Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 5, стр. 161-164
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ВДОЛЬ ХАРАКТЕРИСТИК В СЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЯХ НА ГРАНЯХ ПРОИЗВОЛЬНОГО КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия
* E-mail: radayev@ipmnet.ru
** E-mail: y.radayev@gmail.com
Поступила в редакцию 15.01.2020
После доработки 13.02.2020
Принята к публикации 16.03.2020
Аннотация
В работе рассматриваются течения идеально пластических сжимаемых сред для напряженных состояний, соответствующих граням кусочно-линейного условия текучести. Подобные течения наблюдаются, в частности, в неплотно связанных средах Кулона–Мора, находящихся в состоянии плоской деформации. Предполагается, что промежуточное главное нормальное напряжение не оказывает никакого влияния на текучесть или переход в предельное состояние. В этих условиях система дифференциальных уравнений кинематики будет принадлежать к гиперболическому аналитическому типу, элементы характеристических линий будут мгновенно нерастяжимыми, ортогональные проекции вектора приращения перемещения на характеристики будут связаны дифференциальными соотношениями с операторами дифференцирования вдоль характеристических направлений.
1. Общее кусочно-линейное условие пластичности представим в форме линейного уравнения, связывающего главные нормальные напряжения σ1, σ2, σ3 симметричного тензора напряжений s:
где a1, a2, a3, b – определяющие постоянные.Существенное упрощение соотношений теорий пластичности может быть достигнуто специальной нумерацией осей главного триэдра тензора напряжений s: занумеруем главные оси так, чтобы для актуального напряженного состояния соответствующие главные нормальные напряжения σ1, σ2, σ3 расположились бы в порядке убывания
Промежуточное главное нормальное напряжение играет особую роль в теориях пластичности [1–6]. Часто его влиянием на текучесть металлов и деформацию неплотно связанных сред можно пренебречь. Поэтому будем полагать, что a2 = 0. Уравнение (1.1) разделим на a1 и введем обозначения
после чего используемое далее кусочно-линейное условие текучести приведем к видуСреда Кулона–Мора – один из вариантов кусочно-линейного условия текучести, который прекрасно моделирует механическое поведение сухих песков, грунтов, гранулированных сред, т.е. рыхлых материалов с зернистой, пористой или гранулированной структурой [4]. В терминах главных напряжений ${{\sigma }_{1}}$, ${{\sigma }_{2}}$, ${{\sigma }_{3}}$ критерий текучести Кулона–Мора для сыпучих сред с внутренним трением и сцеплением формулируется в следующем виде [7, 8]:
(1.4)
$\frac{{{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{3}}}}{2} = c\cos \gamma - \sin \gamma \frac{{{{\sigma }_{1}} + {{\sigma }_{3}}}}{2}$Здесь материальные постоянные a и k связаны с коэффициентом сцепления c и углом внутреннего трения $\gamma $ следующими соотношениями:
2. В кинематике идеально пластических тел удобно оперировать с приращениями вектора перемещения du и тензора деформации de. Ориентируем единичные базисные векторы l, m, n вдоль главных осей тензора напряжений (и тензора de).
Приращение вектора перемещений du можно представить в виде разложения по векторам локального ортонормированного базиса l, m, n
(2.1)
$d{\mathbf{u}} = {\mathbf{l}}d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}} + {\mathbf{m}}d{{u}_{{\left\langle 2 \right\rangle }}} + {\mathbf{n}}d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}$Спектральное представление приращения тензора деформации de примем в форме
(2.2)
$de = l \otimes l(d{{\varepsilon }_{1}}) + m \otimes m(d{{\varepsilon }_{2}}) + n \otimes n(d{{\varepsilon }_{3}})$Введем далее особую нумерацию осей главного триэдра так, чтобы наряду с (1.2) выполнялись неравенства
В силу ассоциированного закона пластического течения
(2.4)
$d{{\varepsilon }_{1}} = d\lambda ,\quad d{{\varepsilon }_{2}} = 0,\quad d{{\varepsilon }_{3}} = - \bar {a}d\lambda \quad (d\lambda \geqslant 0)$Понятие об асимптотических директорах инкремента тензора деформации de и его представление в терминах асимптотических директоров $^{{``}}l$, $^{{``}}n$ рассматриваются в статьях [7, 8], а также в более ранней публикации [9]. В частности, диадное представление инкремента тензора деформации de имеет вид
(2.5)
$de = I(d{{\varepsilon }_{2}}) + (d{{\varepsilon }_{1}} - d{{\varepsilon }_{3}}){\text{sym}}{\kern 1pt} ({\text{''}}l \otimes {\text{''}}n)$Угол между асимптотическими директорами ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$ вычисляется с помощью кинематического параметра Лоде
где(2.7)
$\nu = \frac{{2d{{\varepsilon }_{2}} - d{{\varepsilon }_{1}} - d{{\varepsilon }_{3}}}}{{d{{\varepsilon }_{1}} - d{{\varepsilon }_{3}}}}$Течение на грани кусочно-линейного условия пластичности подчиняется кинематическому ограничению dε2 = 0, следующему из ассоциированного закона течения.
В обозначениях теории поля система дифференциальных уравнений кинематики относительно физических компонент приращения вектора перемещений $d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}}$, $d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}$ имеет следующий вид:
(2.8)
$\begin{gathered} ( - {{\kappa }_{1}} + n \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}} + ( - {{\kappa }_{3}} + l \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}} = 0 \\ \mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{{^{{``}}\iota }}{2}{\kern 1pt} ((l \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}} + {{\kappa }_{1}}d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}) + \mathop {\cos }\nolimits^2 \frac{{^{{``}}\iota }}{2}{\kern 1pt} ((n \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}} + {{\kappa }_{3}}d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}}) = 0 \\ \end{gathered} $Сопряженные директоры указывают направления в плоскости, ортогональной второй главной оси тензора de, которые ортогональны направлениям асимптотических директоров ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$. Директор ${\text{''}}l$ ортогонален асимптотическому директору ${\text{''}}n$, а директор ${\text{''}}n$ ортогонален ${\text{''}}l$.
3. Для мгновенных удлинений элементов характеристических линий находим
(3.1)
$\begin{gathered} {\text{''}}l \cdot (d{e}) \cdot {\text{''}}l = 0 \\ {\text{''}}n \cdot (d{e}) \cdot {\text{''}}n = 0 \\ \end{gathered} $Прежде всего вместо физических компонент $d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}}$, $d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}$ приращения вектора перемещения du относительно базиса l, $n$ введем его ортогональные проекции на сопряженные направления ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$: $d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}}$, $d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}$.
Операторы дифференцирования вдоль изостатических d1, d3 и сопряженных направлений ${{\bar {d}}_{1}}$, ${{\bar {d}}_{3}}$ связаны между собой формулами [10]
(3.2)
$\begin{gathered} {{d}_{1}} = \frac{1}{{2\sin \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}}}\left( {{{{\bar {d}}}_{1}} + {{{\bar {d}}}_{3}}} \right) \\ {{d}_{3}} = \frac{1}{{2\cos \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}}}\left( {{{{\bar {d}}}_{3}} - {{{\bar {d}}}_{1}}} \right) \\ \end{gathered} $Дифференциальные соотношения вдоль характеристических линий (ср. с [11])
(3.3)
$\begin{gathered} {{{\bar {d}}}_{1}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} - \frac{{\cos {\text{''}}\iota d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}}}{{\sin {\text{''}}\iota }}{{{\bar {d}}}_{1}}\left( {\theta - \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}} \right) = 0 \\ {{{\bar {d}}}_{3}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}} + \frac{{d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + \cos {\text{''}}\iota d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}}}{{\sin {\text{''}}\iota }}{{{\bar {d}}}_{3}}\left( {\theta + \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}} \right) = 0 \\ \end{gathered} $Для кусочно-линейного условия текучести угол ${\text{''}}\iota $ будет постоянным. После ряда преобразований соотношения кинематики течения (3.3) приобретают следующую окончательную форму:
(3.4)
$\begin{gathered} {{{\bar {d}}}_{1}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} - (\mathop {\bar {a}}\limits_1 d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + \mathop {\bar {a}}\limits_3 d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}){{{\bar {d}}}_{1}}\theta = 0 \\ {{{\bar {d}}}_{3}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}} + (\mathop {\bar {a}}\limits_3 d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + \mathop {\bar {a}}\limits_1 d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}){{{\bar {d}}}_{3}}\theta = 0 \\ \end{gathered} $Любопытно отметить, что определяющее ограничение
наряду с неравенством необратимости, никак не ограничивают знак скорости дилатации, т.е. в процессе течения среда может как разрыхляться, так и необратимо сжиматься (в самом точном смысле этого слова).Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации АААА-А20-120011690132-4) и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-01-00844 “Моделирование термомеханических процессов в сложных средах с помощью принципа термомеханической ортогональности”).
Список литературы
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.
Надаи А. Пластичность. Механика пластического состояния вещества. М., Л.: ОНТИ, 1936. 280 с.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1954. 648 с.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969. 864 с.
Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2004. 147 с.
Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. 2-е изд. перераб. и доп. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. 240 с.
Радаев Ю.Н. Мгновенно-нерастяжимые директоры в кинематике трехмерных течений сред Кулона– Мора // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18. Вып. 4. С. 467–483.
Радаев Ю.Н. К теории неплотно связанных сред Кулона–Мора и обобщенных пластических тел Прандтля // Вестник Чувашского гос. пед. университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2018. Т. 4 (38). С. 3–24.
Радаев Ю.Н. Асимптотические оси тензоров напряжений и приращения деформации в механике сжимаемых континуумов // Изв. РАН. Мех. тверд тела. 2013. Т. 5. С. 77–85.
Радаев Ю.Н. Об одной гиперболической модели плоских необратимо сжимаемых течений сред Кулона– Мора и пластических тел Прандтля // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2019. Т. 4 (42). С. 56–68.
Радаев Ю.Н. О кинематических соотношениях вдоль мгновенно нерастяжимых линий в течениях сжимаемых сред // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2019. Т. 4 (42). С. 84–91.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела