Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 1, стр. 36-43

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Двумерное стационарное движение вязкой теплопроводной жидкости в отсутствие внешних сил описывается уравнениями

где ${{u}_{1}}(x,y)$, ${{u}_{2}}(x,y)$ – компоненты вектора скорости; $p(x,y)$ – давление; $\theta (x,y)$ – температура; $\rho > 0$, $\nu > 0$, $\chi > 0$ – постоянные плотность, кинематическая вязкость и температуропроводность жидкости соответственно.

Пусть ${{u}_{1}} = w(y)x$, ${{u}_{2}} = v(y)$, $p = p(x,y)$, $\theta = \theta (x,y)$ есть решение системы (1.1). Данное представление для скоростей имеет название поле скоростей типа Хименца [5]. Подстановка решения в первые три уравнения (1.1) приводит к соотношениям

где f – произвольная константа.

Последнее уравнение в (1.1) для температуры примет вид

Среди его решений имеет место квадратичное по переменной $x$

Далее, для простоты, предполагается, что $m(y) \equiv 0$. Это означает, что температурное поле имеет в точке x = 0 экстремум: максимум при $a(y) < 0$ и минимум при $a(y) > 0$ для всех $y \in [0,1]$, в частности, и на твердой стенке y = 0. Для описания течения вязкой теплопроводной жидкости в плоском канале с нижней твердой неподвижной стенкой $y = 0$ и верхней свободной границей $y = l = {\text{const}} > 0$ применяется решение вида (1.2), (1.3). Тогда при $0 < y < l$ неизвестные $w(y)$, $v(y)$, $a(y)$ и $b(y)$ удовлетворяют уравнениям

Предполагается, что коэффициент поверхностного натяжения $\sigma $ линейно зависит от температуры

${{\sigma }^{0}},\unicode{230} ,{{\theta }^{0}} = {\text{const}} > 0$. На свободной границе $y = l$ выполнены условия [6]

Условия (1.5) есть следствия кинематического и динамического условий соответственно. В условии теплового контакта (1.6) $k > 0$ – коэффициент теплопроводности, Q(x) – заданный поток тепла, $\gamma \geqslant 0$ – коэффициент межфазного теплообмена, далее $\gamma = {\text{const}}$. Из условия для нормальных напряжений получается, что свободная поверхность остается плоской. Данное предположение может выполняться, например, при действии достаточно большого капиллярного давления (величина ${{\sigma }^{0}}$ достаточно велика) [7]. В соответствии с представлением температуры (1.3) в условии (1.6) необходимо считать в общем случае, что

с заданными постоянными ${{a}_{k}},{{b}_{k}}$, $k = 1,2.$ Следовательно, на свободной границе выполнены условия для $a(y)$, $b(y)$

Граничные условия на твердой стенке имеют вид

с известными постоянными ${{a}_{{10}}}$, ${{b}_{{10}}}$.

Стоит отметить следующие особенности поставленной задачи. Она нелинейная и обратная, так как постоянная  f является искомой. Действительно, если из уравнения сохранения массы исключить $v(y)$, то получается задача для функций $w(y)$, $a(y)$. Задача для функции $b(y)$ при известных $v(y)$ и $a(y)$ отделяется. Функция $d(y)$ восстанавливается квадратурой из третьего уравнения (1.4) с точностью до константы.

Замечание 1. Если решение задачи (1.4)–(1.6), (1.9) искать в виде

где $\varepsilon $ – малый параметр (число Марангони), то подставляя эти выражения в соответствующие уравнения и граничные условия и переходя к пределу при $\varepsilon \to 0$, получим линейную задачу для ${{w}^{{(1)}}}$, ${{v}^{{(1)}}}$, ${{a}^{{(1)}}}$, ${{b}^{{(1)}}}$, ${{f}^{{(1)}}}$. Решение данной задачи (при малых числах Марангони) можно интерпретировать как ползущее двумерное движение вязкой теплопроводной жидкости, находящейся на подогреваемой подложке. Задача о двумерном ползущем движении двух вязких теплопроводных жидкостей с линейной зависимостью поверхностного натяжения от температуры исследована в [8].

2. ВЫВОД СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Выпишем полностью полученную нелинейную задачу в безразмерном виде для функций $w(y)$, $a(y)$ и постоянной f, учитывая что из второго уравнения (1.4)

Она имеет вид

где $W(\xi ) = w(y){{l}^{2}}{\text{/}}\chi $, $A(\xi ) = a(y){\text{/}}{{a}_{{10}}}$, $F = f{{l}^{4}}{\text{/}}{{\chi }^{2}}$, ${\text{Pr}} = \nu {\text{/}}\chi $ – число Прандтля, ${\text{M}} = \unicode{230} {{a}_{{10}}}{{l}^{3}}{\text{/}}\chi \mu $ – число Марангони (см. выше), ${\text{Bi}} = \gamma l{\text{/}}k$ – число Био. Интегральное условие в (2.4) получено из первого условия (1.5) с учетом (2.1) и является дополнительным для определения постоянной $F$. Линейная задача, описывающая ползущее движение жидкости (см. замечание 1), имеет нетривиальное единственное решение

В статьях [1, 3] рассматривалась задача о течении жидкости в плоском канале, на дне которого поддерживается заданное распределение температуры, а свободная поверхность теплоизолирована (Bi = 0). В результате разделения переменных была получена нелинейная двухточечная краевая задача, описывающая движение жидкости в слое, где постоянная $F$ играет роль собственного значения, а числа Прандтля и Марангони – параметры. Установлена неединственность решения этой задачи (от одного до трех решений) в зависимости от параметра M (Pr = 0, т.е. рассмотрен предельный случай идеально теплопроводной жидкости). В данной работе для решения задачи (2.2)–(2.5) применяется тау-метод, представляющий модификацию метода Галеркина [9]. Приближенное решение ищется в виде сумм

где ${{R}_{k}}(\xi )$ – смещенные полиномы Лежандра. Неизвестные коэффициенты ${{W}^{k}}$, ${{A}^{k}}$ и постоянная $F$ находятся из системы галеркинских приближений и преобразованных граничных условий (2.4), (2.5)

Последнее уравнение в (2.9) получается из интегрального условия (2.5), учитывая ортогональность полиномов Лежандра на отрезке [0, 1] с весом 1 [10]. Таким образом уравнения (2.8) и (2.9) образуют замкнутую систему алгебраических нелинейных уравнений на коэффициенты ${{W}^{k}}$, ${{A}^{k}}$ и постоянную F.

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Расчеты проводились для ${\text{Pr}} = 0.2$, ${\text{Bi}} = 2$, ${\text{M}} = 10$ (${{a}_{{10}}} > 0$, то есть температура в точке x = 0, y = 0 минимальна) и n = 17. Было установлено три различных значения безразмерной постоянной $F$: ${{F}_{1}} = 14.1397$, ${{F}_{2}} = 4.5359$ и ${{F}_{3}} = 4.4877$. При этом разность значений полученных при $n = 16$ и 17 составляет порядка 10^–11, 10^–14 и 10^–6 для ${{F}_{1}}$, ${{F}_{2}}$ и ${{F}_{3}}$ соответственно, что говорит о хорошей сходимости τ – метода при решении данной краевой задачи. Стоит также отметить,что при ${\text{M}} \ll 1$ решения стремятся к единственному решению линейной задачи (2.6), описывающей ползущее движение в слое. Например, при M = 0.01 найдено ${\text{|}}{{F}_{0}} - {{F}_{{1,2,3}}}{\text{|}}$ $ \approx {{10}^{{ - 6}}}$. На фиг. 1 приведены профили безразмерной функции W(ξ) и поперечной скорости $V(\xi )$ (2.1) для значений ${{F}_{1}}$, ${{F}_{2}}$ и ${{F}_{3}}$ соответственно. Профили для ${{F}_{1}}$ и ${{F}_{2}}$ схожи, но стоит отметить, что течение, отвечающее параметру ${{F}_{1}}$, является более интенсивным, так $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}W(\xi ,{{F}_{1}}){\text{|}} = 4.65$, $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}V(\xi ,{{F}_{1}}){\text{|}} = 0.9$, а $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}W(\xi ,{{F}_{2}}){\text{|}} = 2.37$, $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}V(\xi ,{{F}_{2}}){\text{|}}$ = 0.4. На фиг. 2 изображены профиль функции $A(\xi )$ и поле скоростей для ${{F}_{1}}$ и ${{F}_{3}}$. В первом случае функция $A(\xi )$ на свободной границе $\xi = 1$ положительна, следовательно температура при x = 0 минимальная и возрастает в направлении оси x. Поскольку жидкость течет в сторону большего поверхностного натяжения, то вблизи поверхности раздела возникает возвратное течение, что и изображено на фиг. 2,а. Во втором случае $A(1) < 0$ и температура при x = 0 максимальна, следовательно, жидкость вблизи свободной границы течет в направлении оси $x$ (фиг. 2,б). Видно, что в обоих случаях более интенсивное движение формируется вблизи свободной границы $\xi = 1$.

В случае, когда ${\text{M}} = - 10$ (${{a}_{{10}}} < 0$ и температура в точке x = 0, y = 0 максимальна) для параметра F получим значения ${{F}_{1}} = 50.08$, ${{F}_{2}} = - 1.3368$ и ${{F}_{3}} = 4.271$. На фиг. 3 изображены профили безразмерной функции $W(\xi )$ и поперечной скорости $V(\xi )$ для значений ${{F}_{1}}$, ${{F}_{2}}$ и ${{F}_{3}}$ соответственно. Профили для $F = 4.271$ аналогичны профилям как при M = 10, $F = 4.4877$ (см. фиг. 1в), причем $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}W(\xi $, F = 4.4877)| = 43.962, $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}V(\xi ,F = 4.4877){\text{|}} = 2.44$, а $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}W(\xi ,F = 4.271){\text{|}}$ = 45.174, $\mathop {max}\limits_{\xi \in [0,1]} {\text{|}}V(\xi ,F = 4.271){\text{|}}$ = 2.476. На фиг. 4 изображены линии тока в слое для ${{F}_{1}}$ и ${{F}_{2}}$. Видно, что течение, отвечающее параметру ${{Z}_{1}}$, наиболее интенсивно. В обоих случаях более интенсивное движение формируется вблизи свободной границы $\xi = 1$.

В случае теплоизолированной свободной границы (Bi = 0) получено одно значение безразмерной постоянной $F = 3.97$. Это решение при малых числах Марангони также стремится к единственному решению линейной задачи (2.6). На фиг. 5 изображены профиль функции $A(\xi )$ и линии тока в слое. Поскольку $A(1) < 0$, то жидкость вблизи свободной границы течет в направлении оси $x$. Видно, что наиболее интенсивное течение формируется вблизи $\xi = 1$, т.е. свободной границы.

Стоит также сказать о влиянии безразмерных параметров на интенсивность возникающих течений: с ростом числа Марангони M скорость движения увеличивается, а с увеличением числа Прандтля Pr – уменьшается.

Замечание 2. Для оценки точности полученных решений можно использовать следующие равенства:

Первое равенство в (3.1) следует из умножения уравнения (2.2) на $W(\xi )$ и интегрирования по $\xi \in [0,1]$, с учетом первого условия (2.4) и интегрального условия (2.5), а второе – интегрирования уравнения (2.2) по области определения. Так, подставляя решения, полученные для всех рассмотренных выше случаев в равенства (3.1), устанавливается их выполнение с точностью до порядка 10^–10 и 10^–50 соответственно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучена задача о двумерном стационарном течении жидкости в плоском канале со свободной границей, вдоль которой поверхностное натяжение линейно зависит от температуры, а на дне поддерживается заданное распределение температуры. Установлена неединственность решения этой задачи: для ${\text{Bi}} \ne 0$ найдено три различных решения, а для Bi = 0 – одно. Все найденные решения при малых числах Марангони стремятся к единственному нетривиальному решению линейной задачи, описывающей ползущее движение жидкости в открытом канале. Для каждого из решения построены характерные структуры течения.

Автор благодарит В.К. Андреева за обсуждение результатов работы.

Работа выполнена при поддержке проекта РФФИ № 17-01-00229.