Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 2, стр. 101-110
КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛАСТИНКИ С НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ СТРИНГЕРОМ
О. М. Джохадзе a, С. С. Харибегашвили a, Н. Н. Шавлакадзе a, *, **
a Тбилисский государственный университет, математический институт им. А. Размадзе
Тбилиси, Грузия
* E-mail: nusha@rmi.ge
** E-mail: nusha1961@yahoo.com
Поступила в редакцию 10.06.2017
После доработки 06.02.2018
Принята к публикации 06.02.2018
Аннотация
Рассматривается задача определения механического поля в однородной полуплоскости, подкрепленной конечным однородным стрингером, материал которого подчиняется нелинейному закону Гука. Поставленная задача редуцируется к нелинейному сингулярному интегродифференциальному уравнению. Используя принцип неподвижной точки Шаудера доказывается существование решения этого уравнения. При помощи метода малого параметра получается система рекуррентных линейных сингулярных интегральных уравнений первого рода.
Введение. В работах [1–4] были получены точные и приближенные решения статических и динамических контактных задач для разных областей, усиленных упругими тонкими накладками как постоянной, так и переменной жесткости, изучено поведение контактных напряжений в концах линии контакта в зависимости от закона изменения геометрических и физических параметров задачи. Библиография различных контактных задач приводится в монографии [1], где рассматриваются плоские контактные задачи о передаче нагрузки от полубесконечного или конечного стрингера (включения) к упругой полуплоскости или плоскости. Задачи сведены к интегродифференциальному уравнению Прандтля, получены различные аналитические методы его решения. В [4] расматривается контактная задача для анизотропной полуплоскости с упрочняющимися накладками конечной длины, она сводится к решению нелинейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения при определенных граничных условиях. Контактные задачи для изотропной и ортотропной кусочно-однородной плоскости, а также для клиновидной анизотропной пластины с полубесконечной и конечной накладкой были решены в [5–8]. При нашей постановке задачи рассматривается упругая полубесконечная пластинка, которая на конечном отрезке своей границы усилена стрингером из нелинейно-упругого материала общего вида. Доказывается существование и единственность решения полученного нелинейного интегродифференциального уравнения. Для конкретного случая “нелинейности” получено условие относительно малого параметра, при выполнении которого решение полученной системы рекуррентных линейных уравнений представляется в виде сходящегося ряда по степеням этого параметра.
1. Постановка задачи и ее редукция к нелинейному сингулярному интегродифференциальному уравнению (НСИДУ). Пусть линейно-упругая полубесконечная пластинка с модулем упругости ${{E}_{2}}$ и коэффициентом Пуассона ${{{\nu }}_{2}}$ на конечном отрезке [–1, 1] оси $Ox$ усилена нелинейно-упругим стрингером в виде накладки конечной длины и достаточно малой толщины ${{h}_{1}}$, модулем упругости ${{E}_{1}}$ и коэффициентом Пуассона ${{{\nu }}_{1}}$, загруженной тангенциальной силой интенсивности ${{{\tau }}_{0}}(x)$. Пусть далее, к одному из концов стрингера приложена сосредоточенная горизонтальная сила $P$ (фиг. 1).
В условиях плоского напряженного состояния требуется определить контактные напряжения, действующие на отрезке соединения стрингера с пластинкой.
Материал стрингера удовлетворяет нелинейному закону Гука [1, 4]
(1.1)
${\varepsilon }_{x}^{{(1)}}(x) = \frac{{d{{u}_{1}}(x)}}{{dx}} = \frac{1}{E}g({\sigma }_{x}^{{(1)}}(x))$Из условия равновесия любой конечной части стрингера имеем
(1.2)
${\sigma }_{x}^{{(1)}}(x) = \frac{1}{{{{S}_{0}}}}\left[ {P - d\int\limits_{ - 1}^x {{\tau }(t)dt - \int\limits_{ - 1}^x {{{{\tau }}_{0}}(t)} } dt} \right]$Основываясь на равенства (1.1) и (1.2), деформацию точек стрингера можно выразить в виде
(1.3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon }_{x}^{{(1)}} = \frac{1}{E}g({\varphi }(x)),\quad }&{\left| x \right| < 1} \end{array}$Условие равновесия стрингера имеет вид
На основе известных результатов (см., например, [9]), деформация граничных точек пластинки по оси $Ox$, вызванной распределенными по интервалу (–1, 1) тангенциальными напряжениями интенсивности ${\tau }(x)$, представляется в виде
(1.5)
${\varepsilon }_{x}^{{(2)}}(x): = \frac{{d{{u}_{2}}(x,0)}}{{dx}} = - \frac{2}{{{\pi }{{E}_{2}}}}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{\tau }(t)dt}}{{t - x}}} \begin{array}{*{20}{c}} {,\quad }&{\left| x \right| < 1} \end{array}$На основании условия контакта
(1.6)
${\varepsilon }_{x}^{{(1)}}(x) = {\varepsilon }_{x}^{{(2)}}(x),\quad \left| x \right| \leqslant 1$(1.7)
$ - \frac{2}{{{\pi }{{E}_{2}}}}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{\tau }(t)dt}}{{t - x}}} = \frac{1}{E}g({\varphi }(x)),\quad \left| x \right| < 1$В обозначениях
(1.8)
$g({\varphi }(x)) - \frac{\lambda }{{\pi }}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{\varphi '}(t)dt}}{{t - x}}} = f(x),\quad \left| x \right| < 1$(1.9)
${\varphi }( - 1) = {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{{S}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{S}_{0}}}},\quad {\varphi }(1) = 0$Здесь интегралы в (1.8) понимаются в смысле главного значения по Коши.
Таким образом, поставленная гранично-контактная задача для упругой изотропной полубесконечной пластинки, усиленной на своей границе нелинейно-упругим стрингером конечной длины, эквивалентно сведена к решению нелинейного сингулярного интегродифференциального уравнения (1.8) при граничных условиях (1.9). Решение задачи (1.8), (1.9) ищется в классе непрерывных функций в смысле Гельдера $(H)$ на сегменте [–1,1] , производная которых принадлежит классу $H{\text{*}}$ [9, 10]. Относительно $f(x)$ будем предполагать, что она также принадлежит классу $H{\text{*}}$ на сегменте [–1,1].
2. Существование решения задачи (1.8), (1.9). Нелинейное сингулярное интегродифференциальное уравнение (1.8) при граничных условиях (1.9) преобразуем теперь к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению. С этой целью воспользовавшись известной формулой обращения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в классе функций, неограниченных на обеих концах сегмента [10, 11], получим
(2.1)
${\varphi '}(x) = - \frac{1}{{{\pi \lambda }\sqrt {1 - {{x}^{2}}} }}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} g({\varphi }(t))dt}}{{t - x}} + \frac{1}{{{\pi \lambda }\sqrt {1 - {{x}^{2}}} }}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} f(t)dt}}{{t - x}}} + \frac{{{{C}_{0}}}}{{\sqrt {1 - {{x}^{2}}} }}} $Интегрируя обе части уравнения (10) будем иметь
(2.2)
$\begin{gathered} {\varphi }(x) = - \frac{1}{{2{\pi \lambda }}}\int\limits_{ - 1}^1 {\ln \frac{{1 - xt + \sqrt {(1 - {{t}^{2}})(1 - {{x}^{2}})} }}{{1 - xt - \sqrt {(1 - {{t}^{2}})(1 - {{x}^{2}})} }}g({\varphi }(t))dt + } \\ + \;\frac{1}{{2{\pi \lambda }}}\int\limits_{ - 1}^1 {\ln \frac{{1 - tx + \sqrt {(1 - {{t}^{2}})(1 - {{x}^{2}})} }}{{1 - tx - \sqrt {(1 - {{t}^{2}})(1 - {{x}^{2}})} }}} f(t)dt + {{C}_{0}}{\text{arcsin}}\,x + C \\ \end{gathered} $Здесь постоянные ${{C}_{0}}$ и $C$ определяются из граничных условии (1.9):
Замена переменных $x = \cos {\pi }\,s,t = \cos {\pi }\,u,0 \leqslant s,u \leqslant 1$, в уравнении (2.2), после элементарных преобразованный, дает
Пусть,
(2.5)
$\begin{gathered} \left| {g({\xi })} \right| \leqslant {{M}_{1}}{{\left| {\xi } \right|}^{{\alpha }}} + {{M}_{2}},\quad \begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha } \geqslant 0,}&{\quad {\xi } \in R} \end{array}, \\ \begin{array}{*{20}{c}} {{{M}_{i}} = {\text{const}} \geqslant 0,}&{\quad i = 1,2} \end{array} \\ \end{gathered} $Вводя обозначение $Q(s,u) = \left| {\frac{{\sin ({{\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2})(s + u)}}{{\sin ({{\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2})(s - u)}}} \right|,s,u \in [0,1]$ выражение $A{\psi }$ из формулы (2.4) оценивается следующим образом:
(2.6)
$\begin{gathered} \left| {A{\psi }} \right| \leqslant \frac{1}{{\lambda }}\int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,u)} \right|} \left| {g({\psi }(u)} \right|du + \frac{1}{{\lambda }}\int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,u)} \right|} \left| {{{f}_{1}}(u)} \right|du + \frac{P}{{{{S}_{0}}}} \leqslant \\ \leqslant \;\frac{1}{{\lambda }}\left\{ {{{M}_{1}}\int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,u)} \right|{{{\left| {{\psi }(u)} \right|}}^{{\alpha }}}du + {{M}_{2}}\int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,u)} \right|du} } } \right\} + \\ + \;\frac{1}{{\lambda }}\int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,u)} \right|} \left| {{{f}_{1}}(u)} \right|du + \frac{P}{{{{S}_{0}}}} \leqslant \\ \leqslant \frac{1}{{\lambda }}\left\{ {({{M}_{1}}\left\| {\psi } \right\|_{C}^{{\alpha }} + {{M}_{2}} + {{{\left\| {{{f}_{1}}} \right\|}}_{C}})\int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,u)} \right|du} } \right\} + \frac{P}{{{{S}_{0}}}} \\ \end{gathered} $Теперь оценим следующий интеграл $\int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,u)} \right|} ds$. С этой целью рассмотрим функцию $q(x) = {{x}^{{\varepsilon }}}\ln x,0 < x \leqslant 1,{\varepsilon } > 0$, находим ее критическую точку ${{x}_{0}} = {{e}^{{ - {{\text{1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{1}} {\varepsilon }}} \right. \kern-0em} {\varepsilon }}}}}$ и учитывая, что $q({{e}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\varepsilon }}} \right. \kern-0em} {\varepsilon }}}}}) = - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{\varepsilon }e}}} \right. \kern-0em} {{\varepsilon }e}}$, заключаем:
(2.7)
$\mathop {\sup }\limits_{0 < x \leqslant 1} \left| {q(x)} \right| = \frac{1}{{e{\varepsilon }}} = :{{M}_{{\varepsilon }}},\quad 0 < {\varepsilon } < 1$Так как
(2.8)
$\sin x \geqslant \left\{ \begin{gathered} \frac{2}{{\pi }}x,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{0 \leqslant x \leqslant \frac{{\pi }}{2}} \end{array} \hfill \\ \frac{2}{{\pi }}({\pi } - x),\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\frac{{\pi }}{2} \leqslant x \leqslant {\pi }} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$(2.9)
${{\left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t + s)} \right|}^{{ - {\varepsilon }}}} \leqslant \left\{ \begin{gathered} {{(t + s)}^{{ - {\varepsilon }}}},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{0 \leqslant s \leqslant 1 - t} \end{array} \hfill \\ {{(2 - (t + s))}^{{ - {\varepsilon }}}},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{s \geqslant 1 - t} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$(2.10)
${{\left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t - s)} \right|}^{{ - {\varepsilon }}}} \leqslant {{\left| {t - s} \right|}^{{ - {\varepsilon }}}},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{0 \leqslant s,t \leqslant 1} \end{array}$Из (2.7) и (2.9) следует
(2.11)
$\begin{gathered} \int\limits_0^1 {\left| {\ln \left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t + s)} \right|} \right|} ds \leqslant \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{{\left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t + s)} \right|}}^{{\varepsilon }}}}}} \left| {{{{\left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t + s)} \right|}}^{{\varepsilon }}}\ln \left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t + s)} \right|} \right|ds \leqslant \\ \leqslant \;{{M}_{{\varepsilon }}}\int\limits_0^1 {\frac{{ds}}{{{{{\left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t + s)} \right|}}^{{\varepsilon }}}}}} \leqslant \frac{{{{M}_{{\varepsilon }}}}}{{1 - {\varepsilon }}}[2 - {{t}^{{1 - {\varepsilon }}}} - {{(1 - t)}^{{1 - {\varepsilon }}}}] \\ \end{gathered} $Из (2.7) и (2.10) имеем
(2.12)
$\begin{gathered} \int\limits_0^1 {\left| {\ln \left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t - s)} \right|} \right|} ds \leqslant \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{{\left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t - s)} \right|}}^{{\varepsilon }}}}}} \left| {{{{\left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t - s)} \right|}}^{{\varepsilon }}}\ln \left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(t - s)} \right|} \right|ds \leqslant \\ \leqslant \;{{M}_{{\varepsilon }}}\int\limits_0^1 {\frac{{ds}}{{{{{\left| {t - s} \right|}}^{{\varepsilon }}}}}} = \frac{{{{M}_{{\varepsilon }}}}}{{1 - {\varepsilon }}}[{{t}^{{1 - {\varepsilon }}}} + {{(1 - t)}^{{1 - {\varepsilon }}}}] \\ \end{gathered} $Но так как, при ${\varepsilon } = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ величина ${\varepsilon }(1 - {\varepsilon })$ достигает максимума, поэтому учитывая (2.11) и (2.12), получим
(2.13)
$\begin{gathered} \int\limits_0^1 {\left| {\ln Q(s,t)} \right|} ds \leqslant \int\limits_0^1 {\left| {\ln \left| {{\text{sin}}\frac{{\pi }}{2}(s + t)} \right|} \right|} ds + \int\limits_0^1 {\left| {\ln \left| {\sin \frac{{\pi }}{2}(s - t)} \right|} \right|} ds \leqslant \frac{{{{M}_{{\varepsilon }}}}}{{1 - {\varepsilon }}}[2 - {{t}^{{1 - {\varepsilon }}}} - {{(1 - t)}^{{1 - {\varepsilon }}}}] + \\ + \frac{{{{M}_{{\varepsilon }}}}}{{1 - {\varepsilon }}}[{{t}^{{1 - {\varepsilon }}}} + {{(1 - t)}^{{1 - {\varepsilon }}}}] = \frac{{2{{M}_{{\varepsilon }}}}}{{1 - {\varepsilon }}} \\ \end{gathered} $Поэтому в силу (2.7) из (2.13) будем иметь
Учитывая (2.13), из (2.6) получим
(2.15)
${{\left\| {A{\psi }} \right\|}_{C}} \leqslant \frac{{8{{M}_{1}}}}{{e{\lambda }}}\left\| {\psi } \right\|_{C}^{{\alpha }} + \frac{8}{{e{\lambda }}}({{M}_{2}} + {{\left\| {{{f}_{1}}} \right\|}_{C}}) + \frac{P}{{{{S}_{0}}}}$Рассмотрим неравенство
относительно $r \geqslant 0$, где $a,b = {\text{const}} > 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{\alpha } = {\text{const}} \geqslant 0} \end{array}.$1) если $0 \leqslant {\alpha } < 1$, то для любых $a$ и $b$ всегда существует $r > 0$, удовлетворяющий неравенству (2.16);
2) если ${\alpha } = 1$, то достаточно потребовать, чтобы $b < 1,$ тогда неравенство (2.16) имеет решение $r \geqslant \frac{a}{{1 - b}}$;
3) если ${\alpha } > 1$ и имеет место неравенство $a \leqslant \frac{{{\alpha } - 1}}{{\alpha }}{{({\alpha }b)}^{{ - {{{({\alpha } - 1)}}^{{ - 1}}}}}}$, то тогда существует хотя бы одно положительное решение неравенства (2.16).
Опираясь на эти заключения, связанные с неравенством (2.16), в котором
а) для достаточно большого фиксированного $r$ в случае $0 \leqslant {\alpha } < 1$;
б) для произвольного $r \geqslant {a \mathord{\left/ {\vphantom {a {(1 - b)}}} \right. \kern-0em} {(1 - b)}}$ в случае ${\alpha } = 1$ и $b < 1,$ то есть
в) при ${\alpha } > 1$ в случае
Поскольку оператор $A:C([0,1]) \to C([0,1])$ является компактным, то по принципу неподвижной точки Шаудера [13] интегральное уравнение (2.3) имеет хотя бы одно непрерывное решение, которое, опираясь на результаты, изложенные в работе [10, стр. 175], будет принадлежать также классу $H.$
3. Единственность решения поставленной задачи. Теперь покажем, что если задача (1.1)–(1.6) имеет решение, то оно единственное.
Действительно, предположим, что задача допускает два решения ${{u}^{{(1)}}}(x,y)$ и ${{u}^{{(2)}}}$(x, y), граничные значения которых на границе пластинки $u_{0}^{{(j)}}(x) = {{u}^{{(j)}}}(x,0)$, с учетом условия контакта (1.6), удовлетворяют следующим соотношениям
(3.1)
$E\frac{{du(x,0)}}{{dx}} = - \frac{d}{{{{S}_{0}}}}\left( {\int\limits_{ - 1}^x {{{{\tau }}^{0}}(t)dt} } \right)K(x)$Как известно, согласно формуле Остроградского–Грина имеет место следующее соотношение [9]
(3.2)
$\int\limits_L {({{X}_{n}}u + {{Y}_{n}}v)dl = \iint\limits_S {({\lambda }{{{\theta }}^{2}} + 2{\mu }(e_{{xx}}^{2} + e_{{yy}}^{2} + e_{{zz}}^{2} + 2e_{{xy}}^{2}))}} dxdy$Учитывая (3.1), интеграл в левой части формулы (3.2) имеет вид
(3.3)
$\begin{gathered} \int\limits_L {({{X}_{n}}u + {{Y}_{n}}v)dl = } - \int\limits_{ - 1}^1 {{{{\tau }}^{0}}(t){{u}_{0}}(t)dt = - \int\limits_{ - 1}^1 {{{u}_{0}}(t)d\left( {\int\limits_{ - 1}^t {{{{\tau }}^{0}}(\eta )d\eta } } \right)} } = \\ - \;[{{u}_{0}}(t)\int\limits_{ - 1}^t {{{{\tau }}^{0}}(\eta )d\eta ]_{{ - 1}}^{1}} + \int\limits_{ - 1}^1 {u_{0}^{'}(t)\left( {\int\limits_{ - 1}^t {{{{\tau }}^{0}}(\eta )d\eta } } \right)} dt = - \frac{{{{S}_{0}}E}}{d}\int\limits_{ - 1}^1 {u_{0}^{{'2}}(t)\frac{{dt}}{{K(t)}}} \\ {{u}_{0}}(x) = u(x,0) \\ \end{gathered} $Так как подинтегральная функция правой части формулы (3.2) представляет собой положительно определенную квадратичную форму, имея в виду представление (3.3), можно заключить, что если $g' > 0$, оба решения ${{u}^{{(1)}}}(x,y)$ и ${{u}^{{(2)}}}(x,y)$ дают одинаковые компоненты деформации и одинаковые компоненты напряжения. Это означает, что задача (1.1)–(1.6) имеет единственное решение.
4. Построение решения при помощи метода малого параметра. Уравнение (1.8) перепишем в виде
(4.1)
$\begin{gathered} {{{\lambda }}_{0}}g({\varphi }(x)) - \frac{1}{{\pi }}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{\varphi '}(t)dt}}{{t - x}}} = {{f}_{0}}(x),\quad {\text{|}}x{\text{|}} < 1 \\ {{{\lambda }}_{0}} = \frac{1}{{\lambda }},\quad {{f}_{0}}(x) = \frac{1}{{{\pi }{{S}_{0}}}}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{{{\tau }}_{0}}(t)dt}}{{t - x}}} \\ \end{gathered} $Когда ${{\lambda }_{0}}$ является малым параметром, то есть материал стрингера является жестким, представим решение уравнения (4.1) в виде ряда по степеням малого параметра ${{\lambda }_{0}}$:
(4.2)
${\varphi }(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\lambda }_{0}^{k}{{{\varphi }}_{k}}(x)} = {{{\varphi }}_{0}}(x) + {{{\lambda }}_{0}}{{{\varphi }}_{1}}(x) + {\lambda }_{0}^{2}{{{\varphi }}_{2}}(x) + {\lambda }_{0}^{3}{{{\varphi }}_{3}}(x) + O({\lambda }_{0}^{4}).$В предположении, что функция $g$ является аналитической функцией, разлагающаяся в ряд Маклорена: $g(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{g}^{{(k)}}}(0)}}{{k!}}} {{x}^{k}}$ на всей действительной оси, будем иметь
(4.3)
$g({\varphi }(x)) = g(0) + \frac{{g'(0)}}{1}{\varphi }(x) + \frac{{g''(0)}}{{1 \cdot 2}}{{{\varphi }}^{2}}(x) + \frac{{g'''(0)}}{{1 \cdot 2 \cdot 3}}{{{\varphi }}^{3}}(x) + \cdot \cdot \cdot $.Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.1), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ${{{\lambda }}_{0}}$, получим
(4.5)
${{{\varphi }}_{0}}( - 1) = {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{{S}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{S}_{0}}}},\quad {{{\varphi }}_{0}}(1) = 0$(4.6)
${{{\varphi }}_{k}}( - 1) = 0,\quad {{{\varphi }}_{k}}(1) = \begin{array}{*{20}{c}} {0,}&{\quad k \geqslant 1} \end{array}$Таким образом, решение уравнения (1.8) при условии (1.9) сводится к решению системы рекуррентных линейных сингулярных интегральных уравнений (4.4) первого рода при условиях (4.5) и (4.6). Решения каждого из этих уравнений с учетом (4.5), (4.6) представляются в явном виде с применением формулы обращения интеграла типа Коши [10, 11] в классе функций, неограниченных на обеих концах линии интегрирования.
В качестве примера рассмотрим случай $g(u) = {{u}^{2}}.$ Тогда система рекуррентных уравнений (4.4) принимает вид:
откуда в силу (2.2) и (4.5):(4.7)
$L{{{\varphi }}_{k}}(x) = \sum\limits_{i + j = k - 1}^{} {} {{{\varphi }}_{i}}(x){{{\varphi }}_{j}}(x),\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\left| x \right| < 1} \end{array}...$Из (4.7) следует, что ${{\left\| {{{{\varphi }}_{n}}} \right\|}_{C}} \leqslant {{4}^{{n - 1}}}{\text{||}}{{L}^{{ - 1}}}{\text{||}}_{{H{\text{*}} \to C}}^{{2n + 1}}\left\| {{{f}_{0}}} \right\|_{{H{\text{*}}}}^{{n + 1}},$ и ряд (4.2) сходится при условии
(4.8)
${{{\lambda }}_{0}} \leqslant \frac{{\delta }}{{4{\text{||}}{{L}^{{ - 1}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}\left\| {{{f}_{0}}} \right\|}},\quad 0 < {\delta } = {\text{const}} < 1$Заключение. Для нелинейных дифференциальных уравнений нам известна общая теорема Пуанкаре [14] о разложении решения по степеням малого параметра. Для нелинейного интегрального уравнения вида (4.1) при конкретных нелинейных функциях $g$ из достаточно широкого класса функций можно получить условие вида (4.8) относительно малого параметра ${{{\lambda }}_{0}}$, при котором ряд (4.2) сходится. Соответственно, решение уравнении (4.1) при условиях (1.9) можно построить в виде ряда (4.2).
Работа выполнена при финансовой поддержке национального научного фонда им. Ш. Руставели (грант № FR/86/5-109/14).
Список литературы
Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.
Банцури Р.Д. Контактная задача для анизотропного клина с упругим креплением // Докл. АН СССР. 1975. Т. 222. № 3. С. 568–571.
Нуллер Б.М. О деформации упругой клиновидной пластинки, подкрепленной стержнем переменной жесткости и об одном методе решения смешанных задач // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 2. С. 306–316.
Саркисян В.С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: ЕГУ, 1983. 534 с.
Shavlakadze N. The contact problems of the mathematical theory of elasticity for plates with an elastic inclusion // Acta Appl. Math. 2007. V. 99. № 1. P. 29–51.
Банцури Р.Д., Шавлакадзе Н.Н. Контактная задача для кусочно-однородной плоскости с конечным включением // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 1. С. 133–139.
Bantsuri R., Shavlakadze N. The boundary-contact problems electroelasticity for piezo-electric plate with inclusion and half space with cut. (Russian) Prikl. Mat. i Mech. 78, 2014. № 4. P. 583–594. Eng. Transl // J. Appl. Math. Mech. 78, 2014. № 4. P. 93–97.
Shavlakadze N. The effective solution of two–dimensional integro-differential equations and their applications in the theory of viscoelasticity // J. of Appl. Mathem. and Mechs. ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. 1–10, 2015. https://doi.org/10.1002/zamm.201400091
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Изд. физ. мат. лит. 1963. 487 с.
Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука. 1975.
Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.
Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнении. Изд. технико-теорет. лит. 1950. 436 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела