Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 3, стр. 114-121

Введение. В механике композитов объектом исследования являются материальные тела, составленные из объемов вещества с различными механическими и физическими свойствами. Для композита существенным является то обстоятельство, что объемы вещества, составляющего тело обладают характерными размерами намного меньше характерных размеров всего тела и в то же время они намного больше размеров молекул, так что вещество в каждом объеме можно считать сплошной средой. По этой причине процессы, происходящие во всем композиционном теле описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. В композитах с периодической структурой коэффициенты уравнений являются периодическими функциями декартовых координат ${{x}_{i}}$ с периодом ${{l}_{i}}$ по каждой координате (дисперсно армированные композиты). Периодичность по двум координатам отличает волокнистые композиты. Периодичность коэффициентов по одной координате соответствует слоистому композиту. Представленная классификация условна, поскольку многие современные композиты можно одновременно отнести одновременно к двум, либо к трем перечисленным классам. Для решения задач регулярных композитов широко применяется метод Бахвалова–Победри (МБП) [1]. Этот метод основан на разложении искомого решения в асимптотический ряд по степеням малого геометрического параметра, равного отношению характерного размера ячейки периодичности к характерному размеру всего композиционного тела. Краткий обзор работ по МБП приведен в [1]. Композит с регулярной структурой, как правило, это искусственно созданный материал для выполнения особых функций и приводящий к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Это лишь частный случай неоднородности коэффициентов уравнений. Многие задачи из различных разделов линейной и нелинейной механики сводятся к решению уравнений с непериодическими переменными коэффициентами. Уравнения с непрерывной зависимостью коэффициентов от координат рассматривались В.А. Ломакиным [2]. Задачи термоупругости для тел из кусочно-однородных материалов представлены в книге Подстригача Я.С., Ломакина В.А., Коляно Ю.М. [3].

В представленной к публикации работе излагается новый метод приближенного решения линейных уравнений с переменными кусочно-непрерывными коэффициентами. Метод основан на интегральной формуле связывающей решение исходного линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами через решение такого же уравнения с постоянными коэффициентами (сопутствующее уравнение). В ядро интегральной формулы входит фундаментальная функция исходного уравнения, разность коэффициентов исходного и сопутствующего уравнений, а так же решение сопутствующего уравнения. Из интегральной формулы получено эквивалентное представление решения исходного уравнения в виде ряда по всевозможным производным от решения сопутствующего уравнения. Коэффициенты ряда называются структурными функциями. Они существенно зависят от вида неоднородности и стремятся к нулю при стремлении коэффициентов исходного уравнения к постоянным коэффициентам сопутствующего уравнения. Для структурных функций выписаны рекуррентные уравнения. Получены явные аналитические выражения для структурных функций в случае зависимости исходных коэффициентов только от одной координаты. Рассмотрена смешанная краевая задача для неоднородной по толщине плиты. Получены выражения для начальных структурных функций с одним и двумя индексами. Все остальные функции находятся рекуррентым способом.

1. Исходное уравнение с переменными коэффициентами. Рассмотрим уравнение эллиптического типа

В уравнении (1.1) латинские индексы изменяются от 1 до 3. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование в соответствующих пределах. Нижний индекс после запятой означает частную производную по координате, соответствующей значению индекса. Коэффициенты ${{C}_{{ij}}}(x)$ – кусочно-гладкие функции координат. Матрица [C_ij] – симметрична и положительно определена в каждой точке непрерывности. Уравнение (1) понимается в обобщенном смысле, либо в классическом смысле в областях непрерывности коэффициентов, тогда на поверхностях разрыва выполняются условия идеального контакта [4, 5].

В зависимости от физического смысла коэффициентов уравнение является уравнением стационарного распределения температуры, диффузии, электростатики, магнитостатики и т.д. Искомая величина $u(x)$ может быть как скалярной, так и векторной функцией с компонентами ${\mathbf{u}}({{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}})$, тогда каждый из коэффициентов C_ij является матрицей C_ij вида: ${{{\mathbf{C}}}_{{ij}}} = [{{C}_{{kilj}}}]$. В этом случае ${{{\mathbf{C}}}_{{ij}}} = {\mathbf{C}}_{{ji}}^{T}$. Здесь верхний индекс T означает транспонирование. При этом, исходное уравнение становится векторным уравнением равновесия неоднородного упругого тела [6].

2. Сопутствующее уравнение с постоянными коэффициентами. Наряду с исходным уравнением (1) в области V рассмотрим уравнение того же типа, что и исходное, но с постоянными коэффициентами

Уравнение (2.1) будем называть сопутствующим уравнением. Соответственно ${{\hat {L}}^{{^{ \circ }}}}$ – сопутствующий оператор, а $C_{{ij}}^{{^{ \circ }}}$ – сопутствующие коэффициенты.

Объемные нагрузки в исходном и сопутствующем уравнениях одинаковы. Если рассматривается краевая задача, то граничные условия в исходной и сопутствующей задачах также одинаковы

Коэффициенты $C_{{ij}}^{{^{ \circ }}}$ сопутствующего уравнения (2.1), в общем случае, являются любыми физически допустимыми величинами и пока никак не связаны с коэффициентами ${{C}_{{ij}}}(x)$ исходного уравнения.

Пусть $G(x,{\xi })$ – фундаментальное решение исходного уравнения. То есть, это любое решение, удовлетворяющее неоднородному уравнению вида [7, 8]:

где ${\delta }(x - {\xi }) = {\delta }({{x}_{1}} - {{{\xi }}_{1}}){\delta }({{x}_{2}} - {{{\xi }}_{2}}){\delta }({{x}_{3}} - {{{\xi }}_{3}})$ – обобщенная дельта-функция Дирака [9, 10]. Уравнение (4) понимается в обобщенном смысле, то есть в смысле интегрального тождества С.Л. Соболева. Уравнение (1.1) при разрывных коэффициентах C(x) также является обобщенным [4].

Интегральная формула. Используя фундаментальное решение $G(x,{\xi })$, представим решение u(x) исходной задачи через решение ${v}(x)$ сопутствующей задачи в виде следующей интегральной формулы:

В интегральной формуле (2.4) присутствует только сопутствующее решение и фундаментальное решение. Для того, чтобы выражение (2.4) удовлетворяло исходному уравнению с переменными коэффициентами достаточно, чтобы функция $G(x,{\xi })$ удовлетворяла уравнению (2.3), а функция $v(x)$ – сопутствующему уравнению. Это положение легко проверяется путем подстановки (2.4) в исходное уравнение (1.1). Не представляет труда получить из формулы (2.4) интегральную формулу для случая, когда u и v – векторы, а ${{{\mathbf{C}}}_{{ij}}}$ – матрицы вида $[{{C}_{{kilj}}}]$. В компонентной записи интегральная формула для векторного случая принимает вид:

где индекс после вертикальной черты означает производную по переменной ${{{\xi }}_{i}}$.

Интегральная формула (2.4) представления решения смешанной краевой задачи (1.1), (2.2) задачи теории упругости для неоднородного анизотропного тела была впервые получена в 1991 году и опубликована в работе [10].

В случае краевых условий (2.2) фундаментальное решение должно удовлетворять следующим краевым условиям:

3. Представление решения исходного уравнения в виде ряда по производным от решения сопутствующего уравнения. Для того, чтобы продвинуться дальше предположим, что функция $v(x)$ – гладкая функция в области V и разложим еe в трeхмерный ряд Тейлора в окрестности точки ${\xi }$, так чтобы значение $v({\xi })$ выражалось через ${v}(x)$ и все ее производные в точке x, то есть $v({\xi }) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\Pi }_{{(n){{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}({\xi },x){{v}_{{,{{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}(x),$

где ${{\Pi }_{{(n)}}} = 0$ при n < 0, ${{\Pi }_{{(0)}}} = 1$ при n = 0, ${{\Pi }_{{(n){{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}({\xi },x) = \left( {{{{\xi }}_{{{{i}_{1}}}}} - {{x}_{{{{i}_{1}}}}}} \right) \ldots ({{{\xi }}_{{{{i}_{n}}}}} - {{x}_{{{{i}_{n}}}}}){\text{/}}n!$ при n > 0.

После подстановки ряда Тейлора в интегральную формулу (2.4), получим разложение решения исходной задачи в ряд по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи

4. Структурные функции. Коэффициенты при производных ${{v}_{{,\,{{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}$ в формуле (3.1) определяются через функцию $G(x,{\xi })$

${{{\delta }}_{{n0}}} = 1$ при n = 0, а при всех остальных случаях ${{{\delta }}_{{n0}}} = 0$. Следовательно, функция ${{N}_{{(0)}}} \equiv 1$. Все остальные N функции являются непрерывными функциями своих переменных. При n < 0 полагаем, что все эти функции тождественно равны нулю. N функции зависят от того, какова зависимость коэффициентов ${{C}_{{ij}}}$ от координат. Будем называть N функции структурными функциями. Если коэффициенты исходного уравнения как-то стремятся к коэффициентам сопутствующего уравнения, то все структурные функции, кроме ${{N}_{{(0)}}}$ стремятся к нулю.

Если коэффициенты исходного уравнения являются периодическими функциями координат, то и структурные функции, вдали от границы тела, также будут периодическими функциями координат с теми же периодами. Вблизи границы тела имеется пограничный слой, в котором структурные функции изменяются от своих периодических значений к граничным [12, 13]. Толщина пограничного слоя порядка характерного размера ячейки периодичности и стремится к нулю с дроблением структуры [14, 15].

5. Рекуррентные уравнения для структурных функций. Подстановка ряда (3.1) в исходное уравнение (1.1) приводит нас к следующему дифференциальному уравнению бесконечного порядка:

Но функция $v(x)$ удовлетворяет сопутствующему уравнению (2.1), которое можно записать в виде $C_{{{{i}_{2}}{{i}_{1}}}}^{{^{ \circ }}}{{v}_{{,\,{{i}_{1}}{{i}_{2}}}}} + X(x) = 0$. По этой причине в бесконечной сумме (5.1) коэффициент при ${{v}_{{,\,{{i}_{1}}{{i}_{2}}}}}$ следует положить равным коэффициенту $C_{{{{i}_{2}}{{i}_{1}}}}^{{^{ \circ }}}$. Остальные же коэффициенты необходимо положить равными нулю. В результате получаем систему рекуррентных уравнений для структурных функций

При n > 2 уравнения (5.2) имеют одинаковый вид:

где функции ${{Q}_{{(n)}}}$ зависят от структурных функций из двух предыдущих рекурсий, то есть от ${{N}_{{(n - 1)}}}$ и ${{N}_{{(n - 2)}}}$.

6. Задача о неоднородной по толщине плите. Рассмотрим неоднородную по толщине бесконечную в плане плиту $0 \leqslant {{x}_{3}} \leqslant L,$ $ - \infty < {{x}_{1}},$ ${{x}_{2}} < + \infty $. В рассматриваемом случае C_ij = ${{C}_{{ij}}}({{x}_{3}})$. Пусть на верхней границе ${{x}_{3}} = L$ задан поток ${{({\mathbf{q}} \cdot {\mathbf{n}})}_{{{{x}_{3}} = L}}} = {{C}_{{3j}}}(L){{u}_{{,j}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}$, L) = p⁽⁰⁾(x₁, x₂). На нижней границе ${{x}_{3}} = 0$ искомая функция u равна некоторой величине $u({{x}_{1}},{{x}_{2}},0) = {{u}^{{(0)}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$.

Структурные функции зависят только от координаты по толщине слоя, т.е. ${{N}_{{(n){{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}({{x}_{3}})$ при n > 1. Все дифференциальные уравнения (5.2) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями

Выражения для искомой функции $u({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ и компонент вектора потока ${\mathbf{q}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ остаются прежними, только структурные функции будут зависеть от координаты ${{x}_{3}}$

Поток через верхнюю поверхность плиты определяется третьей компонентой вектора q

Из формул (6.1), (6.2) и из того, что граничные условия в исходной и сопутствующей задачах совпадают, получаем граничные условия для структурных функций

Вычисление структурных функций для плиты. Решая последовательно уравнения (6.1) при условиях (6.5) находим структурные функции ${{N}_{{(1){{i}_{1}}}}}({{x}_{3}})$, ${{N}_{{(1){{i}_{1}}{{i}_{2}}}}}({{x}_{3}})$, ${{N}_{{(n){{i}_{1}} \ldots {{i}_{n}}}}}({{x}_{3}})$

О неоднозначном выборе сопутствующих коэффициентов $C_{{ij}}^{{^{ \circ }}}$. Осталось определиться с постоянными коэффициентами сопутствующего уравнения. Как уже отмечалось выше, это любые физически допустимые коэфициенты. Самое простое будет считать их изотропными, то есть $C_{{ij}}^{{^{ \circ }}} = {{C}_{o}}{{{\delta }}_{{ij}}}$. В этом случае сопутствующая задача (2), (3) сводится к решению уравнения Пуассона с заданными условиями на границах однородной изотропной плиты

Уравнение Пуассона одно из наиболее изученных уравнений. Для его решения разработано большое количество аналитических методов. Имея такое решение несложно по изложенной методике построить приближенное решение уравнения с переменными коэффициентами.

Другой подход к выбору сопутствующих коэффициентов основан на понятии эффективных коэффициентов неоднородного тела. В математическом плане под эффективными характеристиками понимается связь между усредненными по объему тела векторами потока и средними градиентами искомых величин, то есть $\left\langle {\mathbf{q}} \right\rangle \sim \left\langle {{\mathbf{grad}}\;u} \right\rangle $, или же $\left\langle {{\mathbf{grad}}\;u} \right\rangle \sim \left\langle {\mathbf{q}} \right\rangle $ при специальных граничных условиях. Два таких специальных граничных условия, для случая задачи равновесия упругого неоднородного тела, были предложены в 1964 году Хашиным и Розеным [16]. Применительно к нашему случаю они имеют вид:

В обоих случаях объемные нагрузки отсутствуют $X(x) \equiv 0$.

Решение однородного уравнения (1.1) в случае первой специальной краевой задачи (6.8) для неоднороной по толщине плиты получено в работе [17]. По этому решению были найдены эффективные коэффициенты

Если исходный тензор изотропный, то есть ${{C}_{{ij}}}({{x}_{3}}) = C({{x}_{3}}){{{\delta }}_{{ij}}}$, тогда эффективный тензор определяется по формуле $С_{{ij}}^{{eff}} = \left\langle C \right\rangle {{{\delta }}_{{ij}}} + {{{\delta }}_{{i3}}}{{\langle {{C}^{{ - 1}}}\rangle }^{{ - 1}}}{{{\delta }}_{{3j}}} - {{{\delta }}_{{i3}}}\left\langle C \right\rangle {{{\delta }}_{{3j}}}$, то есть он имеет диагональный вид и две независимые константы $С_{{11}}^{{eff}} = С_{{22}}^{{eff}} = \left\langle C \right\rangle $, $С_{{33}}^{{eff}} = {{\langle {{C}^{{ - 1}}}\rangle }^{{ - 1}}}$.

Теперь можно положить $C_{{ij}}^{{^{ \circ }}} = С_{{ij}}^{{eff}}$ из (6.9) и получить другое приближенное решение исходной задачи. В этом случае будет труднее получить аналитическое решение сопутствующей задачи. Однако второе решение, скорее всего, даст лучшую близость к точному решению, чем предыдущий способ выбора сопутствующих констант. Последнее соображение основано на том, что во втором способе учитывается разница в макроскопических продольных и поперечных свойствах материала плиты.

Заключение. Показано, что решение исходного линейного дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа с переменными по координатам коэффициентами выражается с помощью интегральной формулы через решение сопутствующего уравнения того же типа, но с постоянными коэффициентами. В ядро интегральной формулы входит фундаментальная функция исходного уравнения, разность коэффициентов исходного и сопутствующего уравнений, а также решение сопутствующего уравнения. В предположении о гладкости сопутствующей функции из интегральной формулы получено представление решения исходного уравнения в виде ряда по производным от решения сопутствуюшего уравнения. Коэффициенты ряда называются структурными функциями. Для них получены рекуррентные уравнения, которые в случае неоднородной по толщине плиты являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, и легко интегрируются в общем виде. Рассмотрена модельная смешанная краевая задача для неоднородной по толщине и бесконечной в плане упругой плиты.

Работа выполнена в рамках плана НИР кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова № АААА-А16-116070810022-4, при финансовой поддержке гранта РФФИ № 19-01-00016а.