1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 4, 2020

Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 4, стр. 34-42

Формализм Коши в теории акустических поверхностных волн

С. В. Кузнецов a, b, c, *

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

b Московский государственный технический университет им. Баумана
Москва, Россия

c Московский государственный строительный университет
Москва, Россия

* E-mail: kuzn-sergey@yandex.ru

Поступила в редакцию 20.01.2020
После доработки 10.02.2020
Принята к публикации 11.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для описания распространения акустических поверхностных волн в анизотропном слое вводится шестимерный комплексный формализм, осуществляется построение гамильтониана, аналога диссипативной функции Рэлея, а также экспоненциальной фундаментальной матрицы. Получены дисперсионные уравнения для многослойной пластины с различными условиями на граничных поверхностях. Даны примеры применения формализма Коши для анализа дисперсии волн Лэмба.

Ключевые слова: формализм Коши, гамильтонов формализм, волна Лэмба

1. Введение. Ниже излагается методика исследования распространения поверхностных акустических волн в анизотропных слоистых средах с произвольной упругой анизотропией. Основной метод – шестимерный комплексный формализм, основанный на сведении уравнений движения к нормальной форме Коши, и построение фундаментальных экспоненциальных матриц. Наряду с волнами Лэмба и Рэлея–Лэмба рассматриваются и их длинноволновые аналоги, именуемые солитоноподобными волнами.

1.1. Волны Рэлея. В [1] разработан математический метод и на его основе получено алгебраическое уравнение для определения скорости распространения поверхностной волны (рэлеевская волна) в изотропном упругом полупространстве с однородными граничными условиями в напряжениях. В этой же работе отмечено, что ввиду локализации энергии этих волн в небольшой зоне вблизи поверхности, рассматриваемые волны могут распространяться на значительные расстояния и играть решающую роль в переносе энергии при землетрясениях. В дальнейшем метод Рэлея был обобщен на случай анизотропных полупростанств [2–4]. Для анизотропных полупространств ставилась задача поиска так называемых “запрещенных” направлений, по которым распространение рэлеевских волн оказывалось невозможным [5–7]. Однако, в [8–11] и последующих исследованиях [12–15] была сформулирована и доказана теорема существования для релеевских волн, в соответствии с которой для любого направления в любом упруго анизотропном полупространстве рэлеевская волна существует, – таким образом, надежда на обнаружение особых направлений в анизотропных материалах, непропускающих волны Рэлея, не оправдалась.

1.2. Волны Стоунли. В [16] методом, разработанным в [17] для анализа поверхностных волн, распространяющихся в упругом слое, контактирующем с полупространством, решена задача о поверхностной волне на границе контактирующих между собой изотропных упругих полупространств. В [18–20] обнаружено, что такая поверхностная волна (названная волной Стоунли) может возникать лишь при определенных условиях, накладываемых на упругие постоянные контактирующих полупространств, причем из-за технических трудностей общие аналитические выражения условий существования такой волны для контактирующих изотропных полупространств получить не удалось. Например, в [20] исследовалась зависимость отношения констант Ламе μ1/μ2 от отношения плотностей ρ1/ρ2 контактирующих полупространств в случае, когда константы Ламе двух сред удовлетворяют специальному соотношению

(1.1)
$\frac{{{{\lambda }_{1}}}}{{{{\mu }_{1}}}} = \frac{{{{\lambda }_{2}}}}{{{{\mu }_{2}}}} = 1$

В [20] было обнаружено, что при выполнении (1.1) и дополнительном, часто используемом в геомеханике, условии ${{\rho }_{1}}{\text{/}}{{\rho }_{2}} = 1$, волны Стоунли могут возникать лишь в случае, когда отношение μ1/μ2 близко к единице. В [21] исследовались вопросы существования волн Стоунли для контактирующих упруго анизотропных полупространств и соответствующая теорема существования была доказана для некоторых частных случаев упругой анизотропии.

1.3. Волны Лява и SH волны. Описание волн с горизонтальной поперечной поляризацией (волны Лява), распространяющихся в упругом изотропном слое, контактирующем с изотропным полупространством, дано в [17], при этом на внешней поверхности слоя, так же как и в случае волн Рэлея, ставятся однородные условия для касательных напряжений. В [17] отмечалось, что эти волны наряду с волнами Рэлея участвуют в передаче сейсмической энергии при землятресениях и, в тех местах, где они распространяются, могут происходить еще более катастрофические разрушения, чем вызванные только волнами Рэлея. В этой же работе найдено необходимое условие, при котором эти волны могут распространяться

(1.2)
$c_{{layer}}^{S} < c_{{halfspace}}^{S}$
где $c_{ \bullet }^{S}$ – соответствующие скорости распространения объемных поперечных волн. Нарушение условия (1.2) приводит к невозможности распространения волн Лява, – такие среды представляют собой барьеры для волн Лява. В [22–24] рассмотрены волны Лява и имеющие ту же поляризацию SH-волны, распространяющиеся в анизотропных слое и полупространстве с различными видами упругой анизотропии и различными условиями на свободных поверхностях. В частности, в [22, 23] показано, что условиями существования волн Лява в случае контактирующих трансверсально изотропных слоя и полупространства являются условия (1.2), в этом случае $c_{ \bullet }^{S}$ – скорости объемных волн с горизонтальной поперечной поляризацией. Заметим, что из (1.2) вытекает один интересный результат: если $c_{{halfspace}}^{S} = 0$, что соответствует одиночному изотропному или трансверсально изотропному слою со свободными границами, то волна с горизонтальной поперечной поляризацией, называемая в этом случае SH-волной, распространяться не может. Заметим, что в случае многослойной среды, содержащей более одного слоя, но по-прежнему без контактирующего полупространства, SH-волны уже могут распространяться [24].

1.4. Волны Лэмба. В случае, если контактирующее полупространство отсутствует, а на границах одниочного слоя заданы однородные условия, возникает поверхностная волна, называемая истинной (genuine) волной Лэмба. Эта волна поляризована в сагиттальной плоскости:

(1.3)
${\mathbf{x}} \in {{\Pi }_{s}}:{\mathbf{x}} \cdot \left( {{\mathbf{n}} \times \nu } \right) = 0$
где n – волновой вектор (вектор направления распространения волны), а $\nu $ – вектор единичной нормали к срединной или граничной. Волны Лэмба, распространяющиеся в изотропном упругом слое, впервые исследовались в [25]. В случае анизотропного слоя со свободными границами, известно [26], что если слой обладает упругой симметрией, характеризуемой вектором q и ${\mathbf{q}}||{\mathbf{n}}$, то в таком слое могут распространяться истинные волны Лэмба. Если же слой не имеет упругой симметрии, или направление распространения n не совпадает с направлением упругой симметрии q, возникают обобщенные волны Лэмба, имеющие пространственную поляризацию.

1.5. Волны Рэлея–Лэмб. Волны Рэлея–Лэмба – еще один тип волн, которые могут возникать при сейсмической активности. Эти волны, так же как и волны Лява, распространяются в системе упругий слой (слои) – полупространство, но, в отличие от волн Лява, волны Рэлея–Лэмба поляризованы в сагиттальной плоскости. Для волн Рэлея–Лэмба поляризация аналогична волнам Лэмба: если слой и контактирующее полупространство имеют общую ось упругой симметрии, совпадающую с направлением распространения волны, то волна, называемая истинной волной Рэлея–Лэмба, поляризована в сагиттальной плоскости [27–30]. В противном случае, распространяется обобщенная волна Рэлея–Лэмба, имеющая объемную поляризацию; дисперсия волн Рэлея–Лэмба и родственные задачи рассматривались также в [31–38].

1.6. Волны Лэмба в неоднородных средах. В [39–41] построен модифицированный формализм Коши для анализа функционально-градиентных сред с поперечной (трансверсальной) неоднородностью. Уравнения движения в изотропных функционально-градиентных средах могут быть представлены в виде

$\nabla \left( {\left( {\lambda ({\mathbf{x}}) + \mu ({\mathbf{x}})} \right){\text{div}}\,{\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)} \right) + {\text{div}}\left( {\mu ({\mathbf{x}})\left( {\nabla {\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)} \right)} \right){\text{ = }}\rho {\text{(}}{\mathbf{x}}{\text{)}}{\mathbf{\ddot {u}}}{\text{(}}{\mathbf{x}},t{\text{)}}$
где $\lambda $ и μ – параметры Ламе, $\rho $ – плотность среды, u – поле смещений. Осуществляя дифференцирование, в [42] уравнения движения были получены в несколько ином виде, применявшемся в [39–41]:
$\begin{gathered} \left( {\lambda ({\mathbf{x}}) + \mu ({\mathbf{x}})} \right)\nabla {\text{div}}{\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) + \mu ({\mathbf{x}})\Delta {\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) + \\ + \;\nabla (\lambda ({\mathbf{x}}) + \mu ({\mathbf{x}})){\text{div}}{\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) + \nabla \mu ({\mathbf{x}}) \cdot {{(\nabla {\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t))}^{T}}\,{\text{ = }}\,\rho {\text{(}}{\mathbf{x}}{\text{)}}{\mathbf{\ddot {u}}}{\text{(}}{\mathbf{x}},t{\text{)}} \\ \end{gathered} $
где верхний индекс Т означает транспозицию.

1.7. Граничные и контактные условия для волн Лэмба. На свободных границах внешних слоев n-слойной среды могут задаваться следующие однородные условия:

а) в напряжениях

(1.4)
$\begin{gathered} {\mathbf{x}} \cdot \nu = + {{h}_{1}}{\text{:}}\quad {{{\mathbf{t}}}_{1}} \equiv \nu \cdot {{{\mathbf{C}}}_{1}} \cdot \cdot {{\nabla }_{{\mathbf{x}}}}{{{\mathbf{u}}}_{1}} = 0 \\ {\mathbf{x}} \cdot \nu = - {{h}_{n}}{\text{:}}\quad {{{\mathbf{t}}}_{n}} \equiv \nu \cdot {{{\mathbf{C}}}_{n}} \cdot \cdot {{\nabla }_{{\mathbf{x}}}}{{{\mathbf{u}}}_{n}} = 0 \\ \end{gathered} $

б) в перемещениях

(1.5)
$\begin{gathered} {\mathbf{x}} \cdot \nu = + {{h}_{1}}{\text{:}}\quad {{{\mathbf{u}}}_{1}} = 0 \hfill \\ {\mathbf{x}} \cdot \nu = - {{h}_{n}}{\text{:}}\quad {{{\mathbf{u}}}_{n}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} $

г) смешанные условия

(1.6)
$\begin{gathered} {\mathbf{x}} \cdot \nu = + {{h}_{1}}{\text{:}}\quad {{{\mathbf{t}}}_{1}} \equiv \nu \cdot {{{\mathbf{C}}}_{1}} \cdot \cdot {{\nabla }_{{\mathbf{x}}}}{{{\mathbf{u}}}_{1}} = 0 \\ {\mathbf{x}} \cdot \nu = - {{h}_{n}}{\text{:}}\quad {{{\mathbf{u}}}_{n}} = 0 \\ \end{gathered} $
где Ck – соответствующие тензоры упругости, uk – поля перемещений в соответствующих слоях, 2hk – толщины соответствующих слоев.

На контактных поверхностях между k и k + 1 слоями задаются условия идеального механического контакта

(1.7)
$\begin{gathered} {{\left. {{{{\mathbf{t}}}_{k}}} \right|}_{{{\mathbf{x}} \cdot \nu = - {{h}_{k}}}}} = {{\left. {{{{\mathbf{t}}}_{{k + 1}}}} \right|}_{{{\mathbf{x}} \cdot \nu = + {{h}_{{k + 1}}}}}} \\ {{\left. {{{{\mathbf{u}}}_{k}}} \right|}_{{{\mathbf{x}} \cdot \nu = - {{h}_{k}}}}} = {{\left. {{{{\mathbf{u}}}_{{k + 1}}}} \right|}_{{{\mathbf{x}} \cdot \nu = + {{h}_{{k + 1}}}}}} \\ \end{gathered} $

1.8. Постановка проблемы и методы исследования. Ниже, для среды, состоящей из нескольких анизотропных слоев, определяются условия, обеспечивающие невозможность распространения обобщенных волн Лэмба в каком-либо направлении. Для решения этой задачи применяется комбинированный метод, состоящий в построении фундаментальных экспоненциальных матриц, описывающих распространение волн Лэмба в одиночном слое, и модифицированный метод передаточных матриц (модифицированный метод Томсона–Хаскелла), использующийся для описания распространения волн в слоистых средах.

Для двухслойной среды, состоящей из анизотропных слоев, имеющих общую ось упругой симметрии, условия нераспространения истинных волн Лэмба в направлении этой оси упругой симметрии выписаны аналитически.

2. Основные соотношения. Ниже считается, что все слои однородны и линейно гиперупруги. Уравнения движения для упругой однородной анизотропной среды могут быть записаны в виде

(2.1)
${\mathbf{A}}{\text{(}}{{\partial }_{x}}{\text{,}}{{\partial }_{t}}{\text{)}}{\mathbf{u}} \equiv {\text{di}}{{{\text{v}}}_{x}}{\mathbf{C}} \cdot \cdot {{\nabla }_{x}}{\mathbf{u}} - \rho {\mathbf{\ddot {u}}} = 0$
где тензор упругости ${\mathbf{C}}$ предполагается положительно определенным:

(2.2)
$\begin{gathered} ({\mathbf{A}} \cdot \cdot {\mathbf{C}} \cdot \cdot {\mathbf{A}}) \equiv \sum\limits_{i,j,m,n} {{{A}_{{ij}}}{{C}^{{ijmn}}}{{A}_{{mn}}}} > 0, \\ \mathop {\forall {\mathbf{A}}}\limits_{{\mathbf{A}} \in {\text{sym}}({{R}^{3}} \otimes {{R}^{3}}),{\mathbf{A}} \ne 0} \quad {\text{sym}}{\mathbf{A}} = \frac{1}{2}({\mathbf{A}} + {{{\mathbf{A}}}^{t}}) \\ \end{gathered} $

Замечание 2.1. В случае изотропной упругой среды условие положительной определенности (2.2) эквивалентно

$\mu > 0,\quad \lambda > - \frac{2}{3}\mu $
где λ и μ – константы Ламе.

Следуя подходу [30, 35], рассмотрим представление для волны Лэмба, распространяющейся в слое с произвольной упругой анизотропией, в виде:

(2.3)
${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) \equiv {\mathbf{f}}(x{\text{''}}){{e}^{{ir({\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{x}} - ct)}}}$
где r – волновое число; ${\mathbf{n}}$ – волновой вектор (единичной длины), задающий направление распространения волны; c – фазовая скорость; $x{\text{''}} = ir\left( {\nu \cdot {\mathbf{x}}} \right)$ – безразмерная мнимая переменная; f – неизвестная векторная функция, определяющая изменение амплитуды на волновом фронте. Подставляя выражение (2.3) в уравнение (2.1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции f. Это уравнение известно как уравнение Кристоффеля для волны Лэмба

(2.4)
$ - {{r}^{2}}({\mathbf{A}}\partial _{{x{\text{''}}}}^{2} + {\mathbf{B}}{{\partial }_{{x{\text{''}}}}} + {\mathbf{D}}) \cdot {\mathbf{f}} = 0$
(2.5)
${\mathbf{A}} = \nu \cdot {\mathbf{C}} \cdot \nu ,\quad {\mathbf{B}} = \nu \cdot {\mathbf{C}} \cdot {\mathbf{n}} + {\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{C}} \cdot \nu ,\quad {\mathbf{D}} = {\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{C}} \cdot {\mathbf{n}} - \rho {{c}^{2}}{\mathbf{I}}$

В (2.5) I – единичная диагональная 3 × 3-матрица. Для последующего анализа редуцируем уравнение (2.4) к матричному ОДУ первого порядка, введя вспомогательную функцию

(2.6)
${\mathbf{w}} = {{\partial }_{{x{\text{''}}}}}{\mathbf{f}}$

С учетом этой функции уравнение (2.4) примет вид

(2.7)
${{\partial }_{{x{\text{''}}}}}\left( \begin{gathered} {\mathbf{f}} \hfill \\ {\mathbf{w}} \hfill \\ \end{gathered} \right) = {\mathbf{G}} \cdot \left( \begin{gathered} {\mathbf{f}} \hfill \\ {\mathbf{w}} \hfill \\ \end{gathered} \right)$
где якобиан G представляет собой матрицу шестого порядка:
(2.8)
${\mathbf{G}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{0}}&{\mathbf{I}} \\ { - {{{\mathbf{A}}}^{{ - 1}}} \cdot {\mathbf{D}}}&{ - {{{\mathbf{A}}}^{{ - 1}}} \cdot {\mathbf{B}}} \end{array}} \right)$
причем

(2.9)
$\det ({\mathbf{G}}) = \det \left( {\mathbf{D}} \right) \cdot {{\det }^{{ - 1}}}\left( {\mathbf{A}} \right)$

В правой части (2.8) 0 – нулевая 3 × 3-матрица. С помощью якобиана (2.8) общее решение уравнения (2.7) можно представить в виде:

(2.10)
${{\left( \begin{gathered} {\mathbf{f}} \hfill \\ {\mathbf{w}} \hfill \\ \end{gathered} \right)}_{0}} = {{e}^{{ir({\mathbf{x}} \cdot \nu ){\mathbf{G}}}}} \cdot \vec {C}$
где $\vec {C}$ – шестимерный и, вообще говоря, комплексный вектор, определяемый с точностью до скалярного множителя из граничных или контактных условий. С учетом (2.10) решение уравнения движения (2.1) для поверхностной волны в слое может быть представлено в виде

(2.11)
$\left( \begin{gathered} {\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t) \hfill \\ {\mathbf{z}}({\mathbf{x}},t) \hfill \\ \end{gathered} \right) = ({{e}^{{ir({\mathbf{x}} \cdot \nu ){\mathbf{G}}}}} \cdot \vec {C}){{e}^{{ir({\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{x}} - ct)}}}$

В левой части (2.10) ${\mathbf{z}}({\mathbf{x}},t) = {\mathbf{w}}(x{\text{''}}){{e}^{{ir({\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{x}} - ct)}}}$.

Замечания 2.2. а) Представление (2.10) остается справедливым и в случае неполупростого вырождения матрицы G, т.е. при наличии жордановых блоков в канонической нормальной форме матрицы G, см. [30, 35, 37].

б) В теории поверхностных волн уравнения движения в форме уравнения второго порядка (2.4) весьма часто сводят к системе уравнений первого порядка. При этом в зависимости от выбора вспомогательной функции w, различают несколько эквивалентных представлений уравнений движения (2.4) в форме системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Из этих представлений наиболее широко применяется представление (формализм) Штро (Stroh) [4, 37, 38], в котором вспомогательная функция w принимается в виде

(2.12)
${\mathbf{w}} = {\mathbf{A}} \cdot {{\partial }_{{x''}}}{\mathbf{f}} + {\mathbf{F}} \cdot {\mathbf{f}}$
где A – матрица, определенная в (2.5), а F определяется следующим выражением

(2.13)
${\mathbf{F}} = \nu \cdot {\mathbf{C}} \cdot {\mathbf{n}}$

В случае представления (2.12) функция w с точностью до множителя $ir\,{{e}^{{ir({\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{x}} - ct)}}}$ совпадает с усилиями на плоскостях $\nu \cdot {\mathbf{x}} = {\text{const}}$.

3. Метод передаточных матриц. Контактные граничные условия (1.7) на граничных плоскостях k-го слоя могут быть выражены через соответствующий шестимерный вектор коэффициентов ${{\vec {C}}_{k}}$ по формулам (2.10)–(2.12):

(3.1)
${\mathbf{M}}_{k}^{ \pm } \cdot {{\vec {C}}_{k}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{u}}}_{k}}( \pm {{h}_{k}})} \\ {{{{\mathbf{t}}}_{k}}( \pm {{h}_{k}})} \end{array}} \right)$
где

(3.2)
${\mathbf{M}}_{k}^{ \pm } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{I}}&{\mathbf{0}} \\ { \pm {{{\mathbf{F}}}_{k}}}&{ \pm {{{\mathbf{A}}}_{k}}} \end{array}} \right) \cdot {{e}^{{ \pm ir{{{\mathbf{G}}}_{k}}{{h}_{k}}}}}$

Знаки ± перед матрицами Fk и Ak в правой части (3.2) отвечают ориентации внешней нормали к соответственно “верхней” и “нижней” граничным плоскостям k-го слоя.

Следуя [31, 32], будем называть ${\mathbf{M}}_{k}^{ \pm }$ передаточными матрицами. При любых r > 0 и любых гиперупругих средах, удовлетворяющих условию (2.2), передаточные матрицы (3.2) невырождены:

(3.3)
$\det ({\mathbf{M}}_{k}^{ \pm }) \ne 0$

Поскольку ${{e}^{{ \pm ir{{{\mathbf{G}}}_{k}}{{h}_{k}}}}} \ne 0$, для доказательства (3.3) достаточно установить невырожденность следующей матрицы

(3.4)
$\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{I}}&{\mathbf{0}} \\ { \pm {{{\mathbf{F}}}_{k}}}&{ \pm {{{\mathbf{A}}}_{k}}} \end{array}} \right) = \det \left( { \pm {{{\mathbf{A}}}_{k}}} \right) \ne 0$
неравенство в (3.4) вытекает из выражения (2.5) для акустического тензора Ak, невырожденного в силу условий (2.2).

Комбинация передаточных матриц (3.2) позволяет выразить усилия и перемещения на “нижней” граничной плоскости n-го слоя, через граничные условия на “верхней” поверхности первого слоя:

(3.5)
${\mathbf{N}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \\ {{{{\mathbf{t}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{u}}}_{n}}( - {{h}_{n}})} \\ {{{{\mathbf{t}}}_{n}}( - {{h}_{n}})} \end{array}} \right)$
где N – результирующая передаточная матрица, представляющая собой композицию передаточных матриц ${\mathbf{M}}_{k}^{ \pm }$:

(3.6)
${\mathbf{N}} = \prod\limits_{k = 1}^n {{\mathbf{M}}_{k}^{ - } \cdot {{{({\mathbf{M}}_{k}^{ + })}}^{{ - 1}}}} $

Из (3.3), (3.6) вытекает

(3.7)
$\det \left( {\mathbf{N}} \right) \ne 0$

Результирующая передаточная матрица N может быть представлена в виде блочной матрицы

(3.8)
${\mathbf{N}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{N}}}_{1}}}&{{{{\mathbf{N}}}_{2}}} \\ {{{{\mathbf{N}}}_{3}}}&{{{{\mathbf{N}}}_{4}}} \end{array}} \right)$
где Np, $p = 1, \ldots ,4$ квадратные 3 × 3-матрицы.

С учетом (3.8) условия (3.5) приобретают вид

(3.9)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{N}}}_{1}} \cdot {{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}}) + {{{\mathbf{N}}}_{2}} \cdot {{{\mathbf{t}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \\ {{{{\mathbf{N}}}_{3}} \cdot {{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}}) + {{{\mathbf{N}}}_{4}} \cdot {{{\mathbf{t}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{u}}}_{n}}( - {{h}_{n}})} \\ {{{{\mathbf{t}}}_{n}}( - {{h}_{n}})} \end{array}} \right)$

4. Общие условия существования (обобщенных) волн Лэмба. В этом разделе приводятся дисперсионные соотношения для пластин с различными условиями закрепления.

4.1. Пластина со свободными внешними граничными поверхностями. В этом случае усилия на внешних поверхностях равны нулю, тогда уравнение (3.9) трансформируется к виду

(4.1)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{N}}}_{1}} \cdot {{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \\ {{{{\mathbf{N}}}_{3}} \cdot {{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{u}}}_{n}}( - {{h}_{n}})} \\ {\mathbf{0}} \end{array}} \right)$

Из (4.1) получаем условие существования для волны Лэмба

(4.2)
$\det \left( {{{{\mathbf{N}}}_{3}}} \right) = 0$

Действительно, если при каком-либо r матрица N3 вырожденная, то однородные условия в напряжениях на “нижней” поверхности слоя удовлетворяются при ${{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}}) \ne 0$ и ${{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}}) \in \ker \left( {{{{\mathbf{N}}}_{3}}} \right)$, но это означает, что существует обобщенная волна Лэмба.

4.2. Пластина с защемленными внешними граничными поверхностями. В этом случае перемещения на внешних поверхностях равны нулю и уравнение (3.9) приобретает вид

(4.3)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{N}}}_{2}} \cdot {{{\mathbf{t}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \\ {{{{\mathbf{N}}}_{4}} \cdot {{{\mathbf{t}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{0}} \\ {{{{\mathbf{t}}}_{n}}( - {{h}_{n}})} \end{array}} \right)$

Из (4.3) получаем условие существования:

(4.4)
$\det \left( {{{{\mathbf{N}}}_{2}}} \right) = 0$

4.3. Пластина со смешанными условиями (1.6) на внешних граничных поверхностях. В этом случае усилия на “верхней” поверхности равны нулю, а на “нижней” поверхности равны нулю перемещения и уравнение (3.9) приобретает вид

(4.5)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{N}}}_{1}} \cdot {{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \\ {{{{\mathbf{N}}}_{3}} \cdot {{{\mathbf{u}}}_{1}}( + {{h}_{1}})} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{0}} \\ {{{{\mathbf{t}}}_{n}}( - {{h}_{n}})} \end{array}} \right)$

По аналогии с предыдущим, из (4.5) получаем следующее условие существования:

(4.6)
$\det \left( {{{{\mathbf{N}}}_{1}}} \right) = 0$

5. Заключительные замечания. Приведен обзор и анализ исследований по применению шестимерного комплексного формализма Коши для описания распространения акустических поверхностных волн в анизотропном упругом слое с анизотропией общего вида.

Показано, что в основе формализма Коши лежит сведение гиперболических уравнений второго порядка к системе шести (гиперболических) уравнений первого порядка. Далее, осуществляется построение гамильтониана, являющегося аналогом диссипативной функции Рэлея. На последнем этапе в формализме Коши осуществляется построение экспоненциальной фундаментальной матрицы. Таким образом, удается получить дисперсионные уравнения как для гомогенного анизотропного слоя, так и для стратифицированной пластины с различными условиями на граничных поверхностях.

В статье отмечены обобщения формализма Коши для получения дисперсионных соотношений волн Лэмба в функционально-градиентных средах с непрерывной трансверсальной неоднородностью; см. [39–41]. Поверхностные акустические волны в стержнях рассмотрены в [43, 44].

Благодарность. Автор благодарит Российский фонд фундаментальных исследований (гранты 20-08-00419, 18-58-41001 и 19-01-00100) за частичную финансовую поддержку.

Список литературы

  1. Strutt J.W. (Lord Rayleigh) On wave propagating along the plane surface of an elastic solid // Proc. London Math. Soc. 1885. V. 17. P. 4–11.

  2. Synge J.L. Elastic waves in anisotropic media // J. Math. Phys. 1956. V. 35. P. 323–334.

  3. Stoneley R. The propagation of surface elastic waves in a cubic crystal // Proc. Roy. Soc. 1955. A232. P. 447–458.

  4. Stroh A.N. Steady state problems in anisotropic elasticity // J. Math. Phys. 1962. V. 41. P. 77–103.

  5. Lim T.C., Farnell G.W. Search for forbidden directions of elastic surface-wave propagation in anisotropic crystals // J. Appl. Phys. 1968. V. 39. P. 4319–4325.

  6. Lim T.C., Farnell G.W. Character of pseudo surface waves on anisotropic crystals // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. V. 45. P. 845–851.

  7. Farnell G.W. Properties of elastic surface waves // Phys. Acoust. 1970. V. 6. P. 109–166.

  8. Barnett D.M., Lothe J. Synthesis of the sextic and the integral formalism for dislocations. Green’s functions. and surface waves in anisotropic elastic solids // Phys. Norv. 1973. V. 7. P. 13–19.

  9. Barnett D.M., Lothe J. Consideration of the existence of surface wave (Rayleigh wave) solutions in anisotropic elastic crystals. J. Phys. Ser. F. 1974. 4. P. 671–678.

  10. Barnett D.M., Lothe J. An image force theorem for dislocations in anisotropic bicrystals // J. Phys. Ser. F. 1974. V. 4. P. 1618–1635.

  11. Lothe J., Barnett D.M. On the existence of surface wave solutions for anisotropic elastic half-spaces with free surface // J. Appl. Phys. 1976. V. 47. P. 428–433.

  12. Chadwick P., Smith G.D. Foundations of the theory of surface waves in anisotropic elastic materials // Adv. Appl. Mech. 1977. V. 17. P. 303–376.

  13. Chadwick P., Jarvis D.A. Surface waves in a prestressed elastic body // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1979. V. 366. P. 517–536.

  14. Chadwick P., Ting T.C.T. On the structure and invariance of the Barnett-Lothe tensors // Quart. Appl. Math. 1987. V. 45. P. 419–427.

  15. Gunderson S.A., Barnett D.M., Lothe J. Rayleigh wave existence theory: a supplementary remark // Wave Motion. 1987. V. 9. P. 319–321.

  16. Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two solids // Proceedings of the Royal Society (London) 1924. V. A106. P. 416–428.

  17. Love A.E.H. Some Problems of Geodynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 1911. P. 165–178.

  18. Sezawa K., Kanai K. The range of possible existence of Stoneley waves and some related problems // Bull. Earthquake Research Inst. (Tokyo). 1939. V. 17. P. 1–8.

  19. Cagniard L. Reflexion et refraction des ondes seismique progressive (These). Paris: Gauthier-Villars & Cie, 1939.

  20. Scholte J.G. The range of existence of Rayleigh and Stoneley waves // Monthly Notices Roy. Astron. Soc.: Geogphys. Suppl. 1947. V. 5. P. 120–126.

  21. Chadwick P., Borejko P. Existence and uniqueness of Stoneley waves // Geophys. J. Int. 1994. V. 118. P. 279–284.

  22. Sengupta P.R., Nath S. Surface waves in fiber-reinforced anisotropic elastic media // Sadhana. 2001. V. 26. P. 363–370.

  23. Кузнецов С.В. Волны Лява в моноклинных средах // ПMM. 2006. Т. 70. № 1. С. 141–154.

  24. Kuznetsov S.V. SH-waves in laminated plates // Quarterly of Applied Mathematics. 2006. V. 64. P. 153–165.

  25. Lamb H. On waves in an elastic plate // Proc. Roy. Soc. 1917. V. A93. P. 114–128.

  26. Liu G.R., Tani J., Watanabe K., Ohyoshi T. Lamb wave propagation in anisotropic laminates // J. Appl. Mech. 1990. V. 57. P. 923–929.

  27. Lin W., Keer L.M. A study of Lamb waves in anisotropic plates // J. Acoust. Soc. Amer. 1992. V. 92. P. 888–894.

  28. Guo N., Cawley P. Lamb wave propagation in composite laminates and its relationship with acousto-ultrasonics // NDT & E Int. 1993. V. 26. P. 75–84.

  29. Chimenti D.E. Lamb waves in microstructured plates // Ultrasonics. 1994. V. 32. P. 255–260.

  30. Kuznetsov S.V. Subsonic Lamb waves in anisotropic plates // Quart. Appl. Math. 2002. V. 60. P. 577–587.

  31. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // J. Appl. Phys. 1950. V. 21. № 2. P. 89–93.

  32. Haskell N.A. Dispersion of surface waves on multilayered media // Bull. Seismol. Soc. America. 1953. V. 43. № 1. P. 17–34.

  33. Knopoff L. A matrix method for elastic wave problems // Bull. Seismol. Soc. America. 1964. V. 54. № 1. P. 431–438.

  34. Mal A.K., Knopoff L. A Differential equation for surface waves in layers with varying thickness // J. Math. Anal. Appl. 1968. V. 21. № 2. P. 431–441.

  35. Kuznetsov S.V. Surface waves of non-Rayleigh type // Quart. Appl. Math. 2003. V. 61. № 3. P. 575–582.

  36. Meier C.D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM. 2002.

  37. Ting T.C.T. Anisotropic elasticity: theory and applications. N.Y.: Oxford University Press, 1996.

  38. Ting T.C.T. A modified Lekhnitskii formalism a la Stroh for anisotropic elasticity and classifications of the 6X6 matrix N // Proc. Roy. Soc. London. 1999. V. A455. P. 69–89.

  39. Kuznetsov S.V. Lamb waves in functionally graded plates with transverse inhomogeneity // Acta Mechanica. 2018. V. 229. P. 4131–4139.

  40. Kuznetsov S.V. Cauchy formalism for Lamb waves in functionally graded plates // JVC/Journal of Vibration and Control. 2019. V. 25(6). P. 1227–1232.

  41. Kuznetsov S.V. Abnormal dispersion of flexural Lamb waves in functionally graded plates // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2019. V. 70(89). P. 1–10.

  42. Gurtin M.E. The Linear Theory of Elasticity. In: Handbuch der Physik. V. VIa/2. Berlin: Springer-Verlag, 1976. P. 1–296.

  43. Мокряков В.В. Максимумы напряжений в продольных волнах Похгаммера–Кри // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 5. С. 86–103.

  44. Ilyashenko A.V. Pochhammer-Cree Longitudinal Waves: Anomalous Polarization // Mechanics of Solids. 2019. V. 54. P. 598–606.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал