Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 6, стр. 141-148
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СМЕСЕЙ
А. Н. Спорыхин *
Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия
* E-mail: anspor@mail.ru
Поступила в редакцию 21.06.2020
После доработки 27.06.2020
Принята к публикации 30.06.2020
Аннотация
Для описания поведения целого ряда реальных структур, состоящих из n компонент, используется обобщенная модель упруговязкопластического тела. В рамках предложенной модели многокомпонентного тела в строгой линеаризованной трехмерной постановке исследуется устойчивость многокомпонентных упруговязкопластических смесей. Показано, что исследование устойчивости докритического состояния смеси может быт сведено к исследованию устойчивости континуума с комплексными физико-механическими параметрами. Для однородных основных состояний приведены решения статических линеаризованных задач. Рассмотрен пример.
Введение. Исследованию устойчивости пластически деформирующихся сред посвящены многие исследования. Состояние исследований, проведенных на основании трехмерных линеаризованных уравнений устойчивости, отражено в обзорных статьях и монографиях [1–4 и др.]. При этом значительная часть конкретных результатов получена в основном для задач устойчивости в геомеханике [5–8 и др.]. Для описания поведения и исследования устойчивости в строгой линеаризованной трехмерной постановке целого ряда реальных структур, состоящих из n- компонент, необходимо привлекать более общие модели тел, так как в рамках простейших структурных моделей тел [8–11], невозможно адекватно описать поведение многокомпонентных сред. Ниже, для предложенной модели многокомпонентного тела, рассматривается один из возможных приближенных подходов к исследованию устойчивости многокомпонентных упруговязкопластических (EVP) смесей.
1. Определяющие соотношения EVP тела. Рассмотрим EVP многокомпонентное тело, механическая модель которого представляет собой последовательное соединение α (α = 1, 2, 3..L) моделей тела $S_{p}^{1} = H\sim StV\sim K$ [11], состоящего из последовательно соединенных тел: H-тела Гука, StV-тела Сен-Венана и K-тела Кельвина-Фойхта. При этом у каждой из этих моделей $S_{p}^{{\alpha }}$ свои собственные константы. Число α определяет порядок обобщенной модели тела $S_{p}^{{\alpha }}$.
Следуя [9–12], запишем соотношения, которые полностью определяют свойства обобщенной модели $S_{p}^{{\alpha }}$.
Тело остается упругим пока
(1.1)
${{S}_{{ij}}}{{S}^{{ij}}} < k_{1}^{2};\quad {{S}_{{ij}}} = {{{\sigma }}_{{ij}}} - \frac{1}{3}{{{\sigma }}_{{kk}}}{{{\delta }}_{{ij}}};\quad {{k}_{1}} \geqslant {{k}_{2}} \geqslant .. \geqslant {{k}_{L}}$(1.2)
${\sigma }_{{ij}}^{{\alpha }} = {{{\lambda }}_{{\alpha }}}\mathop {{\varepsilon }_{{nn}}^{{\alpha }}}\limits^e {{{\delta }}_{{ij}}} + 2{{{\mu }}_{{\alpha }}}\mathop {{\varepsilon }_{{ij}}^{{\alpha }},}\limits^e \quad {\alpha } = 1,2, \ldots ,L$Если ${{S}_{{ij}}}{{S}^{{ij}}} \geqslant k_{1}^{2}$, то полная деформация слагается из упругой и пластической
(1.3)
${{\varepsilon }_{{ij}}} = \varepsilon _{{ij}}^{1} + \varepsilon _{{ij}}^{2} + \ldots + \varepsilon _{{ij}}^{L} = \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{1}}\limits^e + \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{1}}\limits^p + \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{2}}\limits^e + \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{2}}\limits^p + \ldots + \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{L}}\limits^e + \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{L}}\limits^p $Здесь $\varepsilon _{{ij}}^{1},\varepsilon _{{ij}}^{2}, \ldots ,\,\varepsilon _{{ij}}^{L}~$ – деформации, соответственно, первой, второй и т.д. моделей $S_{p}^{\alpha }$. Пластическая составляющая объемной деформации моделей удовлетворяет условию несжимаемости
Следовательно, компоненты девиатора тензора деформации $\mathop {e_{{ij}}^{\alpha }}\limits^p $ тождественно равны компонентам тензора деформаций $\mathop {\varepsilon _{{ij}}^{\alpha }}\limits^p $.
Напряжения, приложенные к моделям одинаковы, тогда
(1.5)
$S_{{ij}}^{1} = S_{{ij}}^{2} = \ldots = S_{{ij}}^{L} = {{S}_{{ij}}}\quad (\sigma _{{ij}}^{1} = \sigma _{{ij}}^{2} = \ldots = \sigma _{{ij}}^{L})$Тензоры скоростей пластической деформации $\mathop {e_{{ij}}^{\alpha }}\limits^p $ связаны с тензором напряжений соотношениями ассоциированного закона течения
(1.6)
$\mathop {e_{{ij}}^{\alpha }}\limits^p = {{\psi }_{\alpha }}\left( {{{S}_{{ij}}} - {{c}_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{{ij}}^{\alpha }}\limits^p - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{\alpha }}\limits^p } \right),\quad \alpha = 1,2, \ldots ,L$(1.7)
$\left( {{{S}_{{ij}}} - {{c}_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{{ij}}^{\alpha }}\limits^p - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{\alpha }}\limits^p } \right)\left( {{{S}_{{ij}}} - {{c}_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{{ij}}^{\alpha }}\limits^p - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{\alpha }}\limits^p } \right) = {{k}_{a}},\quad \alpha = 1,2, \ldots ,L$Полные деформации связаны с перемещениями формулами Коши
Уравнения (1.1)–(1.8) с уравнениями равновесия
представляют собой систему уравнений, описывающих деформированное состояние EVP среды произвольного порядка.2. Постановка задачи об устойчивости деформирования EVP смесей. Рассмотрим сплошную среду объема V. Предположим, что на части поверхности Σp упруговязкопластического тела заданы поверхностные усилия pi, а на части поверхности ΣU заданы перемещения ui, причем величины pi и ui с ростом времени t стремятся или принимают значения $p_{i}^{0}$ и $u_{i}^{0}$, не зависящие от времени.
Пусть решение системы уравнений (1.1)–(1.9) при этих граничных условиях есть
(2.1)
$\mathop {{{\sigma }_{{ij}}}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}},t} \right),\;\mathop {{{\varepsilon }_{{ij}}}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}},t} \right),\;\mathop {e_{{ij}}^{{e\alpha }}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}},t} \right),\;\mathop {e_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}},t} \right),\;\mathop {{{u}_{i}}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}},t} \right)$Будем предполагать, что с ростом времени эти решения стремятся к
(2.2)
$\mathop {{{\sigma }_{{ij}}}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}}} \right),\;\mathop {{{\varepsilon }_{{ij}}}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}}} \right),\;\mathop {e_{{ij}}^{{e\alpha }}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}}} \right),\;\mathop {e_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}}} \right),\;\mathop {{{u}_{i}}}\limits^0 \left( {{{x}_{k}}} \right)$В дальнейшем исследуется устойчивость этого состояния по отношению к малым возмущениям, т.е. на основе динамического подхода при предположении, что об устойчивости движения можно судить по линеаризованной системе уравнений (1.1)–(1.9). При этом для упрощения задачи ввиду ее сложности, принимаем обобщенную концепцию продолжающегося нагружения [2, 3], и будем исследовать соответствующую линеаризованную задачу с известными зонами разгрузки, возникшими в докритическом состоянии.
В случае первого варианта теории малых докритических деформаций [5] трехмерные линеаризованные уравнения равновесия имеют вид
(2.3)
${{\nabla }_{s}}\left( {\mathop {\sigma _{j}^{s}}\limits^ + + \mathop {\sigma _{k}^{s}}\limits^0 {{\nabla }^{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + } \right) + \mathop {{{X}_{j}}}\limits^ + - \rho \frac{{{{\partial }^{2}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + }}{{\partial {{t}^{2}}}} = 0$Здесь и далее верхние индексы “+” и “0” приписаны, соответственно, компонентам невозмущенного состояния и возмущениям.
Граничные условия на внешней поверхности ${{\sum }_{p}}$ обобщенного EVP тела следующие
(2.4)
${{N}_{s}}\left( {\mathop {\sigma _{j}^{s}}\limits^ + + \mathop {\sigma _{k}^{s}}\limits^0 {{\nabla }^{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + } \right) = \mathop {{{P}_{j}}}\limits^ + $(2.5)
$\mathop {{{P}_{j}}}\limits^ + = \mathop {{{P}_{k}}}\limits^0 {{\nabla }^{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + ,\mathop {{{X}_{j}} = }\limits^ + \mathop {{{X}_{K}}}\limits^0 {{\nabla }^{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + $Если на части поверхности тела ΣU заданы перемещения, то граничные условия принимают вид
Для компонент тензора деформаций имеют место формулы Коши
(2.8)
$2\mathop {{{\varepsilon }_{{jk}}}}\limits^ + = {{\nabla }_{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + \, + {{\nabla }_{j}}\mathop {{{u}_{k}},}\limits^ + \quad 2\mathop {{{\varepsilon }_{{jk}}}}\limits^0 = {{\nabla }_{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^0 \, + {{\nabla }_{j}}\mathop {{{u}_{k}}}\limits^0 $Соотношение (1.2) в этом случае запишется
(2.9)
$\mathop {\sigma _{{ij}}^{\alpha }}\limits^ + = {{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{{nn}}^{{e\alpha }}}\limits^ + \, + 2{{\mu }_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{{ij}}^{{e\alpha }},}\limits^ + \quad \alpha = 1,2, \ldots ,L$Для полных деформаций из (1.3) следует:
(2.10)
$\mathop {{{\varepsilon }_{{ij}}}}\limits^ + = \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\mathop {\varepsilon _{{ij}}^{\alpha }}\limits^ + } = \sum\limits_{\alpha = 1}^L {(\mathop {\varepsilon _{{ij}}^{{e\alpha }}}\limits^ + \, + \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^ + )} $Условие пластической несжимаемости таково:
Для несжимаемого упрочняющегося EVP обобщенного $S_{p}^{\alpha }$ тела линеаризированные условия пластичности (1.7) и ассоциированный закон течения (1.6) принимают, соответственно, вид
(2.12)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\mathop {S_{j}^{k}}\limits^0 - {{c}_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{j}^{{p\alpha k}}}\limits^0 - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^0 } \right)\left( {\mathop {S_{j}^{k}}\limits^ + - {{c}_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{j}^{{p\alpha k}}}\limits^ + - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^ + } \right) = 0,} \\ {\mathop {e_{j}^{{p\alpha k}}}\limits^ + = \mathop {{{\psi }_{\alpha }}}\limits^0 \left( {\mathop {S_{j}^{k}}\limits^ + - {{c}_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{j}^{{p\alpha k}}}\limits^ + - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^ + } \right) + \mathop {{{\psi }_{\alpha }}}\limits^ + \left( {\mathop {S_{j}^{k}}\limits^0 - {{c}_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{j}^{{p\alpha k}}}\limits^0 - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^0 } \right),} \end{array}\quad \alpha = 1,2, \ldots ,L$Исключая из соотношений (2.10) вариации упругих $\mathop {\varepsilon _{k}^{{e\alpha }}}\limits^ + $, а также пластических $\mathop {\varepsilon _{k}^{{p\alpha }}}\limits^ + $ деформаций и величины $\mathop {{{\psi }_{\alpha }}}\limits^ + $ получим
(2.13)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {2{{\mu }_{\alpha }}\mathop {{{\sigma }^{{ij}}}}\limits^ + - \frac{2}{3}{{\mu }_{\alpha }}\left( {3{{\lambda }_{\alpha }} + 2{{\mu }_{\alpha }}} \right)\mathop {\varepsilon _{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}} - {{c}_{\alpha }}\left( {{{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}} + 2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{ik}}}{{g}^{{jl}}}\mathop {\varepsilon _{{kl}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{\sigma }^{{ij}}}}\limits^ + } \right) - } \right.} \\ {\left. {\, - {{\eta }_{\alpha }}\left( {{{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\dot {\varepsilon }_{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}} + 2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{ik}}}{{g}^{{jl}}}\mathop {\dot {\varepsilon }_{{kl}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{{\dot {\sigma }}}^{{ij}}}}\limits^ + } \right)} \right)\left( {\mathop {{{S}_{{ij}}}}\limits^0 - {{c}_{\alpha }}\mathop {{{\varepsilon }^{{p\alpha }}}}\limits^0 - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^0 } \right) = 0,} \end{array}$(2.14)
$\begin{gathered} (1 + 2{{\eta }_{\alpha }}\mathop {{{\psi }_{\alpha }}}\limits^0 )\left( {{{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\dot {\varepsilon }_{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}} + 2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{ik}}}{{g}^{{jl}}}\mathop {\dot {\varepsilon }_{{kl}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{{\dot {\sigma }}}^{{ij}}}}\limits^ + } \right) + 2{{c}_{\alpha }}\mathop {{{\psi }_{\alpha }}}\limits^0 \left( {{{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}} + } \right. \\ \, + \left. {2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{ik}}}{{g}^{{jl}}}\mathop {\varepsilon _{{kl}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{\sigma }^{{ij}}}}\limits^ + } \right) = k_{\alpha }^{{ - 2}}\left( {{{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\dot {\varepsilon }_{n}^{{\alpha n}}}\limits^ + {{g}^{{kl}}} + 2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{nk}}}{{g}^{{ml}}}\mathop {\dot {\varepsilon }_{{nm}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{{\dot {\sigma }}}^{{kl}}}}\limits^ + } \right) \times \\ \, \times \left( {\mathop {{{S}_{{kl}}}\,}\limits^0 - {{c}_{\alpha }}\mathop {{{\varepsilon }_{{kl}}}^{{p\alpha }}}\limits^0 \, - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{kl}}^{{p\alpha }}}\limits^0 } \right)\left( {\mathop {{{S}^{{ij}}}}\limits^0 - {{c}_{\alpha }}\mathop {{{\varepsilon }^{{p\alpha ij}}}}\limits^0 - {{\eta }_{\alpha }}\mathop {e_{{kl}}^{{p\alpha }}}\limits^0 } \right) + \\ + \,\,2\mathop {{{\psi }_{\alpha }}}\limits^0 \left( {2{{\mu }_{\alpha }}\mathop {{{\sigma }^{{ij}}}}\limits^ + \, - \frac{2}{3}{{\mu }_{\alpha }}\left( {3{{\lambda }_{\alpha }} + 2{{\mu }_{\alpha }}} \right)\mathop {\varepsilon _{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}}} \right),\quad \alpha = 1,2, \ldots ,L \\ \end{gathered} $Таким образом, линеаризованные уравнения состояния (2.13), (2.14) для обобщенного $S_{p}^{\alpha }$ тела совместно с соотношениями (2.8)–(2.10) и линеаризированными уравнениями второго варианта трехмерной теории устойчивости при малых деформациях (2.3) с краевыми условиями (2.4), (2.7) представляют собой замкнутую связную краевую задачу. Уравнения (2.3), (2.8), (2.10), (2.13), (2.14), описывающие возмущенное состояние обобщенной модели $S_{p}^{\alpha }$ произвольного порядка представляют собой сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных с нестационарными коэффициентами. Поэтому практическое значение в решении проблем устойчивости неупругих сред получил приближенный подход [4], позволяющий исследование устойчивости основного состояния производить по предельной системе уравнений.
Устремляя время t к бесконечности, и учитывая, что при этом $\mathop {\dot {\varepsilon }_{{ij}}^{{p\alpha }}}\limits^0 \xrightarrow[{t \to \infty }]{}0,$ $\mathop {{{\psi }_{\alpha }}}\limits^0 \xrightarrow[{t \to \infty }]{}0,$ $(\alpha = 1,2 \ldots L)$ получаем предельную систему уравнений.
Уравнения равновесия таковы:
(2.15)
${{\nabla }_{s}}\left( {\mathop {\sigma _{j}^{s}}\limits^ + \, + \mathop {\sigma _{k}^{s}}\limits^0 {{\nabla }^{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + } \right) + \mathop {{{X}_{j}}}\limits^ + \, - \rho \mathop {{{{\ddot {u}}}_{j}}}\limits^ + = 0$Уравнения состояния принимают вид
(2.16)
$\begin{gathered} \left. {\, - {{\eta }_{\alpha }}\left( {{{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\dot {\varepsilon }_{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}} + 2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{ik}}}{{g}^{{jl}}}\mathop {\dot {\varepsilon }_{{kl}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{{\dot {\sigma }}}^{{ij}}}}\limits^ + } \right)} \right)\left( {\mathop {{{S}_{{ij}}}}\limits^0 \, - {{c}_{\alpha }}\mathop {{{\varepsilon }_{{ij}}}^{{p\alpha }}}\limits^0 } \right) = 0 \\ {{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{k}^{{\alpha k}}}\limits^ + {{g}^{{ij}}} + 2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{ik}}}{{g}^{{jl}}}\mathop {\varepsilon _{{kl}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{\sigma }^{{ij}}}}\limits^ + = {{k}^{{ - 2}}}\left( {{{\lambda }_{\alpha }}\mathop {\varepsilon _{n}^{{\alpha n}}}\limits^ + {{g}^{{kl}}} + 2{{\mu }_{\alpha }}{{g}^{{nk}}}{{g}^{{ml}}}\mathop {\varepsilon _{{nm}}^{\alpha }}\limits^ + \, - \mathop {{{\sigma }^{{kl}}}}\limits^ + } \right) \times \\ \end{gathered} $При этом вариации компонент тензора деформации связаны с вариациями компонент вектора перемещений формулами Коши (2.8).
Краевые условия на загруженной поверхности тела ΣP таковы
(2.17)
${{N}_{s}}\left( {\mathop {\sigma _{j}^{s}}\limits^ + + \mathop {\sigma _{k}^{s}}\limits^0 {{\nabla }^{k}}\mathop {{{u}_{j}}}\limits^ + } \right) = \mathop {{{P}_{j}}}\limits^ + $3. Общее решение трехмерных уравнений устойчивости для однородных основных состояний смеси. Рассмотрим краевую задачу (2.15)–(2.17), (2.8). Выкладки проведем в декартовых координатах. Решение этих уравнений будем искать в виде
(3.1)
$\mathop {{{u}_{i}}}\limits^ + \left( {{{x}_{k}},t} \right) = {{u}_{j}}\left( {{{x}_{k}}} \right){{e}^{{st}}},\quad \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{\alpha }}\limits^ + \left( {{{x}_{k}},t} \right) = \mathop {\varepsilon _{{ij}}^{\alpha }}\limits^ + \left( {{{x}_{k}}} \right){{e}^{{st}}},\quad \mathop {{{\sigma }_{{ij}}}}\limits^ + \left( {{{x}_{k}},t} \right) = \mathop {{{\sigma }_{{ij}}}}\limits^ + \left( {{{x}_{k}}} \right){{e}^{{st}}}$Подставляя решения (3.1) в уравнение (2.15) получим
(3.2)
$\left( {{{\sigma }_{{ij}}} + \mathop {{{\sigma }_{{jk}}}}\limits^0 {{u}_{{i,k}}}} \right) + {{X}_{i}} + \rho {{\omega }^{2}}{{u}_{i}} = 0$Из соотношений (2.16) получаем
(3.3)
$\sum\limits_{\alpha = 1}^L {\frac{1}{{2{{\mu }_{\alpha }}}}{{\sigma }_{{ij}}} = {{\varepsilon }_{{ij}}} + } \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\frac{{b_{\alpha }^{0}}}{{(1 - 3b_{\alpha }^{0})}}} \,{{\varepsilon }_{{nn}}}{{\delta }_{{ij}}} + \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\frac{{a_{\alpha }^{0}}}{{(1 - a_{\alpha }^{0}k_{\alpha }^{2})}}} \,{{\varepsilon }_{{kl}}}\mathop {f_{{kl}}^{\alpha }}\limits^0 \mathop {f_{{ij}}^{\alpha }}\limits^0 $(3.4)
$a_{\alpha }^{0} = \frac{{{{{\hat {a}}}_{\alpha }}}}{{k_{\alpha }^{2}{{{\hat {a}}}_{\alpha }} - 2{{\mu }_{\alpha }}}},\quad b_{\alpha }^{0} = \frac{{{{\lambda }_{\alpha }}}}{{3{{\lambda }_{\alpha }} + 2{{\mu }_{\alpha }}}},\quad {{\hat {a}}_{\alpha }} = \frac{{4\mu _{\alpha }^{2}}}{{k_{\alpha }^{2}\left( {2{{\mu }_{\alpha }} + {{c}_{\alpha }} + s{{\eta }_{\alpha }}} \right)}},\quad \alpha = 1,2, \ldots ,L$Соотношения (3.3) можно трактовать как зависимость между напряженным и деформируемым состоянием в упругой среде (смеси) с комплексными модулями упругости.
Связь между амплитудными величинами деформаций и перемещений, а также граничные условия на поверхности ΣP среды, согласно (3.1), (2.8) и (2.7) представима в виде
(3.6)
$\left( {{{\sigma }_{{ij}}} + \mathop {{{\sigma }_{{jk}}}}\limits^0 {{u}_{{i,k}}}} \right){{n}_{j}} = {{P}_{i}}$Таким образом, в рамках принятой механической модели EVP смеси исследование устойчивости докритического состояния смеси сведено к исследованию устойчивости анизотропного континуума с комплексными физико-механическими параметрами.
Пусть начальное состояние является однородным. Под однородным состоянием понимается такой вид деформирования, при котором плотность постоянна в частице и одинакова для всех частиц, а напряженно-деформируемое состояние EVP смеси определяется соотношениями:
(3.7)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {{{\sigma }_{{11}}}}\limits^0 = \mathop {{{\sigma }_{{22}}}}\limits^0 = - q,\quad \mathop {{{\sigma }_{{33}}}}\limits^0 = - p;\quad {{\sigma }_{{ij}}} = 0,\quad i \ne j} \\ {\mathop {{{\varepsilon }_{{11}}}}\limits^0 = \mathop {\varepsilon _{{11}}^{1}}\limits^0 + \mathop {\varepsilon _{{22}}^{2}}\limits^0 + \ldots = \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\left( {\mathop {\varepsilon _{{11\alpha }}^{e}}\limits^0 + \mathop {\varepsilon _{{22\alpha }}^{p}}\limits^0 } \right)} = \mathop {{{\varepsilon }_{{22}}}}\limits^0 = - 0.5\mathop {{{\varepsilon }_{{33}}}}\limits^0 = \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\left( {\mathop S\limits^0 c_{\alpha }^{{ - 1}} + \frac{{p - q}}{{6{{\mu }_{\alpha }}}}} \right)} } \\ {\mathop S\limits^0 = \frac{1}{3}(p - q - {{k}_{\alpha }}\sqrt {1,5} )} \end{array}$Здесь трехмерное тело сжато вдоль оси Ox3 усилиями интенсивности p и вдоль осей Ox1 и Ox2 усилиями интенсивности q.
Линеаризированные уравнения движения (3.2) в этом случае представимы в виде:
(3.8)
${{\left[ {{{\sigma }_{{ij}}} - q({{\delta }_{{j1}}}{{u}_{{i,1}}} + {{\delta }_{{j2}}}{{u}_{{i,2}}}) - p{{\delta }_{{j3}}}{{u}_{{i,3}}}} \right]}_{{,j}}} - \rho {{s}^{2}}{{u}_{i}} = 0;{{X}_{i}} = 0$Граничные условия (3.6) принимают вид:
(3.9)
$\left[ {{{\sigma }_{{ij}}} - q\left( {{{\delta }_{{j1}}}{{u}_{{i,1}}} + {{\delta }_{{j2}}}{{u}_{{i,2}}}} \right) - p{{\delta }_{{j3}}}{{u}_{{i,3}}}} \right]{{n}_{j}} = {{P}_{i}}$Линеаризованная связь (3.3) между амплитудными величинами напряжений и деформаций для сжимаемых EVP смесей для основного состояния определяемого соотношениями (3.7), в том числе в случаях зависимости компонент напряжений, деформаций и перемещений основного состояния от одной переменной может быть представлена в форме:
(3.10)
${{\sigma }_{{ij}}} = {{\delta }_{{ij}}}{{a}_{{jk}}}{{u}_{{k,k}}} + \left( {1 - {{\delta }_{{ij}}}} \right){{G}_{{ij}}}\left( {{{u}_{{i,j}}} + {{u}_{{j,i}}}} \right),\sum\limits_1^3 k $(3.11)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{jk}}} = \left( {{{\delta }_{{jk}}} + {{B}_{{jj}}} + {{A}_{{jj}}}} \right){{A}^{{ - 1}}},\quad {{G}_{{ij}}} = \frac{1}{2}{{A}^{{ - 1}}} = G,\quad A = \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\frac{1}{{2{{\mu }_{\alpha }}}}} } \\ {{{A}_{{ij}}} = \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\frac{{b_{\alpha }^{0}}}{{(1 - 3b_{\alpha }^{0})}}} {{\delta }_{{ij}}},\quad {{B}_{{ij}}} = \sum\limits_{\alpha = 1}^L {\frac{{a_{\alpha }^{0}}}{{(1 - a_{\alpha }^{0}k_{\alpha }^{2})}}} \mathop {f_{{kk}}^{\alpha }}\limits^0 \mathop {f_{{ij}}^{\alpha }}\limits^0 ,k} \end{array}$При ${{\hat {a}}_{\alpha }} = 0,$ $a_{\alpha }^{0} = 0$ получаем коэффициенты ajk и Gij для сжимаемой упругой смеси [4]
(3.12)
${{a}_{{jk}}} = \left( {{{\delta }_{{jk}}} + {{A}_{{jj}}}} \right){{A}^{{ - 1}}},\quad {{G}_{{ij}}} = \frac{1}{2}{{A}^{{ - 1}}} = G$Такая форма представления линеаризованных уравнений состояния для представленной здесь модели (3.10) позволяет построить согласно [12], решение уравнений трехмерной теории устойчивости в форме (3.8), аналогично приведенным для упругих, вязкоупругих и пластических тел [3–8, 11].
Подстановка выражений (3.10) в уравнение (3.8) приводит к системе уравнений в амплитудах перемещений:
Дифференциальные операторы имеют вид:
(3.14)
$\begin{gathered} {{L}_{{ij}}} = {{\delta }_{{ij}}}\left( {{{M}_{{in}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{n}}^{2}}} - \rho s{}^{2}} \right) + \left( {1 - {{\delta }_{{ij}}}} \right){{F}_{{ij}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{x}^{j}}}},\left( {\Sigma \,n} \right) \\ {{F}_{{ij}}} = {{a}_{{ij}}} + {{G}_{{ij}}},{{M}_{{in}}} = \left\{ \begin{gathered} {{a}_{{ii}}} - q\left( {{{\delta }_{{in}}} + {{\delta }_{{2n}}}} \right) - p{{\delta }_{{3n}}},\quad \left( {i = n} \right) \hfill \\ {{G}_{{in}}} - q\left( {{{\delta }_{{in}}} + {{\delta }_{{2n}}}} \right) - p{{\delta }_{{3n}}},\quad \left( {i \ne n} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $Проделав выкладки, аналогичные выполненным в работах [3, 11] получаем общее решение системы (3.13), (3.14) в форме, совпадающей с приведенной в [4, 6].
(3.15)
$\begin{gathered} {{u}_{1}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}{{\psi }_{1}} - \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{x}_{3}}}}\psi ,\quad {{u}_{2}} = - \frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}}{{\psi }_{1}} - \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}\partial {{x}_{3}}}}\psi \\ {{u}_{3}} = \frac{{{{a}_{{11}}} - q}}{{G + {{a}_{{31}}}}}\left( {\Delta + \frac{{G - p}}{{{{a}_{{11}}} - q}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{3}}^{2}}} - \frac{{\rho s{}^{2}}}{{{{a}_{{11}}} - q}}} \right)\psi \\ \end{gathered} $Функции $\psi $ и ${{\psi }_{1}}$ являются решениями уравнений:
(3.16)
$\begin{gathered} \left( {\Delta + \frac{{G - p}}{{G - q}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{3}}^{2}}} - \frac{{\rho s{}^{2}}}{{G - q}}} \right){{\psi }_{1}} = 0,\quad \Delta = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{1}}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}^{2}}} \\ \left[ {\left( {\Delta + \frac{{G - p}}{{{{a}_{{11}}} - q}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{3}}^{2}}} - \frac{{\rho s{}^{2}}}{{{{a}_{{11}}} - q}}} \right)\left( {\Delta + \frac{{{{a}_{{33}}} - p}}{{G - q}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{3}}^{2}}} - \frac{{\rho s{}^{2}}}{{G - q}}} \right) - } \right. \\ \left. {\, - \frac{{\left( {G + {{a}_{{13}}}} \right)\left( {G + {{a}_{{31}}}} \right)}}{{\left( {{{a}_{{11}}} - q} \right)\left( {G - q} \right)}}\Delta \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{3}}^{2}}}} \right]\psi = 0 \\ \end{gathered} $После подстановки решения (3.15) уравнений устойчивости в граничные условия (3.9) получаем характеристические уравнения относительно s. Критические значения величины p и q находятся из условия:
Так как, представленные решения имеют формулу, совпадающую с приведенной [4, 6] для EVP тел, следовательно и характеристические определители полученные для класса EVP задач в [4, 6] остаются в силе и для EVP смесей любого порядка. В окончательном результате лишь необходимо подставить значение ajk и Gjk определенных формулами (3.11).
Здесь ограничимся квазистатической постановкой задачи о неустойчивости свободной поверхности смеси произвольного порядка при сжатии (явления – skin effect; Biot M.A [14]).
Ненулевые компоненты напряженно-деформированного состояния до потери устойчивости определяются соотношениями (3.7), где q = 0.
Опуская промежуточные выкладки, которые аналогичны приведенным в [4], получаем характеристическое уравнение в виде:
(3.18)
$\begin{gathered} \{ {{a}_{{23}}}\left( {G + {{a}_{{32}}}} \right) + {{a}_{{22}}}(G\xi _{1}^{2} - ({{a}_{{33}}} - p))\} ({{a}_{{33}}} - p + {{a}_{{32}}}\xi _{2}^{2}) - \\ \, - \{ {{a}_{{23}}}((G + {{a}_{{32}}})) + {{a}_{{22}}}(G\xi _{2}^{2} - ({{a}_{{33}}} - p))\} ({{a}_{{33}}} - p + {{a}_{{32}}}\xi _{1}^{2}) = 0 \\ \end{gathered} $Здесь коэффициенты ${{a}_{{jk}}}$ определяются выражениями (3.11), где q = 0, a ${{\xi }_{i}}$ (i = 1, 2) удовлетворяют уравнению:
(3.19)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\xi _{{1,2}}^{2} = \frac{B}{{2C}} \pm \sqrt {{{{\left( {\frac{B}{{2C}}} \right)}}^{2}} - \frac{D}{C}} ,} \\ \begin{gathered} B = G\left( {G - p} \right) + {{a}_{{22}}}\left( {{{a}_{{22}}} - p} \right) - \left( {G + {{a}_{{23}}}} \right)\left( {G + {{a}_{{32}}}} \right) \\ C = G{{a}_{{22}}},\quad D = ({{a}_{{22}}} - p)(G - p) \\ \end{gathered} \end{array}$Критическое значение величины p находится из этого уравнения в рамках алгоритма численной реализации определения корня, при условии (3.17).
Отметим, если обобщенная модель EVP смеси имеет первый порядок, т.е. $S_{p}^{\alpha } = S_{p}^{1}$, то в этом случае следуют результаты работы [4] для EVP тела.
Список литературы
Гузь А.Н., Спорыхин А.Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Общие вопросы // Прикл. механика. 1982. Т. 18. № 7. С. 3–22.
Гузь А.Н., Спорыхин А.Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Конкретные результаты // Прикл. механика. 1982. Т. 18. № 8. С. 3–27.
Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Вища школа, 1986. 512 с.
Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 1997. 361 с.
Гузь А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев: Наукова Думка, 1977. 204 с.
Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Устойчивость равновесия пространственных тел и задачи механики горных пород. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 232 с.
Спорыхин А.Н., Гоцев Д.В. Метод возмущений в задачах устойчивости подкрепленных горных выработок // Издательско-полиграфический центр. Воронеж. госунивер., 2010. 298 с.
Спорыхин А.Н. Неконсервативные задачи трехмерной теории неупругой устойчивости в геомеханике. Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2015. 372 с.
Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. 223 с.
Ивлев Д.Д., Быковцев Т.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. 231 с.
Спорыхин А.Н. Об устойчивости деформирования упруговязкопластических тел // ПМТФ. 1967. № 4. С. 52–58.
Спорыхин А.Н. Об одной модели упруговязкопластических смесей. Сборник трудов IX Всероссийской конференции. Воронеж. 2016. С. 199–201.
Лурье А.И. К теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Тр. Ленингр. индустр. ин-та. 1937. Т. 3. № 6. С. 31–36.
Biot M.A. Mechanics of jocremehtal deformation. N.-Y.: John Willey and Sons. 1965. P. 506.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела
Пн.-пт.: 10.00-19.00