Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 2, стр. 110-123

АНАЛИЗ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ С КОНТРОЛИРУЕМОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ В ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ (ТРАНСПОРТНО-ПУСКОВОЙ СТАКАН)

Ю. И. Виноградов *

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Москва, Россия

* E-mail: yuvino@rambler.ru

Поступила в редакцию 14.06.2019
После доработки 15.08.2019
Принята к публикации 04.09.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Выбор транспортно-пускового стакана (ТПС) для анализа концентрации напряжений в его элементах не снижает общности предлагаемой методики решения задач для других тонкостенных конструкций. ТПС представляет собой, как правило, цилиндрический стакан со сферическим днищем, у полюса которого – жесткая монтажная плита. ТПС нагружается внутренним давлением при испытании, по круглым площадкам сферического днища при транспортировке и внутренним давлением при пуске летательного аппарата с опорой на жесткую плиту. В работе для всех случаев нагружения предлагаются расчетные схемы и определяются места локализации напряжений в элементах ТПС, определяются размеры локализации и величина концентрации напряжений на основе математических моделей механики деформирования оболочек с априори заданной погрешностью, то есть аналитически.

Ключевые слова: оболочка, напряжения, локализация, распределение

1. Введение. Проблемы прочности тонкостенных конструкций по напряженно-деформированному состоянию имеют ярко выраженную специфику. Весовое совершенство конструкций может быть достигнуто только при равнопрочном состоянии всех элементов. Однако задача совершенствования не может иметь окончательного решения ввиду бесконечного многообразия возможных конструкций одного целевого назначения, условий изготовления, эксплуатации и возможных, порой непредсказуемых, внешних воздействий.

Практика эксплуатации тонкостенных конструкций показывает, что разрушение начинается в местах концентрации напряжений с образования и катастрофического развития трещин. Явление это носит выраженный локальный характер для каждой конкретной конструкции. Из опыта испытаний и эксплуатации места концентрации напряжений, как правило, известны. Они обусловлены скачками жесткостей, изломами геометрии тонкостенных элементов и локальными внешними воздействиями при передаче усилий в конструкциях. Избежать локальных воздействий и передачи нагрузок на тонкостенные элементы не удается. В таких случаях мы сталкивается с проблемой концентрации напряжений и их определение становится необходимым. Задача расчета сводится к определению размеров мест концентрации напряжений, характера распределения напряжений и, самое главное, максимальных значений напряжений в этих местах.

Концентрация напряжений как физическое явление требует математического моделирования и анализа математических моделей в виде дифференциальных уравнений. Если в качестве математических моделей использовать линейные дифференциальные уравнения механики деформирования оболочек [1], то актуальным остается построение эффективных методов их исследования с априори задаваемой погрешностью, то есть аналитически. Такие задачи решаются при проектировании ТПС. Решение для заданной конструкции не снижает общности методики для поставленных задач, так как исследуется влияние на концентрацию напряжений в оболочках скачка жесткости (жесткая плита – сферическая оболочка), излома геометрии (сферическая – цилиндрическая оболочка), локальное воздействие (по площадкам сферического днища).

2. Постановка задачи. Транспортно-пусковой стакан имеет следующие параметры.

Цилиндрическая оболочка выполнена из слоистого ортотропного композиционного материала. Относительные размеры оболочки ${{l}_{с}}{\text{/}}{{R}_{с}} = 1.6$ и ${{R}_{{\text{с}}}}{\text{/}}{{h}_{с}} = 25.92$. Относительное удлинение ${{l}_{с}}{\text{/}}{{R}_{с}}$ цилиндрической части ТПС значительно больше. Мы ограничились удлинением 1.6, так как уже при этом значении краевые условия не оказывали влияния на напряжения в местах их концентрации. Механические характеристики для слоистого пакета композиционного материала, которые получены экспериментально, имеют значения вдоль образующей оболочки E1 = 2.744 × × 104 МПа, ν12 = 0.11 и по окружной координате E2 = 3.332 × 104 МПа, ν21 = 0.14, а G = = 0.392 × 103 МПа.

Сферическая оболочка выполнена из титана – изотропного материала с механическими характеристиками E = 1.078 × 105 МПа, ν = 0.3, G = 4.15 × 104 МПа. Относительная толщина оболочки ${{R}_{{sf}}}{\text{/}}{{h}_{{sf}}} = 86$.

Расчеты выполнены для случаев эксплуатации ТПС, когда нагрузка приходила на малую площадку сферического днища, испытания ТПС внутренним давлением и пуска из него летательного аппарата. Расчетами определяли с контролируемой погрешностью, то есть аналитически, внутренние силовые факторы [1], возникающие в его элементах. Определяли напряжения и размеры мест их концентрации. Определяли влияние различных параметров ТПС на максимальные значения напряжений.

2.1. Расчетная схема транспортно пускового стакана и математическая модель механики деформирования. Расчетная схема для ТПС показана на рис. 1. lc, Rc, hc – длина, радиус, толщина цилиндрической оболочки; Rsf, hsf – радиус, толщина сферической оболочки; Rd – радиус абсолютно жесткого диска в полюсе сферической оболочки; R – расстояние от оси цилиндрической оболочки до центра площадок внешнего локального воздействия на сферическую оболочку; am – размер площадки нагружения оболочки силами P, направленными вдоль оси ТПС, и моментами M, действующими в меридиональной плоскости сферического днища ТПС. Здесь же показаны положительные направления перемещений и внутренних силовых факторов для оболочки.

Рис. 1

Безразмерные параметры ТПС и параметры нагрузки, которые принимались в расчетах, следующие

${{l}_{c}}{\text{/}}{{R}_{c}} = 1.6,\quad {{R}_{{\text{c}}}}{\text{/}}{{h}_{c}} = 25.92,\quad {{R}_{{sf}}}{\text{/}}{{h}_{{sf}}} = 86,\quad {{R}_{d}}{\text{/}}{{R}_{c}} = 0.46$
$R{\text{/}}{{R}_{c}} = 0.765,\quad {{a}_{m}}{\text{/}}{{R}_{d}} = 0.167$

Здесь am – радиус окружности площадок локального воздействия.

Результаты получены для площадок, очерченных линиями главных кривизн и круглых, при условии, что их площади одинаковые. Локальное воздействие на сферическое днище обусловлено креплением ТПС в походном состоянии.

Математическую модель Власова [1] в виде обыкновенных дифференциальных уравнений после разделения переменных методом Фурье механики деформирования цилиндрической оболочки представляем в матричном виде

(2.1)
$y{\kern 1pt} ' = Ay + f,\quad y = {\text{|}}{{u}_{n}},u_{n}^{'},{{{v}}_{n}},{v}_{n}^{'},{{w}_{n}},w_{n}^{'},w_{n}^{{''}},w_{n}^{{'''}}{{{\text{|}}}^{T}}$
(2.2)
$\begin{gathered} {{a}_{{12}}} = 1,\quad {{a}_{{21}}} = \frac{{1 - {v}}}{2}{{n}^{2}},\quad {{a}_{{24}}} = - \frac{{1 + {v}}}{2}n,\quad {{a}_{{26}}} = - {v},\quad {{a}_{{34}}} = 1,\quad {{a}_{{42}}} = \frac{{1 + {v}}}{{1 - {v}}}n \\ {{a}_{{43}}} = \frac{{2{{n}^{2}}}}{{1 - {v}}},\quad {{a}_{{45}}} = \frac{{2n}}{{1 - {v}}},\quad {{a}_{{56}}} = 1,\quad {{a}_{{67}}} = 1 \\ {{a}_{{78}}} = 1,\quad {{a}_{{82}}} = - \frac{{v}}{{{{c}^{2}}}},\quad {{a}_{{83}}} = - \frac{n}{{{{c}^{2}}}} \\ {{a}_{{85}}} = - \left( {{{n}^{4}} + \frac{1}{{{{c}^{2}}}}} \right),\quad {{a}_{{87}}} = 2{{n}^{2}} \\ \end{gathered} $

Физические соотношения c учётом представления погонных усилий T1, S, Q1 и M1 в виде рядов Фурье и добавлением тождеств un = un, ${{{v}}_{n}}$ = ${{{v}}_{n}}$, wn = wn, $w_{n}^{'}$ = $w_{n}^{'}$ представляем в матричной форме

(2.3)
$t = Gy,\quad t = {\text{|}}{{u}_{n}},{{{v}}_{n}},{{w}_{n}},w_{n}^{'},\overline {{{T}_{{1n}}}} ,\overline {{{S}_{n}}} ,\overline {{{Q}_{{1n}}}} ,\overline {{{M}_{{1n}}}} {{{\text{|}}}^{T}}$
(2.4)
$\begin{gathered} \overline {{{T}_{{{\text{1}}n}}}} = {{T}_{{{\text{1}}n}}}\frac{R}{B}{\text{,}}\quad \overline {{\text{ }}{{M}_{{{\text{1}}n}}}} = {{M}_{{{\text{1}}n}}}\frac{{{{R}^{2}}}}{D}{\text{,}}\quad \overline {{{Q}_{{{\text{1}}n}}}} = Q_{{{\text{1}}n}}^{*}\frac{{{{R}^{3}}}}{D}{\text{,}}\quad \overline {{{S}_{n}}} = S_{n}^{*}\frac{R}{B} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} $

Ненулевые элементы матрицы G имеют вид:

(2.5)
$\begin{gathered} {{g}_{{11}}} = 1,\quad {{g}_{{23}}} = 1,\quad {{g}_{{35}}} = 1,\quad {{g}_{{46}}} = 1 \\ {{g}_{{52}}} = 1,\quad {{g}_{{53}}} = n{v},\quad g55 = {v},\quad {{g}_{{61}}} = - \frac{{1 - {v}}}{2}n \\ {{g}_{{64}}} = \frac{{1 - {v}}}{2},\quad {{g}_{{66}}} = (1 - {v})n{{c}^{2}},\quad {{g}_{{76}}} = (2 - {v}){{n}^{2}},\quad {{g}_{{78}}} = - 1 \\ {{g}_{{85}}} = - {v}{{n}^{2}},\quad {{g}_{{87}}} = 1 \\ \end{gathered} $

При решении задач для каждого номера n гармоники определяются функциональные коэффициенты ${{u}_{n}}$, ${{{v}}_{n}}$, ${{w}_{n}}$, $w_{n}^{'}$, ${{T}_{{{\text{1}}n}}}$, $S_{т}^{*}$, $Q_{{{\text{1}}n}}^{*}$, ${{M}_{{{\text{1}}n}}}$ тригонометрических рядов искомых величин, характеризующих состояние сечения оболочки при ξ = const. Параметры ${{T}_{{2n}}}$ и ${{M}_{{2n}}}$ для сечения φ = const определяются из соотношений ${{\bar {T}}_{{1n}}} = d{{u}_{n}}{\text{/}}d\xi + \nu {\text{(}}n{{{v}}_{n}}$ + + wn), $\overline {{{T}_{{{\text{2}}n}}}} = {v}d{{u}_{n}}{\text{/}}d\xi + n{{{v}}_{n}} + {{w}_{n}}$

Тогда $\overline {{{T}_{{{\text{2}}n}}}} = {v}\overline {{{T}_{{{\text{1}}n}}}} + (1 - {{{v}}^{2}})(n{{{v}}_{n}} + {{w}_{n}}{\text{)}}$, а ${{\overline T }_{{\text{2}}}} = \sum\limits_n {\overline {{{T}_{{{\text{2}}n}}}} {\text{cos}}(n\varphi )} $

Аналогично, $\overline {{{M}_{{{\text{2}}n}}}} = {v}\overline {{{M}_{{{\text{1}}n}}}} + {{n}^{2}}({{{v}}^{2}} - 1){{w}_{n}}$, а $\overline {{{M}_{{\text{2}}}}} = \sum\limits_n {\overline {{{M}_{{{\text{2}}n}}}} {\text{cos}}(n\varphi )} $

Тригонометрические ряды метода Фурье разделения переменных начинаются при n = 1. Нулевой член n = 0 опущен, так как он соответствует осесимметричному нагружению и деформированию оболочки. При этом математическая модель – обыкновенные дифференциальные уравнения шестого порядка. При матричной записи уравнений ненулевые элементы матрицы А = $\left\| {aij} \right\|_{1}^{6}$ определяются из матрицы А = $\left\| {aij} \right\|_{1}^{8}$, если положить n = 0,а из столбца у исключить ${{{v}}_{n}} = 0$ и ${v}_{n}^{'} = 0.$ Тогда

(2.6)
${{a}_{{12}}} = 1,\quad {{a}_{{24}}} = - {v},\quad {{a}_{{34}}} = 1,\quad {{a}_{{45}}} = 1,\quad {{a}_{{56}}} = 1,\quad {{a}_{{62}}} = - \frac{{v}}{{{{c}^{2}}}},\quad {{a}_{{63}}} = - \frac{1}{{{{c}^{2}}}}$

Аналогично определяются ненулевые элементы матрицы G = $\left\| {{{g}_{{ij}}}} \right\|_{1}^{6}$

(2.7)
${{g}_{{11}}} = 1,\quad {{g}_{{23}}} = 1,\quad {{g}_{{34}}} = 1,\quad {{g}_{{42}}} = 1,\quad {{g}_{{43}}} = \nu ,\quad {{g}_{{56}}} = - 1,\quad {{g}_{{65}}} = 1$

Математическая модель механики деформирования сферической оболочки также как и цилиндрической записывается в матричном виде с переменными элементами матрицы A(θ). Ненулевые элементы матриц А(θ) и G(θ) уравнений (2.1) и (2.3) имеют вид:

$\begin{gathered} {{a}_{{12}}} = 1,\quad {{a}_{{21}}} = \frac{{1 - {v}}}{2}\frac{{{{n}^{2}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }} + {v} + {\text{ct}}{{{\text{g}}}^{2}}\theta \\ {{a}_{{22}}} = - {\text{ctg}}\theta ,\quad {{a}_{{23}}} = \frac{{(3 - {v})n}}{{2{\text{sin}}\theta }}{\text{ctg}}\theta \\ {{a}_{{24}}} = - {{\frac{{(1 + {v})n}}{{2{\text{sin}}\theta }}}_{{26}}} - (1 + {v}),\quad {{a}_{{34}}} = 1 \\ \end{gathered} $
(2.8)
$\begin{gathered} {{a}_{{41}}} = \frac{{(3 - {v})n}}{{(1 - \nu ){\text{sin}}\theta }}{\text{ctg}}\theta ,\quad {{a}_{{42}}} = \frac{{(1 + {v})n}}{{(1 - {v}){\text{sin}}\theta }} \\ {{a}_{{43}}} = \frac{{2{{n}^{2}}}}{{(1 - {v}){\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }} - 1 + {\text{ct}}{{{\text{g}}}^{2}}\theta ,\quad {{a}_{{44}}} = - {\text{ctg}}\theta \\ {{a}_{{45}}} = \frac{{2n(1 + {v})}}{{(1 - {v}){\text{sin}}\theta }},\quad {{a}_{{56}}} = 1,\quad {{a}_{{67}}} = 1 \\ {{a}_{{78}}} = 1,\quad {{a}_{{81}}} = - \frac{{1 + {v}}}{{{{c}^{2}}}}{\text{ctg}}\theta ,\quad {{a}_{{82}}} = - \frac{{1 + {v}}}{{{{c}^{2}}}},\quad {{a}_{{83}}} = - \frac{{n(1 + {v})}}{{{{c}^{2}}{\text{sin}}\theta }} \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{a}_{{85}}} = \frac{{{{n}^{2}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }}\left[ {2 + \frac{{2 - {{n}^{2}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }} + 2{\text{ct}}{{{\text{g}}}^{2}}\theta } \right] - \frac{{2(1 + {v})}}{{{{c}^{2}}}} \\ {{a}_{{86}}} = \left[ { - 2 - (2{{n}^{2}} + 1)\frac{1}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }}} \right]{\text{ctg}}\theta \\ {{a}_{{87}}} = - 1 + \frac{{2{{n}^{2}} + 1}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }},\quad {{a}_{{88}}} = - 2{\text{ctg}}\theta \\ \end{gathered} $
(2.9)
$\begin{gathered} {{g}_{{11}}} = 1,\quad {{g}_{{23}}} = 1,\quad {{g}_{{35}}} = 1,\quad {{g}_{{46}}} = 1,\quad {{g}_{{51}}} = {v}{\text{ctg}}\theta \\ {{g}_{{52}}} = 1,\quad {{g}_{{53}}} = \frac{{n{v}}}{{{\text{sin}}\theta }},\quad {{g}_{{55}}} = 1 + {v} \\ {{g}_{{61}}} = - \frac{{(1 - {v})n}}{{2{\text{sin}}\theta }},\quad {{g}_{{63}}} = - \frac{{(1 - {v}){\text{ctg}}\theta }}{2} \\ {{g}_{{64}}} = \frac{{1 - {v}}}{2},\quad {{g}_{{65}}} = - \frac{{{{c}^{2}}(1 - {v})n}}{{{\text{sin}}\theta }}{\text{ctg}}\theta \\ {{g}_{{66}}} = \frac{{(1 - {v})n{{c}^{2}}}}{{{\text{sin}}\theta }},\quad {{g}_{{75}}} = - \frac{{(3 - {v}){{n}^{2}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }}{\text{ctg}}\theta \\ {{g}_{{76}}} = {v} + {\text{ct}}{{{\text{g}}}^{2}}\theta - \frac{{({v} - 2){{n}^{2}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }},\quad {{g}_{{77}}} = - {\text{ctg}}\theta \\ {{g}_{{78}}} = - 1,\quad {{g}_{{85}}} = - \frac{{{v}{{n}^{2}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }},\quad {{g}_{{86}}} = {v}{\text{ctg}}\theta ,\quad {{g}_{{87}}} = 1 \\ \end{gathered} $

При этом

$\begin{gathered} \overline {{{T}_{{2n}}}} = {v}\overline {{{T}_{{1n}}}} + (1 - {{{v}}^{2}})\left( {{\text{ctg}}\theta {{u}_{n}} + {{w}_{n}} + \frac{n}{{{\text{sin}}\theta }}{{{v}}_{n}}} \right) \\ \overline {{{M}_{{2n}}}} = {v}\overline {{{M}_{{1n}}}} + (1 - {{{v}}^{2}})\left( {{\text{ctg}}\theta \frac{{d{{w}_{n}}}}{{d\theta }} - \frac{{{{n}^{2}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }}{{w}_{n}}} \right) \\ \end{gathered} $

При решении задач механики осесимметричного деформирования сферических оболочек ненулевые элементы матриц А(θ) и G(θ) имеют вид:

(2.10)
$\begin{gathered} {{a}_{{12}}} = 1,\quad {{a}_{{21}}} = {v} + {\text{ct}}{{{\text{g}}}^{2}}\theta ,\quad {{a}_{{22}}} = - {\text{ctg}}\theta \\ {{a}_{{24}}} = - (1 + {v}),\quad {{a}_{{34}}} = 1,\quad {{a}_{{45}}} = 1,\quad {{a}_{{56}}} = 1 \\ {{a}_{{61}}} = - \frac{{1 + {v}}}{{{{c}^{2}}}}{\text{ctg}}\theta ,\quad {{a}_{{62}}} = - \frac{{1 + {v}}}{{{{c}^{2}}}} \\ {{a}_{{63}}} = - \frac{{2(1 + {v})}}{{{{c}^{2}}}},\quad {{a}_{{64}}} = - \left( {2 + \frac{1}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }}} \right){\text{ctg}}\theta \\ {{a}_{{65}}} = - 1 + \frac{1}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta }},\quad {{a}_{{66}}} = - 2{\text{ctg}}\theta \\ {{g}_{{11}}} = 1,\quad {{g}_{{23}}} = 1,\quad {{g}_{{34}}} = 1,\quad {{g}_{{41}}} = {v}{\text{ctg}}\theta , \\ {{g}_{{42}}} = 1,\quad {{g}_{{43}}} = 1 + {v},\quad {{g}_{{54}}} = {v} + {\text{ct}}{{{\text{g}}}^{2}}\theta \\ {{g}_{{55}}} = - {\text{ctg}}\theta ,\quad {{g}_{{56}}} = - 1,\quad {{g}_{{64}}} = {v}{\text{ctg}}\theta ,\quad {{g}_{{65}}} = 1 \\ \end{gathered} $

Математическая модель механики деформирования ортотропной цилиндрической оболочки не приводится. Основанием является то, что ее использование существенно не сказалось на интересующих нас результатах исследований.

2.2. Математическое моделирование локальной нагрузки. Моделирование площадки локального нагружения, границы которой не совпадают с линиями главных кривизн, следующее [2].

Допустим, что граница площадки приложения нагрузки в области изменения координат s, $\varphi $ (${{s}_{0}} \leqslant s \leqslant {{s}_{l}}$, $0 \leqslant \varphi \leqslant 2{\pi }$) исходной поверхности описывается уравнением $F(s,\varphi )$ = 0 для ${{s}_{1}} \leqslant s \leqslant {{s}_{2}}$, ${{\varphi }_{1}} \leqslant \varphi \leqslant {{\varphi }_{2}}$. Кривая $F(s,\varphi ) = 0$ допускает разбиение на отдельные участки, на которых ее уравнение может быть записано различным образом. Уравнение $F(s,\varphi ) = 0$ разрешается относительно φ. В данном случае рассматриваемую кривую, ограничивающую поверхность приложения нагрузки, целесообразно представлять состоящей из двух участков, описываемых уравнениями ${\varphi } = {{f}_{1}}(s)$ и ${\varphi } = {{f}_{2}}(s)$, рис. 2.

Рис. 2

Эти функции могут быть представлены различными выражениями для различных интервалов изменения аргумента s.

Для определения элементов столбца ${{{\mathbf{f}}}_{n}}(S)$ правой части дифференциального уравнения, необходимо действующую по заданной площадке нагрузку разложить в ряд Фурье по окружной координате φ.

Приложенную нагрузку ${{q}_{x}}(s,\varphi )$ представляют в виде:

(2.11)
${{q}_{x}}(s,\varphi ) = \frac{{{{A}_{0}}(s)}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {{{A}_{n}}(s){\text{cos}}(n\varphi ) + {{B}_{n}}(s){\text{sin}}(n\varphi )} \right]} $
где коэффициенты ${{A}_{n}}(s)$, ${{B}_{n}}(s)$определяют следующим образом

(2.12)
${{A}_{n}}(s) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{{{f}_{2}}(s)}^{{{f}_{1}}(s)} {q(s,\varphi ){\text{cos}}(n\varphi )d\varphi ,\quad {{B}_{n}}(s) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{{{f}_{2}}(s)}^{{{f}_{1}}(s)} {q(s,\varphi )} {\text{sin}}(n\varphi )d\varphi } $

Очевидно, что в (2.12) пределы интегрирования являются функциями от s. Коэффициенты An, Bn зависят от меридиональной координаты s, что усложняет решение рассматриваемой задачи по сравнению со случаем, когда оболочка нагружена по площадке, ограниченной координатными линиями.

3. Метод решения. 3.1. Однородное дифференциальное уравнение. Решение однородного уравнения (2.1) с постоянными элементами матрицы A механики деформирования цилиндрической оболочки, длина которой $\Delta x = {{x}_{n}} - {{x}_{0}}$, определяется аналитически формулой [3]

(3.1)
${\mathbf{K}}_{{{{x}_{0}}}}^{{{{x}_{n}}}}(A) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{{{{({\mathbf{A}}\Delta x)}}^{m}}}}{{m!}}} ,\quad \Delta x = {{x}_{n}} - {{x}_{0}}$
в виде сходящегося ряда, который является разложением матричной экспоненты в ряд Тейлора.

Для сферической оболочки с переменными элементами матрицы A(θ) – аналитически формулой [3]

(3.2)
${\mathbf{K}}_{{{{x}_{0}}}}^{{{{x}_{n}}}}({\mathbf{A}}(x)) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{{{{({\mathbf{B}}\Delta {{x}_{i}})}}^{m}}}}{{m!}}} $
${\mathbf{B}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\mathbf{A}}({{\tau }_{i}})} ,\quad \Delta {{x}_{i}} = \frac{{\Delta x}}{n},\quad \Delta x = {{x}_{n}} - {{x}_{0}},\quad {{\tau }_{i}} \in ({{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}),\quad {\text{ }}i = 1,\;2,\; \ldots ,\;n$

3.2. Частное решение. Частное решение для правой части неоднородного дифференциального уравнения определяется аналитически формулой

(3.3)
${{y}^{ * }}_{{{{x}_{0}}}}^{{{{x}_{n}}}} = {\mathbf{K}}_{{{{x}_{0}}}}^{{{{x}_{n}}}}({\mathbf{A}}(x))\sum\limits_{i = 1}^{i = n} {{{{{\mathbf{\bar {T}}}}}_{i}}{{{\mathbf{f}}}_{i}}\Delta {{x}_{i}},\quad {{{{\mathbf{\bar {T}}}}}_{i}} = {\mathbf{E}} - \frac{{{{{\mathbf{A}}}_{i}}\Delta {{x}_{i}}}}{{2!}} + \frac{{{{{({{{\mathbf{A}}}_{i}}\Delta {{x}_{i}})}}^{2}}}}{{3!}} - \frac{{{{{({{{\mathbf{A}}}_{i}}\Delta {{x}_{i}})}}^{3}}}}{{4!}} + \; \ldots } $

Если в дифференциальном уравнении A(θ) = A = const, f(θ) = f = const, то для основного интервала [x0, xn] [4]

(3.4)
$y_{{{{x}_{0}}}}^{{ * {{x}_{n}}}} = {\mathbf{Tf}}\Delta x,\quad {\mathbf{T}} = {\mathbf{E}} + \frac{{{\mathbf{A}}\Delta x}}{{2!}} + \frac{{{{{({\mathbf{A}}\Delta x)}}^{2}}}}{{3!}} + \frac{{{{{({\mathbf{A}}\Delta x)}}^{3}}}}{{4!}} + \; \ldots ,\quad \Delta x = {{x}_{n}} - {{x}_{0}}$

Аналитические решения дифференциальных уравнений в виде матриц функций Коши–Крылова [5, 6] обладают мультипликативным свойством [7], положенным в основу алгоритмов исследования концентрации напряжений в ТПС.

4. Анализ результатов. 4.1. Исследование концентрации напряжений в днище. Для исследования концентрации напряжений в сферическом днище ТПС от локального воздействия только силами P и только моментами M принимались различные расчетные схемы, которые показаны на рис. 1 и рис. 3.

Рис. 3

Концентрацию напряжений исследовали различными алгоритмами. Для расчетной схемы на рис. 1 напряженно деформированное состояние исследовали мультипликативным методом [8], когда краевая задача приводились к начальной у мест концентрации напряжений: концентрация напряжений определялась решением начальной задачи мультипликативным методом [9].

Напряжения в местах их концентрации исследовали простейшими методами приведения краевых задач к начальным [8]. Начальные условия формировали на краю сферической оболочки. Расчетная схема показана на рис. 3. Сравнительный численный анализ показал, что форма площадки не влияет на концентрацию и величину напряжений.

Напряжения были получены мультипликативным методом решения краевых задач, приведением краевых задач к начальным у места концентрации напряжений по расчетной схеме на рис. 1 и приведением краевой задачи к начальной по расчетной схеме на рис. 3. Они практически совпали. Следует вывод, что напряжения в сферической оболочке от локального воздействия не зависят от напряженно-деформированного состояния сопряженной цилиндрической оболочки. Расчеты выполняли как для ортотропной цилиндрической оболочки, так и выполненной из титана. Замена материала цилиндрической оболочки на концентрацию напряжений в сферической оболочке не влияла.

В качестве примера на рис. 4 представлен график изменения безразмерного погонного изгибающего меридионального момента ${{M}_{S}}\pi {\text{/}}P$, проходящего через центр площадки локального воздействия, рис. 1. Начало отсчета относительной величины s/R координаты s вдоль образующей ТПС совпадает с точкой пересечения её с абсолютно жестким диском.

Рис. 4

На рис. 4 вертикальными линиями отмечены границы площадки локального воздействия и показано сечение сопряжения сферической и цилиндрической оболочек ТПС. Буквой а отмечены результаты, полученные на основании расчетной схемы на рис. 3, буквами b, c – результаты, полученные на основании расчетной схемы на рис. 1, когда цилиндрическая оболочка титановая или из композиционного материала соответственно. Локальное воздействие – равномерное распределение по площадке силы P.

На рис. 5 приводятся значения ${{M}_{S}}\pi {\text{/}}P$, полученные при воздействии на площадку а – одновременно силы P и момента M, b – только силы P, c – только момента M на основе расчетной схемы рис. 3.

Рис. 5

На рис. 6 приводятся графики изменения напряжения σ в сечениях сферической оболочки у наружной поверхности вдоль ее нулевого меридиана. Результаты получены с использованием расчетной схемы на рис. 3. Буквами отмечены результаты, полученные а – при локальном воздействии силой Р и моментом М, b – при локальном воздействии только силой Р, c – при воздействии только моментом М.

Рис. 6

На рис. 7 показана зависимость величин максимальных напряжений σ в безразмерном виде у внешней поверхности сферической оболочки от относительной величины $F{\text{/}}{{F}_{0}}$ площадки F локального воздействия силой Р. F0 определяли для площадки с относительной величиной ее радиуса ${{a}_{m}}{\text{/}}{{R}_{\partial }}$ = 0.167. Иначе – зависимость максимальных напряжений с увеличением площадки локального воздействия до заданной величины.

Рис. 7

При расчетах определяли все параметры состояния сечений оболочек ТПС при локальном воздействии по площадке, очерченной окружностью, а также по площадке, очерченной линиями главных кривизн. Результаты совпали при равных размерах площадей не зависимо от их формы.

4.2. Исследование концентрации напряжений под внутренним давлением.

Расчетная схема показана на рис. 8. Краевые условия – Nz = 0, ux = 0, ϑs= 0 при s = 0; ux = 0, uz = 0, ϑs= 0 при s = sk. Начало отсчета координаты s в точке пересечения образующей ТПС с жестким диском. Некоторые результаты приведены в виде графиков. На этих рисунках вертикальной линией отмечено сечение сопряжения сферической и цилиндрической оболочек ТПС.

Рис. 8

С целью оценки влияния краевых условий на концентрацию напряжений у излома геометрии оболочки ТПС, то есть у места сопряжения сферической и цилиндрической оболочек, расчеты выполняли при ${{S}_{k}}{\text{/}}{{R}_{c}} = 1.59$ и Sk/Rc = 3.09.

На рис. 9 и рис. 10 в виде графиков показано изменение безразмерного напряжения σ в сечениях ТПС у наружной поверхности. На рис. 9: а – напряжения в оболочках ТПС из титана, b – цилиндрическая оболочка ТПС из композиционного материала.

Рис. 9
Рис. 10

На рис. 10 – цилиндрическая оболочка выполнена из композиционного материала. Сравнительный анализ результатов показывает незначительное влияние краевых условий.

4.3. Исследование при пуске летательного аппарата. На рис. 11 показана расчетная схема. ТПС жестким диском опирается на жесткое основание. Давление, которое генерируется в ТПС, выталкивает летательный аппарат как поршень из цилиндра. Следовательно, левые краевые условия имеют вид жесткой заделки ux = 0, uz = 0, $\vartheta $s = 0, а для правого свободного края условия имеют вид Nx = 0, Nz = 0, Ms = 0.

Рис. 11

Задачи решались для ТПС из титана и для ТПС, у которого цилиндрическая оболочка – из композиционного материала. Определяли все величины, характеризующие напряженно деформированное состояние ТПС. Некоторые результаты приведены в виде графиков на рис. 12 и рис. 13. Вертикальной линией отмечено место сопряжения сферической и цилиндрической оболочек ТПС.

Рис. 12
Рис. 13

На рис. 12 буквой а отмечены безразмерные напряжения для ТПС из титана. Если цилиндрическая оболочка из композиционного материала, то результаты обозначены буквой b.

Сравнительный анализ результатов, приведенных в виде графиков на рис. 12 и рис. 13 показывает концентрацию напряжений у жесткого диска ТПС и показывает на отсутствие влияния на эти напряжения правых краевых условий. Следовательно, исследование напряжений в местах их концентрации возможно с помощью простейших алгоритмов формирования соответствующих начальных условий и решения начальной задачи мультипликативным методом [8, 9].

5. Заключение. С целью достижения возможного весового совершенства при принятых конструктивных решениях выполнено исследование тонкостенной конструкции, транспортно пускового стакана, по напряженному состоянию. Авторская методика и эффективные алгоритмы исследования позволяют с помощью ЭВМ аналитически определить места локализации напряжений и их максимальные значения с контролируемой погрешностью на основании известных математических моделей механики деформирования тонкостенных элементов конструкций. Результаты исследования делают возможным обосновано снижать значение коэффициента запаса прочности тонкостенной конструкции, транспортно пускового стакана, и, следовательно, снижать ее вес.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 18-08-00840/18.

Список литературы

  1. Власов В.З. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР. 1962. Т. 1. 528 с.

  2. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. 336 с.

  3. Виноградов Ю.И. Метод решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений //Докл. РАН. 2006. Т. 409. № 1. С. 15–18.

  4. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Модификация мультипликативного метода решения класса краевых задач строительной механики аэрокосмических систем ограниченного возможностью метода Фурье разделения переменных // Материалы XXI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2019). 2019. С. 40–42.

  5. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Функции Коши–Крылова и алгоритмы решения краевых задач теории оболочек // ДАН РФ. 2000. Т. 375. № 3. С. 331–333.

  6. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л.: АН СССР. 1931. 154 с.

  7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.

  8. Виноградов Ю.И. Методы исследования концентрации напряжений в оболочках тонкостенных конструкций приведением краевых задач к начальным // Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 5. С. 613–616.

  9. Виноградов Ю.И., Петров В.И. Высокопроизводительные методы исследования концентрации напряжений в оболочках на основе математических моделей механики их деформирования и приведения краевых задач к начальным // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. № 9. С. 121–128.

Дополнительные материалы отсутствуют.