Лёд и Снег, 2023, T. 63, № 2, стр. 283-295

ВВЕДЕНИЕ

Многолетние колебания характеристик ледового режима на реках – актуальная проблема, поскольку большинство водных объектов России расположено в условиях умеренного или холодного климата с длительным и устойчивым периодом отрицательных температур воздуха, что усложняет их режим и использование (Калинин, 2008). Изучению многолетних колебаний ледового режима посвящено значительное количество публикаций. В работе (Williams, 1970) проанализированы колебания дат вскрытия озёр и рек в связи с изменением климата. Аналогичные исследования выполнены для озера Сува в Японии (Tanaka, Yoshino, 1982) и озер Финляндии и Канады (Maslanik , Barry, 1987). В работах (Гинзбург, Солдатова, 1996; Гинзбург, Гурова, 2007) дана оценка влияния изменений глобальной температуры воздуха на многолетние колебания сроков появления льда на реках, которая показала наличие пространственной неоднородности происходящих климатических изменений.

Многие исследователи сравнивали средние характеристики и их тренды для двух периодов – до и после резких климатических изменений. Временные интервалы выбирали в зависимости от наличия данных и года публикации: 1961–1990 и 1997–2003 гг. (Гинзбург, 2005); 1961–1990 и 1991–2014 гг. (Агафонова и др., 2017). В.К. Смахтин (2018 г.) использовал данные за 1975–2012 гг. в соответствии со вторым оценочным отчетом Росгидромета об изменении климата и их последствиях для Российской Федерации (2014 г.), согласно которому наиболее интенсивное потепление наблюдается с середины 1970-х годов.

Исследования сроков наступления ледовых фаз на реках водосбора Воткинского водохранилища нашли отражение в работах (Балков, Шкляев, 1960; Калинин, 1974). Ими выявлены зависимости сроков наступления ледовых фаз в осенне-весенний периоды от широты, высоты места, повторяемости форм атмосферной циркуляции и проведено районирование территории. В работе В.Г. Калинина (2008) обобщены закономерности замерзания, вскрытия рек и водохранилищ, нарастания и пространственного распределения толщины льда за многолетний репрезентативный период с 1956 по 1995 г.

Анализ многолетней изменчивости сроков появления ледяных образований на реках водосбора Воткинского водохранилища, связанных с возможным изменением климата, впервые проведён нами (Kalinin, Chichagov, 2014; Kalinin, Chichagov, 2019). Для периодов: 1936–1992 и 1993–2012 гг.; 1936–1982 и 1983–2012 гг.; 1936–1974 и 1975–2012 гг. установлено наличие статистически значимых изменений в поведении рядов наблюдений. С помощью критерия инверсий, являющегося аналогом непараметрического трендового теста Манна-Кендалла (Korhonen, 2019; Chen, She, 2020) выделены временные промежутки 1954–1977 и 1987–2010 гг., в пределах которых имела место разладка рядов наблюдений, но сам момент разладки установлен не был.

В работе исследование временных рядов выполнено для более продолжительного периода наблюдений с 1936 по 2018 г. Другая отличительная особенность работы заключается в проведении многомерного статистического анализа для двух характеристик ледового режима: сроков появления устойчивых ледяных образований и продолжительности периода ледостава.

Для диагностики момента разладки многолетних изменений ледового режима в работах (Livingstone, 1997, 1999) применён непараметрический критерий Петтитта, который не использует предположение о нормальном законе распределения исходных данных. В данной работе для этой цели применены метод разностно-интегральных кривых и критерий Стьюдента. Рассмотрены два сценария разладки: либо временные ряды имеют линейный тренд; либо в определенный момент времени происходит скачкообразное изменение числовых характеристик (среднее, дисперсия) временных рядов. В качестве альтернативы наличия разладки рассматривалось отсутствие статистически значимых изменений сроков появления ледяных образований и продолжительности периода ледостава за период наблюдений.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В качестве исходных данных использованы результаты наблюдений за ледовым режимом по 12 гидрологическим постам (далее – ГП) на средних и крупных реках в разных (северная, южная, горная, равнинная) частях водосбора Воткинского водохранилища (рис. 1) за период наблюдений с 1936 по 2018 г.: сроки появления устойчивых ледяных образований (далее – срок) и продолжительности периода ледостава (далее – ЛДСТ). За дату появления устойчивых ледяных образований принято время образования заберегов, различных форм плавучего льда или шуги. В случае возврата тепла и, соответственно, появления периода “чисто”, принималась первая дата, если период с ледяными образованиями был больше, чем последующий период “чисто”; если меньше, то за дату появления устойчивых ледяных образований принималась первая дата их появления после периода “чисто” (Калинин, Трофимов, 2001).

Статистическая обработка сроков в осенний период (начало отсчета 1 сентября) представлена натуральными числами. Привязку значений ЛДСТ к конкретному году выполняли по срокам появления устойчивых ледяных образований. Значение ЛДСТ за конкретный год определяли, как длину временнóго промежутка между сроками появления устойчивых ледяных образований в текущем году и окончания ледостава в следующем году. Например, первое значение ЛДСТ определено по промежутку 1936–1937 гг.

Исследование проводилось в два этапа. На первом этапе для каждого из гидрологических постов данные по сроку и ЛДСТ анализировались раздельно. При этом решались следующие статистические задачи.

1. Проверка гипотезы случайности, т.е. предположения о том, что имеющиеся данные представляют собой некоторую реализацию случайной выборки для исходных рядов и отдельных их частей с помощью критерия инверсий. Отмечено в (Бендат, Пирсол, 1989), что критерий инверсий эффективен для обнаружения монотонного тренда в последовательности наблюдений. Применение критерия инверсий основывается на подсчете числа инверсий – числа перестановок элементов ряда, необходимого для его упорядочивания в порядке возрастания. Если анализируемый ряд ведет себя как независимая случайная выборка, количество инверсий не должно быть слишком малым или большим. Реальный уровень значимости (p-value) критерия рассчитывался с использованием точного распределения статистики критерия инверсий, полученного с помощью разложения производящей функции моментов этой статистики (Ивченко, Медведев, 1992).

2. Проверка гипотезы об отсутствии в данных линейного тренда с помощью модели временного ряда вида:

где ${{y}_{t}}$ – значение срока или ЛДСТ, соответствующее t-му номеру наблюдений; a и b – параметры модели; ${{\varepsilon }_{t}}$ – соответствующая случайная ошибка модели. При этом проверялась гипотеза о нулевом значении коэффициента b.

3. Диагностика отсутствия автокорреляций с помощью Q-критерия Льюнга–Бокса (Боровиков, Ивченко, 2006).

4. Обнаружение момента разладки рядов в 1997 г. с помощью метода разностно-интегральных кривых с разбиением каждого из временных рядов на две части. Подтверждение установленного момента разладки с помощью статистики критерия Стьюдента по аналогии с применением теста Петтита, основанного на непараметрическом критерии Манна–Уитни (Pettitt, 1979).

5. Проверка гипотезы нормальности рядов наблюдений по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. с помощью критерия Шапиро–Уилка.

6. Тестирование однородности рядов наблюдений по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. с помощью критериев однородности Стьюдента, Фишера и Манна–Уитни.

На втором этапе исследования выводы относительно наличия момента разладки временных рядов в 1997 г. делаются на основе анализа совместного поведения срока и ЛДСТ по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. с использованием двумерного нормального распределения:

1. Принципиальная возможность описания данных по сроку и ЛДСТ с помощью двумерного нормального распределения установлена путем визуального анализа диаграмм рассеяния пары срок–ЛДСТ с нанесенным на них графиком 95% эллипса рассеяния.

2. Формальная проверка гипотезы о двумерном нормальном распределении исходных данных выполнена с помощью тестов Мардиа, основывающихся на анализе многомерной асимметрии и многомерного эксцесса (Mardia, 1974).

3. Однородность двумерных данных по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. проверялась с помощью критерия Хоттелинга (Johnson, Wichern, 2007). Его применение предполагает равенство ковариационных матриц у сопоставляемых генеральных двумерных нормальных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве ковариационных матриц данных, соответствующих сопоставляемым периодам наблюдений, выполнена с помощью критерия Бокса (Johnson, Wichern, 2007), представляющего обобщение критерия Бартлетта, применяемого для проверки гипотезы о равенстве дисперсий нескольких совокупностей, на случай многомерных данных.

Расчёты проводились с использованием пакета Statistica 8.0 и системы аналитических вычислений Wolfram Mathematica 9.0.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

На рис. 2 представлены многолетние колебания сроков появления устойчивых ледяных образований и продолжительности ледостава на реках за весь период наблюдений с 1936 по 2018 г., осредненные по 12 ГП. В последние десятилетия наблюдается увеличение амплитуды колебаний, а также смещение срока в позднюю сторону и уменьшение продолжительности ЛДСТ (см. рис. 2). Таким образом, встаёт задача анализа этих колебаний и оценки статистической значимости происходящих изменений.

Для проверки гипотезы случайности имеющихся данных за весь период наблюдений использован критерий инверсий. Реальный уровень значимости (p-value) критерия вычисляли с использованием точного распределения статистики критерия инверсий (Ивченко, Медведев, 1992). Расчёты показали, что по данным за весь период наблюдений с 1936 по 2018 г. гипотезу случайности следует отклонить по 4 ГП при анализе срока и по 9 ГП при анализе по ЛДСТ с уровнями значимости, не превосходящими 0.058 и 0.070 соответственно. Это свидетельствует о наличии статистически значимых изменений в поведении временных рядов. Возможными причинами этих изменений могут быть: наличие внутрирядной связанности или тренда рядов наблюдений; изменение их числовых характеристик (среднего, дисперсии) или законов распределения.

Для проверки наличия внутрирядной связанности исходных данных применён Q-критерий Бокса–Льюнга (Боровиков, Ивченко, 2006). Результаты расчётов приведены в табл. 1: по данным за весь период наблюдений гипотезу об отсутствии внутрирядной связанности следует отклонить по 5 ГП при анализе срока и по 4 ГП при анализе ЛДСТ с уровнями значимости, не превосходящими 0.060 и 0.056 соответственно. В этой связи для всех ГП вместо модели случайной выборки была опробована возможность описания исходных данных с помощью модели временнóго ряда с линейным временным трендом. Представлены результаты проверки незначимости коэффициента наклона b модели (см. табл. 1), характеризующего наличие линейного тренда у временных рядов, как для Срока, так и для ЛДСТ: его оценка $\hat {b}$ и соответствующий ему уровень значимости (p-value t-критерия); по данным за весь период наблюдений гипотезу о равенстве нулю коэффициента наклона b следует отклонить по 5 ГП при анализе срока и по 6 ГП при анализе ЛДСТ с уровнями значимости не превосходящим 0.074 и 0.051 соответственно.

Модель линейного временнóго тренда даёт объяснение характера происходящих изменений лишь для части всех ГП наблюдений, в связи с чем рассмотрена возможность описания поведения временных рядов с помощью скачкообразной модели разладки, которая дает возможность определить момент времени начала скачкообразного изменения закона распределения вероятностей, описывающего поведение каждого из рядов наблюдений.

Для обнаружения момента разладки применялся метод разностно-интегральных кривых (рис. 3). По оси ординат (см. рис. 3, а) откладывались величины $\sum \left( {{\text{к}} - 1} \right)$, где к = ${{{\text{x}}}_{{\text{i}}}}$/${{\bar {x}}}$, а ${{{\text{x}}}_{{\text{i}}}}$ и ${{\bar {x}}}$ – соответственно сроки появления устойчивых ледяных образований в конкретном году и средние сроки за весь период наблюдений, выраженные в количестве дней осенью от 1 сентября (Калинин, 2020). По оси ординат (см. рис. 3, б) откладывались аналогичные величины для продолжительности ледостава.

В многолетнем разрезе наблюдается разделение на два разнонаправленных периода с точкой перегиба в 1997 г. Поэтому далее выполнено исследование рядов наблюдений отдельно для двух периодов: 1936–1997 и 1998–2017 гг. Применение критерия инверсий к анализу данных по этим периодам показало, что гипотеза случайности за период 1936–1997 гг. отклоняется только по сроку на ГП Лолог-Сергеевский. По трём ГП (Вишера–Рябинино, Усьва–Усьва и Колва–Чердынь) уровень значимости близок к 0.05. Во всех остальных случаях гипотезу случайности следует принять на уровне значимости не ниже 0.098.

Для проверки однородности рядов наблюдений с использованием параметрических критериев Стьюдента и Фишера необходимо предварительно исследовать эти ряды на соответствие нормальному закону распределения и на отсутствие внутрирядной связанности. Для этого использованы соответственно критерий Шапиро–Уилка и критерий Бокса–Льюнга. Результаты проверки возможности описания поведения временных рядов по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. с помощью нормального закона распределения по критерию Шапиро–Уилка представлены в табл. 2.

По данным за период 1998–2017 гг. гипотеза нормальности принимается по всем ГП с уровнем значимости не ниже 0.128. По данным за период 1936–1997 гг. гипотеза нормальности принимается по 9 и 10 ГП соответственно с уровнем значимости не ниже 0.089. В остальных случаях реальный уровень значимости критерия оказался близким к 0.05. Проверка наличия автокорреляций по критерию Бокса–Льюнга по этим же периодам показала их отсутствие.

Таким образом, данные в пределах каждого из периодов 1936–1997 и 1998–2017 гг. можно рассматривать как выборки из результатов независимых наблюдений одной и той же случайной величины.

Установленный факт возможности описания исходных данных с помощью нормального закона распределения послужил основанием для применения критерия Стьюдента с целью уточнения момента возможной разладки в рядах наблюдений. Как видно из рис. 4, имеет место подтверждение сделанному разбиению исходных временных рядов на два периода.

Таким образом, встает задача формальной проверки гипотезы однородности данных по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. Отклонение гипотезы будет означать, что в установленный момент времени 1997 г. произошла разладка временных рядов, выразившаяся в статистически значимых изменениях средних значений исследуемых показателей (табл. 3, колонки 2–3) или среднеквадратичных отклонений (табл. 3, колонки 4–5). Согласно результатам (см. табл. 3, колонки 8–12), по всем ГП, кроме Усьва–Усьва и Чусовая–Кын, гипотеза однородности отклоняется. Для ГП Усьва-Усьва по сроку гипотеза однородности отклоняется, а по ЛДСТ принимается с уровнем значимости, меньшим 0.1. Для ГП Чусовая–Кын реальный уровень значимости критериев однородности по сроку и ЛДСТ оказался в интервале 0.04–0.1.

Выводы относительно наличия момента разладки временных рядов в 1997 г. делаются на основе совместного анализа поведения срока и ЛДСТ по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. В качестве исходных данных по каждому из 12 ГП используются пары значений срока и ЛДСТ. Тем самым предпринята попытка устранить противоречивость выводов, полученных на основе анализа отдельных характеристик. При реализации этого подхода используется модель двумерного нормального распределения. О принципиальной возможности описания двумерных данных с помощью этого закона можно судить на основе визуального анализа диаграмм рассеяния пары срок–ЛДСТ с нанесенным на них графиком 95%-ного эллипса рассеяния (рис. 5).

Формальная проверка гипотезы о двумерном нормальном распределении исходных данных выполнена в САВ Mathematica с помощью тестов Мардиа (Mardia, 1974): Mardia Kurtosis – критерия эксцесса и Mardia Skewness – критерия асимметрии многомерного нормального распределения (см. табл. 2). По всем ГП и всем критериям, исключая ГП Лолог-Сергеевский (период 1998–2017 гг.), гипотеза нормальности принимается на уровне значимости не ниже 0.156. Для ГП Лолог-Сергеевский уровень значимости по периоду 1998–2017 гг. оказался на уровне 0.05.

Значения коэффициентов корреляции Пирсона (см. табл. 3, колонки 6–7) приведены между сроком и ЛДСТ по двум периодам. Они оказались достаточно близкими по величине. Формальная проверка гипотезы о равенстве ковариационных матриц данных, соответствующих сопоставляемым периодам наблюдений, выполнена с помощью критерия Бокса (см. табл. 3, колонка 13). По 9 из 12 ГП гипотеза о равенстве ковариационных матриц может быть принята на уровне значимости не ниже 0.091. Однородность двумерных данных по периодам 1936–1997 и 1998–2017 гг. исследована с помощью критерия Хоттелинга (см. табл. 3, колонка 14). По 11 ГП уровень значимости не превышает значения 0.009, что позволяет уверенно отклонить гипотезу однородности. Что касается 12-го ГП Чусовая–Кын, то гипотеза однородности может быть принята на уровне значимости 0.123.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнено исследование многолетней изменчивости сроков появления ледяных образований и продолжительности периода ледостава на реках водосбора Воткинского водохранилища. Анализ данных за весь период наблюдений 1936–2018 гг. с помощью критерия инверсий показал наличие статистически значимых изменений в поведении временных рядов. Последующее применение Q-критерия Бокса-Льюнга позволило сделать вывод о возможном наличии линейного тренда во временных рядах. Статистический анализ данных с применением модели парной линейной регрессии подтвердил этот вывод для половины постов.

С помощью скачкообразной модели разладки получено другое более содержательное объяснение происходящих изменений в поведении исследуемых показателей. Методами разностно-интегральных кривых и критерия Стьюдента установлено, что разладка временных рядов по сроку и ЛДСТ произошла в 1997 г. Статистический анализ данных по 12 ГП для двух периодов 1936–1997 и 1998–2017 гг. отдельно по сроку и ЛДСТ, а также совместно по этим двум характеристикам показал следующее:

1) в пределах каждого периода исходные данные получены в результате независимых наблюдений в неизменных условиях; для описания поведения исследуемых характеристик возможно применение одномерного и двумерного нормальных распределений; внутрирядные автокорреляции в рядах наблюдений отсутствуют;

2) для всех ГП, за исключением Чусовая–Кын, гипотезу об однородности данных по двум периодам следует отклонить, что свидетельствует о статистически значимых смещениях сроков появления ледяных образований в позднюю сторону на 7–14 дней и сокращению продолжительности периода ледостава на 6–18 дней (наименьшие смещения характерны для горных рек центральной и южной частей водосбора, наибольшие – для равнинных рек северной и центральной частей);

3) переход от раздельного анализа сроков появления ледяных образований и продолжительности периода ледостава к их совместному анализу не повлиял на характер полученных результатов.

Полученные результаты дают возможность совершенствовать прогнозирование ледово-термического режима рек и улучшить планирование и организацию работы водного транспорта и гидротехнических сооружений.