Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 6, стр. 68-75

ВАРИАНТ СООТНОШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ

А. А. Маркин a*, М. Ю. Соколова a

a Тульский государственный университет
Тула, Россия

* E-mail: markin-nikram@yandex.ru

Поступила в редакцию 18.04.2018
После доработки 18.04.2018
Принята к публикации 01.03.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложена нелинейная модель изотропного упругого материала, являющаяся обобщением модели Мурнагана, в которой использовано разложение удельной потенциальной энергии деформаций в ряд по степеням тензора логарифмических деформаций Генки. Определен физический смысл констант, входящих в полученные соотношения. Наряду с модулем объемной упругости $K$ и модулем сдвига $G$ использованы константы ${{c}_{{\text{1}}}},{{c}_{{\text{2}}}},{{c}_{{\text{3}}}}$, связанные с модулями упругости третьего порядка: константа ${{c}_{{\text{1}}}}$ отражает нелинейную зависимость гидростатического напряжения от объемной деформации, константа ${{c}_{{\text{2}}}}$ отражает дилатационный эффект, а константа ${{c}_{{\text{3}}}}$ – отклонение угла вида напряженного состояния от угла вида деформированного состояния.

Статья посвящается светлой памяти выдающихся ученых А.А. Ильюшина и Л.А. Толоконникова, идеи которых получили развитие в этой работе.

Ключевые слова: нелинейность, упругость, гиперупругость, конечные деформации, тензор Генки, материал Мурнагана

1. Введение. Основы нелинейной теории упругости заложены в работах российских ученых В.В. Новожилова [1], Л.А. Толоконникова [2], А.И. Лурье [3] в середине прошлого века, но и сейчас интерес к построению вариантов моделей нелинейной упругости изотропного материала не ослабевает. В последнее десятилетие количество работ, касающихся построения упругих потенциалов для сжимаемых и несжимаемых изотропных тел, как в нашей стране, так и за рубежом многократно возросло. Это связано с тем, что наряду с известными нелинейно деформируемыми упругими материалами, такими как резины, каучуки, эластомеры, в поле зрения исследователей попали и новые материалы, для которых характер деформирования соответствует модели нелинейно упругого изотропного материала. Например, в работе [4] построена модель материала, полученного переработкой шин и обладающего высокой нелинейностью объемных деформаций. Применение соотношений нелинейной упругости для моделирования клеточных структур (пены) продемонстрировано в работе [5]. Большое число современных публикаций посвящено построению моделей нелинейной упругости для описания мягких биологических тканей.

В работах [4, 6, 7] отмечается, что модель материала Генки хорошо описывает экспериментальные данные до деформаций порядка 30–40%. Материалом Генки называют модель изотропного упругого материала с линейными определяющими соотношениями, связывающими тензор логарифмических деформаций с обобщенным “повернутым” тензором напряжений. В работах [4, 79] отмечается, что тензор деформаций Генки обладает свойствами, позволяющими естественным образом обобщать с его помощью нелинейные соотношения, хорошо зарекомендовавшие себя при малых деформациях.

Модели гиперупругих изотропных материалов, построенные с использованием меры логарифмических деформаций Генки, нашли достаточно широкое распространение. Упругие потенциалы как функции собственных значений или алгебраических инвариантов тензора Генки известны, например, из работ [4, 7, 8, 10, 11]. В большинстве известных работ не обсуждаются физические аспекты выбора выражения для упругого потенциала, а также остается открытым вопрос о том, как экспериментально определить входящие в эти выражения материальные константы или функции.

В настоящей статье предлагается разложение упругого потенциала в ряд по степеням тензора деформаций Генки, что является обобщением известных работ [3, 12], в которых в подобном разложении использовался тензор деформаций Коши–Грина. В статье показано, что удержание в разложении упругого потенциала членов второго порядка соответствует модели материала Генки, а сохранение членов второй и третьей степеней приводит к модели материала, являющейся обобщением известной модели Мурнагана, широко применяющейся в расчетной практике для сжимаемых упругих изотропных материалов.

2. Меры конечных деформаций и напряжений. Рассмотрим движение материального объема $V$ изотропной упругой среды, который в начальный момент ${{t}_{{\text{0}}}}$ занимал пространственную область ${{V}_{{\text{0}}}}$. Положение материальной точки в области ${{V}_{{\text{0}}}}$ определим радиус-вектором ${{{\mathbf{r}}}_{{\text{0}}}}({{r}_{{\text{1}}}},{{r}_{{\text{2}}}},{{r}_{{\text{3}}}})$, а для той же точки в области $V$ положение определяется радиус-вектором ${\mathbf{х}}({{х}_{{\text{1}}}},{{х}_{{\text{2}}}},{{х}_{{\text{3}}}})$. Закон движения точек среды задается соотношением

${\mathbf{х}} = {\mathbf{х}}({\mathbf{r}}{\text{,}}t)$

Деформация среды в окрестности материальной точки ${\mathbf{х}}$ определяется дифференциальной формой закона движения

$d{\mathbf{х}} = d{\mathbf{r}} \cdot \Phi {\text{(}}{\mathbf{r}},t)$
где $\Phi {\text{(}}{\mathbf{r}},t) = {{\nabla }_{{\text{0}}}}{\mathbf{х}}$ – тензор-аффинор деформации.

На основании известной теоремы о полярном разложении произвольного тензора представим аффинор деформации в виде

$\Phi = {\mathbf{U}} \cdot {\mathbf{R}} = {\mathbf{R}} \cdot {\mathbf{V}}$
где симметричные тензоры ${\mathbf{U}} = {{{\mathbf{U}}}^{{\text{т}}}}$, ${\mathbf{V}} = {{{\mathbf{V}}}^{{\text{т}}}}$ называют правой и левой мерами искажений, а тензор ${\mathbf{R}}$ является ортогональным тензором, сопровождающим деформацию (${{{\mathbf{R}}}^{{ - 1}}} = {{{\mathbf{R}}}^{{\text{т}}}}$).

Тензоры U и V используются для определения материального (лагранжева, правого) и пространственного (эйлерова, левого) логарифмических тензоров деформаций (тензоров Генки):

(2.1)
$\Gamma = \ln {\mathbf{U}},\quad {{\Gamma }_{{\text{V}}}} = \ln {\mathbf{V}}$

Тензоры (2.1) наряду с тензором деформаций Коши $\varepsilon { = }{\text{0}}{\text{.5(}}{{{\mathbf{U}}}^{2}} - {\mathbf{E}}{\text{)}}$ и тензором деформаций Альманси ${\rm A}{ = }{\text{0}}{\text{.5(}}{\mathbf{E}} - {{{\mathbf{V}}}^{{ - 2}}}{\text{)}}$ широко используются при описании конечных деформаций среды [3, 9, 10]. В работах [4, 9, 10] отмечаются важные свойства меры деформаций Генки: во-первых, шаровая и девиаторная составляющие тензора Γ = θE/3 + $\tilde {\Gamma }$ изменяются независимо в процессах изменения объема и процессах формоизменения; во-вторых, инварианты тензора Генки

(2.2)
$\theta { = }\Gamma \cdot \cdot {\mathbf{Е}},\quad {{е}^{2}} = \tilde {\Gamma } \cdot \cdot \tilde {\Gamma },\quad \left| {\tilde {\Gamma }} \right| = \frac{{\text{1}}}{{{\text{3}}\sqrt {\text{6}} }}{{е}^{3}}\cos {\text{3}}\gamma $
характеризуют относительное изменение объема $\ln \left( {{{dV} \mathord{\left/ {\vphantom {{dV} {d{{V}_{{\text{0}}}}}}} \right. \kern-0em} {d{{V}_{{\text{0}}}}}}} \right) = \theta $, интенсивность формоизменения (е) и угол вида деформированного состояния ($\gamma $). Соотношения (2.2) связывают алгебраические инварианты тензора Генки ${{J}_{{\text{1}}}}{ = }\Gamma \cdot \cdot {\mathbf{Е}}$, ${{J}_{{\text{2}}}} = \Gamma \cdot \cdot \Gamma $, ${{J}_{{\text{3}}}} = \left| \Gamma \right|$, с так называемыми естественными инвариантами деформаций $\theta ,е,\gamma $ [2].

В работах [7, 13] доказано, что в изотропном материале тензор логарифмических деформаций Γ энергетически сопряжен с обобщенным “повернутым” тензором напряжений ${{\Sigma }_{{\text{R}}}}{ = }{{e}^{\theta }}{\mathbf{R}} \cdot {\mathbf{S}} \cdot {{{\mathbf{R}}}^{{ - 1}}}$, где ${\mathbf{S}}$ – тензор истинных напряжений Коши. Это значит, что дифференциал удельной потенциальной энергии в случае изотропного материала, когда главные оси тензоров $\Gamma $ и ${{\Sigma }_{R}}$ совпадают, может быть представлен в виде:

(2.3)
$dW = {{\Sigma }_{{\text{R}}}} \cdot \cdot \;d\Gamma { = }\left( {{{\sigma }_{{\text{0}}}}{\mathbf{E}} + {{{\tilde {\Sigma }}}_{{\text{R}}}}} \right) \cdot \cdot \left( {\frac{1}{3}{\mathbf{Е}}d\theta + d\tilde {\Gamma }} \right) = d{{W}_{{{\text{vol}}}}} + d{{W}_{{{\text{iso}}}}}$
где $d{{W}_{{{\text{vol}}}}} = {{\sigma }_{{\text{0}}}}d\theta $ представляет собой дифференциал энергии изменения объема, а dWiso = ${{\tilde {\Sigma }}_{{\text{R}}}} \cdot \cdot d\tilde {\Gamma }$ – дифференциал энергии формоизменения. Такое разложение дифференциала потенциальной энергии деформаций возможно и в случае бесконечно малых деформаций.

Таким образом, использование в качестве меры конечных деформаций тензора Генки позволяет наиболее естественным образом обобщить известные физически линейные и физически нелинейные модели упругости на случай больших деформаций.

3. Представление удельной потенциальной энергии деформаций через естественные инварианты тензора Генки. Рассмотрим модель изотропного “гиперупругого” материала, в котором постулируется существование потенциала деформаций [3, 4, 911]. В свою очередь в ряде работ [5, 12, 14, 15] удельная потенциальная энергия деформаций представляется в виде ряда по степеням тензора деформаций.

Будем считать удельную потенциальную энергию деформаций аналитической функцией тензора деформаций Генки и запишем ее в виде ряда

(3.1)
$W = {{W}_{{\text{0}}}} + {\mathbf{A}} \cdot \cdot \;\Gamma + \frac{{\text{1}}}{{{\text{2!}}}}{\mathbf{N}} \cdot \cdot \cdot \cdot \;\Gamma \Gamma + \frac{{\text{1}}}{{{\text{3!}}}}{\mathbf{L}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \;\Gamma \Gamma \Gamma + ...$
где в случае начального ненапряженного состояния можно считать ${{W}_{{\text{0}}}} = 0$, ${\mathbf{A}} = {\mathbf{0}}$. Тензоры ${\mathbf{N}}$ (четвертого ранга) и ${\mathbf{L}}$ (шестого ранга) являются тензорами упругих констант материала.

Тензор напряжений ${{\Sigma }_{{\text{R}}}}$ в соответствии с (2.3) и (3.1) определяется выражением

(3.2)
${{\Sigma }_{{\text{R}}}} = \frac{{\partial W}}{{\partial \Gamma }} = {\mathbf{N}} \cdot \cdot \;\Gamma + \frac{1}{2}{\mathbf{L}} \cdot \cdot \cdot \cdot \;\Gamma \Gamma + ...$

Для изотропного упругого материала вид тензоров ${\mathbf{N}}$ и ${\mathbf{L}}$ известен [3, 12, 16, 17]. В частности, в ортонормированном базисе ${{{\mathbf{e}}}_{{\text{i}}}}$ $({{{\mathbf{e}}}_{{\text{i}}}} \cdot {{{\mathbf{e}}}_{{\text{j}}}} = {{\delta }_{{{\text{ij}}}}})$ тензор ${\mathbf{N}}$ имеет компоненты, симметричные по парам индексов $({{N}_{{{\text{ijkl}}}}} = {{N}_{{{\text{jikl}}}}} = {{N}_{{{\text{ijlk}}}}} = {{N}_{{{\text{klij}}}}})$ и выражающиеся через модуль объемной упругости $K$ и модуль сдвига $G$ [3, 10, 17]:

(3.3)
$\begin{gathered} {{N}_{{{\text{1111}}}}} = {{N}_{{{\text{2222}}}}} = {{N}_{{{\text{3333}}}}} = K + \frac{4}{3}G \\ {{N}_{{{\text{1122}}}}} = {{N}_{{{\text{3311}}}}} = {{N}_{{{\text{2233}}}}} = K - \frac{2}{3}G \\ {{N}_{{{\text{1212}}}}} = {{N}_{{{\text{3131}}}}} = {{N}_{{{\text{2323}}}}} = 2G \\ \left( {{\text{остальные}}\;{\text{нули}}} \right) \\ \end{gathered} $

Компоненты тензора шестого ранга ${\mathbf{L}}$ также симметричны по парам индексов $\left( {{{L}_{{{\text{ijklmn}}}}} = {{L}_{{{\text{jiklmn}}}}} = {{L}_{{{\text{ijlkmn}}}}} = {{L}_{{{\text{ijklnm}}}}} = {{L}_{{{\text{ijmnkl}}}}} = {{L}_{{{\text{klijmn}}}}}} \right)$ и для изотропного материала выражаются через константы упругости третьего порядка ${{\nu }_{{\text{1}}}},{{\nu }_{{\text{2}}}},{{\nu }_{{\text{3}}}}$ [12, 16, 17]:

(3.4)
$\begin{gathered} {{L}_{{{\text{111111}}}}} = {{L}_{{{\text{222222}}}}} = {{L}_{{{\text{333333}}}}} = {{\nu }_{{\text{1}}}} + 6{{\nu }_{{\text{2}}}} + 8{{\nu }_{{\text{3}}}} \\ {{L}_{{{\text{112222}}}}} = {{L}_{{{\text{111122}}}}} = {{L}_{{{\text{113333}}}}} = {{L}_{{{\text{111133}}}}} = {{L}_{{{\text{222233}}}}} = {{L}_{{{\text{223333}}}}} = {{\nu }_{{\text{1}}}} + 2{{\nu }_{{\text{2}}}} \\ {{L}_{{{\text{111212}}}}} = {{L}_{{{\text{221212}}}}} = {{L}_{{{\text{332323}}}}} = {{L}_{{{\text{333131}}}}} = {{L}_{{{\text{113131}}}}} = {{L}_{{{\text{222323}}}}} = {{\nu }_{{\text{2}}}} + 2{{\nu }_{{\text{3}}}} \\ {{L}_{{{\text{232311}}}}} = {{L}_{{{\text{313122}}}}} = {{L}_{{{\text{121233}}}}} = {{\nu }_{2}},\quad {{L}_{{{\text{233112}}}}} = {{L}_{{123123}}} = {{L}_{{{\text{122331}}}}} = {{\nu }_{{\text{3}}}},\quad {{L}_{{112233}}} = {{\nu }_{{\text{1}}}} \\ \left( {{\text{остальные}}\;{\text{нули}}} \right) \\ \end{gathered} $

В работах [10, 15] предлагалось использовать разложения тензоров ${\mathbf{N}}$ и ${\mathbf{L}}$ по специальным образом выбранному базису. Рассмотрим обобщенный канонический тензорный базис А.А. Ильюшина [10, 18], состоящий из тензоров второго ранга:

(3.5)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{I}}}^{{\text{0}}}} = \frac{1}{{\sqrt {\text{3}} }}({{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}} + {{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}} + {{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}) \\ {{{\mathbf{I}}}^{{\text{1}}}} = \sqrt {\frac{{\text{2}}}{{\text{3}}}} \left( {\cos {{\beta }_{{\text{0}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}} - \sin \left( {{{\beta }_{{\text{0}}}} + \frac{\pi }{{\text{6}}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}} + \sin \left( {{{\beta }_{{\text{0}}}} - \frac{\pi }{{\text{6}}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}} \right) \\ {{{\mathbf{I}}}^{{\text{2}}}} = \sqrt {\frac{{\text{2}}}{{\text{3}}}} \left( {{\text{sin}}{{\beta }_{{\text{0}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}} + {\text{cos}}\left( {{{\beta }_{{\text{0}}}} + \frac{\pi }{{\text{6}}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}} - {\text{cos}}\left( {{{\beta }_{{\text{0}}}} - \frac{\pi }{{\text{6}}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}} \right) \\ {{{\mathbf{I}}}^{{\text{3}}}} = \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{2}} }}({{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}} + {{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}}),\quad {{{\mathbf{I}}}^{{\text{4}}}} = \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{2}} }}({{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}} + {{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{2}}}}),\quad {{{\mathbf{I}}}^{{\text{5}}}} = \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{2}} }}({{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}} + {{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\text{3}}}}) \\ \end{gathered} $
где ${{\beta }_{{\text{0}}}}$ – параметр вращения, и образуем из него тензорные базисы четвертого ранга
(3.6)
${{{\mathbf{I}}}^{{\alpha \beta }}} = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}({{{\mathbf{I}}}^{\alpha }}{{{\mathbf{I}}}^{\beta }} + {{{\mathbf{I}}}^{\beta }}{{{\mathbf{I}}}^{\alpha }})$
и шестого ранга:
(3.7)
${{{\mathbf{I}}}^{{\alpha \beta \gamma }}} = \frac{{\text{1}}}{{\text{6}}}({{{\mathbf{I}}}^{\alpha }}{{{\mathbf{I}}}^{\beta }}{{{\mathbf{I}}}^{\gamma }} + {{{\mathbf{I}}}^{\alpha }}{{{\mathbf{I}}}^{\gamma }}{{{\mathbf{I}}}^{\beta }} + {{{\mathbf{I}}}^{\beta }}{{{\mathbf{I}}}^{\alpha }}{{{\mathbf{I}}}^{\gamma }} + {{{\mathbf{I}}}^{\beta }}{{{\mathbf{I}}}^{\gamma }}{{{\mathbf{I}}}^{\alpha }} + {{{\mathbf{I}}}^{\gamma }}{{{\mathbf{I}}}^{\alpha }}{{{\mathbf{I}}}^{\beta }} + {{{\mathbf{I}}}^{\gamma }}{{{\mathbf{I}}}^{\beta }}{{{\mathbf{I}}}^{\alpha }})$
где $\alpha ,\beta ,\gamma = {\text{0,1,}}...{\text{,5}}$.

Разложения тензоров (3.3) и (3.4) по базисам (3.6) и (3.7) для изотропного упругого материала имеют вид [10, 15]:

(3.8)
${\mathbf{N}} = {\text{3}}K{{{\mathbf{I}}}^{{{\text{00}}}}} + {\text{2}}G({{{\mathbf{I}}}^{{{\text{11}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{22}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{33}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{44}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{55}}}}})$
и
(3.9)
$\begin{gathered} {\mathbf{L}} = {{c}_{{\text{1}}}}{{{\mathbf{I}}}^{{{\text{000}}}}} + {{c}_{{\text{2}}}}({{{\mathbf{I}}}^{{{\text{011}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{022}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{033}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{044}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{055}}}}}) + \\ + \,{{c}_{{\text{3}}}}\left( {\frac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{6}} }}{{{\mathbf{I}}}^{{{\text{111}}}}} - \frac{{\text{6}}}{{\sqrt {\text{6}} }}({{{\mathbf{I}}}^{{{\text{122}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{133}}}}}) + \frac{{\text{3}}}{{\sqrt {\text{6}} }}({{{\mathbf{I}}}^{{{\text{144}}}}} + {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{155}}}}}) + \frac{{\text{3}}}{{\sqrt {\text{2}} }}({{{\mathbf{I}}}^{{{\text{255}}}}} - {{{\mathbf{I}}}^{{{\text{244}}}}} + 2{{{\mathbf{I}}}^{{{\text{345}}}}})} \right) \\ \end{gathered} $
где ${{c}_{{\text{1}}}} = {\text{3}}\sqrt {\text{3}} {{\nu }_{{\text{1}}}} + {\text{6}}\sqrt {\text{3}} {{\nu }_{{\text{2}}}} + 8{{{{\nu }_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{3}}} {\sqrt {\text{3}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\text{3}} }}$, ${{c}_{{\text{2}}}} = {\text{6}}\sqrt {\text{3}} {{\nu }_{{\text{2}}}} + {\text{8}}\sqrt {\text{3}} {{\nu }_{{\text{3}}}}$ ${{c}_{{\text{3}}}} = {\text{4}}{{\nu }_{{\text{3}}}}$.

Если в разложении удельной потенциальной энергии (3.1) ограничиться только членом второго порядка относительно тензора логарифмических деформаций Γ, то с учетом представления (3.8) получим

(3.10)
$W = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}K{{\theta }^{2}} + G{{e}^{2}}$
а тензор напряжений принимает вид

(3.11)
${{\Sigma }_{{\text{R}}}} = K\theta {\mathbf{E}} + {\text{2}}G\tilde {\Gamma }$

Соотношения (3.10), (3.11) являются естественным обобщением соотношений линейной теории упругости на случай конечных деформаций, полученным с использованием тензора логарифмических деформаций. Модель материала (3.10), (3.11) называют материалом Генки [4, 7, 8]. В работах [4, 6, 7] отмечается, что модель материала Генки хорошо согласуется с экспериментом до умеренно больших деформаций (30‒40%).

4. Обобщение модели Генки на физически нелинейные соотношения. Сохраним в представлении (3.1) для удельной потенциальной энергии деформаций два первых ненулевых члена

(4.1)
$W = \frac{{\text{1}}}{{{\text{2!}}}}{\mathbf{N}} \cdot \cdot \cdot \cdot \;\Gamma \Gamma + \frac{{\text{1}}}{{{\text{3!}}}}{\mathbf{L}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \;\Gamma \Gamma \Gamma $

Тогда в соответствии с (3.2) тензор напряжений принимает вид

(4.2)
${{\Sigma }_{{\text{R}}}} = {\mathbf{N}} \cdot \cdot \;\Gamma + \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\mathbf{L}} \cdot \cdot \cdot \cdot \;\Gamma \Gamma $

Если компоненты тензоров N и L принять в виде (3.3) и (3.4), то удельная потенциальная энергия деформаций (4.1) может быть выражена через алгебраические инварианты тензора Генки в виде:

$W = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\lambda J_{{\text{1}}}^{2}({\mathbf{\Gamma }}) + GJ_{{\text{2}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }}) + \frac{{\text{1}}}{{\text{6}}}({{\nu }_{{\text{1}}}}J_{{\text{1}}}^{{\text{3}}}({\mathbf{\Gamma }}) + {\text{6}}{{\nu }_{{\text{2}}}}J_{{\text{1}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }})J_{{\text{1}}}^{{}}({{{\mathbf{\Gamma }}}^{2}}) + {\text{8}}{{\nu }_{{\text{3}}}}J_{{\text{1}}}^{{}}({{{\mathbf{\Gamma }}}^{3}}))$
где $\lambda = K - \frac{{\text{2}}}{{\text{3}}}G$ – модуль упругости Ламе.

С учетом известной связи между алгебраическими инвариантами [3]

$J_{{\text{1}}}^{{}}({{{\mathbf{\Gamma }}}^{2}}) = {{{\mathbf{\Gamma }}}^{2}} \cdot \cdot {\mathbf{E}} = J_{{\text{1}}}^{{\text{2}}}({\mathbf{\Gamma }}) - {\text{2}}J_{{\text{2}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }})$
$J_{{\text{1}}}^{{}}({{{\mathbf{\Gamma }}}^{3}}) = {{{\mathbf{\Gamma }}}^{3}} \cdot \cdot {\mathbf{E}} = J_{{\text{1}}}^{3}({\mathbf{\Gamma }}) - {\text{3}}J_{{\text{1}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }})J_{{\text{2}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }}) + {\text{3}}J_{{\text{3}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }})$
получим

(4.3)
$\begin{gathered} W = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\lambda J_{{\text{1}}}^{2}({\mathbf{\Gamma }}) + GJ_{{\text{2}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }}) + \frac{{\text{1}}}{{\text{6}}}\left( {{{\nu }_{{\text{1}}}} + {\text{6}}{{\nu }_{{\text{2}}}} + {\text{8}}{{\nu }_{{\text{3}}}}} \right)J_{{\text{1}}}^{{\text{3}}}({\mathbf{\Gamma }}) - \\ \, - {\text{2}}\left( {{{\nu }_{{\text{2}}}} + {\text{2}}{{\nu }_{{\text{3}}}}} \right)J_{{\text{1}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }})J_{{\text{2}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }}) + {\text{4}}{{\nu }_{{\text{3}}}}J_{{\text{3}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }}) \\ \end{gathered} $

Если обозначить ${{{{\nu }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + {{\nu }_{{\text{2}}}} = l$, ${{\nu }_{{\text{2}}}} + {\text{2}}{{\nu }_{{\text{3}}}} = m$, ${\text{4}}{{\nu }_{{\text{3}}}} = n$, то выражение (4.3) принимает вид

(4.4)
$W = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\lambda J_{{\text{1}}}^{{\text{2}}}({\mathbf{\Gamma }}) + GJ_{{\text{2}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }}) + \frac{{\text{1}}}{{\text{3}}}\left( {l + {\text{2}}m} \right)J_{{\text{1}}}^{{\text{3}}}({\mathbf{\Gamma }}) - {\text{2}}mJ_{{\text{1}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }})J_{{\text{2}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }}) + nJ_{{\text{3}}}^{{}}({\mathbf{\Gamma }})$

Если в выражении (4.4) заменить инварианты тензора деформаций Генки на аналогичные инварианты тензора деформаций Коши, то представление удельной потенциальной энергии деформаций в виде (4.4) совпадает с моделью Мурнагана [3], причем коэффициенты $l,m,n$ из (4.4) называют константами Мурнагана. Для некоторых материалов значения этих констант приведены в [3].

Таким образом, представление удельной потенциальной энергии в виде (4.1) позволяет обобщить модель Генки на физически нелинейные соотношения типа соотношений Мурнагана.

Если при вычислении удельной потенциальной энергии деформаций использовать разложения тензоров ${\mathbf{N}}$ и ${\mathbf{L}}$ по обобщенному каноническому базису (3.8), (3.9), то ее можно представить через естественные инварианты тензора Генки в виде:

(4.5)
$W = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}K{{\theta }^{2}} + G{{e}^{2}} + \frac{{\text{1}}}{{\text{6}}}\left( {\frac{{{{c}_{{\text{1}}}}}}{{{\text{3}}\sqrt {\text{3}} }}{{\theta }^{3}} + \frac{{{{c}_{{\text{2}}}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}\theta {{e}^{2}} + \sqrt {\frac{{\text{2}}}{{\text{3}}}} {{c}_{{\text{3}}}}{{e}^{3}}\cos {\text{3}}\gamma } \right)$

Следствием (4.5) является выражение для обобщенного “повернутого” тензора напряжений в виде

(4.6)
${{\Sigma }_{{\text{R}}}} = {{\sigma }_{{\text{0}}}}{\mathbf{E}} + {{\tau }_{e}}\tilde {\Gamma }{ + }{{\tau }_{q}}{\mathbf{\tilde {Q}}}$
где ${\mathbf{\tilde {Q}}}$ – девиатор тензора ${{\tilde {\Gamma }}^{2}}$, а функции ${{\sigma }_{{\text{0}}}},\;{{\tau }_{e}},\;{{\tau }_{q}}$ определяются выражениями

${{\sigma }_{{\text{0}}}} = \frac{{\partial W}}{{\partial \theta }},\quad {{\tau }_{e}} = \frac{1}{e}\frac{{\partial W}}{{\partial e}} - \frac{{{\text{3}}\cos {\text{3}}\gamma }}{{{{e}^{2}}}}\frac{{\partial W}}{{\partial (\cos {\text{3}}\gamma )}},\quad {{\tau }_{q}} = \frac{{{\text{3}}\sqrt {\text{6}} }}{{{{e}^{3}}}}\frac{{\partial W}}{{\partial (\cos {\text{3}}\gamma )}}$

В соответствии с (4.5) найдем

(4.7)
${{\sigma }_{{\text{0}}}} = K\theta + \frac{{{{c}_{{\text{1}}}}}}{{{\text{6}}\sqrt {\text{3}} }}{{\theta }^{2}} + \frac{{{{c}_{{\text{2}}}}}}{{{\text{6}}\sqrt {\text{3}} }}{{e}^{2}},\quad {{\tau }_{e}} = {\text{2}}G + \frac{{{{c}_{{\text{2}}}}}}{{{\text{3}}\sqrt {\text{3}} }}\theta ,\quad {{\tau }_{q}} = {{c}_{{\text{3}}}}$

Из модели (4.5) следует, что если тензоры ${\mathbf{N}}$ и ${\mathbf{L}}$ постоянны, то в выражении (4.6) коэффициенты являются материальными функциями естественных инвариантов тензора Генки следующего вида:

${{\sigma }_{{\text{0}}}} = {{\sigma }_{{\text{0}}}}(\theta ,e),\quad {{\tau }_{e}}{ = }{{\tau }_{e}}(\theta ),\quad {{\tau }_{q}} = {\text{const}}$

Константы ${{c}_{{\text{1}}}},{{c}_{{\text{2}}}},{{c}_{{\text{3}}}}$ из соотношений (4.7) в отличие от констант в законе Мурнагана [3] имеют ясный физический смысл. Установим степень влияния констант и их физический смысл, рассматривая частные случаи деформирования:

1. чисто объемная деформация, когда $\tilde {\Gamma } = {\mathbf{0}}$, e = 0. В этом процессе гидростатические напряжения изменяются по закону

${{\sigma }_{{\text{0}}}} = K\theta + \frac{{{{c}_{{\text{1}}}}}}{{{\text{6}}\sqrt {\text{3}} }}{{\theta }^{2}}$
поэтому константа ${{c}_{{\text{1}}}}$ учитывает изменение объема второго порядка малости и может быть определена из опыта на всестороннее сжатие;

2. чистое формоизменение, когда θ = 0. В этом процессе гидростатические напряжения изменяются по закону

${{\sigma }_{{\text{0}}}} = \frac{{{{c}_{{\text{2}}}}}}{{{\text{6}}\sqrt {\text{3}} }}{{e}^{2}}$
следовательно, постоянная c2 позволяет учесть дилатационные явления в материале: появление гидростатического напряжения при чистом формоизменении;

3. процесс формоизменения, в котором угол вида деформированного состояния $\gamma = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6} + {{\pi n} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi n} 3}} \right. \kern-0em} 3}$. Это может быть простой сдвиг или двухосное растяжение–сжатие. В этом случае свертка тензоров ${{\tilde {\Sigma }}_{{\text{R}}}} \cdot \cdot \;{\mathbf{\tilde {Q}}} = {{с}_{{\text{3}}}}{\mathbf{\tilde {Q}}} \cdot \cdot \;{\mathbf{\tilde {Q}}} \ne 0$, что говорит о несоосности тензоров ${{\tilde {\Sigma }}_{R}}$ и $\tilde {\Gamma }$ или об отклонении угла вида напряженного состояния от угла вида деформированного состояния.

Вариант определяющих соотношений (4.6) с функциями (4.7) можно рассматривать как частный случай общего варианта соотношений, в котором каждая из материальных функций зависит от всех трех инвариантов тензора Генки:

${{\sigma }_{{\text{0}}}} = {{\sigma }_{{\text{0}}}}(\theta ,e,\gamma ),\quad {{\tau }_{e}}{ = }{{\tau }_{e}}(\theta ,e,\gamma ),\quad {{\tau }_{q}} = {{\tau }_{q}}(\theta ,e,\gamma )$
удовлетворяющих условиям совместности

$\frac{{\partial {{\sigma }_{{\text{0}}}}}}{{\partial e}} = \frac{{\partial {{\tau }_{e}}e}}{{\partial \theta }} + \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{6}} }}\frac{{\partial {{\tau }_{q}}}}{{\partial \theta }}{{e}^{2}}\cos {\text{3}}\gamma $
$\frac{{\partial {{\sigma }_{{\text{0}}}}}}{{\partial \gamma }} = - \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{6}} }}\frac{{\partial {{\tau }_{q}}}}{{\partial \theta }}{{e}^{3}}\sin {\text{3}}\alpha $
$\frac{{\partial {{\tau }_{e}}}}{{\partial \gamma }} + \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{6}} }}\frac{{\partial {{\tau }_{q}}}}{{\partial \gamma }}e\cos {\text{3}}\gamma = \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{6}} }}\frac{{\partial {{\tau }_{q}}}}{{\partial e}}{{e}^{2}}\sin {\text{3}}\gamma $

Такой общий вариант соотношений был предложен и обоснован в работах [10, 19, 20]. Было показано, что функция ${{\sigma }_{{\text{0}}}}$ определяет гидростатическое напряжение в материале. Зависимость ${{\sigma }_{{\text{0}}}}$ от интенсивности деформаций e позволяет описать дилатационные явления в материале (появление гидростатического напряжения при чистом формоизменении). Функция ${{\tau }_{е}}$ определяет закон формоизменения, а функция ${{\tau }_{q}}$ задает отклонение свойств материала от частного постулата изотропии А.А. Ильюшина – общей гипотезы, допускающей в нашем случае независимость напряжений от третьего инварианта тензора деформаций Генки.

В определяющих соотношениях (4.6) с функциями (4.7) константы материала $K,G,{{c}_{{\text{1}}}},{{c}_{{\text{2}}}},{{c}_{{\text{3}}}}$ связаны с модулями упругости второго и третьего порядков, значения которых для некоторых материалов известны [3]. В настоящее время разработаны акустические методы определения модулей упругости третьего порядка, регламентируемые государственным стандартом [21]. Таким образом, проблема идентификации соотношений (4.6), (4.7) решается.

От представления удельной потенциальной энергии деформаций в форме (4.5) возможно естественным образом перейти к упругому потенциалу для несжимаемых материалов, положив инвариант $\theta = {\text{0}}$. Получим двухконстантную модель несжимаемого материала с потенциалом

$W = G{{e}^{2}} + \frac{{\text{1}}}{{{\text{3}}\sqrt {\text{2}} }}{{c}_{{\text{3}}}}{{e}^{3}}\cos {\text{3}}\gamma $
отражающую зависимость напряжений от угла вида деформированного состояния, в том числе и разносопротивляемость несжимаемого материала растяжению и сжатию.

5. Заключение. В статье предложен подход к построению физически нелинейных соотношений поведения изотропных упругих тел в рамках модели материала Генки. Подход основан на использовании представления удельной потенциальной энергии деформаций в виде ряда по степеням тензора логарифмических деформаций. Полученные для входящих в это представление тензоров упругости четвертого и шестого рангов разложения по обобщенному каноническому тензорному базису А.А. Ильюшина позволили достаточно просто представить удельную потенциальную энергию деформаций в виде функции естественных инвариантов тензора Генки. Полученные соотношения являются аналогом потенциала Мурнагана и частным случаем общей формы определяющих соотношений, предложенной в работах [10, 19]. Использование обобщенной модели Генки в форме Мурнагана позволяет придать константам модели ${{c}_{{\text{1}}}},{{c}_{{\text{2}}}},{{c}_{{\text{3}}}}$ ясный физический смысл: константа c1 отражает нелинейную зависимость ${{\sigma }_{{\text{0}}}}{\text{(}}\theta )$, константа c2 отражает дилатационный эффект, а константа c3 – отклонение угла вида напряженного состояния от угла вида деформированного состояния.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 18-31-20053).

Список литературы

  1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

  2. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // ПММ. 1956. Т. 20. С. 439–444.

  3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

  4. Montella G., Govindjee S., Neff P. The exponentiated Hencky strain energy in modelling tire derived material for moderately large deformations // Journal of Engineering Materials and Technology, Transaction of the ASME. 2015. Available at arXiv:1509.06541

  5. Mihai L.A., Goriely A. How to characterize a nonlinear elastic material? A reviewon nonlinear constitutive parameters in isotropic finite elasticity // Proc. R. Soc. A 473: 20170607. (http://dx.doi.org/).https://doi.org/10.1098/rspa.2017.0607

  6. Anand L. A constitutive model for compressible elastomeric solids // Computational Mechanics. 1996. 18. P. 339–355.

  7. Xiao H., Chen L.S. Hencky’s elasticity model and linear stress-strain relations in isotropic finite hyperelasticity // Acta Mechanica. 2002. 157. P. 51–60.

  8. Latorre M., Montans F.J. On the interpretation of the logarithmic strain tensor in an arbitrary system of representation // International Journal of Solids and Structures. 2014. 51. P. 1507–1515.

  9. Коробейников С.Н., Олейников А.А. Лагранжева формулировка определяющих соотношений материала Генки // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т. 11. № 2. С. 155–180.

  10. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.

  11. Муравлев А.В. О представлении упругого потенциала в обобщённом пространстве деформаций А.А. Ильюшина // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 1. С. 99–102.

  12. Brugger K. Thermodynamic Definition of Higher Order Elastic Coefficients // Physical Review. 1964. 133(6A). A1611.

  13. Hill R. On constitutive inequalities for simple materials – I // J. Mech. Phys. Solids. 1968. 16:4. P. 229–242.

  14. Соколова М.Ю., Христич Д.В. О симметрии термоупругих свойств квазикристаллов // ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 5. С. 728–734.

  15. Astapov Y., Khristich D., Markin A., Sokolova M. The construction of nonlinear elasticity tensors for crystals and quasicrystals // International Journal of Applied Mechanics. 2017. V. 9. № 6. P. 1750080-1–1750080-15. https://doi.org/10.1142/S1758825117500806

  16. Toupin R. A., Bernstein B. Sound waves in deformed perfectly elastic materials. Acoustoelastic effect // The Journal of the Acoustical Society of America. 1961. 33 (2). P. 216–225.

  17. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. 640 с.

  18. Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды: Развитие математического аппарата и основ общей теории. М.: Наука, 2017. 432 с.

  19. Глаголева М.О., Маркин А.А., Матченко Н.М., Трещев А.А. Свойства изотропных упругих материалов // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 2. Механика. С. 15–19.

  20. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах // Известия РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 104–111.

  21. ГОСТ Р 53568-2009. Контроль неразрушающий. Определение констант упругости третьего порядка акустическим методом. Общие требования.

Дополнительные материалы отсутствуют.