Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 6, стр. 111-115

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГИХ МИКРОПОЛЯРНЫХ ОБОЛОЧЕК С ЖЕСТКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

В. А. Еремеев ab*, Л. П. Лебедев c**

a Гданьский университет технологии
Гданьск, Польша

b Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского
Нижний Новгород, Россия

c Национальный университет Колумбии
Богота, Колумбия

* E-mail: eremeyev.victor@gmail.com
** E-mail: llebedev@unal.edu.co

Поступила в редакцию 10.05.2020
После доработки 27.05.2020
Принята к публикации 22.06.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В рамках линейной теории микрополярных оболочек доказаны теоремы существования и единственности слабых решений краевых задач, описывающих малые деформации упругих микрополярных оболочек, соединенных с системой абсолютно твердых тел. В основе определения слабого решения лежит принцип вируальных перемещений. Особенностью данной задачи являются нестандартные краевые условия на границе оболочки и твердых тел.

Ключевые слова: микрополярные оболочки, слабые решения, существование и единственность, жесткие включения

Введение. Пионером в области анализа разрешимости краевых задач нелинейной теории оболочек методами функционального анализа можно считать И.И. Воровича [13], см. также [4], где приведен список его основных работ. Впоследствии разрешимость задач теории оболочек рассматривалась многими авторами см., например, [5, 6].

Целью данной работы является анализ существования и единственности слабых решений для некоторого класса краевых задач линейной теории микрополярных оболочек. В рамках данной модели теории оболочка описывается как деформируемая материальная поверхность, каждая точка которой обладает шестью степенями свободы абсолютно твердого тела [79]. Другими словами, микрополярную оболочку можно рассматривать как двумерный континуум Коссера. Данная модель оболочек, известная также как шестипараметрическая теория оболочек [10], нашла приложения в описании разветвляющихся и композитных оболочек [11, 12]. Кроме того, используемая кинематика позволяет описать сопряжение оболочки с недеформированными твердыми телами. В этом случае на границе идеального контакта оболочки и твердого тела возникают нестандартные краевые условия, которые отличаются от классических. Анализу статических задач с подобными краевыми условиями и посвящена данная работа.

1. Основные соотношения. Рассмотрим малые деформации микрополярных оболочек [79, 13]. Пусть S представляет собой базовую поверхность оболочки, а $L = \partial S$ – ее внешний контур, который предполагается достаточно гладким, см. рис. 1. На оболочку действуют поверхностные силы f и моменты c. Здесь и далее векторы и тензоры обозначаются полужирным шрифтом. Часть ${{L}_{u}} \subset S$ контура предполагается жестко защемленной, а на оставшейся части Lf приложены контурные силы t и моменты m, $L = {{L}_{u}} \cup {{L}_{f}}$. Кроме того, оболочка связана с n жесткими телами, к которым приложены силы Fi и моменты Ci, $i = 1, \ldots ,~n$. Граница сопряжения оболочки с i-м твердым телом обозначена через li, n и ν векторы единичной нормали к S и к L и li, причем ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\nu }} = 0$.

Рис. 1

В случае малых перемещений и поворотов кинематика оболочки описывается двумя векторными полями – полем перемещений базовой поверхности ${\mathbf{u}} = {\mathbf{u}}({\mathbf{x}})$ и полем поворотов $\phi = \phi ({\mathbf{x}})$, где x – радиус-вектор S. Условия равновесия оболочки следуют из принципа вируальных перемещений

(1.1)
$\delta E - \delta A = 0$
где E – функционал энергии деформации и δA – работа внешних сил, определяемые формулами

(1.2)
$E = \iint\limits_S {W~dS}$
(1.3)
$\delta A = \iint\limits_S {({\mathbf{f}} \cdot \delta {\mathbf{u}} + {\mathbf{c}} \cdot \delta \phi )~dS} + \int\limits_{{{L}_{f}}}^{} {({\mathbf{t}} \cdot \delta {\mathbf{u}} + {\mathbf{m}} \cdot \delta \phi )~ds + } \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left( {{{{\mathbf{F}}}_{i}} \cdot \delta {{{\mathbf{u}}}_{i}} + {{{\mathbf{C}}}_{i}} \cdot \delta {{\phi }_{i}}} \right)$

В (1.2) W – поверхностная плотность энергии деформации, которая является квадратичной формой мер деформации e и k:

$W = W\left( {{\mathbf{e}},{\mathbf{k}}} \right),\quad {\text{где}}\quad {\mathbf{e}} = \nabla {\mathbf{u}} + {\mathbf{A}} \times \phi ,\quad {\mathbf{k}} = \nabla \phi $

Здесь $\nabla ~$ – поверхностный оператор градиента, ${\mathbf{A}} = {\mathbf{I}} - {\mathbf{n}} \otimes {\mathbf{n}}$, I – единичный тензор. Предполагается, что W – положительно определенная квадратичная форма своих аргументов

$W\left( {{\mathbf{e}},{\mathbf{k}}} \right) \geqslant {{c}_{1}}{\mathbf{e}}:{\mathbf{e}} + {{c}_{2}}{\mathbf{k}}:{\mathbf{k}}$
с положительными константами ${{c}_{1}},{{c}_{{2~}}}$, не зависящими от e, k, e : e = tr (${\mathbf{e}} \cdot {{{\mathbf{e}}}^{T}}$). В выражении (1.3) введены виртуальные перемещения и повороты твердых тел $\delta {{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{i}}}}$ и $\delta {{\phi }_{{\mathbf{i}}}}$. Здесь виртуальные перемещения отсчитываются от положения центров тяжести Ci. Таким образом, вариация δW принимает форму
$\delta W = {\mathbf{T}}:\delta {\mathbf{e}} + {\mathbf{M}}:\delta {\mathbf{k}},~~~~\delta {\mathbf{e}} = \nabla \delta {\mathbf{u}} + {\mathbf{A}} \times \delta \phi ,~~~~~~\delta {\mathbf{k}} = \nabla \delta \phi $
где T и M – тензоры усилий и моментов, определяемые формулами

${\mathbf{T}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{e}}}},\quad {\mathbf{M}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{k}}}}$

Принцип виртуальных перемещений (1.1)–(1.3) рассматривается на кинематически допустимых полях перемещений и поворотов, то есть полях, удовлетворяющих условиям

(1.4)
${{\left. {\mathbf{u}} \right|}_{{{{L}_{u}}}}} = 0,~\quad {{\left. \phi \right|}_{{{{L}_{u}}}}} = 0$
(1.5)
${{\left. {{\mathbf{u}}\left( s \right)} \right|}_{{{{l}_{i}}}}} = {{{\mathbf{u}}}_{i}} + {{\phi }_{i}} \times {{{\mathbf{z}}}_{i}}\left( s \right),~\quad {{\left. {\phi \left( s \right)} \right|}_{{{{l}_{i}}}}} = {{\phi }_{i}},\quad i = 1, \ldots ,n$
где zi – радиус-вектор контура, отсчитываемый от Ci, s – длина дуги вдоль контура li, см. рис. 1.

Можно показать, что вариационное уравнение (1.1), дополненное соотношениями (1.2)–(1.4), приводит к уравнениям равновесия микрополярных оболочек и статическим краевым условиям, заданным на Lf и li, $i = 1, \ldots ,~n,~$ которые здесь для краткости не приводятся. При этом в качестве неизвестных выступают поля перемещений и поворотов ${\mathbf{u}} = {\mathbf{u}}({\mathbf{x}})$, $\phi = \phi ({\mathbf{x}})$, а также постоянные векторы ${{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{i}}}}$ и ${{\phi }_{{\mathbf{i}}}}.~$ Последние находятся из краевых условий (1.5) и вариационной постановки задачи. Приведем здесь только условия на li

$\mathop \smallint \limits_{{{l}_{i}}}^{} {\mathbf{\nu }} \cdot {\mathbf{T}}~ds = {{{\mathbf{F}}}_{i}},~~~~~\mathop \smallint \limits_{{{l}_{i}}}^{} {\mathbf{\nu }} \cdot ({\mathbf{M}} - {\mathbf{T}} \times {{{\mathbf{z}}}_{i}})~ds = {{{\mathbf{M}}}_{i}},\quad i = 1, \ldots ,~n~~~$

2. Слабые решения. Принцип виртуальных перемещений лежит в основе определения слабых решений соответствующей краевой задачи. Запишем принцип виртуальных перемещений (1.1) в форме

(2.1)
$\begin{gathered} \iint\limits_S {({\mathbf{T}}:\delta {\mathbf{e}} + {\mathbf{M}}:\delta {\mathbf{k}})}dS = \iint\limits_S {({\mathbf{f}} \cdot \delta {\mathbf{u}} + {\mathbf{c}} \cdot \delta \phi )}dS + \mathop \smallint \limits_{{{L}_{f}}}^{} \left( {{\mathbf{t}} \cdot \delta {\mathbf{u}} + {\mathbf{m}} \cdot \delta \phi } \right)~ds + \\ \, + \sum\limits_{i = 1}^n {({{{\mathbf{F}}}_{i}} \cdot \delta {{{\mathbf{u}}}_{i}} + {{{\mathbf{C}}}_{i}} \cdot \delta {{\phi }_{i}})} \\ \end{gathered} $

В (2.1) рассматриваются вариации δu, δϕ, $\delta {{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{i}}}}$ и δϕi, удовлетворяющие (1.4), (1.5).

Следуя [13, 13, 14], введем определение энергетического пространства. Пусть C1(S) – множество пар непрерывно дифференцируемых функций ${\mathbf{V}} = \left( {{\mathbf{u}},\phi } \right)$, удовлетворяющих краевым условиям (1.4) и ${\mathbf{U}} = (({\mathbf{u}},\phi ),~{{{\mathbf{u}}}_{1}},$ …, un, ϕ1, …, ϕn). Поверхность оболочки S и ее контур предполагаются достаточно гладкими, см. [3, 5, 13]. На C1(S) введем скалярные произведения

(2.2)
${{\left( {{\mathbf{U}},\delta {\mathbf{U}}} \right)}_{E}} = \iint\limits_S {({\mathbf{T}}:\delta {\mathbf{e}} + {\mathbf{M}}:\delta {\mathbf{k}})~dS}$
(2.3)
${{\left( {{\mathbf{U}},\delta {\mathbf{U}}} \right)}_{H}} = \iint\limits_S {\left( {{\mathbf{T}}:\delta {\mathbf{e}} + {\mathbf{M}}:\delta {\mathbf{k}}} \right)~dS + \,}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left( {{{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{i}}}} \cdot \delta {{{\mathbf{u}}}_{i}} + {{\phi }_{i}} \cdot \delta {{\phi }_{i}}} \right)$

Определение 1. Пополнение C1(S) в норме, индуцированной скалярным произведением (2.2), называется энергетическим пространством E.

Напомним, что норма в E эквивалентна норме в пространстве Соболева ${{({{W}^{{1,2}}}\left( S \right))}^{6}}$, см. [13].

Слабая формулировки задачи равновесия требует замены поточечных краевых условий (5) на интегральные соотношения вида

(2.4)
$\mathop \smallint \limits_{{{l}_{i}}}^{} {{\left( {{\mathbf{u}}\left( s \right) - {{\phi }_{i}} \times {{{\mathbf{z}}}_{i}}\left( s \right)} \right)}^{2}}ds = 0,\quad \mathop \smallint \limits_{{{l}_{i}}}^{} {{\left( {\phi \left( s \right) - {{\phi }_{i}}} \right)}^{2}}ds = 0,\quad i = 1, \ldots ,n$
где u(s), ϕ(s) – следы вектор-функций u, ϕ на соответствующих контурах li, а пространство H с соответствующим скалярным произведением (2.3) и соотношениями (2.4) для его компонент есть H = E $ \otimes \,{{\mathbb{R}}^{{3n}}} \otimes {{\mathbb{R}}^{{3n}}}$.

На основе вариационного уравнения (2.1) дадим определение слабого решения.

Определение 2. Назовем слабым (энергетическим) решением задачи равновесия микрополярной оболочки с жесткими включениями элемент ${\mathbf{U}} \in E \otimes {{\mathbb{R}}^{{3n}}} \otimes {{\mathbb{R}}^{{3n}}}$, удовлетворяющее (2.1) и равенствам (2.4), для любых $\delta {\mathbf{U}} \in E \otimes {{\mathbb{R}}^{{3n}}} \otimes {{\mathbb{R}}^{{3n}}}$ и $\delta {{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{i}}}}$ и $\delta {{\phi }_{{\mathbf{i}}}}$, удовлетворяющих (2.4).

Уравнение (2.1) теперь можно записать с использованием скалярных произведений следующим образом

(2.5)
$\begin{gathered} {{({\mathbf{U}},\delta {\mathbf{U}})}_{E}} = {{({\mathbf{f}},\delta {\mathbf{u}})}_{{{{L}_{2}}\left( S \right)}}} + {{({\mathbf{c}},\delta \phi )}_{{{{L}_{2}}\left( S \right)}}} + {{({\mathbf{t}},\delta {\mathbf{u}})}_{{{{L}_{2}}({{L}_{f}})}}} + {{({\mathbf{m}},\delta \phi )}_{{{{L}_{2}}({{L}_{f}})}}} \\ \, + \sum\limits_{i = 1}^n {({{{\mathbf{F}}}_{i}} \cdot \delta {{{\mathbf{u}}}_{i}} + {{{\mathbf{C}}}_{i}} \cdot \delta {{\phi }_{i}})} \\ \end{gathered} $

Выражение $\sum\nolimits_{i = 1}^n {\left( {{{{\mathbf{F}}}_{i}} \cdot \delta {{{\mathbf{u}}}_{i}} + {{{\mathbf{C}}}_{i}} \cdot \delta {{\phi }_{i}}} \right)} $ представляет собой непрерывный линейный функционал в H. Таким образом, как и в [13], если ${\mathbf{f}} \in {{L}_{p}}(S)$, ${\mathbf{c}} \in {{L}_{p}}(S)$, ${\mathbf{t}} \in {{L}_{q}}({{L}_{f}})$, ${\mathbf{m}} \in {{L}_{q}}({{L}_{f}})$, для любых фиксированных p, q, 1< $~p,q < \infty ,$ правая часть (2.4) представляет собой линейный непрерывный функционал в H, что позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема. Слабое решение ${\mathbf{U}} \in E \otimes {{\mathbb{R}}^{{3n}}} \otimes {{\mathbb{R}}^{{3n}}}$ краевой задачи равновесия микрополярной оболочки с жесткими включениями существует и единственно. Кроме того, каждая декартова координата вектора V = $\left( {{\mathbf{u}},\phi } \right)$ принадлежит пространству Соболева ${{W}^{{1,2}}}(S)$ и доставляет минимум функционалу энергии на кинематически допустимых полях перемещений и поворотов.

Доказательство теоремы c некоторыми модификациями повторяет данные в [13, 14] и здесь не приводится для краткости.

Отметим, что если отсутствуют закрепленные части (${{L}_{u}} = \emptyset $), то тогда рассматриваемая задача получается со свободным контуром. В этом случае можно показать решение определенно с точностью до жестких перемещений и поворотов, а внешние силы должны быть самоуравновешенными, то есть такими, какие требуются для равновесия оболочки с включениями, рассматриваемой как абсолютно твердое тело.

Заключение. В работе доказано существование и единственность слабых решений смешанной краевой задачи теории микрополярных оболочек с жесткими включениями, которые допускают малые повороты и перемещения. На оболочку действуют поверхностные и контурные силы и моменты. Жесткие включения нагружены сосредоточенными силами и моментами. Особенностью данной задачи является наличие краевых условий (5). В частности, на контурах li, $i = 1, \ldots ,~n,~$ заранее неизвестные повороты постоянны, а перемещения точек контура li  совпадают с малыми перемещениями твердого тела. Используя результаты [1315], полученные результаты могут быть обобщены на случай оболочек с упругими подкреплениями, со свободным краем, при учете анизотропии, а также на случай задач динамики и на собственные колебания.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 20-08-00450А), а также поддержана грантом Hermes 48949 Universidad Nacional de Colombia.

Список литературы

  1. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. Т. 19. № 4. С. 173–186.

  2. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Докл. АН СССР. 1957. Т. 117. № 2. С. 203–206.

  3. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 376 с.

  4. Lebedev L.P., Eremeyev V.A. Academician Iosif I. Vorovich// ZAMM. 2011. V. 91. № 6. P. 429–432.

  5. Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity. Vol. III. Theory of Shells. Amsterdam: Elsevier, 2000. 599 p.

  6. Лебедев Л.П. О решении динамической задачи вязкоупругих оболочек // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267. № 1. С. 62–64.

  7. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука, 2008. 208 с.

  8. Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Micropolar Mechanics. Heidelberg: Springer, 2013. 152 p.

  9. Eremeyev V.A. Cloud M.J., Lebedev L.P. Applications of Tensor Analysis in Continuum Mechanics. New Jersey: World Scientific, 2018. 428 p.

  10. Libai A., Simmonds J.G. The Nonlinear Theory of Elastic Shells. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. 542 p.

  11. Konopińska V., Pietraszkiewicz W. Exact resultant equilibrium conditions in the non-linear theory of branching and self-intersecting shells // International Journal of Solids and Structures. 2007. V. 44. № 1. P. 352–369.

  12. Chróścielewski J., Sabik A., Sobczyk B., Witkowski W. 2-D constitutive equations for orthotropic Cosserat type laminated shells in finite element analysis// Composites Part B: Engineering. 2019. V. 165. P. 335–353.

  13. Eremeyev V.A., Lebedev L.P. Existence theorems in the linear theory of micropolar shells// ZAMM. 2011. V. 91. № 6. P. 468–476.

  14. Eremeyev V.A., Lebedev L.P. Existence of weak solutions in elasticity // Mathematics and Mechanics of Solids. 2013. V. 18. № 2. P. 204–217.

  15. Eremeyev V.A., dell’Isola F., Boutin C., Steigmann D. Linear pantographic sheets: existence and uniqueness of weak solutions // Journal of Elasticity. 2018. V. 132. № 2. P. 175–196.

Дополнительные материалы отсутствуют.