – угол, отсчитываемый от критической точки, P_w, τ_w – давление и напряжение трения на поверхности тела. В предельном случае континуального течения в приближении Ньютона коэффициент сопротивления равен [10] где a = 2/3 и 1/2 для цилиндра и сферы соответственно, что при γ = 1.4 дает значения C_xc = 1.23 и 0.920. Суммарный тепловой поток на тело, отнесенный к площади поверхности, вычислялся по формуле где a = π и 2 для цилиндра и сферы соответственно.

2. ПРОВЕДЕНИЕ РАСЧЕТОВ

В [6] основное количество расчетов было выполнено на сетке 61 × 70, в данной работе для контроля точности все расчеты были повторены на сетке 100 × 100. Кроме того, был немного увеличен диапазон чисел Рейнольдса Re = 1–3000. Для интегральных величин, таких как температура восстановления, расчетные значения, полученные на разных сетках, хорошо совпадают между собой (см. рис. 1). Максимальное отличие для t_r составляет около 1.5% и наблюдается в случае обтекания сферы при Re = 1. При анализе представленных ниже данных следует иметь в виду, что благодаря различию в геометрии, а также поскольку число Маха в случае обтекания сферы выше, эффекты разреженности для сферы играют бóльшую роль и начинают проявляться при более высоких числах Рейнольдса (Kn ∼ M/Re), чем для цилиндра.

3. СУММАРНЫЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Зависимости расчетных коэффициентов сопротивления C_x, C_xp, C_xτ от числа Re при различных граничных условиях на поверхности тела для цилиндра и сферы приведены на рис. 2. Следуя [11], C_x можно аппроксимировать (1 ≤ Re ≤ 3000, точность 5%) в виде рядов по z = Re^–0.5. Для цилиндра при граничных условиях прилипания или скольжения (1.2) получим соответственно

Аналогично для сферы

Здесь приведено выражение только для условия скольжения (1.2), поскольку зависимости коэффициентов сопротивления для обоих условий скольжения практически совпадают. Относительный рост коэффициентов сопротивления при уменьшении числа Re от 3000 до 1 приведен в табл. 2. Видно, что волновое сопротивление C_xp рассматриваемых тел остается практически постоянным при достаточно больших числах Рейнольдса (Re ≥ 50 для условий прилипания, Re ≥ 10 для условий скольжения). Это связано с тем, что распределение давления вдоль поверхности на наветренной стороне тела, которое вносит основной вклад в C_xp, в данном диапазоне числа Re почти не зависит от него. При уменьшении числа Re давление на поверхности тела из-за вязких эффектов начинает расти, что приводит к росту волнового сопротивления. Отметим, что в силу указанных выше причин (различие в геометрии и числе Маха) рост C_xp для цилиндра значительно меньше, чем для сферы. Так, для условий прилипания при уменьшении числа Рейнольдса с 3000 до 1 волновое сопротивление цилиндра увеличивается с 1.30 до 2.43 (в 1.87 раза – см. табл. 2), а для сферы – с 0.916 до 3.07 (в 3.34 раза).

Вклад сопротивления трения C_xτ в полное сопротивление C_x при высоких числах Рейнольдса независимо от граничных условий на поверхности небольшой – около 3 и 7% при Re = 3000 для цилиндра и сферы соответственно. Но с уменьшением числа Рейнольдса C_xτ быстро растет (примерно пропорционально 1/Re^0.5) и в случае обтекания сферы сравнивается с волновым сопротивлением C_xp при Re ≈ 30 для условий прилипания и Re ≈ 10 для условий скольжения. При обтекании цилиндра относительный вклад C_xτ в полное сопротивление значительно меньше и для условий прилипания сравнивается с C_xp только при Re ≈ 2, для условий скольжения всюду C_xτ < C_xp в рассмотренном диапазоне чисел Re. На рис. 2 показана также зависимость величины C$_{{x\tau }}^{*}$ = = 0.01C_xτRe^0.5 от числа Рейнольдса, которая в приближении пограничного слоя постоянна. Можно видеть, что данная аппроксимация для обоих тел справедлива только при достаточно высоких числах Рейнольдса Re > 200, за исключением обтекания цилиндра с условием прилипания, когда приближение пограничного слоя для коэффициента сопротивления трения оказывается справедливым во всем диапазоне чисел Рейнольдса – C_xτ ≈ 2.7/Re^0.5 с точностью ±12%.

Как видно из представленных на рис. 2 данных, использование в расчетах условий скольжения вместо условий прилипания приводит к некоторому уменьшению волнового сопротивления – на 14 и 22% для цилиндра и сферы при Re = 1. Сопротивление трения падает значительно больше – на 44 и 51% соответственно, т.е. примерно вдвое. В итоге полное сопротивление цилиндра и сферы при использовании условий скольжения вместо прилипания уменьшается на 30 и 45% при Re = 1. При этом следует отметить, что в отличие от рассмотренных ранее в [6] параметров теплообмена T_r (см. рис. 1) и Nu расхождение в значениях аэродинамических характеристик C_x, C_xp, C_xτ, полученных с использованием условий скольжения (1.1) и (1.2), оказалось небольшим. Оно увеличивается с уменьшением числа Re, но нигде не превышает 4% и в логарифмическом масштабе мало заметно. По-видимому, относительно слабое влияние вида условий скольжения на АДХ по сравнению с параметрами теплообмена объясняется тем, что давление достаточно консервативная величина, а также тем, что различие между условиями (1.1) и (1.2) в коэффициентах аккомодации для импульса значительно меньше, чем для энергии.

Влияние условий скольжения на волновое и полное сопротивление становится заметным (превышает 5%) при Re ≤ 100 для цилиндра и Re ≤ 300 для сферы. Влияние условий скольжения на сопротивление трения обоих тел превышает 5% во всем рассмотренном диапазоне чисел Re.

4. ПАРАМЕТРЫ ТЕЧЕНИЯ

Расчетные зависимости безразмерного давления в передней критической точке сферы и цилиндра P_f = p(0°)/p$_{0}^{'}$ от числа Re_р = Re_2D(ρ₂/ρ_∞)^0.5, приведенные на рис. 3а, с точностью 2% можно представить в виде рядов по z = Re$_{p}^{{ - 0.5}}$. Аналогично аппроксимациям из разд. 3, для цилиндра и сферы при граничных условиях прилипания и скольжения (1.2) получим

Зависимость P_f для условия скольжения (1.1) слабо отличается от аналогичной зависимости для условия скольжения (1.2). Здесь p$_{0}^{'}$ – давление торможения в невязком течении за прямым скачком уплотнения, Re_2D = ρ_∞V_∞D/μ(T₂), индекс 2 относится к условиям за прямой ударной волной. Видно, что P_f = 1 при Re_p > Re$_{p}^{*}$, где Re$_{p}^{*}$ ≈ 100 и 200 для цилиндра и сферы соответственно. С уменьшением Рейнольдса давление P_f для обоих тел увеличивается, что вызвано возрастающим влиянием вязкости. При малых числах Рейнольдса Re ∼ 1 ударная волна и пограничный слой сливаются, образуя сплошной вязкий ударный слой. За счет эффектов вязкости область возмущения течения вокруг тела как вдоль, так и поперек потока резко увеличивается (до 10–15 радиусов тела при Re = 1). В результате набегающий поток газа тормозится не только в области, равной поперечному сечению тела, как это имеет место в свободномолекулярном течении, но и на значительно больших расстояниях. Можно сказать, что эффективное поперечное “сечение” тела при континуальном описании с использованием уравнений Навье–Стокса в разреженном течении превышает его геометрическое поперечное сечение, что и приводит к возрастанию давления выше свободномолекулярного предела.

Интересно отметить, что согласно расчетам (см. рис. 3а) в случае обтекания сферы при использовании условий скольжения давление P_f с уменьшением числа Рейнольдса сначала несколько падает (примерно на 2.5% для условий (1.2)) в диапазоне Re = 10÷100, и только затем начинает резко расти. Для условий прилипания, а также в случае обтекания цилиндра давление в передней критической точке монотонно увеличивается с уменьшением числа Re.

На рис. 3б показаны зависимости отношения P_b = p(180°)/p_∞ в задней критической точке от Re для условий прилипания и скольжения (1.1), (1.2). Можно видеть, что при достаточно больших числах Рейнольдса Re > Re* (Re* ≈ 150 для цилиндра и 700 для сферы) значения P_b не зависят от условий на поверхности. Различие в величинах P_b для условий скольжения (1.1) и (1.2) незначительно во всем рассмотренном диапазоне чисел Re и не превышает 10%. Для условий прилипания при Re < Re* значение P_b начинает резко уменьшаться, становится меньше, чем для условий скольжения, и достигает очень малых величин – P_b ∼ 10^–10 и меньше. Причем уровень давления в окрестности задней критической точки при Re < Re* для условий прилипания начинает зависеть от расчетной сетки, уменьшаясь на более мелких сетках. При этом величины температуры и теплового потока остаются конечными. Данный эффект был отмечен в предыдущей работе [6], где он был исследован при гиперзвуковом числе Маха М_∞ = 20. Столь низкий уровень давления означает, что фактически перед задней критической точкой происходит отрыв потока. Однако причиной такого «вязкого» отрыва является не возрастание давления вниз по потоку, как в обычном случае при высоких числах Рейнольдса, а тормозящее действие сил вязкости. По-видимому, поток импульса к пристеночной струйке тока от внешних слоев газа оказывается недостаточным, чтобы компенсировать потери импульса в ней из-за трения о поверхность тела. Данное предположение подтверждается тем фактом, что при использовании условий скольжения эффект “вязкого” отрыва исчезает. Как видно из рис. 3б, в этом случае давление P_b с уменьшением числа Рейнольдса остается конечным, падая примерно на порядок, причем для сферы при Re < 10 оно даже начинает возрастать, что вызвано увеличением давления на наветренной стороне в данном диапазоне чисел Re. Следует отметить, что при больших числах Рейнольдса значение P_b почти постоянно несмотря на то, что в донной области тела образуется и растет отрывная зона. Для условий скольжения этот эффект наблюдается при Re > 50 (цилиндр) и 200 (сфера), для условия прилипания постоянство P_b достигается при примерно вдвое большем числе Рейнольдса.

Увеличение безразмерного давления P_f в критической точке при уменьшении числа Re сопровождается его ростом вдоль всей поверхности тела, что можно видеть на рис. 4, где приведены распределения отношения P_w = p/p$_{0}^{'}$ по поверхности цилиндра для условий прилипания и скольжения (1.1) при Re = 1, 100 и 1000. Поэтому волновое сопротивление увеличивается примерно пропорционально P_f (см. табл. 2), в особенности это характерно для случая обтекания цилиндра. Например, для условий скольжения (1.1) при уменьшении числа Рейнольдса с 3000 до 1 значения C_x и P_f для цилиндра увеличиваются в 1.60 и 1.50 раза. Для сферы, поскольку эффекты разреженности для нее существеннее, увеличение несколько больше – в 2.60 и 2.16 раза. При использовании условий прилипания возрастание C_xp и P_f еще значительнее. Увеличение давления при малых числах Re на подветренной стороне тела не сказывается на величине C_xp, поскольку его значения здесь очень низкие.

При малых числах Рейнольдса давление монотонно уменьшается вдоль поверхности и отрывная зона отсутствует. Как видно из рис. 4, при Re = 1 в окрестности передней критической точки использование условий скольжения (1.1) вместо прилипания приводит к небольшому падению P_w на 8% в связи с уменьшением размеров возмущенной области, создаваемой телом. Ниже по течению, наоборот, учет скольжения приводит к увеличению давления. Так, при Re = 1 для условий прилипания наблюдается сильное падение давления (“вязкий” отрыв) на подветренной стороне тела – до P_w ∼ 10^–12 в задней критической точке. Для условий скольжения давление вдоль поверхности также монотонно уменьшается, но не так резко – минимальное значение давления P_w = = 7 × 10^–3, что соответствует точке θ ≈ 120° для условий прилипания.

С увеличением числа Рейнольдса распределение P_w становится немонотонным – в окрестности задней критической точки давление растет, что при дальнейшем возрастании Re приводит к возникновению отрыва в донной области тела. При высоких числах Re влияние типа граничных условий на давление P_w около передней (Re ≥ 10²) и задней (Re ≥ 10³) критических точек незначительно, и в логарифмическом масштабе рис. 4 неразличимо. Вниз по потоку от передней критической точки примерно до области повышения давления использование условий прилипания вместо скольжения приводит к некоторому возрастанию P_w (до 7% при Re = 10²) из-за увеличения толщины пограничного слоя.

Влияние скольжения на параметры течения у поверхности тела значительно во всем рассмотренном диапазоне чисел Рейнольдса. На рис. 5 показаны распределения относительной температуры T_s/T_r и числа Маха M_s на внешней границе кнудсеновского слоя вдоль поверхности сферы при Re = 1, 10, 100, 3000, полученные с использованием условий скольжения (1.2). Видно, что даже при Re = 3000 число Маха вдоль поверхности сильно меняется и достигает максимума М_s = = 0.314 при θ ≈ 120° – в области наибольшего разрежения газового потока. При использовании условий (1.1) скорость скольжения на 12% меньше (М_s = 0.279) – пунктирная кривая на рис. 5. Примерно такое же относительное различие в значениях М_s для условий (1.1) и (1.2) наблюдается и при меньших числах Рейнольдса.

Как видно из рис. 5, при обтекании сферы отношение T_s/T_r монотонно увеличивается с ростом числа Рейнольдса, но остается почти всегда меньше 1. Только при Re > 200 в окрестности передней критической точки немного превышает единицу T_s/T_r ∼ 1.004. Поскольку при T_w = T_r суммарный тепловой поток на тело равен нулю, то интегральный вклад составляющей теплового потока за счет теплопроводности (первое слагаемое в (1.4)) меньше нуля и равен по величине интегральному вкладу в тепловой поток за счет работы сил вязкости (второе слагаемое в (1.4)), который всегда положителен. Поэтому при малых числах Рейнольдса температура тела оказывается выше температуры окружающего газа T_r > T_s, причем если Re < 200, то не только интегральная величина теплового потока за счет теплопроводности отрицательна, но и локальные значения q_wT = κ∂T/∂n также меньше нуля вдоль всей поверхности. С увеличением числа Рейнольдса роль вязкости уменьшается, интегральный вклад в тепловой поток за счет теплопроводности стремится к нулю (снизу) и значения q_wT вдоль поверхности меняют знак. В результате около передней критической точки, где температура газа у поверхности наибольшая, возникают области с q_wT > 0 и T_s > T_r.

Распределение температуры T_s вдоль поверхности имеет характерный минимум на подветренной стороне, что связано с расширением и охлаждением газового потока при обтекании тела. Минимуму температуры соответствует максимум числа Маха M_s, который находится немного выше по потоку. Расстояние по углу между ними составляет около 5° при Re = 1, уменьшаясь почти до нуля при Re = 3000. Область наибольшего разрежения на поверхности с увеличением числа Рейнольдса немного сдвигается в подветренную сторону – с θ = 95–100° до 120–125°. Отметим, что скорость скольжения газа при уменьшении числа Re с 10 до 1 несколько уменьшается, а не увеличивается, как можно было бы ожидать. Это вызвано, по-видимому, резким возрастанием давления (и плотности) при столь малых числах Re, о котором говорилось выше.

В случае обтекания цилиндра распределение величин T_s/T_r и M_s вдоль поверхности имеет похожий характер. Однако для цилиндра эффекты разрежения не столь значительны, как в случае сферы. Поэтому отношение температур T_s/T_r выше, а скорость скольжения меньше. Например, при Re = 3000 число Маха равно M_s = 0.213 для условий скольжения (1.1).

Как и в случае давления, при уменьшении числа Рейнольдса расчет дает завышенные значения коэффициента C_f = τ_w/ρ_∞V$_{\infty }^{2}$, что видно из рис. 6, где приведены распределения коэффициента C_f вдоль поверхности цилиндра при нескольких числах Re, а также в случае свободномолекулярного течения. Для сферы распределения C_f(θ) имеют похожий характер. При Re = 1 для условий прилипания максимум коэффициента трения для цилиндра почти в 2 раза, а для сферы в 4 раза больше соответствующего свободномолекулярного значения. Учет скольжения при Re = 1 приводит к уменьшению C_f примерно вдвое для обоих тел. Характер расчетной зависимости коэффициента C_f(θ) в разреженном течении сильно отличается от зависимости C_f(θ) в свободномолекулярном пределе. Согласно расчетам значения коэффициента трения на подветренной и наветренной сторонах сравнимы по величине. Максимум C_f всегда находится ниже по течению соответствующего максимума для свободномолекулярного течения при θ_max = 45°, сдвигаясь вверх по потоку с ростом числа Рейнольдса.

Для условий прилипания и скольжения (1.1) при числах Рейнольдса Re = 1, 10, 100, 3000 на рис. 7 показаны распределения величины

вдоль поверхности цилиндра. Для представления выбраны данные для цилиндра как более наглядные, поскольку для него в силу геометрии из условия Q_w = 0 следует, что “положительные” и “отрицательные” площади, описываемые кривыми St*(θ) на графиках, равны между собой. В случае обтекания сферы зависимости St*(θ) имеют похожий вид. Разность температур в (4.1) взята по абсолютной величине, так как для условий скольжения она меняет знак при изменении числа Re (см. рис. 1).

Для условий прилипания общий вид кривых St*(θ) не зависит от Рейнольдса – максимумы в передней и задней критических точках и минимум в области разрежения на подветренной стороне. С ростом числа Re величина St* монотонно уменьшается при θ < 70° и увеличивается при θ > 90°. Поскольку в случае прилипания потока St ∼ ∂T/∂n ∼ ∂(T₀ – T_r)/∂n, то по кривой St*(θ) можно судить о распределении у поверхности тела местной температуры торможения потока T₀ относительно температуры восстановления T_r, которая равна температуре поверхности. Из рис. 7а видно, что около передней и задней критических точек, где поток газа тормозится, температура T₀ достаточно высока, в частности, в окрестности передней критической точки (θ < 50°) превышает T_r. Напротив, в области расширения потока (θ ≈ 60°–120°), где газ ускоряется, местная температура торможения уменьшается и становится меньше T_r.

Как можно видеть из сравнения рис. 7а (прилипание) и рис. 7б (скольжение), для чисел Рейнольдса Re ≥ 100 в окрестности передней критической точки для теплового потока справедливо приближение пограничного слоя St* ≈ const. При малых числах Рейнольдса Re ≤ 10, характер зависимостей St*(θ), полученных с использованием условий прилипания и скольжения, становится совершенно различным вдоль всей поверхности. Можно сказать, что при переходе от прилипания к скольжению минимумы и максимумы в распределении St*(θ) при Re ≤ 10 меняются местами: при учете скольжения число St* максимально в области ускорения потока (θ ≈ 60°–120°), а в областях торможения (θ = 0° и 180°) – минимально. Такое поведение определяется попеременным преобладанием процесса теплопроводности и работы сил вязкости (первое и второе слагаемые в (5)) вдоль поверхности тела. Величина Uτ ≥ 0, существенная при малых числах Re, максимальна в области ускорения потока, приводя здесь к максимуму St*. Чтобы обеспечить равенство Q_w = 0, тепловой поток за счет теплопроводности, который преобладает вблизи передней и задней критических точек, где Uτ близка к нулю, должен быть отрицательным. Только при Re = 3000 характер кривых St*(θ) при разных граничных условиях на поверхности становится похожим, хотя в окрестности точки отрыва все еще сохраняется небольшое различие. Сравнение расчетных распределений St*(θ) при Re = 1 со свободномолекулярным случаем [10] показывает, что независимо от граничных условий решение не выходит на свободномолекулярный предел. Тем не менее на лобовой поверхности расчет с условием скольжения лучше согласуется со свободномолекулярным случаем, чем расчет с условием прилипания.

При увеличении числа Рейнольдса в донной области тела образуется отрывная зона. На рис. 8 показаны зависимости от числа Re угла точки отрыва θ_sep на поверхности и длины зоны отрыва L_sep на плоскости (оси) симметрии при обтекании цилиндра и сферы для условий прилипания и скольжения (1.1). Для сферы отрывная зона возникает примерно при вдвое большем числе Рейнольдса и имеет меньший размер, чем для цилиндра. Использование условий скольжения вместо прилипания приводит к задержке образования отрыва и меньшим размерам отрывной зоны при возрастании Re. Условия скольжения (1.2) дают значения θ_sep и L_sep, очень близкие к значениям для условий (1.1).

5. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ И РАСЧЕТНЫМИ ДАННЫМИ

На рис. 2б показаны расчетные данные [3] по коэффициентам C_x и C$_{{x\tau }}^{*}$, полученные на основе численного решения уравнений Навье–Стокса для теплоизолированной сферы и условий прилипания при M = 5. Можно отметить хорошее совпадение с результатами настоящего расчета особенно для C$_{{x\tau }}^{*}$ (<1%), максимальное различие (8%) наблюдается для C_x при наименьшем в [3] числе Рейнольдса Re = 5, с ростом Re оно быстро уменьшается и не превышает 2%, что сопоставимо с точностью снятия данных на графиках в [3].

На рис. 3а приведена эмпирическая зависимость P_f от величины Re_p, которая получена в [12] в результате корреляции экспериментальных данных разных авторов по показаниям датчика полного давления, передняя часть которого имела форму полусферы или плоского торца, в сверхзвуковых течениях разреженных газов (воздуха и азота) при М_∞ = 1–13, t_w ≈ 1. Как и результаты данных расчетов для сферы, корреляционная зависимость [12] имеет небольшой минимум и с учетом ошибки измерений неплохо согласуется с расчетом для условий скольжения при Re_p > 5 (Re ≈ 2.5).

Расчетные и экспериментальные [13] зависимости коэффициента сопротивления цилиндра от числа Кнудсена Kn_∞D = (πγ/2)^0.5M_∞ /Re_∞D показаны на рис. 9а. В [13] исследовалось сопротивление цилиндра в аэродинамической трубе в потоке воздуха при T_0∞ ≈ 293 K, t_w ≈ 1, М_∞ ≈ 2 и 4, погрешность измерений составляла ±0.1. Расчет с условием прилипания начинает “касаться” данных [13] лишь при самых низких числах Кнудсена Kn_∞D = 0.02–0.05 (Re ≈ 40–100), полученных в эксперименте. Использование условий скольжения (1.1) и (1.2) улучшает совпадение с экспериментом до Kn_∞D ≈ 0.7 (Re ≈ 3), при этом свободномолекулярный предел в расчете достигается при Kn_∞D = 1–2.

На рис. 9б приведено сравнение результатов настоящих расчетов с тремя группами экспериментальных данных по коэффициенту сопротивления сферы C_x при t_w ≈ 1. Первая (светлые точки) включает измерения разных авторов при M_∞ = 5–11, взятые из [14]. Вторая (темные точки) – результаты экспериментов [15], выполненных при M_∞ = 3.5–6.2, третья – экспериментальные данные нескольких авторов, которые для не слишком малых чисел Рейнольдса были аппроксимированы в [11] в виде рядов по z = Re^–0.5 для двух диапазонов чисел Маха:

Видно, что при использовании условий прилипания расчетные значения расходятся с данными эксперимента при Re < 300. Учет скольжения на поверхности тела улучшает согласование с экспериментом до Re ≈ 10, хотя надо отметить довольно большой разброс в результатах измерений. Отметим, что согласно [6] расчетная зависимость числа Нуссельта Nu(Re) для сферы при тех же условиях обтекания начинает отклоняться от данных эксперимента при Re < 3. Возможно, причина такого отличия состоит в том, что эксперименты по теплообмену (и вычисления) были выполнены при температуре восстановления T_r, т.е. при температурном факторе t_w > 1. Тогда как измерения коэффициента сопротивления проводились при t_w ≈ 1. На рис. 9 показаны также расчетные данные [5], полученные в результате численного решения уравнений Навье–Стокса с учетом скольжения (1.1) для случая обтекания сферы с теплоизолированной поверхностью при M_∞ = 10, γ = 1.4 в предположении линейной зависимости вязкости от температуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диапазоне чисел Рейнольдса Re = 1–3000 с использованием численного решения уравнений Навье–Стокса для совершенного газа исследовано влияние условий прилипания и скольжения на поверхности тела на параметры течения при сверхзвуковом обтекании сферы и цилиндра с фиксированной температурой поверхности, равной температуре восстановления. Выполнено сравнение с имеющимися экспериментальными и расчетными данными по коэффициенту сопротивления C_x сферы и цилиндра, а также давлению в передней критической точке сферы P_f. Учет скольжения уменьшает нижнюю границу по числу Re, для которой имеется согласование расчета с экспериментом, больше чем на порядок – с Re ≈ 50 до 3 для P_f, с 300 до 10 и с 100 до 3 для C_x сферы и цилиндра соответственно.