Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 2, стр. 124-141

Введение. Гироскоп в кардановом подвесе является основным элементом различных гироприборов и обладает рядом замечательных динамических свойств, что делает его одним из наиболее интересных объектов исследования в динамике системы твердых тел. В первых работах по теории гироскопа в кардановом подвесе предполагалось, что ротор либо вращается по инерции без трения, либо он вращается с постоянной угловой скоростью относительно внутренней рамки подвеса. На практике быстро вращающийся ротор испытывает значительное тормозящее воздействие сил трения, и для поддержания вращения ротора используют электродвигатель. Его статором является внутренняя “рамка” карданова подвеса, а ротором – ротор прибора.

Авторами данной работы проведен цикл исследований динамики гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем асинхронного или синхронного типа. При этом использовались известные модели электромоторов [1], в которых не учитывается изменение электрических токов, а принимаются упрощенные выражения для вращающего момента электромотора. В рамках такого подхода для гироскопа в кардановом подвесе с динамически симметричным и статически уравновешенным ротором, имеющего вертикальную наружную ось подвеса и снабженного синхронным электроприводом ротора, было получено необходимое и достаточное условие устойчивости его стационарных движений – это наличие изолированного минимума приведенной потенциальной энергии в точке, соответствующей данному стационарному движению [2]. Кроме того, для синхронного гироскопа в кардановом подвесе было установлено свойство притяжения стационарных движений, соответствующих точкам минимума приведенной потенциальной энергии [3].

В статье [4] предложена математическая модель синхронного электромотора в виде системы дифференциальных уравнений, состоящей из дифференциального уравнения второго порядка, которое описывает вращение ротора, и дифференциальных уравнений первого порядка для электрических токов в обмотках ротора. В работе [5] для этой модели синхронного электромотора получено достаточное условие глобальной устойчивости.

В настоящей работе такая модель электромотора используется при описании динамики гироскопа в кардановом подвесе, снабженного синхронным электроприводом ротора. Предполагается, что прибор находится в поле силы тяжести, наружная ось карданова подвеса вертикальна, трение на осях подвеса отсутствует, а момент сил трения относительно оси ротора является нелинейной функцией угловой скорости его вращения относительно статора. Доказано, что для большинства конструкций гироскопа в кардановом подвесе (в том числе и для общепринятой конструкции этого прибора) необходимым и достаточным условием устойчивости любого стационарного движения является наличие изолированного минимума полной приведенной потенциальной энергии.

Ввиду большого объема работы она разделена на две части.

В части 1 приведены дифференциальные уравнения движения рассматриваемой электромеханической системы, найдены их стационарные решения и доказана устойчивость стационарных решений при наличии изолированного минимума полной приведенной потенциальной энергии. Установлена также неустойчивость стационарных решений в случае отсутствия такого минимума, но при условии, что механическая часть полной приведенной потенциальной энергии не является тождественной постоянной по отношению к внутреннему карданову углу.

В части 2 рассмотрен случай постоянства механической приведенной потенциалной энергии. Доказано, что в этом случае для большинства кострукций прибора имеет место неустойчивость всех стационарных решений.

1. Стационарные решения уравнений многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе. 1.1. Многотоковая модель синхронного гироскопа в кардановом подвесе. Работа синхронного электромотора описывается в [4] системой дифференциальных уравнений с фазовым вектором ($\theta ,\dot {\theta },{{i}_{0}},{{i}_{1}},\; \ldots ,\;{{i}_{{{{n}_{2}}}}}$). Здесь ${{i}_{0}}$ – ток в обмотке возбуждения, i_n (n = 1÷  n₂) – токи в стержнях демпферной обмотки, $\theta $ – угол между радиус-вектором к стержню с током ${{i}_{{{{n}_{2}}}}}$ и вектором напряженности вращающегося магнитного поля статора, $\dot {\theta }$ – производная угла $\theta $ по времени t. Эти уравнения содержат следующие параметры: $u$ – постоянное напряжение на обмотке возбуждения, ${{R}_{1}}$ и ${{L}_{1}}$ – активное и индуктивное сопротивления обмотки возбуждения, ${{R}_{2}}$ и ${{L}_{2}}$ – активное и индуктивное сопротивления демпферной обмотки, $B$ – напряженность магнитного поля статора, ${{n}_{1}}$ – число витков в обмотке возбуждения, ${{n}_{2}}$ – число стержней в демпферной обмотке, ${{S}_{1}}$ – площадь витка обмотки возбуждения, ${{S}_{2}}$ – площадь диаметрального сечения демпферной обмотки, $m \geqslant 0$ – коэффициент сильного регулирования, $C$ – осевой момент инерции ротора, M – момент сил сопротивления относительно оси ротора, $\omega > {\text{0}}$ – постоянная угловая скорость вращения магнитного поля в статоре.

В первом уравнении системы (1) из [4], определяющем $\ddot {\theta }$, откорректируем знак перед $m\dot {\theta }$ и коэффициент при ${{i}_{0}}sin(\theta + {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4})$, домножив его на 4. Знаки величин $u$, i₀, i_n (n = 1÷  n₂) изменим на противоположные. Вместо тока i₀ введем переменную $x$ по формуле ${{i}_{0}} = x + u{\text{/}}{{R}_{1}}$, а вместо угла $\theta $ – угол $\gamma = \theta + {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4}$. Далее предполагаем, что $u > 0$. Обозначая через $\varphi $ угол поворота ротора относительно статора, имеем $\varphi = \gamma + \omega t$. В результате получаем приведенную в [5] систему дифференциальных уравнений (6), которая описывает работу синхронного электромотора.

Общепринятая модель гироскопа в кардановом подвесе изображена на рис. 1a . В данной работе принята обобщенная модель гироскопа в кардановом подвесе [6, 7] (рис. 1b ). Здесь динамически симметричный и статически уравновешенный гироскоп заключен в карданов подвес, составленный из двух “рамок” произвольной формы. Внутренняя ось подвеса неколлинеарна наружной оси подвеса и оси гироскопа, и эти три оси, вообще говоря, не пересекаются в одной точке. Наружная ось подвеса неподвижна и направлена вертикально (или же эта ось невертикальна, но прибор статически уравновешен). Диссипативные или управляющие моменты на осях подвеса отсутствуют. Внутренняя “рамка” подвеса является статором синхронного электромотора, а гироскоп – его ротором. Поэтому относительно оси ротора действуют вращающий момент синхронного электромотора и момент сил трения. Положение прибора в каждый момент времени $t$ определяют углы $\alpha $, $\beta $ поворота наружной и внутренней “рамок” карданова подвеса и угол $\varphi $ поворота ротора. Кинетическая энергия прибора выражается формулой

где $C$ – осевой момент инерции ротора, коэффициенты H, $R$ зависят только от постоянных механических параметров. Коэффициенты G, N, $Q$ и потенциальная энергия силы тяжести $U$ зависят от угла $\beta $ по формулам

Здесь ${{u}_{0}}$ – произвольная постоянная, а выражения остальных коэффициентов формул (1.2) и величин H, $R$ через механические параметры следуют из формул (8)–(15) статьи [7]. Эти выражения приведены в [8]. При этом из формулы ${{q}_{1}} = C{\text{sin}}{{\theta }_{2}}{\text{sin}}{{\theta }_{3}}$ следует, что ${{q}_{1}} > 0$, поскольку углы ${{\theta }_{2}}$, ${{\theta }_{3}}$, которые внутренняя ось подвеса образуют с наружной осью подвеса и осью ротора, выбираются так, что ${{\theta }_{2}},{{\theta }_{3}} \in (0,{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {2]}}} \right. \kern-0em} {2]}}$. Случаю уравновешенного гироскопа соответствует $U \equiv const$.

При любом значении $\beta $ кинетическая энергия (1.1) – положительно определенная квадратичная форма угловых скоростей $\dot {\alpha }$, $\dot {\beta }$, $\dot {\varphi }$. Поэтому, согласно критерию Сильвестра,

при любом $\beta $. Здесь $J(\beta )$ – определитель квадратичной формы $2T$.

При сделанных предположениях обобщенными силами для лагранжевых координат $\alpha $, $\beta $, $\varphi $ являются 0, $ - U{\text{'}}$ и правая часть того из уравнений электромотора, которое определяет $C\ddot {\gamma }$. Здесь и далее штрихом обозначается дифференцирование по $\beta $.

Момент сил сопротивления относительно оси ротора предполагается в [4] постоянной отрицательной величиной. В настоящей работе предполагается, что момент сил сопротивления является нечетной непрерывно дифференцируемой монотонно убывающей нелинейной функцией $M = M(\dot {\varphi })$ угловой скорости ротора $\dot {\varphi }$. При $\dot {\varphi } \ne 0$ знак этой функции противоположен знаку ее аргумента. Поскольку $\dot {\varphi } = \omega + \dot {\gamma }$, момент $M(\dot {\varphi })$ представляется в виде

где

Функция $\Delta M(\dot {\gamma })$ является монотонно убывающей вместе с $M(\dot {\varphi })$, и поэтому при $\dot {\gamma } \ne 0$ знак $\Delta M(\dot {\gamma })$ противоположен знаку $\dot {\gamma }$. Таким образом, имеем

Пользуясь вместо $\varphi $ переменной $\gamma = \varphi - \omega t$, получаем систему дифференциальных уравнений, описывающую многотоковую модель синхронного гироскопа в кардановом подвесе

Здесь штрих означает дифференцирование по $\beta $, через ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{b}_{0}}$, ${{c}_{0}}$ обозначены положительные постоянные

Вследствие последнего неравенства (1.3), уравнения (1.5) эквивалентны нормальной системе порядка $6 + {{n}_{2}}$ с фазовым вектором ($\dot {\alpha },\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta ,\gamma ,x,{{i}_{1}},\; \ldots ,\;{{i}_{{{{n}_{2}}}}}$).

Уравнения (1.5) допускают интеграл

Рассматривая равенство (1.7) как определение переменной p, перейдем в уравнениях (1.5) к переменным ($p,\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta ,\gamma ,x,{{i}_{1}},\; \ldots ,\;{\kern 1pt} {{i}_{{{{n}_{2}}}}}$). Для этого во второе и третье уравнения (1.5) подставим вытекающее из (1.7) выражение

Получаем преобразованную систему дифференциальных уравнений движения синхронного гироскопа. Запишем ее, опустив аргумент $\beta $ у функций (1.2):

Так как $G(\beta ) > 0$ при любом $\beta $ согласно (1.3), то замена переменных ($\dot {\alpha },\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta ,\gamma ,x$, i₁, ..., ${{i}_{{{{n}_{2}}}}}$) переменными ($p,\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta ,\gamma ,x,{{i}_{1}},\; \ldots ,\;{{i}_{{{{n}_{2}}}}}$) взаимно однозначна и непрерывна в обе стороны. Поэтому устойчивость любого решения исходной системы (1.5) эквивалентна устойчивости соответствующего решения преобразованной системы (1.9).

Отбросив в преобразованной системе (1.9) первое уравнение $\dot {p} = 0$, получаем приведенную систему S_p, соответствующую данному значению p.

Преобразованная система (1.9) и приведенная система S_p эквивалентны системам нормального вида с фазовыми векторами

При использовании радианной меры углы $\beta $, $\gamma $ являются безразмерными величинами. Будем предполагать, что время, а также все компоненты фазовых векторов и их функции, входящие в динамические уравнения (1.5), (1.9), отнесены к величинам такой же размерности и поэтому являются безразмерными.

1.2. Условия существования стационарных решений. Далее предполагается, что параметры ${{b}_{0}},{{c}_{0}} > 0$, определенные в (1.6), удовлетворяют неравенству

Тогда исходная система уравнений (1.5) имеет семейство стационарных решений

которые описывают равномерные вращения ротора с угловой скоростью $\dot {\varphi } = \omega $ (при ${{\Omega }^{0}}$ = 0) и регулярные прецессии ротора вокруг наружной оси подвеса (при ${{\Omega }^{0}} \ne 0$). Решение вида (1.12) существует при данных ${{\Omega }^{0}}$, β⁰, ${{\gamma }^{0}}$, если выполнены два условия: постоянные ${{\Omega }^{0}}$, β⁰ связаны соотношением а величина ${{\gamma }^{0}}$ удовлетворяет уравнению

Если значение β⁰ принадлежит промежутку, на котором неотрицателен дискриминант квадратного по ${{\Omega }^{0}}$ трехчлена в левой части (1.13), то при таком ${{\beta }^{0}}$ уравнение (1.13) определяет два значения ${{\Omega }^{0}}$. В предположении (1.11) уравнение (1.14) определяет два счетных набора значений ${{\gamma }_{{1s}}}$, ${{\gamma }_{{2s}}}$ угла ${{\gamma }^{0}}$:

Стационарному решению (1.12) системы (1.5) соответствует стационарное решение

преобразованной системы (1.9), в котором ${{p}^{0}} = {{\Omega }^{0}}G({{\beta }^{0}}) + \omega Q({{\beta }^{0}})$. Соотношение (1.13) при этом переходит в условие, которое можно записать в виде $U_{*}^{'}({{p}^{0}},{{\beta }^{0}}) = 0$, где штрих означает дифференцирование по $\beta $, а величина – это механическая приведенная потенциальная энергия. Уравнение (1.14), определяющее стационарные значения ${{\gamma }^{0}}$ угла $\gamma $, можно записать в виде ${{d{{U}_{1}}(\gamma )} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{U}_{1}}(\gamma )} d}} \right. \kern-0em} d}\gamma = 0$, где – потенциальная энергия, связанная с синхронным электромотором. Из (1.11) следует, что определенным в (1.15), (1.16) значениям ${{\gamma }_{{1s}}}$ и ${{\gamma }_{{2s}}}$ ($s = 0, \pm 1, \pm 2,\; \ldots $) угла $\gamma $ соответствуют точки локального минимума и локального максимума функции ${{U}_{1}}(\gamma )$

Стационарные решения приведенной системы ${{S}_{p}}$ имеют вид

Приведенная система ${{S}_{p}}$ имеет такое решение при выполнении условий

– полная приведенная потенциальная энергия.

1.3. Классификация стационарных решений (случаи Aa, Ba, Ca, Da, Ab, Bb, Cb, Db). В общем случае, когда функция ${{U}_{ * }}(p,\beta )$ не является постоянной по $\beta $, условие $U_{ * }^{'}(p,\beta )$ = 0 определяет конечный набор стационарных значений ${{\beta }^{0}}$ угла $\beta $ на каждом $2\pi $-периоде. Эти значения соответствуют точкам локального минимума и локального максимума функции ${{U}_{ * }}(p,\beta )$ и, возможно, точкам ее перегиба с горизонтальной касательной. Условия, при которых функция ${{U}_{ * }}(p,\beta )$ является постоянной по $\beta $, даны в следующей лемме [2].

Лемма 1. Постоянная $\tilde {p}$ такая, что ${{U}_{ * }}(\tilde {p},\beta ) = const$, существует тогда и только тогда, когда конструктивные параметры гироскопа в кардановом подвесе удовлетворяют одной из двух групп условий (см. (1.2)):

При условиях ${{D}_{1}}$ специальное значение постоянной $p$ определено формулой

а приведенная механическая потенциальная энергия (1.18) равна

При условиях D₂ специальное значение постоянной p определено формулой

а приведенная механическая потенциальная энергия (1.18) равна

Условия D₁, D₂ не выполняются для прибора общепринятой конструкции, так как в этом случае $G(\beta ) = {{g}_{0}} + {{g}_{4}}\cos 2\beta $ и, следовательно, не выполняется неравенство ${{g}_{1}} \ne 0$. В [9] доказано, что существуют конструкции гироскопа в кардановом подвесе, удовлетворяющие условиям D₁, D₂. Установлено, что эти условия могут быть реализованы, например, в классе гироскопов в кардановом подвесе, конструкция которых отличается от общепринятой тем, что внутренняя ось подвеса составляет с наружной осью подвеса и осью ротора углы π/4 вместо углов π/2 в общепринятой модели.

С учетом леммы 1 имеем следующую структуру множества стационарных решений приведенной системы уравнений для синхронного гироскопа в кардановом подвесе.

Лемма 2. В вырожденных случаях, когда выполнено одно из условий D₁, D₂, указанных в лемме 1, и $p = \tilde {p}$, множество стационарных решений приведенной системы ${{S}_{{\tilde {p}}}}$ несчетно и состоит из точек (1.20), где ${{\beta }^{0}}$ – любое, а ${{\gamma }^{0}}$ принадлежит счетному набору значений (1.15).

В остальных случаях множество стационарных решений приведенной системы S_p счетно и состоит из изолированных точек (1.20), где счетное число значений ${{\beta }^{0}}$ определено условием $U_{*}^{'}(p,\beta ) = 0$, а ${{\gamma }^{0}}$ принадлежит счетному набору значений (1.15). Следовательно, в невырожденных случаях счетное множество стационарных решений приведенной системы ${{S}_{p}}$ порождается конечным числом точек (${{\beta }^{0}}$, ${{\gamma }^{0}}$) квадрата [0, $2\pi ) \times [0,2\pi )$ на плоскости $(\beta ,\gamma )$.

Таким образом, если выделено некоторое стационарное решение (1.17) преобразованной системы (1.9), соответствующее определенным значениям ${{p}^{0}}$, ${{\beta }^{0}}$, ${{\gamma }^{0}}$, то для функции ${{U}_{*}}({{p}^{0}},\beta )$ существуют четыре возможности: функция ${{U}_{*}}({{p}^{0}},\beta )$ переменной $\beta $ в точке $\beta = {{\beta }^{0}}$ имеет A) изолированный минимум, B) изолированный максимум, C) перегиб с горизонтальной касательной, D) ${{U}_{*}}({{p}^{0}},\beta ) \equiv {\text{ }}const$. При этом для функции ${{U}_{1}}(\gamma )$ существуют две возможности: функция ${{U}_{1}}(\gamma )$ в точке $\gamma = {{\gamma }^{0}}$ имеет a) изолированный минимум, b) изолированный максимум. Комбинируя эти возможности, получаем 8 типов стационарных решений преобразованной системы (1.9), которые обозначаем следующим образом: Aa, Ba, Ca, Da, Ab, Bb, Cb, Db. Для каждого из типов Da и Db выделяются два подтипа ${{D}_{1}}$a, ${{D}_{2}}$a и ${{D}_{1}}$b, ${{D}_{2}}$b, которые существуют при выполнении условий ${{D}_{1}}$, ${{D}_{2}}$.

1.4. Энергетические соотношения. Для исследования устойчивости стационарных решений воспользуемся функциями Ляпунова, которые получим, пользуясь теоремой об изменении энергии. Рассмотрим три варианта этой теоремы.

Вариант 1. Пусть функция ${{E}_{1}}$ определена формулой

где $\omega + \dot {\gamma } = \dot {\varphi }$, функция $T(\dot {\alpha },\dot {\beta },\omega + \dot {\gamma },\beta )$, заданная формулой (1.1), является кинетической энергией механической части рассматриваемой системы, а функция играет роль кинетической энергии для ее электрической части. Таким образом, имеем

Вычислив производную этой функции по $t$ в силу системы уравнений (1.5), получаем

Вариант 2. Пусть функция ${{E}_{2}}$ определена формулой

Здесь функция $T(\dot {\alpha },\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta )$ получается из функции $T(\dot {\alpha },\dot {\beta },\dot {\varphi },\beta )$, если в ее определении (1.1) вместо $\dot {\varphi }$ взять $\dot {\gamma }$. Таким образом, согласно (1.1), (1.26), имеем

Вычислив производную функции E₂ по t в силу системы уравнений (1.5), получаем

Вариант 3. В формуле (1.28) для E₂ заменяем величину $\dot {\alpha }$ ее выражением (1.8). Вместо E₂ получаем функцию

где а функции ${{U}_{ * }}(p,\beta )$, ${{U}_{1}}(\gamma )$ определены в (1.18), (1.19). Из неравенств Сильвестра (1.3) следует, что при любом значении $\beta $ функция ${{T}_{ * }}(\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta )$ является определенно положительной квадратичной формой относительно $\dot {\beta }$, $\dot {\gamma }$. В определении (1.30) функции E₃ сумма ${{T}_{ * }} + {{T}_{1}}$ – полная приведенная кинетическая энергия, а сумма ${{U}_{ * }} + {{U}_{1}}$ – полная приведенная потенциальная энергия рассматриваемой электромеханической системы.

Очевидно, что производная функции E₃ по $t$ в силу преобразованной системы (1.9) и в силу приведенной системы S_p совпадает с производной (1.29) функции E₂ по $t$ в силу системы (1.5), то есть

Если изучается устойчивость некоторого стационарного решения (1.17) преобразованной системы (1.9), то значения ${{p}^{0}}$, ${{\beta }^{0}}$, ${{\gamma }^{0}}$ рассматриваются как заданные. В этом случае определим функцию ${v}$ фазовых переменных преобразованной системы и функцию ${{{v}}_{p}}$ фазовых переменных приведенной системы S_p, полагая

Эти две функции обращаются в нуль на невозмущенном решении.

Третья функция такого же типа используется в случае, когда изучается класс решений приведенной системы ${{S}_{p}}$, для которых выполнено неравенство $\gamma (t) \geqslant {{\gamma }_{{1{{s}_{0}}}}}$, где ${{\gamma }_{{1{{s}_{0}}}}}$ – одна из определенных в (1.15), (1.16) точек минимума ${{\gamma }_{{1s}}}$ функции ${{U}_{1}}(\gamma )$. Эта третья функция определена формулой

где

При всех $\beta $ выполнено неравенство $\Delta {{U}_{ * }}(p,\beta ) \geqslant 0$, а для рассматриваемого класса решений при $\gamma \geqslant {{\gamma }_{{1{{s}_{0}}}}}$ выполнено неравенство $\Delta {{U}_{1}}(\gamma ) \geqslant 0$.

Все три введенные функции только на константу отличаются от функции (1.30), поэтому они имеют такую же производную (1.32) по $t$ в силу преобразованной и приведенной системы:

При исследовании устойчивости стационарных решений (1.17) возникает необходимость рассматривать фазовые траектории преобразованной системы (1.9), вдоль которых для функции ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$ выполняется условие ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}} = 0$, то есть, согласно (1.36), выполняются условия $\dot {\gamma } = 0$, $x = 0$, ${{i}_{1}} = 0,\; \ldots ,\;{{i}_{{{{n}_{2}}}}} = 0$. На фазовых траекториях, удовлетворяющих этим условиям, функция ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$ постоянна. Кроме того, согласно определениям (1.33), (1.31) функций ${{{v}}_{p}}$ и ${{T}_{ * }}$, при таких условиях функция ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$ зависит только от двух фазовых переменных $\beta $, $\dot {\beta }$. Следовательно, эти переменные связаны здесь соотношением

где ${{e}_{0}}$ – постоянная. В верхней части рис. 2 схематически изображен график функции ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ на 2π-периоде изменения $\beta $. Он включает указанные выше случаи A, B, C, когда функция ${{U}_{ * }}(p,\beta )$ имеет точку минимума, максимума и перегиба с горизонтальной касательной. Стационарные значения ${{\beta }^{0}}$, соответствующие случаям A, B, C, обозначены на этом рисунке через $\beta _{A}^{0}$, $\beta _{B}^{0}$, $\beta _{C}^{0}$. В нижней части рис. 2 показан вид кривых, определяемых при разных значениях ${{e}_{0}} \geqslant {{\min }_{{\beta \in [0,2\pi ]}}}{{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ соотношением (1.37) без учета периодичности по $\beta $ положительного коэффициента при ${{\dot {\beta }}^{2}}$. При учете периодичности этого коэффициента кривые получают дополнительные деформации в вертикальном направлении, что не меняет качественную картину.

2. Устойчивость стационарных решений при наличии изолированного минимума полной приведенной потенциальной энергии. Покажем, что для многотоковой модели синхронного гироскопа в кардановом подвесе стационарное решение устойчиво в случае Aa. Этот результат распространяет на случай многотоковой модели теорему 5 из [2]. Его доказательство основано на теореме Л. Сальвадори (теорема 2.3.1 в [10]). Она обобщает теорему Рауса–Ляпунова, которая, в свою очередь, является обобщением широко известного результата об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы, соответствующего минимуму ее потенциальной энергии.

2.1. Теорема Л. Сальвадори и следствие из нее. Пусть $\Omega $ – область в ${{R}^{n}}$, содержащая точку $x = 0$, $I = [0,\infty )$ – неотрицательная числовая полуось, $f:I \times \Omega \to {{R}^{n}}$ – непрерывная функция такая, что $f(t,0) \equiv 0$, и для любой пары $({{t}_{0}},{{x}_{0}}) \in I \times \Omega $ система

имеет единственное решение $x(t,{{t}_{0}},x{}_{0})$ при начальном условии $x({{t}_{0}},{{t}_{0}},{{x}_{0}}) = {{x}_{0}}$. Правый максимальный интервал существования этого решения обозначается через ${{J}^{ + }}({{t}_{0}}$, x₀). Система (2.1) допускает нулевое решение $x(t,0,0) \equiv 0$.

Пусть также заданы две непрерывно дифференцируемые функции – скалярная функция $V:I \times \Omega \to R{\text{ }}$ и вектор-функция $w:I \times \Omega \to {{R}^{m}}{\text{ }}$ $(m < n)$, причем V(t, $0) \equiv 0$, $w(t,0) \equiv 0$. Через $\left\| {\;.\;} \right\|$ обозначим норму в ${{R}^{n}}$ и ${{R}^{m}}$.

Определение (Л. Сальвадори [10]). Функция V называется положительно определенной на множествах ${{E}_{t}}$ $(w = 0)$, если существует $\varepsilon {\text{'}} > 0$ такое, что для любого $\varepsilon \in (0,\varepsilon {\text{'}})$ найдутся $\alpha ,\beta > 0$ такие, что $V(t,x) > \alpha $ для всех $(t,x) \in I \times \Omega $, удовлетворяющих условиям $\varepsilon \leqslant \left\| x \right\| \leqslant \varepsilon {\text{'}}$, $\left\| {w(t,x)} \right\| \leqslant \beta $.

Теорема 1 (Л. Сальвадори [10]). Пусть непрерывно дифференцируемые функции V : I × $\Omega \to R{\text{ }}$, $w:I \times \Omega \to {{R}^{m}}$ удовлетворяют условиям:

1) $V(t,0) \equiv 0,$ $w(t,0) \equiv 0,$ $t \in I$

2) функция V положительно определена на множествах ${{E}_{t}}$ $(w = 0)$

3) производная функции V в силу системы (2.1) удовлетворяет неравенству $\dot {V}(t,x) \leqslant 0$, $(t,x) \in I \times \Omega $

4) $\dot {W}(t,x) \leqslant 0$, где $W(t,x) = {{\left\| {w(t,x)} \right\|}^{2}}$

Тогда нулевое решение системы (2.1) устойчиво.

В [11] дано простое доказательство теоремы, обобщающей теорему 1.

Эта теорема сложна для применения, так как трудно проверяемым является условие 2 положительной определенности V на множествах ${{E}_{t}}$ ($w = 0$). Но, как отмечено в [10], в случае, когда функции V и $w$ не зависят от $t$, положительная определенность V на множествах ${{E}_{t}}$ ($w = 0$) означает, что в точке $x = 0$ функция V имеет изолированный минимум на множестве точек $x \in \Omega $, удовлетворяющих условию $w(x) = 0$. Условие 4 автоматически выполняется, когда функция $w$ – векторный первый интеграл. Следовательно, для автономной системы

где $f:\Omega \to {{R}^{n}}$, $0 \in \Omega $, $f(0) = 0$, получаем такой результат.

Теорема 2. Пусть непрерывно дифференцируемая функция $V:\Omega \to R$ и непрерывная функция $w:I \times \Omega \to {{R}^{m}}$ удовлетворяют условиям:

1) $V(0) = 0,$ $w(0) = 0$

2) точка $x = 0$ является точкой строгого локального минимума функции V на множестве тех точек $x \in \Omega $, где $w(x) = 0$

3) производная функции V в силу системы (2.2) удовлетворяет неравенству $\dot {V}(x) \leqslant 0$, $x \in \Omega $

4) $w(x) = const$ на решениях системы (2.2)

Тогда нулевое решение системы (2.2) устойчиво.

Теорема 2 сводит вопрос о получении достаточного условия устойчивости стационарного решения автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к более простой задаче об условном минимуме функции нескольких переменных, рассматриваемой в математическом анализе.

2.2. Теорема об устойчивости стационарных решений в случае Aa. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если функция ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ имеет изолированный локальный минимум при $\beta = {{\beta }^{0}}$, а функция ${{U}_{1}}(\gamma )$ имеет изолированный локальный минимум при $\gamma = {{\gamma }^{0}}$, то решение (1.17) уравнений (1.9) устойчиво (по отношению к переменным, образующим фазовый вектор $(p,\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta ,\gamma ,x,{{i}_{1}},\; \ldots ,\;{{i}_{{{{n}_{2}}}}})$ этих уравнений при записи их в виде нормальной системы).

Доказательство. Воспользуемся теоремой 2 и покажем, что в качестве функций V, $w$, фигурирующих в этой теореме, можно принять функцию ${v}$, определенную в (1.33), и функцию $p - {{p}^{0}}$. В самом деле, если $w = p - {{p}^{0}}$, то, по условию теоремы 3, при w = 0, т.е. при $p = {{p}^{0}}$, разность ${{U}_{*}}(p,\beta ) - {{U}_{*}}({{p}^{0}},{{\beta }^{0}}) = {{U}_{*}}({{p}^{0}},\beta ) - {{U}_{*}}({{p}^{0}},{{\beta }^{0}})$ в определении ${v}$ является определенно положительной функцией возмущения $\beta - {{\beta }^{0}}$. Далее, по условию теоремы 3, разность ${{U}_{1}}(\gamma ) - {{U}_{1}}({{\gamma }^{0}})$ является определенно положительной функцией возмущения $\gamma - {{\gamma }^{0}}$, а функция ${{T}_{*}}(\dot {\beta },\dot {\gamma },\beta )$, как отмечено в пп. 1.4, определенно положительна по отношению к возмущениям $\dot {\beta }$, $\dot {\gamma }$ при любом $\beta $.

Следовательно, функция ${v}$, заданная формулой (1.33), является положительно определенной на множестве w = 0. С учетом (1.4), производная (1.36) функции ${v}$ в силу уравнений движения является знакопостоянной отрицательной. Таким образом, все условия теоремы 2 выполнены, и поэтому решение (1.17) уравнений (1.9) устойчиво.

Так как ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ – аналитическая функция $\beta $, то изолированный минимум при $\beta = {{\beta }^{0}}$ она имеет только в случае, когда первая из ее производных по $\beta $, отличных от нуля в точке $\beta = {{\beta }^{0}}$, имеет четный порядок $n$ и положительна, т.е. имеют место соотношения

где $n > 0$ – четное. С учетом определения (1.18) функции ${{U}_{ * }}(p,\beta )$ и структуры формул (1.2) в [2] показано, что здесь $n \leqslant 6$, так что n принимает одно из значений 2, 4 или 6. Для уравновешенного гироскопа $n \leqslant 4$.

3. Неустойчивость стационарных решений при отсутствии изолированного минимума полной приведенной потенциальной энергии.

3.1. Лемма о стационарном значении угла $\gamma $. В следующей лемме установлено важное свойство функции ${{{v}}_{p}}$, определенной в (1.33).

Лемма 3. Если приведенная система S_p имеет решение

на котором ${{{\dot {v}}}_{p}}(t) = 0$ при всех $t \geqslant 0$, то для этого решения при всех $t \geqslant 0$ выполняются равенства где ${{\gamma }_{0}}$ – одно из определенных в (1.15), (1.16) стационарных значений угла $\gamma $, то есть

Доказательство. Так как ${{{\dot {v}}}_{p}}(t) = 0$ ($t \geqslant 0$) для решения (3.1), то, согласно (1.36), (1.4), для этого решения имеем

и поэтому $\gamma (t) = {{\gamma }_{0}}$ – величина постоянная. Покажем, что ${{\gamma }_{0}}$ удовлетворяет соотношению (3.3).

Предварительно выведем неравенство для функции E₁, определенной формулой (1.25). Решение (3.1) системы S_p соответствует решению

исходной системы уравнений движения (1.5), в котором, согласно (1.7),

Как отмечалось в пп. 1.1, при любом значении $\beta $ кинетическая энергия $T(\dot {\alpha },\dot {\beta },\dot {\varphi },\beta )$ является определенно положительной квадратичной формой (1.1) переменных $\dot {\alpha }$, $\dot {\beta }$, $\dot {\varphi }$. Коэффициенты G, N, $Q$ этой квадратичной формы – непрерывные периодические, а значит, ограниченные функции $\beta $. Поэтому существуют постоянные ${{h}_{1}},{{h}_{2}} > 0$ такие, что при любом $\beta $ выполнено двойное неравенство

Из определений (1.25), (1.26), (1.1) функций ${{E}_{1}}$, ${{T}_{1}}$, $T$ и равенств (3.4) следует, что E₁(t) = $T(\dot {\alpha }(t),\dot {\beta }(t),\omega ,\beta (t))$ на решении (3.5). Отсюда, с учетом (3.6), получаем для ${{E}_{1}}(t)$ двойное неравенство

Допустим, что значение ${{\gamma }_{0}}$ – нестационарное, то есть ${{b}_{0}}\sin {{\gamma }_{0}} + {{c}_{0}} \ne 0$. Тогда, согласно (1.27), (3.4), имеем ${{\dot {E}}_{1}}(t) = const \ne 0$ на рассматриваемом решении (3.1) и, следовательно, функция ${{E}_{1}}(t)$ на этом решении неограниченно возрастает по модулю при возрастании t. Но, согласно (3.7), функция ${{E}_{1}}(t)$ положительна и может неограниченно возрастать по модулю только в случае, когда хотя бы одна из скоростей $\dot {\alpha }(t)$, $\dot {\beta }(t)$ неограниченно возрастает по модулю при $t \to \infty $.

Значит, если величина $\left| {\dot {\alpha }(t)} \right|$ ограничена, то величина $\left| {\dot {\beta }(t)} \right|$ должна быть неограниченной. Если же на рассматриваемом решении величина $\left| {\dot {\alpha }(t)} \right|$ неограниченна, то левая часть формулы (1.7), определяющей $p$, будет ограниченной при $\dot {\gamma }(t) \equiv 0$ только в том случае, когда функция $N(\beta (t))$ не является тождественным нулем, а величина $\left| {\dot {\beta }(t)} \right|$ неограниченна. Таким образом, при допущении о нестационарности значения ${{\gamma }_{0}}$ величина $\left| {\dot {\beta }(t)} \right|$ всегда неограниченна при $t \geqslant 0$.

Однако из формул (1.33), (1.36) для ${v}$, ${\dot {v}}$ с учетом определений (1.26), (1.31) функций ${{T}_{1}}$, ${{T}_{ * }}$ следует, что при условиях (3.4) на рассматриваемом решении выполняется равенство

Его левая часть ограничена в случае неограниченной функции $\left| {\dot {\beta }(t)} \right|$ только тогда, когда коэффициент при ${{\dot {\beta }}^{2}}(t)$ принимает сколь угодно малые значения при $t \geqslant 0$. Но это невозможно, так как данный коэффициент, будучи непрерывной $2\pi $-периодической функцией $\beta $, которая положительна при всех $\beta $ согласно (1.3), имеет положительный минимум при $\beta \in [0,2\pi ]$. Следовательно, допущение о нестационарности ${{\gamma }_{0}}$ неверно.

3.2. Теорема о неустойчивости стационарных решений в случае Ab. Для изучения устойчивости стационарных решений в случае Ab воспользуемся следующей теоремой Н.Н. Красовского о неустойчивости (см. теорему 1.6.3 в [12]).

Теорема 4. Пусть для автономной системы (2.2) существует непрерывно дифференцируемая функция $V = V(x)$, которая обращается в нуль в точке $x = 0$ и обладает следующими свойствами.

1. В произвольной окрестности точки x = 0 функция V не является определенно положительной.

2. Производная функции V по $t$ в силу системы (2.2) удовлетворяет условиям

где M – множество точек, не содержащее целых положительных полутраекторий, кроме точки x = 0.

Тогда положение равновесия x = 0 неустойчиво.

Вопрос об устойчивости в случае Ab решает следующая теорема.

Теорема 5. В случае Ab, когда функция ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ имеет в точке $\beta = {{\beta }^{0}}$ изолированный минимум, а функция ${{U}_{1}}(\gamma )$ имеет в точке $\gamma = {{\gamma }^{0}}$ изолированный максимум, стационарное решение (1.17) преобразованной системы (1.9) неустойчиво.

Доказательство. Для доказательства неустойчивости решения (1.17) преобразованной системы (1.9) достаточно установить неустойчивость соответствующего решения приведенной системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$. С этой целью воспользуемся теоремой 4 в ситуации, когда роль системы (2.2) в этой теореме играет приведенная система ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$, а вместо устойчивости нулевого решения рассматривается вопрос об устойчивости в случае Ab решения

системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$, соответствующего решению (1.17) системы (1.9). В качестве функции V выберем функцию ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$, где функция ${{{v}}_{p}}$ определена в (1.33).

Функция ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$ обращается в нуль в стационарной точке (3.8) системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$. Так как значение $\gamma = {{\gamma }^{0}}$ является точкой локального максимума функции ${{U}_{1}}(\gamma )$, разность U₁(γ) – ${{U}_{1}}({{\gamma }^{0}})$ отрицательна в окрестности этой точки. Поэтому функция ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$ принимает отрицательные значения в некоторых точках из сколь угодно малой окрестности стационарной точки (3.8) системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$. Таким образом, выполнено условие 1 теоремы 4.

Из (1.4), (1.36) следует, что ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}}(\dot {\gamma },x,{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{{{{n}_{2}}}}}) \leqslant 0$. Поэтому для того, чтобы воспользоваться теоремой 4, достаточно доказать, что множество M точек фазового пространства системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$, на котором ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}} = 0$, не содержит в малой окрестности стационарной точки (3.8) целых положительных полутраекторий, отличных от этой точки.

Допустим, что это утверждение неверно, то есть приведенная система ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$ имеет в окрестности стационарной точки (3.8) нестационарное решение

на котором ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}}(t) = 0$ при всех $t \geqslant 0$. Согласно лемме 3, для этого решения выполняются равенства (3.2), (3.3), так что отличными от постоянных тут могут быть только функции $\dot {\beta }(t)$, $\beta (t)$, а значение ${{\gamma }_{0}}$ удовлетворяет уравнению (3.3). Следовательно, функции $\dot {\beta }(t)$, $\beta (t)$ при всех $t \geqslant 0$ удовлетворяют соотношениям где $e$, $k$ – постоянные. При учете равенств (3.2), (3.3) первое из этих соотношений следует из формул (1.33), (1.36) для ${{{v}}_{p}}$, ${{{\dot {v}}}_{p}}$, а второе соотношение следует из третьего уравнения преобразованной системы (1.9).

Из неравенств (1.3) следует, что левая часть равенства (3.10) неотрицательна в рассматриваемом случае A, когда ${{\beta }^{0}}$ – точка минимума функции ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$, и поэтому $e \geqslant 0$. А поскольку рассматриваемое решение (3.9) предполагается отличным от стационарного решения (3.8), имеем $e > 0$. Так как значение $\beta = {{\beta }^{0}}$ является точкой локального минимума разности ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta (t)) - {{U}_{ * }}({{p}^{0}},{{\beta }^{0}})$, то при достаточно малых значениях $e > 0$ соотношение (3.10) определяет на плоскости ($\beta ,\dot {\beta }$) замкнутые кривые, охватывающие точку (${{\beta }^{0}},0$) (рис. 2 ). Они соответствуют колебаниям, для которых $\beta (t)$ – периодическая функция времени.

Но если коэффициент при $\dot {\beta }(t)$ в соотношении (3.11) отличен от тождественного нуля, то это соотношение определяет кривые, для которых $\dot {\beta }$ является однозначной функцией $\beta $. Такие кривые не могут быть замкнутыми. Значит, данный коэффициент тождественно равен нулю, то есть выполнено равенство ${{K}_{1}}(\beta (t)) \equiv 0$, где K₁(β) = $G(\beta )R - Q(\beta )N(\beta )$. В таком случае соотношение (3.11) принимает вид тождественного по $t \geqslant 0$ равенства

где $k$ – постоянная. Так как на замкнутых кривых величина $\beta $ не является постоянной, то полученные два равенства должны быть тождествами не только по t, но и по $\beta $, то есть должны выполняться тождества

Таким образом, приведенная система ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$ имеет нестационарное решение (3.9), на котором ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}}(t) \equiv 0$, только в том случае, когда выполняются тождества (3.12). Но из лемм 1, 2 статьи [3] следует, что не существует конструкции гироскопа в кардановом подвесе, для которой при некотором значении p⁰ соотношения (3.12) выполнены тождественно по $\beta $. Значит, в рассматриваемом случае множество M точек фазового пространства системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$ не содержит в окрестности стационарной точки (3.8) положительных полутраекторий, кроме самой этой точки, то есть выполнено условие 2 теоремы 4. Следовательно, по этой теореме, стационарное решение (3.8) приведенной системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$ неустойчиво.

3.3. Теорема о неустойчивости стационарных решений в случаях Ba, Ca, Bb, Cb. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. В случаях Ba, Bb, Ca, Cb, когда функция ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ имеет в точке $\beta = {{\beta }^{0}}$ изолированный локальный максимум или перегиб с горизонтальной касательной, а функция ${{U}_{1}}(\gamma )$ имеет при $\gamma = {{\gamma }^{0}}$ локальный максимум или минимум, стационарное решение (1.17) преобразованной системы (1.9) неустойчиво.

Доказательство. Чтобы доказать неустойчивость решения (1.17) преобразованной системы (1.9), достаточно доказать неустойчивость соответствующего решения (3.8) приведенной системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$. С этой целью, как и при доказательстве теоремы 5, воспользуемся теоремой 4, приняв в ней в качестве функции V функцию ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$, где функция ${{{v}}_{p}}$ определена в (1.33). Функция ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$ обращается в нуль в стационарной точке (3.8) системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$. Разность ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta ) - {{U}_{ * }}({{p}^{0}},{{\beta }^{0}})$ принимает отрицательные значения в любой окрестности точки $\beta = {{\beta }^{0}}$, поскольку значение $\beta = {{\beta }^{0}}$ является для функции ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ точкой локального максимума или перегиба с горизонтальной касательной. Поэтому функция ${{{v}}_{{{{p}^{0}}}}}$ принимает отрицательные значения в сколь угодно малой окрестности стационарной точки (3.8) приведенной системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$. Таким образом, условие 1 теоремы 4 выполнено.

Согласно (1.4), (1.36) имеем ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}}(\dot {\gamma },x,{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{{{{n}_{2}}}}}) \leqslant 0$. Поэтому для того, чтобы воспользоваться теоремой 4, достаточно проверить выполнение ее условия 2 об отсутствии в окрестности стационарной точки (3.8) отличных от этой точки целых положительных полутраекторий, на которых выполняется равенство ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}} = 0$. В соответствии с леммой 3, множество M точек фазового пространства системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$, составленное из таких полутраекторий, содержится во множестве, которое определено равенствами (3.2), (3.3). Из них следует, что если система ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$ имеет определенное при $t \geqslant 0$ решение, на котором ${{{\dot {v}}}_{{{{p}^{0}}}}}(t) \equiv 0$, то в этом решении отличными от постоянных являются только функции $\dot {\beta }(t)$, $\beta (t)$. Эти функции связаны соотношением (3.10), которое следует из формул (1.33), (1.36), (1.31), (1.26) для ${{{v}}_{p}}$, ${{{\dot {v}}}_{p}}$, ${{T}_{ * }}$, ${{T}_{1}}$ и равенств (3.2).

Рассмотрим на плоскости ($\beta ,\dot {\beta }$) кривые, определенные соотношением (3.10) в случаях B, C, когда функция ${{U}_{ * }}({{p}^{0}},\beta )$ имеет при $\beta = {{\beta }^{0}}$ локальный максимум или перегиб с горизонтальной касательной. Эти кривые являются проекциями фазовых траекторий системы ${{S}_{{{{p}^{0}}}}}$ на плоскость ($\beta ,\dot {\beta }$). Как показывает рис. 2 , в случаях B, C соотношение (3.10) при e > 0 не определяет целых положительных полутраекторий в окрестности стационарной точки (3.8). При e = 0 это соотношение определяет, кроме самой стационарной точки, целые положительные полутраектории, вдоль которых решение стремится к стационарной точке при $t \to \infty $. В случае B такими полутраекториями являются кривые ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$ или их части, содержащие стационарную точку, а в случае C – кривая Γ или ее часть, содержащая стационарную точку. Поэтому, строго говоря, условие 2 теоремы 4 здесь не выполняется.

Однако в доказательстве этой теоремы, приведенном в [12], используется не полное отсутствие в M целых положительных полутраекторий, отличных от рассматриваемой стационарной точки, а лишь отсутствие в M целых полутраекторий, лежащих в шаровом слое с центром в этой точке. Такое условие здесь выполнено, и поэтому утверждение теоремы 4 о неустойчивости остается верным и в данном случае.