Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 5, стр. 21-26

НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕНЗОР-ФУНКЦИИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ И НЕКОТОРЫЕ “ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ” НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Д. В. Георгиевский ab*

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

b Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: georgiev@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 25.11.2019
После доработки 08.12.2019
Принята к публикации 10.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуется общее представление в трехмерном пространстве симметричной изотропной тензор-функции второго ранга, зависящей от двух тензорных аргументов также второго ранга. В данное представление входят восемь скалярных материальных функций десяти инвариантов зависимых тензоров, включая четыре совместных инварианта. Тензор-функция интерпретируется как определяющее соотношение изотропного нелинейного материала, выражающее связь деформаций с напряжениями и скоростями напряжений. Выбирается определенный вид напряженного состояния, соответствующий комбинации осевого растяжения стержня постоянной силой и (θz)-кручения периодическим по времени моментом. Показывается, что при надлежащем подборе упомянутых восьми материальных функций как функций инвариантов напряженного состояния можно описать гораздо более сильное изменение осевых деформаций при совместном растяжении и циклическом кручении, чем при отдельном растяжении без кручения. Такой “ортогональный эффект” напряженно-деформированного состояния близок по форме к известным в экспериментальной механике рэтчеттингу и виброползучести.

Ключевые слова: нелинейная тензор-функция, изотропия, напряжение, деформация, скорость напряжений, рэтчеттинг, виброползучесть, “ортогональный эффект”

1. Общий вид тензорно-нелинейной изотропной функции двух аргументов. Остановимся на достаточно общем в тензорном анализе представлении в трехмерном евклидовом пространстве симметричной изотропной тензор-функции второго ранга

(1.1)
${\mathbf{C = C(A,B)}}$
двух симметричных тензорных аргументов ${\mathbf{A}}({\mathbf{x}},t)$ и ${\mathbf{B}}({\mathbf{x}},t)$ также второго ранга:
(1.2)
$\begin{gathered} {\mathbf{C}} = {{K}_{0}}{\mathbf{I}} + {{K}_{1}}{\mathbf{A}} + {{K}_{2}}{\mathbf{B}} + {{K}_{3}}{{{\mathbf{A}}}^{2}} + {{K}_{4}}{{{\mathbf{B}}}^{2}} + {{K}_{5}}({\mathbf{A}} \cdot {\mathbf{B}} + {\mathbf{B}} \cdot {\mathbf{A}}) + \\ + \;{{K}_{6}}({{{\mathbf{A}}}^{2}} \cdot {\mathbf{B}} + {\mathbf{B}} \cdot {{{\mathbf{A}}}^{2}}) + {{K}_{7}}({\mathbf{A}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{2}} + {{{\mathbf{B}}}^{2}} \cdot {\mathbf{A}}) + {{K}_{8}}({{{\mathbf{A}}}^{2}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{2}} + {{{\mathbf{B}}}^{2}} \cdot {{{\mathbf{A}}}^{2}}) \\ \end{gathered} $
где I – единичный тензор второго ранга, ${{{\mathbf{K}}}_{0}}, \ldots ,{{{\mathbf{K}}}_{8}}$ – девять скалярных функций, зависящих от десяти функционально независимых инвариантов

(1.3)
$\begin{gathered} {{I}_{1}} = {\text{tr}}{\mathbf{A}},\quad {{I}_{2}} = {\text{tr}}{\mathbf{B}},\quad {{I}_{3}} = \sqrt {{\text{tr}}{{{\mathbf{A}}}^{2}}} ,\quad {{I}_{4}} = \sqrt {{\text{tr}}{{{\mathbf{B}}}^{2}}} ,\quad {{I}_{5}} = \sqrt[3]{{{\text{tr}}{{{\mathbf{A}}}^{3}}}} \\ {{I}_{6}} = \sqrt[3]{{{\text{tr}}{{{\mathbf{B}}}^{3}}}},\quad {{I}_{7}} = \sqrt {{\text{tr}}({\mathbf{A}} \cdot {\mathbf{B}})} ,\quad {{I}_{8}} = \sqrt[3]{{{\text{tr}}({{{\mathbf{A}}}^{2}} \cdot {\mathbf{B}})}} \\ {{I}_{9}} = \sqrt[3]{{{\text{tr}}({\mathbf{A}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{2}})}},\quad {{I}_{{10}}} = \sqrt[4]{{{\text{tr}}({{{\mathbf{A}}}^{2}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{2}})}} \\ \end{gathered} $

Поскольку тензор BA, вообще говоря, не является положительным, без ограничения общности допустим, что инвариант I7 может быть как действительной, так и мнимой величиной.

Представлениям нелинейных тензор-функций любого ранга от двух переменных для разных типов анизотропии и возникающим группам симметрии посвящена работа [1]. Развитие теории в случае большего числа тензорных аргументов – от трех до шести, а также многие важные элементы теории инвариантов содержатся в монографии [2]. Вопросы существования скалярного потенциала $W({{I}_{1}},\; \ldots ,\;{{I}_{{10}}})$ такого, что C = $\partial W{\text{/}}\partial {\mathbf{A}}$, и возникающие 21 условие потенциальности рассмотрены в [3].

Тензорная запись уравнений позволяет формулировать инвариантные (не зависящие от выбора системы координат) зависимости, поэтому аппарат теории тензор-функций находит значительное применение в теории определяющих соотношений механики сплошной среды [49].

Пусть в цилиндрической системе координат (r, θ, z) ненулевые физические компоненты тензоров ${\mathbf{A}}({\mathbf{x}},t)$ и ${\mathbf{B}}({\mathbf{x}},t)$ следующие:

(1.4)
${{A}_{{zz}}} = {{A}_{0}}({\mathbf{x}},t),\quad {{A}_{{\theta z}}} = {{A}_{{z\theta }}} = {{A}_{1}}({\mathbf{x}},t),\quad {{B}_{{\theta z}}} = {{B}_{{z\theta }}} = {{B}_{1}}({\mathbf{x}},t)$

Вычислим физические компоненты других тензоров, входящих в связь (1.2). Для наглядности прибегнем к матричной форме записи, где первые столбец и строка отвечают координате $z$ цилиндрической системы, вторые – $\theta $, третьи – r:

$\begin{gathered} {{{\mathbf{A}}}^{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{0}^{2} + A_{1}^{2}}&{{{A}_{0}}{{A}_{1}}}&0 \\ {{{A}_{0}}{{A}_{1}}}&{A_{1}^{2}}&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{B}}}^{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {B_{1}^{2}}&0&0 \\ 0&{B_{1}^{2}}&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right) \\ {{{\mathbf{A}}}^{3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{A}_{0}}(A_{0}^{2} + 2A_{1}^{2})}&{(A_{0}^{2} + A_{1}^{2}){{A}_{1}}}&0 \\ {(A_{0}^{2} + A_{1}^{2}){{A}_{1}}}&{{{A}_{0}}A_{1}^{2}}&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{B}}}^{3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{B_{1}^{3}}&0 \\ {B_{1}^{3}}&0&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right) \\ \end{gathered} $
(1.5)
$\begin{gathered} {\mathbf{A}} \cdot {\mathbf{B}} + {\mathbf{B}} \cdot {\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{A}_{1}}{{B}_{1}}}&{{{A}_{0}}{{B}_{1}}}&0 \\ {{{A}_{0}}{{B}_{1}}}&{2{{A}_{1}}{{B}_{1}}}&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right) \\ {{{\mathbf{A}}}^{2}} \cdot {\mathbf{B}} + {\mathbf{B}} \cdot {{{\mathbf{A}}}^{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{A}_{0}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}}&{(A_{0}^{2} + 2A_{1}^{2}){{B}_{1}}}&0 \\ {(A_{0}^{2} + 2A_{1}^{2}){{B}_{1}}}&{2{{A}_{0}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}}&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right) \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {\mathbf{A}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{2}} + {{{\mathbf{B}}}^{2}} \cdot {\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{A}_{0}}B_{1}^{2}}&{2{{A}_{1}}B_{1}^{2}}&0 \\ {2{{A}_{1}}B_{1}^{2}}&0&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right) \\ {{{\mathbf{A}}}^{2}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{2}} + {{{\mathbf{B}}}^{2}} \cdot {{{\mathbf{A}}}^{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2(A_{0}^{2} + A_{1}^{2})B_{1}^{2}}&{2{{A}_{0}}{{A}_{1}}B_{1}^{2}}&0 \\ {2{{A}_{0}}{{A}_{1}}B_{1}^{2}}&{2A_{1}^{2}B_{1}^{2}}&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right) \\ \end{gathered} $

Десять инвариантов (1.3) имеют вид

(1.6)
$\begin{gathered} {{I}_{1}} = {{A}_{0}},\quad {{I}_{2}} = {{I}_{6}} = 0,\quad {{I}_{3}} = \sqrt {A_{0}^{2} + 2A_{1}^{2}} ,\quad {{I}_{4}} = \sqrt 2 \left| {{{B}_{1}}} \right| \\ {{I}_{5}} = \sqrt[3]{{{{A}_{0}}(A_{0}^{2} + 3A_{1}^{2})}},\quad {{I}_{7}} = \sqrt {2{{A}_{1}}{{B}_{1}}} ,\quad {{I}_{8}} = \sqrt[3]{{2{{A}_{0}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}}} \\ {{I}_{9}} = \sqrt[3]{{{{A}_{0}}B_{1}^{2}}},\quad {{I}_{{10}}} = \sqrt[4]{{(A_{0}^{2} + 2A_{1}^{2})B_{1}^{2}}} \\ \end{gathered} $

С учетом соотношений (1.5) и согласно представлению (1.2) ненулевые компоненты тензора C в случае задания A и B в виде (1.4) следующие:

$\begin{gathered} {{C}_{{zz}}} = {{K}_{0}} + {{K}_{1}}{{A}_{0}} + {{K}_{3}}(A_{0}^{2} + A_{1}^{2}) + {{K}_{4}}B_{1}^{2} + 2{{K}_{5}}{{A}_{1}}{{B}_{1}} + \\ + \;2{{K}_{6}}{{A}_{0}}{{A}_{1}}{{B}_{1}} + 2{{K}_{7}}{{A}_{0}}B_{1}^{2} + 2{{K}_{8}}(A_{0}^{2} + A_{1}^{2})B_{1}^{2} \\ \end{gathered} $
(1.7)
${{C}_{{\theta \theta }}} = {{K}_{0}} + {{K}_{3}}A_{1}^{2} + {{K}_{4}}B_{1}^{2} + 2{{K}_{5}}{{A}_{1}}{{B}_{1}} + 2{{K}_{6}}{{A}_{0}}{{A}_{1}}{{B}_{1}} + 2{{K}_{8}}A_{1}^{2}B_{1}^{2}$
$\begin{gathered} {{C}_{{\theta z}}} = {{C}_{{z\theta }}} = {{K}_{1}}{{A}_{1}} + {{K}_{2}}{{B}_{1}} + {{K}_{3}}{{A}_{0}}{{A}_{1}} + {{K}_{5}}{{A}_{0}}{{B}_{1}} + \\ + \;{{K}_{6}}(A_{0}^{2} + 2A_{1}^{2}){{B}_{1}} + 2{{K}_{7}}{{A}_{1}}B_{1}^{2} + 2{{K}_{8}}{{A}_{0}}{{A}_{1}}B_{1}^{2},\quad {{C}_{{rr}}} = {{K}_{0}} \\ \end{gathered} $

2. Тензорно нелинейные эффекты. Под “ортогональными эффектами” напряженно-деформированного состояния в точке среды [10] понимаются ситуации, когда угол между девиаторами напряжений и деформаций (или скоростей деформаций) в этой точке не равен нулю и пренебречь этим фактом в моделировании нельзя. Положительность угла равносильна любому из трех утверждений: а) данные два девиатора непропорциональны; б) единичные направляющие девиаторов отличаются друг от друга; в) определяющие соотношения материала описываются аппаратом тензорно нелинейных функций [11, 12].

В середине XIX века, проводя опыты с кручением металлических цилиндров, Г. Вертгейм обнаружил и измерил удлинение цилиндров. Им было проведено около шестидесяти таких опытов [13], в них осуществлялись малые деформации сплошных и полых, стальных и латунных цилиндров кругового и эллиптического сечения. В начале XX века Дж. Пойнтинг также наблюдал изменение длины и объема скручиваемых стальных образцов, но уже при больших деформациях [14]. Относительное удлинение образца приближенно пропорционально квадрату угла закручивания, а при фиксированном значении угла удлинение пропорционально квадрату радиуса. Пойнтингом же показано, что удлинение и изменение объема скорее всего не связаны с изменением упругих постоянных, т. е. с деформациионной анизотропией.

Для явления возникновения деформаций в направлении, ортогональном чисто сдвиговым усилиям, был введен термин “эффект Пойнтинга”. В [15] это явление было отнесено к так называемым эффектам второго порядка. Его количественному описанию для изотропных и анизотропных материалов при малых и конечных деформациях посвящено большое количество работ [1619].

В [20, 21] приведены результаты проведенных Б.М. Малышевым в Институте механики МГУ первых экспериментальных исследований по кручению различных образцов под действием крутящих моментов при непрерывном пластическом растяжении. В [20] испытания велись при нагружении, мало отличающемся от простого. После некоторой осевой деформации момент внезапно прикладывался и снимался. Отмечены различные аномалии в поведении образцов, свидетельствующие еще об одном помимо эффекта Пойнтинга явлении, непосредственно указывающем на тензорную нелинейность определяющих соотношений, – рэтчеттинге. Он заключается в гораздо более сильном изменении осевых деформаций при совместном растяжении и циклическим кручении с ненулевым средним, чем при отдельном осевом растяжении без кручения (см. литературу и анализ тенденций в изучении в [22]). К числу аналогичных по кинематике и геометрии деформирования явлений в реономных моделях можно отнести виброползучесть [23].

Придадим тензору C смысл некоторой меры деформации, так что компоненты Czz, ${{C}_{{\theta \theta }}}$ и ${{C}_{{\theta z}}}$ (1.7) отвечают за относительное осевое удлинение, кольцевую деформацию и (θz)-сдвиг соответственно. Компонентам Azz и ${{A}_{{\theta z}}}$ (1.4) придадим смысл осевого и сдвигового напряжений, причем положим

(2.1)
${{A}_{0}}({\mathbf{x}},t) = {{\sigma }_{0}}({\mathbf{x}}),\quad {{A}_{1}}({\mathbf{x}},t) = {{\tau }_{0}}({\mathbf{x}}) + {{\tau }_{1}}({\mathbf{x}})sin\omega t$
где ${{\sigma }_{0}}({\mathbf{x}})$, ${{\tau }_{0}}({\mathbf{x}})$, ${{\tau }_{1}}({\mathbf{x}})$ – не зависящие от t функции, обеспечивающие выполнение уравнений равновесия (движения) и условий совместности. Пусть также компонента ${{B}_{{\theta z}}}$ (1.4) имеет вид
(2.2)
${{B}_{1}}({\mathbf{x}},t) = \omega {{\tau }_{1}}({\mathbf{x}})cos\omega t$
т.е. является частной производной по времени от ${{A}_{{\theta z}}}$. Таким образом, представление (1.2) и его частный случай (1.7) интерпретированы как определяющие соотношения, связывающие меру деформации C с некоторыми мерами напряжений A и скоростей напряжений B.

Оставим в (1.2) ненулевыми только материальные функции ${{K}_{0}}$, ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{7}}$:

(2.3)
${\mathbf{C}} = {{K}_{0}}{\mathbf{I}} + {{K}_{1}}{\mathbf{A}} + {{K}_{7}}({\mathbf{A}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{2}} + {{{\mathbf{B}}}^{2}} \cdot {\mathbf{A}})$

Заметим, что тензор-функция ${\mathbf{C}}$ (2.3) тензорно линейна по A, т.е. угол между девиаторами тензоров C и A нулевой при любом B. Согласно (1.7) имеем

(2.4)
$\begin{gathered} {{C}_{{zz}}} = {{K}_{0}} + {{\sigma }_{0}}({{K}_{1}} + 2{{K}_{7}}{{\omega }^{2}}\tau _{1}^{2}{{\cos }^{2}}\omega t),\quad {{C}_{{\theta \theta }}} = {{C}_{{rr}}} = {{K}_{0}} \\ {{C}_{{\theta z}}} = ({{\tau }_{0}} + {{\tau }_{1}}sin\omega t)({{K}_{1}} + 2{{K}_{7}}{{\omega }^{2}}\tau _{1}^{2}{{\cos }^{2}}\omega t) \\ \end{gathered} $

Для простоты положим скалярные функции K1 и K7 материальными константами k1 и k7, а K0 линейной функцией ${{k}_{0}}{{\sigma }_{0}}$ первого инварианта напряжений σ0. Из соотношений (2.4) следует, что

(2.5)
$\begin{gathered} {{C}_{{zz}}} = ({{k}_{0}} + {{k}_{1}}){{\sigma }_{0}} + 2{{k}_{7}}{{\omega }^{2}}{{\sigma }_{0}}\tau _{1}^{2}{{\cos }^{2}}\omega t,\quad {{C}_{{\theta \theta }}} = {{C}_{{rr}}} = {{k}_{0}}{{\sigma }_{0}} \\ {{C}_{{\theta z}}} = ({{\tau }_{0}} + {{\tau }_{1}}sin\omega t)({{k}_{1}} + 2{{k}_{7}}{{\omega }^{2}}\tau _{1}^{2}{{\cos }^{2}}\omega t) \\ \end{gathered} $

При ${{k}_{7}} = 0$ определяющие соотношения (2.5) физически линейны. Наличие ненулевой постоянной k7 приводит к “ортогональному эффекту” типа рэтчеттинга и виброползучести, заключающемся в том, что осевая компонента Czz (2.5) наряду с зависимостью от первого слагаемого $({{k}_{0}} + {{k}_{1}}){{\sigma }_{0}}$ явно зависит от частоты $\omega $ и амплитуды ${{\tau }_{1}}$ крутильных (θz)-напряжений. Относительное влияние парамтеров $\omega $ и ${{\tau }_{1}}$ на Czz характеризуется безразмерным отношением

(2.6)
$\mathop {\sup }\limits_t \left| {\frac{{{{C}_{{zz}}} - {{C}_{{zz}}}{{{\text{|}}}_{{{{k}_{7}} = 0}}}}}{{{{C}_{{zz}}}{{{\text{|}}}_{{{{k}_{7}} = 0}}}}}} \right| = \frac{{2{{k}_{7}}}}{{{{k}_{0}} + {{k}_{1}}}}{\kern 1pt} {{\omega }^{2}}\tau _{1}^{2}$

За счет увеличения частоты вибрации ω отношение (2.6) даже при малой амплитуде ${{\tau }_{1}}({\mathbf{x}})$ крутильных напряжений (${{\tau }_{1}} \ll {{\sigma }_{0}}$) может достичь конечной величины, сопоставимой с единицей.

Отметим, что привлечение тензор-функции (2.3) именно в таком виде для моделирования описанного “ортогонального эффекта” приводит еще к двум следствиям:

– в (2.6) не входит присутствующая в (2.1) функция ${{\tau }_{0}}({\mathbf{x}})$, т.е. на дополнительную осевую деформацию не влияет, с нулевым или с ненулевым средним осуществляется вибрационный (θz)-процесс по напряжениям;

– аналогично (2.6) для кольцевой компоненты Cθθ имеем

(2.7)
$\mathop {sup}\limits_t \left| {\frac{{{{C}_{{\theta \theta }}} - {{C}_{{\theta \theta }}}{{{\text{|}}}_{{_{{{{k}_{7}} = 0}}}}}}}{{{{C}_{{\theta \theta }}}{{{\text{|}}}_{{{{k}_{7}} = 0}}}}}} \right| = \frac{{2{{k}_{7}}}}{{{{k}_{1}}}}{{\omega }^{2}}\tau _{1}^{2}$

Работа выполнена в рамках госзадания АААА-А20-120011690136-2 при поддержке РФФИ (гранты 18-29-10085мк, 19-01-00016а).

Список литературы

  1. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 393–417.

  2. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с. Spencer A.J.M. Continuum Physics. V. 1. Part III. Theory of Invariants. N.-Y. London, 1971. P. 239–353.

  3. Георгиевский Д.В. О потенциальных изотропных тензор-функциях двух тензорных аргументов в МДТТ // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 220–224.

  4. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2014. 320 с.

  5. Аннин Б.Д. Формула Лагранжа–Сильвестра для тензорной функции, зависящей от двух тензоров // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133. № 4. С. 743–744.

  6. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.

  7. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. 224 с.

  8. Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.

  9. Георгиевский Д.В. Избранные задачи механики сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2018. 560 с.

  10. Георгиевский Д.В. Об “ортогональных эффектах” напряженно-деформированного состояния в механике сплошной среды // Вестн. Киевского нац. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2013. № 3. С. 114–116.

  11. Георгиевский Д.В. Об угле между девиаторами напряжений и скоростей деформаций в тензорно-нелинейной изотропной среде // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2013. № 6. С. 63–66.

  12. Георгиевский Д.В. Порядок малости эффекта Пойнтинга с позиций аппарата тензорно нелинейных функций // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 29–33.

  13. Wertheim G. Me′moire sur la torsion. Premire Partie // Annales de Chimie et de Physique. 1857. Ser. 50. P. 195–321.

  14. Poynting J.H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distorsional waves in steel // Proc. Roy. Soc. London. 1912. Ser. A86. P. 534–561.

  15. Green A.E. A note on second-order effect in the torsion of incompressible cylinders // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1954. V. 50. № 3. P. 488–490.

  16. Batra R.C., dell’Isola F., Ruta G.C. Generalized Poynting effects in prismatic bars // J. Elasticity. 1998. V. 50. № 2. P. 181–196.

  17. Akinola A. An energy function for transversely isotropic elastic material and the Poynting effect // Korean J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 6. № 3. P. 639–649.

  18. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Кручение сплошного цилиндра из изотропного упругого материала // Изв. Тульского ГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5. Вып. 2. С. 43–48.

  19. Гавриляченко Т.В., Карякин М.И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 2. С. 188–193.

  20. Малышев Б.М. Пластическое течение при совместном непрерывном растяжении и кручении под действием малых крутящих моментов // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, астрономия, физика, химия. 1958. № 1. С. 55–68.

  21. Малышев Б.М. Кручение трубок при ступенчатом изменении крутящего момента в процессе непрерывного растяжения // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, астрономия, физика, химия. 1958. № 2. С. 33–46.

  22. Васин Р.А., Быля О.И., Чистяков П.В. О некоторых тенденциях в исследовании ретчеттинга // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2020. № 4.

  23. Локощенко А.М. Виброползучесть металлов при одноосном и сложном напряженных состояниях // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 4. С. 111–120.

Дополнительные материалы отсутствуют.