Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 5, стр. 161-164

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ВДОЛЬ ХАРАКТЕРИСТИК В СЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЯХ НА ГРАНЯХ ПРОИЗВОЛЬНОГО КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Ю. Н. Радаев ***

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: radayev@ipmnet.ru
** E-mail: y.radayev@gmail.com

Поступила в редакцию 15.01.2020
После доработки 13.02.2020
Принята к публикации 16.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе рассматриваются течения идеально пластических сжимаемых сред для напряженных состояний, соответствующих граням кусочно-линейного условия текучести. Подобные течения наблюдаются, в частности, в неплотно связанных средах Кулона–Мора, находящихся в состоянии плоской деформации. Предполагается, что промежуточное главное нормальное напряжение не оказывает никакого влияния на текучесть или переход в предельное состояние. В этих условиях система дифференциальных уравнений кинематики будет принадлежать к гиперболическому аналитическому типу, элементы характеристических линий будут мгновенно нерастяжимыми, ортогональные проекции вектора приращения перемещения на характеристики будут связаны дифференциальными соотношениями с операторами дифференцирования вдоль характеристических направлений.

Ключевые слова: кусочно-линейное условие пластичности, среда Кулона–Мора, сжимаемость, течение, главное напряжение, асимптотические директоры, сопряженные директоры, гиперболичность, характеристика

1. Общее кусочно-линейное условие пластичности представим в форме линейного уравнения, связывающего главные нормальные напряжения σ1, σ2, σ3 симметричного тензора напряжений s:

(1.1)
${{a}_{1}}{{\sigma }_{1}} + {{a}_{2}}{{\sigma }_{2}} - {{a}_{3}}{{\sigma }_{3}} = b$
где a1, a2, a3, b – определяющие постоянные.

Существенное упрощение соотношений теорий пластичности может быть достигнуто специальной нумерацией осей главного триэдра тензора напряжений s: занумеруем главные оси так, чтобы для актуального напряженного состояния соответствующие главные нормальные напряжения σ1, σ2, σ3 расположились бы в порядке убывания

(1.2)
${{\sigma }_{1}} \geqslant {{\sigma }_{2}} \geqslant {{\sigma }_{3}}$

Промежуточное главное нормальное напряжение играет особую роль в теориях пластичности [16]. Часто его влиянием на текучесть металлов и деформацию неплотно связанных сред можно пренебречь. Поэтому будем полагать, что a2 = 0. Уравнение (1.1) разделим на a1 и введем обозначения

$\bar {a} = \frac{{{{a}_{3}}}}{{{{a}_{1}}}},\quad \bar {b} = \frac{b}{{{{a}_{1}}}}$
после чего используемое далее кусочно-линейное условие текучести приведем к виду

(1.3)
${{\sigma }_{1}} - \bar {a}{{\sigma }_{3}} = \bar {b}$

Среда Кулона–Мора – один из вариантов кусочно-линейного условия текучести, который прекрасно моделирует механическое поведение сухих песков, грунтов, гранулированных сред, т.е. рыхлых материалов с зернистой, пористой или гранулированной структурой [4]. В терминах главных напряжений ${{\sigma }_{1}}$, ${{\sigma }_{2}}$, ${{\sigma }_{3}}$ критерий текучести Кулона–Мора для сыпучих сред с внутренним трением и сцеплением формулируется в следующем виде [7, 8]:

(1.4)
$\frac{{{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{3}}}}{2} = c\cos \gamma - \sin \gamma \frac{{{{\sigma }_{1}} + {{\sigma }_{3}}}}{2}$
где c, $\gamma $ – определяющие постоянные. Критерий Кулона–Мора (1.4) можно также привести к следующему виду, по форме эквивалентному (1.3):

(1.5)
${{\sigma }_{1}} - a{{\sigma }_{3}} = 2k$

Здесь материальные постоянные a и k связаны с коэффициентом сцепления c и углом внутреннего трения $\gamma $ следующими соотношениями:

$a = \frac{{1 - \sin \gamma }}{{1 + \sin \gamma }},\quad k = \frac{{c\cos \gamma }}{{1 + \sin \gamma }}$

2. В кинематике идеально пластических тел удобно оперировать с приращениями вектора перемещения du и тензора деформации de. Ориентируем единичные базисные векторы l, m, n вдоль главных осей тензора напряжений (и тензора de).

Приращение вектора перемещений du можно представить в виде разложения по векторам локального ортонормированного базиса l, m, n

(2.1)
$d{\mathbf{u}} = {\mathbf{l}}d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}} + {\mathbf{m}}d{{u}_{{\left\langle 2 \right\rangle }}} + {\mathbf{n}}d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}$

Спектральное представление приращения тензора деформации de примем в форме

(2.2)
$de = l \otimes l(d{{\varepsilon }_{1}}) + m \otimes m(d{{\varepsilon }_{2}}) + n \otimes n(d{{\varepsilon }_{3}})$
где l, m, n – ортонормированный базис из собственных векторов, общих как для тензора напряжений s, так и для приращения тензора деформации de; $d{{\varepsilon }_{1}}$, $d{{\varepsilon }_{2}}$, $d{{\varepsilon }_{3}}$ – главные приращения (пластической) деформации (собственные значения тензора de).

Введем далее особую нумерацию осей главного триэдра так, чтобы наряду с (1.2) выполнялись неравенства

(2.3)
$d{{\varepsilon }_{1}} \geqslant d{{\varepsilon }_{2}} \geqslant d{{\varepsilon }_{3}}$

В силу ассоциированного закона пластического течения

(2.4)
$d{{\varepsilon }_{1}} = d\lambda ,\quad d{{\varepsilon }_{2}} = 0,\quad d{{\varepsilon }_{3}} = - \bar {a}d\lambda \quad (d\lambda \geqslant 0)$
системы упорядоченных главных напряжений и главных приращений деформации оказываются согласованными при наличии определяющего ограничения

$\bar {a} \geqslant 0.$

Понятие об асимптотических директорах инкремента тензора деформации de и его представление в терминах асимптотических директоров $^{{``}}l$, $^{{``}}n$ рассматриваются в статьях [7, 8], а также в более ранней публикации [9]. В частности, диадное представление инкремента тензора деформации de имеет вид

(2.5)
$de = I(d{{\varepsilon }_{2}}) + (d{{\varepsilon }_{1}} - d{{\varepsilon }_{3}}){\text{sym}}{\kern 1pt} ({\text{''}}l \otimes {\text{''}}n)$

Угол между асимптотическими директорами ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$ вычисляется с помощью кинематического параметра Лоде

(2.6)
$\cos {\text{''}}\iota = - \nu $
где

(2.7)
$\nu = \frac{{2d{{\varepsilon }_{2}} - d{{\varepsilon }_{1}} - d{{\varepsilon }_{3}}}}{{d{{\varepsilon }_{1}} - d{{\varepsilon }_{3}}}}$

Течение на грани кусочно-линейного условия пластичности подчиняется кинематическому ограничению dε2 = 0, следующему из ассоциированного закона течения.

В обозначениях теории поля система дифференциальных уравнений кинематики относительно физических компонент приращения вектора перемещений $d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}}$, $d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}$ имеет следующий вид:

(2.8)
$\begin{gathered} ( - {{\kappa }_{1}} + n \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}} + ( - {{\kappa }_{3}} + l \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}} = 0 \\ \mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{{^{{``}}\iota }}{2}{\kern 1pt} ((l \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}} + {{\kappa }_{1}}d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}) + \mathop {\cos }\nolimits^2 \frac{{^{{``}}\iota }}{2}{\kern 1pt} ((n \cdot \nabla )d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}} + {{\kappa }_{3}}d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}}) = 0 \\ \end{gathered} $
она принадлежит к гиперболическому типу; характеристические направления совпадают с направлениями сопряженных директоров ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$.

Сопряженные директоры указывают направления в плоскости, ортогональной второй главной оси тензора de, которые ортогональны направлениям асимптотических директоров ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$. Директор ${\text{''}}l$ ортогонален асимптотическому директору ${\text{''}}n$, а директор ${\text{''}}n$ ортогонален ${\text{''}}l$.

3. Для мгновенных удлинений элементов характеристических линий находим

(3.1)
$\begin{gathered} {\text{''}}l \cdot (d{e}) \cdot {\text{''}}l = 0 \\ {\text{''}}n \cdot (d{e}) \cdot {\text{''}}n = 0 \\ \end{gathered} $
т.е. в процессе течения линейные элементы, перпендикулярные направлениям асимптотических директоров ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$, не претерпевают мгновенных удлинений, т.е. материальные волокна, ориентированные вдоль директоров ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$, мгновенно не удлиняются и не укорачиваются.

Прежде всего вместо физических компонент $d{{u}_{{\left\langle 1 \right\rangle }}}$, $d{{u}_{{\left\langle 3 \right\rangle }}}$ приращения вектора перемещения du относительно базиса l, $n$ введем его ортогональные проекции на сопряженные направления ${\text{''}}l$, ${\text{''}}n$: $d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}}$, $d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}$.

Операторы дифференцирования вдоль изостатических d1, d3 и сопряженных направлений ${{\bar {d}}_{1}}$, ${{\bar {d}}_{3}}$ связаны между собой формулами [10]

(3.2)
$\begin{gathered} {{d}_{1}} = \frac{1}{{2\sin \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}}}\left( {{{{\bar {d}}}_{1}} + {{{\bar {d}}}_{3}}} \right) \\ {{d}_{3}} = \frac{1}{{2\cos \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}}}\left( {{{{\bar {d}}}_{3}} - {{{\bar {d}}}_{1}}} \right) \\ \end{gathered} $

Дифференциальные соотношения вдоль характеристических линий (ср. с [11])

(3.3)
$\begin{gathered} {{{\bar {d}}}_{1}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} - \frac{{\cos {\text{''}}\iota d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}}}{{\sin {\text{''}}\iota }}{{{\bar {d}}}_{1}}\left( {\theta - \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}} \right) = 0 \\ {{{\bar {d}}}_{3}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}} + \frac{{d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + \cos {\text{''}}\iota d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}}}{{\sin {\text{''}}\iota }}{{{\bar {d}}}_{3}}\left( {\theta + \frac{{{\text{''}}\iota }}{2}} \right) = 0 \\ \end{gathered} $
где θ – угол между некоторым фиксированным направлением в плоскости течения и собственным вектором l.

Для кусочно-линейного условия текучести угол ${\text{''}}\iota $ будет постоянным. После ряда преобразований соотношения кинематики течения (3.3) приобретают следующую окончательную форму:

(3.4)
$\begin{gathered} {{{\bar {d}}}_{1}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} - (\mathop {\bar {a}}\limits_1 d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + \mathop {\bar {a}}\limits_3 d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}){{{\bar {d}}}_{1}}\theta = 0 \\ {{{\bar {d}}}_{3}}d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}} + (\mathop {\bar {a}}\limits_3 d{{u}_{{\left\langle {\bar {1}} \right\rangle }}} + \mathop {\bar {a}}\limits_1 d{{u}_{{\left\langle {\bar {3}} \right\rangle }}}){{{\bar {d}}}_{3}}\theta = 0 \\ \end{gathered} $
где

$\mathop {\bar {a}}\limits_1 = \frac{{1 - \bar {a}}}{{2\sqrt {\bar {a}} }},\quad \mathop {\bar {a}}\limits_3 = \frac{{1 + \bar {a}}}{{2\sqrt {\bar {a}} }}$

Любопытно отметить, что определяющее ограничение

$\bar {a} \geqslant 0$
наряду с неравенством необратимости, никак не ограничивают знак скорости дилатации, т.е. в процессе течения среда может как разрыхляться, так и необратимо сжиматься (в самом точном смысле этого слова).

Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации АААА-А20-120011690132-4) и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-01-00844 “Моделирование термомеханических процессов в сложных средах с помощью принципа термомеханической ортогональности”).

Список литературы

  1. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

  2. Надаи А. Пластичность. Механика пластического состояния вещества. М., Л.: ОНТИ, 1936. 280 с.

  3. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1954. 648 с.

  4. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969. 864 с.

  5. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2004. 147 с.

  6. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. 2-е изд. перераб. и доп. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. 240 с.

  7. Радаев Ю.Н. Мгновенно-нерастяжимые директоры в кинематике трехмерных течений сред Кулона– Мора // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18. Вып. 4. С. 467–483.

  8. Радаев Ю.Н. К теории неплотно связанных сред Кулона–Мора и обобщенных пластических тел Прандтля // Вестник Чувашского гос. пед. университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2018. Т. 4 (38). С. 3–24.

  9. Радаев Ю.Н. Асимптотические оси тензоров напряжений и приращения деформации в механике сжимаемых континуумов // Изв. РАН. Мех. тверд тела. 2013. Т. 5. С. 77–85.

  10. Радаев Ю.Н. Об одной гиперболической модели плоских необратимо сжимаемых течений сред Кулона– Мора и пластических тел Прандтля // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2019. Т. 4 (42). С. 56–68.

  11. Радаев Ю.Н. О кинематических соотношениях вдоль мгновенно нерастяжимых линий в течениях сжимаемых сред // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2019. Т. 4 (42). С. 84–91.

Дополнительные материалы отсутствуют.