Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 4, стр. 89-97

ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ СПОСОБАХ ГАШЕНИЯ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ

Н. В. Баничук^a, С. Ю. Иванова^a, *

^a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

Поступила в редакцию 23.11.2020
После доработки 28.11.2020
Принята к публикации 03.12.2020

DOI: 10.31857/S0572329921040036

Аннотация

Рассматривается проблема активного подавления колебаний упругой панели, продольно движущейся в потоке идеальной жидкости. Уравнение динамики панели включает реакцию жидкости и внешнее механическое воздействие, служащее для реализации процесса демпфирования. Выводятся условия экстремальности гашения поперечных колебаний и оценивается эффективность оптимального распределения прикладываемых к панели усилий и оптимальной временной программы функционирования внешнего воздействия.

Ключевые слова: гидроупругая вибрация, гашение колебаний, оптимизация демпфирующих воздействий

1. Введение. Изучение процессов подавления колебаний связано с исследованием движения материалов с большой транспортной скоростью. Примеры таких процессов возникают в промышленности при производстве бумаги, стальных и текстильных полотен и др. Поэтому проблема подавления колебаний механических систем представляет не только теоретический, но и значительный прикладной интерес. Для систем с распределенными параметрами колебания и динамическая устойчивость изучались как в рамках самосопряженных (консервативных), так и несамосопряженных (неконсервативных) задач. Ранее возникающие в этом направлении вопросы рассматривались в работах [1–3]. Значительное внимание при этом уделялось проблемам колебаний деформируемых систем, взаимодействующих с жидкостью или газом (см., например, [4–6]). Отметим здесь задачи о гидроупругих взаимодействиях, основанные на точных выражениях для реакции жидкости [7–11]. Проблемы оптимизации движущихся упругих и вязкоупругих материалов, взаимодействующих с идеальной жидкостью, исследовались в [12–14].

Данная работа посвящена отысканию оптимальных способов подавления возникающих поперечных колебаний панели, движущейся в потоке идеальной жидкости, и оценке эффективности оптимальных распределений прикладываемых к панели усилий и оптимальных временных программ приложения внешних демпфирующих воздействий.

2. Уравнение поперечных колебаний панели в потоке идеальной жидкости. В безразмерных переменных $x{\kern 1pt} ' = x{\text{/}}l$, $t{\kern 1pt} ' = t{\text{/}}\tau $ ($l$ – половина длины пролета, $\tau $ – характерное время) уравнение поперечных колебаний движущейся поступательно и взаимодействующей с потоком жидкости панели записывается в безразмерном виде [15]

(2.1)

$\begin{gathered} L\left( w \right) \equiv {{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{t}^{2}}}} + 2\alpha \kappa \left( {1 + {{r}_{m}}{{r}_{v}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial t}} + \\ \, + [{{\kappa }^{2}}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1]\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \beta \frac{{{{\partial }^{4}}w}}{{\partial {{x}^{4}}}} = g\left( {x,t} \right),\quad \left( {x,t} \right) \in \Omega \\ \end{gathered} $

с учетом безразмерных параметров

(2.2)

$\begin{gathered} \alpha = \frac{1}{{\tau C}},\quad \beta = \frac{D}{{m{{C}^{2}}{{l}^{2}}}} = \frac{D}{{{{l}^{2}}T}},\quad \kappa = \frac{{{{V}_{0}}}}{C} \\ {{r}_{m}} = \frac{{{{m}_{a}}}}{m},\quad {{r}_{v}} = \frac{{{{v}_{\infty }}}}{{{{V}_{0}}}},\quad \gamma = \frac{{{{l}_{0}}}}{m}{{\rho }_{f}} \\ \end{gathered} $

причем $C = \sqrt {T{\text{/}}m} $ – характерная размерная скорость, $w\left( {x,t} \right)$ – поперечное перемещение, m – масса, приходящаяся на единицу площади панели, T – величина натяжения, D – изгибная жесткость, $g\left( {x,t} \right)$ – прикладываемое поперечное управляющее воздействие, ${{V}_{0}}$ – поступательная скорость панели, ${{v}_{\infty }}$ – скорость потока на бесконечности, $\Omega $ – заданная область: $\Omega = \left\{ {\left( {x,t} \right): - 1 \leqslant x \leqslant 1,{\text{ }}0 \leqslant t \leqslant {{t}_{f}}} \right\}$. Механическое воздействие, подавляющее поперечные колебания, задается в форме

(2.3)

$g\left( {x,t} \right) = \nu \left( x \right)f\left( t \right),\quad \left( {x,t} \right) \in \Omega $

где ν(x) задает геометрию прикладываемого воздействия, а f(t) – временная программа силового воздействия на панель.

3. Задача оптимизации. Рассматриваемая ниже задача оптимального подавления поперечных колебаний движущейся панели заключается в минимизации энергетического (квадратичного) функционала

(3.1)

${{J}_{g}} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{{\left\{ {{{\alpha }_{1}}{{w}^{2}} + {{\alpha }_{2}}{{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)}}^{2}}} \right\}}}_{{t = {{t}_{f}}}}}dx} $

характеризующего качество процесса демпфирования колебаний при ограничении на демпфирующее воздействие

(3.2)

${{J}_{\mu }} = \int\limits_\Omega {{{g}^{2}}\left( {x,t} \right)d\Omega \leqslant {{M}_{0}}} $

записываемом для удобства при помощи введения вспомогательной неизвестной $\theta $ в виде строгого равенства [16]

(3.3)

${{J}_{\mu }} - {{M}_{0}} + {{\theta }^{2}} = 0$

где ${{M}_{0}} > 0$ – заданная положительная константа, а ${{\alpha }_{1}} \geqslant 0$ и ${{\alpha }_{2}} \geqslant 0$ – заданные параметры.

При этом рассматриваются следующие начальные и граничные условия:

(3.4)

${{\left( w \right)}_{{t = 0}}} = {{g}_{1}}\left( x \right),\quad {{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)}_{{t = 0}}} = {{g}_{2}}\left( x \right),\quad x \in \left[ { - 1,1} \right]$

(3.5)

${{\left( w \right)}_{{x = - 1}}} = {{\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = - 1}}} = 0, \quad {{\left( w \right)}_{{x = 1}}} = {{\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = 1}}} = 0,\quad t \in \left[ {0,{{t}_{f}}} \right]$

в которых t_f – безразмерное время окончания процесса демпфирования колебаний, а ${{g}_{1}}(x)$ и ${{g}_{2}}(x)$ – заданные начальные возмущения.

Необходимые условия оптимальности процесса демпфирования колебаний сводятся к равенству нулю вариации расширенного функционала Лагранжа, то есть

(3.6)

$\delta J = \delta {{J}_{g}} + \delta {{J}_{a}} + \mu \left( {2\int\limits_\Omega {g\delta gd\Omega + 2\theta \delta \theta } } \right) = 0$

где μ – множитель Лагранжа, а вариации $\delta {{J}_{g}}$, $\delta {{J}_{a}}$ даются выражениями

(3.7)

$\delta {{J}_{a}} = \int\limits_\Omega {v\left[ {L\left( {\delta w} \right) - \delta g} \right]d\Omega } $

(3.8)

$\delta {{J}_{g}} = 2{{\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{{\alpha }_{1}}w\delta w + {{\alpha }_{2}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)\delta \left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)} \right]} }_{{t = {{t}_{f}}}}}dx$

Здесь $v = v\left( {x,t} \right)$ – введенная сопряженная переменная, удовлетворяющая по определению следующим граничным и начальным условиям:

(3.9)

${{\left( v \right)}_{{x = - 1}}} = {{\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = - 1}}} = 0,\quad {{\left( v \right)}_{{x = 1}}} = {{\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = 1}}} = 0$

(3.10)

${{\left( v \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}} = - \frac{{2{{\alpha }_{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}}{\text{,}}\quad x \in \left[ { - 1,1} \right]$

(3.11)

${{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}} = \frac{2}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}}{{\left[ {{{\alpha }_{1}}w - \frac{{2{{\alpha }_{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}{{r}_{v}}} \right)}}{{\alpha \left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial t\partial x}}} \right]}_{{t = {{t}_{f}}}}},\quad x \in \left[ { - 1,1} \right]$

Равенство (3.6) с учетом (3.7), (3.8) и проварьированных начальных и граничных условий (3.4), (3.5) и (3.9)–(3.11) приводит к сопряженному уравнению для переменной $v\left( {x,t} \right)$:

(3.12)

$\begin{gathered} L\left( v \right) = {{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{t}^{2}}}} + 2\alpha \kappa \left( {1 + {{r}_{m}}{{r}_{v}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial x\partial t}} + \\ \, + [{{\kappa }^{2}}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1]\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \beta \frac{{{{\partial }^{4}}v}}{{\partial {{x}^{4}}}} = 0,\quad \left( {x,t} \right) \in \Omega \\ \end{gathered} $

и условию экстремума

(3.13)

$\mu \theta = 0$

При этом

(3.14)

$\int\limits_\Omega {\left( {2\mu g\left( {x,t} \right) - v\left( {x,t} \right)} \right)\delta gd\Omega = 0} $

Условие (3.13) означает, что для неактивного ограничения (3.2), выполняющегося со знаком строгого неравенства (3.2), (3.3), следует, что $\theta \ne 0$. Соответствующий множитель Лагранжа в этом случае, как это следует из необходимого условия оптимальности (3.13), должен полагаться равным нулю. Тем самым, ограничение (3.2) в этом случае при отыскании оптимального решения не учитывается. Если же $\mu \ne 0$, то θ = 0, и соответствующее ограничение является «активным».

Вариация прикладываемого демпфирующего воздействия (2.3) имеет вид

(3.15)

$\delta g\left( {x,t} \right) = f\left( t \right)\delta \nu \left( x \right)$

если функция f(t), то есть программа подавления колебаний панели, является заданной. Варьируемой же переменной, искомой при оптимизации подавления колебаний и определяющей способ воздействия, является функция ν(x). При этом условие оптимальности для ν(x), как это следует из (3.6)–(3.8), (2.3), (3.15), записывается в форме

$2\mu \nu \left( x \right)\int\limits_0^{{{t}_{f}}} {{{f}^{2}}\left( t \right)dt - \,} \int\limits_0^{{{t}_{f}}} {v\left( {x,t} \right)f\left( t \right)dt = 0} $

и поэтому

(3.16)

$\nu \left( x \right) = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\int\limits_0^{{{t}_{f}}} {v\left( {x,t} \right)f\left( t \right)dt} } \right){{\left( {\int\limits_0^{{{t}_{f}}} {{{f}^{2}}\left( t \right)dt} } \right)}^{{ - 1}}}$

В случае заданного способа приложения демпфирующего воздействия, то есть заданной функции ν(x), и варьируемой временной программы искомого управляющего воздействия, подавляющего колебания, условие оптимальности приводит к следующему выражению для f(t) при $t \in \left[ {0,{{t}_{f}}} \right]$:

(3.17)

$f\left( t \right) = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {v\left( {x,t} \right)\nu \left( x \right)dx} } \right){{\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {{{\nu }^{2}}\left( x \right)dx} } \right)}^{{ - 1}}}$

Так, например, если заданное воздействие прикладывается на подынтервале [x₁, x₂], где $ - 1 \leqslant {{x}_{1}} < {{x}_{2}} \leqslant 1$, то

(3.18)

$\nu \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\nu }_{0}},\quad {{x}_{1}} \leqslant x \leqslant {{x}_{2}} } \\ {0,\quad - 1 \leqslant x \leqslant {{x}_{1}},\quad {{x}_{2}} \leqslant x \leqslant 1} \end{array}} \right.$

Здесь ${{\nu }_{0}}$, x₁, x₂– заданные константы.

Множитель Лагранжа $\mu $ в (3.16), определяемый согласно (2.3), (3.2), (3.3) и (3.16), вычисляется по формуле

(3.19)

${{\mu }^{2}} = \frac{1}{{4{{M}_{0}}}}\int\limits_{ - 1}^1 {{{{\left( {\int\limits_0^{{{t}_{f}}} {v\left( {x,t} \right)f\left( t \right)dt} } \right)}}^{2}}dx{{{\left( {\int\limits_0^{{{t}_{f}}} {{{f}^{2}}\left( t \right)dt} } \right)}}^{{ - 1}}}} $

а множитель Лагранжа μ в (3.17), как это следует из соотношений (2.3), (3.2), (3.3) и (3.17), определяется выражением

(3.20)

${{\mu }^{2}} = \frac{1}{{4{{M}_{0}}}}\int\limits_0^{{{t}_{f}}} {{{{\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {v\left( {x,t} \right)\nu \left( x \right)dx} } \right)}}^{2}}dt{{{\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {{{\nu }^{2}}\left( x \right)dx} } \right)}}^{{ - 1}}}} $

4. Алгоритм отыскания оптимального воздействия. Для отыскания способа оптимального гашения колебаний движущейся в потоке жидкости упругой панели предлагается итерационный алгоритм определения управляющих воздействий, основанный на применении выведенных условий экстремума и решении связанных терминальными условиями уравнений, определяющих распределения прогибов и сопряженной переменной. Алгоритм решения задачи оптимизации заключается в последовательном выполнении следующих итераций и шагов.

На первом шаге первой итерации алгоритма решается «прямая» задача, состоящая в интегрировании уравнений динамики (2.1) с граничными условиями (3.5) при $x = \pm 1$ и начальными условиями (3.4) при t = 0, описывающими начальные распределения перемещений w и скоростей $\partial w{\text{/}}\partial t$ при t = 0. На начальном этапе итерационного процесса при выполнении первого шага первой итерации в качестве демпфирующего воздействия задается некоторое неоптимальное управление ${{g}^{1}}\left( {x,t} \right)$, удовлетворяющее неравенству (3.2). На дальнейших этапах выполнения алгоритма в качестве управляющего воздействия на первом шаге принимается воздействие, получаемое из условий оптимальности на третьем шаге предыдущей итерации.

На втором шаге итерационного алгоритма с учетом найденного на первом шаге распределения $w\left( {x,{{t}_{f}}} \right)$ и соответствующих величин $\partial w{\text{/}}\partial t$ и ${{\partial }^{2}}w{\text{/}}\partial t\partial x$ при $t = {{t}_{f}}$, входящих в терминальные условия (3.10), (3.11), решается задача возвратного интегрирования сопряженного уравнения (3.12) с граничными условиями (3.9) и условиями (3.10), (3.11) в конечный момент времени, рассматриваемыми в качестве начальных условий при отыскании переменной $v\left( {x,t} \right)$.

На третьем шаге с применением найденного на втором шаге выражения для сопряженной переменной ${v}(x,t)$ и использованием условий экстремума (3.2), (3.3), (2.3), а также выражений (3.16), (3.19) или (3.17), (3.20) находится текущее приближение для оптимального демпфирующего воздействия $g\left( {x,t} \right)$, прикладываемого к панели. Полученное на третьем шаге итерационного процесса демпфирующее управление рассматривается в качестве «начального», и осуществляется переход к первому шагу следующей итерации алгоритма.

Завершение итерационного процесса происходит при выполнении условия ${{J}_{g}} \leqslant \varepsilon $, где $\varepsilon > 0$ – заданный малый параметр контроля точности итерационного процесса подавления колебаний.

Приведем некоторые детали реализации описанного алгоритма, основанной на методе Галёркина [17–19]. Представим искомые распределения поперечных перемещений панели $w\left( {x,t} \right)$ и сопряженной переменной ${v}\left( {x,t} \right)$ в виде рядов

(4.1)

$w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{n = 1}^{{{n}_{0}}} {{{q}_{n}}\left( t \right){{\Psi }_{n}}\left( x \right)} , \quad v\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{n = 1}^{{{n}_{0}}} {{{s}_{n}}\left( t \right){{\Psi }_{n}}\left( x \right)} $

где ${{q}_{n}}\left( t \right)$, ${{s}_{n}}\left( t \right)$ ($n = 1,2,...,{{n}_{0}}$) – неизвестные функции времени, подлежащие определению с использованием уравнений, определяющих w и $v$, а ${{\Psi }_{n}}\left( x \right)$ – функции формы, определяемые выражениями

(4.2)

${{\Psi }_{n}}\left( x \right) = \sin \left( {\frac{{n\pi }}{2}\left( {x + 1} \right)} \right),\quad x \in [ - 1,1]$

и удовлетворяющие граничным условиям (3.5) для $w$ и (3.9) для ${v}$ при $x = \pm 1$.

Для координатных функций ${{q}_{n}}\left( t \right)$ и ${{s}_{n}}\left( t \right)$ метода Галёркина получим обыкновенные дифференциальные уравнения, подставив (4.1), (4.2) в уравнения (2.1), (3.12) и умножив получающиеся соотношения на ${{\Psi }_{j}}\left( x \right)$ (j = 1, 2, …) с последующим интегрированием по $x \in [ - 1,1]$. Выполняя стандартные операции метода Галёркина [17–19], будем иметь две системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(4.3)

$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^{{{n}_{0}}} {\left\{ {{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right){{A}_{{jn}}}\frac{{{{d}^{2}}{{q}_{n}}}}{{d{{t}^{2}}}} + 2\alpha \kappa \left( {1 + {{r}_{m}}{{r}_{v}}} \right){{B}_{{jn}}}\frac{{d{{q}_{n}}}}{{dt}}} \right.} + \\ \left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} + \,([{{\kappa }^{2}}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1]{{C}_{{jn}}} + \beta {{D}_{{jn}}}){{q}_{n}}} \right\} - {{G}_{j}}\left( t \right) = 0 \\ \end{gathered} $

(4.4)

$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^{{{n}_{0}}} {\left\{ {{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right){{A}_{{jn}}}\frac{{{{d}^{2}}{{s}_{n}}}}{{d{{t}^{2}}}} + 2\alpha \kappa \left( {1 + {{r}_{m}}{{r}_{v}}} \right){{B}_{{jn}}}\frac{{d{{s}_{n}}}}{{dt}}} \right.} + \\ \left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} + \,([{{\kappa }^{2}}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1]{{C}_{{jn}}} + \beta {{D}_{{jn}}}){{s}_{n}}} \right\} = 0 \\ \end{gathered} $

Коэффициенты A_jn, ${{B}_{{jn}}}$, ${{C}_{{jn}}}$, ${{D}_{{jn}}}$ и функции ${{G}_{j}}\left( t \right)$ ($j = 1,2,...$) определяются выражениями [15]

$\begin{gathered} {{A}_{{jn}}} = {{\delta }_{{jn}}},\quad {{C}_{{jn}}} = - {{\left( {\frac{{j\pi }}{2}} \right)}^{2}}{{\delta }_{{jn}}},\quad {{D}_{{jn}}} = {{\left( {\frac{{j\pi }}{2}} \right)}^{4}}{{\delta }_{{jn}}},\quad {{G}_{j}}\left( t \right) = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\Psi }_{j}}g\left( {x,t} \right)dx} \\ {{B}_{{jn}}} = 0,\quad j = n;\quad {{B}_{{jn}}} = \frac{{nj}}{{{{n}^{2}} - {{j}^{2}}}}[{{\left( { - 1} \right)}^{{j + n}}} - 1],\quad j \ne n \\ \end{gathered} $

а начальные условия для q_j при $t = 0$ и условия для ${{s}_{j}}$ в конечный момент времени $t = {{t}_{f}}$ записываются в виде ($j = 1,2,...$)

(4.5)

${{\left( {{{q}_{j}}} \right)}_{{t = 0}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\Psi }_{j}}{{g}_{1}}\left( x \right)dx} ,\quad {{\left( {\frac{{d{{q}_{j}}}}{{dt}}} \right)}_{{t = 0}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\Psi }_{j}}{{g}_{2}}\left( x \right)dx} $

(4.6)

$\begin{gathered} {{\left( {{{s}_{j}}} \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}} = - \frac{{2{{{{\alpha }}}_{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}}{{\left( {\frac{{d{{q}_{j}}}}{{dt}}} \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}} \\ {{\left( {\frac{{d{{s}_{j}}}}{{dt}}} \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}} = \frac{2}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}}{{\left( {{{{{\alpha }}}_{1}}{{q}_{j}} - \frac{{2{{{{\alpha }}}_{2}}\kappa \left( {1 + {{r}_{m}}{{r}_{v}}} \right)}}{{\alpha \left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}}\sum\limits_{n = 1}^{{{n}_{0}}} {{{B}_{{jn}}}\frac{{d{{q}_{n}}}}{{dt}}} } \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}} \\ \end{gathered} $

Отметим некоторые свойства и обобщения используемого метода, приведенные в [17–19].

5. Пример оптимальной программы подавления колебаний. Рассмотрим случай задания $\nu \left( x \right)$ в виде (3.18) и отыскания программы прикладываемого воздействия, т.е. переменной f(t), согласно (3.17), (3.20), на временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{f}}} \right]$ (${{t}_{f}} > 0$ – заданный параметр). Предположим сначала, что ${{x}_{1}} = - 1$, ${{x}_{2}} = 1$ в (3.18), и проиллюстрируем процесс отыскания программы оптимального демпфирования, полагая для наглядности

(5.1)

$\begin{gathered} {{g}_{1}}\left( x \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {x + 1} \right)} \right),\quad {{g}_{2}}\left( x \right) = 0,\quad x \in \left[ { - 1,1} \right] \\ {{\alpha }_{1}} > 0,\quad {{\alpha }_{2}} = 0,\quad {{n}_{0}} = 1,\quad {{\Psi }_{1}}\left( x \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {x + 1} \right)} \right) \\ \end{gathered} $

На первом шаге рассматриваемого итерационного процесса при выполнении первой итерации примем

${{g}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {x,t} \right) = 0,\left( {x,t} \right) \in \Omega ;G_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right) = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\Psi }_{1}}{{g}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {x,t} \right)dx = 0,} t \in \left[ {0,{{t}_{f}}} \right]$

и проинтегрируем уравнение

(5.2)

$\frac{{{{d}^{2}}q_{1}^{{\left( 1 \right)}}}}{{d{{t}^{2}}}} + {{a}_{1}}q_{1}^{{\left( 1 \right)}} = 0,\quad {{a}_{1}} = \frac{{[{{\kappa }^{2}}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1]{{C}_{{11}}} + \beta {{D}_{{11}}}}}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right){{A}_{{11}}}}}$

с начальными условиями

(5.3)

${{(q_{1}^{{\left( 1 \right)}})}_{{t = 0}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\Psi }_{1}}{{g}_{1}}\left( x \right)dx} = 1,\quad {{\left( {\frac{{dq_{1}^{{\left( 1 \right)}}}}{{dt}}} \right)}_{{t = 0}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\Psi }_{1}}{{g}_{2}}\left( x \right)dx} = 0$

Имеем

(5.4)

$q_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right) = \cos (\sqrt {{{a}_{1}}} t),\quad t \in \left[ {0,{{t}_{f}}} \right]$

Используя это решение на втором шаге первой итерации алгоритма при возвратном интегрировании уравнения для $s_{1}^{{\left( 1 \right)}}$ с условиями в конечный момент времени $t = {{t}_{f}}$

$\frac{{{{d}^{2}}s_{1}^{{\left( 1 \right)}}}}{{d{{t}^{2}}}} + {{a}_{1}}s_{1}^{{\left( 1 \right)}} = 0,\quad {{(s_{1}^{{\left( 1 \right)}})}_{{t = {{t}_{f}}}}} = 0,\quad {{\left( {\frac{{ds_{1}^{{\left( 1 \right)}}}}{{dt}}} \right)}_{{t = {{t}_{f}}}}} = \frac{{2{{\alpha }_{1}}}}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}}{{(q_{1}^{{\left( 1 \right)}})}_{{t = {{t}_{f}}}}}$

находим

(5.5)

$\begin{gathered} s_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right) = \frac{Q}{{\sqrt {{{a}_{1}}} }}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} (t - {{t}_{f}})) = {{Q}_{1}}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} t) + {{Q}_{2}}\cos (\sqrt {{{a}_{1}}} t) \\ Q = \frac{{2{{\alpha }_{1}}\cos (\sqrt {{{a}_{1}}} {{t}_{f}})}}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right)}},\quad {{Q}_{1}} = \frac{{Q\cos (\sqrt {{{a}_{1}}} {{t}_{f}})}}{{\sqrt {{{a}_{1}}} }},\quad {{Q}_{2}} = - \frac{{Q\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} {{t}_{f}})}}{{\sqrt {{{a}_{1}}} }} \\ \end{gathered} $

При этом выражение для сопряженной переменной запишется в виде

(5.6)

${{{v}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {x,t} \right) = s_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right){{\Psi }_{1}}\left( x \right) = \frac{Q}{{\sqrt {{{a}_{1}}} }}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} \left( {t - {{t}_{f}}} \right))\sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {x + 1} \right)} \right)$

Применяемая на второй итерации программа демпфирующего воздействия находится при помощи соотношений (3.17), (3.20). Используя соотношение (3.18) для $\nu \left( x \right)$ при ${{x}_{1}} = - 1$, ${{x}_{2}} = 1$, а также выражения (3.17), (3.20) и (5.6), будем иметь

(5.7)

${{f}^{{\left( 2 \right)}}}\left( t \right) = \frac{{Q\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} (t - {{t}_{f}}))}}{{\mu \pi {{\nu }_{0}}\sqrt {{{a}_{1}}} }},\quad {{\mu }^{2}} = \frac{{2{{Q}^{2}}{{t}_{f}}}}{{{{\pi }^{2}}{{a}_{1}}{{M}_{0}}}}$

Используя множитель Лагранжа из формулы (5.7) для ${{f}^{{\left( 2 \right)}}}\left( t \right)$, будем иметь

(5.8)

${{f}^{{\left( 2 \right)}}}\left( t \right) = \frac{1}{{{{\nu }_{0}}}}{{\left( {\frac{{{{M}_{0}}}}{{2{{t}_{f}}}}} \right)}^{{1/2}}}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} (t - {{t}_{f}}))$

В более общем случае, когда демпфирующее воздействие ${{\nu }_{0}}{{f}^{{\left( 2 \right)}}}\left( t \right)$ прикладывается к участку панели $ - 1 \leqslant {{x}_{1}} \leqslant x \leqslant {{x}_{2}} \leqslant 1$ (см. (3.18)), приходим к выражениям

(5.9)

$\begin{gathered} {{f}^{{\left( 2 \right)}}}\left( t \right) = \frac{{Q\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{2}\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2}\left( {{{x}_{2}} + 1} \right)} \right)} \right]}}{{\mu \pi {{\nu }_{0}}\left( {{{x}_{2}} - {{x}_{1}}} \right)\sqrt {{{a}_{1}}} }}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} (t - {{t}_{f}})) \\ {{\mu }^{2}} = \frac{{{{Q}^{2}}{{t}_{f}}}}{{2{{\pi }^{2}}{{a}_{1}}{{M}_{0}}\left( {{{x}_{2}} - {{x}_{1}}} \right)}}{{\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{2}\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2}\left( {{{x}_{2}} + 1} \right)} \right)} \right]}^{2}} \\ \end{gathered} $

Применим найденное управление в форме (5.7) или (5.8) при интегрировании уравнения колебаний панели, записываемого в виде

(5.10)

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}q_{1}^{{(2)}}}}{{d{{t}^{2}}}} + {{a}_{1}}q_{1}^{{(2)}} + {{a}_{2}} = 0,\quad G_{1}^{{(2)}} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\Psi }_{1}}(x)} {{g}^{{(2)}}}\left( {x,t} \right)dx \\ {{a}_{2}}(t) = - \frac{{G_{1}^{{(2)}}\left( t \right)}}{{{{\alpha }^{2}}\left( {1 + {{r}_{m}}} \right){{A}_{{11}}}}} = - \frac{4}{\pi }{{\left( {\frac{{{{M}_{0}}}}{{2{{t}_{f}}}}} \right)}^{{1/2}}}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} (t - {{t}_{f}})) \\ \end{gathered} $

Находим

(5.11)

$\begin{gathered} q_{1}^{*}\left( t \right) \approx q_{1}^{{\left( 2 \right)}} = - \frac{{{{Q}_{0}}\cos (\sqrt {{{a}_{1}}} {{t}_{f}})}}{{4\mu \gamma _{1}^{2}a_{1}^{{3/2}}}}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} t) + \left\{ {1 - \frac{{{{Q}_{0}}\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} {{t}_{f}})}}{{4\mu \gamma _{1}^{2}a_{1}^{{3/2}}}}} \right\}\cos (\sqrt {{{a}_{1}}} t) - \\ \, - \frac{1}{{4\mu \gamma _{1}^{2}{{a}_{1}}}}\{ ({{Q}_{{01}}}\sqrt {{{a}_{1}}} t - {{Q}_{{02}}})\cos (\sqrt {{{a}_{1}}} t) - {{Q}_{{02}}}\sqrt {{{a}_{1}}} t\sin (\sqrt {{{a}_{1}}} t)\} \\ {{Q}_{0}} = \frac{{2{{\alpha }_{1}}}}{{{{\gamma }_{1}}}}q_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{t}_{f}}} \right),\quad {{Q}_{{01}}} = \frac{Q}{{\sqrt {{{a}_{1}}} }}\cos (\sqrt {{{a}_{1}}} {{t}_{f}}),\quad {{Q}_{{02}}} = - \sin (\sqrt {{{a}_{1}}} {{t}_{f}}) \\ \end{gathered} $

где ${{\gamma }_{1}} = 1 + \pi l{{\rho }_{f}}{\text{/}}4m$.

Оптимальное значение функционала качества дается выражением

(5.12)

$J_{g}^{*} = {{\left( {{{J}_{g}}} \right)}_{{g = g{\kern 1pt} *}}} = {{\alpha }_{1}}(q_{1}^{{\left( 2 \right)}})_{{t = {{t}_{f}}}}^{2}$

6. Пример определения оптимальной позиционной характеристики. Рассмотрим случай задания программы воздействия в виде $f\left( t \right) = {{f}_{0}}\sin \sqrt {{{a}_{1}}} \left( {t - {{t}_{f}}} \right)$ (f₀ – заданный параметр) и отыскания оптимальной позиционной характеристики, т.е. функции $\nu = \nu \left( x \right)$, определенной при $x \in \left[ { - 1,1} \right]$. При этом процесс отыскания ν(x) реализуется при тех же характеристиках и параметрах модели, что и в предыдущем примере (см. (5.1)). Непосредственно для нахождения ν(x) и соответственной величины множителя Лагранжа μ используются представленные ранее выражения (3.16), (3.19). Опуская промежуточные выкладки, будем иметь

(6.1)

$\nu \left( x \right) = \frac{Q}{{4\mu \sqrt {{{a}_{1}}} }}{{t}_{f}}\sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {x + 1} \right)} \right),\quad {{\mu }^{2}} = \frac{{Q{{t}_{f}}}}{{8{{M}_{0}}\sqrt {{{a}_{1}}} }}$

Соответствующее значение функционала качества процесса подавления колебаний определяется при помощи формулы (5.12).

7. Некоторые замечания и выводы. Описание поведения идеальной жидкости и процесса поперечных колебаний упругой панели представлено для различных способов закрепления краев панели и начального распределения ее положения и скоростей. При этом гидродинамическая реакция на произвольное расположение колеблющейся панели находится аналитическим методом теории функций комплексного переменного в виде интегрального потенциала, зависящего от текущих перемещений. Использование аналитического выражения для гидродинамической реакции существенно упрощает учет взаимодействия потока жидкости и движущейся упругой панели.

Качество процесса гашения колебаний оценивается интегральным энергетическим показателем (критерием), зависящим как от окончательного положения панели, так и от достигаемого распределения скоростей. Выведены условия экстремальности функционала качества и предложен итерационный метод построения программы эффективного гашения возникающих поперечных колебаний системы. Рассмотрены иллюстрирующие примеры определения оптимального приложения управляющих воздействий как во времени, так и позиционно.

Работа выполнена по теме госзадания (номер госрегистрации АААА-А20-120011690132-4) и при частичной финансовой поддержке Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 20-08-00082а).

Список литературы

Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.
Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961. 339 с.
Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк А.В. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация. М.: Наука, 1989. 262 с.
Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231–243.
Bisplinghoff R.L., Ashley H., Halfman R. Aeroelasticity. Cambridge : Addison-Wesley Publishing Company, 1955. 860 p. = Бисплингхоф Р.Л., Эшли Х., Халфмэн Р. Аэроупругость. М.: ИЛ, 1958. 800 с.
Болотин В.В., Гаврилов Ю.В., Макаров Б.П. и Швейко Ю.Ю. Нелинейные задачи устойчивости плоских панелей при больших сверхзвуковых скоростях // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 3. С. 3–14.
Баничук Н.В., Миронов А.А. Задачи оптимизации для пластин, колеблющихся в идеальной жидкости // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 3. С. 520–527.
Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. 256 с.
Ashley H., Landahl M. Aerodynamics of Wings and Bodies. New York: Dover Publ., 1965. 304 p.
Lighthill J. An informal introduction to theoretical fluid mechanics. Oxford: Scientific Publication, 1986. 260 p.
Banichuk N., Jeronen J., Neittaanmäki P., Saksa T., Tuovinen T. Mechanics of Moving Materials. Cham: Springer, 2014. 253 p.
Banichuk N., Barsuk A., Jeronen J., Tuovinen T., Neittaanmäki P. Stability of axially moving materials. Cham, Switzerland: Springer, 2020. 642 p.
Ashley H. On making things the best aeronautical uses of optimization // J. Aircr. 1982. V. 19. № 1. P. 5–28.
Banichuk N.V. Problems and methods of optimal structural design. New York: Plenum Press, 1983. 313 p.
Баничук Н.В., Иванова С.Ю. О подавлении поперечных колебаний упругой панели, продольно движущейся в потоке жидкости // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2020. Т. 492. С. 81–85.
Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986. 303 с.
Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. Т. 39 (81). № 1. С. 51–148.
Свирский И.В. Методы Бубнова–Галёркина и последовательных приближений. М.: Наука, 1968. 199 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал