Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 1, стр. 63-71

Введение. Задача Кирша, как и многие другие плоские задачи классической теории упругости, играют важную роль в развитии механики деформируемого твердого тела (МДТТ) в научном и прикладном аспектах [1]. Это связано с возможностью применения решений этих задач при оценке напряженно-деформированного состояния в деталях или конструкциях, с их использованием в целях верификации при разработке других методов решения задач теории упругости, например, численных, и в некоторых других случаях. В качестве примера приведем факт применения классического решения задачи Кирша при оценке остаточных напряжений в сварных конструкциях по измеряемому поперечному перемещению лицевой поверхности конструкции в перпендикулярном к ней направлении [2].

Вместе с тем обратим внимание на то, что методы решения задач о плоском напряженном состоянии, рассматриваемых в классической теории упругости в рамках обобщенного плоского напряженного состояния, допускают получение только приближенных аналитических решений в силу неполного удовлетворения условиям совместности Бельтрами [3, 4]. Обратим также внимание на то обстоятельство, что при реализации усреднения по Л. Файлону перемещение поверхности деформируемой пластинки в перпендикулярном к ней направлении равно нулю [5]. Развиваемый в последнее время подход к решению задач о плоском напряженном состоянии в пространственной постановке [6, 7] позволяет устранять эти недостатки и получать точные аналитические решения задач этого класса. В работе [8] приведено точное аналитическое решение задачи Кирша при учете поперечного перемещения. При анализе этого решения обнаружено, что в силу неоднородности поля поперечного перемещения появляются касательные компоненты тензора деформаций, связанные с третьей координатой; при этом первую и вторую координатные оси будем считать расположенными в средней плоскости пластинки.

В настоящее время в МДТТ актуальны проблемы, связанные с учетом неоднородности прочностных и деформационных характеристик деформируемых материалов. Указанная неоднородность может быть следствием неоднородных температурных полей или напряженно-деформированных состояний, возникать вследствие технологических особенностей синтеза конструкционных материалов и в ряде других случаев. И в этом случае значительную роль играет наличие точных аналитических решений соответствующих задач теории упругости неоднородных тел. В силу этого распространение рассматриваемых в работе [7] подходов на задачи о плоском напряженном состоянии теории упругости неоднородных тел имеет большое значение.

Рассматриваемую здесь неоднородность материала будем считать зависящей только от третьей координаты. Такого рода неоднородность в тонких пластинках может возникать после операции упрочнения их лицевых поверхностей, в процессе остывания пластинок после литья или термической обработки и в некоторых других случаях. Нетрудно заметить, что основные уравнения задач теории упругости, рассматриваемых в рамках обобщенного плоского напряженного состояния, не позволяют учесть неоднородность материала по толщине пластинки; это возможно только в рамках пространственного подхода к задачам о плоском напряженном состоянии, и именно этот подход будет далее использован.

1. Основные соотношения: пространственная постановка задач о плоском напряженном состоянии и введение комплексных потенциалов. Допустим, что имеется плоскопараллельная пластинка толщиной $2h$, изготовленная из неоднородного упругого материала. Введем систему прямоугольных декартовых координат $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, полагая координатную плоскость $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ совпадающей со средней плоскостью пластинки, а координатную ось $O{{x}_{3}}$ перпендикулярной к ней. Наряду с прямоугольной системой введем также цилиндрическую полярную систему координат $(r,\vartheta ,{{x}_{3}})$, полагая координатную плоскость $Or\vartheta $ совпадающей со средней плоскостью пластинки, а координатную ось $O{{x}_{3}}$ перпендикулярной к ней. Заметим, что при решении задачи Кирша должны быть задействованы обе системы координат.

Исследование задач о плоском напряженном состоянии в рамках обобщенного плоского напряженного состояния базируется, в первую очередь, на равенстве нулю, в силу нечетной зависимости от координаты ${{x}_{3}}$, среднего значения компоненты перемещения ${{u}_{3}}$, совместно с условием ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ [5].

Помимо того, что применение обобщенного плоского напряженного состояния не позволяет получать точные аналитические решения, такой подход игнорирует наличие перемещений лицевых поверхностей пластинок в перпендикулярном к средней плоскости направлении [5].

Предложенный в работах [6, 7] пространственный подход к задачам о плоском напряженном состоянии, базирующийся на использовании первого члена разложения компоненты перемещения

позволяет устранить указанные недостатки. При этом, исходя из сохранения плоскостности средней плоскости пластинки в процессе деформирования, в соответствии с полуобратным методом Сен-Венана, имеем дополнительное граничное условие:

При таком подходе исследование задачи производится при помощи полной системы уравнений классической теории упругости, что, по нашему мнению, и оправдывает ее название как задачи о плоском напряженном состоянии в пространственной постановке.

Будем считать, что неоднородность материала определяется зависимостью модуля Юнга E от третьей координаты при постоянном значении коэффициента Пуассона $\text{v}$:

Оставаясь в рамках плоского напряженного состояния, предполагаем изменение упругих характеристик материала симметричным относительно средней плоскости пластинки. Таким образом, зависимость параметра Ламе ${\mu } = {\mu }({{x}_{3}})$ от третьей координаты, обеспечивающей это условие, будем считать заранее известной. Конкретная форма зависимости ${\mu } = {\mu }({{x}_{3}})$, обеспечивающая выполнение указанных условий, в достаточно общей форме имеет вид:

где ${{{\mu }}_{0}} > 0$, $0 \leqslant {\eta } \leqslant 1$, $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $ – числовые коэффициенты, которые могут изменяться в указанных областях значений. Предлагаемая форма зависимости модуля сдвига позволяет представить, например, изменение этой характеристики при остывании пластинки или при полимеризации материала – явлениях, как правило, наиболее интенсивно протекающих на лицевых поверхностях тонких пластинок. Другую форму зависимости модуля сдвига от третьей координаты следует использовать при наличии наклепа или в случае разупрочнения материала на лицевых поверхностях пластинки и в некоторой окрестности вблизи них – например, в виде:

Характер указанных изменений свойств материала в этих случаях регулируется выбором величин $k = 0,1,2,\; \ldots $ и $\left| {\eta } \right| \geqslant 0$.

Очевидно, что возможны и другие формы таких зависимостей, однако ставя перед собой цель получения точного аналитического решения задачи Кирша, выражение для модуля сдвига примем в упрощенной форме:

При пространственной постановке задачи о плоском напряженном состоянии перемещения в прямоугольной декартовой системе координат задаем в виде [6]:

Компоненты тензора деформаций ${{{\varepsilon }}_{{ij}}}$ представим при помощи соотношений Коши

а компоненты тензора напряжений ${{{\sigma }}_{{ij}}}$ – при помощи соотношений закона Гука где ${{{\delta }}_{{ij}}}$ – символ Кронекера.

Пространственная постановка задач о плоском напряженном состоянии альтернативна, поскольку возможна как при выполнении условия ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ по всему телу пластинки, так и при его нарушении. Последнее имеет место, например, при деформировании тонкой пластинки с вклеенной жесткой шайбой в условиях плоского напряженного состояния. Задача Кирша относится к первому типу, в силу чего условие ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ будем считать выполненным.

Используя соотношения (1.3), уравнения равновесия ${{{\sigma }}_{{ij,j}}} = 0$, при учете условия ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$, приводим к виду

Систему уравнений (1.4) нетрудно преобразовать

где $\nabla _{2}^{2} = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}$, ${{{\theta }}_{1}} = \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $F({{x}_{3}}) = \frac{1}{{1 - 2\text{v}}} + {{x}_{3}}\frac{1}{{\mu }}\frac{{d{\mu }}}{{d{{x}_{3}}}}$

Учитывая следующее из условия ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ соотношение

и зависимость (1.1), систему (1.5) приводим к виду:

Для определения напряженно-деформированного состояния в данном случае эффективно использование комплексных потенциалов. Для реализации такого подхода умножим второе из уравнений (1.7) на мнимую единицу и сложим с первым из них. При учете соотношений

где $z = {{x}_{1}} + i{{x}_{2}}$, $\bar {z} = {{x}_{1}} - i{{x}_{2}}$ – комплексные переменные, приходим к уравнению

Это уравнение, при обозначении $D = {{u}_{1}} + i{{u}_{2}}$ для комплексного перемещения, примет вид

Интегрируя его, имеем

где ${\alpha }(z)$ – некоторая аналитическая функция. В силу гармоничности функции ${{{\theta }}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ можно представить при помощи аналитической функции ${\beta }(z)$:

Тогда уравнение (1.8) примет вид

Прибавляя к нему комплексно сопряженное выражение, имеем

Отсюда, в силу равенства

имеем:

При учете соотношения (1.11) уравнение (1.10) примет вид

Заменив в этом соотношении ${\alpha }(z)$ на производную аналитической функции $\varphi {\text{'}}(z)$, после интегрирования находим комплексное перемещение

где ${{A}_{1}} = 2 - \text{v} - 2\text{v}k$, ${{A}_{2}} = 3 - 2\text{v} - 2\text{v}k$, ${{A}_{3}} = 1 - 2\text{v}k$. Здесь ${\psi }(z)$ – также некоторая аналитическая функция. Аналитические функции $\varphi (z)$ и ${\psi }(z)$ представляют собой, по общепринятой терминологии [9], комплексные потенциалы, применяемые при решении задач МДТТ.

Соотношение (1.12) в полярной системе координат $(r,\vartheta )$ примет вид

2. Выражение компонент тензоров деформаций и напряжений при помощи комплексных потенциалов. При наличии комплексного перемещения (1.12) компоненты тензора деформаций по отдельности или в виде некоторых удобных комбинаций могут быть представлены при помощи комплексных потенциалов, после чего компоненты тензора напряжений можно определить при помощи закона Гука.

В силу соотношений (1.9), (1.11), (1.6) и (1.3) соответственно имеем:

При помощи соотношения

и выражения (1.12) для комплексного перемещения, находим:

Поскольку

при учете соотношения (2.2) имеем:

Отсюда находим деформации ${{{\varepsilon }}_{{13}}},\;{{{\varepsilon }}_{{23}}}$:

В цилиндрической полярной системе координат $(r,\vartheta ,{{x}_{3}})$ имеем

Компоненты тензора напряжений также представим при помощи комплексных потенциалов в виде удобных комбинаций, используя которые нетрудно найти выражения отдельных компонент тензора напряжений. Используя в этих целях соотношения (1.1), (1.3), (2.1)–(2.6), находим:

Заметим, что если деформируемая пластинка содержит круговую область или круговой контур, удобно использовать приводимую ниже комбинацию, получаемую вычитанием соотношения (2.8) из соотношения (2.7):

3. Решение задачи об одноосном растяжении тонкой пластинки с центральным круглым отверстием, изготовленной из неоднородного по ее толщине материала. Полученные выше выражения для различных комбинаций компонент вектора перемещений и тензора напряжений используются в сочетаниях, определяемых постановкой и содержанием решаемых задач. При определении напряженно-деформированного состояния в бесконечной пластинке с круглым отверстием радиуса $R$ при одноосном растяжении вдоль координатной оси ${{x}_{1}}$ удобно использовать декартову систему координат при реализации граничных условий на бесконечности и полярную цилиндрическую – в окрестности контура круглого отверстия. Начала указанных систем координат расположим в центре отверстия.

Будем считать, что на бесконечности приложено растягивающее напряжение ${{{\sigma }}_{{11}}}$, распределенное симметрично относительно средней плоскости пластинки по закону

Заметим, что в силу принципа Сен-Венана это предположение не оказывает влияния на распределение напряжений на некотором удалении от места приложения растягивающей силы. Кроме того, на бесконечности будем считать справедливыми условия:

На контуре свободного кругового отверстия имеем граничное условие

Используемые для решения задачи комплексные потенциалы ${\Phi }(z) = \varphi {\text{'}}(z)$ и Ψ(z) = ${\psi '}(z)$ зададим в виде разложений:

Из соотношений (2.7)–(2.9) видно, что комплексные потенциалы ${\Phi }(z)$ и ${\Psi }(z)$ вполне позволяют определить компоненты тензора напряжений, однако для представления перемещений (1.12) или (1.13) необходимо иметь выражения для комплексных потенциалов $\varphi (z)$ и ${\psi }(z)$ [9]:

Реализуя граничные условия (3.1) и (3.2) при помощи соотношений (2.7) и (2.8), имеем

Принимая во внимание вид соотношений (2.1)–(2.3) и (2.7), считаем, следуя [9], что мнимая часть коэффициента ${{a}_{0}}$ равна нулю. Тогда получим первые коэффициенты разложений (3.4):

Остальные коэффициенты определяются при помощи граничного условия (3.3) путем приравнивая выражений при одинаковых значениях показателей экспоненциальной функции, производимого при помощи соотношения (2.10), в котором использованы представления (3.4):

В первую очередь обратим внимание на следующее обстоятельство. В комплексные потенциалы $\varphi (z)$ и ${\psi }(z)$, задаваемые соотношениями (3.5), коэффициенты ${{a}_{1}}$ и ${{b}_{1}}$ входят в качестве множителей при функции $\ln (z)$, в силу чего для обеспечения однозначности комплексных потенциалов в рассматриваемой задаче указанные коэффициенты должны быть равны нулю [9]. Действительно, коэффициенты при ${{e}^{{i\vartheta }}}$ в формуле (3.7) удовлетворяют соотношению

Дополняя его условием однозначности перемещений, следующим из соотношения (1.12):

находим, что коэффициенты

Приравнивая далее выражения при одинаковых показателях экспоненциальной функции ${{e}^{{im\vartheta }}}$ для $m = 0; - 1;2; - 2$, соответственно имеем:

Из этих соотношений, при учете выражений (3.6) и (3.8), последовательно находим:

Все остальные коэффициенты разложений (3.4) равны нулю.

Используя соотношения (3.6), (3.8), (3.9), разложения (3.5) представим в виде:

Компоненты тензора напряжений находим при помощи соотношений (2.7)–(2.9) с использованием выражений (3.10) и (3.11):

в которых вид функции $M({{x}_{3}})$ устанавливается соотношением (1.1).

Приведем также определяемые при помощи соотношений (1.13), (1.2) и (2.2) компоненты вектора перемещений:

Для однородной по толщине пластинки компоненты напряжений и перемещений определяются соотношениями (3.12) и (3.13), в которых коэффициент k = 0, а $M({{x}_{3}}) \equiv 1$.

Таким образом, полученное решение описывает напряженное состояние, реализуемое в задаче Кирша при заданной в виде соотношения (1.1) неоднородности. Для случая k = 0 приводимые выражения для компонент напряжений и вектора перемещений представляют собой решение задачи Кирша для однородного материала в пространственной постановке [8]. Выражения для компонент напряжений, получаемые при помощи классического решения задачи Кирша в рамках обобщенного плоского напряженного состояния, следуют из представленного решения (3.12) при задании коэффициента Пуассона $\text{v} = 0$.