Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 1, стр. 141-153
Исследование вынужденных поперечных колебаний упругого шарнирно-опертого стержня с учетом вращательного движения
К. Ш. Мкртчян *
Институт геофизики и инженерной сейсмологии им. А.Г. Назарова, НАН РА
Гюмри, Армения
* E-mail: karush.mkrtchyan.57@mail.ru
Поступила в редакцию 22.06.2017
После доработки 29.01.2018
Принята к публикации 06.02.2018
Аннотация
Исследуются вынужденные поперечные колебания упругого шарнирно-опертого стержня под действием нормальной сосредоточенной периодической во времени силы. Задача решается методом, предложенным в [1] с использованием комбинированных условий, включающих динамическое воздействие на стержень и вращательное движение относительно фронта волны изгиба. В рамках линейной теории тонких прямолинейных нерастяжимых стержней, при помощи принципа Гамильтона–Остроградского получены уравнение движения и система уравнений поперечных колебаний упругого стержня. Решение поставленной задачи строится в виде ряда собственных форм колебаний. Получены два типа вынужденных поперечных колебаний и новые резонансные частоты. Численные результаты расчетов приведены в виде таблиц, графиков; дан анализ полученных результатов.
1. Введение. Вынужденные поперечные колебания упругого шарнирно-опертого стержня под действием нормально сосредоточенной периодической во времени силы представляет практический и теоретический интерес для приложений, например для мостовых работ. Важным фактором при исследовании поперечных колебаний упругого стержня является учет вращательного движения, поскольку под его воздействием в стержне возникают новые упругие колебания и дополнительные силы, обусловленные упругостью стержня. Основные достижения в этой области изложены в нашей недавней работе [1], где исследуется вынужденное поперечное колебание упругого стержня, когда одному концу придано перемещение, а другой свободен. Для решения была использована элементарная теория стержня. Однако, уравнение поперечных колебаний (1) в [1] негиперболическое, задачи о распространении волн носят совершенно иной характер. Существуют возмущения, которые распространяются мгновенно. На этот результат нужно смотреть как на дефект уравнения (1) в [1], пригодного лишь для достаточно длинных волн [2, c. 208]. Если волны короткие, то кроме инерции поступательного движения, следует учитывать инерцию вращения, а также влияние на прогиб не только нормальных напряжений, но также и касательных напряжений от перерезывающих сил. Учитывая эти факты, можно получить уточненное уравнение динамического изгиба, которое является гиперболическим и не допускает мгновенного распространения импульсов.
Цель данного исследования – сформулировать гораздо более общую задачу о вынужденных поперечных колебаниях упругого стержня с шарнирно-опертыми концами, описываемых при помощи модели Тимошенко, в котором учитываются вращательные движения.
Основное внимание уделено результатам теоретических исследований, относящихся к этой задаче. Основная задача, как и в работе [1], решается путем разделения ее на две задачи, в каждой из которых рассматриваются вынужденные поперечные колебания упругого шарнирно-опертого стержня, обусловленные различными частями комбинированного воздействия, включающие динамическое воздействие на стержень и вращательное движение относительно фронта волны изгиба. Приведены новые, более точные теоретические результаты для второй задачи, в которой исследованы вынужденные поперечные колебания упругого шарнирно-опертого стержня, обусловленные вращательным движением, что является основным результатом данного исследования.
2. Математическая постановка задачи 1 и ее решение. Пусть упругий стержень с шарнирно-опертыми концами на расстоянии с от левой опоры подвергается действию нормально сосредоточенной периодической во времени силы. Эта сила вызывает в стержне динамическое напряженное состояние, возникают свободные и вынужденные колебания. Для общности поперечное сечение стержня примем произвольным, но постоянным вдоль ее оси. Предположим, что стержень однороден и работает на сдвиг и изгиб. В недеформированном состоянии нейтральная линия стержня прямолинейна и направлена горизонтально. Отнесем ее к декартовой системе координат x, y, z, в которой ось x направлена вдоль нейтральной линии недеформированного стержня, оси y и z вдоль осей симметрии поперечного сечения. Колебания стержня происходят в вертикальной плоскости xz геометрия которой представлена на фиг. 1. Ставится и решается следующая задача: требуется определить вынужденные поперечные колебания этого стержня, возникающие в результате приложения силы в виде
Для рассматриваемой задачи вынужденные поперечные колебания стержня с учетом эффектов поперечного сдвига и инерции вращения описываются следующими уравнениями с граничными и начальными условиями [3]:
Граничные условия (2.2) будут удовлетворены, если решение системы (2.1) представить в вид
доставляя значения функций w и ψ из (2.4) и (2.5) в систему (2.1) получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомых функций wn и ψn:(2.6)
${\rho }J\frac{{{{d}^{2}}{{\psi }_{n}}}}{{d{{t}^{2}}}} + ({{\rm E}}J{\mu }_{n}^{2} + kGF){{\psi }_{n}} - kGF{{{\mu }}_{n}}{{w}_{n}} = 0$Общее решение системы (2.6) при начальных условиях (2.3) имеет вид
(2.7)
${{w}_{n}}(t) = {{A}_{n}}\sin {{{\omega }}_{{n1}}}t + {{B}_{n}}\sin {{{\omega }}_{{n2}}}t + 2{{l}^{{ - 1}}}{{P}_{0}}{{H}_{n}}{{L}_{n}}\sin {{{\mu }}_{n}}c\sin {\omega }t\quad$(2.9)
${{{\omega }}_{{ni}}} = {{(2{\gamma })}^{{ - 1/2}}}{{({{{\lambda }}_{n}} + {{( - 1)}^{i}}{{({\lambda }_{n}^{2} - 4{\gamma }k_{n}^{2})}^{{1/2}}})}^{{1/2}}}$Здесь и далее i = 1, 2; n – число полуволн, которые образует ось стержня при колебаниях. Формула (2.9) определяет два значения собственной частоты, отвечающих данному числу n полуволн.
Подставляя значения функций wn(t), ψn(t) из (2.7), (2.8) в соответствующие формулы (2.4), (2.5), получаем, что вынужденные поперечные колебания рассматриваемого стержня определяются по закону
(2.10)
$w = \frac{{2{{P}_{0}}}}{l}\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {{H}_{n}}{{L}_{n}}\sin {{{\mu }}_{n}}c\sin {\omega }t\sin {{{\mu }}_{n}}x$(2.11)
$\psi = \frac{{2{{P}_{0}}}}{l}\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {{{\mu }}_{n}}{{H}_{n}}\sin {{{\mu }}_{n}}c\sin {\omega }t\cos {{{\mu }}_{n}}x$Состояние резонанса имеет место, когда частота возмущающей силы приближается к одной из собственных частот колебаний.
3. Описание задачи 2. Для описания задачи 2, кратко представим волновые процессы, происходящие в стержне. Система уравнений (2.1) – гиперболического типа и описывает распространение волн с дисперсией. Однако в рамках класса более коротких волн, согласно теореме предельности [4, с. 26] в стержне распространяются два типа волн (изгибного и сдвигового) со скоростями фронтов c1 = $\sqrt {E{\text{/}}\rho } $, c2 = $\sqrt {kG{\text{/}}\rho } $. Для длинных волн, перенос энергии в стержне характеризуется групповой скоростью. Групповая скорость для задачи (2.1)–(2.3) вычисляется по формуле
(3.1)
${{{\nu }}_{i}} = {{\left. {\frac{{\partial {{\omega }_{i}}}}{{\partial s}}} \right|}_{{s = {{\mu }_{n}}}}} = \frac{1}{{4{\gamma }{{{\omega }}_{{ni}}}}}\left[ {\frac{{\partial {{\lambda }_{n}}}}{{\partial {{{\mu }}_{n}}}} + {{{( - 1)}}^{i}}\frac{\partial }{{\partial {{{\mu }}_{n}}}}{{{({\lambda }_{n}^{2} - 4{\gamma }k_{n}^{2})}}^{{1/2}}}} \right]$Движение в стержне будем исследовать в рамках линейной теории тонких прямолинейных нерастяжимых стержней, в соответствии с которой упругие смещения точек нейтральной линии стержня относительно их положения в недеформированном состоянии предполагаются малыми по сравнению с длиной стержня и перпендикулярными оси x. Движение в стержне можно разложить на два движения. Поступательное, определяемое движением полюса и вращательное движение вокруг оси, проходящей через полюс.
Для иллюстрации вращательного движения в стержне рассмотрим волны изгиба, образовавшиеся в результате приложения силы (фиг. 1) к сечению шарнирно-опертого стержня x = c в момент времени t = 0+ и распространяющиеся по первоначально невозмущенному стержню. В прямом и обратном направлениях начнут распространяться волны изгиба. Закон распространения в прямом направлении переднего фронта волны изгиба вдоль стержня дается уравнением
(3.2)
$\begin{gathered} x{\text{'}}(t) = \left\{ \begin{gathered} c + {{{\nu }}_{1}}t - 2ml\quad {\text{п р и }}\quad t > (2ml - c){\text{/}}{{{\nu }}_{1}} \hfill \\ 2(m + 1)l - {{{\nu }}_{1}}t - c\quad {\text{п р и }}\quad t < [2(m + 1)l - c]{\text{/}}{{{\nu }}_{1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.{\;} \hfill \\ m\;{\text{ = }}\;{\text{0,}}\;{\text{1,}}\;... \hfill \\ \end{gathered} $Учитывая выше сказанное, легко убедиться, что момент изгиба на фронте волны изгиба превращается в момент вращения. Обозначим возникший момент вращения через M. Когда момент вращения $М $от приложения силы со скоростью ν1 двигается до края стержня ${\text{B}}$, то невозмущенная часть стержня, при этом совершает вращательное движение вокруг оси y1 в вертикальной плоскости xz, относительно фронта волны изгиба. Оно осуществляется моментом вращения M, формирующегося на фронте волны изгиба. При совершении вращательного движения в этой части стержня возникают новые упругие колебания w1(t, x), ψ1(t, x) и дополнительные силы, обусловленные упругостью стержня [5]. Обозначим обобщенный координат движения через θ(t), где θ – угол, который выражается углом поворота элемента стержня вокруг оси y1 в точке o1 (фиг. 2), чья зависимость от изменения точки o1 вдоль стержня и времени t можно представить в виде
где точка o1 движется вдоль стержня по закону (3.2).4. Математическая постановка задачи 2 и основные уравнения. Рассмотрим в рамках уточненной теории Тимошенко вращательное движение невозмущенной части стержня, относительно фронта волны изгиба (фиг. 2). Вращательное движение происходит в вертикальной плоскости xz, вокруг оси ${{y}_{1}}$ и оно осуществляется вращательным моментом M(t), формирующимся на фронте волны изгиба. Ставится и решается следующая задача: требуется определить при этом вынужденные поперечные колебания w1(t, x) и ψ1(t, x), возникающие в результате вращательного движения невозмущенной части стержня, а также момент вращения M(t), обеспечивающего заданное движение этой части стержня.
Для решения поставленной задачи выведем уравнение движения и систему уравнений упругих поперечных колебаний невозмущенной части стержня. С этой целью в качестве обобщенной координаты движения примем θ(t), где θ определяется по формуле (3.3). Вектор упругих поперечных смещений точек невозмущенной части стержня в момент времени t, относительно оси x1 обозначим через w1(t, x). Радиус – вектор точек в участке x' < x ≤ l, t > (2ml – c)/ν1 (m = 0, 1, …) стержня относительно точки o1 обозначим
где ${{{\mathbf{R}}}_{{{{o}_{1}}}}}$(t, x) – вектор недеформированного состояния стержня относительно точки ${{о }_{1}}$, причем |${{{\mathbf{R}}}_{{{{o}_{1}}}}}$| = x – c, x ≥ c (измеряемое вдоль стержня расстояние от точки А до ${{о }_{1}}$ равен c + ν1t, а от точки А до произвольной точки $о '$ при t < l1/νl равен x + νlt, следует, что вдоль стержня расстояние от точки ${{o}_{1}}$ до o' равен (x – c)).Векторы ${{{\mathbf{R}}}_{{{{o}_{1}}}}}$ и w1 имеют в инерциальной системе координат x, y, z следующие координатные представления:
Кинетическая энергия движения стержня имеет вид
(4.3)
$K = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^l [{\rho }J{{({{\dot {\psi }}_{1}})}^{2}} + {\rho }F{{[{\mathbf{\dot {R}}}]}^{2}}]dx$В силу принятых выше предположений о нерастяжимости стержня и малости его поперечных упругих смещений и при исполненных в [5] предположениях относительно малости характерных величин движения, а также формулам (4.1)–(4.3) для кинетической энергии движения стержня, получим с точностью до величины порядок ε2 (ε ≪ 1):
(4.4)
$K = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^l \{ {\rho }J{{({{\dot {\psi }}_{1}})}^{2}} + {\rho }F[{{(x - c)}^{2}}{{{\dot {\theta }}}^{2}} + \dot {w}_{1}^{2}(t,x) - 2(x - c){\dot {\theta }}{{\dot {w}}_{1}}(t,x)]\} dx$Потенциальная энергия стержня равна сумме потенциальных энергий упругих сил, возникающих при деформации стержня и силе тяжести
(4.5)
$\begin{gathered} {\Pi } = {\rho g}F\mathop \smallint \limits_0^l [ - (x - c)\sin {\theta } + {{w}_{1}}(t,x)\cos {\theta }]dx + \\ + \frac{1}{2}\int\limits_0^l {\left[ {EJ{{{\left( {\frac{{\partial {{\psi }_{1}}}}{{\partial x}}} \right)}}^{2}} + kGF{{{\left( {\frac{{\partial {{w}_{1}}}}{{\partial x}} - {{\psi }_{1}}} \right)}}^{2}}} \right]dx} \\ \end{gathered} $Для получения уравнения движения и системы уравнений упругих поперечных колебаний стержня воспользуемся вариационным принципом механики Гамильтона–Остроградского:
где δK, δΠ – вариации кинетической и потенциальной энергии; δA = M(t)δt – элементарная работа вращающегося момента M(t) на виртуальных изменениях угла поворота θ.Подставляя значения (4.4) и (4.5) в соотношение (4.6) и вычисляя вариации кинетической и потенциальной энергий с использованием принципа независимых вариаций, учитывая при этом, что вариации δθ, δw1, в начальный t1 и конечный t2 моменты времени равны нулю, получим линейное интегро-дифференциальное уравнение движения
(4.7)
$\begin{gathered} {\rho }F\mathop \smallint \limits_0^l (x - c)[(x - c)\ddot {\theta } - {{{\ddot {w}}}_{1}}(t,x)]dx = M(t) + \\ + {\;\rho g}F\mathop \smallint \limits_0^l [(x - c)\cos {\theta } + {{w}_{1}}(t,x)\sin {\theta }]dx\quad \\ \end{gathered} $(4.8)
$\begin{gathered} {{\rm E}}J\frac{{{{\partial }^{2}}{{{\psi }}_{1}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + kGF\left( {\frac{{\partial {{w}_{1}}}}{{\partial x}} - {{{\psi }}_{1}}} \right) = {\rho }J\frac{{{{\partial }^{2}}{{{\psi }}_{1}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} \\ kGF\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{{w}_{1}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \frac{{\partial {{{\psi }}_{1}}}}{{\partial x}}} \right) + q(t,x) = {\rho }F\frac{{{{\partial }^{2}}{{w}_{1}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} \\ \end{gathered} $(4.10)
$\begin{gathered} t = 0{\text{:}}\quad {{w}_{1}} = 0,\quad {{{\dot {w}}}_{1}} = 0 \hfill \\ {{\psi }_{1}} = 0,\quad {{{\dot {\psi }}}_{1}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} $Если волна изгиба вдоль стержня распространяется в обратном направлении, то q(t, x) представляется в виде
С помощью (2.11), (3.3) в участке x' < x ≤ l, t > (2ml – c)/ν1, (m = 0, 1, …) можно привести $\ddot {\theta }$(t) к следующему виду:
После определения прогиба w1(t, x) и угла поворота элемента стержня ψ1(t, x) необходимый момент вращения M(t), обеспечивающий заданное движение в этой части стержня, вычисляется по формуле (4.7).
5. Решение задачи 2. Решение системы (4.8) (без учета собственного веса стержня) будем искать в такой форме, чтобы граничные условия (4.9) и начальные условия (4.10) удовлетворились полностью, а именно: будем полагать, что
Подставляя значения w1 и ψ1 из (5.1) в систему (4.8) получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомых функций w1n, ψ1n:
(5.2)
$\begin{gathered} {\rho }J\frac{{{{d}^{2}}{{\psi }_{{1n}}}}}{{d{{t}^{2}}}} + ({{\rm E}}J{\mu }_{n}^{2} + kGF){{\psi }_{{1n}}} - kGF{{{\mu }}_{n}}{{w}_{{1n}}} = 0 \\ {\rho }F\frac{{{{d}^{2}}{{w}_{{1n}}}}}{{d{{t}^{2}}}} + kGF{\mu }_{n}^{2}{{w}_{{1n}}} - \quad\;kGF{{{\mu }}_{n}}{{\psi }_{{1n}}} = {{q}_{n}}(t) \\ \end{gathered} $Построив решение системы (5.2) по методу вариаций постоянных при начальных условиях (4.10), заключаем, что упругие поперечные колебания стержней во времени движения определяются по закону:
(5.3)
${{w}_{1}} = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \left[ {\mathop \smallint \limits_0^t {{f}_{{1n}}}(\tau )\sin {{{\omega }}_{{n1}}}(t - \tau )d\tau + \mathop \smallint \limits_0^t {{f}_{{2n}}}(\tau )\sin {{{\omega }}_{{n2}}}(t - \tau )d\tau } \right]\sin {{{\mu }}_{n}}x$(5.4)
${{{\psi }}_{1}} = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \left[ {\mathop \smallint \limits_0^t {{{\text{g}}}_{{1n}}}(\tau )\sin {{{\omega }}_{{n1}}}(t - \tau )d\tau + \mathop \smallint \limits_0^t {{g}_{{2n}}}(\tau )\sin {{{\omega }}_{{n2}}}(t - \tau )d\tau } \right]\cos {{{\mu }}_{n}}x$Решения (5.3) и (5.4) после преобразований можно представить в виде вынужденных и свободных колебаний, вызванных возмущающими силами q(t, x). Опуская подробности, представим вынужденные поперечные колебания из общего решения (5.3), (5.4) в виде
(5.5)
${{w}_{1}} = {{P}_{0}}{{l}^{{ - 1}}}\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {{H}_{n}}{\mu }_{n}^{{ - 1}}[ - {{P}_{{1n}}}{{u}_{n}}({{{\omega }}_{{n1}}},t) + {{P}_{{2n}}}{{u}_{n}}({{{\omega }}_{{n2}}},t)]\sin {{{\mu }}_{n}}c\sin {{{\mu }}_{n}}x$(5.6)
${{{\psi }}_{1}} = {{P}_{0}}{{l}^{{ - 1}}}\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {{H}_{n}}{\mu }_{n}^{{ - 1}}[{\text{P}}_{{1n}}^{*}{{u}_{n}}({{{\omega }}_{{n1}}},t) + {\text{P}}_{{2n}}^{*}{{u}_{n}}({{{\omega }}_{{n2}}},t)]\sin {{{\mu }}_{n}}c\cos {{{\mu }}_{n}}x$Вынужденные колебания в участке 0 ≤ x ≤ x', t < [2(m + 1)l – c]/ν1, (m = 0, 1, …) упругого шарнирно-опертого стержня можно получить с помощью формул (5.5), (5.6), заменив c – 2ml, ν1, βn на 2(m + 1)l – c, –ν1, cμn. Комбинируя задачу (2.1)–(2.3) с задачей (4.8)–(4.10), получаем, что выражения (5.5), (5.6) описывают вынужденные поперечные колебания упругого шарнирно-опертого стержня, вызванные возмущающими периодическими изменениями силы q(t, x). Физику данных колебаний можно объяснить следующим образом. Изменение этой силы в стержне имеет характер пульсации, которая возникает во всех точках стержня, во время движения в начальный момент перемещения изгибных возмущений вдоль стержня. В короткие промежутки времени, когда движение удаляется с данной точки, сила в этой точке резко падает до нуля и столь же быстро восстанавливает свое значение при отраженных от краев стержня изгибных возмущениях. Далее процесс повторяется. Эта сила вызывает в стержне интенсивное развитие прогиба w1, со временем происходит падение этой силы и исчезает причина образования прогиба, после чего происходит восстановление этой силы. График, иллюстрирующий этот процесс, показан на фиг. 3. Величина |w1| на фиг. 3 представляет абсолютное значение прогиба w1.
Когда знаменатель n – х членов рядов (5.5), (5.6) становится равным нулю, частота возмущающей силы приближается к одному из значений
В этом случае получаем состояние резонанса.
Сравнивая задачу (2.1)–(2.3) с задачей (4.8)–(4.10), получаем новые значения
(5.7)
${\omega }_{{ni}}^{\kappa } = \pm {{{\mu }}_{n}}{{{\nu }}_{1}} \pm {{{\omega }}_{{ni}}},\quad {\bar {\omega }}_{{ni}}^{\kappa } = \pm 2{{{\mu }}_{n}}{{{\nu }}_{1}} \pm {{{\omega }}_{{ni}}},\quad (\kappa = 1,2,3,4)$Отметим, что полученные новые резонансные частоты (5.7) отличаются от частоты собственных колебаний ±μnν1, ±2μnν1 значениями, которые обратно пропорциональны длине стержня и возникли в результате распространения волны изгиба вдоль стержня.
Величины $\omega _{{ni}}^{\kappa }$, $\bar {\omega }_{{ni}}^{\kappa }$ пронумеруем так, чтобы выполнялись соотношения
6. Численные результаты. Для иллюстрации эффективности полученных результатов рассмотрим в качестве конкретного примера стальной стержень с квадратным поперечным сечением со следующими параметрами:
Результаты расчетов приведены в следующих шести таблицах и на фиг. 4. В таблицах приведены значения, частоты собственных колебаний ωni и резонасные частоты ${\omega }_{{ni}}^{\kappa },{\bar {\omega }}_{{ni}}^{\kappa }$, (κ = 1, 2, 3, 4), вычисленные по формулам (2.9) и (5.7), для каждого из значений n = 1, …, 5, при разных значениях длины стержня.
Результаты вычислений, приведенные в этих таблицах, показывают, что во всех рассматриваемых случаях резонансные частоты отличаются от частоты собственных колебаний стержня. Это расхождение увеличивается с уменьшением длины стержня, причем, оно тем больше, чем больше n. На фиг. 4 показаны графики зависимостей |w| (сплошная линия) и |w1| (штриховая линия) от времени $t$ в точке x = 80 см. Величины |w| и |w1| представляют абсолютные значения величин вынужденных колебаний стержня, рассчитанных, соответственно, по формулам (2.10) и (5.5). В определенном диапазоне периодическими изменениями силы $q\left( {t,x} \right).$ Графики показывают, что абсолютное значение прогиба |w1| выше, чем прогиба – |w|, причем с увеличением t значения |w|, |w1| вначале возрастают, а затем убывают. Наибольшее абсолютное значение |w1| в 3.5 раза больше |w|.
7. Заключение. На основе вышеприведенных исследований можно сделать следующее заключение. Основные результаты данных исследований указывают на то, что вращательное движение в стержне является весьма существенным фактором и его следует учитывать при изучении изгибных колебаний упругого стержня при динамическом воздействии.
Общее решение (5.1) справедливо всегда, когда в зависимости от внешнего динамического воздействия в упругом стержне возникают волновые явления.
Предлагаемый метод является достаточно общим методом для решения широкого класса краевых задач, в частности он может быть применен для решения задач изгибных колебаний упругого стержня, при различных нагрузках и граничных условиях.
Таблица 1
i = 1 | l = 50 см | ||||
---|---|---|---|---|---|
n | ωn1 | $\omega _{{n1}}^{1}$= μnν1 + ωn1 | $\omega _{{n1}}^{2}$= μnν1 – ωn1 | $\bar {\omega }_{{n1}}^{1}$= 2μnν1 + ωn1 | $\bar {\omega }_{{n1}}^{2}$= 2μnν1 – ωn1 |
1 | 539.3 | 1780.8 | 702.2 | 2967.8 | 1882.2 |
2 | 2370 | 7095 | 2355 | 11 820 | 7080 |
3 | 5311.4 | 15858.5 | 5235.6 | 26405.6 | 15782.7 |
4 | 9390.6 | 27937.1 | 9155.7 | 46483.6 | 27702.2 |
5 | 14571 | 43153.8 | 14011.8 | 71736.6 | 42594.6 |
Таблица 2
i = 1 | l = 100 см | ||||
---|---|---|---|---|---|
n | ωn1 | $\omega _{{n1}}^{1}$= μnν1 + ωn1 | $\omega _{{n1}}^{2}$= μnν1 – ωn1 | $\bar {\omega }_{{n1}}^{1}$= 2μnν1 + ωn1 | $\bar {\omega }_{{n1}}^{2}$= 2μnν1 – ωn1 |
1 | 148.5 | 445.6 | 148.4 | 742.7 | 445.6 |
2 | 593.9 | 1780.8 | 592.9 | 2967.8 | 1779.9 |
3 | 1335 | 4000 | 1330.2 | 6665.5 | 3995.4 |
4 | 2370 | 7095 | 2354.8 | 11820 | 7079.8 |
5 | 3696 | 11052.9 | 3659.7 | 18409.2 | 11 016 |
Таблица 3
i = 1 | l = 150 см | ||||
---|---|---|---|---|---|
n | ωn1 | $\omega _{{n1}}^{1}$= μnν1 + ωn1 | $\omega _{{n1}}^{2}$= μnν1 – ωn1 | $\bar {\omega }_{{n1}}^{1}$= 2μnν1 + ωn1 | $\bar {\omega }_{{n1}}^{2}$= 2μnν1 – ωn1 |
1 | 66 | 198.05 | 66.5 | 330.1 | 198.1 |
2 | 264 | 792 | 263.9 | 1320.1 | 791.9 |
3 | 593.9 | 1780 | 592.9 | 2967.8 | 1779.9 |
4 | 1055.2 | 3162.7 | 1052.2 | 5270.2 | 3159.7 |
5 | 1647.5 | 4935.15 | 1640.1 | 8222.8 | 4927.7 |
Таблица 4
i = 2 | l = 50 см | ||||
---|---|---|---|---|---|
n | ωn2 | $\omega _{{n2}}^{1}$= μnν1 + ωn2 | $\omega _{{n2}}^{3}$= –μnν1 + ωn2 | $\bar {\omega }_{{n2}}^{1}$= 2μnν1 + ωn2 | $\bar {\omega }_{{n2}}^{3}$= –2μnν1 + ωn2 |
1 | 914 330 | 915 517 | 913 143 | 916 704 | 911 956 |
2 | 916 538 | 921 263 | 911 813 | 925 988 | 907 088 |
3 | 920 199 | 930 746 | 909 652 | 941 293 | 888 105 |
4 | 925 285 | 943 832 | 906 739 | 962 378 | 888 192 |
5 | 931 758 | 960 341 | 903 176 | 988 924 | 874 593 |
Таблица 5
i = 2 | l = 100 см | ||||
---|---|---|---|---|---|
n | ωn2 | $\omega _{{n2}}^{1}$ = μnν1 + ωn2 | $\omega _{{n2}}^{3}$ = –μnν1 + ωn2 | $\bar {\omega }_{{n2}}^{1}$ = 2μnν1 + ωn2 | $\bar {\omega }_{{n2}}^{3}$ = –2μnν1 + ωn1 |
1 | 913 776 | 914 073 | 913 479 | 914 370 | 913 182 |
2 | 914 330 | 915 517 | 913 543 | 916 704 | 911 956 |
3 | 915 251 | 917 916 | 913 586 | 920 581 | 909 920 |
4 | 916 538 | 921 263 | 913 813 | 925 988 | 907 088 |
5 | 918 188 | 825 545 | 913 832 | 932 901 | 903 476 |
Таблица 6
i = 2 | l = 150 см | ||||
---|---|---|---|---|---|
n | ωn2 | $\omega _{{n2}}^{1}$ = μnν1 + ωn2 | $\omega _{{n2}}^{3}$ = –μnν1 + ωn2 | $\bar {\omega }_{{n2}}^{1}$ = 2μnν1 + ωn2 | $\bar {\omega }_{{n2}}^{3}$ = –2μnν1 + ωn1 |
1 | 913 674 | 913 806 | 913 542 | 913 938 | 913 410 |
2 | 913 920 | 914 448 | 913 392 | 914 976 | 912 864 |
3 | 914 330 | 915 517 | 913 143 | 916 704 | 911 956 |
4 | 915 303 | 917 011 | 912 796 | 919 118 | 910 688 |
5 | 915 639 | 918 927 | 912 952 | 922 215 | 929 064 |
Список литературы
Мкртчян К.Ш. О двойственном характере поперечных колебаний упругого стержня // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 6. С. 1055–1058.
Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959. 439 с.
Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых деформир. тел. ВИНИТИ. 1973. Т. 5. 272 с.
Гукасян А.А., Саркисян С.В. О колебательном движении прямоугольной пластинки // Изв. АН Арм ССР. Механика. 1990. Т. 43. № 4. С. 13–23.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела