Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 3, стр. 8-15

КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛЕКСАНДРОВИЧА РЕШЕНИЙ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ В ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Д. В. Георгиевский abc*, Н. С. Стеценко ac**

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

b Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

* E-mail: georgiev@mech.math.msu.su
** E-mail: stetsenkonina@mail.ru

Поступила в редакцию 13.05.2021
После доработки 18.05.2021
Принята к публикации 24.05.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Обсуждаются аналитические возможности предложенного в 70-е годы XX века в работах А.И. Александровича представления решения в перемещениях в трехмерной теории упругости в виде двумерной комплексной структуры. Комплекснозначные перемещения ищутся в форме голоморфного разложения как ряды по степеням комплексных переменных с антиголоморфными коэффициентами и по степеням сопряженных комплексных переменных с голоморфными коэффициентами. Все голоморфные и антиголоморфные функции выражаются через четыре произвольные голоморфные функции. В качестве тестовых частных случаев, приводящих к известным в теории упругости классическим решениям, рассматриваются плоское деформированное состояние, антиплоская деформация, трехмерное деформированное состояние в тонкой пластинке переменной толщины, осесимметричные поля перемещений, реализующиеся, в частности, при линейной комбинации внутреннего (внешнего) давления, $(r\theta )$-кручения и осевого $(rz)$-сдвига в цилиндрическом слое и при $(\theta z)$-кручении сплошного цилиндра. В терминах комплекснозначных перемещений выписывается система уравнений осесимметричной теории упругости, фундаментальное решение которой является общим представлением поля перемещений в осесимметричном случае аналогично формулам Колосова–Мусхелишвили в плоской задаче.

Ключевые слова: трехмерная теория упругости, квазистатика, представление Александровича, комплексное перемещение, гармоническая функция, аналитическая функция, осесимметричное поле

Введение. Исторически аппарат теории функции комплексного переменного (ТФКП) начал привлекаться в механике сплошной среды прежде всего в плоских задачах теории упругости и при описании плоских течений идеальной несжимаемой жидкости [1, 2]. Вызвано это тем, что в соответствующих теориях естественно возникают гармонические функции двух переменных ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, имеющие вполне определенный физический смысл (в каждом из упомянутых случаев свой). Данным функциям можно дать интерпретацию как действительным частям некоторых аналитических комплекснозначных функций переменного $z = {{x}_{1}} + i{{x}_{2}}$. При этом мнимые части восстанавливаются с помощью условий Коши–Римана.

Методы ТФКП успешно применялись и в некоторых пространственных задачах теории упругости. В [3] описаны подходы, обобщены методы, реализованные в плоских задачах, и собраны результаты применительно к осесимметричным задачам теории упругости изотропной среды. В [4] в задаче о напряженно-деформированном состоянии в тонкой пластинке переменной толщины в трехмерной постановке дополнительно к двум классическим комплексным потенциалам Колосова–Мусхелишвили введен третий. Эта же методика применяется в анализе задачи Кирша в трехмерной постановке [5] и при наличии массовых сил [6].

Обратим здесь особое внимание на оригинальном подходе к системам уравнений трехмерной теории упругости в перемещениях в общем виде, связанном с работами [7, 8] Александра Ивановича Александровича (1947–2013). В них предложен метод решения, основанный на рассмотрении трехмерного тела в виде сечения четырехмерной области координатной гиперплоскостью. Это позволило записать уравнения равновесия Ламе в форме четырех дифференциальных уравнений. Добавление к этим уравнениям условия независимости искомых функций от четвертой координаты привело к расщеплению системы на три уравнения трехмерной теории упругости и уравнение Лапласа для четвертой компоненты. Четырехмерность дала возможность ввести в пространстве координат и смещений двумерную комплексную структуру. Комплекснозначные смещения ищутся в форме голоморфного разложения, т.е. в виде рядов по степеням комплексных переменных с антиголоморфными коэффициентами и по степеням сопряженных комплексных переменных с голоморфными коэффициентами. Показано, что все голоморфные и антиголоморфные функции выражаются через четыре произвольные голоморфные функции. Использование разложений в ряды или интегральных представлений этих функций позволило ставить и решать различные краевые задачи. В [912] метод развит на динамические, термоупругие и нелинейно-упругие (модель Синьорини) задачи, голоморфные разложения в которых имеют свои математические особенности.

Целью публикуемой работы является возродить интерес специалистов к комплексному представлению Александровича и возможностям анализа, которые оно дает, в частности, в осесимметричных задачах теории упругости.

1. Выражение перемещений через две комплекснозначные гармонические функции двух переменных. Согласно идеям работ [7, 8] решения в перемещениях ${{u}_{k}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ квазистатической системы уравнений Ламе

(1.1)
${{u}_{{l,lk}}} + (1 - 2\nu ){{u}_{{k,ll}}} = 0,\quad - 1 < \nu < 1{\text{/}}2$
для трехмерной сжимаемой упругой среды в отсутствии массовых сил являются составной частью, или специальным классом решений ${{u}_{p}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})$ системы четырех уравнений
(1.2)
${{u}_{{q,qp}}} + (1 - 2\nu ){{u}_{{p,qq}}} = 0$
дополненной требованиями

(1.3)
${{u}_{{p,4}}} = 0,\quad {{u}_{{4,kk}}} = 0$

По умолчанию здесь и далее индексы k и l меняются от 1 до 3, а индексы p и q от 1 до 4; по повторяющимся индексам производится суммирование.

Равенства (1.2) формально можно интерпретировать как квазистатическую систему уравнений Ламе для четырехмерной упругой среды с тем же, что и в (1.1), коэффициентом Пуассона $\nu $. Условия (1.3) говорят, что в сечении любой гиперплоскостью ${{x}_{4}} = x_{4}^{0}$ картина распределения перемещений ${{u}_{p}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},x_{4}^{0}) \equiv {{u}_{p}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ будет одной и той же. Не останавливаясь на физическом смысле вспомогательной гармонической функции ${{u}_{4}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$, заметим, что тройка функций ${{u}_{k}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$, удовлетворяющая (1.1), имеет смысл искомых перемещений в трехмерном пространстве.

Введем две комплексные переменные ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ и два зависящих от ${{z}_{1}}$, ${{\bar {z}}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, ${{\bar {z}}_{2}}$ комплексных перемещения ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$:

(1.4)
${{z}_{1}} = {{x}_{1}} + i{{x}_{2}},\quad {{z}_{2}} = {{x}_{3}} + i{{x}_{4}};\quad {{W}_{1}} = {{u}_{1}} + i{{u}_{2}},\quad {{W}_{2}} = {{u}_{3}} + i{{u}_{4}}$

Из независимости (1.3) перемешений от координаты ${{x}_{4}}$ сразу следует, что

(1.5)
${{W}_{{1;2}}} = {{W}_{{1;\bar {2}}}},\quad {{W}_{{2;2}}} = {{W}_{{2;\bar {2}}}}$
т.е. обе функции ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ зависят от суммы ${{z}_{2}} + {{\bar {z}}_{2}}$. Здесь и далее точка с запятой в индексе означает частное дифференцирование по ${{z}_{1}}$, ${{\bar {z}}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ либо ${{\bar {z}}_{2}}$, например ${{W}_{{1;1\bar {2}}}} \equiv {{\partial }^{2}}{{W}_{1}}{\text{/}}\partial {{z}_{1}}\partial {{\bar {z}}_{2}}$.

С учетом (1.5) компоненты ${{\varepsilon }_{{kl}}}$ тензора малых деформаций и дилатация $\theta = {{\varepsilon }_{{kk}}}$ имеют вид

$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{{11}}} = \frac{1}{2}({{W}_{{1;1}}} + {{W}_{{1;\bar {1}}}} + {{\overline W }_{{1;1}}} + {{\overline W }_{{1;\bar {1}}}}) \\ {{\varepsilon }_{{22}}} = \frac{1}{2}({{W}_{{1;1}}} - {{W}_{{1;\bar {1}}}} - {{\overline W }_{{1;1}}} + {{\overline W }_{{1;\bar {1}}}}) \\ \end{gathered} $
(1.6)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{{33}}} = {{W}_{{2;2}}} + {{\overline W }_{{2;\bar {2}}}},\quad {{\varepsilon }_{{12}}} = \frac{i}{2}({{\overline W }_{{1;1}}} - {{W}_{{1;\bar {1}}}}) \\ {{\varepsilon }_{{13}}} = \frac{1}{2}({{W}_{{1;2}}} + {{\overline W }_{{1;2}}}) + \frac{1}{4}({{W}_{{2;1}}} + {{W}_{{2;\bar {1}}}} + {{\overline W }_{{2;1}}} + {{\overline W }_{{2;\bar {1}}}}) \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{{23}}} = \frac{i}{2}( - {{W}_{{1;2}}} + {{\overline W }_{{1;2}}}) + \frac{i}{4}({{W}_{{2;1}}} - {{W}_{{2;\bar {1}}}} + {{\overline W }_{{2;1}}} - {{\overline W }_{{2;\bar {1}}}}) \\ \theta = {{W}_{{1;1}}} + {{\overline W }_{{1;\bar {1}}}} + {{W}_{{2;2}}} + {{\overline W }_{{2;\bar {2}}}} \\ \end{gathered} $

Компоненты тензора напряжений находятся на основании закона Гука, куда надо подставить соотношения (1.6).

Запишем в терминах функций W1 и W2 (1.4) четыре уравнения равновесия (1.2):

(1.7)
$\begin{gathered} (3 - 4\nu ){{W}_{{1;1\bar {1}}}} + {{\overline W }_{{1;\bar {1}\bar {1}}}} + 2(1 - 2\nu ){{W}_{{1;2\bar {2}}}} + {{W}_{{2;\bar {1}2}}} + {{\overline W }_{{2;\bar {1}\bar {2}}}} = 0 \\ (3 - 4\nu ){{W}_{{2;2\bar {2}}}} + {{\overline W }_{{2;\bar {2}\bar {2}}}} + 2(1 - 2\nu ){{W}_{{2;1\bar {1}}}} + {{W}_{{1;1\bar {2}}}} + {{\overline W }_{{1;\bar {1}\bar {2}}}} = 0 \\ \end{gathered} $

Введем также функции

(1.8)
$\alpha = \frac{1}{{2(1 - 2\nu )}}[(3 - 4\nu )({{W}_{{1;1}}} + {{W}_{{2;2}}}) + {{\overline W }_{{1;\bar {1}}}} + {{\overline W }_{{2;\bar {2}}}}],\quad \beta = {{W}_{{2;\bar {1}}}} - {{W}_{{1;\bar {2}}}}$
такие, что два уравнения (1.7) и два условия (1.5) можно представить в виде

(1.9)
${{\alpha }_{{;\bar {1}}}} - {{\beta }_{{;2}}} = 0,\quad {{\alpha }_{{;\bar {2}}}} + {{\beta }_{{;1}}} = 0$
(1.10)
${{\alpha }_{{;2}}} = {{\alpha }_{{;\bar {2}}}},\quad {{\beta }_{{;2}}} = {{\beta }_{{;\bar {2}}}}$

Из (1.9) следует, что каждая из функций α и β удовлетворяет уравнениям с одним и тем же оператором:

(1.11)
${{\alpha }_{{;1\bar {1}}}} + {{\alpha }_{{;2\bar {2}}}} = 0,\quad {{\beta }_{{;1\bar {1}}}} + {{\beta }_{{;2\bar {2}}}} = 0$

Для действительных и мнимых частей функций $\alpha $ и $\beta $ ($\alpha = {{\alpha }_{*}} + i{{\alpha }_{{**}}}$, $\beta = {{\beta }_{*}} + i{{\beta }_{{**}}}$) равенства (1.11) означают, что

(1.12)
$\alpha _{{*,pp}}^{{}} = \alpha _{{**,pp}}^{{}} = 0,\quad \beta _{{**,pp}}^{{}} = \beta _{{**,pp}}^{{}} = 0$
т.е. функции $\alpha _{*}^{{}}$, $\alpha _{{**}}^{{}}$, $\beta _{*}^{{}}$ и $\beta _{{**}}^{{}}$ гармонические по своим четырем переменным xp, а $\alpha $ и $\beta $ – комплекснозначные гармонические функции по ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$.

В [7, 8] $\alpha $ и $\beta $ выражаются через одну голоморфную функцию ${{\varphi }_{0}}({{z}_{1}},{{z}_{2}})$ в виде степенных рядов по ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ с коэффициентами, содержащими частные производные от ${{\varphi }_{0}}$ по ${{z}_{2}}$ и оператор, обратный частному дифференцированию по ${{z}_{1}}$. Соотношения (1.8) рассматриваются как уравнения относительно ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ с известными $\alpha $ и $\beta $ (точнее говоря, выраженными через ${{\varphi }_{0}}$). В результате общее решение в комплексных перемещениях ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ представляется зависящим от двух произвольных аналитических функций ${{\varphi }_{0}}({{z}_{1}},{{z}_{2}})$ и ${{\psi }_{0}}({{z}_{1}},{{z}_{2}})$. При этом отмечается, что классические краевые задачи теории упругости определяют пару функций ${{\varphi }_{0}}$ и ${{\psi }_{0}}$ неоднозначно, так что имеется класс пар голоморфных функций, дающих одно и то же решение выбранной задачи.

Остановимся далее на вопросе соответствия некоторых специальных классов решений трехмерной теории упругости и введенных комплекснозначных функций ${{W}_{1}}$, ${{W}_{2}}$, $\alpha $, $\beta $.

2. Плоское деформированное состояние и антиплоская деформация. Пусть

(2.1)
${{W}_{1}} = {{W}_{1}}({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}}),\quad {{W}_{2}} = {{W}_{2}}({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}})$

Тогда согласно (1.8)

(2.2)
$\alpha = \frac{1}{{2(1 - 2\nu )}}[(3 - 4\nu ){{W}_{{1;1}}} + {{\overline W }_{{1;\bar {1}}}}],\quad \beta = {{W}_{{2;\bar {1}}}}$

Соотношения (1.10) выполняются тождественно, а система (1.9) распадается на два несвязанные уравнения

(2.3)
${{\alpha }_{{;\bar {1}}}} = 0,\quad {{\beta }_{{;1}}} = 0$

Общее решение системы (2.2), (2.3) следующее:

(2.4)
${{W}_{1}}({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}}) = (3 - 4\nu ){{\varphi }_{1}}({{z}_{1}}) - {{z}_{1}}\overline {\varphi _{1}^{'}({{z}_{1}})} - \overline {{{\psi }_{1}}({{z}_{1}})} $
(2.5)
${{W}_{2}}({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}}) = {{\varphi }_{2}}({{z}_{1}}) + \overline {{{\psi }_{2}}({{z}_{1}})} $
(2.6)
$\alpha = 4(1 - \nu )\varphi _{1}^{'}({{z}_{1}}),\quad \beta = \overline {\psi _{2}^{'}({{z}_{1}})} $
где ${{\varphi }_{1}}$, ${{\psi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}}$ и ${{\psi }_{2}}$ – произвольные аналитические функции ${{z}_{1}}$.

Видно, что соотношение (2.4) с точностью до коэффициента $2\mu $ совпадает с формулой Колосова–Мусхелишвили для комплексного перемещения в плоском деформированном состоянии (в плоскости $({{x}_{1}}{{x}_{2}})$). Решение (2.5) описывает антиплоскую деформацию также в плоскости $({{x}_{1}}{{x}_{2}})$. Таким образом, рассматриваемый случай (2.1) – суперпозиция плоского и антиплоского деформированных состояний. Первое из них реализуется, когда ${{\varphi }_{2}} = {{\psi }_{2}} \equiv 0$, а второе, когда ${{\varphi }_{1}} = {{\psi }_{1}} \equiv 0$.

3. Деформированное состояние в тонкой пластинке переменной толщины. Рассмотрим зависимости

(3.1)
${{W}_{1}} = {{W}_{1}}({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}}),\quad {{W}_{2}} = ({{z}_{2}} + {{\bar {z}}_{2}})G({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}})$
автоматически удовлетворяющие (1.5) и соответствующие полю действительных перемещений ${{u}_{1}} = {{u}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, ${{u}_{2}} = {{u}_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, ${{u}_{3}} = {{x}_{3}}g({{x}_{1}},{{x}_{2}})$. Такое поле реализуется при напряженно-деформированном состоянии в тонкой пластинке переменной толщины, рассматриваемой в трехмерной постановке [4].

Из (3.1) и (3.2) имеем

(3.2)
$\frac{1}{{2(1 - 2\nu )}}[(3 - 4\nu )({{W}_{{1;1}}} + G) + {{\overline W }_{{1;\bar {1}}}} + \overline G ],\quad \beta = ({{z}_{2}} + {{\bar {z}}_{2}}){{G}_{{;\bar {1}}}}$

Уравнения равновесия (1.9) запишутся следующим образом

(3.3)
${{[(3 - 4\nu ){{W}_{{1;1}}} + {{\overline W }_{{1;\bar {1}}}} + G + \overline G ]}_{{;\bar {1}}}} = 0,\quad {{G}_{{;\bar {1}\bar {1}}}} = 0$

Общее решение системы (3.3)

(3.4)
$\begin{gathered} {{W}_{1}}({{z}_{1}},{{{\bar {z}}}_{1}}) = (3 - 4\nu ){{\varphi }_{3}}({{z}_{1}}) - {{z}_{1}}\overline {\varphi _{3}^{'}({{z}_{1}})} - \overline {{{\psi }_{3}}({{z}_{1}})} - \\ \, - \frac{1}{{4(1 - \nu )}}\left( {{{{\bar {z}}}_{1}}\varphi _{4}^{'}({{z}_{1}}) + \frac{{z_{1}^{2}}}{2}\overline {\varphi _{4}^{{''}}({{z}_{1}})} + {{\psi }_{4}}({{z}_{1}}) + {{z}_{1}}\overline {\psi _{4}^{'}({{z}_{1}})} } \right) \\ \end{gathered} $
(3.5)
$G({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}}) = {{\bar {z}}_{1}}\varphi _{4}^{{''}}({{z}_{1}}) + \psi _{4}^{'}({{z}_{1}})$
включает четыре произвольные аналитические функции ${{\varphi }_{3}}$, ${{\psi }_{3}}$, ${{\varphi }_{4}}$ и ${{\psi }_{4}}$ от ${{z}_{1}}$. В частном случае ${{\varphi }_{4}} = {{\psi }_{4}} \equiv 0$, $G \equiv 0$, означающем отказ от трехмерного рассмотрения напряженно-деформированного состояния, придем к совпадению выражений (3.4) и (2.4), т.е. к формуле Колосова–Мусхелишвили для плоской деформации. Отметим, что в работах [46], в частности, в задаче Кирша в комплексной постановке используются три комплексных потенциала.

4. Осесимметричные поля перемещений. Исходя из представления (1.4) нетрудно получить выражения через ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ для компонент ${{u}_{r}}$, ${{u}_{\theta }}$ и ${{u}_{z}}$ вектора перемещений в цилиндрических координатах

(4.1)
$\begin{gathered} {{u}_{r}} = {{u}_{1}}\frac{{{{x}_{1}}}}{r} + {{u}_{2}}\frac{{{{x}_{2}}}}{r} = \frac{1}{{4{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}[({{z}_{1}} + {{{\bar {z}}}_{1}})({{W}_{1}} + {{\overline W }_{1}}) - ({{z}_{1}} - {{{\bar {z}}}_{1}})({{W}_{1}} - {{\overline W }_{1}})] = \\ \, = \frac{1}{{2{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}({{z}_{1}}{{\overline W }_{1}} + {{{\bar {z}}}_{1}}{{W}_{1}}) = \frac{{({{{\bar {z}}}_{1}}{{W}_{1}})_{*}^{{}}}}{{{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}} \\ \end{gathered} $
(4.2)
$\begin{gathered} {{u}_{\theta }} = - {{u}_{1}}\frac{{{{x}_{2}}}}{r} + {{u}_{2}}\frac{{{{x}_{1}}}}{r} = \frac{i}{{4{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}[({{z}_{1}} - {{{\bar {z}}}_{1}})({{W}_{1}} + {{\overline W }_{1}}) - ({{z}_{1}} + {{{\bar {z}}}_{1}})({{W}_{1}} - {{\overline W }_{1}})] = \\ \, = \frac{i}{{2{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}({{z}_{1}}{{\overline W }_{1}} - {{{\bar {z}}}_{1}}{{W}_{1}}) = \frac{{({{{\bar {z}}}_{1}}{{W}_{1}})_{{**}}^{{}}}}{{{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}} \\ \end{gathered} $
(4.3)
${{u}_{z}} = {{u}_{3}} = \frac{1}{2}({{W}_{2}} + {{\bar {W}}_{2}}),$
где $r = \sqrt {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} $, $\theta = {\text{arctg}}({{x}_{2}}{\text{/}}{{x}_{1}})$, $z = {{x}_{3}}$.

Осесимметричность поля перемещений, или независимость ${{u}_{r}}$, ${{u}_{\theta }}$ и ${{u}_{z}}$ от угла $\theta $, означает, что функции ${{\bar {z}}_{1}}{{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ зависят от ${\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{\bar {z}}_{2}}$, а фактически в силу (1.3) от действительных переменных ${\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$ и ${{z}_{2}} + {{\bar {z}}_{2}}$. Следовательно,

(4.4)
${{W}_{1}} = {{z}_{1}}{{F}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}),\quad {{W}_{2}} = {{F}_{2}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}})$

Так как, например,

(4.5)
${{F}_{{1;1}}} = \frac{{{{{\bar {z}}}_{1}}}}{{2{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}\frac{{\partial {{F}_{1}}}}{{\partial {\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}} \equiv \frac{{{{{\bar {z}}}_{1}}}}{{2{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}{{F}_{{1;|1|}}},\quad {{F}_{{1;\bar {1}}}} = \frac{{{{z}_{1}}}}{{2{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}\frac{{\partial {{F}_{1}}}}{{\partial {\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}} \equiv \frac{{{{z}_{1}}}}{{2{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}{{F}_{{1;|1|}}}$
то имеем следующие выражения для $\alpha $ и $\beta $:

(4.6)
$\begin{gathered} \alpha = \frac{1}{{2(1 - 2\nu )}}\left[ {(3 - 4\nu )\left( {{{F}_{1}} + \frac{{{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}{2}{{F}_{{1;|1|}}} + {{F}_{{2;2}}}} \right) + {{{\overline F }}_{1}} + \frac{{{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}{2}{{{\overline F }}_{{1;|1|}}} + {{{\overline F }}_{{2;\bar {2}}}}} \right]\beta = \\ \, = {{z}_{1}}\left( {\frac{{{{F}_{{2;|1|}}}}}{{2{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}} - {{F}_{{1;\bar {2}}}}} \right) \\ \end{gathered} $

Видно, что $\alpha $ зависит только от ${\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{\bar {z}}_{2}}$, а $\beta $ есть произведение ${{z}_{1}}$ на некоторую функцию от ${\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{\bar {z}}_{2}}$.

Уравнения равновесия (1.9) после подстановки в них выражений (4.6) выглядят следующим образом:

(4.7)
$\begin{gathered} \frac{{3 - 4\nu }}{2}(3{{F}_{{1;|1|}}} + \;{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{F}_{{1;|1||1|}}}) + \frac{1}{2}(3{{\overline F }_{{1;|1|}}} + \;{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{\overline F }_{{1;|1||1|}}}) + 4(1 - 2\nu ){\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{F}_{{1;2\bar {2}}}} + {{F}_{{2;|1|2}}} + {{\overline F }_{{2;|1|\bar {2}}}} = 0 \\ {{F}_{{1;\bar {2}}}} + \frac{{{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}{2}{{F}_{{1;|1|\bar {2}}}} + {{\overline F }_{{1;\bar {2}}}} + \frac{{{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}}{2}{{\overline F }_{{1;|1|\bar {2}}}} + (3 - 4\nu ){{F}_{{2;2\bar {2}}}} + {{\overline F }_{{2;\bar {2}\bar {2}}}} + \\ \, + \frac{{1 - 2\nu }}{2}\left( {\frac{{{{F}_{{2;|1|}}}}}{{{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}}} + {{F}_{{2;|1||1|}}}} \right) = 0 \\ \end{gathered} $

Представляет несомненный теоретический интерес нахождение общего решения системы (4.7), имеющей довольно громоздкий и несимметричный вид. Приведем ниже несколько частных случаев, приводящих как к известным в осесимметричной теории упругости, так и новым классам решений в перемещениях.

5. Поле перемещений, зависящее только от r. Случай зависимости всех компонент ${{u}_{r}}$, ${{u}_{\theta }}$ и ${{u}_{z}}$ перемещений только от радиуса $r$ соответствует тому, что функции ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$, а следовательно, и ${{F}_{1}}$ и ${{F}_{2}}$ в (4.4) зависят только от ${\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$. Система (4.7) значительно упрощается и становится не связанной относительно ${{F}_{1}}$ и ${{F}_{2}}$:

(5.1)
$3{{F}_{{1;|1|}}} + \;{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{F}_{{1;|1||1|}}} = 0,\quad {{F}_{{2;|1|}}} + \;{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{F}_{{2;|1||1|}}} = 0$

Общее решение

(5.2)
${{F}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}) = {{c}_{1}} + \frac{{{{c}_{2}}}}{{{\text{|}}{{z}_{1}}{{{\text{|}}}^{2}}}},\quad {{F}_{2}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}) = {{c}_{3}} + {{c}_{4}}\ln {\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$
включает четыре произвольные комплекснозначные константы ${{c}_{1}}$, ${{c}_{2}}$, ${{c}_{3}}$ и ${{c}_{4}}$. По функциям ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ (4.4)
(5.3)
${{W}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}) = {{z}_{1}}\left( {{{c}_{1}} + \frac{{{{c}_{2}}}}{{{\text{|}}{{z}_{1}}{{{\text{|}}}^{2}}}}} \right),\quad {{W}_{2}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}) = {{c}_{3}} + {{c}_{4}}\ln {\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$
согласно определениям (1.4) и формулам (4.1) восстанавливается классическое одномерное поле перемещений:
(5.4)
${{u}_{r}} = c_{{1*}}^{{}}r + \frac{{c_{{2*}}^{{}}}}{r},\quad {{u}_{\theta }} = c_{{1**}}^{{}}r + \frac{{c_{{2**}}^{{}}}}{r},\quad {{u}_{z}} = c_{{3*}}^{{}} + c_{{4*}}^{{}}\ln r$
которое соответствует линейной комбинации внутреннего (внешнего) давления, $(r\theta )$-кручения и осевого $(rz)$-сдвига в цилиндрическом слое. Видно, что равенство нулю компоненты ${{u}_{\theta }}$ эквивалентно тому, что ${{F}_{1}}$ – вещественнозначная функция, а равенство нулю компоненты ${{u}_{r}}$ – тому, что значения ${{F}_{1}}$ лежат на мнимой оси.

Сюда же надо отнести случай осевого растяжения–сжатия сплошного цилиндра: ${{u}_{r}} = {{u}_{r}}(r)$, ${{u}_{\theta }} \equiv 0$, ${{u}_{z}} = {{u}_{z}}(z)$, в котором

(5.5)
${{F}_{1}} = {{F}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}),\quad {{F}_{1}} = {{\overline F }_{1}},\quad {{F}_{2}} = {{F}_{2}}({{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}),\quad \beta = 0$

Система уравнений равновесия сводится к требованиям ${{\alpha }_{{;\bar {1}}}} = 0$, ${{\alpha }_{{;\bar {2}}}} = 0$. Ее общее решение

(5.6)
${{F}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}) = {{c}_{5}} + \frac{{{{c}_{6}}}}{{{\text{|}}{{z}_{1}}{{{\text{|}}}^{2}}}},\quad {{F}_{2}}({{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) = {{c}_{7}} + {{c}_{8}}({{z}_{2}} + {{\bar {z}}_{2}})$
включает две вещественные константы ${{c}_{5}}$, ${{c}_{6}}$ и две комплекснозначные ${{c}_{7}}$, ${{c}_{8}}$. Функции ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ (4.4) имеют вид
(5.7)
${{W}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}) = {{z}_{1}}\left( {{{c}_{5}} + \frac{{{{c}_{6}}}}{{{\text{|}}{{z}_{1}}{{{\text{|}}}^{2}}}}} \right),\quad {{W}_{2}}({{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) = {{c}_{7}} + {{c}_{8}}({{z}_{2}} + {{\bar {z}}_{2}}),$
а компоненты ${{u}_{r}}(r)$ и ${{u}_{z}}(z)$ следующие
(5.8)
${{u}_{r}} = {{c}_{5}}r,\quad {{u}_{z}} = c_{{7*}}^{{}} + 2c_{{8*}}^{{}}z,$
где из соображений ограниченности ${{u}_{r}}$ при $r \to 0$ положено ${{c}_{6}} = 0$.

6. ${\mathbf{(}}\theta z{\mathbf{)}}$-кручение сплошного цилиндра. Полю перемещений с компонентами ${{u}_{r}} = {{u}_{z}} \equiv 0$, ${{u}_{\theta }} = {{u}_{\theta }}(r,z)$ в задаче о $(\theta z)$-кручении сплошного цилиндра соответствуют функции

(6.1)
${{F}_{1}} = {{F}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}),\quad {{\overline F }_{1}} = - {{F}_{1}},\quad {{F}_{2}} \equiv 0$

Второе уравнение (4.7) удовлетворяется тождественно, а из первого следует, что

(6.2)
${\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{F}_{{1;|1||1|}}} + 3{{F}_{{1;|1|}}} + 4{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{F}_{{1;2\bar {2}}}} = 0$

Разделение переменных в уравнении (6.2)

(6.3)
${{F}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) = {{Z}_{1}}({\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}){{Z}_{2}}({{z}_{2}} + {{\bar {z}}_{2}})$
приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
(6.4)
${\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{Z}_{{1;|1||1|}}} + 3{{Z}_{{1;|1|}}} + 4C{\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}{{Z}_{1}} = 0,\quad \frac{{{{d}^{2}}{{Z}_{2}}}}{{d{{{({{z}_{2}} + {{{\bar {z}}}_{2}})}}^{2}}}} - C{{Z}_{2}} = 0$
с произвольной вещественнозначной константой C. Случай C = 0, очевидно, приводит к линейной зависимости ${{u}_{\theta }}$ от $r$ и $z$, т.е. к классическому решению ${{u}_{\theta }} = \tau rz$ с постоянной круткой $\tau $. Как следует из (6.4), при $C \ne 0$ существуют, во всяком случае формально, и другие решения с экспоненциальными и тригонометрическими зависимостями ${{u}_{\theta }}$ от $z$. Физический смысл этих решений неочевидна и подлежит анализу.

Работа выполнена по теме государственного задания ИПМех РАН (№ госрегистрации АААА-А20-120011690136-2).

Список литературы

  1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

  2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

  3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. Применение методов теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1979. 464 с.

  4. Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного к некоторым пространственным задачам теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып 4. С. 659–669.

  5. Шарафутдинов Г.З. Решение задачи Кирша в трехмерной постановке // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2001. № 6. С. 20–25.

  6. Шарафутдинов Г.З. Функции комплексного переменного в задачах теории упругости при наличии массовых сил // ПММ. 2009. Т. 73. Вып 1. С. 69–87.

  7. Александрович А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных к теории упругости // Докл. АН СССР. 1977. Т. 232. № 3. С. 542–544.

  8. Александрович А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных к решению пространственных задач теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 2. С. 164–168.

  9. Александрович А.И. Исследование уравнений динамических задач теории упругости с помощью голоморфного разложения // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 1. С. 78–82.

  10. Александрович А.И., Родионов А.Ю. Исследование анизотропных и термоупругих задач методами комплексного анализа // Вопросы механики твердого и деформируемого тела. М.: Наука, 1987. С. 74–84.

  11. Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д.Ф. Решение уравнений трехмерной теории упругости методом голоморфного разложения комплексных перемещений по степенным функциям и функциям Бесселя // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 2. С. 31–41.

  12. Александрович А.И., Шеина А.А. Решение плоских граничных задач нелинейной теории упругости модели Синьорини с помощью теории функций комплексных переменных // Матем. моделирование. 2006. Т. 18. № 9. С. 43–53.

Дополнительные материалы отсутствуют.