Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 1, стр. 6-16
МОДИФИЦИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ МОНОТОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Д. Р. Абашев a, В. С. Бондарь a, *
a Московский политехнический университет
Москва, Россия
* E-mail: v.s.bondar@mospolytech.ru
Поступила в редакцию 01.11.2018
После доработки 08.10.2019
Принята к публикации 05.12.2019
Аннотация
На основе анализа результатов экспериментальных исследований образцов из нержавеющей стали 12Х18Н10Т при жестком (контролируемые деформации) процессе деформирования, включающем в себя последовательности монотонных и циклических режимов нагружения, выявлены некоторые особенности и различия процессов изотропного и анизотропного упрочнений при монотонных и циклических нагружениях. Для описания этих особенностей в рамках теории пластичности в пространстве тензора пластических деформаций вводится критерий смены направления пластического деформирования и поверхность памяти, позволившие разделить процессы монотонного и циклического деформирования. Для описания переходных процессов формулируются эволюционные уравнения для параметров изотропного и анизотропного упрочнений. Сравниваются расчетные и экспериментальные изменения напряженно-деформированных состояний по процессу монотонных и циклических нагружений.
Введение. Нестационарные и несимметричные процессы циклического деформирования состоят из последовательности монотонных и циклических режимов нагружения. Математическое моделирование таких процессов в условиях жесткого (контролируемые деформации) нагружения и особенно мягкого (контролируемые напряжения) нагружения представляют собой весьма сложную задачу. К тому же при реализации таких режимов возникают трудно описываемые процессы посадки и вышагивания (ratcheting) петли гистерезиса. Что же касается оценки и прогнозирования ресурса в условиях нестационарных и несимметричных циклических нагружений, то в этих случаях накопление повреждений необходимо определять по всему процессу деформирования, учитывая, что накопление повреждений существенно нелинейно.
Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях строится, в основном, на вариантах теорий пластичности, относящихся к классу теорий пластического течения при комбинированном (изотропном и анизотропном) упрочнении, обзор и анализ которых содержатся в работах [1–12]. В настоящей работе математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений базируется на варианте теории пластичности [1, 9], который, как показано в работе [10], является наиболее адекватным вариантом описания процессов деформирования и разрушения при циклических нагружениях по сравнению с моделями Коротких [2] и Шабоша [6–8].
Для выявления особенностей деформирования при нестационарном и несимметричном циклическом нагружении рассматривается жесткое нагружение в условиях растяжения-сжатия образцов из нержавеющей стали 12Х18Н10Т, которое представляет собой последовательность пяти этапов: циклическое, монотонное, циклическое, монотонное, циклическое вплоть до разрушения. Анализ переходных процессов от циклического к монотонному и от монотонного к циклическому показывает необходимость разделения процессов монотонного и циклического деформирования. Для этого в пространстве пластических деформаций вводится критерий смены направления пластического деформирования и поверхность памяти, разделяющая циклические и монотонные процессы деформирования. Далее в уравнения теории пластичности вводятся уравнения эволюции параметров изотропного и анизотропного упрочнений для монотонных и циклических режимов нагружения.
Разделение процессов монотонного и циклического деформирования имеет место и в модели Коротких [2–4], но только для описания эволюции изотропного упрочнения. Поверхность памяти в этой модели строится в пространстве девиатора микронапряжений с определением в процессе деформирования максимального значения интенсивности микронапряжений. В работах [2, 11] для описания эволюции анизотропного упрочнения в пространстве девиатора пластических деформаций вводится поверхность памяти с определением в процессе деформирования интенсивности максимальной амплитуды пластической деформации. Далее в работе [12] для описания эволюции анизотропного упрочнения используется такая же поверхность памяти, как и ранее для изотропного упрочнения. Все эти подходы [2, 11, 12] обладают одним существенным недостатком – достигнутый размер поверхности памяти имеет возможность в конце цикла и уменьшиться и увеличиться и это приводит к тому, что в конце каждого цикла возможно как монотонное, так и циклическое нагружение. К томе же согласно эволюционному уравнению для максимальной интенсивности микронапряжений при циклическом нагружении эта величина всегда уменьшается, хотя она должна оставаться постоянной на стабилизированном цикле. В заключение следует также сказать, что достаточного обоснования рассматриваемых подходов [2, 11, 12] в литературе нет.
С учетом выявленных особенностей монотонных и циклических нагружений для уточненных уравнений модифицированной теории пластичности определен базовый эксперимент и сформулирован метод идентификации материальных функций. Получены материальные функции нержавеющей стали 12Х18Н10Т при комнатной температуре. Приводится сравнение результатов расчетных и экспериментальных исследований нержавеющей стали 12Х18Н10Т при жестком нагружении, состоящем из последовательности монотонных и циклических режимов нагружения. Анализируется кинетика напряженно-деформированного состояния, рассматриваются изменения размаха и среднего напряжения цикла в процессе этапов циклических нагружений.
1. Основные уравнения теории пластичности. Рассматривается весьма простой вариант теории пластичности [9, 10], являющийся частичным вариантом теории неупругости [1]. Вариант теории пластичности относится к классу одноповерхностных теорий течения при комбинированном упрочнении. Область применимости варианта теории пластичности ограничивается малыми деформациями начально изотропных металлов при температурах, когда нет фазовых превращений, и скоростях деформаций, когда динамическими и реологическими эффектами можно пренебречь.
Далее приводится сводка основных уравнений варианта теории пластичности.
(1.1)
$\dot {\varepsilon } = \dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{e}}} + \dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}}$(1.2)
${{\dot {\varepsilon }}^{{\mathbf{e}}}} = \frac{{1 + \nu }}{E}\dot {\sigma } - \frac{\nu }{E}{\text{tr}}\left( {\dot {\sigma }} \right){\mathbf{I}}$(1.3)
$f\left( \sigma \right) = \frac{3}{2}\left( {{\mathbf{s}} - {\mathbf{a}}} \right):\left( {{\mathbf{s}} - {\mathbf{a}}} \right) - {{C}^{2}} = 0$(1.4)
$\dot {C} = {{q}_{\varepsilon }}\dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} *}}^{p},\quad \dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} *}}^{p} = {{\left( {\frac{2}{3}\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}}:\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}$(1.5)
${\mathbf{\dot {a}}} = \sum\limits_{m = 1}^M {{\mathbf{\dot {a}}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{m}} \right)}}} $(1.6)
${\mathbf{\dot {a}}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{1}} \right)}} = \frac{2}{3}{{g}^{{\left( 1 \right)}}}\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}} + g_{a}^{{\left( 1 \right)}}{\mathbf{a}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{1}} \right)}}\dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} *}}^{p}$(1.7)
${\mathbf{\dot {a}}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{2}} \right)}} = \frac{2}{3}{{g}^{{\left( 2 \right)}}}\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}} + g_{a}^{{\left( 2 \right)}}{\mathbf{a}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{2}} \right)}}\dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} *}}^{p}$(1.8)
${\mathbf{\dot {a}}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{m}} \right)}} = \frac{2}{3}{{g}^{{\left( m \right)}}}\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}}\quad \left( {m = 3,...,M} \right)$(1.9)
${\mathbf{\dot {\varepsilon }}}_{{}}^{{\mathbf{p}}} = \frac{{\partial f}}{{\partial \sigma }}\lambda = \frac{3}{2}\frac{{{\mathbf{s}}{\kern 1pt} *}}{{\sigma _{u}^{*}}}\dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} *}}^{p},\quad {\mathbf{s}}{\kern 1pt} * = {\mathbf{s}} - {\mathbf{a}},\quad \sigma _{u}^{*} = {{\left( {\frac{3}{2}{\mathbf{s}}{\kern 1pt} *:{\mathbf{s}}{\kern 1pt} *} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}$(1.10)
$\dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} {\kern 1pt} *}}^{p} = \frac{1}{{{{E}_{*}}}}\frac{3}{2}\frac{{{\mathbf{s}}{\kern 1pt} *:{\mathbf{\dot {\sigma }}}}}{{\sigma _{и}^{*}}},\quad {{E}_{*}} = {{q}_{\varepsilon }}\sum\limits_{m = 1}^M {{{g}^{{\left( m \right)}}}} + \sum\limits_{m = 1}^2 {g_{a}^{{\left( m \right)}}} a_{u}^{{\left( m \right){\kern 1pt} *}},\quad a_{u}^{{\left( m \right){\kern 1pt} *}} = \frac{3}{2}\frac{{{\mathbf{s}}{\kern 1pt} *:{\mathbf{a}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{m}} \right)}}}}{{\sigma _{u}^{*}}}$(1.11)
$\dot {\varepsilon }_{{и{\kern 1pt} *}}^{p} = \frac{1}{{{{E}_{*}} + 3G}}3G\frac{{{\mathbf{s}}{\kern 1pt} *:{\mathbf{\dot {\varepsilon }}}}}{{\sigma _{и}^{*}}},\quad G = \frac{E}{{2\left( {1 + \nu } \right)}}$(1.12)
$\begin{gathered} \sigma _{u}^{*} < C \cup \dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} *}}^{p} \leqslant 0\; - \;{\text{упругость}} \\ \sigma _{u}^{*} = C \cap \dot {\varepsilon }_{{u{\kern 1pt} *}}^{p} > 0\; - \;{\text{упругопластичность}} \\ \end{gathered} $(1.13)
$\dot {\omega } = \alpha {{\omega }^{{\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }}}}\frac{{{\mathbf{a}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{2}} \right)}}:\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}}}}{{{{W}_{a}}}},\quad \alpha = {{(\sigma _{a}^{{\left( 2 \right)}}{\text{/}}a_{u}^{{\left( 2 \right)}})}^{{{{n}_{\alpha }}}}},\quad a_{u}^{{\left( 2 \right)}} = {{\left( {\frac{3}{2}{\mathbf{a}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{2}} \right)}}:{\mathbf{a}}_{{}}^{{\left( {\mathbf{2}} \right)}}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}$Здесь $\dot {\varepsilon },\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{e}}},\dot {\varepsilon }_{{}}^{{\mathbf{p}}}$ – тензоры скоростей полной, упругой и пластической деформаций; $\sigma ,{\mathbf{s}},{\mathbf{s}}{\kern 1pt} *,$ a – тензор напряжений, девиаторы напряжений, активных напряжений и микронапряжений; $\varepsilon _{{u{\kern 1pt} *}}^{p}$ – накопленная пластическая деформация; $\omega $ – поврежденность; E, ν – модуль Юнга, коэффициент Пуассона; $C$ – радиус (размер) поверхности нагружения; ${{{\mathbf{a}}}^{{({\mathbf{1}})}}},{{{\mathbf{a}}}^{{({\mathbf{2}})}}},{{{\mathbf{a}}}^{{({\mathbf{m}})}}}$ – микронапряжения (девиатор смещения центра поверхности нагружения) первого, второго и третьего типов; ${{q}_{\varepsilon }},\,\,\,{{g}^{{\left( m \right)}}},\,\,g_{a}^{{\left( m \right)}}$ – определяющие функции, связь которых с материальными будет приведена ниже.
2. Эксперимент. В статье рассматриваются результаты экспериментальных исследований образцов нержавеющей стали 12Х18Н10Т. Химический состав и механические свойства стали представлены в табл. 1.
Таблица 1
C | Si | Mn | Ni | S | P | Cr | Cu | Ti | Fe |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
<0.12 | <0.8 | <2 | 9–11 | <0.02 | <0.035 | 17–19 | <0.3 | 0.4–1 | ~67 |
Модуль Юнга (ГПа) | Коэффициент Пуассона | Предел текучести (МПа) | Предел прочности (МПа) | Относительное удлинение при разрыве (%) | |||||
198 | 0.28 | 196 | 510 | 40 |
Испытания проведены на универсальной испытательной машине Zwick Z100. Геометрия и размеры испытанных образцов соответствуют требованиям стандарта ASTM E606. Диаметр рабочей части образца 8 мм, длина 24 мм, радиусы перехода от рабочей к захватной части 32 мм (рис. 1). Деформация в процессе испытания измерялась и контролировалась по навесному экстензометру с измерительной базой 10 мм.
3. Монотонное и циклическое нагружения нержавеющей стали 12Х18Н10Т. Рассматриваются результаты экспериментальных исследований нержавеющей стали 12Х18Н10Т при одноосном жестком нагружении, включающем в себя этапы монотонных и циклических нагружений. Эксперимент состоит из 5-ти этапов нагружения:
– 1 этап включает в себя циклическое нагружение с частотой 0.2 Гц при $\varepsilon _{m}^{{\left( 1 \right)}} = 0,$ $\Delta {{\varepsilon }^{{\left( 1 \right)}}} = 0.016$ и ${{N}^{{\left( 1 \right)}}} = 20$ циклов;
– 2 этап включает в себя монотонное растяжение до ${{\varepsilon }^{{\left( 2 \right)}}} = 0.05$;
– 3 этап включает в себя циклическое нагружение с частотой 0.4 Гц при $\varepsilon _{m}^{{\left( 3 \right)}} = 0.05,$ $\Delta {{\varepsilon }^{{\left( 3 \right)}}} = 0.012$ и ${{N}^{{\left( 3 \right)}}} = 200$ циклов;
– 4 этап включает в себя монотонное растяжение до ${{\varepsilon }^{{\left( 4 \right)}}} = 0.1$;
– 5 этап включает в себя циклическое нагружение с частотой 0.4 Гц при $\varepsilon _{m}^{{\left( 5 \right)}} = 0.1$, $\Delta {{\varepsilon }^{{(5)}}}$ = 0.012 и ${{N}^{{\left( 5 \right)}}} = {{N}_{f}}$ циклов до разрушения.
Здесь $\varepsilon _{m}^{{\left( i \right)}}\,$ – средняя деформация цикла; $\Delta {{\varepsilon }^{{\left( i \right)}}}$ – размах деформации цикла; ε(i) – достигаемая деформация при монотонном нагружении; N(i) – число циклов.
На рис. 2 приведена экспериментальная диаграмма σ(ε) (σ [МПа]) деформирования стали 12Х18Н10Т, включающая все пять этапов нагружения. На циклических диаграммах первого, третьего и пятого этапов показаны петли для первого и последнего циклов. Далее анализируются полученные экспериментальные результаты.
Циклическое деформирование на первом этапе показывает, что сталь 12Х18Н10Т на начальной стадии циклически упрочняется с последующим замедлением процесса циклического упрочнения до незначительного ($d{{C}_{p}}{\text{/}}d\varepsilon _{{u * }}^{p} \approx 1$ МПа) и сталь становится практически циклически стабильной.
На третьем и пятом этапах циклического деформирования имеет место посадка петли гистерезиса. Причем процессы посадки на этих этапах идентичны – как будто и не было предварительной истории деформирования. Таким образом модуль Ea, входящий в эволюционное уравнение для микронапряжений первого типа и обеспечивающий процесс посадки петли, должен иметь одинаковое начальное значение ${{E}_{a}} = {{E}_{{a0}}}$. Т.е. на этапах монотонного нагружения после циклических нагружений, на которых происходит падение Ea практически до нуля, должен происходить быстрый возврат модуля Ea к своему начальному значению ${{E}_{{a0}}}$.
На втором и четвертом этапах монотонных нагружений упрочнение является одинаковым и постоянным. Упрочнение здесь определяется модулем ${{E}_{{a0}}}$ и в меньшей степени некоторым модулем монотонного изотропного упрочнения.
Таким образом поведение модуля Ea, характеризующего анизотропное упрочнение, и, соответственно, поведение параметров изотропного упрочнения существенно зависит от режима процесса деформирования – циклического или монотонного.
Для разделения процессов монотонного и циклического деформирования в пространстве тензора пластических деформаций $\varepsilon _{{}}^{{\mathbf{p}}}$ вводится поверхность памяти, ограничивающая область циклического деформирования. Поверхность определяется положением ее центра ξ и ее радиусом (размером) ${{C}_{\varepsilon }}$. Для вычисления центра и размера поверхности вводится два тензора пластических деформаций $\varepsilon _{{}}^{{{\mathbf{p}}\left( {\mathbf{1}} \right)}}$ и $\varepsilon _{{}}^{{{\mathbf{p}}\left( {\mathbf{2}} \right)}}$, определяющие границы поверхности. В начале деформирования эти переменные равны нулю. Определение смещения и размера поверхности памяти происходит в момент смены направления пластического деформирования. В качестве критерия смены направления принимается следующее условие:
В этот момент изменение границ, центра и размера поверхности нагружения описывается на основе следующих соотношений:
Тогда условием циклического деформирования является деформирование в пределах поверхности памяти
Вне поверхности памяти деформирование является монотонным.
На основании, изложенных выше, особенностей монотонных и циклических нагружений для модуля Ea и определяющих функций для микронапряжений формулируются следующие уравнения:
Итак, для описания микронапряжений надо определить следующие материальные функции:
${{E}_{{a0}}},\sigma _{a}^{{(m)}},{{\beta }^{{(m)}}}$ – модули анизотропного упрочнения;
${{K}_{E}},\,\,{{n}_{E}},\,\,{{M}_{E}}$ – параметры анизотропного упрочнения при циклическом и монотонном деформировании.
Для определения этих материальных функций используются результаты эксперимента на рис. 2.
Модуль анизотропного упрочнения ${{E}_{{a0}}}$ определяется по формуле
Модули анизотропного упрочнения $\sigma _{a}^{{\left( m \right)}}$ и ${{\beta }^{{\left( m \right)}}}$ определяются из обработки циклической диаграммы последнего полуцикла первого этапа по методике описанной в работах [1, 9].
Параметры анизотропного упрочнения ${{K}_{E}}$ и ${{n}_{E}}$ определяются на основе результатов посадки петли гистерезиса на третьем и пятом этапах. Для этого строится зависимость в координатах
Параметр анизотропного упрочнения ${{M}_{E}}$ при монотонном нагружении определяется из соображения восстановления параметра Ea с 0 до значения ${{E}_{{a0}}}$ при изменении пластической деформации при монотонном нагружении за $\varepsilon _{{st}}^{p}$. Тогда параметр ${{M}_{E}}$ будет определяться по формуле
Определив микронапряжения по всему процессу от первого до пятого этапа нагружения, можно определить поведение размера (радиуса) поверхности нагружения, т.е. изменение изотропного упрочнения в переходных процессах от циклического к монотонному и от монотонного к циклическому деформированию.
На рис. 3 приведено изменение размера поверхности нагружения (функционала $C$ [МПа]) по всему процессу деформирования от первого до пятого этапа нагружения. Пунктиром на рис. 3 показана функция изотропного упрочнения $C = {{C}_{p}}(\varepsilon _{{u{\kern 1pt} *}}^{p})$ при циклическом нагружении.
Анализ результатов, приведенных на рис. 3, показывает, что при переходе от циклического деформирования к монотонному (этапы два и четыре) происходит увеличение интенсивности изотропного упрочнения, а при переходе от монотонного к циклическому (этапы три и пять) происходит медленное уменьшение изотропного упрочнения и оно стремится к изотропному $C = {{C}_{p}}(\varepsilon _{{u{\kern 1pt} *}}^{p})$ при циклическом деформировании.
На основании, изложенных выше, особенностей изменения изотропного упрочнения при циклических и монотонных нагружениях для определяющей функции изотропного упрочнения принимается следующая зависимость:
Итак, для описания изотропного упрочнения надо определить следующие материальные функции:
${{C}_{p}}(\varepsilon _{{u{\kern 1pt} *}}^{p})$ – функция изотропного упрочнения при циклическом нагружении;
${{K}_{C}},\,\,{{n}_{C}},\,\,{{M}_{C}}$ – модули изотропного упрочнения при циклическом и монотонном нагружении.
Для определения этих материальных функций используются результаты эксперимента на рис. 3.
Функция изотропного упрочнения при циклическом нагружении ${{C}_{p}}(\varepsilon _{{u{\kern 1pt} *}}^{p})$ определяется на основе изменения размера поверхности на первом, третьем и пятом этапах – пунктирная кривая на рис. 3.
Параметры изотропного упрочнения KC и nC при циклическом нагружении определяются на основе результатов уменьшения размера поверхности нагружения на третьем и пятом этапах нагружения. Для этого строится зависимость в координатах
Полученная зависимость аппроксимируется линейной функцией
Параметр изотропного упрочнения MC при монотонном нагружении определяется по наклону кривой деформирования на втором и четвертом этапах по формуле
4. Верификация модифицированной теории пластичности. С целью верификации модифицированной теории пластичности и проверки адекватности аппроксимаций материальных функций проводится расчет кинетики напряженно-деформированного состояния нержавеющей стали 12Х18Н10Т при жестком циклическом и монотонном нагружении по программе (пять этапов) изложенной во втором разделе. Для расчетов использовались материальные функции, полученные на основе экспериментальных данных на рис. 2. Сравнения расчетных (сплошные кривые) и экспериментальных (светлые кружки) результатов приведены на рис. 4–7. Пунктирными кривыми приведены результаты расчетов на основе варианта [10]. На рис. 4 показана циклическая диаграмма 20-го цикла (последнего) первого этапа, монотонное нагружение на втором этапе и первый цикл третьего этапа. На рис. 5 показана циклическая диаграмма 200-го цикла (последнего) третьего этапа, монотонное нагружение на четвертом этапе и первый цикл пятого этапа. Изменения размаха напряжения и среднего напряжения циклов на первом, третьем и пятом этапах нагружения приведены на рис. 6, 7. Все напряжения и размах напряжений на рис. 4–7 измеряются в МПа.
Наблюдается значительное улучшение описания кинетики напряженно-деформированного состояния на основе предложенного здесь варианта по сравнению с предыдущим [10]. Что же касается изменений размаха и среднего напряжения циклов, то предложенный вариант достаточно адекватно описывает и эти довольно сложные процессы.
Заключение. На основе анализа результатов экспериментальных исследований нержавеющей стали установлено, что изотропное и анизотропное упрочнения существенно различны при монотонном и циклическом деформировании. Также имеют место переходные процессы упрочнения при смене процессов монотонного и циклического, циклического и монотонного деформирования.
С учетом выявленных особенностей монотонных и циклических нагружений, уточнены уравнения модифицированной теории пластичности. Определен базовый эксперимент, сформулирован метод идентификации материальных функций и получены материальные функции нержавеющей стали 12Х18Н10Т при комнатной температуре.
Проведено сравнение результатов расчетных и экспериментальных исследований нержавеющей стали 12Х18Н10Т при жестком нагружении, состоящем из последовательности монотонных и циклических режимов нагружения. Анализировалась кинетика напряженно-деформированного состояния, рассматривались изменения размаха и среднего напряжения цикла в процессе циклических нагружений. Получено надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов.
Достаточно адекватное описание теорией процессов изменения кинетики, размаха и среднего напряжения цикла при жестком нагружении позволяет предположить возможность более адекватного описания и процессов мягкого нагружения особенно при нестационарных несимметричных режимах нагружения.
Список литературы
Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. New York: Begell House, 2013. 194 p.
Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 424 с.
Митенков Ф.М., Волков И.А., Игумнов Л.А., Каплиенко А.В., Коротких Ю.Г., Панов В.А. Прикладная теория пластичности. М.: Физматлит, 2015. 282 с.
Волков И.А., Игумнов Л.А., Коротких Ю.Г. Прикладная теория вязкопластичности: Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2015. 317 с.
Капустин С.А., Чурилов Ю.А., Горохов В.А. Моделирование нелинейного деформирования и разрушения конструкций в условиях многофакторных воздействий на основе МКЭ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2015. 347 с.
Бессон Ж. [и др]. Нелинейная механика материалов. Санкт-Петербург: Изд-во политехн. ун-та, 2010. 397 с.
Chaboche J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int. J. of Plasticity. 2008. V. 24. P. 1642–1692.
Chaboche J.-L., Kanouté P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions // Int. J. of Plasticity. 2012. V. 35. P. 44–66.
Bondar V.S., Danshin V.V., Vu L.D., Duc N.D. Constitutive modeling of cyclic plasticity deformation and low-high-cycle fatigue of stainless steel 304 in uniaxial stress state // Mechanics of advanced materials and structures. 2018. V. 25. № 12. P. 1009–1017.
Бондарь В.С., Абашев Д.Р., Петров В.К. Сравнительный анализ вариантов теорий пластичности при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2017. № 2. С. 23–44.
Коротких Ю.Г. Описание процессов накопления повреждений материала при неизотермическом вязкопластическом деформировании // Проблемы прочности. 1985. № 1. С. 18–23.
Волков И.А., Игумнов Л.А., Тарасов И.С. и др. Моделирование усталостной долговечности поликристаллических конструкционных сплавов при блочном несимметричном малоцикловом нагружении // Проблемы прочности и пластичности. 2018. № 1. С. 15–30.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела