Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 3, стр. 30-40

ШАРООБРАЗНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ В УПРУГОЙ МАТРИЦЕ ПРИ НАЛИЧИИ СОБСТВЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ СВОЙСТВ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА, РАССМАТРИВАЕМОЙ КАК ПРЕДЕЛ СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

В. А. Городцов a, Д. С. Лисовенко a, К. Б. Устинов a*

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: ustinoff127@mail.ru

Поступила в редакцию 07.05.2018
После доработки 07.05.2018
Принята к публикации 04.06.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Ранее, авторами была предложена модель поверхностной упругости, в которой внутренняя граница раздела рассматривалась как тонкий структурированный слой, наделенный собственной упругостью. Переход к пределу бесконечно тонкой границы осуществлялся в два этапа. Для структурированной границы раздела сформулированы определяющие уравнения поверхностной упругости, обобщающие известные уравнения Шаттлворса. В настоящей работе такая модель дополнена граничными условиями на поверхности раздела и с ее помощью рассмотрена задача о сферически симметричном деформировании бесконечного тела с шарообразным включением.

Ключевые слова: деформация, прочность, напряжения

1. Введение. С уменьшением изучаемых пространственных масштабов вплоть до нанометровых из-за возрастающей роли влияния молекулярных взаимодействий для описания механического поведения материалов потребовалось обобщение классической теории упругости. В теории появляется масштабный эффект, отсутствующий в традиционной теории упругости. В частности, важным такой эффект оказывается в силу аномального молекулярного поведения приповерхностных слоев в материалах. Для описания подобного механического поведения материалов использовались как разнообразные варианты дискретного молекулярного моделирования [13], так и обобщения теории упругости с учетом особенностей поверхностной упругости в рамках подхода сплошной среды [48]. В работах авторов [9, 10] было предложено обобщение традиционной модели поверхностной упругости Шаттлворса, при котором в определяющие соотношения на поверхности помимо напряжений и деформаций, действующих в плоскости границы, входят напряжения и деформации, нормальные к этой плоскости. В настоящей работе данная модель дополняется граничными условиями на поверхности раздела и с ее помощью рассматривается задача о сферически симметричном деформировании тела с шарообразным включением.

2. Модель поверхностной упругости для внутренней границы раздела. Следуя [9, 10] рассмотрим слой материала толщины h, заключенный между слоями других материалов, так что суммарная толщина всех трех слоев есть $H > h$. Все три материала будем полагать линейно-упругими трансверсально-изотропными с плоскостями изотропии параллельными границам раздела слоев (фиг. 1). На фиг. 1 представлена модель поверхностного слоя как предел слоя конечной толщины: (а) исходная конфигурация; (b) конечная конфигурация составного слоя. В системе координат с осью z, направленной по нормали к слоям, упругие свойства описываются набором упругих постоянных $C_{{11}}^{i}$, $C_{{12}}^{i}$, $C_{{13}}^{i}$, $C_{{33}}^{i}$, $C_{{44}}^{i}$, $C_{{66}}^{i} = (C_{{11}}^{i} - C_{{22}}^{i}){\text{/}}2$ (i = A для нижнего, i = B для верхнего и i = C – для среднего слоя). Рассмотрим однородное нагружение области рассматриваемой структуры, содержащей участок серединного слоя и прилегающие к нему участки вышележащего и нижележащего слоев, что соответствует слабо меняющемуся полю, когда характерные расстояния, на которых происходит существенное изменение, значительно превосходят размер рассматриваемого элемента.

Фиг. 1

Пусть в каждом из слоев могут присутствовать различные для каждого слоя собственные (свободные от напряжений) деформации $\varepsilon _{k}^{{PN}}$, $N = A,B,C$, $k = 1{\kern 1pt} \div {\kern 1pt} 6$, так, что полные деформации $\varepsilon _{k}^{{TN}}$ будут суммой упругих и собственных деформаций

(2.1)
$\varepsilon _{k}^{{TN}} = \varepsilon _{k}^{{PN}} + \varepsilon _{k}^{N},\quad N = A,B,C,\quad k = 1 \div 6$

Выражение для упругой энергии, соответствующей исходной конфигурации имеет вид

(2.2)
$U = {{U}_{0}} + \frac{h}{2}C_{{ij}}^{C}(\varepsilon _{i}^{{TC}} - \varepsilon _{i}^{{PC}})(\varepsilon _{j}^{{TC}} - \varepsilon _{j}^{{PC}})$

Здесь ${{U}_{0}}$ – энергия вышележащего и нижележащего слоев.

Заменим теперь промежуточный упругий слой толщины $h$ эквивалентным составным слоем, состоящим из слоя толщины $h{\text{'}} < h$ с некоторыми подлежащими определению свойствами и двух слоев толщиной $\left( {h - h{\text{'}}} \right){\text{/}}2$ со свойствами $C_{{ij}}^{A}$ и $C_{{ij}}^{B}$, соответствующими исходным вышележащему и нижележащему слоям таким образом, чтобы при произвольной заданной деформации значения упругой энергии исходной и эквивалентной упругой системы совпадали. Затем, устремляя толщину нового слоя к нулю ($h{\text{'}} \to 0$) и изменяя при этом его упругие свойства так, чтобы сохранялась упругая энергия, получим вместо структуры толщины H, состоявшей из двух слоев толщины $\left( {H - h} \right){\text{/}}2$ и слоя толщины $h$ между ними, эквивалентную структуру H, состоящую из двух слоев толщины $H{\text{/}}2$, соответствующих исходным материалам, и бесконечно тонкой поверхности между ними, наделенной такими новыми упругими свойствами $A_{{ij}}^{{}}$, что при произвольной заданной деформации значения упругой энергии исходной и эквивалентной упругой системы совпадают. Упругие свойства эквивалентной поверхности при этом полностью описываются упругими константами $A_{{ij}}^{{}}$, полученными в результате указанного предельного перехода.

Выражение для эффективной энергии составного слоя (т.е. слоя, состоящего из нового, бесконечно тонкого, слоя и двух слоев, заполненных материалами вышележащего и нижележащего слоев) можно записать как

(2.3)
$\begin{gathered} {{U}_{{{\text{eff}}}}} = {{U}_{0}} + \frac{h}{4}C_{{ij}}^{A}(\varepsilon _{i}^{{TA}} - \varepsilon _{i}^{{PA}})(\varepsilon _{j}^{{TA}} - \varepsilon _{j}^{{PA}}) + \frac{h}{4}C_{{ij}}^{B}(\varepsilon _{i}^{{TB}} - \varepsilon _{i}^{{PB}})(\varepsilon _{j}^{{TB}} - \varepsilon _{j}^{{PB}}) + \\ + \;\frac{{A_{{ij}}^{{EE}}}}{2}\varepsilon _{i}^{{ED}}\varepsilon _{i}^{{ED}} + A_{{ij}}^{{EP}}\varepsilon _{i}^{{ED}}\varepsilon _{i}^{{PD}} + \frac{{A_{{ij}}^{{PP}}}}{2}\varepsilon _{i}^{{PD}}\varepsilon _{i}^{{PD}} + A_{{ij}}^{{EA}}\varepsilon _{i}^{{ED}}\varepsilon _{i}^{{PA}} + A_{{ij}}^{{EB}}\varepsilon _{i}^{{ED}}\varepsilon _{i}^{{PB}} + \\ + \;A_{{ij}}^{{PA}}\varepsilon _{i}^{{PD}}\varepsilon _{i}^{{PA}} + A_{{ij}}^{{PB}}\varepsilon _{i}^{{PD}}\varepsilon _{i}^{{PB}} + A_{{ij}}^{{AB}}\varepsilon _{i}^{{PA}}\varepsilon _{i}^{{PB}} + \frac{{A_{{ij}}^{{AA}}}}{2}\varepsilon _{i}^{{PA}}\varepsilon _{i}^{{PA}} + \frac{{A_{{ij}}^{{BB}}}}{2}\varepsilon _{i}^{{PB}}\varepsilon _{i}^{{PB}} \\ \end{gathered} $

Здесь введены обозначения

(2.4)
$\begin{gathered} \varepsilon _{{}}^{{TD}} = {{\{ \varepsilon _{1}^{{TC}},\,\varepsilon _{2}^{{TC}},\,[u_{3}^{T}],\,[u_{2}^{T}],\,[u_{1}^{T}],\,\varepsilon _{6}^{{TC}}\} }^{T}} \\ \varepsilon _{{}}^{{PD}} = {{\{ \varepsilon _{1}^{{PC}},\,\varepsilon _{2}^{{PC}},\,[u_{3}^{P}],\,[u_{2}^{P}],\,[u_{1}^{P}],\,\varepsilon _{6}^{{PC}}\} }^{T}} \\ \varepsilon _{{}}^{{ED}} = \varepsilon _{{}}^{{TD}} - \varepsilon _{{}}^{{PD}} \\ \end{gathered} $
где $[u_{3}^{T}]$, $[u_{2}^{T}]$, $[u_{1}^{T}]$ и $[u_{3}^{P}]$, $[u_{2}^{P}]$, $[u_{1}^{P}]$ – скачки полного смещения и смещения, соответствующего собственным деформациям (возможность такого разложения обусловлена исключительно высокой степенью симметрии рассматриваемой задачи). Матрицы Aij с одинаковыми верхними (нетензорными) индексами – симметричны, матрицы с неодинаковыми верхними индексами – не обязаны быть симметричными. Введенные таким образом коэффициенты Aij дают квадратичную форму наиболее общего вида для упругой энергии. Как показано в [9], именно такая форма позволяет найти свойства эффективного бесконечно тонкого слоя для произвольных упругих параметров внешних слоев.

Для скачков смещения должны выполняться условия совместности, отдельно для полной и собственной деформации

(2.5)
$\begin{gathered} \frac{h}{2}\varepsilon _{k}^{{TA}} + \frac{h}{2}\varepsilon _{k}^{{TB}} + [u_{1}^{T}] = h\varepsilon _{k}^{{TC}} \\ \frac{h}{2}\varepsilon _{k}^{{PA}} + \frac{h}{2}\varepsilon _{k}^{{PB}} + [u_{1}^{P}] = h\varepsilon _{k}^{{PC}}\quad k = 3,4,5 \\ \end{gathered} $

Кроме того, должно выполняться равенство напряжений ${{\sigma }_{3}}$, ${{\sigma }_{4}}$, ${{\sigma }_{5}}$ в слоях $A$, $B$, $C$, соответственно

(2.6)
$\begin{gathered} C_{{33}}^{A}(\varepsilon _{{T3}}^{A} - \varepsilon _{{P3}}^{A}) + C_{{13}}^{A}(\varepsilon _{1}^{{}} + \varepsilon _{2}^{{}} - \varepsilon _{1}^{{PA}} - \varepsilon _{2}^{{PA}}) = \\ = \;C_{{13}}^{C}(\varepsilon _{1}^{{}} + \varepsilon _{2}^{{}} - \varepsilon _{1}^{{PС }} - \varepsilon _{2}^{{PС }}) + C_{{33}}^{C}(\varepsilon _{3}^{{TС }} - \varepsilon _{3}^{{PС }}) = \\ = \;C_{{33}}^{B}(\varepsilon _{3}^{{TB}} - \varepsilon _{3}^{{PB}}) + C_{{13}}^{B}(\varepsilon _{1}^{{}} + \varepsilon _{2}^{{}} - \varepsilon _{1}^{{PB}} - \varepsilon _{2}^{{PB}}) \\ \end{gathered} $
(2.7)
$\begin{gathered} C_{{44}}^{A}(\varepsilon _{k}^{{TA}} - \varepsilon _{k}^{{PA}}) = C_{{44}}^{B}(\varepsilon _{k}^{{TB}} - \varepsilon _{k}^{{PB}}) = C_{{44}}^{C}(\varepsilon _{k}^{{TC}} - \varepsilon _{k}^{{PC}}) \\ k = 4,5 \\ \end{gathered} $

Подстановка условий (2.5)–(2.7) в выражение для упругой энергии (2.3) дает выражение для энергии системы, эквивалентной исходной (2.2), и выраженной через те же кинематические переменные, $\varepsilon _{1}^{{}}$, $\varepsilon _{2}^{{}}$, $\varepsilon _{3}^{{EC}}$, $\varepsilon _{4}^{{EC}}$, $\varepsilon _{5}^{{EC}}$, $\varepsilon _{6}^{{}}$,$\varepsilon _{k}^{{PN}}$, $N = A,B,C$, $k = 1 \div 6$. Для того, чтобы системы были эквивалентны, равенство $U = {{U}_{{eff}}}$ должно выполняться для любого сочетания указанных кинематических переменных.

При отсутствии собственных деформаций полные деформации равны упругим, матрица, обозначенная $A_{{ij}}^{{EE}}$, соответствует матрице, обозначенной $A_{{ij}}^{{}}$ в [10], ненулевые компоненты которой имеют вид

(2.8)
$A_{{11}}^{{EE}} = A_{{22}}^{{EE}} = A_{{12}}^{{EE}} + 2A_{{66}}^{{EE}}$
(2.9)
$\begin{gathered} A_{{12}}^{{EE}} = A_{{21}}^{{EE}} = \frac{h}{{4C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - 2C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}[C_{{13}}^{{B2}}(2C_{{33}}^{A} - C_{{33}}^{C}) + C_{{13}}^{{A2}}(2C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}) + \\ + \;2C_{{13}}^{{C2}}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B}) - 4C_{{13}}^{B}C_{{13}}^{C}C_{{33}}^{A} - 4C_{{13}}^{A}C_{{13}}^{C}C_{{33}}^{B} + 2C_{{13}}^{A}C_{{13}}^{B}C_{{33}}^{C} - \\ - \;(2C_{{12}}^{C} - C_{{12}}^{A} - C_{{12}}^{B})(C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B}) - 2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B})] \\ \end{gathered} $
(2.10)
$A_{{13}}^{{EE}} = A_{{23}}^{{EE}} = A_{{31}}^{{EE}} = A_{{32}}^{{EE}} = \frac{{(C_{{13}}^{B}C_{{33}}^{A} + C_{{13}}^{A}C_{{33}}^{B})C_{{33}}^{C} - 2C_{{13}}^{C}C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B}}}{{C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B}) - 2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B}}}$
(2.11)
$A_{{33}}^{{EE}} = \frac{1}{h}{{\left( {\frac{1}{{C_{{33}}^{C}}} - \frac{1}{{2C_{{33}}^{A}}} - \frac{1}{{2C_{{33}}^{B}}}} \right)}^{{ - 1}}}$
(2.12)
$A_{{44}}^{{EE}} = A_{{55}}^{{EE}} = \frac{1}{h}{{\left( {\frac{1}{{C_{{44}}^{C}}} - \frac{1}{{2C_{{44}}^{A}}} - \frac{1}{{2C_{{44}}^{B}}}} \right)}^{{ - 1}}}$
(2.13)
$A_{{66}}^{{EE}} = \frac{h}{2}\left( {C_{{11}}^{C} - C_{{12}}^{C} - \frac{{C_{{11}}^{A} - C_{{22}}^{A}}}{2} - \frac{{C_{{11}}^{B} - C_{{22}}^{B}}}{2}} \right) = h\left( {C_{{66}}^{C} - \frac{{C_{{66}}^{A} + C_{{66}}^{B}}}{2}} \right)$

Если собственные деформации присутствуют только в среднем слое, то достаточно знать выражения для матриц $A_{{ij}}^{{EP}}$ и $A_{{ij}}^{{PP}}$.

$A_{{11}}^{{PP}} = A_{{22}}^{{PP}} = A_{{12}}^{{PP}} + 2A_{{66}}^{{PP}}$
$A_{{12}}^{{PP}} = A_{{21}}^{{PP}} = - \frac{h}{2}\left[ {C_{{12}}^{A} + C_{{12}}^{B} + \frac{{C_{{13}}^{{A2}}(2C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}) + C_{{13}}^{{B2}}(2C_{{33}}^{A} - C_{{33}}^{C}) + 2C_{{13}}^{A}C_{{13}}^{B}C_{{33}}^{C}}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}} \right]$
(2.14)
$A_{{66}}^{{PP}} = - \frac{h}{4}(C_{{11}}^{A} - C_{{12}}^{A} + C_{{11}}^{B} - C_{{12}}^{B}) = - \frac{h}{2}(C_{{66}}^{A} + C_{{66}}^{B})$

Для перекрестного члена

$A_{{11}}^{{EP}} = A_{{22}}^{{EP}} = A_{{12}}^{{EP}} + 2A_{{66}}^{{EP}}$
$A_{{12}}^{{EP}} = A_{{21}}^{{EP}} = A_{{12}}^{{PP}} - h\frac{{C_{{13}}^{C}(C_{{33}}^{A}C_{{13}}^{B} + C_{{33}}^{B}C_{{13}}^{A})}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}$
$A_{{31}}^{{EP}} = A_{{32}}^{{EP}} = - \frac{{C_{{33}}^{C}(C_{{13}}^{B}C_{{33}}^{A} + C_{{13}}^{A}C_{{33}}^{B})}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}$
(2.15)
$A_{{66}}^{{EP}} = A_{{66}}^{{PP}}$

Если собственные деформации присутствуют также в слое А, то необходимо знать выражения для матриц $A_{{ij}}^{{AA}}$, $A_{{ij}}^{{EA}}$ и $A_{{ij}}^{{PA}}$. Их ненулевые компоненты равны

$A_{{11}}^{{AA}} = A_{{22}}^{{AA}} = A_{{12}}^{{AA}} + 2A_{{66}}^{{AA}}$
$A_{{66}}^{{AA}} = - \frac{h}{4}(C_{{11}}^{A} - C_{{12}}^{A}) = - \frac{h}{2}C_{{66}}^{A}$
(2.16)
$A_{{12}}^{{AA}} = A_{{21}}^{{AA}} = \frac{h}{2}\left[ { - C_{{12}}^{A} + \frac{{C_{{13}}^{{A\,2}}(2C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C})}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}} \right]$
$A_{{11}}^{{EA}} = A_{{22}}^{{EA}} = A_{{12}}^{{EA}} + 2A_{{66}}^{{EA}}$
$A_{{12}}^{{EA}} = A_{{21}}^{{EA}} = - A_{{12}}^{{AA}} + \frac{h}{2}\frac{{C_{{13}}^{A}(2C_{{33}}^{B}C_{{13}}^{C} - C_{{13}}^{B}C_{{33}}^{C})}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}$
$A_{{31}}^{{EA}} = A_{{32}}^{{EA}} = \frac{{C_{{13}}^{A}C_{{33}}^{B}C_{{33}}^{C}}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}$
(2.17)
$A_{{66}}^{{EA}} = \frac{h}{4}(C_{{11}}^{A} - C_{{12}}^{A}) = \frac{h}{2}C_{{66}}^{A}$
$A_{{11}}^{{PA}} = A_{{22}}^{{PA}} = A_{{12}}^{{PA}} + 2A_{{66}}^{{PA}}$
$A_{{12}}^{{PA}} = A_{{21}}^{{PA}} = A_{{12}}^{{EE}} - h\frac{{C_{{13}}^{A}C_{{33}}^{B}C_{{13}}^{C}}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}$
(2.18)
$A_{{66}}^{{PA}} = \frac{h}{4}(C_{{11}}^{A} - C_{{12}}^{A}) = \frac{h}{2}C_{{66}}^{A}$

Если собственные деформации присутствуют также в слое В, то необходимо знать матрицы $A_{{ij}}^{{BB}}$, $A_{{ij}}^{{EB}}$, $A_{{ij}}^{{PB}}$ и $A_{{ij}}^{{AB}}$, причем выражения для ненулувых компонент первых из трех матриц получаются заменой индексов А на В, и В на А в формулах (2.16)(2.18). Ненулевые компоненты $A_{{ij}}^{{AB}}$равны

(2.19)
$A_{{11}}^{{AB}} = A_{{22}}^{{AB}} = A_{{12}}^{{AB}} = A_{{21}}^{{AB}} = \frac{h}{2}\frac{{C_{{13}}^{A}C_{{13}}^{B}C_{{33}}^{C}}}{{2C_{{33}}^{A}C_{{33}}^{B} - C_{{33}}^{C}(C_{{33}}^{A} + C_{{33}}^{B})}}$

Выражения (2.14)–(2.19) получены в [9] и представлены здесь с учетом исправления опечаток.

Для того чтобы воспользоваться потенциальными преимуществами использования поверхностной упругости, связанными с возможностью заменить рассмотрение деформирования реальных трехмерных объектов описанием специфических граничных условий на двумерной границе, необходимо выписать эти граничные условия. Для этого нужно величины (напряжения, деформации и смещения), связанные с поверхностью раздела, выразить через граничные значения соответствующих величин прилегающих к поверхности раздела областей и связать их необходимым количеством уравнений. Необходимые уравнения получим по теореме Лагранжа (согласно которой в частном случае напряжения есть производные от упругой энергии по упругим деформациям), продифференцировав выражения для упругой энергии (2.3) по компонентам упругих деформаций в слое

(2.20)
$\sigma _{i}^{s} = \frac{{\partial U}}{{\partial \varepsilon _{i}^{s}}} = A_{{ij}}^{{EE}}\varepsilon _{i}^{{ED}} + A_{{ij}}^{{EP}}\varepsilon _{j}^{{PD}} + A_{{ij}}^{{TA}}\varepsilon _{j}^{{PA}} + A_{{ij}}^{{EB}}\varepsilon _{j}^{{PB}}$

Получившиеся уравнения являются уравнениями обобщенного закона Гука для поверхности раздела при наличии собственных деформаций, в которых $\varepsilon _{j}^{{PA}}$, $\varepsilon _{j}^{{PB}}$ – собственные деформации прилегающих слоев, $\varepsilon _{j}^{{ED}}$, $\varepsilon _{j}^{{PD}}$ – упругие и собственные деформации поверхности раздела, определяемые (2.4).

Здесь следует сделать некоторые уточнения. Поскольку, следуя концепции Гиббса [11], под поверхностными величинами всюду понимается интеграл по нормали от избытка соответствующих величин в приповерхностном слое по сравнению с массивом, то продольные компоненты деформаций (как и нормальные компоненты напряжения) не являются поверхностными величинами. Более того, поскольку компоненты деформации в плоскости поверхности раздела в общем случае претерпевают разрыв, под продольными деформациями поверхности раздела логично понимать полусумму продольных деформаций прилегающих слоев

(2.21)
$\varepsilon _{{}}^{{TD}} = {{\left\{ {\frac{{\varepsilon _{1}^{{TA}} + \varepsilon _{1}^{{TB}}}}{2},\frac{{\varepsilon _{2}^{{TA}} + \varepsilon _{2}^{{TB}}}}{2},u_{3}^{{TB}} - u_{3}^{{TA}},u_{2}^{{TB}} - u_{2}^{{TA}},u_{1}^{{TB}} - u_{1}^{{TA}},\frac{{\varepsilon _{6}^{{TA}} + \varepsilon _{6}^{{TB}}}}{2}} \right\}}^{T}}$

Аналогичная ситуация имеет место для напряжений – компоненты напряжения по нормали к поверхности раздела в общем случае также терпят разрыв за счет сил, возникающих в поверхности раздела, воспринимающей часть нагрузки при наличии кривизны подобно оболочке. Здесь также для компонент, терпящих разрыв, логично понимать полусуммы напряжений на противоположных сторонах поверхности

(2.22)
$\sigma _{{}}^{S} = {{\left\{ {\sigma _{1}^{S},\sigma _{2}^{S},\frac{{\sigma _{3}^{A} + \sigma _{3}^{B}}}{2},\frac{{\sigma _{4}^{A} + \sigma _{4}^{B}}}{2},\frac{{\sigma _{5}^{A} + \sigma _{5}^{B}}}{2},\sigma _{6}^{S}} \right\}}^{T}}$

Условия (2.20), (2.21), (2.22) вместе с уравнениями равновесия на поверхности (уравнениями Лапласа–Юнга)

(2.23)
${{{\mathbf{\sigma }}}^{A}} - {{{\mathbf{\sigma }}}^{B}} = {{\nabla }_{s}}{{{\mathbf{\sigma }}}^{{\mathbf{s}}}}$
и являются граничными условиями на поверхности раздела. Здесь ${{\nabla }_{s}}$ – двумерный градиент в системе координат, связанной с поверхностью.

Для иллюстрации приведем таблицу (таблица 1), показывающую различие условия полного контакта, пружинного (винклеровского) взаимодействия (например, [12]), контакта типа классической поверхностной упругости, контакта типа обобщенной поверхностной упругости (рассматриваемая модель, для простоты ограниченная случаем отсутствия собственных деформаций).

Таблица 1
Полный контакт Винклеровский слой Поверхностная упругость Обобщенная поверхностная упругость
Кинематические условия
$\left[ {{{u}_{i}}} \right] = 0$ $\left[ {{{u}_{i}}} \right] = \varepsilon _{{ni}}^{S}$ $\left[ {{{u}_{i}}} \right] = 0$ $\left[ {{{u}_{i}}} \right] = \varepsilon _{{ni}}^{S}$
Статические условия
$\left[ {{{\sigma }_{{ni}}}} \right] = 0$ $\left[ {{{\sigma }_{{ni}}}} \right] = 0$ $\left[ {{{\sigma }_{{ni}}}} \right] = {{\nabla }_{s}}\sigma _{{\alpha \beta }}^{{\mathbf{s}}}$
Уравнение Лапласа–Юнга
Дополнительные переменные
$\varepsilon _{{ni}}^{S}$ – 3 скачка смещения $\sigma _{{\alpha \beta }}^{{\mathbf{s}}}$ – 3 компоненты поверхностного напряжения $\varepsilon _{{ni}}^{S}$, $\sigma _{{\alpha \beta }}^{{\mathbf{s}}}$ – 6 единиц (3 скачка смещения и 3 компоненты поверхностного напряжения)
Дополнительные уравнения
$\mu _{{(i)}}^{S}\varepsilon _{{ni}}^{S} = {{\sigma }_{{ni}}}$ уравнения Винклера $\sigma _{{\alpha \beta }}^{{\mathbf{s}}} = {{\Lambda }_{{\alpha \beta \gamma \delta }}}{{\varepsilon }_{{\gamma \delta }}}$ уравнения Шаттлворса $\sigma _{i}^{s} = A_{{ij}}^{{TT}}\varepsilon _{i}^{S}$ предлагаемые уравнения

Подчеркнем, что рассматриваемые определяющие соотношения (2.20) за счет присутствия перекрестных членов не сводятся к сумме пружинного взаимодействия и традиционной поверхностной упругости.

3. Задача о шарообразном включении в бесконечной среде в гидростатическом внешнем поле. Рассмотрим задачу о шарообразном включении радиуса $R$ в бесконечной упругой среде при наличии контакта указанного типа. Для простоты ограничимся рассмотрением случая изотропной среды и изотропного включения; границу раздела будем предполагать трансверсально изотропной с плоскостью изотропии совпадающей в каждой точке с касательной к границе раздела. Общее решение уравнений упругости для полей смещений, деформаций и напряжений внутри и вне включения имеют вид (приведенный к удобным для рассматриваемой задачи обозначениям), например [13]

(3.1)
$\begin{gathered} {{u}^{K}} = C_{1}^{K}r + \frac{{C_{2}^{K}}}{{{{r}^{2}}}},\quad \varepsilon _{{rr}}^{K} = \frac{{d{{u}^{K}}}}{{dr}} = C_{1}^{K} - \frac{{2C_{2}^{K}}}{{{{r}^{3}}}},\quad \varepsilon _{{\theta \theta }}^{K} = \varepsilon _{{\varphi \varphi }}^{K} = \frac{{{{u}^{K}}}}{r} = C_{1}^{K} + \frac{{C_{2}^{K}}}{{{{r}^{3}}}} \\ \sigma _{{rr}}^{K} = ({{\lambda }^{K}} + 2{{\mu }^{K}})\varepsilon _{{rr}}^{K} + 2{{\lambda }^{K}}\varepsilon _{{\theta \theta }}^{K} = 3{{K}^{K}}C_{1}^{K} - \frac{{4{{\mu }^{K}}C_{2}^{K}}}{{{{r}^{3}}}} \\ \sigma _{{\theta \theta }}^{K} = 2({{\lambda }^{K}} + {{\mu }^{K}})\varepsilon _{{\theta \theta }}^{K} + {{\lambda }^{K}}\varepsilon _{{rr}}^{K} = 3{{K}^{K}}C_{1}^{K} + \frac{{2{{\mu }^{K}}C_{2}^{K}}}{{{{r}^{3}}}} \\ K = A,B,\quad C_{2}^{A} = 0 \\ \end{gathered} $

Здесь $K = A,B$ для внутренней и внешней областей соответственно; $C_{1}^{B}$ определяет поле на бесконечности, в случае гидростатического растяжения ${{\sigma }^{\infty }}$,

(3.2)
$C_{1}^{B} = \frac{{{{\sigma }^{\infty }}}}{{3{{K}^{B}}}}$

Для определения двух оставшихся неизвестных $C_{1}^{A}$, $C_{2}^{B}$ воспользуемся условиями (2.20), (2.23), которые для рассматриваемого случая отсутствия собственных деформаций и сферической симметрии преобразуются к виду

(3.3)
$\begin{gathered} \frac{R}{2}(\sigma _{{rr}}^{B} - \sigma _{{rr}}^{A}) - (A_{{11}}^{{EE}} + A_{{12}}^{{EE}})\frac{{\varepsilon _{{\theta \theta }}^{A} + \varepsilon _{{\theta \theta }}^{B}}}{2} - A_{{13}}^{{EE}}{{\left. {({{u}^{B}} - {{u}^{A}}) = 0} \right|}_{{r = R}}} \\ \frac{{\sigma _{{rr}}^{A} + \sigma _{{rr}}^{B}}}{2} = A_{{33}}^{{EE}}({{u}^{B}} - {{u}^{A}}) + A_{{31}}^{{EE}}{{\left. {(\varepsilon _{{\theta \theta }}^{A} + \varepsilon _{{\theta \theta }}^{B})} \right|}_{{r = R}}} \\ \end{gathered} $

Здесь $A_{{ij}}^{{EE}}$ – константы поверхностной упругости. Вычисление величин $C_{1}^{A}$, $C_{2}^{B}$ не представляет трудности.

Рассмотрим случай, когда поверхностные величины $A_{{ij}}^{{EE}}$ соответствуют слою конечной толщины $h$ и определяются формулами (2.8)(2.13). Дальнейшие вычисления любых компонент напряжений и смещений не представляют труда. Выпишем, например, коэффициент концентрации деформации (отношение деформации во включении к деформации на бесконечности) для изотропных фаз с точностью до одного члена разложения по параметру $h{\text{/}}R$

(3.4)
$\frac{{\varepsilon _{{}}^{A}}}{{\varepsilon _{{}}^{\infty }}} = \frac{{3({{\lambda }^{B}} + 2{{\mu }^{B}})}}{{3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}}}} - \frac{{36({{\lambda }^{B}} + 2{{\mu }^{B}})({{K}^{A}} - {{K}^{C}})({{\mu }^{B}} - {{\mu }^{C}})}}{{{{{(3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}})}}^{2}}({{\lambda }^{C}} + 2{{\mu }^{C}})}}\frac{h}{R} + O{{\left( {\frac{h}{R}} \right)}^{2}}$

Здесь ${{K}^{N}}$, ${{\lambda }^{N}}$, ${{\mu }^{N}}$, $N = A,B,C$ – объемные модули и константы Ламе материалов.

Сравним полученное решение с решением задачи о шаровом включении при наличии промежуточного слоя конечной толщины. Для этого вновь воспользуемся формулами (3.1), в которых положим $k = A,B,C$, $C_{2}^{A} = 0$, где индекс C соответствует промежуточному слою, толщину которого положим равной h. Граничные условия полного контакта будут иметь вид

(3.5)
$\begin{gathered} {{\left. {\sigma _{{rr}}^{A} - \sigma _{{rr}}^{C} = 0} \right|}_{{r = R - h/2}}} \\ {{\left. {\sigma _{{rr}}^{B} - \sigma _{{rr}}^{C} = 0} \right|}_{{r = R + h/2}}} \\ {{\left. {{{u}^{A}} - {{u}^{C}} = 0} \right|}_{{r = R - h/2}}} \\ {{\left. {{{u}^{B}} - {{u}^{C}} = 0} \right|}_{{r = R + h/2}}} \\ \end{gathered} $

Решение системы (3.5) с учетом выражений для напряжений и смещений (3.1) дает значения констант $C_{1}^{A}$, $C_{2}^{B}$, $C_{1}^{C}$, $C_{2}^{C}$, подстановка которых в (3.1) дает решение задачи. Отметим, что вычисленный таким образом коэффициент концентрации деформации для изотропных фаз с точностью до одного члена разложения по малому параметру $h{\text{/}}R$ совпадает с результатом (3.4), полученным на основе рассмотренной модели.

Рассмотрим решение, получаемое в постановке классической поверхностной упругости. Граничные условия при этом [1416] имеют в используемых обозначениях вид

(3.6)
$\begin{gathered} \frac{R}{2}(\sigma _{{rr}}^{B} - \sigma _{{rr}}^{A}) - {{\left. {(A_{{11}}^{{EE}} + A_{{12}}^{{EE}})\varepsilon _{{\theta \theta }}^{A} = 0} \right|}_{{r = R}}} \\ {{\left. {({{u}^{B}} - {{u}^{A}}) = 0} \right|}_{{r = R}}} \Rightarrow \varepsilon _{{\theta \theta }}^{A} = {{\left. {\varepsilon _{{\theta \theta }}^{B}} \right|}_{{r = R}}} \\ \end{gathered} $

Подстановка (3.6) в (3.1) дает

(3.7)
$\begin{gathered} C_{1}^{A}{\text{/}}C_{1}^{B} = \frac{{3({{\lambda }^{B}} + 2{{\mu }^{B}})}}{{2(A_{{11}}^{{EE}} + A_{{12}}^{{EE}}){\text{/}}R + 3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}}}} \\ C_{2}^{B}{\text{/}}C_{1}^{B} = {{R}^{3}}\left[ {1 + \frac{{3({{\lambda }^{B}} + 2{{\mu }^{B}})}}{{2(A_{{11}}^{{EE}} + A_{{12}}^{{EE}}){\text{/}}R + 3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}}}}} \right] \\ \end{gathered} $

Подстановка (3.7) в (3.1) дает решение задачи, совпадающее с точностью до обозначений с решением [14]. Для сравнения коэффициент концентрации деформации, вычисленный аналогично (3.4),

(3.8)
$\frac{{\varepsilon _{{}}^{A}}}{{\varepsilon _{{}}^{\infty }}} = \frac{{3({{\lambda }^{B}} + 2{{\mu }^{B}})}}{{3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}}}} - \frac{{12({{\lambda }^{B}} + 2{{\mu }^{B}})({{\lambda }^{C}} + {{\mu }^{C}})}}{{{{{(3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}})}}^{2}}}}\frac{h}{R} + O{{\left( {\frac{h}{R}} \right)}^{2}}$
в общем случае не совпадает с (3.4).

4. Задача о шарообразном включении при наличии собственных сферически симметричных деформаций во включении и в поверхностном слое. Рассмотрим аналогичную задачу, но при наличии собственных деформаций во включении и на поверхности раздела и при отсутствии внешнего поля. Общее решение уравнений упругости для полей смещений, деформаций и напряжений внутри и вне включения будет иметь вид

(4.1)
$\begin{gathered} {{u}^{K}} = C_{1}^{K}r + \frac{{C_{2}^{K}}}{{{{r}^{2}}}},\quad \varepsilon _{{rr}}^{K} = \frac{{d{{u}^{K}}}}{{dr}} = C_{1}^{K} - \frac{{2C_{2}^{K}}}{{{{r}^{3}}}},\quad \varepsilon _{{\theta \theta }}^{K} = \varepsilon _{{\varphi \varphi }}^{K} = \frac{{{{u}^{K}}}}{r} = C_{1}^{K} + \frac{{C_{2}^{K}}}{{{{r}^{3}}}}, \\ \sigma _{{rr}}^{K} = ({{\lambda }^{K}} + 2{{\mu }^{K}})(\varepsilon _{{rr}}^{{TK}} - \varepsilon _{{rr}}^{{PK}}) + 2{{\lambda }^{K}}(\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{TK}} - \varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PK}}) \\ \sigma _{{\theta \theta }}^{K} = 2({{\lambda }^{K}} + {{\mu }^{K}})(\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{TK}} - \varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PK}}) + {{\lambda }^{K}}(\varepsilon _{{rr}}^{{TK}} - \varepsilon _{{rr}}^{{PK}}) \\ K = A,B,\quad C_{2}^{A} = C_{1}^{B} = 0, \\ \varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PB}} = \varepsilon _{{rr}}^{{PB}} = 0,\quad \varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PA}} = \varepsilon _{{rr}}^{{PA}} = {{\varepsilon }^{0}} \\ \end{gathered} $

Здесь $K = A,B$, по-прежнему, для внутренней и внешней областей соответственно. В качестве параметров, определяющих поле напряжений, выступают три величины собственных деформаций: собственные деформации в шаровом включении $\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PA}} = \varepsilon _{{rr}}^{{PA}}$0 и, вообще говоря, различные окружные и радиальные собственные деформации на поверхности раздела $\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PD}}$, $\varepsilon _{{rr}}^{{PD}}$.

Для определения констант $C_{1}^{A}$, $C_{2}^{B}$ вновь воспользуемся комбинациями условий (2.20), (2.23), которые для рассматриваемого случая наличия собственных деформаций и сферической симметрии преобразуются к виду

(4.2)
$\begin{gathered} \frac{R}{2}(\sigma _{{rr}}^{B} - \sigma _{{rr}}^{A}) - (A_{{11}}^{{EE}} + A_{{12}}^{{EE}})\left( {\frac{{\varepsilon _{{\theta \theta }}^{A} + \varepsilon _{{\theta \theta }}^{B}}}{2} - \varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PD}}} \right) - A_{{13}}^{{EE}}({{u}^{B}} - {{u}^{A}} - \varepsilon _{{rr}}^{{PD}}) - \\ - \;(A_{{11}}^{{EA}} + A_{{12}}^{{EA}} + A_{{13}}^{{EA}})\varepsilon _{{}}^{0} - {{\left. {(A_{{11}}^{{EP}} + A_{{12}}^{{EP}})\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PD}} - A_{{13}}^{{EP}}\varepsilon _{{rr}}^{{PD}} = 0} \right|}_{{r = R}}} \\ \frac{{\sigma _{{rr}}^{A} + \sigma _{{rr}}^{B}}}{2} = A_{{33}}^{{EE}}({{u}^{B}} - {{u}^{A}} - \varepsilon _{{rr}}^{{PD}}) + A_{{31}}^{{EE}}(\varepsilon _{{\theta \theta }}^{A} + \varepsilon _{{\theta \theta }}^{B} - 2\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PD}}) + \\ + \;{{\left. {(2A_{{31}}^{{EA}} + A_{{33}}^{{EA}})\varepsilon _{{}}^{0} + 2A_{{31}}^{{EP}}\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PD}} + A_{{33}}^{{EP}}\varepsilon _{{rr}}^{{PD}}} \right|}_{{r = R}}} \\ \end{gathered} $

Пусть поверхностные величины $A_{{ij}}^{{EE}}$ соответствуют слою конечной толщины $h$ и определяются формулами (2.8)(2.13). Выпишем, например, отношение полной деформации во включении к собственной деформации во включении (данное отношение является комбинацией компонент тензора Эшелби для рассматриваемой задачи). Рассмотрим два варианта: собственные деформации в слое толщины h отсутствуют и собственные деформации в данном слое равны собственным деформациям в шарообразном включении.

Для первого варианта эффективные собственные деформации в бесконечно тонком слое согласно (2.5) имеют вид

(4.3)
$\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PD}} = 0,\quad \varepsilon _{{rr}}^{{PD}} = - {{\varepsilon }^{0}}h{\text{/}}2$

Тогда в случае изотропных фаз с точностью до линейного члена разложения по параметру $h{\text{/}}R$ искомое отношение деформаций имеет вид

(4.4)
$\frac{{\varepsilon _{{}}^{A}}}{{\varepsilon _{{}}^{0}}} = \frac{{3{{K}^{A}}}}{{3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}}}} + \frac{{12{{K}^{A}}({{\mu }^{B}} - {{\mu }^{C}})(3{{K}^{C}} + 4{{\mu }^{B}})}}{{{{{(3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}})}}^{2}}({{\lambda }^{C}} + 2{{\mu }^{C}})}}\frac{h}{R} + O{{\left( {\frac{h}{R}} \right)}^{2}}$

Для второго из указанных вариантов эффективные собственные деформации в бесконечно тонком слое согласно (2.5) имеют вид

(4.5)
$\varepsilon _{{\theta \theta }}^{{PD}} = {{\varepsilon }^{0}},\quad \varepsilon _{{rr}}^{{PD}} = {{\varepsilon }^{0}}h{\text{/}}2$

Теперь в случае изотропных фаз с точностью до линейного члена разложения по параметру $h{\text{/}}R$ получим

(4.6)
$\frac{{\varepsilon _{{}}^{A}}}{{\varepsilon _{{}}^{0}}} = \frac{{3{{K}^{A}}}}{{3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}}}} + \frac{{48{{\mu }^{B}}({{\mu }^{B}} - {{\mu }^{C}})({{K}^{A}} - {{K}^{C}})}}{{{{{(3{{K}^{A}} + 4{{\mu }^{B}})}}^{2}}({{\lambda }^{C}} + 2{{\mu }^{C}})}}\frac{h}{R} + O{{\left( {\frac{h}{R}} \right)}^{2}}$

Сравним полученные решения с решениями задач о шаровом включении при наличии промежуточного слоя конечной толщины. Для этого вновь воспользуемся формулами (4.1), в которых положим $k = A,B,C$, $C_{2}^{A} = 0$, где индекс C соответствует промежуточному слою, толщину которого положим равной h. Граничные условия полного контакта имеют по-прежнему вид (3.5). Решение системы (3.5) с учетом выражений для напряжений и смещений (4.1) дает значения констант $C_{1}^{A}$, $C_{2}^{B}$, $C_{1}^{C}$, $C_{2}^{C}$, и следовательно дает решение задачи. Вычисленные таким образом отношения полных деформаций к собственным деформациям включения для изотропных фаз с точностью до одного члена разложения по параметру $h{\text{/}}R$ совпадают с результатами (4.4) и (4.6) для отсутствия и наличия собственных деформаций в промежуточном слое, соответственно.

Следует отметить связь полученных результатов с результатами [17, 18]. Так в работе [17] получено решение для “лукообразных” структур – шарового включения, окруженного конечным числом концентрических сферических слоев конечной толщины при наличии собственных деформаций во всех слоях. Полученные выше решения соответствуют случаю единственного слоя, толщина которого устремлена к нулю. Однако в указанной работе подобный проделанному в настоящей работе предельный переход осуществлен не был. В работе [18] результаты [17] были обобщены на случай наличия традиционной поверхностной упругости (без собственных поверхностных деформаций) между слоями. При такой постановке возникает естественный вопрос о выборе отсчетной конфигурации для промежуточного слоя. Этот вопрос обсуждался в работах авторов [19, 20], где в постановке традиционной поверхностной упругости была решена задача о произвольных (не осесимметричных) собственных деформациях шарового включения и поверхностного слоя.

Заключение. В рамках предложенной ранее авторами модели обобщенной поверхностной упругости сформулированы граничные условия на границе раздела материалов. Рассмотрены задачи о сферически симметричном деформировании бесконечного тела с шарообразным включением при наличии внешнего поля и собственных деформаций во включении и промежуточном слое. Сравнение полученных решений с решениями для поверхностного слоя малой, но конечной толщины дает совпадения главных членов разложения по отношению толщины поверхностного слоя к радиусу включения, в то время как для решений, полученных в приближении традиционной теории поверхностной упругости, подобное совпадение отсутствует.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН I.16.

Список литературы

  1. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов // ДАН. 2002. Т. 385. № 4. С. 494–496.

  2. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Известия РАН. МТТ. 2005. № 4. С. 57–74.

  3. Odegard G.M. Equivalent-continuum modeling of nanostructured materials. In: Handbook of Theoretical and Computational Nanotechnology / M. Rieth and W. Schommers, Eds. American Sci. Publ., 2006.

  4. Shuttleworth R. The surface tension of solids // Proc. Phys. Soc. 1950. V. A63. № 5. P. 444–457.

  5. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. Anal. 1975. V. 57. № 4. P. 291–323; 1975. V. 59. № 4. P. 389–390.

  6. Murdoch A.I. Some fundamental aspects of surface modeling // J. Elasticity. 2005. V. 80. P. 33–52.

  7. Подстригач Я.С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наук. думка, 1985. 200 с.

  8. Ibach H. The role of surface stress in reconstruction, epitaxial growth and stabilization of mesoscopic structures // Surf. Sci. Rep. 1997. V. 29. № 5–6. P. 195–263.

  9. Ustinov K.B., Goldstein R.V., Gorodtsov V.A. On the Modeling of Surface and Interface Elastic Effects in Case of Eigenstrains. Models, Simulations and Applications. Series: Advanced Structured Materials / Altenbach H., Morozov N.F., Eds. 2013. XV. 30. P. 167–180.

  10. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Устинов К.Б. О построении теории поверхностной упругости для плоской границы // Физ. мезомех. 2013. Т. 16. № 4. С. 75–83.

  11. Gibbs J.W. The equilibrium of heterogeneous substances. In the collected works of  J.W. Gibbs, New York: Longmans, Grenn and Co., 1928. P. 108–248.

  12. Hashin Z. Thermoelastic properties of particulate composites with imperfect interface // J. Mech. Phys. Solids. 1991. V. 39. № 6. P. 745–762.

  13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

  14. Cammarata R.C. Surface and interface stress effects in thin films // Progr. Surf. Sci. 1994. V. 46. № 1. P. 1–38.

  15. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P., Karihaloo B.L. Eshelby formalism for nanoinhomogeneities // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 2005. V. 461. № 2062. P. 3335–3353.

  16. Duan H.L., Wang J., Karihaloo B.L. Theory of elasticity at the nanoscale // Adv. in Appl. Mech. 2008. V. 42. P. 1–68.

  17. Herve E., Zaoui A. n-Layered inclusion-based micromechanical modeling // Int. J. Eng. Sci. 1993. V. 31. № 1. P. 1–10.

  18. Yi X., Duan H.L., Karihaloo B.L., Wang J. Eshelby formalism for multi-shell nano-inhomogeneities // Arch. Mech. 2007. V. 59. № 3. P. 259–281.

  19. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Устинов К.Б. Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице // Физ. Мезомех. 2010. Т. 13. № 5. С. 127–138.

  20. Устинов К.Б. О влиянии поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(5). С. 2541–2542.

Дополнительные материалы отсутствуют.