Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 6, стр. 73-81

ОБ ОСНОВНЫХ ГИПОТЕЗАХ ОБЩЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ

В. Г. Зубчанинов^*

Тверской государственный технический университет
Тверь, Россия

Поступила в редакцию 28.05.2020
После доработки 22.06.2020
Принята к публикации 15.08.2020

DOI: 10.31857/S0572329920060173

Аннотация

В работе обсуждаются и анализируются вопросы применимости и пределы применимости некоторых основных гипотез общей математической теории пластичности. В теории процессов упругопластического деформирования это постулат изотропии начально изотропных тел, в котором утверждается инвариантность ортогональных преобразований образов процесса при установлении связи между напряжениями и деформациями. В теории течения – это гипотеза о разложении полных деформаций на упругие и пластические деформации и влияние на ее связь между напряжениями и деформациями при сложном нагружении.

Ключевые слова: упругость, пластичность, тензоры напряжений и деформаций, инварианты, сложное нагружение, векторы напряжений и деформаций, постулат изотропии, гипотеза о разложении деформаций

1. Тензоры напряжений, деформаций и их инварианты. Напряженно-деформированное состояние (НДС) сплошных сред и тел, отнесенных к координатным осям x_i ($i = 1,2,3$) для каждой точки физического пространства с координатным ортонормированным репером ${{\hat {e}}_{i}}$, характеризуется заданием симметричных тензоров напряжений (σ_ij) и деформаций (ε_ij), где σ_ij и ε_ij ($i,j = 1,\;2,\;3$) – их компоненты. Геометрически тензоры напряжений и деформаций могут быть представлены тривекторами

${{\bar {S}}_{i}} = {{\sigma }_{{ji}}}{{\hat {e}}_{j}},\quad {{\bar {E}}_{i}} = {{\varepsilon }_{{ji}}}{{\hat {e}}_{j}}\quad (i,\;j = 1,\;2,\;3)$

в каждой точке физического пространства. Вектор напряжений в данной точке на произвольной площадке с единичной нормалью $\hat {n} = {{n}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}$ представляется формулой Коши

(1.1)

${{\bar {S}}_{n}} = {{\bar {S}}_{i}}{{n}_{i}} = {{X}_{i}}{{\hat {e}}_{i}},\quad {{X}_{i}} = {{\sigma }_{{ij}}}{{n}_{j}}$

Вектор напряжения ${{\bar {S}}_{n}}$ называют собственным или главным нормальным вектором напряжений, если его направление совпадает с направлением нормали $\hat {n} = {{n}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}$, т.е.

(1.2)

${{\bar {S}}_{n}} = {{\sigma }_{k}}\hat {n} = {{\sigma }_{k}}{{\delta }_{{ij}}}{{n}_{j}}{{\hat {e}}_{i}}$

Модуль этого вектора напряжений называют просто собственным значением или главным напряжением.

Сравнивая (1.1), (1.2), получаем систему уравнений относительно ${{n}_{j}}$

(1.3)

$({{\sigma }_{{ij}}} - {{\delta }_{{ij}}}{{\sigma }_{k}}){{n}_{j}} = 0,\quad {{n}_{j}}{{n}_{j}} = 1$

Приравнивая определитель (1.3) нулю, получаем характеристическое уравнение для определения собственных напряжений σ_k ($k = 1,\;2,\;3$)

${\text{|}}{{\sigma }_{{ij}}} - {{\delta }_{{ij}}}{{\sigma }_{k}}{\text{|}} = 0$

откуда следует кубическое уравнение

(1.4)

$\sigma _{k}^{3} - {{I}_{1}}\sigma _{k}^{2} + {{I}_{2}}{{\sigma }_{k}} - {{I}_{3}} = 0$

где

$\begin{gathered} {{I}_{1}} = {{\sigma }_{{ii}}} = {{\sigma }_{1}} + {{\sigma }_{2}} + {{\sigma }_{3}} = 3{{\sigma }_{0}} \\ {{I}_{2}} = {{\sigma }_{{ii}}}{{\sigma }_{{jj}}} - ({{\sigma }_{{ij}}}{{\sigma }_{{ij}}}) = 9\sigma _{0}^{2} = {{S}^{2}} \\ {{I}_{3}} = \left| {{{\sigma }_{{ij}}}} \right| = {{\sigma }_{1}}{{\sigma }_{2}}{{\sigma }_{3}},\quad {{S}^{2}} = \sigma _{1}^{2} + \sigma _{2}^{2} + \sigma _{3}^{2} \\ \end{gathered} $

которые являются инвариантами тензора напряжений относительно поворота координатных осей x_i ($i = 1,\;2,\;3$). Компоненты девиаторов

${{S}_{{ij}}} = {{\delta }_{{ij}}} - {{\delta }_{{ij}}}{{\sigma }_{0}},\quad {{Э}_{{ij}}} = {{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\delta }_{{ij}}}{{\varepsilon }_{0}}$

Инварианты тензора-девиатора напряжений

${{J}_{1}} = {{S}_{{ii}}} = {{S}_{{11}}} + {{S}_{{22}}} + {{S}_{{33}}} = {{S}_{1}} + {{S}_{2}} + {{S}_{3}} = 0$

$2{{J}_{2}} = {{S}_{{ij}}}{{S}_{{ij}}} = S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} = {{\sigma }^{2}}$

${{J}_{3}} = \left| {{{S}_{{ij}}}} \right| = \frac{{{{\sigma }^{3}}\cos 3\varphi }}{{3\sqrt 6 }}$

Модуль тензора напряжений

$S = \sqrt {3\sigma _{0}^{2} + {{\sigma }^{2}}} $

где ${{\sigma }_{0}} = {{{{\sigma }_{{ii}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{{ii}}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$ – модуль шарового тензора.

$\sigma = \sqrt 3 {{\tau }_{{{\text{oct}}}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {{{{({{\sigma }_{{11}}} - {{\sigma }_{{22}}})}}^{2}} + {{{({{\sigma }_{{22}}} - {{\sigma }_{{33}}})}}^{2}} + {{{({{\sigma }_{{33}}} - {{\sigma }_{{11}}})}}^{2}} + 6(\sigma _{{12}}^{2} + \sigma _{{23}}^{2} + \sigma _{{13}}^{2})} $

– модуль девиатора напряжений, ${{\tau }_{{{\text{oct}}}}} = {\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma {\sqrt 3 }}} \right. \kern-0em} {\sqrt 3 }}$ – октаэдрическое касательное напряжение. Общее решение кубического уравнения (1.4)

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\sigma }_{1}} = {{\sigma }_{0}} + \sqrt {\frac{2}{3}} \sigma \cos \varphi } \\ {{{\sigma }_{2}} = {{\sigma }_{0}} + \sqrt {\frac{2}{3}} \sigma \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \varphi } \right)} \\ {{{\sigma }_{3}} = {{\sigma }_{0}} + \sqrt {\frac{2}{3}} \sigma \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \varphi } \right)} \end{array}$

Главные касательные напряжения

(1.5)

$\begin{gathered} {{T}_{{12}}} = \frac{{{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{2}}}}{2} = \frac{\sigma }{{\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \varphi } \right) \\ {{T}_{{23}}} = \frac{{{{\sigma }_{2}} - {{\sigma }_{3}}}}{2} = \frac{\sigma }{{\sqrt 2 }}\sin \varphi \\ {{T}_{{13}}} = \frac{{{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{3}}}}{2} = \frac{\sigma }{{\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \varphi } \right) \\ \end{gathered} $

где $\varphi $ – угол вида напряженного состояния формоизменения на октаэдрической площадке. Аналогичные формулы имеют место для тензора деформаций.

Наряду с главными касательными напряжениями в теории пластичности T_ij важное значение имеют октаэдрические касательные напряжения

${{\tau }_{{{\text{oct}}}}} = \frac{\sigma }{{\sqrt 3 }} = \frac{2}{3}\sqrt {T_{{12}}^{2} + T_{{23}}^{2} + T_{{13}}^{2}} $

введенные А. Надаи [8, 9]. Эти напряжения равны на всех гранях частицы в виде октаэдра, что важно. Надаи А. предположил, что материал переходит из упругого состояния в пластическое тогда, когда ${{\tau }_{{{\text{окт}}}}}$ достигает некоторого предельного значения ${{\tau }_{{{\text{oct}}}}}$ = τ^T либо $\sigma = {{\sigma }^{T}}$, где

${{\tau }^{T}} = \sqrt 2 {{\tau }_{*}},\quad {{\sigma }^{T}} = \sqrt {\frac{2}{3}} {{\sigma }_{T}}$

где ${{\tau }_{*}}$ – предел текучести при пространственном чистом сдвиге, ${{\sigma }_{T}}$ – предел текучести при растяжении. Таким образом, Надаи А. дал совершенно понятное толкование критерию пластичности Мизеса. На девиаторной плоскости в пространстве главных напряжений критерий Мизеса изображается окружностью радиуса σ = σ^T = $\sqrt {2{\text{/}}3} {{\sigma }_{T}} = \sqrt 3 {{\tau }^{T}}$.

Девиаторную плоскость можно разбить на шесть секторов и, согласно формулам (1.5), составить таблицу для T_max [12].

Из таблицы следует, что закономерность изменений T_max в каждом секторе совпадает и может быть представлена формулой

${{T}_{{\max }}} = \frac{\sigma }{{\sqrt 2 }}\sin \omega = \sqrt {\frac{3}{2}} {{\tau }_{{{\text{oct}}}}}\sin \omega \quad (60^\circ \leqslant \omega \leqslant 90^\circ )$

В крайних точках получаем

$\frac{{{{\tau }_{{{\text{oct}}}}}}}{{{{\tau }_{{\max }}}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = 0.945,\quad \frac{{{{\tau }_{{{\text{oct}}}}}}}{{{{\tau }_{{\max }}}}} = \sqrt {\frac{2}{3}} = 0.816$

Таким образом, из двух известных критериев пластичности Треска и Мизеса–Надаи правильным (истинным) является критерий Мизеса–Надаи, т.к. ${{\tau }_{{{\text{oct}}}}} < {{\tau }_{{\max }}}$.

Естественным обобщением критерия Мизеса–Надаи на процессы упругопластического деформирования является единая универсальная кривая упрочнения материалов при простом нагружении Роша и Эйхингера и единая универсальная кривая упрочнения материалов для траекторий малой и средней кривизны Ильюшина [7].

2. О влиянии ортогональных преобразований координатного базиса и вектора напряжений на инварианты тензоров напряжений и деформаций в физическом пространстве. Этот вопрос изучается в работах [1–3, 10–12]. При ортогональном преобразовании координатного базиса $\{ {{\hat {e}}_{i}}\} $ в новое положение $\hat {e}_{i}^{'} = {{l}_{{ij}}}{{e}_{j}}$ ($i,j = 1,\;2,\;3$), где $A = ({{l}_{{ij}}})$ – матрица этого преобразования. В новом положении неподвижный вектор напряжений ${{\bar {S}}_{n}} = {{X}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}$ изменяет свои координаты так, что

${{\bar {S}}_{n}} = {{X}_{j}}{{\hat {e}}_{j}} = X_{i}^{'}\hat {e}_{i}^{'}$

Однако ${{\hat {e}}_{j}} = {{l}_{{ij}}}\hat {e}_{i}^{'}$ и поэтому

$X_{i}^{'}{{l}_{{ij}}}{{X}_{j}}\quad (i,j = 1,2,3)$

Вектор напряжений сохраняет свою длину. Следовательно,

$X_{i}^{'}X_{i}^{'} = ({{l}_{{ij}}}{{X}_{j}})({{l}_{{ik}}}){{X}_{k}} = {{X}_{j}}{{\delta }_{{ij}}}{{X}_{k}}$

откуда следует соотношение

(2.1)

${{l}_{{ij}}}{{l}_{{ik}}} = {{\delta }_{{jk}}}\quad (i,j,k = 1,2,3)$

из которого следует, что координатный базис остается ортонормированным.

При реализации процессов деформирования и нагружения в точке тела все три инварианта тензоров (тривекторов) будут изменяться. Вектор ${{\bar {S}}_{n}}$ и тривекторы будут изменять свою ориентацию. Новые проекции вектора ${{\bar {S}}_{n}} = {{X}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}$ определяются формулой $X_{i}^{'}$ = β_ijX_j, где ${{\beta }_{{ij}}}$ – компоненты матрицы ортогонального преобразования. Длина вектора неизменна и поэтому

$X_{i}^{'}X_{i}^{'} = ({{\beta }_{{ij}}}{{X}_{j}})({{\beta }_{{ik}}}){{X}_{k}} = {{X}_{j}}{{\delta }_{{jk}}}({{X}_{k}})$

откуда получаем соотношение

(2.2)

${{\beta }_{{ij}}}{{\beta }_{{ik}}} = {{\delta }_{{jk}}}\quad (i,j,k = 1,\;2,\;3)$

Данное соотношение (2.2) совпадает по форме с (2.1) и поэтому ${{l}_{{ij}}} = {{\beta }_{{ij}}}$. Это означает, что ортогональные преобразования координатных осей и вектора ${{\bar {S}}_{n}}$ совпадают. Однако в первом случае сохраняются все три инварианта тензоров, а во втором – лишь один (длина вектора ${{\bar {S}}_{n}}$). Остальные два инварианта вида НДС остаются неопределенными. Это создает некоторую проблему при определении определяющих законов связи между напряжениями и деформациями.

Тензорная форма определяющих соотношений в механике сплошной среды (МСС) между напряжениями и деформациями является одной из наиболее общих, т.к. не зависит от координатной системы. Прагер В. и Ильюшин А.А. [1, 2, 7] для сложных процессов нагружения предложили, соответственно, соотношения

$\frac{{d{{S}_{{ij}}}}}{{ds}} = A\frac{{d{{Э}_{{ij}}}}}{{ds}} + B{{S}_{{ij}}} + C{{Э}_{{ij}}}$

${{S}_{{ij}}} = \sum\limits_{n = 0}^4 {{{A}_{n}}\frac{{{{d}^{n}}{{Э}_{{ij}}}}}{{d{{s}^{n}}}}} $

где коэффициенты A, B, C, ${{A}_{n}}$ зависят от инвариантов.

Как было отмечено выше, в процессах деформирования и нагружения при ортогональных преобразованиях тривекторов ${{\bar {S}}_{n}}$ инварианты могут изменяться, что может приводить к неинвариантности самих определяющих соотношений [12].

3. Векторное представление тензоров напряжений, деформаций и процессов нагружения. Для геометрически наглядного отображения процессов деформирования и нагружения в точке физического пространства Ильюшин А.А. предложил изобразить тензоры напряжений (σ_ij) и деформаций (ε_ij) в виде векторов в координатном шестимерном пространстве линейной алгебры [1–3, 11, 12]

$\bar {S} = {{X}_{i}}{{\hat {e}}_{i}},\quad \bar {E} = {{Y}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}\quad (i = 1,\;2,\; \ldots ,\;6)$

где ${{\hat {e}}_{i}}$ – компоненты ортонормированного координатного репера,

$\begin{gathered} {{X}_{1}} = {{\sigma }_{{11}}},\quad {{X}_{2}} = {{\sigma }_{{22}}},\quad {{X}_{3}} = {{\sigma }_{{33}}},\quad {{X}_{4}} = \sqrt 2 {{\sigma }_{{12}}},\quad {{X}_{5}} = \sqrt 2 {{\sigma }_{{23}}},\quad {{X}_{6}} = \sqrt 2 {{\sigma }_{{13}}} \\ {{Y}_{1}} = {{\varepsilon }_{{11}}},\quad {{Y}_{2}} = {{\varepsilon }_{{22}}},\quad {{Y}_{3}} = {{\varepsilon }_{{33}}},\quad {{Y}_{4}} = \sqrt 2 {{\varepsilon }_{{12}}},\quad {{Y}_{5}} = \sqrt 2 {{\varepsilon }_{{23}}},\quad {{Y}_{6}} = \sqrt 2 {{\varepsilon }_{{13}}} \\ \end{gathered} $

– координаты векторов.

$S = \sqrt {{{\sigma }_{{ij}}}{{\sigma }_{{ij}}}} ,\quad E = \sqrt {{{\varepsilon }_{{ij}}}{{\varepsilon }_{{ij}}}} $

– их модули, равные модулям тензоров.

В объединенном шестимерном пространстве E₆ в работах [1–3, 11] были введены также понятия образа процесса деформирования и образа процесса нагружения. Тензор напряжений (σ_ij) можно разложить в прямую сумму нормальных и касательных напряжений. Им можно поставить в соответствие два трехмерных подпространства нормальных и касательных напряжений. Если исходный тензор (σ_ij) отнесен к главным собственным осям, то подпространство нормальных напряжений становится подпространством собственных напряжений, а подпространство касательных напряжений запустевает. Следовательно, пространство E₆ может иметь не более трех собственных направлений. Таким образом, вектор напряжений $\bar {S}$ будет тождественным тензору (σ_ij), если их модули равны, но вектор $\bar {S}$может иметь не более трех собственных направлений и главных собственных напряжений. Аналогично для вектора $\bar {E}$ и тензора деформаций (ε_ij). Следовательно, три инварианта тензоров (σ_ij) и (ε_ij) в физическом пространстве остаются инвариантами векторов $\bar {S}$ и $\bar {E}$ в пространстве E₆.

Образом процесса деформирования в ${{E}_{6}}$ называют траекторию деформирования, описываемую концом вектора деформации $\bar {E}$ и построенными в каждой ее точке векторами $\bar {S}$, а также приписанными этим точкам скалярными свойствами типа температуры T и давления p. В теории пластичности объемная деформация $\theta = 3{{\varepsilon }_{0}}$ считается упругой и подчиняется закону Гука

${{\sigma }_{0}} = 3K{{\varepsilon }_{0}}$

где K – упругий модуль Бриджмена. Для этого случая А.А. Ильюшин [1–3] ввел следующие преобразования компонент тензоров в координаты векторов напряжений и деформаций

$\bar {S} = {{S}_{0}}{{\hat {i}}_{0}} + {{S}_{k}}{{\hat {i}}_{k}},\quad E = {{Э}_{0}}{{\hat {i}}_{0}} + {{Э}_{k}}{{\hat {i}}_{k}}\quad (k = 1,\;3,\; \ldots ,\;5)$

где новые координаты и координатный базис

$\begin{gathered} {{S}_{0}} = \sqrt 3 {{\sigma }_{0}},\quad {{S}_{1}} = \sqrt {\frac{3}{2}} {{S}_{{11}}},\quad {{S}_{2}} = \frac{{{{S}_{{22}}} - {{S}_{{33}}}}}{{\sqrt 2 }},\quad {{S}_{3}} = \sqrt 2 {{\sigma }_{{12}}}, \\ {{S}_{4}} = \sqrt 2 {{\sigma }_{{23}}},\quad {{S}_{5}} = \sqrt 2 {{\sigma }_{{13}}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{Э}_{0}} = \sqrt 3 {{\varepsilon }_{0}},\quad {{Э}_{1}} = \sqrt {\frac{3}{2}} {{Э}_{{11}}},\quad {{Э}_{2}} = \frac{{{{Э}_{{22}}} - {{Э}_{{33}}}}}{{\sqrt 2 }},\quad {{Э}_{3}} = \sqrt 2 {{\varepsilon }_{{12}}}, \\ {{Э}_{4}} = \sqrt 2 {{\varepsilon }_{{23}}},\quad {{Э}_{5}} = \sqrt 2 {{\varepsilon }_{{13}}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{{\hat {i}}}_{0}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}({{{\hat {e}}}_{1}} + {{{\hat {e}}}_{2}} + {{{\hat {e}}}_{3}}),\quad {{{\hat {i}}}_{1}} = \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {{{{\hat {e}}}_{1}} - \frac{1}{2}({{{\hat {e}}}_{2}} + {{{\hat {e}}}_{3}})} \right],\quad {{{\hat {i}}}_{2}} = \frac{{{{{\hat {e}}}_{2}} - {{{\hat {e}}}_{3}}}}{{\sqrt 2 }} \\ {{{\hat {i}}}_{3}} = {{{\hat {e}}}_{4}},\quad {{{\hat {i}}}_{4}} = {{{\hat {e}}}_{5}},\quad {{{\hat {i}}}_{5}} = {{{\hat {e}}}_{6}} \\ \end{gathered} $

В данном случае образ процесса строится в пятимерном ${{E}_{5}}$ девиаторном подпространстве. Под образом процесса деформирования понимается траектория, описываемая в ${{E}_{5}}$ концом вектора деформации формоизменения $\bar {Э}$, построенные в каждой ее точке векторы напряжений $\bar {\sigma }$, $d\bar {\sigma }{\text{/}}ds$ и приписанные к этим точкам параметры температуры T и давления p.

В каждой точке траектории деформирования можно построить также координатный репер $\{ {{d}^{n}}\bar {Э}{\text{/}}d{{s}^{n}}\} $ и разложить в этом репере вектор напряжений

(3.1)

$\bar {\sigma } = \sum\limits_{n = 0}^4 {{{A}_{n}}\frac{{{{d}^{n}}\bar {Э}}}{{d{{s}^{n}}}}} $

где коэффициенты A_n – функционалы процесса, зависящие от инвариантов тензоров.

Вместо косоугольного репера можно построить в каждой точке траектории подвижный ортонормированный репер Френе–Ильюшина ${{\hat {p}}_{k}}$ ($k = 1,\;2,\; \ldots ,\;5$), орты которого удовлетворяют рекуррентным формулам

(3.2)

$\frac{{d{{{\hat {p}}}_{k}}}}{{ds}} = - {{{\unicode{230} }}_{{k - 1}}}{{\hat {p}}_{{k - 1}}} + {{{\unicode{230} }}_{k}}{{\hat {p}}_{{k + 1}}}$

В этом репере можно разложить векторы $\bar {\sigma }$, $d\bar {\sigma }{\text{/}}ds$ в виде

(3.3)

$\bar {\sigma } = {{P}_{k}}{{\hat {p}}_{k}},\quad \frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = P_{k}^{*}{{\hat {p}}_{k}},\quad \frac{{d\hat {\sigma }}}{{ds}} = P_{k}^{0}{{\hat {p}}_{k}}$

где определяющие соотношения (3.1), (3.3) в [1–3] названы постулатом изотропии: определяющие соотношения связи между напряжениями и деформациями инвариантны относительно ортогональных преобразований образа процесса в координатных пространствах E₅ и E₆.

В работе [6] профессор Ивлев Д.Д. отметил, что третий инвариант девиаторов напряжений и деформаций при ортогональном преобразовании образа процесса может изменяться, что приводит к нарушению постулата изотропии. Это изменение инвариантов девиаторов было ранее замечено в работах [1–3, 10]. Замечание Ивлева Д.Д. послужило поводом дискуссии 1960–61 годов по новому направлению развития теории пластичности, предложенному А.А. Ильюшиным [1–3]. В работе [4] А.А. Ильюшин отметил, что, (изменение третьих инвариантов тензоров является) как показали многочисленные эксперименты отечественных и зарубежных ученых, влияние третьих инвариантов на выполнение постулата изотропии является слабым и им можно пренебречь при малых упругопластических деформациях.

В работе [3] А.А. Ильюшин отметил, что нарушения постулата изотропии возможны в нелинейной теории упругости.

Как и всякая гипотеза, постулат изотропии имеет свои границы применимости. Однако систематических экспериментальных исследований по установлению этой границы не производилось.

4. Теория процессов упругопластического деформирования и расширенная теория течения. В соотношениях постулата изотропии (3.3) изменим ортонормированный базис $\{ {{\hat {p}}_{k}}\} $. Заменим в нем единичный вектор ${{\hat {p}}_{2}}$ на единичный вектор

(4.1)

$\hat {\sigma } = {{p}_{k}}\cos {{\beta }_{k}}\quad (k = 1,\;2,\; \ldots ,\;5)$

где β_k – угловые координаты $\hat {\sigma }$. Тогда соотношения для $d\bar {\sigma }{\text{/}}ds$ можно представить в виде

(4.2)

$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = {{M}_{m}}{{\hat {p}}_{m}} + M\hat {\sigma }\quad (m = 1,\;3,\;4,\;5)$

После умножения (4.2) на $\hat {\sigma }$ находим M и преобразуем (4.2) к виду

(4.3)

$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = {{M}_{m}}{{\hat {p}}_{m}} + \left( {\frac{{d\sigma }}{{ds}} - {{M}_{m}}\cos {{\beta }_{k}}} \right)\hat {\sigma }$

где ${{M}_{m}}(s) = \sigma M_{m}^{*}(s,{{{\unicode{230} }}_{m}})$ – функционалы процесса деформирования.

Представим вектор напряжений с учетом (4.1) в виде

$\bar {\sigma } = \sigma \hat {\sigma } = \sigma ({{\hat {p}}_{k}}\cos {{\beta }_{k}})$

Дифференцируя полученное выражение, находим

$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = \frac{{d\sigma }}{{ds}}\hat {\sigma } + \sigma \left( {\frac{{d\hat {\sigma }}}{{ds}}} \right) = \frac{{d\sigma }}{{ds}}\hat {\sigma } + \sigma \left[ {\frac{{d{{p}_{k}}}}{{ds}}\cos {{\beta }_{k}} + {{{\hat {p}}}_{k}}\frac{d}{{ds}}(\cos {{\beta }_{k}})} \right]$

Используя формулы (3.2), получаем

(4.4)

$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = \frac{{d\sigma }}{{ds}}\hat {\sigma }\left[ { - {{{\unicode{230} }}_{{k - 1}}}{{{\hat {p}}}_{{k - 1}}} + {{{\unicode{230} }}_{k}}{{{\hat {p}}}_{{k + 1}}}} \right]\cos {{\beta }_{k}} + {{\hat {p}}_{k}}\frac{d}{{ds}}(\cos {{\beta }_{k}})$

Исключая из полученного выражения (4.4)

${{\hat {p}}_{2}} = \frac{{\hat {\sigma } - {{{\hat {p}}}_{m}}\cos {{\beta }_{m}}}}{{\cos {{\beta }_{2}}}}\quad (m = 1,\;3,\;4,\;5)$

приходим к выражению вида (4.3).

Ограничимся далее частным случаем теории процессов – гипотезой компланарности. В этом случае три вектора $\bar {\sigma }$, $d\bar {\sigma }$, $d\bar {Э}$ всегда лежат в одной соприкасающейся плоскости репера Френе–Ильюшина и $k = m = 1$, ${{\beta }_{2}} = 90^\circ - {{\beta }_{1}}$. В этом случае из уравнений (4.3)–(4.4) получаем

(4.5)

$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = {{M}_{1}}{{\hat {p}}_{1}} + \left( {\frac{{d\sigma }}{{ds}} - {{M}_{1}}\cos {{\beta }_{1}}} \right)\hat {\sigma }$

(4.6)

$\frac{{d{{\beta }_{1}}}}{{ds}} + {{{\unicode{230} }}_{1}} = - \frac{{{{M}_{1}}}}{\sigma }\sin {{\beta }_{1}}$

Уравнение (4.5) можно записать также в виде

(4.7)

$\frac{{d\bar {Э}}}{{ds}} = \frac{1}{{{{M}_{1}}}}\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} + \left( {\cos {{\beta }_{1}} - \frac{1}{{{{M}_{1}}}}\frac{{d\sigma }}{{ds}}} \right)\hat {\sigma }$

Система уравнений (4.5), (4.6) теории процессов содержит два функционала. Для траекторий средней кривизны эти функционалы имеют вид

$\begin{gathered} {{M}_{1}} = 2{{G}_{p}} + (2G - 2G_{p}^{0}){{f}^{q}}({{\beta }_{1}}) \\ \sigma = Ф(s) \\ \end{gathered} $

где

$f = \frac{{1 - \cos {{\beta }_{1}}}}{2}$

– функционал сложного нагружения, q – экспериментально определяемый параметр, Φ(s) – универсальная функция упрочнения Одквиста–Ильюшина, G_p – модуль пластического сдвига, $G_{p}^{0}$ – его значение в точке излома траектории.

В теории течения введена основополагающая гипотеза о возможности разложения полных деформаций на упругие и пластические части

${{\varepsilon }_{{ij}}} = \varepsilon _{{ij}}^{e} + \varepsilon _{{ij}}^{p},\quad {{Э}_{{ij}}} = Э_{{ij}}^{e} + Э_{{ij}}^{p}$

С нашей точки зрения при сложном нагружении и разгружении это невозможно. Эта гипотеза противоречит также понятиям полной и неполной пластичности Хаара и Кармана [7]. В наших беседах с профессором Ивлевым Д.Д. по поводу гипотезы о разложении полных деформаций на упругую ${{\bar {Э}}^{e}}$ и пластическую ${{\bar {Э}}^{p}}$ части мы согласились, что, как и всякая гипотеза, она имеет пределы своей применимости. Если положить в уравнениях теории процессов (4.6), (4.7) M₁ = G, то получим расширенные основные уравнения теории течения

(4.8)

$\begin{gathered} \frac{{d\bar {Э}}}{{ds}} = \frac{1}{{2G}}\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} + \left( {\cos {{\beta }_{1}} - \frac{1}{{2G}}\frac{{d\sigma }}{{ds}}} \right)\hat {\sigma } \\ \frac{{d{{\beta }_{1}}}}{{ds}} + {{{\unicode{230} }}_{1}} = - \frac{{2G}}{\sigma }\sin {{\beta }_{1}} \\ \end{gathered} $

где $\sigma = Ф(s)$ – универсальная функция упрочнения. Из (4.8) следует

$\frac{{d{{{\bar {Э}}}^{e}}}}{{ds}} = \frac{1}{{2G}}\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}},\quad \frac{{d{{{\bar {Э}}}^{p}}}}{{ds}} = \left( {\cos {{\beta }_{1}} - \frac{1}{{2G}}\frac{{d\sigma }}{{ds}}} \right)$

Уравнения (4.8) удовлетворяют постулату изотропии для траекторий средней кривизны, содержат параметр ${{{\unicode{230} }}_{1}}$ сложного нагружения и угол сближения ${{\beta }_{1}}$, характеризующий векторные свойства материала. В целом уравнения (4.8) представляют собой уравнения расширенного варианта теории течения. Классический вариант теории свободного пластического течения получаем при ${{\beta }_{1}} = 0$, $\hat {\sigma } = {{\hat {p}}_{1}}$ ($\cos {{\beta }_{1}} = \hat {\sigma } \cdot {{\hat {p}}_{1}}$), ${{{\unicode{230} }}_{1}} \approx 0$ для траектории деформирования малой кривизны или близкой к простому нагружению. Для траекторий деформирования большой кривизны теория течения становится неприемлемой.

Таблица 1

Сектор	${{T}_{{\max }}}$	ω	φ°
I, IV	${{T}_{{13}}},\;{{T}_{{31}}}$	$\frac{{2\pi }}{3} - \varphi $	$0^\circ \leqslant \varphi \leqslant 60^\circ $$180^\circ \leqslant \varphi \leqslant 240^\circ $
II, V	${{T}_{{23}}},\;{{T}_{{32}}}$	$\varphi $	$120^\circ \leqslant \varphi \leqslant 180^\circ $$300^\circ \leqslant \varphi \leqslant 360^\circ $
II, VI	${{T}_{{12}}},\;{{T}_{{21}}}$	$\frac{{2\pi }}{3} + \varphi $	$60^\circ \leqslant \varphi \leqslant 120^\circ $$240^\circ \leqslant \varphi \leqslant 300^\circ $

Список литературы

Ильюшин А.А. Труды (1946–1966). Т. II. М.: Физматлит, 2004. 480 с.
Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Московского ун-та, 1990. 310 с.
Ильюшин А.А. Еще о постулате изотропии // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 1. С. 201–204.
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001, 701 с.
Ивлев Д.Д. О постулате изотропии в теории пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 2. С. 125–127.
Сборник. Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова. М.: ИИЛ, 1948. 452 с.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИИЛ, 1954. 647 с.
Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. 405 с.
Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971. 375 с.
Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. М.: Физматлит, 2010. 352 с.
Зубчанинов В.Г. Общая математическая теория пластичности и постулаты макроскопической определимости и изотропии // Вестник Московского ун-та. Серия 1. Математика и механика. 2018. № 5. С. 29–47.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал