Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 6, стр. 59-64

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА НАД ТЕНЗОРНЫМИ ПОЛЯМИ ВЫСОКИХ РАНГОВ

Д. В. Георгиевский ab*

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

b Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: georgiev@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 28.02.2020
После доработки 11.03.2020
Принята к публикации 30.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

На тензорные поля произвольного ранга в многомерном пространстве естественным образом распространяются понятия операторов дивергенция, градиент, ротор, деформатор, а также их суперпозиций второго порядка. Приводятся два варианта обобщения ротора как внешнего произведения. Подробно рассматриваются дифференциальные операторы второго порядка, не меняющие ранг тензора, к которому применяются. Вводятся квадратные матрицы, состоящие из дифференциальных операторов ${\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}$, ${\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}$, и устанавливается их взаимосвязь. Выписывается явное выражение для повторного оператора ротор. Все введенные обобщенные операторы в частных случаях согласуются по своим свойствам с соответствующими им классическими в векторном и тензорном анализе операторами.

Ключевые слова: линейный дифференциальный оператор, дивергенция, градиент, ротор, лапласиан, деформатор, тензор, ранг, полиада, символ Леви-Чивиты

1. Обобщения операторов Div, Grad, Rot и их суперпозиции. Современные методы функционального анализа в приложениях механики и математической физики [1, 2] подразумевают оперирование в многомерном пространстве с тензорами, ранг которых больше двух. На такие объекты необходимо распространение понятий классических в векторном и тензорном анализе [36] линейных дифференциальных операторов первого порядка и их суперпозиций второго порядка.

Рассмотрим в пространстве Rn с декартовым базисом $\{ {{{\mathbf{e}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{e}}}_{n}}\} $ дважды дифференцируемые тензорные поля ${{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}({\mathbf{x}})$ ранга $m \geqslant 0$, задаваемые в полиаде ${{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}}$ своими компонентами:

(1.1)
${{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}({\mathbf{x}}) = {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}}}}}({\mathbf{x}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}},\quad 1 \leqslant {{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{m}} \leqslant n$

Здесь и далее суммирование по повторяющимся два раза латинским индексам происходит от 1 до размерности $n$ пространства. Запятая в индексе означает частное дифференцирование по координатам $x$ с индексами, стоящими после запятой.

Как известно, в векторном и тензорном анализе выделяется три типа линейных дифференциальных операторов первого порядка, соответствующих разным видам умножения оператора набла $\nabla \equiv {{{\mathbf{e}}}_{i}}(\partial {\text{/}}\partial {{x}_{i}})$ на объект. Применительно к тензорному полю (1.1) естественно построить их следующим образом.

1) Введем m операторов Div(l), $l = 1, \ldots ,m$; $m \geqslant 1$, каждый из которых понижает на единицу ранг объекта:

(1.2)
${{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m - 1\} }}} = \nabla \mathop \cdot \limits^{(l)} ({{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}}) \equiv {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},{{i}_{l}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l + 1}}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}}$

2) Введем m + 1 операторов Grad(k), $k = 1, \ldots ,m + 1$; $m \geqslant 0$, каждый из которых повышает на единицу ранг объекта:

(1.3)
$\begin{gathered} {{({\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m + 1\} }}} = \nabla \;\mathop \otimes \limits^{(k)} \;({{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}}) \equiv \\ \, \equiv {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},j}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{k - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{j}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{k}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \\ \end{gathered} $

В случае $k = m + 1$ вектор ej присоединяется к полиаде справа от ${{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}}$.

3) Оператор ротор Rot (в англоязычной литературе чаще принимается обозначение Curl, введенное еще Дж. Максвеллом и являющееся в векторном анализе полным синонимом символа Rot) на тензорные поля ранга m в n-мерном пространстве можно распространить несколькими способами. Приведем два из них, причем в одном используем обозначение Curl, а в другом для отличия Rot.

3a) По аналогии с выражениями (1.2), (1.3) с привлечением n-индексных символов Леви-Чивиты запишем

(1.4)
$\begin{gathered} {{({\text{Cur}}{{{\text{l}}}_{{(q)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ n + m - 3\} }}} = \nabla \mathop \times \limits^{(q)} ({{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}}) \equiv \\ \, \equiv {{\varepsilon }_{{{{j}_{1}} \ldots {{j}_{n}}}}}{{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{q - 1}}}{{j}_{n}}{{i}_{{q + 1}}} \ldots {{i}_{m}},{{j}_{{n - 1}}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{q - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{j}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{j}_{{n - 2}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{q + 1}}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \\ q = 1, \ldots ,m;\quad m \geqslant 1 \\ \end{gathered} $

Здесь векторное произведение $\nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{q}}}}}$ понимается [7] как внешнее произведение в Rn, представляющее собой тензор ранга n – 2. Соответствующая этому тензору полиада ${{{\mathbf{e}}}_{{{{j}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{j}_{{n - 2}}}}}}$ вставлена в (1.4) в исходную полиаду ${{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}}$ вместо вектора ${{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{q}}}}}$. Тензор ${\text{Curl}}{{{\kern 1pt} }_{{(q)}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ (1.4) имеет ранг $n + m - 3$, т. е. в трехмерном пространстве оператор Curl не меняет ранг объекта при любом m. В пространстве же любой другой размерности ранг не сохраняется. Повторный оператор Curl Curl делает ранг объекта ${{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ равным $n + (n + m - 3) - 3 = 2n + m - 6$. Как и ранее, при n = 3 ранг объекта при любом m сохраняется, а при n ≠ 3 обязательно меняется.

3b) Оператор ${\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ можно определить более просто, минуя этап с $\nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{q}}}}}$, как прямое внешнее произведение

(1.5)
$\begin{gathered} {{({\text{Rot}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ n - m - 1\} }}} = \nabla \times {{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}} \equiv {{\varepsilon }_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}{{A}_{{{{i}_{{n - m + 1}}} \ldots {{i}_{n}},{{i}_{{n - m}}}}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{n - m - 1}}}}}} \\ 0 \leqslant m \leqslant n - 1 \\ \end{gathered} $

Ранг тензора ${\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ равен $n - m - 1$. Лишь при $n = 2m + 1$, что возможно только в нечетномерных пространствах, ранги ${\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ и самого тензора A{m} совпадают. Это реализуется, например, при n = 3 и m = 1, когда речь идет о классическом понятии ротора векторного поля в R3. Заметим, что в двумерном пространстве ротор вектора – скалярная величина, так же как и ротор тензора второго ранга в трехмерном пространстве. Повторный оператор Rot Rot, о котором пойдет речь в дальнейшем, не меняет ранг объекта ни при каких n и m, удовлетворяющих неравенствам $0 \leqslant m \leqslant n - 1$. Данный факт делает предпочтительнее определение (1.5) в сравнении с (1.4) с точки зрения обобщения со случая n = 3, m = 1, когда

${\text{Curl}}{{{\kern 1pt} }_{{(1)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ 1\} }}} = {\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ 1\} }}}$

Из-за наличия в (1.5) символов Леви-Чивиты тензор ${\text{Rot}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ антисимметричен по перестановке любой пары своих $n - m - 1$ индексов, что сокращает число его линейно независимых компонент до $C_{n}^{{n - m - 1}}$, или $C_{n}^{{m + 1}}$.

Из выражений (1.2), (1.3), (1.5) суперпозициями можно образовать девять типов линейных дифференциальных операторов второго порядка. Два из них тождественно нулевые:

(1.6)
$\begin{gathered} {{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ n - m - 2\} }}} = ({\text{Rot}}{\kern 1pt} \,{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}{{)}^{{\{ n - m - 2\} }}} \equiv {{0}^{{\{ n - m - 2\} }}} \\ l = 1, \ldots ,n - m - 1;\quad k = 1, \ldots ,m + 1;\quad 0 \leqslant m \leqslant n - 2 \\ \end{gathered} $

В R3 при m = 1, l = 1 и при m = 0, k = 1 равенства (1.6) приводят к двум известным тождествам векторного анализа.

Среди оставшихся семи типов интерес в приложениях механики и математической физики представляют суперпозиции, оставляющие ранг объекта неизменным. Таких типов три:

${\text{rang}}{\kern 1pt} \,({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}) = m,\quad l,k = 1, \ldots ,m + 1$
${\text{rang}}\,({\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}) = m,\quad l,k = 1, \ldots ,m$
${\text{rang}}{\kern 1pt} \,({\text{Rot}}\,{\text{Rot}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}) = n - (n - m - 1) - 1 = m$

2. Матрицы, состоящие из операторов ${\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}$, ${\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}$, и их связь. Согласно определениям (1.2) и (1.3)

(2.1)
$\begin{gathered} {{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \\ \, = {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},{{i}_{l}}j}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l + 1}}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{k - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{j}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{k}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \\ {\text{если}}\quad 1 \leqslant l < k \leqslant m + 1 \\ \end{gathered} $
(2.2)
$\begin{gathered} {{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \\ \, = {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},{{i}_{l}}j}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{k - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{j}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{k}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l + 1}}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \\ {\text{если}}\quad 1 \leqslant k < l \leqslant m + 1 \\ \end{gathered} $
(2.3)
$\begin{gathered} {{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},jj}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \equiv \Delta {{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}} \\ {\text{если}}\quad 1 \leqslant l = k \leqslant m + 1 \\ \end{gathered} $
(2.4)
$\begin{gathered} {{({\kern 1pt} {\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \\ \, = {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},{{i}_{l}}j}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{k - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{j}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{k}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l + 1}}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \\ {\text{если}}\quad 1 \leqslant k < l \leqslant m \\ \end{gathered} $
(2.5)
$\begin{gathered} {{({\kern 1pt} {\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \\ \, = {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},{{i}_{l}}j}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l + 1}}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{k - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{j}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{k}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \\ {\text{если}}\quad 1 \leqslant l < k \leqslant m \\ \end{gathered} $
(2.6)
$\begin{gathered} {{({\kern 1pt} {\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \\ \, = {{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},{{i}_{l}}j}}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l - 1}}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{j}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{{l + 1}}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}},\quad {\text{если}}\quad 1 \leqslant l = k \leqslant m \\ \end{gathered} $

Набор ${\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}$ представим в форме квадратной матрицы Qlk размером (m + 1) × × $(m + 1)$, на главной диагонали которой стоит лапласиан (2.3). Диагонали, находящиеся непосредственно над и под главной, насчитывают по m элементов и совпадают друг с другом. Это видно, если положить $k = l + 1$ в (2.1) и $l = k + 1$ в (2.2) и сравнить результаты:

(2.7)
${{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(l + 1)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = ({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l + 1)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(l)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}{{)}^{{\{ m\} }}},\quad 1 \leqslant l \leqslant m$

Таким образом, из (m + 1)2 элементов Qlk линейно независимыми являются (m + 1)2 – – mm = ${{m}^{2}} + 1$.

Набор ${\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}$ представ${\text{и}}'$м квадратной матрицей Skl размером m × m, все m2 элементов которой линейно независимы. Из соотношений (2.1)–(2.6) устанавливается следующая связь матриц Skl и Qlk:

(2.8)
${{({\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l + 1)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}}^{{\{ m\} }}},\quad 1 \leqslant k \leqslant l \leqslant m} \\ {{{{({\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}{\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k + 1)}}}{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}}^{{\{ m\} }}},\quad 1 \leqslant l \leqslant k \leqslant m} \end{array}} \right.$

Случай k = l в (2.8) приводит к тому, что главная диагональ матрицы Skl совпадает с диагоналями ${{Q}_{{lk}}}$, находящимися над и под главной (они одинаковы, о чем говорит равенство (2.7)).

Итак, все элементы массива Skl в силу (2.8) присутствуют в массиве Qlk, в то время как в Skl отсутствует оператор Лапласа ${{Q}_{{11}}} = \ldots = {{Q}_{{m + 1,m + 1}}}$. Поэтому число m2 + 1 линейно независимых элементов Qlk на единицу больше m2 – числа линейно независимых элементов Skl.

В терминах введенных обозначений, например, квазистатические уравнения Ламе для вектора перемещений u (m = 1, $n \geqslant 1$) можно записать в одной из следующих форм

(2.9)
$((\lambda + \mu ){{S}_{{11}}} + \mu {{Q}_{{11}}}){\mathbf{u}} = 0,\quad ((\lambda + \mu ){{Q}_{{12}}} + \mu {{Q}_{{22}}}){\mathbf{u}} = 0$

На абсолютно симметричное тензорное поле A{m} обобщается и оператор деформатор Def, связывающий в геометрически линейной теории вектор перемещений и тензор малых деформаций: ${{\varepsilon }^{{\{ 2\} }}} = {\text{Def}}\,{\mathbf{u}}$; ${{\varepsilon }_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}}}}} = ({{u}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}}}}} + {{u}_{{{{i}_{2}}{{i}_{1}}}}}){\text{/}}2$. Для также абсолютно симметричного обобщенного деформатора ${{{\mathbf{B}}}^{{\{ m + 1\} }}} = {\text{Def}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ имеем

(2.10)
${{B}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}}}} = \frac{1}{m}({{A}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{m}},{{i}_{{m + 1}}}}}} + {{A}_{{{{i}_{2}} \ldots {{i}_{{m + 1}}},{{i}_{1}}}}} + \ldots + {{A}_{{{{i}_{{m + 1}}}{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m - 1}}},{{i}_{m}}}}})$

В работах [8, 9] анализируются условия совместности компонент ${{B}_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}}}}$, для чего в рассмотрение вводится тензор несовместности Кренера с двумерным массивом индексов.

3. Оператор Rot Rot. Свойства оператора Rot Rot, или Curl Curl, находятся в центре внимания специалистов по спектральной теории операторов, о чем свидетельствуют публикации [1013] последних лет.

Из определения (1.5) следует, что повторное применение операции Rot приводит к выражению

(3.1)
$\begin{gathered} {{({\text{Rot}}\,{\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \\ \, = {{\varepsilon }_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}{{j}_{1}} \ldots {{j}_{{n - m - 1}}}}}}{{\varepsilon }_{{{{j}_{1}} \ldots {{j}_{n}}}}}{{A}_{{{{j}_{{n - m + 1}}} \ldots {{j}_{n}},{{j}_{{n - m}}}{{i}_{{m + 1}}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}},\quad 0 \leqslant m \leqslant n - 1 \\ \end{gathered} $
упрощение которого связано с правилами свертки двух символов Леви-Чивиты по группе повторяющихся индексов. Эти правила основаны на формулах

(3.2)
${{\varepsilon }_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}{{\varepsilon }_{{{{j}_{1}} \ldots {{j}_{n}}}}} \equiv \delta _{{{{j}_{1}} \ldots {{j}_{n}}}}^{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\delta }_{{{{i}_{1}}{{j}_{1}}}}}}& \ldots &{{{\delta }_{{{{i}_{1}}{{j}_{n}}}}}} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ {{{\delta }_{{{{i}_{n}}{{j}_{1}}}}}}& \ldots &{{{\delta }_{{{{i}_{n}}{{j}_{n}}}}}} \end{array}} \right|$
(3.3)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}{{j}_{1}} \ldots {{j}_{{n - m - 1}}}}}}{{\varepsilon }_{{{{j}_{1}} \ldots {{j}_{n}}}}} \equiv \delta _{{{{j}_{1}} \ldots {{j}_{n}}}}^{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}{{j}_{1}} \ldots {{j}_{{n - m - 1}}}}} = ( - {{1)}^{{(m + 1)(n - m - 1)}}}\delta _{{{{j}_{{n - m}}} \ldots {{j}_{n}}{{j}_{1}} \ldots {{j}_{{n - m - 1}}}}}^{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}{{j}_{1}} \ldots {{j}_{{n - m - 1}}}}} = \\ \, = ( - {{1)}^{{(m + 1)(n - m - 1)}}}(n - m - 1)!{\kern 1pt} \delta _{{{{j}_{{n - m}}} \ldots {{j}_{n}}}}^{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}}} \\ \end{gathered} $

Подставляя (3.3) в (3.1), получим

(3.4)
$\begin{gathered} {{({\text{Rot}}\,{\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}})}^{{\{ m\} }}} = \\ \, = ( - {{1)}^{{(m + 1)(n - m - 1)}}}(n - m - 1)!{\kern 1pt} \delta _{{{{j}_{{n - m}}} \ldots {{j}_{n}}}}^{{{{i}_{1}} \ldots {{i}_{{m + 1}}}}}{{A}_{{{{j}_{{n - m + 1}}} \ldots {{j}_{n}},{{j}_{{n - m}}}{{i}_{{m + 1}}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes \ldots \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{m}}}}} \\ \end{gathered} $

Остановимся на частных случаях выражения (3.4) для первых трех m. Второе из них при n = 3 представляет собой хорошо известную из векторного анализа формулу.

m = 0; A(x) – скалярное поле в Rn:

${\text{Rot}}\,{\text{Rot}}\,A = ( - {{1)}^{{n - 1}}}(n - 1)!{\kern 1pt} \delta _{{{{j}_{n}}}}^{{{{i}_{1}}}}{{A}_{{{{j}_{n}}{{i}_{1}}}}} = ( - {{1)}^{{n - 1}}}(n - 1)!\,\Delta A$

m = 1; A(x) – векторное поле в Rn:

$\begin{gathered} {\text{Rot}}\,{\text{Rot}}\,{\mathbf{A}} = (n - 2)!{\kern 1pt} \,\delta _{{{{j}_{{n - 1}}}{{j}_{n}}}}^{{{{i}_{1}}{{i}_{2}}}}{{A}_{{{{j}_{n}},{{j}_{{n - 1}}}{{i}_{2}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} = \\ \, = (n - 2)!{\kern 1pt} \,({{A}_{{{{i}_{2}},{{i}_{2}}{{i}_{1}}}}} - {{A}_{{{{i}_{1}},{{i}_{2}}{{i}_{2}}}}}){{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} = (n - 2)!\,({\text{grad}}\,{\text{div}}\,{\mathbf{A}} - \Delta {\mathbf{A}})7 \\ \end{gathered} $

m = 2; A{2}(x) – тензорное поле второго ранга в Rn:

$\begin{gathered} {\text{Rot}}\,{\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ 2\} }}} = ( - {{1)}^{{n - 1}}}(n - 3)!\,\delta _{{{{j}_{{n - 2}}}{{j}_{{n - 1}}}{{j}_{n}}}}^{{{{i}_{1}}{{i}_{2}}{{i}_{3}}}}{{A}_{{{{j}_{{n - 1}}}{{j}_{n}},{{j}_{{n - 2}}}{{i}_{3}}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{2}}}}} = \\ \, = ( - {{1)}^{{n - 1}}}(n - 3)!\,[({{A}_{{{{i}_{2}}{{i}_{3}}}}} - {{A}_{{{{i}_{3}}{{i}_{2}}}}}{{)}_{{,{{i}_{1}}{{i}_{3}}}}} + {{({{A}_{{{{i}_{3}}{{i}_{1}}}}} - {{A}_{{{{i}_{1}}{{i}_{3}}}}})}_{{,{{i}_{2}}{{i}_{3}}}}}) + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + {{({{A}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}}}}} - {{A}_{{{{i}_{2}}{{i}_{1}}}}})}_{{,{{i}_{3}}{{i}_{3}}}}})]{{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{1}}}}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{{{{i}_{2}}}}} = ( - {{1)}^{{n - 1}}}(n - 3)!\,[({\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(1)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(2)}}} - \\ \, - {\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(1)}}}{\kern 1pt} {\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(1)}}} + {\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(2)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(1)}}} - {\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(2)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(2)}}}){{{\mathbf{A}}}^{{\{ 2\} }}} + \Delta ({{{\mathbf{A}}}^{{\{ 2\} }}} - {{{\mathbf{A}}}^{{\{ 2\} T}}})] \\ \end{gathered} $

С ростом m число слагаемых вида ${\text{Gra}}{{{\text{d}}}_{{(k)}}}{\text{Di}}{{{\text{v}}}_{{(l)}}}$ быстро нарастает, и выписывание общей связи оператора ${\text{Rot}}\,{\text{Rot}}\,{{{\mathbf{A}}}^{{\{ m\} }}}$ с элементами матрицы Skl и лапласианами довольно громоздко и затруднительно.

Работа выполнена в рамках госзадания АААА-А20-120011690136-2 при поддержке РФФИ (гранты 18-29-10085мк, 19-01-00016а).

Список литературы

  1. Lebedev L.P., Vorovich I.I. Functional Analysis in Mechanics. N.-Y.: Springer, 2003. 238 p.

  2. Васильев В.В. Сингулярные решения в задачах механики и математической физики // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 48–65.

  3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Изд-во УРСС, 2003. 664 с.

  4. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.

  5. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1. Тензорный анализ. М.: Изд-во МГТУ, 2011. 464 с.

  6. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления. М.: ЦПИ МГУ, 2007. Ч. I. 86 с. Ч. II. 94 с.

  7. Георгиевский Д.В., Шамолин М.В. Символы Леви-Чивиты, обобщенные векторные произведения и новые случаи интегрируемости в механике многомерного тела // Современная математика и ее приложения. 2012. Т. 76. С. 22–39.

  8. Георгиевский Д.В. Уравнения совместности в системах, основанных на обобщенных кинематических соотношениях Коши // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 1. С. 127–132.

  9. Георгиевский Д.В. Деформаторы высоких рангов и тензоры несовместности Кренера с двумерной структурой индексов // Докл. РАН. 2019. Т. 486. № 4. С. 430–432.

  10. Ciarlet P.G., Ciarlet P. (Jr.), Geymonat G., Krasucki F. Characterization of the kernel of the operator CURL CURL // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 2007. V. 344. P. 305–308.

  11. Zeng X. Cylindrically symmetric ground state solutions for curl-curl equations with critical exponent // ZAMP. 2017. V. 68. № 6. Art. 135. 12 p.

  12. Mederski J. The Bresis–Nirenberg problem for the curl-curl operator // J. Funct. Anal. 2018. V. 274. № 5. P. 1345–1380.

  13. Zhang Z. Comparison results for eigenvalues of curl curl operator and Stokes operator // ZAMP. 2018. V. 69. № 4. Art. 104. 7 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.