Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2020, № 1, стр. 76-90

Новая неустойчивость тонкого вихревого кольца в идеальной жидкости

Р. В. Акиньшин *

Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ)
Московская обл., Жуковский, Россия

* E-mail: akinshinrv@mail.ru

Поступила в редакцию 17.04.2019
После доработки 17.06.2019
Принята к публикации 25.06.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В линейном приближении исследуется задача об устойчивости стационарного течения тонкого вихревого кольца в идеальной жидкости. Рассмотрен случай изохронного вихревого кольца, в котором периоды обращения жидких частиц одинаковы. В этом течении отсутствуют возмущения непрерывного спектра, что существенно облегчает решение этой сложной задачи. Обнаружена неустойчивость длинноволновых колебаний, связанная с взаимодействием возмущений, имеющих энергию разного знака – колебания с положительной и отрицательной энергией.

Ключевые слова: вихревое кольцо, уравнение Гельмгольца, базисные деформации, неустойчивость

Рассмотрение динамики вихревого кольца представляет большой интерес, поскольку эта задача позволяет исследовать сложные эффекты динамики и взаимодействия возмущений в ядрах трехмерных вихрей. Вихревое кольцо представляет собой трехмерное течение, которое может быть создано в лабораторных условиях и в котором проявляются важные эффекты, связанные с кривизной вихревых линий. В частности, в вихревом кольце происходит взаимодействие возмущений, не связанных в близком по структуре течения вихре Ранкина (цилиндрическом вихре). Взаимодействие колебаний приводит к новым явлениям в динамике и акустике вихрей, включая процессы зарождения возмущений, переход к турбулентности в окрестности ядра, связь колебаний ядра со звуковым полем.

Поскольку задача аналитического описания является исключительно сложной, рассматриваются сначала малые возмущения системы, что ставит вопрос о наличии стационарных решений. Стационарное течение с завихренностью в тороидальной области рассмотрено в работах Френкеля [1, 2], где доказано существование стационарных решений для тонкого вихревого кольца с заданным распределением завихренности, и разработана процедура получения семейства стационарных решений, различающихся профилями завихренности в вихревом ядре. Следующая проблема связана с выбором стационарного решения, для которого задача о колебаниях была бы наиболее простой. Введено понятие изохронного кольца, в ядре которого периоды обращения жидких частиц одинаковы. Стационарное течение для изохронного вихревого кольца было получено в [3], где процедура, разработанная в [1, 2], существенно модифицирована.

Существование точного стационарного течения позволяет поставить задачу его устойчивости. Вследствие чрезвычайной сложности проблемы все теоретические решения в задаче о собственных колебаниях вихревого кольца ограничены случаем тонкого вихревого кольца. В случае коротковолновых трехмерных колебаний [4, 5] длина волны является дополнительным малым параметром, позволяющим получить решение, пренебрегая взаимным влиянием возмущений в удаленных друг от друга областях вихревого кольца. В этом случае можно ограничиться главным членом в разложении стационарного поля по параметру тонкости кольца, представляющим собой отношение характерного радиуса сечения ядра вихревого кольца к радиусу вихревого кольца, поэтому вопрос о существовании и структуре стационарного течения в [4, 5] не рассматривался.

В [6, 7] впервые рассмотрена задача о длинноволновых (длина волны порядка размера всего кольца) колебаниях вихревого кольца. В этом случае взаимодействие возмущений является нелокальным, поэтому вопрос о существовании и структуре стационарного течения является ключевым. Были получены колебания тонкого изохронного кольца, в котором отсутствуют возмущения непрерывного спектра, что существенно облегчает получение аналитического решения. Аналогом длинноволновых колебаний вихревого кольца являются колебания вихря цилиндрического – кельвиновские моды вихря Ранкина [8]. Кривизна вихревых линий в вихревом кольце может приводить к слабому (в случае тонкого кольца) взаимодействию возмущений, структура которых аналогична структуре кельвиновских мод цилиндрического вихря. В работе [7] отмечено, что для длинноволновых колебаний возможна неустойчивость, связанная с этим взаимодействием, если связанными оказываются возмущения, имеющие энергию разного знака – колебания с положительной и отрицательной энергией. Однако из-за чрезвычайной сложности задачи данный вопрос не был изучен до конца.

В настоящей работе задача о длинноволновых колебаниях тонкого вихревого кольца получила полное решение. Проведено исследование устойчивости в области частот вблизи точки слияния собственных частот бесселевских и изолированных колебаний.

1. СТАЦИОНАРНОЕ ВИХРЕВОЕ КОЛЬЦО

На основе метода Френкеля в [1, 2] была разработана процедура получения течения в тонком вихревом кольце с изохронным профилем завихренности, причем периоды обращения жидких частиц в ядре вихря одинаковы. Изохронное кольцо является простейшим объектом для рассмотрения задачи о трехмерных возмущениях, поскольку это течение имеет колебания только дискретного спектра. Отметим, что в двумерном случае вихрь с однородным распределением (вихрь Ранкина) одновременно является и изохронным течением, а для вихревого кольца однородный и изохронный профили завихренности различаются.

Решение для стационарного изохронного вихревого кольца получено в виде разложения по малому параметру тонкости вихревого кольца $\mu = a{\text{/}}R \ll 1$, где a – характерный размер вихревого ядра, через который определяется площадь сечения ядра вихревого кольца $\Pi = \pi {{a}^{2}}$; R – радиус вихревого кольца [3, 6]. Оказывается удобным перейти к криволинейным координатам σ, ψ [3], в которых все решаемые в дальнейшем уравнения имели бы наиболее простой вид. Координаты σ, ψ задаются в плоскости сечения кольца и в главном приближении совпадают с полярными координатами $\rho ,\;\varphi $ (рис. 1), а координата $s = R\theta $.

Рис. 1.

Вихревое кольцо.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ВОЗМУЩЕНИЯХ

Стандартным подходом к описанию малых возмущений течений невязкой несжимаемой жидкости является использование линеаризованного уравнения Гельмгольца [6]

В данной работе используется другой подход, который основывается на использовании поля смещения $\varepsilon \left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ в качестве основной функции. Поле смещений ${\mathbf{\varepsilon }}$ как эйлерову переменную можно формально определить через уравнение, связывающее ее с возмущениями скорости [6, 9]

(2.1)
$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + \nabla \times \left( {\varepsilon \times {{{\mathbf{V}}}_{{\mathbf{0}}}}} \right) - {\mathbf{v}} = 0$
где ${{{\mathbf{V}}}_{{\mathbf{0}}}}$ – поле скорости стационарного течения, ${\mathbf{v}}$ – возмущение скорости.

Из условия вмороженности (или изозавихренности, в смысле [10]), для возмущений завихренности, возникающих при малом смещении $\varepsilon $ жидких частиц, следует

(2.2)
$\Omega {\kern 1pt} ' = \nabla \times \left( {\varepsilon \times \Omega } \right)$
где $\Omega $ – завихренность стационарного течения.

Таким образом, будем решать уравнение для поля смещений (2.1), при этом возмущение скорости, с учетом (2.2) [7]

(2.3)
${\mathbf{v}}\left( {\mathbf{r}} \right) = \nabla \times \frac{1}{{4\pi }}\int {\frac{{\nabla {\kern 1pt} '\; \times \left( {\varepsilon \times \Omega } \right)}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|}}} d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} '$
где $\nabla {\kern 1pt} ' = \frac{\partial }{{\partial {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '}}$.

Рассмотрим возмущения стационарного течения с завихренностью, отличной от нуля в тороидальной области. Как известно [11], векторное поле в ограниченной области M может быть определено по нормальной компоненте поля на границе G(M), ротору и дивергенции этого поля во всей области M. В случае неодносвязной области для однозначного определения векторного поля необходимо также задать циркуляцию этого поля по замкнутому контору $C$, не стягиваемому к нулевому. Будем понимать под векторным полем все выражение $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + \nabla \times \left( {\varepsilon \times {{{\mathbf{V}}}_{{\mathbf{0}}}}} \right) - {\mathbf{v}}$, а под областью M – область, в которой сосредоточена завихренность. Тогда уравнения для поля смещения записываются в следующем виде

(2.4а)
$\frac{\partial }{{\partial t}}\nabla \times \varepsilon + \nabla \times \left[ {\nabla \times \left( {\varepsilon \times {{{\mathbf{V}}}_{{\mathbf{0}}}}} \right)} \right] - \nabla \times \left( {\varepsilon \times \Omega } \right) = 0,\quad {\mathbf{r}} \in M$
(2.4б)
$\nabla \cdot \varepsilon = 0,\quad {\mathbf{r}} \in M$
(2.4в)
$\left( {\frac{{\partial {\mathbf{\varepsilon }}}}{{\partial t}} + \nabla \times \left( {\varepsilon \times {{{\mathbf{V}}}_{{\mathbf{0}}}}} \right) - {\mathbf{v}}} \right) \cdot {\mathbf{n}} = 0,\quad {\mathbf{r}} \in G\left( M \right)$
(2.4г)
$\oint_С {\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + \nabla \times \left( {\varepsilon \times {{{\mathbf{V}}}_{{\mathbf{0}}}}} \right) - {\mathbf{v}}} \right) \cdot d{\mathbf{l}} = 0} $
где $n$ – вектор нормали к поверхности G(M).

Важным преимуществом системы (2.4) является то, что возмущение скорости ${\mathbf{v}}$, для определения которого необходимо вычислять интеграл (2.3), должно быть найдено только на границе вихревого кольца, а во внутренней области решаются только дифференциальные уравнения.

Уравнения (2.4) будут использоваться для нахождения длинноволновых собственных колебаний тонкого вихревого кольца. С учетом осесимметричности течения с осью z (рис. 1), ищем решение для поля смещения в виде

${{\varepsilon }^{k}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = {{\varepsilon }^{k}}\left( {\sigma ,\psi } \right)\exp \left( {in\theta - i\omega t} \right)$
где εk – контравариантная компонента вектора поля смещения, ω – заданная частота колебаний. Будет использоваться метод последовательных приближений по малому параметру μ. Аналогичный подход применялся в [6], где были получены собственные колебания нескольких типов. В работе [7] показана возможность слияния собственных частот изолированных и бесселевских колебаний в области частот

(2.5)
$\omega - \frac{{{{\Omega }_{0}}}}{2}l \sim O({{\mu }^{2}}),\quad l = 1,2,...$

Если эти колебания имеют энергию разного знака, появляется возможность неустойчивости системы. Для того чтобы выяснить, реализуется ли эта возможность, а также для определения характеристик неустойчивости необходимо получить решение задачи в приближении, снимающем вырождение частот.

Ниже исследуется задача об устойчивости тонкого вихревого кольца в области частот (2.5). Рассматривается случай l = 1, который представляет наибольший интерес с точки зрения излучения звука. Уравнения (2.4а, б) для внутренней области вихревого ядра $\sigma < {{\sigma }_{{bound}}}$ решались в [12]. В данной работе для получения дисперсионного уравнения необходимо решить еще уравнение (2.4в) на границе ядра вихревого кольца

(2.6)
$L{{\varepsilon }^{\sigma }} - {{\nu }^{\sigma }} = 0,\quad \sigma = {{\sigma }_{{bound}}}$
которое получено с учетом того, что на поверхности вихря ковариантные компоненты ${{n}_{\psi }},{{n}_{s}}$ нормального вектора равны нулю [6]; оператор $L = - i\omega + \frac{{{{\Omega }_{0}}}}{2}\frac{\partial }{{\partial \psi }}$, собственные частоты $\omega $ ищутся в виде $\omega = {{\Omega }_{0}}(1{\text{/}}2 + {{\mu }^{2}}\omega {\kern 1pt} ')$, $\omega {\kern 1pt} ' = O(1)$, где ${{\Omega }_{0}}$ – константа.

3. БАЗИСНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

В [6, 7] было введено понятие базисных деформаций как системы векторных полей ${{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}}\left( {\sigma ,\psi } \right)$, $m = 0,\; \pm 1,\; \pm 2,...$ в области внутри вихря $\sigma = {{\sigma }_{{bound}}}$, каждое из которых является решением системы (2.4а, б) с заданной частотой ω, где ω – параметр. Базисные деформации представляют собой полную, линейно независимую систему, поскольку в главном приближении компоненты $m$ базисной деформации представляют собой гармонику $\exp \left( {im\psi } \right)$. В соответствии с этим любое поле смещения, являющееся решением (2.4а, б), можно представить в виде линейной комбинации базисных деформаций ${{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}}\left( {\sigma ,\psi } \right)$

$\varepsilon \left( {\sigma ,\psi } \right) = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{C}_{m}}{{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}}\left( {\sigma ,\psi } \right)} $

Будем искать базисные деформации в виде разложения в ряд Фурье

$\varepsilon _{{\left( m \right)}}^{k}\left( {\sigma ,\psi } \right) = \sum\limits_{p = - \infty }^\infty {\varepsilon _{p}^{k}\left( \sigma \right){{e}^{{ip\psi }}}} $

В главном приближении этот ряд содержит единственную гармонику p = m, а в следующих приближениях появляются другие Фурье компоненты, поскольку метрический тензор также представляется в виде ряда Фурье [12]

Амплитуды гармоник $\varepsilon _{p}^{i}$ находятся последовательными приближениями по малому параметру $\mu $ [12]. Аналогично описанной в [12] процедуре, получим базисные деформации для случая l = 1. Выражения для базисных деформаций приведены в Приложении А.

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СКОРОСТИ НА ГРАНИЦЕ ЯДРА ВИХРЕВОГО КОЛЬЦА

В уравнение (4.1) входит контравариантная компонента скорости να, которая оценивается на границе ядра вихревого кольца $\sigma = {{\sigma }_{{bound}}}$ при заданном поле смещения $\varepsilon $. Для этого преобразуем (2.3) к виду, более удобному для вычислений. Используя интегрирование по частям, получим цепочку равенств

(4.1)
$\begin{gathered} {\mathbf{v}} = \nabla \times \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_M {\frac{{\nabla {\kern 1pt} '\; \times {\mathbf{B}}}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|}}} \,d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ' = \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_M {\frac{{\nabla {\kern 1pt} '\; \times \left( {\nabla {\kern 1pt} '\; \times {\mathbf{B}}} \right)}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|}}} \,d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ' = \\ \, = \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_M {\frac{{\nabla {\kern 1pt} '\left( {\nabla {\kern 1pt} '{\mathbf{B}}} \right) - {{\nabla }^{{'2}}}{\mathbf{B}}}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r'}}} \right|}}} \,d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ' = {\mathbf{B}} + \nabla \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_M {\frac{{\nabla {\kern 1pt} '{\mathbf{B}}}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|}}} \,d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ' \\ \end{gathered} $
где ${\mathbf{B}} = \left( {\varepsilon \times \Omega } \right)$. Отсюда следует, что в области вне вихря возмущение скорости ${\mathbf{v}}$ может быть представлено как поле, создаваемое источниками с плотностью $Q\left( {\mathbf{r}} \right) = - \nabla \left( {\varepsilon \times \Omega } \right)$. Действительно, в этой области B = 0, и поэтому

(4.2)
${\mathbf{v}} = \nabla \Phi ,\quad \Phi = - \frac{1}{{4\pi }}\iint\limits_M {\frac{{Q\left( {{\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right)}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|}}}\,d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} '$

Поскольку на границе вихря нормальная компонента скорости непрерывна, то для вычисления величины ${{v}^{\sigma }}$ в уравнении (2.6) может использоваться как внешний, так и внутренний предел выражения (4.1). Будем пользоваться внешним пределом, исходя из выражения (4.2).

Заметим также, что при вычислении поля ${\mathbf{v}}$ плотность Q в (4.2) может быть задана не единственным образом. Действительно, поле вне области M не изменится при замене $Q \to Q + Q{\kern 1pt} '$, где $Q{\kern 1pt} ' = {{\nabla }^{2}}G$ – произвольная функция, тождественно равная нулю вне области M. Таким образом, вне вихря возмущение скорости может быть найдено из соотношений (4.2) с плотностью более общего вида

(4.3)
$Q = - \nabla \left[ {\left( {\varepsilon \times \Omega } \right) + \nabla G} \right]$
где $G$ – произвольная функция, отличная от нуля только в области, занятой вихрем.

Для каждой базисной деформации ${{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}}$ необходимо вычислить скорость на границе, в соответствии с (4.2) получим

(4.4)
${{V}_{{\left( m \right)}}} = v_{{\left( m \right)}}^{\sigma }\left| {_{{{{\sigma }_{{bound}}}}}} \right.,\quad {{{\mathbf{v}}}_{{\left( m \right)}}} = - \nabla \frac{1}{{4\pi }}\int {\frac{{{{Q}_{{\left( m \right)}}}\left( {{\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right)}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|}}} \,d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} '$
где ${{Q}_{{\left( m \right)}}}$ находится подстановкой ${{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}}$ в (4.3). Для решения задачи наиболее эффективным будет добавление такой функции $G$, которая сведет объемную плотность к поверхностной
${{Q}_{m}}\left( {\sigma ,\psi } \right) = {{q}_{m}}\left( \psi \right)\delta \left( {\sigma - {{\sigma }_{{bound}}}} \right)$
где δ(x) – дельта-функция Дирака. Функция $G$ находится из решения уравнения

${{\nabla }^{2}}G = - \nabla \cdot ({{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}} \times \Omega ),\quad \sigma < {{\sigma }_{{bound}}}$
$G = 0,\quad \sigma = {{\sigma }_{{bound}}}$

Для каждой базисной деформации функция $G$ находится в виде разложения по малому параметру μ. Тогда получим

${{q}_{{\left( m \right)}}} = {{\left[ {{{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}} \times \Omega + \nabla G} \right]}^{\sigma }}\left| {_{{\sigma = {{\sigma }_{{bound}}}}}} \right.$

Несмотря на появление промежуточного шага, связанного с вычислением G, сведение объемной плотности к поверхностной позволяет значительно упростить вычисление интеграла (4.4). Вычисление необходимых G, ${{q}_{{\left( m \right)}}}$ проводилось с помощью символьной математики. Интегрирование по углу $\psi $ для вычисления ${{V}_{{\left( m \right)}}}$ проводится с помощью формул, представленных в Приложении Б.

5. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ И СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ

Для определения собственных частот используется уравнение (2.6). Для удобства определим ${{\eta }_{{(m)}}}(\psi ) = \varepsilon _{{(m)\left| {\sigma = {{\sigma }_{{bound}}}} \right.}}^{\sigma }$. Примем соотношение

${{F}_{{\left( m \right)}}}\left( \psi \right) = L{{\eta }_{{\left( m \right)}}} - {{V}_{{\left( m \right)}}}$
где ${{V}_{{\left( m \right)}}}$ определяется из (4.4). Представим ${{F}_{{\left( m \right)}}}\left( \psi \right)$ в виде ряда Фурье
(5.1)
${{F}_{{\left( m \right)}}}\left( \psi \right) = \sum\limits_{p = - \infty }^\infty {{{F}_{{\left( m \right)p}}}{{e}^{{ip\psi }}}} $
где ${{F}_{{\left( m \right)p}}}$ – коэффициенты Фурье функции ${{F}_{{\left( m \right)}}}\left( \psi \right)$. Подставляя (5.1) в (2.6) и учитывая вид поля смещения $\varepsilon = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{C}_{m}}{{\varepsilon }_{{\left( m \right)}}}} $, получим

$\sum\limits_{p = - \infty }^\infty {\left( {\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{F}_{{\left( m \right)p}}}{{C}_{m}}} } \right){{e}^{{ip\psi }}}} = 0$

Откуда следует бесконечная система линейных алгебраических уравнений

(5.2)
$\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{F}_{{\left( m \right)p}}}{{C}_{m}}} = 0,\quad p = 0, \pm 1, \pm 2...$

Система (5.2) определяет коэффициенты ${{C}_{{\left( m \right)}}}$ и собственные частоты $\omega $.

Поскольку для тонкого вихревого кольца коэффициенты ${{F}_{{\left( m \right)p}}}$ имеют различный порядок по малому параметру $\mu $, то для определения коэффициентов ${{C}_{{\left( m \right)}}}$ в каждом приближении бесконечная матрица ${{F}_{{\left( m \right)p}}}$ будет сводиться к конечной. Детальный анализ системы (5.2) показывает, что коэффициенты ${{C}_{{(m)}}},m \ne 1,{\text{2}}$ всякий раз будут выражаться через коэффициенты C(1) и C(2), так что система (5.2) переходит в систему для определения C(1) и C(2)

(5.3а)
$\begin{gathered} \left( {\left( { - \mu \frac{{\omega {\kern 1pt} '}}{{2n}} + {{\mu }^{3}}{{A}_{1}} + O({{\mu }^{5}})} \right){{J}_{1}}\left( {{{a}_{0}}} \right) + \left( { - {{\mu }^{4}}\frac{1}{2}{{\omega }^{{'2}}} + O({{\mu }^{5}})} \right){{J}_{2}}\left( {{{a}_{0}}} \right)} \right){{C}_{1}} + \\ \,{\text{ + }}i\left( {\mu \frac{{({{n}^{2}} + 5\omega {\kern 1pt} ')}}{{4{{n}^{2}}}} + {{\mu }^{3}}{{A}_{2}} + O({{\mu }^{5}})} \right){{C}_{2}} = 0 \\ \end{gathered} $
(5.3б)
$\begin{gathered} \left( {\left( {{{\mu }^{2}}\frac{{3\omega {\kern 1pt} '}}{{8n}} + {{\mu }^{4}}{{A}_{3}} + O({{\mu }^{6}})} \right){{J}_{1}}\left( {{{a}_{0}}} \right) + \left( {{{\mu }^{5}}\left( { - \frac{{5{{\omega }^{{'2}}}({{n}^{2}} + 8\omega {\kern 1pt} ')}}{{8{{n}^{2}}}}} \right) + O({{\mu }^{7}})} \right){{J}_{2}}\left( {{{a}_{0}}} \right)} \right){{C}_{1}} + \\ \,{\text{ + }}i\left( {{{\mu }^{2}}\left( { - \frac{1}{{192{{n}^{2}}}}(16{{n}^{4}} + 180\omega {\kern 1pt} ') + {{n}^{2}}\left( {13 + 192\omega {\kern 1pt} '} \right)} \right) + {{\mu }^{4}}{{A}_{4}} + O({{\mu }^{6}})} \right){{C}_{2}} = 0 \\ \end{gathered} $
где

${{A}_{1}} = \frac{{\omega {\kern 1pt} '}}{{384{{n}^{3}}}}\left( {99 - 2{{n}^{2}}\left( {7 + 96\omega {\kern 1pt} '\; + 96{{S}_{n}}} \right) - 24{{n}^{4}}\left( {1 - 8{{S}_{n}}} \right) - 24(3 - 4{{n}^{2}} + 4{{n}^{4}})\ln \frac{8}{\mu }} \right)$
$\begin{gathered} {{A}_{2}} = \frac{1}{{1536{{n}^{4}}}}( - 5040{{\omega }^{{'2}}} + {{n}^{4}}\left( {151 + 24{{S}_{n}} - 48\omega {\kern 1pt} '\left( { - 9 + 40{{S}_{n}}} \right)} \right)) - \\ \, - \frac{1}{{64{{n}^{2}}}}(4{{n}^{4}} + {{n}^{2}}\left( {5 - 40\omega {\kern 1pt} '} \right) + 100\omega {\kern 1pt} ')\ln \frac{8}{\mu } + \frac{1}{{768{{n}^{2}}}}( - 3\omega {\kern 1pt} '\left( {201 + 128\omega {\kern 1pt} '\; - 320{{S}_{n}}} \right) + {{n}^{4}}\left( { - 2 + 96{{S}_{n}}} \right)) \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{A}_{3}} = \frac{{\omega {\kern 1pt} '}}{{512{{n}^{3}}}}\left( {\frac{{63{{\omega }^{{'2}}}}}{{128{{n}^{3}}}} + {{n}^{2}}\left( {159 + 448\omega {\kern 1pt} '\; + 48{{S}_{n}} - 192} \right) + 8{{n}^{4}}\left( {5 + 24{{S}_{n}}} \right) - 9\left( {11 + 28\omega {\kern 1pt} '} \right)} \right) - \\ \, - \frac{{3\omega {\kern 1pt} '}}{{64{{n}^{3}}}}( - 3 + 4({{n}^{2}} + {{n}^{4}}))\ln \frac{8}{\mu } \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{A}_{4}} = - \frac{1}{{73728{{n}^{4}}}}( - 181440{{\omega }^{{'2}}} + 144{{n}^{2}}\omega {\kern 1pt} '\left( {61 - 1152\omega {\kern 1pt} '\; + 120{{S}_{n}}} \right) + 32{{n}^{8}}\left( { - 61 + 144{{S}_{n}}} \right)) + \\ \, + \frac{{{{n}^{2}}}}{{3072}}\left( { - 27 + 512\omega {\kern 1pt} '\; + 768{{S}_{n}}} \right) - \frac{1}{{24576}}\left( {10861 - 5952\omega {\kern 1pt} '\; + 288\left( {7 + 80\omega {\kern 1pt} '} \right){{S}_{n}}} \right) - \\ \, - \frac{1}{{256{{n}^{2}}}}\left( { - 32{{n}^{4}} + 8{{n}^{6}} + 300\omega {\kern 1pt} '\; + 3{{n}^{2}}\left( {41 + 40\omega {\kern 1pt} '} \right) - 36{{n}^{2}}\ln \frac{8}{\mu }} \right)\ln \frac{8}{\mu } \\ \end{gathered} $
${{S}_{n}} = \sum\limits_{l = 1}^n {\frac{1}{{2l - 1}}} $

Равенство нулю детерминанта системы (5.3) дает дисперсионное уравнение

(5.4)
$\left( {\omega {\kern 1pt} '\; - \frac{{23 - 16{{n}^{2}}}}{{192}} - {{\mu }^{2}}B + O({{\mu }^{4}})} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( c \right)}}{{{{J}_{2}}\left( c \right)}} = - {{\mu }^{3}}\left( {\frac{{\omega {\kern 1pt} '}}{{192}}(16{{n}^{3}} + 73n) + \frac{{{{\omega }^{{'2}}}}}{n}(5 + {{n}^{2}}) + \frac{{25{{\omega }^{{'3}}}}}{{2{{n}^{3}}}}} \right) + O({{\mu }^{5}})$
где

$\begin{gathered} B = \frac{1}{{73728{{n}^{2}}}}(72\left( {161 - 4544\omega {\kern 1pt} '} \right)\omega {\kern 1pt} ' - 32{{n}^{6}}(37 + 48{{S}_{n}})) + \\ \, + {{\omega }^{{'2}}} + \omega {\kern 1pt} '\left( { - \frac{{15}}{{16}} + {{S}_{n}}} \right) + \frac{{16063 + 6720{{S}_{n}}}}{{73728}} - \frac{{{{n}^{2}}\left( {127 + 4752{{S}_{n}} + 384\omega {\kern 1pt} '\left( { - 1 + 24{{S}_{n}}} \right)} \right)}}{{9216}} + \\ \, + \frac{1}{{384}}\left( { - 139 + 99{{n}^{2}} + 4{{n}^{4}} - 192\omega {\kern 1pt} '\,\, + 192{{n}^{2}}\omega {\kern 1pt} '} \right)\ln \frac{8}{\mu } + \frac{9}{{64}}\ln \frac{8}{\mu }\ln \frac{8}{\mu } \\ \end{gathered} $
$c = \frac{n}{{\omega {\kern 1pt} '\mu }}\left( {1 + {{\mu }^{2}}\left( {\frac{{103}}{{192}} + \frac{{21\omega {\kern 1pt} '}}{{16{{n}^{2}}}}} \right) + O({{\mu }^{4}})} \right)$

Дисперсионное уравнение (5.4) представляет собой трансцендентное уравнение, корни которого определяют собственные частоты системы. Поскольку правая часть мала, эти корни располагаются вблизи тех значений, при которых один из множителей в левой части уравнения обращается в нуль.

Второй множитель ${{J}_{1}}\left( c \right){\text{/}}{{J}_{2}}\left( c \right)$в (5.4) обращается в нуль в бесконечном числе точек, соответствующих нулям функции Бесселя ${{J}_{1}}\left( c \right)$. Эти нули соответствуют бесконечному семейству собственных колебаний с частотами

(5.5)
$\omega = {{\Omega }_{0}}\left( {\frac{1}{2} + \mu \frac{n}{{{{c}_{j}}}}\left( {1 + O\left( \mu \right)} \right)} \right)$
где ${{J}_{1}}\left( {{{c}_{j}}} \right) = 0$, $j = \pm 1, \pm 2,...$. Собственные частоты имеют точку сгущения ${{\Omega }_{0}}{\text{/}}2$и лежат по обе стороны от нее в зависимости от знака cj. В соответствии с [6, 7] колебания этого семейства называются бесселевскими колебаниями. Моды, лежащие справа от точки сгущения $\left( {{{c}_{j}} > 0} \right)$, называются опережающими, поскольку их фазовая скорость больше скорости жидких частиц в ядре вихря. Моды же, лежащие слева $({{c}_{j}} < 0)$, – отстающие (рис. 2).

Рис. 2.

Собственные частоты вихревого кольца, локализованные вблизи 1/2. Бесселевские моды (●); изолированная мода (○).

Как видно из дисперсионного уравнения (5.4), существует еще одно собственное колебание, которое называется изолированным и соответствует обращению в нуль первого множителя в этом уравнении. Это колебание имеет частоту

(5.6)
$\omega = {{\Omega }_{0}}\left( {\frac{1}{2} + {{\mu }^{2}}\frac{{23 - 16{{n}^{2}}}}{{192}}} \right)$

При $n = 1$ собственная частота изолированного колебания лежит справа от точки сгущения ${{\Omega }_{0}}{\text{/}}2$, а при $n > 1$ – слева (рис. 2)

Рассмотрим случай, когда частота изолированного колебания оказывается в окрестности частоты одного из бесселевских колебаний ${{\omega }_{B}}$, так что ${{J}_{1}}\left( {с\left( {{{\omega }_{B}}} \right)} \right) = 0$, а ${{\omega }_{B}} = (23 - 16{{n}^{2}}){\text{/}}192 + O({{\mu }^{2}})$. Найдем решение дисперсионного уравнения в окрестности этих двух близких частот, т.е. будем предполагать

$\omega {\kern 1pt} ' = {{\omega }_{B}} + {{\mu }^{2}}\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ',\quad \omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = O\left( 1 \right)$

Для удобства примем соотношения:

(5.7)
$A = \frac{{23 - 16{{n}^{2}}}}{{192}},\quad C = \frac{{103}}{{192}} + \frac{{21\omega {\kern 1pt} '}}{{16{{n}^{2}}}}$

В этом случае функция Бесселя может быть представлена в виде разложения

${{J}_{1}}\left( c \right) = \mu \frac{n}{{{{A}^{2}}}}(\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - AC + O({{\mu }^{2}})){{J}_{2}}\left( {\frac{n}{{\mu A}}} \right)$
${{J}_{2}}\left( c \right) = {{J}_{2}}\left( {\frac{n}{{\mu A}}} \right)(1 + O({{\mu }^{2}}))$

Подставляя это разложение в (5.4), с учетом того, что в главном приближении $\omega {\kern 1pt} ' = A + O({{\mu }^{2}})$ = = (23 – 16n2)/192 + O2), после несложных преобразований получим

$\left( {\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - B + Q} \right)\left( {\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - AC} \right) + O({{\mu }^{2}}) = - {{A}^{3}}\frac{1}{3}\frac{1}{{96}}\frac{1}{{{{n}^{4}}}}{{\left( {7{{n}^{2}} + \frac{{115}}{{16}}} \right)}^{2}} + O({{\mu }^{2}})$
где $Q = \left( {{{\omega }_{B}} - A} \right){\text{/}}{{\mu }^{2}}$. Учитывая (5.7), найдем

(5.8)
$\left( {\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - B + Q} \right)\left( {\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - \frac{{(23 - 16{{n}^{2}})(483 + 1312{{n}^{2}})}}{{589824{{n}^{2}}}}} \right) = - {{\left( {\frac{{23 - 16{{n}^{2}}}}{{192}}} \right)}^{3}}\frac{1}{3}\frac{1}{{96}}\frac{1}{{{{n}^{4}}}}{{\left( {7{{n}^{2}} + \frac{{115}}{{16}}} \right)}^{2}}$

Если $Q = B - (23 - 16{{n}^{2}})(483 + 1312{{n}^{2}}){\text{/}}589824{{n}^{2}}$, то

(5.9)
$\begin{gathered} \omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \frac{{(23 - 16{{n}^{2}})(483 + 1312{{n}^{2}})}}{{589824{{n}^{2}}}} \pm \delta \left( n \right),{\text{ }} \\ \delta \left( n \right) = \pm \frac{1}{{{{2}^{{15}}}}}\frac{{115 + 112{{n}^{2}}}}{{9{{n}^{2}}}}\sqrt {\frac{{{{{(16{{n}^{2}} - 23)}}^{3}}}}{6}} \\ \end{gathered} $

Из этого выражения видно, что при n = 1 возникает неустойчивость с инкрементом ${\text{Im}}\delta (1) \approx 6 \times {{10}^{{ - 3}}}$, а при n > 1 течение оказывается устойчивым. Форма возмущений границы вихря в случае неустойчивых колебаний представлена на рис. 3.

Рис. 3.

Неустойчивые длинноволновые колебания.

В общем виде решение (5.8)

$\begin{gathered} \omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = B + \frac{1}{2}\left( {Q + B - \frac{{(23 - 16{{n}^{2}})(483 + 1312{{n}^{2}})}}{{589824{{n}^{2}}}}} \right) \pm \\ \pm {{\left( {\frac{1}{4}{{{\left( {Q + B - \frac{{(23 - 16{{n}^{2}})(483 + 1312{{n}^{2}})}}{{589824{{n}^{2}}}}} \right)}}^{2}} - Q\left( {B - \frac{{(23 - 16{{n}^{2}})(483 + 1312{{n}^{2}})}}{{589824{{n}^{2}}}}} \right) + \delta {{{\left( n \right)}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}} \\ \end{gathered} $

Отсюда следует, что граница неустойчивой области $(n = 1)$ определяется уравнением

(5.10)
$\frac{1}{4}{{\left( {Q + B - \frac{{12565}}{{589824}}} \right)}^{2}} - Q\left( {B - \frac{{12565}}{{589824}}} \right) + \delta {{\left( 1 \right)}^{2}} = 0$

Принимая во внимание выражение для $B$ с учетом (5.7), (5.9), из (5.10) получим область неустойчивости

$q{\kern 1pt} ' < Q < q{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$
$\begin{gathered} q{\kern 1pt} ' = \frac{1}{{1769472}}\left( {473295 - 3178\sqrt {42} + 165888\ln \frac{8}{\mu } - 248832\ln \frac{8}{\mu }\ln \frac{8}{\mu }} \right) \\ q{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \frac{1}{{1769472}}\left( {473295 + 3178\sqrt {42} + 165888\ln \frac{8}{\mu } - 248832\ln \frac{8}{\mu }\ln \frac{8}{\mu }} \right) \\ \end{gathered} $

Представляет интерес сравнить полученный результат с энергетическим анализом возмущений вихревого кольца. Поскольку неустойчивые колебания должны иметь нулевую энергию, то неустойчивость может возникать при слиянии собственных частот колебаний, имеющих энергию разного знака. В [7] показано, что энергия бесселевских колебаний, лежащих справа от точки сгущения ${{\Omega }_{0}}{\text{/}}2$, положительна, а слева отрицательна (рис. 4). Энергия же изолированного колебания всегда отрицательная, а само колебание может находиться как среди бесселевских мод с положительной энергией, так и среди бесселевских мод с отрицательной энергией. При l = 1 первый случай реализуется только при n = 1, а второй случай при n > 1. Отсюда следует, что неустойчивость возможна лишь в случае n = 1. Таким образом, полученный результат находится в полном соответствии с энергетическим анализом.

Рис. 4.

Энергетический анализ возмущений вихревого кольца. ${{E}_{b}}$ – энергия бесселевских колебаний.

Отметим, что в работе рассмотрена задача устойчивости только для звукообразующих мод l = 1; в соответствии с [6, 7] моды с l > 1 неэффективно излучают звук. Однако энергетический анализ указывает на возможность неустойчивости и для других значений $l$. Для этого частота изолированного колебания должна лежать правее точки сгущения так, чтобы было возможно слияние частот колебаний с разными энергиями. В частности, из выражений [7] для частот собственных колебаний вихревого кольца следует, что неустойчивость возможна только при следующих комбинациях чисел $(l,n)$

$\begin{gathered} l = 1,{\text{2,3,4;}}\quad n = {\text{1}} \\ l = {\text{5,6}}...{\text{11;}}\quad n{\text{ = 1,2}} \\ l = {\text{12;}}\quad n{\text{ = 1,2,3}} \\ \end{gathered} $

Для того, чтобы установить, реализуется ли неустойчивость, возможная с точки зрения энергий колебаний, необходимо найти решение дисперсионного уравнения с точностью, достаточной для снятия вырождения частот. Чем больше $l$, тем больший порядок разложения по малому параметру $\mu $ требуется для решения задачи. Поскольку это чрезвычайно сложная задача, то в настоящей работе рассмотрение ограничено наиболее простым, но и наиболее важным с точки зрения излучения звука случаем l = 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача об устойчивости тонкого изохронного вихревого кольца в идеальной жидкости по отношению к длинноволновым возмущениям. Для построения полного решения задачи найдены члены разложения по параметру тонкости кольца до пятого порядка включительно. Это позволило получить дисперсионное уравнение для собственных частот с точностью, позволяющей снять вырождение частот. Показано, что в зависимости от параметров задачи снятие вырождения может дать действительные или мнимые поправки к собственным частотам. Это означает, что в некотором диапазоне параметров тонкое вихревое кольцо оказывается неустойчивым по отношению к длинноволновым возмущениям. Получен инкремент неустойчивости и границы параметров, при которых возникает неустойчивость.

Проведен энергетический анализ полученного решения. Показано, что механизм неустойчивости основан на взаимодействии колебаний с энергией разного знака, которое возникает вследствие кривизны вихревых линий в кольце. В тонком кольце это взаимодействие является слабым, а в предельном переходе к цилиндрическому вихрю взаимодействие исчезает, и рассмотренный механизм неустойчивости не реализуется. Таким образом, вихревое кольцо оказывается простейшим локализованным течением, в котором реализуется неустойчивость, связанная с взаимодействием колебаний с энергией разного знака. В процессе неустойчивых колебаний вихревого кольца происходит передача энергии от крупномасштабных изолированных колебаний к бесселевским колебаниям, представляющим собой мелкомасштабные возмущения в сечении вихревого кольца. Таким образом, полученное решение дает пример механизма передачи энергии от больших к меньшим масштабам, который, возможно, реализуется в ядрах вихревых нитей в турбулентных течениях.

Автор выражает глубокую благодарность В.Ф. Копьеву и С.А. Чернышеву за постановку задачи и постоянное внимание к результатам исследования.

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ №17-11-01271

Список литературы

  1. Fraenkel L.E. On steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1970. V. 316. P. 29–62.

  2. Fraenkel L.E. Examples of steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid // J. Fluid Mech. 1972. V. 2. № 1. P. 119–135.

  3. Акиньшин Р.В., Копьев В.Ф., Чернышев С.А., Юдин М.А. Стационарное вихревое кольцо с изохронным течением в вихревом ядре // ИЗВ. РАН. МЖГ. 2018. № 2. С. 222–233.

  4. Widnall S.E., Tsai S.Y. // Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A.1977. V. 287 (1344). 273.

  5. Fukumoto Y., Hattori Y. Curvature instability of a vortex ring // J. Fluid Mech. 2005. V. 526. P. 77–115.

  6. Kopiev V.F., Chernyshev S.A. Vortex ring eigen-oscillations as a source of sound // J. Fluid Mech. 1997. V. 341. P. 19–47.

  7. Копьев В.Ф., Чернышев С.А. Колебания вихревого кольца, возникновение в нем турбулентности и генерации звука // УФН. 2000. Т. 170. № 7. С. 713–742.

  8. Saffman P.G. Vortex Dynamics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

  9. Drazin P.G., Raid W.H. Hydrodynamics stability (Second Ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.

  10. Арнольд В.И. Об условии нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162. № 5. С. 975–978.

  11. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

  12. Акиньшин Р.В., Копьев В.Ф., Чернышев С.А., Юдин М.А. Базисные деформации в задаче о возмущениях ядра тонкого изохронного вихревого кольца // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 5. С. 52–63.

Дополнительные материалы отсутствуют.