Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 5, стр. 93-102

О СУЩЕСТВОВАНИИ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ ДЛЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ

А. Г. Петров a*

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: petrovipmech@gmail.com

Поступила в редакцию 18.08.2021
После доработки 25.10.2021
Принята к публикации 15.11.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Линейная диссипативная механическая система с конечным числом степеней свободы определяется тремя квадратичными формами: кинетической и потенциальной энергией системы, а также диссипативной функцией Рэлея. Известно, что всегда можно ввести нормальные координаты, в которых кинетическая и потенциальная энергии приводятся к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами. Третья же квадратичная форма при этом к сумме квадратов, вообще говоря, не приведется. В данном исследовании обсуждаются условия, при которых все три квадратичные формы одним преобразованием приводятся к сумме квадратов. Для таких систем можно ввести нормальные координаты, в которых система расщепляется на независимые системы второго порядка и их анализ существенно упрощается. Приводятся примеры анализа вынужденных колебаний линейных диссипативных систем для двух и трех степеней свободы.

Ключевые слова: квадратичные формы, канонический вид, малые колебания, силы трения

1. Введение. Общая теория малых линейных колебаний систем с конечным числом степеней свободы для консервативных систем дана в 1762–1765 гг. Лагранжем. В этом случае механическая система определяется двумя квадратичными формами: кинетической и потенциальной энергией системы. Вейерштрас показал в 1858 г., что в силу положительной определенности кинетической энергии можно ввести нормальные координаты, в которых кинетическая энергия приведется к сумме квадратов, а потенциальную энергию к сумме квадратов с некоторыми множителями. В нормальных координатах уравнения расщепляются на независимые осцилляторы, решения которых выражаются через тригонометрические и показательные функции. Прежние исследователи (следуя Лагранжу) ошибочно предполагали, что в случае кратных корней характеристического уравнения нормальные координаты не будут существовать и что в окончательных интегралах уравнений движения время будет входить не только через тригонометрические и показательные функции. Соответствующие библиографические ссылки приведены в монографии [1].

Анализу колебаний механических систем посвящен ряд работ [24], в которых демонстрируется существенное упрощение при переходе к нормальным координатам. Одновременное приведение к диагональной форме двух вещественных симметричных матриц A и B всегда выполнимо [5], если одна из них соответствует знакоопределенной квадратичной форме. Поэтому квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии консервативной системы всегда приводятся к диагональному виду и система дифференциальных уравнений расщепляется на независимые подсистемы второго порядка.

Для двух и более матриц [6, 7] не всегда возможно их одновременное приведение к диагональным. Известно несколько разновидностей условий, при выполнении которых это удается осуществить [8]. Наиболее общее условие приведения трех матриц $A$, $B$ и $C$ к диагональному виду получено в [9]. Для систем с $n$ степенями свободы оно состоит из равенства нулю n2 элементов матрицы

(1.1)
$A{{B}^{{ - 1}}}C - C{{B}^{{ - 1}}}A = 0,\quad {\text{Det}}[B] \ne 0$

В данной работе показано, что n2 уравнений условия (1.1) сводятся к $n(n - 1){\text{/}}2$ независимых уравнений. Если квадратичные формы зависят от двух переменных, то 4 условия сводятся к одному равенству нулю определителя третьего порядка коэффициентов трех квадратичных форм. Вывод условия тоже упрощается и проводится, не опираясь на результат Новикова [9]. Для систем с тремя степенями свободы из условия Новикова получены три уравнения для билинейных по элементам матриц A и B форм.

Даны примеры применения полученного условия для анализа малых колебаний механической системы с двумя и тремя степенями свободы с учетом сил трения.

Другой подход исследования систем с двумя степенями свободы в случае двухкратной собственной частоты методом возмущений предложен в [11].

2. Независимые условия приведения трех квадратичных форм к каноническому виду. Матрица $M = (A{{B}^{{ - 1}}}C - C{{B}^{{ - 1}}}A)\det B$ антисимметрична: ${{M}_{{ij}}} = - {{M}_{{j{\kern 1pt} i}}}$, $i = 1, \ldots ,n$, j = 1, ..., n и имеет только $n(n - 1){\text{/}}2$ независимых коэффициента. Отсюда из критерия Новикова (1.1) вытекают $n(n - 1){\text{/}}2$ независимых условий:

(2.1)
${{M}_{{ij}}} = 0,\quad i = 1,\; \ldots ,\;N,\quad j = i + 1,\; \ldots ,\;N$

Элементы матрицы ${{M}_{{ij}}}$ являются однородными полиномами переменных ${{a}_{{ij}}}$, ${\mkern 1mu} {{b}_{{ij}}}$, ${\mkern 1mu} {{c}_{{ij}}}$, линейными по ${{a}_{{ij}}}$.

3. Условие приведения трех квадратичных форм к каноническому виду. Теорема. Пусть даны три квадратичные формы двух переменных

$\begin{gathered} {{f}_{1}} = \frac{1}{2}({{a}_{{11}}}x_{1}^{2} + 2{{a}_{{12}}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{a}_{{22}}}x_{2}^{2}),\quad {{f}_{2}} = \frac{1}{2}({{b}_{{11}}}x_{1}^{2} + 2{{b}_{{12}}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{{22}}}x_{2}^{2}) \\ {{f}_{3}} = \frac{1}{2}({{c}_{{11}}}x_{1}^{2} + 2{{c}_{{12}}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{c}_{{22}}}x_{2}^{2}) \\ {{b}_{{11}}}{{b}_{{22}}} - b_{{12}}^{2} \ne 0 \\ \end{gathered} $

Тогда для существования невырожденного преобразования

(3.1)
$Y = QX,\quad X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}_{1}}} \\ {{{x}_{2}}} \end{array}} \right),\quad Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{y}_{1}}} \\ {{{y}_{2}}} \end{array}} \right),\quad Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{{11}}}}&{{{q}_{{12}}}} \\ {{{q}_{{21}}}}&{{{q}_{{22}}}} \end{array}} \right)$
приводящего их к виду

${{f}_{1}} = \frac{1}{2}(a_{{11}}^{'}y_{1}^{2} + a_{{22}}^{'}y_{2}^{2}),\quad {{f}_{2}} = \frac{1}{2}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}),\quad {{f}_{3}} = \frac{1}{2}(c_{{11}}^{'}y_{1}^{2} + c_{{22}}^{'}y_{2}^{2})$

Необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из коэффициентов исходных квадратичных форм, обратился в ноль

(3.2)
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{11}}}}&{{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{22}}}} \\ {{{b}_{{11}}}}&{{{b}_{{12}}}}&{{{b}_{{22}}}} \\ {{{c}_{{11}}}}&{{{c}_{{12}}}}&{{{c}_{{22}}}} \end{array}} \right| = 0$

Доказательство. Квадратичные формы от двух переменных образуют векторное пространство размерности 3 из векторов ${\mathbf{a}}({{a}_{{11}}},{{a}_{{12}}},{{a}_{{22}}})$, ${\mathbf{b}}({{b}_{{11}}},{{b}_{{12}}},{{b}_{{22}}})$, ${\mathbf{c}}({{c}_{{11}}},{{c}_{{12}}},{{c}_{{22}}})$. Если квадратичные формы f, ${{f}_{1}}$, ${{f}_{2}}$, ${{f}_{3}}$ одновременно приводятся к каноническому виду, то линейная оболочка этих форм является подпространством размерности 2 или меньше, а следовательно три формы линейно зависимы и определитель, составленный из координат векторов a, b, c равен нулю$\Delta = 0$. Это и есть условие теоремы 1.

Наоборот, если $\Delta = 0$, то ${{f}_{1}}$, ${{f}_{2}}$, ${{f}_{3}}$ линейно зависимы, и при этом ${{f}_{1}}$, ${{f}_{2}}$ линейно независимы, то ${{f}_{3}}$ линейно выражается через ${{f}_{1}}$, ${{f}_{2}}$, и тогда достаточно привести к каноническому виду две формы ${{f}_{1}}$, ${{f}_{2}}$. Если же ${{f}_{2}}$ пропорциональна ${{f}_{1}}$, то задача сводится к приведению двух форм ${{f}_{1}}$, ${{f}_{3}}$, что и требовалось доказать.

Второе доказательство. Теорема непосредственно вытекает из критерия Новикова (1.1) и тождества для матриц размерности 2 × 2

$M = (A{{B}^{{ - 1}}}C - C{{B}^{{ - 1}}}A){\text{det}}(B) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&\Delta \\ { - \Delta }&0 \end{array}} \right)$

4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Кинетическая $T$ и потенциальная энергии $\Pi $, диссипативная функция Рэлея D и работа внешних сил $N$ имеют вид

$\begin{gathered} T = \frac{1}{2}({{a}_{{11}}}\dot {x}_{1}^{2} + 2{{a}_{{12}}}{{{\dot {x}}}_{1}}{{{\dot {x}}}_{2}} + {{a}_{{22}}}\dot {x}_{2}^{2}),\quad D = \frac{1}{2}({{b}_{{11}}}\dot {x}_{1}^{2} + 2{{b}_{{12}}}{{{\dot {x}}}_{1}}{{{\dot {x}}}_{2}} + {{b}_{{22}}}\dot {x}_{2}^{2}) \\ \Pi = \frac{1}{2}({{c}_{{11}}}x_{1}^{2} + 2{{c}_{{12}}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{c}_{{22}}}x_{2}^{2}),\quad N = ({{U}_{1}}{{{\dot {x}}}_{1}} + {{U}_{2}}{{{\dot {x}}}_{2}})\sin \omega t \\ \end{gathered} $

Запишем уравнения Лагранжа движения механической системы под действием сил, меняющихся по гармоническому закону

$\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial T}}{{\partial {{{\dot {x}}}_{i}}}} + \frac{{\partial D}}{{\partial {{{\dot {x}}}_{i}}}} + \frac{{\partial \Pi }}{{\partial {{x}_{i}}}} = \frac{{\partial N}}{{\partial {{{\dot {x}}}_{i}}}},\quad i = 1,\;2$

Предполагается, что внешние силы меняются по гармоническому закону с амплитудами U1, U2. Если определитель (3.2) коэффициентов квадратичных форм равен нулю $\Delta = 0$, то по доказанной теореме преобразованием (3.1) квадратичные формы приводятся к каноническому виду

$\begin{array}{*{20}{l}} {T = \frac{1}{2}(\dot {y}_{1}^{2} + \dot {y}_{2}^{2}),\quad D = \frac{1}{2}({{A}_{1}}\dot {y}_{1}^{2} + {{A}_{2}}\dot {y}_{2}^{2}),\quad \Pi = \frac{1}{2}({{B}_{1}}y_{1}^{2} + {{B}_{2}}y_{2}^{2})} \end{array}$

Система уравнений расщепляется на два независимых уравнения второго порядка

(4.1)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{{d}^{2}}{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{2}}}} + {{A}_{i}}\frac{{d{{y}_{i}}}}{{dt}} + {{B}_{i}}{{y}_{i}} = {{E}_{i}}\sin \omega t,\quad i = 1,\;2} \\ {{{E}_{1}} = {{U}_{1}}{{q}_{{11}}} + {{U}_{2}}{{q}_{{21}}},\quad {{E}_{2}} = {{U}_{1}}{{q}_{{12}}} + {{U}_{2}}{{q}_{{22}}}} \end{array}$

Анализ такой системы значительно упрощается. Решение для установившихся колебаний

(4.2)
$\begin{gathered} {{y}_{i}} = {{P}_{i}}\sin \omega t - {{Q}_{i}}\cos \omega t \\ {{P}_{i}} = \frac{{{{E}_{i}}({{B}_{i}} - {{\omega }^{2}})}}{{{{{({{B}_{i}} - {{\omega }^{2}})}}^{2}} + A_{i}^{2}{{\omega }^{2}}}},\quad {{Q}_{i}} = \frac{{{{E}_{i}}{{A}_{i}}\omega }}{{{{{({{B}_{i}} - {{\omega }^{2}})}}^{2}} + A_{i}^{2}{{\omega }^{2}}}} \\ \end{gathered} $

Имеет амплитуды

(4.3)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{i}} = \sqrt {P_{i}^{2} + Q_{i}^{2}} = \frac{{{{E}_{i}}}}{{\sqrt {{{{({{B}_{i}} - {{\omega }^{2}})}}^{2}} + A_{i}^{2}{{\omega }^{2}}} }},\quad i = 1,\;2} \end{array}$

Для описания переходного процесса из состояния покоя до установления необходимо решить уравнение (4.1) с начальными условиями $y(0) = 0$, $\dot {y}(0) = 0$. Решение имеет вид

(4.4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{y}_{i}}(t) = {{P}_{i}}\sin \omega \;t - {{Q}_{i}}\cos \omega t + {{J}_{i}}(t)} \\ {{{J}_{i}}(t) = {{e}^{{ - {{A}_{i}}t/2}}}\left( {\left( {\frac{{{{Q}_{i}} - 2{{P}_{i}}\omega }}{{2{{\omega }_{i}}}}} \right)\sin ({{\omega }_{i}}t) + {{Q}_{i}}\cos ({{\omega }_{i}}t)} \right),\quad {{\omega }_{i}} = \sqrt {{{B_{i}^{2} - A_{i}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{B_{i}^{2} - A_{i}^{2}} 4}} \right. \kern-0em} 4}} } \end{array}$

Полезность полученных формул ниже демонстрируется на исследовании малых вынужденных колебаний двойного плоского маятника с учетом сил трения.

5. Двойной плоский маятник. Рассмотрим малые колебания около положения равновесия двойного плоского маятника, у которого точка подвеса движется по горизонтали по гармоническому закону $x = a\sin {{\omega }}t$ (рис. 1).

Рис. 1.

Двойной маятник.

Запишем выражения T, $D$, $\Pi $ и N как функции обобщенных координат ${{{{\theta }}}_{{\text{1}}}}$, ${{{{\theta }}}_{{\text{2}}}}$ и скоростей ${{{{\dot {\theta }}}}_{{\text{1}}}}$, ${{{{\dot {\theta }}}}_{2}}$ [10]

$\begin{gathered} T = \frac{1}{2}({{m}_{1}} + {{m}_{2}})l_{1}^{2}{{\dot {\theta }}}_{1}^{2} + \frac{{{{m}_{2}}}}{2}l_{2}^{2}{{\dot {\theta }}}_{2}^{2} + {{m}_{2}}{{l}_{1}}{{l}_{2}}{{{{{\dot {\theta }}}}}_{{\text{1}}}}{{{{{\dot {\theta }}}}}_{2}},\quad D = \frac{1}{2}{{r}_{1}}{{\dot {\theta }}}_{1}^{2} + \frac{1}{2}{{r}_{2}}{{({{{{{\dot {\theta }}}}}_{{\text{2}}}}{\text{ - }}{{{{{\dot {\theta }}}}}_{1}})}^{2}} \\ \Pi = \frac{1}{2}({{m}_{1}} + {{m}_{2}})g{{l}_{1}}{{\theta }}_{1}^{2} + \frac{1}{2}{{m}_{2}}g{{l}_{2}}{{\theta }}_{2}^{2},\quad N = a{{{{\omega }}}^{2}}(({{m}_{1}} + {{m}_{2}}){{l}_{1}}{{{{{\dot {\theta }}}}}_{1}} + {{m}_{2}}{{l}_{2}}{{{{{\dot {\theta }}}}}_{2}})\sin {{\omega }}t \\ \end{gathered} $
где предполагается линейный по относительной угловой скорости закон трения в шарнирах с коэффициентами трения ${{r}_{1}}$, ${\mkern 1mu} {{r}_{2}}$.

Выпишем коэффициенты квадратичных форм функций T, $R$, $\Pi $

$\begin{gathered} {{a}_{{11}}} = ({{m}_{1}} + {{m}_{2}})l_{1}^{2},\quad {{a}_{{22}}} = {{m}_{2}}l_{2}^{2},\quad {{a}_{{12}}} = {{m}_{2}}{{l}_{1}}{{l}_{2}} \\ {{b}_{{11}}} = {{r}_{1}} + {{r}_{2}},\quad {{b}_{{22}}} = {{r}_{2}},\quad {{b}_{{12}}} = - {{r}_{2}} \\ {{c}_{{11}}} = ({{m}_{1}} + {{m}_{2}})g{{l}_{1}},\quad {{c}_{{22}}} = {{m}_{2}}g{{l}_{2}},\quad {{c}_{{12}}} = 0 \\ \end{gathered} $

Из равенства нулю определителя (3.2) находим условие ${{r}_{2}}{\text{/}}{{r}_{1}} = {{m}_{2}}{\text{/}}{{m}_{1}}$приведения $T$, $R$, $\Pi $ к сумме квадратов, то есть коэффициенты трения должны быть пропорциональны массам. При найденном условии пропорциональности ${{r}_{1}} = r{\mkern 1mu} {{m}_{1}}$, ${{r}_{2}} = r{\mkern 1mu} {{m}_{2}}$ замена переменных

(5.1)
${{{{\theta }}}_{1}} = {{{{x}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{x}_{1}}} {\sqrt {g{{l}_{1}}({{m}_{1}} + {{m}_{2}})} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {g{{l}_{1}}({{m}_{1}} + {{m}_{2}})} }},\quad {{{{\theta }}}_{2}} = {{{{x}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{x}_{2}}} {\sqrt {g{{l}_{2}}{{m}_{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {g{{l}_{2}}{{m}_{2}}} }}$
приведет квадратичные формы к виду

$\begin{gathered} a_{{11}}^{'} = {{l}_{1}}{\text{/}}g,\quad a_{{22}}^{'} = {{l}_{2}}{\text{/}}g,\quad a_{{12}}^{'} = \sqrt {{{l}_{1}}{{l}_{2}}\mu } ,\quad \mu = {{m}_{2}}{\text{/}}({{m}_{1}} + {{m}_{2}}) \\ b_{{11}}^{'} = r{\text{/}}({{l}_{1}}{{l}_{2}})a_{{22}}^{'},\quad b_{{22}}^{'} = r{\text{/}}({{l}_{1}}{{l}_{2}})a_{{11}}^{'},\quad b_{{12}}^{'} = - r{\text{/}}({{l}_{1}}{{l}_{2}})a_{{12}}^{'} \\ c_{{11}}^{'} = 1,\quad c_{{22}}^{'} = 1,\quad c_{{12}}^{'} = 0 \\ \end{gathered} $

Построим ортогональное преобразование, приводящее первую матрицу к диагональному виду. Для этого надо найти собственное число ${{\lambda }_{1}}$ и единичный собственный вектор ${{e}_{1}},{{e}_{2}}$ из решения системы

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{11}}^{'} - {{\lambda }_{1}}}&{a_{{12}}^{'}} \\ {a_{{12}}^{'}}&{a_{{22}}^{'} - {{\lambda }_{1}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_{1}}} \\ {{{e}_{2}}} \end{array}} \right) = 0$

Второе собственное число λ2 находится из аналогичного уравнения. Второй собственный вектор ортогонален первому. Они имеют вид

$\begin{gathered} {{\lambda }_{1}} = \frac{1}{{2g}}({{l}_{1}} + {{l}_{2}} - ({{l}_{1}} - {{l}_{2}})\sqrt {1 + M} ),\quad {{\lambda }_{2}} = \frac{1}{{2g}}({{l}_{1}} + {{l}_{2}} + ({{l}_{1}} - {{l}_{2}})\sqrt {1 + M} ) \\ {{e}_{{11}}} = - \sqrt {\frac{1}{2}({{1 - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{1 - 1} {\sqrt {1 + M} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 + M} }})} ,\quad {{e}_{{12}}} = \sqrt {\frac{1}{2}({{1 + 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{1 + 1} {\sqrt {1 + M} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 + M} }})} ,\quad M = \frac{{4{{l}_{1}}{{l}_{2}}\mu }}{{{{{({{l}_{1}} - {{l}_{2}})}}^{2}}}} \\ \end{gathered} $

Преобразование

(5.2)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}_{1}} = {{e}_{{11}}}{{y}_{1}} + {{e}_{{12}}}{{y}_{2}},\quad {{x}_{2}} = - {{e}_{{12}}}{{y}_{1}} + {{e}_{{11}}}{{y}_{2}}} \end{array}$
приводит первую и вторую матрицы к диагональному виду. Собственные значения матрицы $D$ с точностью до множителя $r{\text{/}}({{l}_{1}}{{l}_{2}})$ совпадают с собственными значениями матрицы $T$, но меняются местами.

В преобразованных переменных функции $T$, $R$, $\Pi $ и $N$ примут вид

$\begin{gathered} T = \frac{1}{2}({{{{\lambda }}}_{1}}\dot {y}_{1}^{2} + {{{{\lambda }}}_{2}}\dot {y}_{2}^{2}),\quad D = \frac{r}{{2{{l}_{1}}{{l}_{2}}}}({{{{\lambda }}}_{2}}\dot {y}_{1}^{2} + {{{{\lambda }}}_{1}}\dot {y}_{2}^{2}),\quad \Pi = \frac{1}{2}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) \\ N = \frac{{a{{{{\omega }}}^{2}}}}{{\sqrt g }}(\sqrt {{{m}_{2}}{{l}_{2}}} ( - {{e}_{{12}}}{{{\dot {y}}}_{1}} + {{e}_{{11}}}{{{\dot {y}}}_{2}}) + \sqrt {({{m}_{1}} + {{m}_{2}}){{l}_{1}}} ({{e}_{{11}}}{{{\dot {y}}}_{1}} + {{e}_{{12}}}{{{\dot {y}}}_{2}}))\sin {{\omega }}t \\ \end{gathered} $
а система уравнений приведется к виду (4.1), в которой

(5.3)
$\begin{gathered} {{A}_{1}} = \frac{r}{{{{l}_{1}}{{l}_{2}}}}\frac{{{{{{\lambda }}}_{{\text{2}}}}}}{{{{{{\lambda }}}_{{\text{1}}}}}},\quad {{A}_{2}} = \frac{r}{{{{l}_{1}}{{l}_{2}}}}\frac{{{{{{\lambda }}}_{{\text{1}}}}}}{{{{{{\lambda }}}_{{\text{2}}}}}},\quad {{B}_{1}} = \frac{{\text{1}}}{{{{{{\lambda }}}_{{\text{1}}}}}},\quad {{B}_{2}} = \frac{{\text{1}}}{{{{{{\lambda }}}_{{\text{2}}}}}} \\ {{E}_{1}} = \frac{{a{{{{\omega }}}^{2}}}}{{{{{{\lambda }}}_{1}}\sqrt g }}( - {{e}_{{12}}}\sqrt {{{l}_{2}}{{m}_{2}}} + {{e}_{{11}}}\sqrt {{{l}_{1}}({{m}_{1}} + {{m}_{2}})} ),\quad {{E}_{2}} = \frac{{a{{{{\omega }}}^{2}}}}{{{{{{\lambda }}}_{2}}\sqrt g }}({{e}_{{11}}}\sqrt {{{l}_{2}}{{m}_{2}}} + {{e}_{{12}}}\sqrt {{{l}_{1}}({{m}_{1}} + {{m}_{2}})} ) \\ \end{gathered} $

Формулы (4.2)(4.4), (5.1)(5.3) определяют общее аналитическое решение задачи о вынужденных колебаниях двойного математического маятника при единственном условии пропорциональности диссипативных коэффициентов массам мятника: ${{r}_{2}}{\text{/}}{{r}_{1}} = {{m}_{2}}{\text{/}}{{m}_{1}}$

В частном случае ${{l}_{1}} = {{l}_{2}} = l$ формулы упрощаются

(5.4)
$\begin{gathered} {{{{\lambda }}}_{1}} = \frac{l}{g}(1 - \sqrt {{\mu }} ),\quad {{{{\lambda }}}_{2}} = \frac{l}{g}(1 + \sqrt {{\mu }} ) \\ {{A}_{1}} = \frac{r}{{{{l}^{2}}}}\frac{{1 + \sqrt {{\mu }} }}{{1 - \sqrt {{\mu }} }},\quad {{A}_{2}} = \frac{r}{{{{l}^{2}}}}\frac{{1 - \sqrt {{\mu }} }}{{1 + \sqrt {{\mu }} }},\quad {{B}_{1}} = \frac{g}{{l(1 - \sqrt {{\mu }} )}},\quad {{B}_{2}} = \frac{g}{{l(1 + \sqrt {{\mu }} )}} \\ {{E}_{1}} = {{E}_{2}} = {{E}_{0}}{{{{\omega }}}^{2}},\quad {{E}_{0}} = a\sqrt {\frac{g}{{2l}}({{m}_{1}} + {{m}_{2}})} ,\quad - {{e}_{{11}}} = {{e}_{{12}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ {{x}_{1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( { - {{y}_{1}} + {{y}_{2}}} \right),\quad {{x}_{2}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}({{y}_{1}} + {{y}_{2}}) \\ \end{gathered} $

По формуле (4.3) находим амплитуды переменных y1, y2

(5.5)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{{yi}}} = \frac{{{{E}_{0}}{{{{\omega }}}^{2}}}}{{\sqrt {{{{({{B}_{i}} - {{{{\omega }}}^{2}})}}^{2}} + A_{i}^{2}{{{{\omega }}}^{2}}} }},\quad i = 1,\;2} \end{array}$
и их максимальные значения
(5.6)
${\text{max}}({{a}_{{yi}}}) = \frac{{2{{B}_{i}}{{E}_{0}}}}{{{{A}_{i}}\sqrt {4{{B}_{i}} - {{A}_{i}}^{2}} }},\quad i = 1,\;2$
которые достигаются при частотах $\omega = {{\omega }_{1}}$ и $\omega = {{\omega }_{2}}$ соответственно

(5.7)
${{{{\omega }}}_{{\text{1}}}} = \frac{{{{B}_{1}}}}{{\sqrt {{{B}_{1}} - A_{1}^{2}{\text{/}}2} }},\quad {{{{\omega }}}_{2}} = \frac{{{{B}_{2}}}}{{\sqrt {{{B}_{2}} - A_{2}^{2}{\text{/}}2} }}$.

Подставляя в (5.6) значения ${{A}_{i}}$, ${{B}_{i}}$ (5.4), получим

$\begin{gathered} {\text{max}}({{a}_{{y1}}}) = \frac{a}{{{\varepsilon }}}\sqrt {\frac{g}{l}} \sqrt {\frac{{{{m}_{1}} + {{m}_{2}}}}{2}} \frac{{\sqrt {1 - \sqrt {{\mu }} } }}{{1 + \sqrt {{\mu }} }}{{\left( {1 - {{{{\varepsilon }}}^{2}}\frac{{{{{(1 + \sqrt {{\mu }} )}}^{2}}}}{{4(1 - \sqrt {{\mu }} )}}} \right)}^{{ - 1/2}}} \\ {\text{max}}({{a}_{{y2}}}) = \frac{a}{{{\varepsilon }}}\sqrt {\frac{g}{l}} \sqrt {\frac{{{{m}_{1}} + {{m}_{2}}}}{2}} \frac{{\sqrt {1 + \sqrt {{\mu }} } }}{{1 - \sqrt {{\mu }} }}{{\left( {1 - {{{{\varepsilon }}}^{2}}\frac{{{{{(1 - \sqrt {{\mu }} )}}^{2}}}}{{4(1 + \sqrt {{\mu }} )}}} \right)}^{{ - 1/2}}} \\ {{\varepsilon }} = \frac{r}{{\sqrt {g{{l}^{3}}} }} \\ \end{gathered} $

Для отношения максимальных амплитуд имеем

$\frac{{\max ({{a}_{{y2}}})}}{{\max ({{a}_{{y1}}})}} = \frac{{{{{(1 + \sqrt \mu )}}^{{3/2}}}{{{\left( {1 - \frac{{{{{(1 + \sqrt \mu )}}^{2}}{{\varepsilon }^{2}}}}{{4(1 - \sqrt \mu )}}} \right)}}^{{1/2}}}}}{{{{{(1 - \sqrt \mu )}}^{{3/2}}}{{{\left( {1 - \frac{{{{{(1 - \sqrt \mu )}}^{2}}{{\varepsilon }^{2}}}}{{4(1 + \sqrt \mu )}}} \right)}}^{{1/2}}}}}$

При ${{{{\varepsilon }}}^{2}} < \frac{{2(1 - {{\mu }})}}{{3{{\mu }} + 1}} < 2$ максимальная амплитуда второй моды превосходит амплитуду первой моды. При этом выполнено условие $1 - {{{{\varepsilon }}}^{2}}\frac{{{{{(1 + \sqrt {{\mu }} )}}^{2}}}}{{4(1 - \sqrt {{\mu }} )}} > 0$ вещественности решения.

Интерес представляет диапазон параметров ${{\mu }} \in (1{\text{/}}2,\;1)$, ${{\varepsilon }} \in (0,\;1{\text{/}}2)$. Тогда ${\text{max}}({{a}_{{y2}}})$ превосходит ${\text{max}}({{a}_{{y1}}})$ более чем в 9 раз и амплитудные характеристики для углов θ1 и θ2 выражаются только через амплитудную характеристику второй нормальной моды ${{a}_{{y2}}}$, а первая мода вносит пренебрежимо малые поправки. С помощью (5.1), (5.4) и (5.5) находим амплитудно-частотные характеристики ${{a}_{{\theta 1}}}(\omega )$и ${{a}_{{{{\theta }}2}}}({{\omega }})$ для углов θ1 и θ2

(5.8)

Максимальные значения амплитуд углов и нормальной переменной y2 достигаются при одной и той же частоте ${{\omega }} = {{{{\omega }}}_{2}}$, которая находится с помощью (5.7) и (5.4)

${{{{\omega }}}_{2}} = \frac{{{{B}_{2}}}}{{\sqrt {{{{{B}_{2}} - A_{2}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{B}_{2}} - A_{2}^{2}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} }} = \sqrt {\frac{g}{l}} \frac{1}{{({{1 + \sqrt {{\mu }} - {{{{\varepsilon }}}^{2}}{{{(1 - \sqrt {{\mu }} )}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{1 + \sqrt {{\mu }} - {{{{\varepsilon }}}^{2}}{{{(1 - \sqrt {{\mu }} )}}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})}}$
и подставляя их в (5.8), получим наибольшие значения углов двойного маятника

$\begin{gathered} {\text{max}}({{{{\theta }}}_{1}}) = {{a}_{{{{\theta }}1}}}({{{{\omega }}}_{2}}) = \frac{a}{{2l{{\varepsilon }}}}\frac{{\sqrt {1 + \sqrt {{\mu }} } }}{{1 - \sqrt {{\mu }} }}{{\left( {1 - {{{{\varepsilon }}}^{2}}\frac{{{{{(1 - \sqrt {{\mu }} )}}^{2}}}}{{4(1 + \sqrt {{\mu }} )}}} \right)}^{{ - 1/2}}} \\ {\text{max(}}{{{{\theta }}}_{2}}) = \frac{{{\text{max}}({{{{\theta }}}_{1}})}}{{\sqrt {{\mu }} }},\quad {{\mu }} = \frac{{{{m}_{2}}}}{{{{m}_{1}} + {{m}_{2}}}} \\ \end{gathered} $

Наибольшая амплитуда ${{{{\theta }}}_{2}}$ превосходит ${{{{\theta }}}_{1}}$в ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {{\mu }} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{\mu }} }}$ раз. На параметры задачи следует наложить условие ${\text{max}}({{{{\theta }}}_{2}}) \ll 1$, чтобы линейная теория колебаний была применима.

6. Условия приведения трех квадратичных форм к каноническому виду при n = 3.

Три квадратичные формы приводятся к каноническому виду при выполнении уравнений (2.1). Из них при n = 3 получаем систему трех уравнений

${{M}_{{12}}} = 0,\quad {{M}_{{13}}} = 0,\quad {{M}_{{23}}} = 0$

Система линейна по коэффициентам aij и приводится к следующему матричному виду

(6.1)
$P\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{{11}}}} \\ {{{a}_{{22}}}} \\ {{{a}_{{33}}}} \end{array}} \right) + Q\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{{12}}}} \\ {{{a}_{{13}}}} \\ {{{a}_{{23}}}} \end{array}} \right) = 0$
где матрицы P и Q имеют вид

(6.2)
$P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{2}}}}} \right|}&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{1}}}}} \right|}&0 \\ {\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{3}}}}} \right|}&0&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{1}}}}} \right|} \\ 0&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{3}}}}} \right|}&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{2}}}}} \right|} \end{array}} \right)$
(6.3)
$Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}_{{11}}}}&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{2}}}}} \right|}&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{1}}}}} \right|} \\ {\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{3}}}}} \right|}&{{{Q}_{{22}}}}&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{1}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{1}}}}} \right|} \\ {\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{3}}}}} \right|}&{\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{2}}}}} \right|}&{{{Q}_{{33}}}} \end{array}} \right)$
${{Q}_{{11}}} = ({{b}_{{12}}}{{b}_{{13}}} - {{b}_{{23}}}{{b}_{{11}}}){{c}_{{23}}} + ({{b}_{{13}}}{{b}_{{22}}} - {{b}_{{12}}}{{b}_{{23}}}){{c}_{{13}}} + ({{b}_{{11}}}{{b}_{{33}}} - b_{{13}}^{2}){{c}_{{22}}} + (b_{{23}}^{2} - {{b}_{{22}}}{{b}_{{33}}}){{c}_{{11}}}$
${{Q}_{{22}}} = ({{b}_{{12}}}{{b}_{{13}}} - {{b}_{{23}}}{{b}_{{11}}}){{c}_{{23}}} + ({{b}_{{12}}}{{b}_{{33}}} - {{b}_{{23}}}{{b}_{{13}}}){{c}_{{12}}} + ({{b}_{{11}}}{{b}_{{22}}} - b_{{12}}^{2}){{c}_{{33}}} + (b_{{23}}^{2} - {{b}_{{22}}}{{b}_{{33}}}){{c}_{{11}}}$
${{Q}_{{33}}} = ({{b}_{{12}}}{{b}_{{33}}} - {{b}_{{13}}}{{b}_{{23}}}){{c}_{{12}}} + ({{b}_{{12}}}{{b}_{{23}}} - {{b}_{{13}}}{{b}_{{22}}}){{c}_{{13}}} + ({{b}_{{11}}}{{b}_{{22}}} - b_{{12}}^{2}){{c}_{{33}}} + (b_{{13}}^{2} - {{b}_{{11}}}{{b}_{{33}}}){{c}_{{22}}}$

Здесь прямыми скобками обозначены определители третьего порядка для матриц, составленных из векторов ${{{\mathbf{b}}}_{i}}({{b}_{{i1}}},{{b}_{{i2}}},{{b}_{{i3}}})$, ${{{\mathbf{c}}}_{i}}({{c}_{{i1}}},{{c}_{{i2}}},{{c}_{{i3}}})$.

Например

$\left| {{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{2}}}},{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{3}}}},{{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{2}}}}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{{21}}}}&{{{b}_{{31}}}}&{{{c}_{{21}}}} \\ {{{b}_{{22}}}}&{{{b}_{{32}}}}&{{{c}_{{22}}}} \\ {{{b}_{{23}}}}&{{{b}_{{33}}}}&{{{c}_{{23}}}} \end{array}} \right|$

Разрешая систему (6.1) относительно ${{a}_{{11}}}$, ${{a}_{{22}}}$, ${{a}_{{33}}}$,найдем

(6.4)
$\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{{11}}}} \\ {{{a}_{{22}}}} \\ {{{a}_{{33}}}} \end{array}} \right) = - {{P}^{{ - 1}}}Q\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{{12}}}} \\ {{{a}_{{13}}}} \\ {{{a}_{{23}}}} \end{array}} \right).$

Пример 1. Для трех квадратичных форм

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{F}_{1}} = \frac{1}{2}({{a}_{{11}}}x_{1}^{2} + {{a}_{{22}}}x_{2}^{2} + {{a}_{{33}}}x_{3}^{2} - 2{{x}_{1}}{{x}_{2}} + 2{{x}_{1}}{{x}_{3}} - 4{{x}_{2}}{{x}_{3}})} \\ {{{F}_{2}} = \frac{1}{2}(2x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} - 2{{x}_{1}}{{x}_{2}} + 2{{x}_{1}}{{x}_{3}} - 2{{x}_{2}}{{x}_{3}})} \\ {{{F}_{3}} = \frac{1}{2}(7x_{1}^{2} + 6x_{2}^{2} + 5x_{3}^{2} - 8{{x}_{1}}{{x}_{2}} + 6{{x}_{1}}{{x}_{3}} - 4{{x}_{2}}{{x}_{3}})} \end{array}$
найти коэффициенты a11, a22, a33, так чтобы существовала линейная замена переменных, приводящая все три квадратичные формы к каноническому виду. Найти замену переменных и канонический вид квадратичных форм в новых переменных.

Решение. Выпишем матрицы квадратичных форм ${{F}_{1}}$, ${{F}_{2}}$, ${{F}_{3}}$

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{11}}}}&{ - 1}&1 \\ { - 1}&{{{a}_{{22}}}}&{ - 2} \\ 1&{ - 2}&{{{a}_{{33}}}} \end{array}} \right),\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1 \\ { - 1}&2&{ - 1} \\ 1&{ - 1}&2 \end{array}} \right),\quad C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 4}&3 \\ { - 4}&6&{ - 2} \\ 3&{ - 2}&5 \end{array}} \right)$

С помощью формул (6.1) и (6.2) вычисляем матрицы $P$ и $Q$

$P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&2&0 \\ 2&0&2 \\ 0&2&{ - 4} \end{array}} \right),\quad Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&4&2 \\ 4&{ - 4}&2 \\ 2&2&{ - 2} \end{array}} \right),\quad - {{P}^{{ - 1}}}Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&0 \\ { - 1}&0&{ - 1} \\ 0&1&{ - 1} \end{array}} \right)$

По формуле (6.4) находятся требуемые коэффициенты

$\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{{11}}}} \\ {{{a}_{{22}}}} \\ {{{a}_{{33}}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&0 \\ { - 1}&0&{ - 1} \\ 0&1&{ - 1} \end{array}} \right)\left( \begin{gathered} - 1 \\ 1 \\ - 2 \\ \end{gathered} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array}} \right)$

Используя известный алгоритм [5], находим преобразование

${{x}_{1}} = \frac{1}{2}( - {{y}_{1}} + {{y}_{2}} + {{y}_{3}}),\quad {{x}_{2}} = \frac{1}{2}( - {{y}_{1}} + {{y}_{2}} - {{y}_{3}}),\quad {{x}_{3}} = \frac{1}{2}({{y}_{1}} + {{y}_{2}} - {{y}_{3}})$
приводящее квадратичные формы ${{F}_{2}}$, ${{F}_{3}}$ к каноническому виду. Тогда третья квадратичная форма ${{F}_{1}}$ в этих переменных примет канонический вид тоже.

Все три формы в новых переменных имеют следующий канонический вид

${{F}_{1}} = \frac{1}{2}(2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}),\quad {{F}_{2}} = \frac{1}{2}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}),\quad {{F}_{3}} = \frac{1}{2}(2y_{1}^{2} + 3y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2})$

Пример 2. В монографии [1] (стр. 252) рассмотрена задача определения нормальных колебаний твердого тела, имеющего закрепленную точку и колеблющегося под действием произвольной системы консервативных сил около положения равновесия. Кинетическая и потенциальная энергии в [1] приводятся к виду

$T = \frac{1}{2}({{\dot {x}}^{2}}_{1} + {{\dot {x}}^{2}}_{2} + {{\dot {x}}^{2}}_{3}),\quad \Pi = \frac{1}{2}({{c}_{{11}}}x_{1}^{2} + {{c}_{{22}}}x_{2}^{2} + {{c}_{{33}}}x_{3}^{2} + 2{{c}_{{12}}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + 2{{c}_{{13}}}{{x}_{1}}{{x}_{3}} + 2{{c}_{{23}}}{{x}_{2}}{{x}_{3}})$

Поставим вопрос: найти коэффициенты диссипативной функции

${\text{D}} = \frac{1}{2}({{a}_{{11}}}x_{1}^{2} + {{a}_{{22}}}x_{2}^{2} + {{a}_{{33}}}x_{3}^{2} + 2{{a}_{{12}}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + 2{{a}_{{13}}}{{x}_{1}}{{x}_{3}} + 2{{a}_{{23}}}{{x}_{2}}{{x}_{3}})$
так, чтобы все три формы привелись к каноническому виду.

Решение. Выпишем матрицы квадратичных форм $D$, $T$ и $\Pi $

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{11}}}}&{{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{13}}}} \\ {{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{22}}}}&{{{a}_{{23}}}} \\ {{{a}_{{13}}}}&{{{a}_{{23}}}}&{{{a}_{{33}}}} \end{array}} \right),\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right),\quad C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{{11}}}}&{{{c}_{{12}}}}&{{{c}_{{13}}}} \\ {{{c}_{{12}}}}&{{{c}_{{22}}}}&{{{c}_{{23}}}} \\ {{{c}_{{13}}}}&{{{c}_{{23}}}}&{{{c}_{{33}}}} \end{array}} \right)$

С помощью формул (6.1) и (6.2) вычисляем матрицы $P$ и $Q$

$P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\text{c}}}_{{{\text{12}}}}}}&{ - {{{\text{c}}}_{{{\text{12}}}}}}&0 \\ {{{{\text{c}}}_{{{\text{13}}}}}}&0&{ - {{{\text{c}}}_{{{\text{13}}}}}} \\ 0&{{{{\text{c}}}_{{{\text{23}}}}}}&{ - {{{\text{c}}}_{{{\text{23}}}}}} \end{array}} \right),\quad Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\text{c}}}_{{{\text{22}}}}} - {{{\text{c}}}_{{{\text{11}}}}}}&{{{{\text{c}}}_{{{\text{23}}}}}}&{ - {{{\text{c}}}_{{{\text{13}}}}}} \\ {{{{\text{c}}}_{{{\text{23}}}}}}&{{{{\text{c}}}_{{{\text{33}}}}} - {{{\text{c}}}_{{{\text{11}}}}}}&{ - {{{\text{c}}}_{{{\text{12}}}}}} \\ {{{{\text{c}}}_{{{\text{13}}}}}}&{ - {{{\text{c}}}_{{{\text{12}}}}}}&{{{{\text{c}}}_{{{\text{33}}}}} - {{{\text{c}}}_{{{\text{22}}}}}} \end{array}} \right)$

По формуле (6.1) находятся три линейных соотношения между диссипативными коэффициентами aij

$\begin{gathered} {{c}_{{12}}}({{a}_{{11}}} - {{a}_{{22}}}) + ({{c}_{{22}}} - {{c}_{{11}}}){{a}_{{12}}} + {{c}_{{23}}}{{a}_{{13}}} - {{c}_{{13}}}{{a}_{{23}}} = 0 \\ {{c}_{{13}}}({{a}_{{11}}} - {{a}_{{33}}}) + {{c}_{{23}}}{{a}_{{12}}} + ({{c}_{{33}}} - {{c}_{{11}}}){{a}_{{13}}} - {{c}_{{12}}}{{a}_{{23}}} = 0 \\ {{c}_{{23}}}({{a}_{{22}}} - {{a}_{{33}}}) + {{c}_{{13}}}{{a}_{{12}}} - {{c}_{{12}}}{{a}_{{13}}} + ({{c}_{{33}}} - {{c}_{{22}}}){{a}_{{23}}} = 0 \\ \end{gathered} $

Если коэффициенты aij удовлетворяют этой системе, то можно найти нормальные координаты, в которых динамические уравнения вынужденных колебаний расщепляются на три независимые уравнения второго порядка вида (4.1) с решением (4.2)–(4.4).

Заключение. Для вынужденных колебаний механических систем с двумя и тремя степенями свободы с учетом сил трения получены простые условия расщепления системы уравнений 4-го и 6-го порядков на две или три идентичные системы 2-го порядка типа (4.1). Они значительно проще исходной и позволяют получать простые аналитические решения системы в явном аналитическом виде.

Работа выполнена в рамках госзадания (номер госрегистрации АААА-А20-120011690138-6).

Список литературы

  1. Whittaker E.T. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge at the university press. Second edition, 1917. = Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: URSS, 2004. 595 с.

  2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

  3. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2008. 304 с.

  4. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 305 с.

  5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 552 с.

  6. Bellman R. Introduction to Matrix Analysis. N. Y.: McGraw-Hill, 1970. = Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

  7. Johnson C.R., Horn R.A. Matrix Analysis. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. = Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. M.: Мир, 1989. 665 с.

  8. Kumar Mitra. Simultaneous diagonalization of rectangular matrices // Lin. Algebra Appl. 1982. V. 47. P. 139–150.

  9. Новиков М.А. Одновременная диагонализация трех вещественных симметричных матриц // Изв. вузов. Математика. 2014. № 12. С. 70–82.

  10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Том I. Механика. М.: Наука, 1965. 204 с.

  11. Журавлев В.Ф., Петров А.Г. Анализ действия возмущений линейных резонансных систем с двумя степенями свободы // Изв. РАН. МТТ. 2021. № 2. С. 42–50. https://doi.org/10.31857/S0572329921020185

Дополнительные материалы отсутствуют.