Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 3, стр. 78-87

Введение. Одним из самых распространенных процессов в природе и технике являются колебательные процессы, которые моделируются волновым уравнением [1–3]. Многие процессы управления приводят к необходимости исследования многоточечных краевых задач управления и оптимального управления, в которых, наряду с классическими краевыми (начальным и конечным) условиями, заданы также неразделенные (нелокальные) многоточечные промежуточные условия, исследованые в работах [4–16]. Неразделенные многоточечные краевые задачи, с одной стороны, возникают как математические модели реальных процессов, а с другой стороны – из-за того, что для многих уравнений невозможна корректная постановка локальных краевых задач.

Многочисленные примеры технологических процессов, приводящих к задачам управления и оптимального управления в системах с распределенными параметрами, рассмотрены в [1–3], в которых предложены различные методы решения задач управления и оптимального управления, например, метод моментов, метод Фурье, метод гармоник. Задачи управления и оптимального управления колебательных процессов, как внешними, так и граничными управляющими воздействиями при различных типах граничных условий, рассмотрены в [7–11, 17–20, 22]. Задачи управления и оптимального управления распределенными системами с заданными неразделенными многоточечными (нелокальными) условиями в промежуточные моменты времени к настоящему времени мало исследованы.

Цель данной статьи состоит в разработке конструктивного подхода построения функции оптимального управляющего воздействия для управления колебаниями прямоугольной мембраны с заданными начальными, конечными условиями и неразделенными (нелокальными) значениями прогиба и скоростей точек мембраны в промежуточные моменты времени и с критерием качества, заданным на всем промежутке времени.

1. Постановка задачи. Рассмотрим однородную, упругую прямоугольную мембрану, края которой закреплены. Пусть на мембрану действуют распределенные силы с плотностью $u(x,y,t)$, перпендикулярные поверхности мембраны, под действием которых мембрана будет колебаться. Ограничимся рассмотрением малых колебаний мембраны.

Состояние мембраны описывается функцией $Q\left( {x,y,t} \right)$, $0 \leqslant x \leqslant b$, $0 \leqslant y \leqslant c$, $0 < t$ < T, подчиненной при $0 < x < b$, $0 < y < c$ и $0 < t < T$ следующему уравнению

с однородными граничными условиями и удовлетворяет начальным и конечным условиям

В правой части уравнения (1.1) функция $u(x,y,t)$ – плотность силы, которая является управляющим воздействием, ${{a}^{2}} = \frac{{{{T}_{0}}}}{{{\rho }}}$, где ${{T}_{0}}$ – натяжение, а ${{\rho }}$ – плотность мембраны.

Пусть в некоторые промежуточные моменты времени $0 = {{t}_{0}} < {{t}_{1}} < ... < {{t}_{m}} < {{t}_{{m + 1}}} = T$ на значения функции прогиба мембраны заданы неразделенные (нелокальные) условия в виде

где ${{f}_{k}}$ и ${{e}_{k}}$ – заданные величины $(k = 1,...,m)$, а ${{\alpha }}(x,y)$ и ${{\beta }}(x,y)$ – некоторые известные функции.

Предполагается, что ${{{{\varphi }}}_{0}}(x,y)$, ${{{{\psi }}}_{0}}(x,y)$, ${{{{\varphi }}}_{T}}(x,y)$, ${{{{\psi }}}_{T}}(x,y)$, ${{\alpha }}(x,y)$ и ${{\beta }}(x,y)$ заданные гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования.

Вообще может быть, что в некоторые моменты времени ${{t}_{k}}$ $(k = 1,...,m)$ в условиях (1.5), (1.6) присутствует или значение функции прогиба, или значение производной этой функции, т.е. необязательно, чтобы в каждый момент времени ${{t}_{k}}$ $(k = 1,...,m)$ в условиях (1.5), (1.6) одновременно присутствовали функции $Q(x,y,{{t}_{k}})$ и ${{\left. {\frac{{\partial Q(x,y,t)}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = {{t}_{k}}}}}$. В таких случаях будем считать, что в условиях (1.5), (1.6) соответствующие коэффициенты ${{f}_{k}}$ или ${{e}_{k}}$ равны нулю. В частности, предполагая, что ${{f}_{2}} = {{e}_{1}} = 0$, а ${{f}_{1}} = {{e}_{2}} = 1$, условия (1.5) и (1.6) принимают вид

Задачу оптимального управления колебаниями мембраны с заданными неразделенными значениями функции прогиба и скоростей в промежуточные моменты времени ${{t}_{k}}$ $(k = 1,...,m)$ можно сформулировать следующим образом: среди возможных управлений $u(x,y,\,t)$, ${\text{0}} \leqslant x \leqslant b$, ${\text{0}} \leqslant y \leqslant c$, $0 \leqslant t \leqslant T$ требуется найти оптимальное управляющее воздействие ${{u}^{0}}(x,y,t)$, переводящее колебания мембраны (1.1) с граничными условиями (1.2) из заданного начального состояния (1.3) в заданное конечное состояние (1.4), обеспечивая удовлетворение неразделенных многоточечных промежуточных условий (1.5), (1.6) и минимизирующее функционал

Предполагается, что система (1.1) при ограничениях (1.2)–(1.6) на промежутке времени $\left[ {0,\,T} \right]$ является вполне управляемой [5, 21].

2. Решение задачи. Поскольку граничные условия (1.2) однородны, то при каждом $t \in \left[ {0,T} \right]$ функция $Q(x,y,t)$ представима рядом Фурье по собственным функциям $\left\{ {sin\frac{{k{{\pi }}}}{b}x{\kern 1pt} sin\frac{{k{{\pi }}}}{c}y} \right\}$ $(k,{\kern 1pt} n = 1,{\kern 1pt} 2,...)$. Для построения решения поставленной задачи ищем решение уравнения (1.1) с граничными условиями (1.2) в виде

Очевидно, для определения $Q\left( {x,y,t} \right)$ достаточно определить ${{Q}_{{kn}}}\left( t \right)$ $k,n = 1,2, \ldots $. Представим функцию $u(x,y,t)$ в виде ряда Фурье

Подставим разложения (2.1), (2.2) в соотношения (1.1). В силу ортогональности системы собственных функций $\left\{ {\sin \frac{{k{{\pi }}}}{b}x\sin \frac{{n{{\pi }}}}{c}y} \right\}$, $\left( {k,n = 1,2, \ldots } \right)$ следует, что коэффициенты Фурье ${{Q}_{{kn}}}\left( t \right)$ удовлетворяют счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

и следующим начальным, неразделенным многоточечным промежуточным и конечным условиям: где через ${{Q}_{{kn}}}(t)$, ${{\varphi }}_{{kn}}^{{(0)}}$, ${{\psi }}_{{kn}}^{{(0)}}$, ${{\varphi }}_{{kn}}^{{(m + 1)}}$, ${{\psi }}_{{kn}}^{{(m + 1)}}$, ${{u}_{{kn}}}(t)$, ${{{{\alpha }}}_{{kn}}}$ и ${{{{\beta }}}_{{kn}}}$ обозначены коэффициенты Фурье, соответствующие функциям $Q\,(x,y,t)$, ${{{{\varphi }}}_{0}}(x,y)$, ${{{{\psi }}}_{0}}(x,y)$, ${{{{\varphi }}}_{{m + 1}}}(x,y)$, ${{{{\psi }}}_{{m + 1}}}(x,y)$, $u(x,y,t)$, ${{\alpha }}(x,y)$ и ${{\beta }}(x,y)$.

Общее решение уравнения (2.3) с начальными условиями (2.4) и его производная по времени имеют вид

Теперь, учитывая промежуточные неразделенные (2.5) и конечные (2.6) условия, из уравнения (2.7), получим, что функции ${{u}_{{kn}}}({{\tau }})$ для каждого k и n должны удовлетворять следующей системе равенств:

где

Введем следующие функции

Тогда интегральные соотношения (2.8) при помощи функции (2.10) запишутся следующим образом

Из полученного соотношения (2.11) следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение. Для каждой гармоники движение, описываемое управнением (2.3) с условиями (2.4)–(2.6), вполне управляемо тогда и только тогда, когда для любых заданных значений постоянных ${{C}_{{1kn}}}(T)$, ${{C}_{{2kn}}}(T)$, $C_{{1kn}}^{{(m)}}({{t}_{1}},\,...,\,{{t}_{m}}) = C_{{1kn}}^{{(m)}}$, $C_{{2kn}}^{{(m)}}({{t}_{1}},\,...,\,{{t}_{m}}) = C_{{2kn}}^{{(m)}}$ в (2.9) можно найти управление ${{u}_{{kn}}}(t)$ $t \in \left[ {0,\,T} \right]$, удовлетворяющее условию (2.11).

Учитывая разложение (2.2) и ортогональность системы собственных функций, минимизируемый функционал (1.7) запишется в виде:

Но так как для каждого $k,n = 1,\,2,...$ имеет место $\int\limits_0^T {u_{{kn}}^{2}({{\tau }})d{{\tau }} \geqslant 0} $, то минимизация функционала (1.7) равносильна минимизации функционалов

Таким образом, решение поставленной задачи оптимального управления (1.1)–(1.7) для каждого $k,n = 1,\,2,...$ сводится к нахождению такого оптимального управления $u_{{kn}}^{0}(t)$ $t \in \left[ {0,\,T} \right]$, которое удовлетворяет интегральным соотношениям (2.11) и доставляет минимум функционалу (2.12). Задачу оптимального управления при функционале (2.12) и с интегральными условиями (2.11) можно рассматривать как задачу условного экстремума из вариационного исчисления. Однако, как видно из обозначения (2.10), подынтегральная функция в соотношении (2.11) является разрывной, поэтому классические методы вариационного исчисления не применимы для исследования этой задачи [5, 21].

Отметим, что в силу линейности условий (2.11), порожденных функцией ${{u}_{{kn}}}(t)$ на промежутке времени $\left[ {0,\,T} \right]$, и того, что функционал (2.12) является нормой линейного нормированного пространства, решение полученной задачи оптимального управления (2.11), (2.12) целесообразно искать с помощью алгоритма решения проблемы моментов [5, 21].

Следуя [5, 21], для решения конечномерной проблемы моментов (2.11)–(2.12), нужно найти некоторые величины ${{p}_{{1kn}}},\;\,{{p}_{{2kn}}},\;\,{{q}_{{1kn}}},\;\,{{q}_{{2kn}}}$, $k,n = 1,\,2,\,.\,.\,.$ связанные условиями

для которых где

Для определения величин $p_{{1kn}}^{0},\;\,p_{{2kn}}^{0},\,\;q_{{1kn}}^{0},\,\;q_{{2kn}}^{0}$, $k,n = 1,\,2,\,.\,.\,.$ минимизирующих (2.14) с условиями (2.13) применим метод неопределенных множителей Лагранжа. Введем функцию

где ${{{{\gamma }}}_{{kn}}}$ – неопределенный множитель Лагранжа. На основе этого метода, вычисляя производные по ${{p}_{{1kn}}},\;\,{{p}_{{2kn}}},\;\,{{q}_{{1kn}}},\;\,{{q}_{{2kn}}}$, $k,n = 1,\,2,\,.\,.\,.$ функции $f({{p}_{{1kn}}},{{p}_{{2kn}}},{{q}_{{1kn}}},{{q}_{{2kn}}})$, и, приравнивая к нулю, получаем следующую систему алгебраических уравнений где приняты следующие обозначения:

Присоединяя к уравнениям (2.16) условие (2.13), получим замкнутую систему алгебраических уравнений относительно неизвестных величин ${{p}_{{1kn}}},\;\,{{p}_{{2kn}}},\;\,{{q}_{{1kn}}},\;\,{{q}_{{2kn}}}$, ${{{{\gamma }}}_{{kn}}}$ $k,n = 1,\,2,\,.\,.\,.$.

Введем следующие обозначения

и предположим, что ${{{{\Delta }}}_{{kn}}} \ne 0$. Тогда решение системы (2.16) с условием (2.13) можно представить в виде:

Здесь приняты следующие обозначения:

Подставляя из (2.18) значения для $p_{{1kn}}^{0},\,\;p_{{2kn}}^{0},\,\;q_{{1kn}}^{0},\,\;q_{{2kn}}^{0}$ в (2.15), получим

Имея оптимальную функцию $h_{{kn}}^{0}(t)$ из (2.14), с учетом (2.19), будем иметь

Таким образом, согласно [5, 21], искомое оптимальное управление $u_{{kn}}^{0}(t)$ определяется выражением:

Отметим, что согласно обозначениям (2.10) будем иметь

Подставляя значения функции ${{h}_{{1kn}}}(t)$, ${{h}_{{2kn}}}(t)$, $h_{{1kn}}^{{(m)}}(t)$, $h_{{2kn}}^{{(m)}}(t)$ в (2.19), получим

где

Таким образом, имея явное выражение функции $\tilde {h}_{{kn}}^{0}(t)$, из (2.20) получим оптимальную функцию $u_{{kn}}^{0}(t)$ для каждого $k,n = 1,\,2,\,.\,.\,.$. Далее подставляя оптимальную функцию $u_{{kn}}^{0}(t)$ в (2.7), получим $Q_{{kn}}^{0}(t)$ на промежутке времени $t \in \left[ {0,\,T} \right]$. Следовательно, из формулы (2.1) и (2.2) получим оптимальную функцию $Q{{\,}^{0}}(x,y,t)$ прогиба мембраны и оптимальное управление ${{u}^{0}}(x,y,t)$.

Таким образом, для оптимального управления будем иметь

Доказательство того, что построенные функции являются решением поставленной задачи сводится к проверке того, что ряд (2.1) и все двойные ряды, которые получаются из него почленным дифференцированием дважды по всем аргументам, сходятся равномерно. Для равномерной сходимости этих рядов достаточно получить оценку их коэффициентов. В ходе вычисления оценки общих членов указанных рядов (и полученного ряда для ${{u}^{0}}(x,y,t)$) получаются числовые ряды с положительными членами, которые мажорируют рассматриваемые ряды. Для абсолютной сходимости этих рядов достаточно потребовать, чтобы функции ${{\varphi }}(x,y)$, ${{\psi }}(x,y)$ удовлетворяли некоторым требованиям гладкости [22].

Заключение. Исследована задача оптимального управления колебаниями прямоугольной мембраны с заданными неразделенными значениями функции состояния в промежуточные моменты времени. Методом разделения переменных задача сведена к задаче оптимального управления счетного числа обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными, конечными и неразделенными многоточечными промежуточными условиями и с критерием качества, заданным на всем промежутке времени управления. Решение задачи построено с использованием методов теории оптимального управления конечномерными системами с многоточечными промежуточными условиями.