Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 1, стр. 158-164

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ВАН-ДЕР-ПОЛЯ. ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

В. Ф. Журавлёв *

Институт проблем механики, РАН им. А.Ю. Ишлинского
Москва, Россия

* E-mail: Zhurav@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 26.12.2017
После доработки 26.12.2017
Принята к публикации 15.01.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Уравнения Ван-дер-Поля, описывающие автоколебания в квазилинейном одномерном осцилляторе, обобщаются на случай, когда порождающий изотропный осциллятор имеет произвольное число степеней свободы. Конкретно рассмотрены двумерный (плоский) и трехмерный (пространственный) случаи. В отличие от классической задачи, в которой стабилизировалась заданная амплитуда колебаний, в общем случае можно стабилизировать не только энергию колебаний, но и площадь плоской эллиптической траектории, ее ориентацию в пространстве, частоту колебательного процесса и пр.

Указаны технические приложения соответствующих моделей.

Ключевые слова: волновой твердотельный гироскоп, бесплатформенная инерциальная навигационная система

1. Одномерный осциллятор Ван-дер-Поля. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля в форме, приведенной, например, в [1]

(1.1)
$\ddot {q} + q = {\mu }(1 - {{q}^{2}})\dot {q}\quad ({\mu } > 0)$
здесь ${\mu }$ – малый параметр, что позволяет решать это уравнение, как это часто и делают, методом осреднения.

Для целей дальнейшего изложения нам удобно интерпретировать уравнение (1.1), как уравнение линейного пружинного осциллятора в одномерном пространстве (рис. 1) с наложенной на него обратной связью формализованной нелинейной правой частью уравнения (1.1). В [1] приведено и решение этого уравнения, в частности, показано, что уравнение имеет два стационарных решения: неустойчивое q = 0, и асимптотически устойчивое

(1.2)
$q = 2\cos (t - {{t}_{0}})$
t0 – произвольная постоянная.

Рис. 1

Единственной причиной введения обратной связи в одномерном случае является стремление обеспечить периодический процесс, несмотря на неизбежное присутствие в реальных системах диссипативных сил.

Отметим, что вид обратной связи

(1.3)
${\mu }(1 - {{q}^{2}})\dot {q}$
выбранный Ван-дер-Полем и используемый в различных последующих работах, по нелинейным методам, где это уравнение используется в качестве примера, для технических приложений не является лучшим. Вместо него следовало бы писать

(1.4)
${\mu }(1 - {{q}^{2}} - {{\dot {q}}^{2}})\dot {q}$

Действительно, при μ = 0 уравнение (1.1) имеет первый интеграл ${{q}^{2}} + {{\dot {q}}^{2}} = {\text{const}}$ и, следовательно, при ${\mu } \ne 0$ он меняется медленно в отличие от переменной q2, являющейся во всех случаях быстро меняющейся. Это не только упрощает решение, но и улучшает качество управления.

Покажем это. Вместо уравнения (1.1) рассмотрим систему

(1.5)
$\begin{gathered} \dot {q} = p, \\ \dot {p} = - q + {\mu }(1 - {{q}^{2}} - {{p}^{2}})p \\ \end{gathered} $

При μ = 0 решение системы (1.5) есть

(1.6)
$q = r\cos {\varphi },\quad p = - r\sin {\varphi },\quad {\varphi } = t - {{t}_{0}}.$

Используя это решение для перехода к новым переменным $(q,p) \to (r,{\varphi })$, найдем

(1.7)
$\begin{gathered} \dot {r} = {\mu }(1 - {{r}^{2}})r{{\sin }^{2}}{\varphi } \\ {\dot {\varphi }} = 1 \\ \end{gathered} $

Получили систему с одной медленной переменной – r и одной быстрой – ${\varphi }$. Осреднение по быстрой переменной дает $\dot {r} = {\mu }(1 - {{r}^{2}})r{\text{/}}2$, откуда и следуют два стационарных решения r = 0 (неустойчивое) и r = 1 (асимптотически устойчивое).

Известны многочисленные технические приложения модели одномерного осциллятора (1.1), в частности так может быть описана модель лампового генератора (правда, переменная q в этом случае не является пространственной переменной и играет роль анодного напряжения в электронной лампе).

2. Двумерный осциллятор Ван-дер-Поля. В таком осцилляторе (рис. 2) также вместо обратной связи типа (1.3) будем пользоваться обратной связью (1.4), которая в двумерном случае приобретает вид

(2.1)
$\begin{gathered} {{{\ddot {q}}}_{1}} + {{q}_{1}} = {\mu }(1 - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} - \dot {q}_{1}^{2} - \dot {q}_{2}^{2}){{{\dot {q}}}_{1}} \\ {{{\ddot {q}}}_{2}} + {{q}_{2}} = {\mu }(1 - q_{2}^{2} - q_{2}^{2} - \dot {q}_{1}^{2} - \dot {q}_{2}^{2}){{{\dot {q}}}_{2}} \\ \end{gathered} $
Рис. 2

Или, в более краткой записи

$\ddot {q} + q = {\mu }(1 - {{q}^{2}} - {{\dot {q}}^{2}})\dot {q},\quad q = {{({{q}_{1}},{{q}_{2}})}^{{\text{т}}}}$

В плоскости (q1, q2) свободный осциллятор (μ = 0) описывает эллиптическую траекторию. Также как и в одномерном случае, обратная связь должна фиксировать значение удвоенной полной энергии.

Задачи управления в системе (2.1) гораздо содержательнее, чем в системе (1.1). Помимо управления амплитудой плоских колебаний можно управлять площадью описываемого эллипса, отношением его полуосей и наклоном большой полуоси к оси ${{q}_{1}}$. Для того, чтобы понять, как это сделать, рассмотрим систему (2.1) в более общем виде

(2.2)
$\ddot {q} + q = Aq + B\dot {q}$

Линейные по координатам и скоростям обратные связи задаются подлежащими определению квадратными матрицами A и B. В наиболее общем виде эти матрицы выглядят так

(2.3)
$A = C + N + H,\quad B = D + Г + G$
$C = c\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right\|,\quad N = n\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - 1}&0 \end{array}} \right\|,\quad H = h\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2{\alpha }}&{\sin 2{\alpha }} \\ {\sin 2{\alpha }}&{ - \cos 2{\alpha }} \end{array}} \right\|$
$D = d\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right\|,\quad Г = {\gamma }\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - 1}&0 \end{array}} \right\|,\quad G = g\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2{\beta }}&{\sin 2{\beta }} \\ {\sin 2{\beta }}&{ - \cos 2{\beta }} \end{array}} \right\|$
где $C$ – симметрическая матрица потенциальных сил сферического типа (скалярная матрица), $N$ – кососимметрическая матрица циркулярных сил, $H$ – симметрическая матрица потенциальных сил гиперболического типа, $D$ – симметрическая матрица диссипативных сил сферического типа, $Г$ – кососимметрическая матрица гироскопических сил, $G$ – симметрическая матрица диссипативных сил гиперболического типа. Матрицы $H$ и $G$ имеют след, равный нулю (девиаторы), силы, определяемые этими матрицами, для целей управления траекторией осциллятора не используются.

От уравнений (2.2) перейдем к уравнениям в фазовых переменных, используя в качестве замены переменных общее решение однородной части системы в (2.2)

(2.4)
$(q,\dot {q}) \to x:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{1}}} \\ {{{q}_{2}}} \\ {{{{\dot {q}}}_{1}}} \\ {{{{\dot {q}}}_{2}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}_{1}}\cos t + {{x}_{3}}\sin t} \\ {{{x}_{2}}\cos t + {{x}_{4}}\sin t} \\ { - {{x}_{1}}\sin t + {{x}_{3}}\cos t} \\ { - {{x}_{2}}\sin t + {{x}_{4}}\cos t} \end{array}} \right)$

Полагая правые части системы малыми, и применяя осреднение по времени, найдем

(2.5)
$\dot {x} = X(x) = \frac{1}{{2{\pi }}}\int\limits_0^{2{\pi }} {{{{( - {{Q}_{1}}\sin t, - {{Q}_{2}}\sin t,{{Q}_{1}}\cos t,{{Q}_{2}}\cos t)}}^{{\text{т}}}}dt} $

Правые части этой системы для перечисленных выше сил в (2.2) таковы

(2.6)
$\begin{gathered} C\;{\text{:}}\;X(x) = \frac{c}{2}( - {{x}_{3}}, - {{x}_{4}},{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \\ N\;{\text{:}}\;X(x) = \frac{n}{2}( - {{x}_{4}},{{x}_{3}},{{x}_{2}}, - {{x}_{1}}) \\ D\;{\text{:}}\;X(x) = \frac{d}{2}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}) \\ Г\;:\;X(x) = \frac{{\gamma }}{2}({{x}_{2}}, - {{x}_{1}},{{x}_{4}}, - {{x}_{3}}) \\ \end{gathered} $

В работах [2, 4] для системы (2.2) приведен базис инфинитезимальных эволюций ее фазового состояния в окрестности нулевой квадратуры ($K = {{q}_{1}}{{\dot {q}}_{2}} - {{\dot {q}}_{1}}{{q}_{2}} = 0$), соответствующей прямолинейным колебаниям в плоскости (${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$). Компоненты этого базиса позволяют выяснить, какие трансформации претерпевает эллиптическая траектория свободного двумерного осциллятора под воздействием перечисленных сил

а. Группа вращений: ${{e}_{1}} = {{({{x}_{2}}, - {{x}_{1}},{{x}_{4}}, - {{x}_{3}})}^{{\text{т}}}}$
b. Группа растяжений: ${{e}_{2}} = {{({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})}^{{\text{т}}}}$
(2.7)
c. Группа сдвигов: ${{e}_{3}} = {{({{x}_{4}}, - {{x}_{3}}, - {{x}_{2}},{{x}_{1}})}^{{\text{т}}}}$
    d. Группа трансляций: ${{e}_{4}} = {{({{x}_{3}},{{x}_{4}}, - {{x}_{1}}, - {{x}_{2}})}^{{\text{т}}}}$

Базис является, как легко проверить, ортогональным, поэтому, проецируя на него силы (2.6), находим следующую таблицу локальных эволюций.

Из табл. 1 следует, что потенциальные сферические силы (матрица этих сил $C$) приводит только к изменению частоты колебаний. Циркулярные силы (матрица $N$) вызывают вариацию квадратуры (разрушение прямолинейной формы колебаний). Амплитуду изменяют скоростные силы сферического типа (матрица $D$). К прецессии приводят гироскопические силы (матрица $Г$).

Таблица 1
  C N D $Г$
прецессия $({{e}_{1}})$ 0 0 0 ${\gamma /}2$
амплитуда $({{e}_{2}})$ 0 0 d/2 0
квадратура $({{e}_{3}})$ 0 $ - n{\text{/}}2$ 0 0
частота $({{e}_{4}})$ $ - c{\text{/}}2$ 0 0 0

Указанная таблица позволяет сформировать управление указанными эволюциями. Как следует из таблицы, для управления частотой генерируемых колебаний следует приложить позиционные силы сферического типа

(2.8)
$\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}_{1}}} \\ {{{Q}_{2}}} \end{array}} \right\| = c\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right\|\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{1}}} \\ {{{q}_{2}}} \end{array}} \right\|$

Если требуется стабилизировать частоту установившихся автоколебаний (в безразмерной форме системы (2.1) эта частота равна единице) следует положить

(2.9)
$c = {{{\mu }}_{1}}\left( {1 - \frac{T}{П}} \right),\quad T = \frac{1}{2}(\dot {q}_{1}^{2} + \dot {q}_{2}^{2}),\quad П = \frac{1}{2}(q_{1}^{2} + q_{2}^{2})$

Через $T$ и $П$ обозначены отдельно, кинетическая и потенциальная энергии осциллятора.

Для стабилизации равной нулю квадратуры $K$, опять же следуя таблице, следует приложить циркулярные силы

(2.10)
$\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}_{1}}} \\ {{{Q}_{2}}} \end{array}} \right\| = {{{\mu }}_{2}}\frac{K}{E}\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - 1}&0 \end{array}} \right\|,$$\left( {n = {{{\mu }}_{2}}\frac{K}{E},\quad K = {{q}_{1}}{{{\dot {q}}}_{2}} - {{{\dot {q}}}_{1}}{{q}_{2}}} \right)$

Стабилизация полной энергии колебаний (амплитуды) достигается приложением диссипативных сил сферического типа

(2.11)
$\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}_{1}}} \\ {{{Q}_{2}}} \end{array}} \right\| = {{{\mu }}_{3}}(1 - E)\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right\|\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\dot {q}}}_{1}}} \\ {{{{\dot {q}}}_{2}}} \end{array}} \right\|,\quad (d = {{{\mu }}_{3}}(1 - E))$

Наконец, управление прецессией осуществляется приложением гироскопических сил

(2.12)
$\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}_{1}}} \\ {{{Q}_{2}}} \end{array}} \right\| = {\gamma }\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - 1}&0 \end{array}} \right\|\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\dot {q}}}_{1}}} \\ {{{{\dot {q}}}_{2}}} \end{array}} \right\|$

Коэффициент ${\gamma }$ выбирается в зависимости от целей управления. Если необходимо обеспечить заданную прецессию формы колебаний с угловой скоростью ${\omega }$, то

(2.13)
${\gamma } = {{{\mu }}_{4}}({\omega } - {\dot {\theta }})$
${\theta }$ – есть угол наклона главной полуоси эллипса формы колебаний к оси абсцисс. Этот угол вычислен в [4]:

(2.14)
${\text{tg}}2{\theta } = \frac{{x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - x_{4}^{2}}}{{2({{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{x}_{3}}{{x}_{4}})}}$

Двумерные уравнения Ван-дер-Поля (2.2) с учетом стабилизации значения полной энергии и квадратуры, а также с управлением прецессией и частотой, приобретают вид

(2.15)
$\left\{ \begin{gathered} {{{\ddot {q}}}_{1}} + {{q}_{1}} = d(1{\text{/}}2 - E){{{\dot {q}}}_{1}} - n(K{\text{/}}E){{q}_{2}} - \gamma {{{\dot {q}}}_{2}} + c{{q}_{1}} \hfill \\ {{{\ddot {q}}}_{2}} + {{q}_{2}} = d(1{\text{/}}2 - E){{{\dot {q}}}_{2}} + n(K{\text{/}}E){{q}_{1}} + \gamma {{{\dot {q}}}_{1}} + c{{q}_{2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

В уравнениях (2.15) перейдем от переменных (${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$)переменным (S, K) по формулам

(2.16)
$\begin{gathered} S = 2E - 1{\text{/}}2 = \dot {q}_{1}^{2} + \dot {q}_{2}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2} - 1{\text{/}}2 \\ K = {{q}_{1}}{{{\dot {q}}}_{2}} - {{{\dot {q}}}_{1}}{{q}_{2}} \\ \end{gathered} $

После осреднения по времени получаем уравнения на два порядка меньше исходных

(2.17)
$\begin{gathered} \dot {S} = - dS(2S + 1) - 4n\frac{{{{K}^{2}}}}{{2S + 1}} \\ \dot {K} = - 2K(dS + n) \\ \end{gathered} $

Фазовый портрет системы (2.17) приведен на рис. 3. Имеются асимптотически устойчивая особая точка (K = 0, S = 0), означающая установившееся значение равной нулю квадратуры и равной 1/4 энергии колебаний.

Рис. 3

Изложенная модель двумерного осциллятора Ван-дер-Поля находит техническое применение в качестве модели волнового твердотельного гироскопа [2, 5].

3. Трехмерный осциллятор Ван-дер-Поля (рис. 4). Обобщение уравнения (1.1) на трехмерный случай выглядит так

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {{{\ddot {q}}}_{1}} + {{q}_{1}} = {\mu }(1 - 2E){{{\dot {q}}}_{1}} \hfill \\ {{{\ddot {q}}}_{2}} + {{q}_{2}} = {\mu }(1 - 2E){{{\dot {q}}}_{2}} \hfill \\ {{{\ddot {q}}}_{3}} + {{q}_{3}} = {\mu }(1 - 2E){{{\dot {q}}}_{3}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ 2E = q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} + \dot {q}_{1}^{2} + \dot {q}_{2}^{2} + \dot {q}_{3}^{2} \\ {{K}_{1}} = {{q}_{2}}{{{\dot {q}}}_{3}} - {{{\dot {q}}}_{2}}{{q}_{3}},\quad {{K}_{2}} = {{q}_{1}}{{{\dot {q}}}_{3}} - {{{\dot {q}}}_{1}}{{q}_{3}},\quad {{K}_{3}} = {{q}_{1}}{{{\dot {q}}}_{2}} - {{{\dot {q}}}_{1}}{{q}_{2}} \\ \end{gathered} $
Рис. 4

Трехмерный изотропный осциллятор обладает тем свойством, что описываемая им эллиптическая траектория, также как и в случае маятника Фуко, неподвижна в инерциальном пространстве (рис. 4). Оси (${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$, ${{I}_{3}}$), образованные большой, и малой полуосями эллипса и перпендикуляром к ним не вращаются относительно звезд, как бы ни вращалась система (${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$, ${{q}_{3}}$), жестко связанная с подвижным объектом. Это дает возможность использовать трехмерный осциллятор Ван-дер-Поля в качестве бесплатформенной инерциальной навигационной системы [3]. В такой системе нет необходимости иметь на борту три гироскопа и интегрировать уравнения Пуассона для получения информации об относительной ориентации осей (${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$, ${{I}_{3}}$) и (${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$, ${{q}_{3}}$).

Список литературы

  1. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.

  2. Журавлёв В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа. МТТ. № 3. 1993. С. 6–19.

  3. Журавлёв В.Ф. Решение уравнений линейного осциллятора относительно матрицы инерциального триэдра // Доклады РАН. 2005. Т. 404. № 4. С. 491–495

  4. Журавлёв В.Ф. Двумерный осциллятор Ван-дер-Поля с внешним управлением // Нелинейная динамика. 2016. Т. 12. № 2. С. 211–222.

  5. Климов Д.М., Журавлёв В.Ф., Жбанов Ю.К. Кварцевый полусферический резонатор (Волновой твердотельный гироскоп). М.: Изд-во “Ким Л.А.”, 2017.

Дополнительные материалы отсутствуют.