1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 5, 2022

Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 5, стр. 141-149

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОГО УДАРНОГО ФРОНТА В УПРУГОМ СЛОЕ

А. В. Ильяшенко a, *

a Московский Государственный строительный университет
Москва, Россия

* E-mail: avi_56@mail.ru

Поступила в редакцию 24.01.2022
После доработки 03.02.2022
Принята к публикации 04.02.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуется задача о волновом фронте в анизотропном упругом слое. Показано, что в случае упругой изотропии однородная волна с плоским фронтом в слое возможна лишь в одном частном случае, при нулевом коэффициенте Пуассона. В других случаях для существования волны с плоским фронтом, волна должна быть неоднородной по отношению к трансверсальной координате. Аналитическое решение, обеспечивающее существование плоского ударного волнового фронта, получено впервые.

Ключевые слова: анизотропия, волновой фронт, акустический тензор, упругий слой

1. Введение. В [1–17] исследовались задачи распространения гармонических дисперсионных и бездисперсионных волн в линейно-упругих средах. Определенная часть исследований выполняется численными методами на основе конечных элементов, обладающих спектральными свойствами [18–21]. Для решения волновых задач применяются так же конечно-разностные методы [22–26], используются методы граничных интегральных уравнений [27–29], а так же различные варианты безсеточных (meshless) методов, наиболее распространенными из которых являются SPH и DEM методы [30–32]. Проблема определения скоростей распространения упругих волн становится особенно сложной, когда в среде, или конструкции возникает дисперсия и волновой профиль начинает размываться из-за различия в скоростях распространения частотных составляющих волнового профиля. По-видимому, впервые этот факт теоретически исследован в [33], в дальнейшем, исследования в этом направлении продолжены в [34–39]. Применительно к исследуемым ниже дисперсионным волнам в пластинах, большое число работ посвящено исследованию длинноволновых пределов волн Лэмба, Рэлея–Лэмба и Лява [40–43], являющихся, по существу, бездисперсионными в окрестности нулевой частоты (для симметричной фундаментальной моды) [44, 45].

Надо отметить, что имеется значительное число экспериментальных исследований, посвященных исследованию распространению ударных волн в стержнях [46–48], известны исследования по образованию и распространению ударного фронта в одномерных волноводах из бимодульных материалов [49, 50].

В этой связи особый интерес представляет исследование условий, при которых могут распространяться “плоские” волны, поперечный профиль которых остается плоским в процессе движения. Ниже, в линейной постановке исследуются вопросы существования волн в упругом анизотропном слое с поляризацией волны, не зависящей от поперечной координаты. На основе потенциалов для поля смещений построены аналитические решения, позволяющие описать условия для дисперсионных волн, у которых, несмотря на дисперсию, волновой фронт остается плоским. Условия существования таких волн, как показывает обзор литературы, получены впервые.

2. Волновой фронт в безграничной среде. Задача о распространении плоского ударного волнового фронта, рассматривается в упругой инфинитезимальной постанове.

2.1. Анизотропная среда. Уравнения движения в линейно-упругой анизотропной среде могут быть представлены в виде

(2.1)
${\mathbf{\ddot {u}}}({\mathbf{x}},t) - _{\rho }^{1}{\text{di}}{{{\text{v}}}_{x}}{\mathbf{C}} \cdot \cdot {{\nabla }_{x}}{\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) = 0$
где ${\mathbf{u}}$ – поле смещений, ${\mathbf{x}}$ – пространственная координата, $t$ – время, $\rho $ – плотность среды, ${\mathbf{C}}$ – четырехвалентный симметричный тензор упругости

(2.2)
$\forall i,j,m,n\quad {{C}_{{imjn}}} = {{C}_{{imnj}}} = {{C}_{{mijn}}} = {{C}_{{jnim}}}$

Условиями (2.2) из рассмотрения исключаются микрополярные среды.

Рассматривая тензор ${\mathbf{C}}$, как оператор, в шестимерном пространстве симметричных тензоров второго ранга, запишем условие его строгой эллиптичности

(2.3)
${\mathbf{a}} \otimes {\mathbf{b}} \cdot \cdot {\mathbf{C}} \cdot \cdot {\mathbf{b}} \otimes {\mathbf{a}} > 0$

Условие (2.3) выполняется для любых ненулевых разложимых тензоров вида ${\mathbf{a}} \otimes {\mathbf{b}}$, где ${\mathbf{a}}$ и ${\mathbf{b}}$ – произвольные ненулевые векторы.

Введем волновой потенциал для плоской бегущей волны

(2.4)
${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) = {\mathbf{m}}\,\psi \left( {{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct} \right)$

В представлении (2.4) ${\mathbf{n}}$ – волновой вектор, определяющий направление распространения волны, $c$ – скорость , ${\mathbf{m}}$ – нормализованная поляризация волны ($\left\| {\mathbf{m}} \right\| = 1$), определяющая движение на фронте волны, $\psi $ – скалярный потенциал, с помощью которого задается профиль волны. Ниже предполагается, что потенциал $\psi $ – достаточно гладкий [48]

(2.5)
$\psi \in {{C}^{{k - 1}}}(\mathbb{R})\quad \& \quad \partial \psi \notin {{C}^{{k - 1}}}(\mathbb{R}),\quad k \geqslant 1$

Заметим, что в отношении волновых фронтов применяется следующая классификация: в случае, когда $k = 1$, то есть потенциал $\psi $ непрерывен, а его первая производная разрывная, волновой фронт считается сильным, – в этом случае при распространении волны напряжения являются разрывными на фронте волны, в то время как, перемещения являются непрерывными функциями пространственной координаты. В случае, когда $k \geqslant 2$, волновой фронт считается слабым, для слабого волнового фронта и напряжения и перемещения являются непрерывными функциями пространственной координаты. В случае, когда $k < 1$, волновой фронт считается сверхсильным, такой волновой фронт сопровождается разрывами в перемещениях. Помимо условия (2.5), обычно вводят следующее условие, предполагающее отсутствие смещений перед фронтом волны и ненулевую кривизну волнового потенциала за фронтом волны

(2.6)
$\psi (s) = \left\{ \begin{gathered} 0,\quad s > 0 \hfill \\ {{\partial }^{2}}\psi \ne 0,\quad s < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Таким образом, предполагается, что перед фронтом материал находится в естественном недеформированном состоянии. Кроме того, движение плоской волны описывается условием

(2.7)
${\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct = 0$

Уравнения движения (2.1) совместно с представлением (2.4) и условием (2.6) дают алгебраическое уравнение Кристоффеля для определения векторной амплитуды ${\mathbf{m}}$

(2.8)
$({\mathbf{A}}({\mathbf{n}}) - \rho {{c}^{2}}{\mathbf{I}}) \cdot {\mathbf{m}} = 0$

В уравнении (2.8) ${\mathbf{I}}$ – единичный тензор (единичная диагональная матрица), ${\mathbf{A}}({\mathbf{n}})$ – акустический тензор, определяемый волновым вектором ${\mathbf{n}}$

(2.9)
${\mathbf{A}}({\mathbf{n}}) = {\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{C}} \cdot {\mathbf{n}}$

Уравнение (2.8) показывает, что для любого волнового вектора ${\mathbf{n}}$ акустический тензор (2.9) симметричен и строго эллиптичен. Это обеспечивает существование трех действительных и положительных собственных чисел в Жордановой нормальной форме тензора (2.9)

(2.10)
${\mathbf{A}}({\mathbf{n}}) = {\mathbf{Q}}({\mathbf{n}}) \cdot {\mathbf{D}}({\mathbf{n}}) \cdot {{{\mathbf{Q}}}^{t}}({\mathbf{n}})$
где ${\mathbf{Q}}({\mathbf{n}})$ – ортогональный тензор, зависящий от вектора ${\mathbf{n}}$, а ${\mathbf{D}}({\mathbf{n}})$ – диагональный тензор, состоящий из собственных чисел акустического тензора, верхний индекс в (2.10) обозначает транспонирование соответствующего тензора (матрицы). Возвращаясь к уравнению Кристоффеля, заметим, что поляризация (векторная амплитуда) является собственным вектором акустического тензора и корневым собственным вектором тензора в левой части уравнения (2.8). Симметрия акустического тензора обеспечивает существование трех взаимно ортогональных собственных векторов и, следовательно, поляризации, соответствующие собственным значениям акустического тензора взаимно ортогональны. Более того, даже в случае, когда акустический тензор не является простым, например в случае изотропной среды, он – полупростой, тем не менее он обладает тремя взаимно ортогональными собственными векторами.

Замечания 2.1. а) Уравнения (2.4)−(2.8) обеспечивают постоянство скоростей распространения, в случае сильных или слабых ударных волновых фронтов.

б) Уравнения движения (2.1) и представление для поля смещений (2.4) показывают, что какова бы ни была функция $\psi $, которая, вообще говоря, может не удовлетворять условиям, заданным уравнениями (2.5), (2.6), она определяет некоторое поле движений в безграничной среде. Однако, если тело имеет границы, то функция $\psi $, уже не является произвольной.

в) Имея ввиду Замечание 2.1.б, рассмотрим функцию $\psi $ в виде гармонической по временной и пространственным переменным функции

(2.11)
$\psi ({\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct) = \exp \left( {ir({\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct)} \right)$
где $r$ – волновое число. Функция (2.11) описывает плоскую гармоническую волну круговой частоты $\omega = rc$ и длины $l = 2\pi c{\text{/}}\omega $. Заметим, что в случае гармонической волны волновой фронт определяется в пространстве ${{\mathbb{R}}^{4}}$, как

(2.12)
${\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct = {\text{const}}$

г) Особый интерес представляет поле напряжений на фронте волны

(2.13)
${{\sigma }_{{\mathbf{n}}}} = {\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{C}} \cdot \cdot {{\nabla }_{x}}{\mathbf{u}}$

Подставляя в выражение (2.13) поле перемещений, определяемое представлением (2.4), получим

(2.14)
${{\sigma }_{{\mathbf{n}}}}({\mathbf{x}},t) = {\mathbf{A}}({\mathbf{n}}) \cdot {\mathbf{m}}{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}$

2.2. Упругая изотропия. Тензор упругости, рассматриваемый как оператор в пространстве симметричных тензоров, может быть записан в виде невырожденной симметрической матрицы размерности $6 \times 6$

(2.15)
${\mathbf{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda + 2\mu }&\lambda &\lambda &{}&{}&{} \\ \lambda &{\lambda + 2\mu }&\lambda &{}&{}&{} \\ \lambda &\lambda &{\lambda + 2\mu }&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{2\mu }&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{2\mu }&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{2\mu } \end{array}} \right)$

В представлении (2.15) $\lambda $ и $\mu $ – константы Ляме

(2.16)
$\lambda = \frac{{E\nu }}{{(1 + \nu )(1 - 2\nu )}},\quad \mu = \frac{E}{{2(1 + \nu )}}$
где $E$ – модуль упругости, $\nu $ – коэффициент Пуассона. Тензор упругости (2.15) позволяет записать закон Гука в терминах соответствующих шестимерных векторов ${{\vec {\sigma }}_{6}} = \left( {{{\sigma }_{{11}}},{{\sigma }_{{22}}},{{\sigma }_{{33}}},{{\sigma }_{{13}}},{{\sigma }_{{23}}},{{\sigma }_{{12}}}} \right)$ и ${{\vec {\varepsilon }}_{6}} = \left( {{{\varepsilon }_{{11}}},{{\varepsilon }_{{22}}},{{\varepsilon }_{{33}}},{{\varepsilon }_{{13}}},{{\varepsilon }_{{23}}},{{\varepsilon }_{{12}}}} \right)$.

Векторное уравнение Кристоффеля (2.8) для тензора упругости изотропной среды (2.15) принимает вид

(2.17)
$\left( {\frac{{\lambda + 2\mu }}{{\rho {{c}^{2}}}}{\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}} + \frac{\mu }{{\rho {{c}^{2}}}}({\mathbf{I}} - {\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}}) - {\mathbf{I}}} \right) \cdot {\mathbf{m}} = 0$

Уравнение Кристоффеля в форме (2.17) имеет собственные числа, определяющие скорости продольной волны ${{с}_{1}} = {{с}_{L}}$ и двух поперечных волн ${{с}_{{2,3}}} = {{c}_{T}}$

(2.18)
${{c}_{L}} = \sqrt {\frac{{\lambda + 2\mu }}{\rho }} ,\quad {{c}_{T}} = \sqrt {\frac{\mu }{\rho }} $

Замечания 2.2. а) Матрица в левой части уравнения Кристоффеля (2.17) не является простой, поскольку два ее собственных числа совпадают. Однако, эта матрица остается полупростой, поскольку в ее структуре отсутствуют Жордановы блоки.

б) Анализ уравнений (2.14), (2.17) показывает, что напряжения на фронте волны представимы в виде

(2.19)
${{\sigma }_{{\mathbf{n}}}} = (\lambda + 2\mu ){\mathbf{n}}{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}$

Выражение (2.19) показывает, что напряжения на фронте продольной волны по направлению совпадают со смещениями. При этом, на плоскостях ортогональных фронту волны, т.е. на плоскостях с нормалью ${\mathbf{p}} \cdot {\mathbf{n}} = 0$ нормальные напряжения ${{\sigma }_{{\mathbf{p}}}}$, вообще говоря, тоже присутствуют

(2.20)
${{\sigma }_{{\mathbf{p}}}} = \lambda {\mathbf{p}}{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}$

При $\lambda = 0$ на плоскостях ${{\Pi }_{{\mathbf{p}}}}$ напряжений нет.

в) В случае поперечной волны напряжения на фронте волны определяются выражением

(2.21)
${{\sigma }_{{\mathbf{n}}}} = \mu {\mathbf{m}}{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}$
показывающим, что напряжения ${{\sigma }_{{\mathbf{n}}}}$ ортогональны волновому вектору ${\mathbf{n}}$ и совпадают с направлением смещений. На ортогональных плоскостях ${{\Pi }_{{\mathbf{m}}}}$ с нормалью ${\mathbf{m}}$ (напомним, что в рассматриваемом случае ${\mathbf{m}} \cdot {\mathbf{n}} = 0$) напряжения ${{\sigma }_{{\mathbf{m}}}}$ представимы в виде

(2.22)
${{\sigma }_{{\mathbf{m}}}} = \mu {\mathbf{n}}{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}$

г) В случае, если $\lambda = 0$ тензор упругости (2.15) диагонален и тензор ${\mathbf{A}}({\mathbf{n}})$ принимает вид

(2.23)
${\mathbf{A}}({\mathbf{n}}) = \mu ({\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}} + {\mathbf{I}})$

Кроме того, при $\lambda = 0$ на плоскостях ортогональных фронту волны как нормальные, так и касательные компоненты поверхностных напряжений оказываются нулевыми.

3. Волновой фронт в слое. Рассмотрим пластину со свободными поверхностями толщины $h$. Пусть начало координат расположено на срединной поверхности пластины и волновой вектор ${\mathbf{n}}$ находится в срединной плоскости, а $\nu $ – вектор единичной нормали к этой плоскости.

3.1. Упругая анизотропия. Условия на боковых поверхностях пластины, выражающие собой отсутствие соответствующих напряжений, представимы в виде

(3.1)
${{\sigma }_{\nu }} \equiv {{\left. {\nu \cdot {\mathbf{C}} \cdot \cdot \nabla {\mathbf{u}}} \right|}_{{x' = \pm h/2}}} = 0$
где обозначено $x' = {\mathbf{x}} \cdot \nu $.

Поле смещений для ударной волны, распространяющейся в направлении ${\mathbf{n}}$ и имеющей плоский фронт, определяется выражением

(3.2)
${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) = {\mathbf{m}}\varphi (x')\psi ({\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{x}} - ct)$
где ${\mathbf{u}}$ – поле перемещений, $\varphi (x{\text{'}})$ – пока еще неизвестная функция, характеризующая вариацию амплитуды волны в трансверсальном направлении. Граничные условия (3.1) при учете (3.2) принимают вид

(3.3)
${{\sigma }_{\nu }} \equiv \left[ \begin{gathered} {\mathbf{A}}{\text{(}}\nu {\text{)}}({{\left. {\partial \varphi } \right|}_{{x' = \pm h/2}}})({{\left. {\psi (s)} \right|}_{{{\text{s = }}{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}})\,{\text{ + }} \\ {\text{ + }}\;{\text{(}}\nu \cdot {\mathbf{C}} \cdot {\mathbf{n}})({{\left. \varphi \right|}_{{x{\text{'}} = \pm h/2}}})\left( {{{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}}_{{{\text{s = }}{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \\ \end{gathered} \right] \cdot {\mathbf{m}} = 0$

Уравнения (2.1) и представление поля смещений (3.2) дают дифференциальное уравнение второго, позволяющее определить поляризацию волнового фронта ${\mathbf{m}}$, причем в это уравнение входят две, вообще говоря, неизвестных функции $\varphi $ и $\psi $

(3.4)
$\left[ \begin{gathered} {\mathbf{A}}(\nu )({{\partial }^{2}}\varphi )\left( {{{{\left. {\psi (s)} \right|}}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) + {\mathbf{B}}(\nu ,{\mathbf{n}})(\partial \varphi )\left( {{{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \\ + \;({\mathbf{A}}({\mathbf{n}}) - \rho {{c}^{2}}{\mathbf{I}})(\varphi )({{\left. {{{\partial }^{2}}\psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) \\ \end{gathered} \right] \cdot {\mathbf{m}} = 0$

В уравнении (3.4)

(3.5)
${\mathbf{A}}(\nu ) = \nu \cdot {\mathbf{C}} \cdot \nu \quad {\mathbf{B}}(\nu ,{\mathbf{n}}) = \nu \cdot {\mathbf{C}} \cdot {\mathbf{n}} + {\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{C}} \cdot \nu $

Замечания 3.1. а) В том случае, когда профиль волны $\psi $ известен заранее (это часто встречается при моделировании ударных волн), дифференциальное уравнение (3.4) становится обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка относительно функции $\varphi $.

б) Если, функция $\psi $ гармонична, например, определяется выражением (2.11), уравнение (3.4) принимает вид

(3.6)
$[{\mathbf{A}}(\nu )({{\partial }^{2}}\varphi ) + ir{\mathbf{B}}(\nu ,{\mathbf{n}})(\partial \varphi ) - {{r}^{2}}({\mathbf{A}}({\mathbf{n}}) - \rho {{c}^{2}}{\mathbf{I}})(\varphi )] \cdot {\mathbf{m}} = 0$

3.2. Изотропия, $\lambda \ne 0$. В изотропном случае условия (3.3) равенства нулю напряжений на соответствующих границах слоя принимают вид

(3.7)
${{\sigma }_{\nu }} \equiv \left[ \begin{gathered} \left( {(\lambda + 2\mu ){\text{(}}\nu \otimes \nu {\text{) + }}\mu {\text{(}}{\mathbf{I}} - \nu \otimes \nu {\text{)}}} \right)({{\left. {\partial \varphi } \right|}_{{x' = \pm h/2}}})({{\left. {\psi (s)} \right|}_{{{\text{s = }}{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) \\ + \;\left( {\lambda \nu \otimes {\mathbf{n}} + \mu {\mathbf{n}} \otimes \nu } \right)({{\left. \varphi \right|}_{{x' = \pm h/2}}})({{\left. {\partial \psi (s)} \right|}_{{{\text{s = }}{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) \\ \end{gathered} \right] \cdot {\mathbf{m}} = 0$

Аналогичным образом трансформируется уравнение (3.4):

(3.8)
$\left[ \begin{gathered} \left( {(\lambda + 2\mu )\nu \otimes \nu + \mu ({\mathbf{I}} - \nu \otimes \nu )} \right)({{\partial }^{2}}\varphi )\left( {{{{\left. {\psi (s)} \right|}}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \\ + \;\left( {2(\lambda + \mu ){\text{sym}}(\nu \otimes {\mathbf{n}})} \right)(\partial \varphi )\left( {{{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \\ + \;((\lambda + 2\mu ){\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}} + \mu ({\mathbf{I}} - {\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}}) - \rho {{c}^{2}}{\mathbf{I}})(\varphi )({{\left. {{{\partial }^{2}}\psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) \\ \end{gathered} \right] \cdot {\mathbf{m}} = 0$

В (3.8) обозначено

(3.9)
${\text{sym}}(\nu \otimes {\mathbf{n}}) = \frac{1}{2}\left( {\nu \otimes {\mathbf{n}} + {\mathbf{n}} \otimes \nu } \right)$

Замечание 3.2. Для продольной волны с поляризацией, совпадающей с направлением распространения, уравнения (3.8) приобретают вид

(3.10)
$\left\{ \begin{gathered} \mu ({{\partial }^{2}}\varphi )({{\left. {\psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) - ((\lambda + 2\mu ) - \rho {{c}^{2}})(\varphi )({{\left. {{{\partial }^{2}}\psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) = 0 \hfill \\ (\lambda + \mu )(\partial \varphi )({{\left. {\partial \psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Уравнения (3.10) показывают, что при произвольной функции $\psi $, такой что ψ(s), $\partial \psi (s)$ и ${{\partial }^{2}}\psi (s)$ не равны тождественно нулю, их выполнение при $\varphi = {\text{const}}$ возможно лишь при условии

(3.11)
$c = \sqrt {\frac{{\lambda + 2\mu }}{\rho }} $

Однако, надо заметить, что условия $\varphi = {\text{const}}$ $\lambda \ne 0$ противоречат условиям (3.7) на границе.

3.3. Изотропия, $\lambda = 0$. Условия (3.3) при $\lambda = 0$ принимают вид

(3.12)
${{\sigma }_{\nu }} \equiv \mu \left[ \begin{gathered} \left( {\nu \otimes \nu + {\mathbf{I}}} \right)\left( {{{{\left. {\partial \varphi } \right|}}_{{x' = \pm h/2}}}} \right)\left( {{{{\left. {\psi (s)} \right|}}_{{{\text{s = }}{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \hfill \\ + \;{\mathbf{n}} \otimes \nu \left( {{{{\left. \varphi \right|}}_{{x' = \pm h/2}}}} \right)\left( {{{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}}_{{{\text{s = }}{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right] \cdot {\mathbf{m}} = 0$

Аналогичным образом трансформируется уравнение (3.8):

(3.13)
$\mu \left[ \begin{gathered} \left( {\nu \otimes \nu + {\mathbf{I}}} \right)({{\partial }^{2}}\varphi )\left( {{{{\left. {\psi (s)} \right|}}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \\ + \;2{\text{sym}}(\nu \otimes {\mathbf{n}})(\partial \varphi )\left( {{{{\left. {\partial \psi (s)} \right|}}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}} \right) \\ + \;\left( {{\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}} + {\mathbf{I}} - \frac{{\rho {{c}^{2}}}}{\mu }{\mathbf{I}}} \right)(\varphi )({{\left. {{{\partial }^{2}}\psi (s)} \right|}_{{s = {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{n}} - ct}}}) \\ \end{gathered} \right] \cdot {\mathbf{m}} = 0$

Дифференциальные уравнения (3.13) для волны, описываемой уравнениями (2.11), трансформируются к виду

(3.14)
$\begin{gathered} \text{[}\left( {\mu (\nu \otimes \nu + {\mathbf{I}})} \right)({{\partial }^{2}}\varphi ) + ir\left( {2\mu {\text{sym}}(\nu \otimes {\mathbf{n}})} \right)(\partial \varphi ) - \\ - \;{{r}^{2}}(\mu ({\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}} + {\mathbf{I}}) - \rho {{c}^{2}}{\mathbf{I}})(\varphi )] \cdot {\mathbf{m}} = 0 \\ \end{gathered} $

Последнее выражение показывает, что условия (3.12) на границе и дифференциальные уравнения (3.13) удовлетворяются для волны с продольной поляризацией и плоским фронтом с постоянной по поперечному сечению функцией φ. Последнее, с учетом Замечания 3.2, дает

Предложение а) В случае изотропного слоя плоская продольно-поляризованная волна существует лишь при выполнении условия $\lambda = 0$.

б) В общем случае, когда $\lambda \ne 0$ продольно-поляризованная ударная или гармоническая волна существует, если (i) фронт волны неплоский, или (ii) поляризация волны непостоянна в поперечном сечении слоя: $\varphi (x{\text{'}}) \ne {\text{const}}$.

4. Заключение. Построенные решения показывают, что плоский волновой фронт продольной волны в изотропном линейно-упругом слое со свободными граничными поверхностями, может распространяться

(1) либо при условии нулевого коэффициента Пуассона, что эквивалентно нулевой константе Ламе $\lambda = 0$, и тогда амплитуда продольной волны необходимо постоянна в поперечном сечении;

(2) либо при ненулевом коэффициенте Пуассона и, соответственно, ненулевой константе Ламе $\lambda $, но переменной в поперечном сечении амплитуде.

Таким образом, изначально плоский ударный фронт продольной волны в изотропном упругом слое в случае произвольного и не равного нулю коэффициента Пуассона, необходимо трансформируется в волновой профиль с переменной в трансверсальном направлении амплитудой. Представляется интересным обобщение полученных результатов на ударные волны, распространяющиеся в стратифицированных и функционально-градиентных пластинах.

В заключение необходимо отметить недавние исследования по распространению дисперсионных гармонических волн в стержнях [51–54], где вопросы существования плоских ударных фронтов также играют важную роль.

Благодарность. Автор благодарит Российский фонд фундаментальных исследований (Грант 20-08-00419) за частичную финансовую поддержку.

Список литературы

  1. Strutt J.W. (Lord Rayleigh) On wave propagating along the plane surface of an elastic solid // Proc. London Math. Soc. 1885. V. 17. P. 4–11.

  2. Farnell G.W. Properties of elastic surface waves // Phys. Acoust. 1970. V. 6. P. 109–166.

  3. Ventura P., Hodre J.M., Desbois J., Solal M. Combined FEM and Green’s function analysis of periodic SAW structure, application to the calculation of reflection and scattering parameters // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr. 2001. V. 48. P. 1259–1274.

  4. Synge J.L. Elastic waves in anisotropic media // J. Math. Phys. 1956. V. 35. P. 323–334.

  5. Stoneley R. The propagation of surface elastic waves in a cubic crystal // Proc. Roy. Soc. 1955. A232. P. 447–458.

  6. Stroh A.N. Steady state problems in anisotropic elasticity // J. Math. Phys. 1962. V. 41. P. 77–103.

  7. Lim T.C., Farnell G.W. Search for forbidden directions of elastic surface-wave propagation in anisotropic crystals // J. Appl. Phys. 1968. V. 39. P. 4319–4325.

  8. Lim T.C., Farnell G.W. Character of pseudo surface waves on anisotropic crystals // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. V. 45. P. 845–851.

  9. Farnell G.W. Properties of elastic surface waves // Phys. Acoust. 1970. V. 6. P. 109–166.

  10. Bauerschmidt P., Lerch R., Machui J., Ruile W., Visintini G. Reflection and transmission coefficients of SAW in a periodic grating computed by finite element analysis // Proc. IEEE Ultrasonics Symposium. 1990. P. 421–423. https://doi.org/10.1109/ULTSYM.1990.171400

  11. Davies R.M. A critical study of the Hopkinson pressure bar // Phil. Trans. R. Soc. 1948. V. A240. P. 375–457.

  12. Mindlin R.D., Hermann G. A one-dimensional theory of compressive waves in an elastic rod // Proc. First U.S. National Congress Appl. Mech. Chicago, 1955.

  13. Haskell N.A. Dispersion of surface waves on multilayered media // Bull. Seismol. Soc. America. 1953. V. 43. № 1. P. 17–34.

  14. Knopoff L. A matrix method for elastic wave problems // Bull. Seismol. Soc. America. 1964. V. 54. № 1. P. 431–438.

  15. Graff K.F. Wave Motion in Elastic Solids. New York: Dover Publ., 1975. 649 p.

  16. Ting T.C.T. Anisotropic elasticity: theory and applications. New York: Oxford Univ. Press, 1996.

  17. Kravtsov A.V. et al. Finite element models in Lamb’s problem // Mech. Solids. 2011. V. 46. P. 952–959. https://doi.org/10.3103/S002565441106015X

  18. Fortunato D., Hale N., Townsend A. The ultraspherical spectral element method // J. Comput. Phys. 2021. V. 436. P. 110087. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2020.110087

  19. Orszag S.A. Spectral methods for problems in complex geometries // J. Comput. Phys. 1980. V. 37. P. 70–92. https://doi.org/10.1016/0021-9991(80)90005-4

  20. Martinsson P. A direct solver for variable coefficient elliptic PDEs discretized via a composite spectral collocation method // J. Comput. Phys. 2013. V. 242 P. 460–479. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2013.02.019

  21. Babb T., Gillman A., Hao S., Martinsson P.-G. An accelerated Poisson solver based on multidomain spectral discretization // BIT Numer. Math. 2018. V. 58. P. 851–879. https://doi.org/10.1007/s10543-018-0714-0

  22. Chua C., Stoffab P.L. Nonuniform grid implicit spatial finite difference method for acoustic wave modeling in tilted transversely isotropic media // J. Appl. Geophys. 2012. V. 76. P. 44–49.

  23. Falk J., Tessmer E., Gajewski D. Efficient finite-difference modelling of seismic waves using locally adjustable time steps // Geophys. Prospecting. 1998. V. 46. P. 603–616.

  24. Moczo P., Kristek J., Galis M., Pazak P. On accuracy of the finite-difference and finite-element schemes with respect to p-wave to s-wave speed ratio // Geophys. J. Int. 2010. V. 182. P. 493–510.

  25. Antunes A.J.M., Leal-Toledo R.C.P., Filho O.T.S., Toledo, Elson M. Finite difference method for solving acoustic wave equation using locally adjustable time-steps // Procedia Computer Sci. 2014. V. 29. P. 627–636. https://doi.org/10.1016/j.procs.2014.05.056

  26. Oliveira S.A.M. A fourth-order finite-difference method for the acoustic wave equation on irregular grids // Geophys. 2003. V. 68 (2). P. 672–676.

  27. Wu T.W. Boundary Element Acoustics: Fundamentals and Computer Codes. Advances in Boundary Elements. Southampton, Boston: Witpress, 2000.

  28. Silva J.J.R. Acoustic and Elastic Wave Scattering using Boundary Elements. Southampton: Computational Mechanics Publications, 1994.

  29. Wang X., Chen H., Zhang J. An efficient boundary integral equation method for multi-frequency acoustics analysis // Eng. Anal. Boundary Elem. 2015. V. 61. P. 282–286. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2015.08.006

  30. Zhang Y.O., Zhang T., Ouyang H., Li T.Y. SPH simulation of acoustic waves: Effects of frequency, sound pressure, and particle spacing // Math. Problems Eng. 2015. V. 2015. P. 348314. P. 1–7. https://doi.org/10.1155/2015/348314

  31. Wang Sh., Zhang Y.O., Wu J.P. Lagrangian meshfree finite difference particle method with variable smoothing length for solving wave equations // Adv. Mech. Eng. 2018. V. 10 (7). P. 1–12. https://doi.org/10.1177/1687814018789248

  32. Cleckler J., Elghobashi S., Liu F. On the motion of inertial particles by sound waves // Phys. Fluids. 2012. V. 24 (3). P. 033301. https://doi.org/10.1063/1.3696243

  33. Gogoladze V.G. Dispersion of Rayleigh waves in a layer // Publ. Inst. Seism. Acad. Sci. U.R.S.S. 1947. V. 119. P. 27–38.

  34. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // J. Appl. Phys. 1950. V. 21 (2). P. 89–93.

  35. Kuznetsov S.V. SH-waves in laminated plates // Quart. Appl. Math. 2006. V. 64 (1). P. 153–165. https://doi.org/10.1090/s0033-569x-06-00992-1

  36. Evans R.B. The decoupling of seismic waves // Wave Motion. 1986. V. 8 (4). P. 321–328.

  37. Kuznetsov S.V. Abnormal dispersion of Lamb waves in stratified media // Z. Angew. Math. Phys. 2019. V. 70. P. 175. https://doi.org/10.1007/s00033-019-1222-z

  38. Ilyashenko A. et al. SH waves in anisotropic (monoclinic) media // Z. Angew. Math. Phys. 2018. V. 69. P. 17. https://doi.org/10.1007/s00033-018-0916-y

  39. Goldstein R.V. Rayleigh waves and resonance phenomena in elastic bodies // J. Appl. Math. Mech. 1965. V. 29 (3). P. 608–619. https://doi.org/10.1016/0021-8928(65)90066-3

  40. Goldstein R.V., Kuznetsov S.V. Long-wave asymptotics of Lamb waves // Mech. Solids. 2017. V. 52. P. 700–707. https://doi.org/10.3103/S0025654417060097

  41. Argatov I., Iantchenko A. Rayleigh surface waves in functionally graded materials – long-wave limit // 2019. Quart. J. Mech. Appl. Math. V. 72 (2) P. 197–211. https://doi.org/10.1093/qjmam/hbz002

  42. Kaplunov J., Prikazchikov D. Asymptotic theory for Rayleigh and Rayleigh-type waves // Adv. Appl. Mech. 2017. V. 50. P. 1–106. https://doi.org/10.1016/bs.aams.2017.01.001

  43. Craster R.V., Joseph L.M., Kaplunov J. Long-wave asymptotic theories: The connection between functionally graded waveguides and periodic media // Wave Motion 2014. V. 51 (4). P. 581–588. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2013.09.007

  44. Wootton P.T., Kaplunov J., Prikazchikov D. A second order asymptotic model for Rayleigh waves on a linearly elastic half plane // IMA J. Appl. Math. 2020. V. 85 (1). P. 113–131. https://doi.org/10.1093/imamat/hxz037

  45. Djeran-Maigre I. et al. Solitary SH waves in two-layered traction-free plates // Comptes Rendus. Mec. 2008. V. 336 (1–2). P. 102–107. https://doi.org/10.1016/j.crme.2007.11.001

  46. Karman T., Duwez P. The propagation of plastic deformation in solids // J. Appl. Phys. 1950. V. 21. P. 987–994. https://doi.org/10.1063/1.1699544

  47. Knowles J. Impact-induced tensile waves in a rubberlike material // J. Appl. Math. 2002. V. 62. P. 1153–1175. /https://doi.org/10.1137/S0036139901388234

  48. Molinari A., Ravichandran G. Fundamental structure of steady plastic shock waves in metals // J. Appl. Phys. 2004. V. 95. P. 1718–1732. https://doi.org/10.1063/1.1640452

  49. Kuznetsova M., Khudyakov M., Sadovskii V. Wave propagation in continuous bimodular media // Mech. Adv. Mater. Struct. 2021. https://doi.org/10.1080/15376494.2021.1889725

  50. Hafskjold B., Bedeaux D., Kjelstrup S., Wilhelmsen Ø. Theory and simulation of shock waves: Entropy production and energy conversion // Phys. Rev. Ser. E. 2021. V. 104 (1). https://doi.org/10.1103/physreve.104.014131

  51. Ilyashenko A.V. et al. Pochhammer–Chree waves: polarization of the axially symmetric modes // Arch. Appl. Mech. 2018. V. 88. P. 1385–1394. https://doi.org/10.1007/s00419-018-1377-7

  52. Ilyashenko A.V. Pochhammer–Cree Longitudinal Waves: Anomalous Polarization // Mech. Solids. 2019. V. 54. P. 598–606. https://doi.org/10.3103/S0025654419040149

  53. Мокряков В.В. Максимумы напряжений в продольных волнах Похгаммера–Кри // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 5. С. 86–103. https://doi.org/10.1134/S057232991905012X

  54. Гаджибеков Т.А., Ильяшенко А.В. Теоретические аспекты применения волн Похгаммера–Кри к задачам определения динамического коэффициента Пуассона // Изв. РАН. МТТ. 2021. № 5. С. 113–126. https://doi.org/10.31857/S0572329921050044

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал